2018年高一数学寒假作业(人教A版必修4)平面向量的概念及其线性运算word版含答案

平面向量的基本概念与线性运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.一、平面向量的概念：1、平面向量：________________________________________________________2、向量的模长：________________________________________________________3、零向量:____________________________________________________________4、单位向量：__________________________________________________________5、平行向量：_________________________________________________________6、相等向量：_________________________________________________________7、相反向量：__________________________________________________________二、平面向量的基本运算：一般地，λa＋μb叫做a,b的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa＋μb，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC u u u r 叫做位移AB u u u r与位移BC u u u r 的和，记作____________________2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD u u u r =BC u u ur ，根据三角形法则得AB u u u r ＋AD u u u r=________________________平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =u u u r OA ，b =u u u rOB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．即（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．图7－7ACBaba +bab图7－9A一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为||||||aaλ=λ（7．3）若||λ≠a0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同，当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0λ≠时，有λ⇔=a b a b∥（7．4）一般地，有0a= 0, λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a aλμλμμλ== ；()()3a a aλμλμ+=+ ；()()a b a bλλλ+=+４　．题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；aAa-bBbO图7－13⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA u u u r相等的向量； （2）找出向量DC u u u r的负向量；（3）找出与向量AB u u u r平行的向量．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出 （1）与EF u u u r 相等的向量；（2）与AD u u u r共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC u u u r 相等的向量； （2）OC u u u r 的负向量； （3）与OC u u u r题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．2．填空（向量如图F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5Obbaa（1）（2）第1题图所示）：（1）a ＋b =_____________ , （2）b ＋c =_____________ , （3）a ＋b ＋c =_____________ ． 3．计算：（1）AB u u u r＋BC u u u r ＋CD u u u r ； （2）OB u u u r ＋BC u u u r ＋CA u u u r ．例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．练习：1．填空：（1）AB u u u r AD -u u u r=_______________，（2）BC u u u r BA -u u u r=______________， （3）OD u u u r OA -u u u r=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB u u u r = a ,AD u u u r= b ，试用a , b 表示向量AC u u u r 、BD u u u r 、DB u u u r．例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，试用a , b 表示向量AO u u u r 、OD u u u r．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．BbOaAba（1）（2）图7－142．设a , b 不共线，求作有向线段OA u u u r ，使OA u u u r ＝12（a ＋b ）．例7 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.练习：练习：在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例8 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．练习：如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．一、选择题1．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤D ．①③⑤2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →3．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同4．已知下列各式：①AM →＋MB →＋BA →；②AB →＋CA →＋BD →＋DC →；③OA →＋OC →＋BO →＋CO →.其中结果为零向量的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________． 6．如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →＝________.三、解答题7．如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？8.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2CD ，M 、N 分别是CD 和AB 的中点，若AB =a ，AD =b ，试用a 、b 表示BC 和MN ，则BC =________，MN =______._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( ) A ．一条线段 B ．一段圆弧 C ．两个孤立的点D ．一个圆2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( ) A ．同一个圆上 B ．同一个点上 C ．同一条直线上 D ．以上都有可能4．有下列说法：①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④共线向量一定在同一直线上． 其中，正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．下列说法错误的是( )A ．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量B ．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量C ．只有零向量的模等于0D ．零向量没有方向6．如图所示，圆O 上有三点A 、B 、C ，则向量BO →、OC →、OA →是( ) A ．有相同起点的相等向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量9．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b |D ．以上都不对 10．△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是( )A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠012．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形二、填空题12．若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________． 16．根据右图填空： b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________.三、解答题17．某人从A 点出发，向东走到B 点，然后，再向正北方向走了60m 到达C 点．已知|AC →|＝120m ，求AC →的方向和A 、B 的距离．18．两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1＝40N ，方向向东，F 2＝403N ，方向向北，求它们的合力．能力提升一、选择题1．若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b . 其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤2．如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线3．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是()A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身)B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身)C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线4．四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形1．已知向量a 表示“向东航行1km ”向量b 表示“向南航行1km ”则a ＋b 表示( )A ．向东南航行2kmB ．向东南航行2kmC ．向东北航行2kmD ．向东北航行2km2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．0B ．3C ． 2D ．2 2 4．下列命题中正确的个数为( )①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．若|AB →|＝|AD →|，且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为________．6．已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.6．已知在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，若|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.三、解答题8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m ，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m ，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．9．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．7．如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.8．轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40n mile 到达C 处．求此时轮船关于A 港的相对位置．9．已知下图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1＝24N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2＝12N.求F 1和F 2的合力．。

