高一数学必修三2.3.1 变量间的相关关系

2.3.1 变量的相关关系

【课题】：2.3.1变量的相关关系

【设计与执教者】：广州2中，张和发，zhanghefa@

【教学时间】：1课时 ( 80’)

【学情分析】：《变量的相关关系》是《高中数学》必修三第二章《统计》中的第三节，是统计学的重要一节。在前两节中，学生通过实例体会抽样调查的重要性和必要性，并学习如何收集数据，整理数据，并利用数据估计总体的方法。在本节中学生将进一步学习如何利用数据研究两变量间的关系，进一步体会统计学的思想方法，体会运用统计方法解决实际问题。

因此，让学生经历提出问题到解决问题的全过程是重要而不可或缺的。由于一般来说统计的数据比较多，让学生学习利用计算机（计算器）等现代信息技术处理数据是素质教育的需要，所以本节设计要考虑此问题。但由于推导线性回归直线方程的过程比较复杂，一般学生一时难以接受，因此重点是让学生了解推导线性回归直线方程的最小二乘法的思想，能根据给出的公式建立线性回归直线方程即可。

本课时主要是让学生了解相关关系，对此学生有感性认识，但认识不是很清楚，可以从实例引导学生思考。

【教学目标】：

（1）知识与技能：会作散点图，并由此对变量间的正相关或负相关关系做出直观的判断。

（2）过程与方法： 通过实例了解变量之间的相互关系，通过作散点图判断变量间的关系。

（3）情感态度与价值观：认识现实生活中两变量存在非确定的相关关系，体会事物间联系的普遍性，养成运用数学方法解决实际问题的科学方法与习惯。

【教学重点】：利用散点图直观认识两个变量之间的关系。

【教学难点】：从实例中抽象出物之间的相关关系

【教学突破点】：从学生熟悉的实际问题引入变量相关关系的概念，通过讨论探究如何判断两变量间的关系引入新课。

【教法、学法设计】：讨论探究、合作交流、讲练结合。

【课前准备】：课件，计算机及相关软件（Excel,几何画板）

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图

第 1 页 共 15 页 高中二年级（上）数学必修3

第二章：统计——2.3：变量间的相关关系

一：知识点讲解

（一）：变量间的相关关系

 相关关系的定义：变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系。常见的两个变量之间的关系分为 和 。

 散点图：将样本中n个数据点iiyx，（i＝1、2、……、n）描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图。

 正相关与负相关：

 正相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为 。

 负相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值由大变小，这种相关称为 。

（二）：两个变量的线性相关

 最小二乘法：设x、y的一组观察值为iiyx，（i＝1、2、……、n），且回归直线方程为xbayˆˆˆ。当x取值ix（i＝1、2、……、n）时，y的观察值为iy，则iiyyˆ

（i＝1、2、……、n）刻画了实际观察值iy与回归直线上相应点的纵坐标之间的离差（偏离程度），通常用离差的平方和，即Q＝ 作为总离差，并使之达到 。回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方，所以这种使“

”的方法，叫做最小二乘法。

 回归直线方程：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程简称回归方程。

回归直线方程 回归系数 aˆ

方程或公式 yˆ . bˆ . aˆ .

2．3 变量间的相关关系

2．3.1 变量之间的相关关系

2．3.2 两个变量的线性相关

考点

学习目标 核心素养

相关关系的概念 理解两个变量的相关关系的概念 数学抽象

散点图 会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系 逻辑推理、数学建模

回归直线方程 会求回归直线方程 数学运算

问题导学

(1)相关关系分为哪两种？

(2)什么叫散点图？

(3)什么叫回归直线？求回归直线的方法及步骤是什么？

1．两个变量的线性相关

(1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．

(2)正相关与负相关

①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域；

②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．

2．回归直线的方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．

(3)最小二乘法

求回归直线方程y^＝b^x＋a^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

其中b^是回归方程的斜率，a^是回归方程在y轴上的截距．

■名师点拨

(1)散点图的作用

散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论．

(2)回归直线的性质

由a^＝y－－b^x－可知回归直线一定经过点(x－，y－)，因此点(x－，y－)通常称为样本点的中心，其中，x－，y－分别是变量x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数．

(3)线性相关关系强弱的定性分析

线性相关关系的强弱体现在散点图中就是样本点越集中在某条直线附近，两变量的线性相关关系越强；样本点在某条直线附近越分散，两变量的线性相关关系越弱．

判断正误(对的打“√”，错的打“×”)

一.选择题

1.对于线性相关系数r,下列说法正确的是（ ）

A.),0(||r，||r越大，相关程度越大；反之，相关程度越小

B.),(r，r越大，相关程度越大；反之，相关程度越小

C.||r≤1，且||r越接近于1，相关程度越大；||r越接近于0，相关程度越小

D.以上说法都不正确

2. 对于回归分析，下列说法错误的是（ ）

A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定

B.线性相关系数可以是正的或负的

C.回归分析中，如果2r=1或2r=1，说明x与y之间完全线性相关

D.样本相关系数r(-1,+1)

3.下列说法中正确的是（ ）

A．任何两个变量都具有相关关系 B．人的知识与其年龄具有相关关系

C．散点图中的各点是分散的没有规律D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的

4.变量y与x之间的回归方程（ ）

A．表示y与x之间的函数关系 B．表示y和x之间的不确定关系

C．反映y和x之间真实关系的形式D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合

5.若用水量x与某种产品的产量y的回归直线方程是ˆy=2x＋1250，若用水量为 50kg时，预计的某种产品的产量是（ ）

A．1350 kg B．大于 1350 kg C．小于1350kg D．以上都不对

6.“回归”一词 是在研究子女身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的回归大程ˆy=a＋bx中，b（ ）

A．在（－1，0）内 B．等于0 C．在（0，1）内 D．在[1，＋∞）内

二.填空题

7.自变量取值一定时，因变量的取值 两个变量之间的关系叫做相关关系.与函数关系 ，相关关系是一种 .