第 1 页 共 2 页 高中数学知识点：变量之间的相关关系
变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。
1．函数关系
函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它相对应。
2．相关关系
变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性
相关关系分为两种:
正相关和负相关
要点诠释：
对相关关系的理解应当注意以下几点：
（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.
（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下 第 2 页 共 2 页 可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.
3．散点图
将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。
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精校版 2.3 变量间的相关关系
项目 内容
课题 2.3 变量间的相关关系
（共 2 课时） 修改与创新
教学
目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.
2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.
3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．
教学重、
难点 教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．
教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想.
教学
准备 多媒体课件
教学过程
第1课时
导入新课
在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?
请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:
好 中 差
你的数学成绩
你的物理成绩
学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学 高中数学-打印版
精校版 方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)
第 1 页 共 15 页 高中二年级（上）数学必修3
第二章：统计——2.3：变量间的相关关系
一：知识点讲解
（一）：变量间的相关关系
相关关系的定义：变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系。常见的两个变量之间的关系分为 和 。
散点图：将样本中n个数据点iiyx，（i＝1、2、……、n）描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图。
正相关与负相关：
正相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为 。
负相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值由大变小，这种相关称为 。
（二）：两个变量的线性相关
最小二乘法：设x、y的一组观察值为iiyx，（i＝1、2、……、n），且回归直线方程为xbayˆˆˆ。当x取值ix（i＝1、2、……、n）时，y的观察值为iy，则iiyyˆ
（i＝1、2、……、n）刻画了实际观察值iy与回归直线上相应点的纵坐标之间的离差（偏离程度），通常用离差的平方和，即Q＝ 作为总离差，并使之达到 。回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方，所以这种使“
”的方法，叫做最小二乘法。
回归直线方程：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程简称回归方程。
回归直线方程 回归系数 aˆ
方程或公式 yˆ . bˆ . aˆ .
第1页 共1页 数学反思总结3------《变量间的相关关系》教后反思
变量的相关性是新教材新加的内容。本节课主要包括：变量之间的线性相关关系、回归直线方程、最小二乘法。本节课是变量的相关性的第一节，主要来研究变量间除确定的函数关系外的其它关系。由于有些变量间确实存在关系但不是确定的函数关系，而是带有一定的不确定性，即相关关系。在寻找变量的这种相关关系中，统计发挥着巨大的作用：通过收集大量的数据，发现其中的规律，并对这些数据进行统计学分析处理，才能对它们的关系做出正确的判断。通过本节课的学习，让学生养成“动脑思”“动手做”“动眼看”的行为习惯，并养成实事求是的科学的学习态度，严谨的作风。
本节课是一节新授课，首先从一个有趣的问题出发，激发了学生的学习兴趣。然后通过学生预习讨论解决教师提出的问题，学生领悟到数学学习的规律性。相信真理，不要相信表面现象，要勇于探索，敢于创新。在课堂上，充分利用已有的知识，调动引导学生将旧知识与新知识有机的结合起来，形成知识网络，掌握知识的前后联系，因果关系，综合运用知识解决问题，注重发展学生数学知识的应用意识，拓展学生的思路，激发学生学习兴趣。学生只有通过自己对数学知识与规律的主动发现，主动思考，才能从“学会”到“会学”。在教学中坚持：情境激疑、层层设疑，不断引导学自主探究，《诱思探究学科教学论》反复强调：调动学生参与课堂的积极性，发展学生探究意识和学习的主体意识，注重让学生自得规律与方法，从而提高课堂的学习效率，养成学生的自主学习习惯。但我自己也有以下一些困惑
首先对课时数的困惑。如果仅停留在了解概念、会使用公式解题这个层面，那么两节课就足够了；引入新知识的过程中承载着新的数学方法，这需要综合运用前面的知识，为了让学生真正动起来，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力，正确理解统计推断的结论，在实际的教学中我用了四节课来解决这个问题。
其次对最小二乘法的思想的思考。我觉得这个地方关键是如何把“从整体上看，各点与此直线最贴近”用数学模型刻画出来，具体的变形、配方等过程不要介绍；同时让学生明确拟合效果没有对错之分，只有好坏之分，最小二乘法只是一种方法，不一定是最好的。