年级高一学科数学内容标题平面向量概念及线性运算编稿老师褚哲一、学习目标1.了解向量产生的物理背景，理解共线向量,相等向量等概念，理解向量的几何表示；2.掌握向量的加法，减法，数乘的运算，并理解其几何意义；3.能由数的运算律类比向量的运算律，并结合图形验证相关的运算律，强化对知识的形成过程的认识，并正确表述探究的结果；4.通过学习向量的线性运算，初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.二、重点、难点重点：1.向量的概念,，相等向量的概念和向量的几何表示；2.向量的加法，减法，数乘运算的运算法则及其几何意义.难点：1.对向量概念的理解；2.对减法定义的理解及正确运用法则，用运算律进行向量的线性运算，利用向量方法解决几何问题.三、考点分析向量的线性运算是向量的基础部分，考查时主要以选择题、填空题的形式出现，侧重考查向量的基本概念、向量运算的关系；在解答题中侧重考查向量与其他章节的综合，预计高考中向量的内容所占的比重仍较大.一、平面向量的基本概念1.向量既有大小、又有方向的量叫做向量.注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可.2.向量的表示（1）用一个小写字母表示向量，如a，b等.（2）用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记为AB，注意起点写在前面、终点写在后面.3.向量的模向量AB的大小，称作向量AB的长度（或称模），记作AB.注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小.4. 零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0. 注：①=00；②零向量的方向是任意的. 5. 单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 6. 基线通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的基线. 7．平行向量如果向量的基线相互平行或重合．则称这些向量平行或共线，记作∥a b . 注：①规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有a 0∥；②由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；③两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上.8. 相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a b =. 注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；③对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的；④a b a b =⇒=；反之不成立.9. 位置向量任给一定点O 和向量a ，过O 作有向线段OA =a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 唯一确定，这时向量OA 叫做点A 相对于点O 的位置向量.二、向量的运算（一）向量的加法1. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2. 三角形法则如图，已知向量a 、ｂ在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a +ｂ，即 a +ｂAC BC AB =+=，此法则称为向量求和的三角形法则规定：a + 0 = 0 + a 3. 平行四边形法则以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和.注：①向量加法的三角形法则，既适用于两向量不共线，也适用于两向量共线．而平行四边形法则只适用于两向量不共线，当两向量共线时，平行四边形法则就不适用了．但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性．因此两种法则都应熟练掌握.②两个向量的和仍是一个向量. 探究：1°. 当向量a 与b 不共线时，+a b 的方向与a ，b 都不相同，且+<+a b a b ； 2°. 当向量a 与b 同向时，+a b ，a ，b 都同向，且a b a b +=+；3°. 当向量a 与b 反向时，若a b >，则+a b 的方向与a 相同，且a b a b +=-；若a b <，则+a b 的方向与b 相同，且a b b a +=-；若a b =，则a b +=0．4. 向量求和的多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量.这种法则叫做向量求和的多边形法则.即5. 向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a 的和有a 00a +=+， （2）向量加法的交换律和结合律（3）三角形不等式：对于任意两个向量b a,，都有b a b a b a +≤+≤-. （二）向量的减法1. 向量减法运算的几何意义如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-， 即a b -可以表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.注：①两个向量的差仍是一个向量；②要注意向量加法运算的三角形法则与减法运算的三角形法则的区别； ③由向量的加、减法，可以得出两个常用的结论：首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和为0，即：-+++++=122334110…n n n A A A A A A A A A A . 平行四边形ABCD 中，有AB AD AC +=，AB AD DB -= 2. 相反向量定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -． 注：①a 与a -互为相反向量；②-=00；（三）向量的数乘运算1. 向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，它的长度与方向规定如下： ①λλ=a a ；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反．特别地，当0λ=时，a λ=0.2. 向量数乘运算的运算律：设λμ，为实数，a b ，为向量，则有 ①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+（第一分配律）； ③()a b a b λλλ+=+（第二分配律）；特别地，有()()()a a a λλλ-=-=-；()a b a b λλλ-=-．注：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a b ，，以及任意实数λμμ12，，，恒有()a b a b λμμλμλμ±=±1212.3. 