高中数学必修三《变量的相关性》课后练习(含答案)

课时作业13变量间的相关关系两个变量的线性相关|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列变量是线性相关的是()A．人的体重与视力B．圆心角的大小与所对的圆弧长C．收入水平与购买能力D．人的年龄与体重解析：B为确定性关系；A，D不具有线性关系，故选C.答案：C2．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是()A．①②B．①③C．②④D．②③解析：具有相关关系的两个变量的数据所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系．答案：D3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()A.y^＝1.5x＋2B.y^＝－1.5x＋2C.y^＝1.5x－2D.y^＝－1.5x－2解析：设回归方程为y^＝b^x＋a^，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以b^<0，a^>0，因此方程可能为y^＝－1.5x＋2.答案：B4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是()A．直线l1和l2有交点(s，t)B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合解析：设线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^，而a^＝y－－b^x－.所以点(s，t)在回归直线上．所以直线l1和l2有公共点(s，t)．答案：A5．下列有关回归方程y^＝b^x＋a^的叙述正确的是()①反映y^与x之间的函数关系②反映y与x之间的函数关系③表示y^与x之间的不确定关系④表示最接近y与z之间真实关系的一条直线A．①②B．②③C．③④D．①④解析：y^＝b^x＋a^表示y^与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关系．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列关系：(1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系．(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系．(3)柑橘的产量与气温之间的关系．(4)森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中具有相关关系的是________．解析：(1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程，除了与冶炼时间有关外，还要受冶炼温度等其他因素的影响，故具有相关关系．(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一种确定性关系．)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系关系数加以说明；关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测生活垃圾无害化处理量．a^＝y－－b^t－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得：y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。

答案 (3,2.5)
Y 研考点·知规律
探究悟道 点拨技法
题型一 相关关系的判断 【例 1】 河北国欣农研会的科研人员在 7 块并排、形状大小 相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响的 试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量 y 330 345 365 405 445 450 455
D 读教材·抓基础
回扣教材 扫除盲点
课本导读
1．两个变量的线性相关 (1)在散点图中，点散布在从 左下角 到 右上角的区域，对于 两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)在散点图中，点散布在从 左上角 到 右下角的区域，两个 变量的这种相关关系称为负相关． (3)如果散点图中点的分布在整体上看大致在一条直线附近 ， 就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
() (A)她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm (B)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以上 (C)她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右 (D)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以下
2.经调查知,某品牌汽车的销售量y(辆)与广告费用x(万元)之 间的回归直线方程为 yˆ =250+4x,当广告费用为50万元时,预计 汽车销售量约为 ______辆.
2．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方
和最小的方法叫最小二乘法．
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，
^^ ^
y1)、(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回归方程为y＝bx＋a，则
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y

第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性8.1.1变量的相关关系8.1.2样本相关系数课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列说法正确的是()A.圆的面积与半径之间的关系是相关关系B.粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系C.一定范围内,学生的成绩与学习时间呈现正相关关系D.人的体重与视力呈现负相关关系A,圆的面积与半径之间的关系是确定的关系,是函数关系,所以A错误;对于B,粮食产量与施肥量之间的关系不是函数关系,是相关关系,所以B错误;对于C,一定范围内,学生的成绩与学习时间呈现正相关关系,所以C正确;对于D,人的体重与视力是没有相关关系的,所以D错误.2.在下列各图中,两个变量具有相关关系的是()A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)(1)、(2)、(3)中,散点图中的点大致分布在一条直线附近,呈带状分布,所以变量间具有线性相关关系;图(4)中,散点图中的点分布杂乱无章,不在一条直线附近,也不呈带状分布,所以变量间不具有线性相关关系.3.如下四个散点图中,呈现正相关关系的是(),依次分析选项:对于A,散点图中的点从左向右是上升的,且在一条直线附近,呈现正相关关系;对于B,散点图中的点从左向右是下降的,且在一条直线附近,呈现负相关关系;对于C,散点图中的点呈片状分布,没有明显的相关性;对于D,散点图中的点也呈片状分布,没有明显的相关性.4.为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性的强弱,小郑分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数,其数值分别为0.939,0.937,0.948,则()A.甲组数据的线性相关性最强,乙组数据的线性相关性最弱B.乙组数据的线性相关性最强,丙组数据的线性相关性最弱C.丙组数据的线性相关性最强,甲组数据的线性相关性最弱D.丙组数据的线性相关性最强,乙组数据的线性相关性最弱0.939,0.937,0.948,所以线性相关系数最大的丙组数据的线性相关性最强,线性相关系数最小的乙组数据的线性相关性最弱.5.下列两个变量之间具有相关关系的是.①正方形的边长a和面积S;②一个人的身高h和腿长x;③真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t;④一个人的身高h和体重x.