平行向量的基本定理；如果a =λb ,则a ∥b ；反之,如果a ∥b ,且b ≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使a=λb .单位向量：给定一个非零向量a ,与a 同方向且长度等于1的向量,叫作向量a 的单位向量.（四）轴上向量的坐标运算1. 轴；规定了方向和长度单位的直线叫做轴.如图所示.2. 轴上向量的坐标在轴l 上取单位向量e ,使e 的方向与l 相同，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a =x e ，x 叫做a 在l 上的坐标.当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数；e 叫做轴l 的基向量.a 叫轴l 的轴上向量.小结；实数与轴上的向量建立起一一对应关系，于是可用数值表示向量. 3. 轴上两个向量相等的条件轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等； 轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和. 4. 轴上向量的坐标公式，数轴上两点间的距离公式 公式（1）AB +BC =AC公式（2）AB =x 2－x 1（轴上向量坐标公式）即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标公式（3）|AB |=|x 2－x 1|知识点一：平面向量的基本概念例1. 给出下列命题：①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ②若，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ③若,a b b c ==，则a c =； ④若//,//a b b c ，则//a c其中所有正确命题的序号为 .思路分析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，与起点、终点的位置无关，故①不正确；当DC AB =时，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故②不正确；由b a =，则a b =，且a 与b 的方向相同；由b c =，则b c =，且b 与c 的方向相同，则a 与c 的长度相等且方向相同，故c a =，③是正确的；对于⑷，当0=b 时，a 与c 不一定平行，故④是不正确的.所以正确命题的序号为⑶. 解题过程：③解题后思考：对向量的相关概念要充分理解.知识点二、向量的线性运算例2. 下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么b a +的方向必与b a ,之一的方向相同； ②在ABC ∆中，必有0=++CA BC AB ；③若0AB BC CA ++=，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若b a ,均为非零向量，则a b +与a b +一定相等. 其中真命题的个数为（ ）个 A . 0 B . 1 C . 2 D . 3思路分析：①假命题，当0a b +=时，命题不成立.②真命题. ③假命题，当A 、B 、C 三点共线时，也可以有0AB BC CA ++=. ④假命题，只有当a 与b 同向时相等，其他情况均为a b a b +>+. 解题过程：B解题后思考：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.例3. 已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为,,a b c ，则向量等于（ ）A . a b c ++B . a b c -+C . a b c +-D . a b c --思路分析：如图所示，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为,,，结合图形有：OD OA AD OA BC OA OC OB a c b=+=+=+-=+-解题过程：B解题后思考：灵活掌握向量加法、减法的三角形法则的应用，相等向量是指长度相等、方向相同的向量，与它的位置没有关系.例4. 在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝（ ）A . 23b +13cB . 53c －23bC . 23b －13cD . 13b +23c思路分析：BC →＝AC →－AB →＝b －c ，BD →＝23BC →＝23（b －c ），∴AD →＝AB →+BD →＝c +23（b －c ）＝23b +13c解题过程：A解题后思考：向量的线性运算是以三角形为载体的，合理掌握向量加法、减法、数乘运算的几何表示.例5. 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100公里到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒走了200公里到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D 点.（1）作出向量AB ，BC ，CD ；（2）求AD .思路分析：解答本题应首先确立指向标，然后再根据行驶方向确定出有关向量，进而求解. 解题过程：（1）如图所示.︒50西A东南北B C D（2）由题意易知，AB 与CD 方向相反，故AB 与CD 共线.又AB CD =，∴在四边形ABCD 中，//AB CD 且AB CD =， ∴四边形ABCD 为平行四边形. 故200AD BC ==（公里）.解题后思考：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.知识点三、平面向量的共线定理例6. 如图所示，在OAB ∆的边OB OA ,上分别有一点M 、N ，已知2:1:=MA OM2:3:=NB ON ，连结AN ，在AN 上取一点R ，满足1:5:=RN AR .⑴用向量OB OA ,表示向量BR ； ⑵证明：R 在线段BM 上.思路分析：在三角形中合理运用向量的运算的三角形法则，而且可以把三点共线问题转化为向量共线问题.解题过程：⑴∵2:1:=MA OM ， ∴13OM OA =∵2:3:=NB ON ， ∴35ON OB =∵1:5:=RN AR ， ∴6AR AN =又35AN ON OA OB OA =-=-∴1526AR OB OA =-，∴()15112662BR AR AB OB OA OB OA OA OB ⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭. ⑵ ∵1162BR OA OB =- ∴2=， ∴R 在线段BM 上.解题后思考：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.例7. 设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB →＝a +b ，BC →＝2a +8b ，CD →＝3（a －b ），求证：A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k ，使k a +b 和a +k b 共线．思路分析：利用向量共线定理可以处理平面中三点共线的问题 解题过程：（1）∵AB →＝a +b ，BC →＝2a +8b ，CD →＝3（a －b ），∴BD →＝BC →+CD →＝2a +8b +3（a －b ）＝2a +8b +3a －3b ＝5（a +b ）＝5AB →. ∴AB →、BD →共线．又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． （2）解答：∵k a+b 与a+k b 共线，∴存在实数λ，使k a+b ＝λ（a +k b ），即k a+b ＝λa+λk b ，∴（k －λ）a ＝（λk －1）b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.解题后思考：向量的线性运算的结果还是一个向量，本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k 的方程，用待定系数法解决问题.知识点四、轴上向量的坐标运算例8. 选择题：（1）给出下列3个命题：①单位向量都相等；②单位向量都共线；③共线的单位向量必相等．其中正确命题的个数是（ ）个A . 0B . 1C . 2D . 3（2）已知a ＝e 1+2e 2，b ＝3e 1－4e 2，且e 1、e 2共线，则a 与b （ ）A . 相等B . 共线C . 不共线D . 不能确定（3）设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是（ ）A . ||a ae =B . a ＝｜a ｜eC . a ＝－｜a ｜eD . a ＝±｜a ｜e思路分析：根据单位向量以及轴上向量坐标运算的定义正确判断有关命题的对与错，主要考查对概念的正确理解.解题过程：（1）A ；（2）B ；（3）D解题后思考：单位向量与零向量是两个特殊的向量，它们之所以特殊，是因为它们的方向是任意的.平面向量的知识，要注意与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，以便站在新的高度来认识和理解向量.（答题时间：45分钟）1. 已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（ ） A . |a |－|b |=|a －b | B . |a |－|b |=|a +b | C . |a |+|b |=|a －b | D . |a |+|b |=|a +b |2. 设四边形ABCD 中，有1,2DC AB AD BC ==，则这个四边形是（ ） A . 平行四边形 B . 矩形 C . 等腰梯形 D . 菱形二、填空题3. 设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a =|a |·0a ；②若a 与a 0平行，则a =|a |·0a ；③若a 与0a 平行且|a |=1，则a =0a .上述命题中，假命题个数是____________. 4. 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么O 点的位置为___________.5. 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，x 满足方程2x -（5a +3x -4b ）+21a -3b =0，则x =__________.（用a 、b 表示）6. 在四面体O-ABC 中，OA ,OB ,OC ,D a b c ===为BC 的中点，E 为AD 的OE =____________（用a ，b ，c 表示）.三、解答题7. 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：（1）AB BC CD ++，（2）DB AC BD ++，（3）OA OC OB CO --+-. 8. 如图，平行四边形OADB 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设OA ,OB ,,OM,ON,MN a b a b ==试用表示9. 设两个非零向量1e 、2e 不共线，如果121212AB 23,BC 623,CD 48e e e e e e =+=+=-（1）求证：,,A B D 三点共线.（2）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知121212AB 2k ,BC 3,CD 2e e e e e e =+=+=-,若,,A B D 三点共线，求k 的值.10. 已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=.一、选择题1. C2. C二、填空题3. 3个4. AD 的中点5. 92a b-+6. 111244a b c ++三、解答题7. （1）原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=；（3）原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=. 8. 解：()()11111BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB =36666a b ∴-()()222ON=OD=OA+OB 333a b ∴=+ 11MN=ON-OM 26a b ∴=- 9. 解：（1）证明：因为1212BC 623,CD 48e e e e =+=-所以12BD 1015e e =+又因为12AB 23e e =+得5BD AB =即//BD AB又因为公共点B所以,,A B D 三点共线；（2）解：DB=CB-CD 324e e e e e =+-+=-122121e e --12AB 2k ,e e =+因为,,A B D 共线，所以//AB DB .设DB AB λ=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=3423k λ 即34=k 10. 分析；构造三角形,利用向量的三角形法则证明.证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=和EF FB EB +=可得，EA AB EF FB +=+ （1） 由ED DC EC +=和EF FC EC +=可得，ED DC EF FC +=+ （2）（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++ （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=，0FB FC +=， 代入（3）式得，2AB DC EF +=点拨；运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.。