①,正方形的边长a和面积S是函数关系,不是相关关系;对于②,一般情况下,一个人的身高h和腿长x是正相关关系;对于③,真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t是函数关系,不是相关关系;对于④,一般情况下,一个人的身高h和他的体重x是正相关关系.6.为了对某班考试成绩进行分析,现从全班同学中随机抽取8位同学,他们的数学、物理成绩对应如表.根据表中数据分析:是否可以认为变量x与y具有线性相关关系?物理分数y72 77 80 85 88 90 93 95=18×(60+65+70+75+80+85+90+95)=77.5,y =18×(72+77+80+85+88+90+93+95)=85.i=18(x i -x )(y i -y )=685, i=18(x i -x )2=1 050, i=18(y i -y )2=456. 所以线性相关系数r= i=18(x i -x )(y -y )√ i=1(x i -x )2 i=1(y i -y )2=√1 050×456≈0.99,接近于1,所以可以认为变量x 与y 具有线性相关关系.关键能力提升练7.在各散点图中,两个变量具有正相关关系的是( ),依次分析选项为:对于A,是相关关系,但不是正相关关系,不符合题意;对于B,是相关关系,也是正相关关系,符合题意;对于C,是相关关系,是负相关关系,不符合题意;对于D,所示的散点图中,样本点不呈带状分布,这两个变量不具有线性相关关系,不符合题意.8.甲、乙、丙、丁四位同学各自对x ,y 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r ,如表:则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性?( )A.甲B.乙C.丙D.丁,丁同学的相关系数|r|=0.87为最大,所以丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性.9.(2021江西九江二模)恩格尔系数(Engel’s Coefficien)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和,即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.给出三个结论:①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系;②一个国家的恩格尔系数越小,说明这个国家越富裕;③一个家庭收入越少,则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.其中正确的是()A.①B.②C.①②D.②③,恩格尔系数在逐年下降,居民人均可支配收入在逐年增加,故两者之间存在负相关关系;恩格尔系数越小,居民人均可支配收入越多,经济越富裕,故选项①②正确.10.如图所示,5组数据(x,y)中去掉D(3,10)后,下列说法正确的是()A.相关系数r不变B.相关系数r变小C.负相关变为正相关D.解释变量x与预报变量y的相关性变强,去掉点D(3,10)后,y与x的线性相关性加强,相关系数r变大,选项A错误,选项B错误;仍然是正相关,选项C错误;解释变量x与预报变量y的相关性变强,所以选项D正确.11.如图是某市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温(单位:℃)的折线统计图.已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r=0.83,则下列结论错误的是()A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关B.月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月C.9~12月的月温差相对于5~8月,波动性更大D.每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加r=0.83,可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关,由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月,9~12月的月温差相对于5~8月,波动性更大,每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加,第六个月开始减少,所以选项A,B,C正确,D错误.12.关于变量x,y的一组样本数据(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n)(n≥2,a1,a2,…,a n不全相等)的散点图中,若所有样本点(a i,b i)(i=1,2,…,n)恰好都在直线y=-2x+1上,则根据这组样本数据推断的变量x,y的相关系数为.1,说明这两个变量间完全负相关,故其相关系数为-1.学科素养创新练13.许多先进国家对驾驶员的培训大多采用室内模拟教学和训练,而后再进行实地训练并考试,这种方法可以大大节约训练的费用.问题是这种方法有效吗?如表是12名学员的模拟驾驶成绩x与实际考试成绩y的记录(单位:分):试问:两者的相关性如何?请画出散点图,并求出x与y间的线性相关系数..画出散点图,如图所示,由散点图中的点分布在一条直线附近,知两变量线性相关性很强; 由表中数据,计算x =112×(98+55+…+73)≈80, y =112×(95+60+…+72)≈78. 相关系数为r=x y 1+x y 2+…+x y 12-12x y√x 12+x 22+…+x 122-12x 2·√y 12+y 22+…+y 122-12y 2=√98+55+…+73-12×80×√95+60+…+72-12×78≈2 12246.08×46.73≈0.985 5. 所以y 与x 间的线性相关系数为0.985 5,接近于1,知两变量的线性相关性很强.。

第二章 2.3 2.3.2A 级 基础巩固一、选择题1．设一个回归方程为y ^＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时导学号 95064522( A ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减少3个单位[解析] 由题意可知，变量x 每增加一个单位时，y 平均增加1.2个单位. 2．某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：显然y 与x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为导学号 95064523( D ) A ．y ^＝0.7x ＋5.25 B ．y ^＝－0.6x ＋5.25 C ．y ^＝－0.7x ＋6.25D ．y ^＝－0.7x ＋5.25[解析] 由于随着x 的增大，y 减小，所以x 与y 负相关，所以b ^<0，排除A ；由于x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，所以样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入其他三个选项，得直线y ^＝－0.7x ＋5.25通过样本点的中心，故选D ．3．某商店对每天进店人数x 与某种商品成交量y (单位：件)进行了统计，得到如下对应数据：由表中数据，得线性回归方程为y ＝b x －3.25.如果某天进店人数是75，预测这一天该商品销售的件数为导学号 95064524( B )A ．47B ．52C ．55D ．38[解析] x ＝10＋15＋20＋25＋30＋35＋407＝25，y ＝5＋6＋12＋14＋20＋23＋257＝15，将(x ，y )代入回归方程得15＝25b ^－3.25，b ^＝0.73.∴预测这一天该商品销售的件数大约为0.73×75－3.25＝51.5，故选B ．4．(2015·湖北文，4)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是导学号 95064525( C )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关[解析] 因为变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，其中－0.1<0，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设z ＝ky ＋b (k >0)，则将y ＝－0.1x ＋1代入即可得到：z ＝k (－0.1x ＋1)＋b ＝－0.1kx ＋(k ＋b )，所以－0.1k <0，所以x 与z 负相关，综上可知，应选C ．