描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

[A.基础达标]1．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向的；⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤解析：选D.由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③，⑤正确，④不正确，所以答案是D.2．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝1⇒a ＝±1B ．|a |＝|b |且a ∥b ⇒a ＝bC ．a ＝b ⇒a ∥bD ．a ∥0⇒|a |＝0解析：选C.两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行． 3．设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0B ．a 0＝－b 0C ．|a 0|＋|b 0|＝2D ．a 0∥b 0解析：选C.因为a 0，b 0是单位向量，则|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2.故选C.4．下列结论中，不正确的是( )A ．向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →意义是相同的B ．若AB →＝CD →，则AB →∥CD →C ．若向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝bD ．若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →解析：选C.平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C 错误．5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.解析：正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 答案： 27. 设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．解析：正方形的对角线互相平分，则AO →＝OC →，①正确； AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确； AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确． 答案：①②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0.答案：09．如图所示，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量．解：(1)与向量AB →相等的向量是向量CE →，向量DC →；(2)与向量AB →共线的向量是向量BA →，向量DC →，向量CD →，向量CE →，向量EC →，向量ED →，向量DE →.10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标． (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°； (2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°； (3)|a |＝42，a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°. 解：如图所示：[B.能力提升]1．已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定解析：选C.∵|OA →|＝2，∴终点A 到起点O 的距离为2. 又∵O 点固定，∴A 点的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．故选C. 2．下列说法中：①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；②若向量AB →是单位向量，则向量BA →也是单位向量； ③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同． 正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为|AB →|＝|BA →|，所以当AB →是单位向量时，BA →也是单位向量，故②正确；根据相等向量的概念知，③是正确的．3．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④.答案：①③④ 4. 如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，BO →(OD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：125．如图所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →且CN →＝MA →，求证：DN →＝MB →.证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .又因为DA →与CB →的方向相同，所以CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →.因为|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，所以|MB →|＝|DN →|， 又DN →与MB →的方向相同，所以DN →＝MB →.6．(选做题)“马走日”是中国象棋中的一个规则，即“马”在走动时必须走一个“日”字形的路径．如图是中国象棋棋盘的一部分，如果有一“马”在A 处，可以跳到E 处，也可以跳到F 处，分别用向量AE →，AF →表示“马”走了一步．(1)试标出“马”在点B ，C ，D 处走了一步的所有情况；(2)“马”在D 处是否能跳到相邻的B 点，试在图中标出，并说明“马”能否从棋盘任一交叉点出发走到棋盘的任何一交叉点处？解：(1)如图，点B 处的“马”有4条路线：BQ →、BR →、BS →、BT →；点C 处的“马”有8条路线：CG →、CF →、CP →、CO →、CN →、CM →、CL →、CH →；点D 处的“马”有3条路线：DU →、DV →、DW →.(2)事实上，“马”由点D 到点B 处，只需沿向量DV →，VQ →，QB →走三步即可(请同学们自己标出)．也就是说“马”能从一个交叉点出发，然后回到该交叉点的相邻点．由递推关系可得，“马”能从任一交叉点出发，然后又能走到棋盘的任一交叉点．。

平面向量的概念及其线性运算训练题一、题点全面练1．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( )A ．2OA ―→－OB ―→B.－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→ D ．－13OA ―→＋23OB ―→解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→，故选A.2．(2019·石家庄质检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D ．45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b ，故选B. 3．(2018·大同一模)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23bB.－13a －23bC ．－13a ＋23bD ．13a －23b 解析：选C 如图，因为点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，所以BFEF ＝AB EC＝2，所以BF ―→＝23BE ―→＝23(BC ―→＋CE ―→)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b ，故选C.4．(2019·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B.3C ．4D ．8解析：选A ∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→＝2(PB ―→－PA ―→)，∴3PA ―→＝PB ―→－PC ―→＝CB ―→，∴PA ―→∥CB ―→，且方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB ―→||PA ―→|＝3，∴S △PAB ＝S △ABC3＝2.5．(2018·安庆二模)在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ＝( )A.12B.－12C ．2D ．－2解析：选B 如图，因为点D 在边BC 上，所以存在t ∈R ，使得BD ―→＝t BC ―→＝t (AC ―→－AB ―→)．因为M 是线段AD 的中点，所以BM ―→＝12(BA ―→＋BD ―→)＝12(－AB ―→＋t AC ―→－t AB ―→)＝－12(t＋1)·AB ―→＋12t AC ―→.又BM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，所以λ＝－12(t ＋1)，μ＝12t ，所以λ＋μ＝－12.故选B.6．已知O 为△ABC 内一点，且2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．解析：设线段BC 的中点为M ，则OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→. 因为2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，所以AO ―→＝OM ―→，则AO ―→＝12AM ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋1t AD ―→＝14AB ―→＋14t AD ―→.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.答案：137．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM―→＝34AB ―→，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，∴四边形ANDM 为菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 38．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，则x 的取值范围是________．解析：设CO ―→＝y BC ―→，∵AO ―→＝AC ―→＋CO ―→＝AC ―→＋y BC ―→＝AC ―→＋y (AC ―→－AB ―→) ＝－y AB ―→＋(1＋y )AC ―→.∵BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，09.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→.解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b.AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b. 10．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b)，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b.因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B.a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|解析：选C 因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b|的方向与向量b 相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A 、B 、D. 当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a|＝b|b|成立的充分条件．2．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，则( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上解析：选D 由OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，得OP ―→－OA ―→＝AB ―→|AB ―→|，∴AP ―→＝1|AB ―→|·AB ―→，∴点P 在射线AB 上，故选D.3．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A ．1 B.－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋λ－b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b.由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.(二)素养专练——学会更学通4．[直观想象]如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的三等分点，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AD ―→＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD ．12a ＋b 解析：选D 连接CD (图略)，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD ―→＝12AB―→＝12a ，所以AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝b ＋12a. 5．[逻辑推理]如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2D.2m ＋1n是定值，定值为3解析：选D 因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D.6.[数学建模]在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b(x ，y 为非零实数)共线，则xy的值为________．解析：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b)，所以e 1－2e 2＝2λ(x－y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λx －y ＝1，λx －2y ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 答案：657．[数学运算]经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ―→＝m OA ―→，OQ ―→＝n OB ―→，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解：设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则OG ―→＝13(a ＋b)，PQ ―→＝OQ ―→－OP ―→＝n b －m a ，PG ―→＝OG ―→－OP ―→＝13(a ＋b)－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b.由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ ―→＝λPG ―→，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.8．[逻辑推理]已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→ ＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)，∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