5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为导学号 95064526( B )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[解析] 本题主要考查了回归分析及回归直线方程. 依题意：x ＝3.5，y ＝42，又b ^＝9.4，∴42＝9.4×3.5＋a ^. ∴a ^＝9.1，∴y ^＝9.4x ＋9.1，当x ＝6时，y ^＝65.5，故选B ．6．(2017·山东理，5)为了研究某班学生的脚长x (单位：cm)和身高y (单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系.设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑i ＝110x i ＝225，∑i ＝110y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为导学号 95064527( C )A ．160B ．163C ．166D ．170[解析] ∵∑i ＝110x i ＝225，∴x ＝110∑i ＝110x i ＝22.5.∵∑i ＝110y i ＝1 600，∴y ＝110∑i ＝110y i ＝160.又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70. ∴回归直线方程为y ^＝4x ＋70.将x ＝24代入上式得y ^＝4×24＋70＝166. 故选C ． 二、填空题7．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为y ^＝250＋4x ，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为__450kg__.导学号 95064528[解析] 将x ＝50代入回归直线方程得y ^＝250＋4×50＝450，故预计小麦产量为450kg. 8．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加__0.254__万元.导学号 95064529[解析] 本小题考查内容为回归直线方程与回归系数的意义.由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254.三、解答题9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：导学号 95064530(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20.(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －8.25)2＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得是大值， 故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.B 级 素养提升一、选择题1．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：由最小二乘法求得回归方程为y ＝0.67x ＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为导学号 95064531( C )A ．60B ．62C ．68D ．68.3[解析] 由题意可得x ＝30， 代入回归方程得y ＝75. 设看不清处的数为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68.2．某同学对一家超市就“气温与热饮杯的销售量”进行调查，根据统计结果，该生运用所学知识得到气温x ℃与当天销售量y (个)之间的线性回归方程为：y ^＝－2.352x ＋147.767，当x ＝2℃时可卖出热饮杯的杯数约为导学号 95064532( D )A ．109B ．128C ．134D ．143 [解析] 把x ＝2℃代入线性回归方程得y ^＝－2.352×2＋147.767≈143.故选D ． 3．某化工厂为了预测产品的销售量y ，需要研究它与某原料有效成分含量x 之间的相关关系.现取了8对观测值，计算得∑i ＝18x i ＝48，∑i ＝18y i ＝144，回归直线方程为y ^＝a ＋2.5x ，则当x ＝10时，y 的预测值为导学号 95064533( A )A ．28B ．27.6C ．26D ．25[解析] x ＝x 1＋x 2＋…＋x 88＝488＝6，y ＝y 1＋y 2＋…＋y 88＝1448＝18，将(x ，y )代入回归直线方程得 18＝a ＋2.5×6，∴a ＝3. ∴y 的预测值为3＋2.5×10＝28.4．下表提供了某场节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (t)与相应的生产能耗y (t)的几组对应数据：根据上表提供的数据，x ＋0.35，那么表中t 的值为导学号 95064534( B )A ．1B ．3C ．5D ．7[解析] x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，∵回归直线y ＝0.7x ＋0.35过点(x ，y )， ∴y ＝0.7×4.5＋0.35＝3.5. ∴y ＝2.5＋t ＋4＋4.54＝3.5，∴t ＝3. 二、填空题5．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是 y ^＝1.23x ＋0.08 .导学号 95064535[解析] 设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，(x －，y －)是样本点的中心.依题意，b ^＝1.23，x －＝4，y －＝5，所以a ^＝y －－b ^x －＝0.08，所以回归直线的方程是y ^＝1.23x ＋0.08.6．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温(如下表)，并求得线性回归方程为y ^＝－2x ＋60.导学号 95064536__100__.[解析] 由题意得，x －＝14(c ＋13＋10－1)＝22＋c 4，y －＝14(24＋34＋38＋d )＝96＋d 4，又线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，故－2×22＋c 4＋60＝96＋d 4，解得2c ＋d ＝100.三、解答题7．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损.按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：导学号 95064537(1)(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？[解析] 先作出散点图，再根据散点图判断y 与x 呈线性相关，从而建立回归直线方程求解.(1)作散点图如图所示.(2)由散点图可知y 与x 线性相关.故可设回归直线方程为y ^＝bx ＋a . 依题意，用计算器可算得：x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438.∴b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a ＝y －b x ≈8.25－0.73×12.5＝－0.875.∴所求回归直线方程为y ^＝0.73x －0.875. (3)令y ^＝10，得0.73x －0.875＝10，解得x ≈15. 即机器的运转速度应控制在15转/秒内.C 级 能力拔高某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表导学号 95064538(2)利用(1)中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入，附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .[解析] (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2018年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元.。