平⾯向量的概念及运算平⾯向量的概念及运算向量的概念、向量的线性运算、向量的分解和向量的坐标运算⼆. 课标要求：（1）平⾯向量的实际背景及基本概念通过⼒和⼒的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平⾯向量和向量相等的含义，理解向量的⼏何表⽰；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其⼏何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其⼏何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其⼏何意义。

（3）平⾯向量的基本定理及坐标表⽰①了解平⾯向量的基本定理及其意义；②掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰；③会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算；④理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件。

三. 命题⾛向本讲内容属于平⾯向量的基础性内容，与平⾯向量的数量积⽐较，出题量⼩。

以选择题、填空题考查本章的基本概念和性质，重点考查向量的概念、向量的⼏何表⽰、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

此类题难度不⼤，分值5~9分。

预测⾼考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平⾯图形为载体表达平⾯向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

【教学过程】⼀. 基本知识要点回顾1. 向量的概念①向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量。

向量⼀般⽤……来表⽰，或⽤有向线段的起点与终点的⼤写字母表⽰，如：⼏何表⽰法，；坐标表⽰法。

向量的⼤⼩即向量的模（长度），记作||，即向量的⼤⼩，记作｜|。

向量不能⽐较⼤⼩，但向量的模可以⽐较⼤⼩。

②零向量：长度为0的向量，记为，其⽅向是任意的，与任意向量平⾏零向量＝｜｜＝0。

由于的⽅向是任意的，且规定平⾏于任何向量，故在有关向量平⾏（共线）的问题中务必看清楚是否有“⾮零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。

④平⾏向量（共线向量）：⽅向相同或相反的⾮零向量。

2018年高二数学寒假作业（人教A 版必修4）平面向量一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在边长为3的等边三角形ABC 中，2CD DB = ，则AB CD ⋅等于( )A．-B ．3-C ．3D．2．无论),,(321x x x =，),,(321y y y =，),,(321z z z =,是否为非零向量，下列命题中恒成立的是( )A ． 232221232221332211,cos y y y x x x y x y x y x b a ++⋅++++>=<B ．若//，//，则//C ． c b a ∙∙)()(c b a ∙∙=D ．3．下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b += ( )A ．B ．C ． 4D ． 135．在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是( )A. [7,)+∞B.（0，16）C. (7,16] D ．[7,16)6．设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a=e 1+2e 2,b=2e 1+e 2,,则|a+b|的值( ) A ．23 B ．9 C ．2918+ D ．223+ 7．对于非0向时a,b,“a//b ”的正确是( )A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 8．已知的夹角是( )A ．B ．C ．D ．9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2 10．在ABC ∆中，b AC c AB ==,。

若点D 满足AD DC BD 则,2==( )A ．c b 3132+ B ．b c 3235- C ．c b 3132- D ．c b 3231+ 11．已知向量(4,6),(3,5),OA OB == 且,//,OC OA AC OB ⊥则向量OC 等于( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,7212．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 上任一点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE上一点，连接BF ，设1λ=，2λ=，3λ=，且21132=-+λλλ，记△BDF 的面积为),,(321λλλf S =，则S 的最大值是( )A ．21 B ．31 C ．41 D ．81 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为 .14．已知向量,a b 的夹角为45°且||1,|2|||a a b b =-=则= 。

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作：uuur rAB 或 a 。

uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。

r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。

若e是单位向量，则| e| 1。

r r4.零向量：长度为 0 的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

8.三角形法则：uuur uuur AB BA。

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。

r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。

当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。