2020上海中学 高一下期中数学

2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。

上海市新中高中2019-2020学年下学期期中考试高一数学试题一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______4、若要将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____ 5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。

其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分）解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知7174tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ （1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值 （2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分） 已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π （1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里（1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,2,ππαα（1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值。

2020-2021学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，5），则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ．2.（填空题，4分）函数y=sin （πx+3）的最小正周期是___ ．3.（填空题，4分）一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是3，则此扇形的面积是___ ．4.（填空题，4分）设 a =（ 32 ，sinα）， b ⃗ =（cosα， 16），且 a || b ⃗ ，则cos2α=___ ． 5.（填空题，4分）函数y=sinx- √3 cosx 在[0，2π]的单调增区间是___ ．6.（填空题，4分）直角坐标系xOy 中， i 、 j 分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 i + j ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 i +k j ，则k 的可能值个数是___ ．7.（填空题，5分）已知函数f （x ）=sinx （x∈[0，π]）和函数g （x ）= √32 tanx 的图象交于A 、B 、C 三点．则△ABC 的面积为___ ．8.（填空题，5分）已知| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°，则 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影为___ ．9.（填空题，5分）函数y=sin 2x+2cosx+1在区间[- 23 π，θ]上的最小值是 34 ，则θ的最大值为 ___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cosx|sinx|，下列说法正确的是___ ． ① f （x ）图象关于x= π4对称； ② f （x ）的最小正周期为2π； ③ f （x ）在区间[ 3π4，5π4 ]上是严格减函数； ④ f （x ）图象关于（ π2 ，0）中心对称．11.（填空题，5分）a≤b 时，记{a ，b}min =a ．已知f （x ）=cosnx•{sinnx ，cosnx}min ，x∈[0，π2n]．则y=f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___ ．12.（填空题，5分）如图，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，a ＞b ＞c ，且a 、b 、c 是常数，O 是△ABC 的外心，OD⊥BC 于D ，OE⊥AC 于E ，OF⊥AB 于F ，设m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n= OE ⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，l= OF ⃗⃗⃗⃗⃗ • OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ：n ：l=___ ．13.（单选题，5分）函数y=3sin （2x+ π3）的图象可以看作是把函数y=3sin2x 的图象作下列移动而得到（ ） A.向左平移 π3 单位 B.向右平移 π3 单位 C.向左平移 π6 单位 D.向右平移 π6 单位14.（单选题，5分）已知0＜α＜ π2 ，将角α的终边逆时针旋转 π6 ，所得的角的终边交单位圆于P （- 13 ，y ），则sinα的值为（ ） A. 2√2−√36B. 2√2+√36C.2√6−16 D.2√6+1615.（单选题，5分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83C. 127D.516.（单选题，5分）已知 x ，y ∈[−π4，π4] ，x 3+sinx-2a=0，4y 3+sinycosy+a=0，则cos （x+2y ）的值是（ ） A.1 B.-1 C.0 D. 1217.（问答题，14分）化简：（1）tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ；（2）sin 2(π−θ)cos(π2−θ)−sin(π2+θ)−cos(π+θ)1−tan(3π+θ)−√2sin(θ+π4)．18.（问答题，14分）设平面上有两个向量a =（cosα，sinα），b⃗ =（−√32，12）．（1）求证：向量a + b⃗与a - b⃗垂直：（2）当向量√3a + b⃗与a - √3b⃗的模相等时，求α的大小．19.（问答题，14分）甲船在距离A港口12海里并在南偏西10°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东20°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为6 √5海里．乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行到D处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？20.（问答题，16分）函数f（x）=6cos2ωx2+ √3 sin（ωx）-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f(x0)=6√35，且x0∈(−103，23)，求f（x0+1）的值；（3）若y=f2（x）-af（x）+1的最小值为12，求a的取值．21.（问答题，18分）f（x）=sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β）．其中α、β是常数．且0≤α≤β≤π：（1）若α=π2，β=π2，m＜f(x)恒成立，求m的取值范围；（2）若α=π6，β=π3，求关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和：（3）f（x）是否可能为常值函数？如果可能，求出f（x）为常值函数时，α、β的值；如果不可能，请说明理由．2020-2021学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，5），则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（2，3）【解析】：根据 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求出向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．【解答】：解： BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，5)−(1，2)=(2，3) ． 故答案为：（2，3）．【点评】：考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算． 2.（填空题，4分）函数y=sin （πx+3）的最小正周期是___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】：解：函数y=sin （πx+3）的最小正周期是 2ππ =2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．3.（填空题，4分）一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是3，则此扇形的面积是___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：利用扇形面积公式求解．【解答】：解：由扇形面积公式可知：S= 12|α|r 2 =6， 故答案为：6．【点评】：本题主要考查了扇形面积公式，是基础题．4.（填空题，4分）设 a =（ 32 ，sinα）， b ⃗ =（cosα， 16），且 a || b ⃗ ，则cos2α=___ ． 【正确答案】：[1]± √32【解析】：由已知利用平面向量共线的坐标表示以及二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】：解：因为 a =（ 32 ，sinα）， b ⃗ =（cosα， 16），且 a || b ⃗ ， 所以sinαcosα- 14 =0，即sin2α= 12 ， 所以cos2α=± √1−sin 22α =± √32 ． 故答案为：± √32 ．【点评】：本题主要考查了平面向量共线的坐标表示以及二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.（填空题，4分）函数y=sinx- √3 cosx 在[0，2π]的单调增区间是___ ． 【正确答案】：[1] [0，5π6]和[11π6，2π] 【解析】：首先把函数的关系式通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．【解答】：解：y=sinx- √3 cosx=2sin （x- π3 ）， 令 −π2+2kπ≤x −π3≤2kπ+π2 （k∈Z ）， 整理得： −π6+2kπ≤x ≤2kπ+5π6（k∈Z ）， 当k=0和1时，在[0，2π]的单调增区间 [0，5π6]和[11π6，2π] ． 故答案为： [0，5π6]和[11π6，2π] ．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）直角坐标系xOy 中， i 、 j 分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 i + j ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 i +k j ，则k 的可能值个数是___ ． 【正确答案】：[1]-6，-1【解析】：利用 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = i +（k-1） j ，再分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°加以讨论，利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k 的值．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2i +j ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3i +kj ， ∴ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = i +(k −1)j 因为△ABC 为直角三角形，（1）∠A=90°时， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6+k =0 ⇒k=-6； （2）∠B=90°时， AB⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+k −1=0 ⇒k=-1； （3））∠C=90°时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+k (k −1)=0 ⇒k∈∅ 综上所述，k=-6或-1 故答案为：-6，-1．【点评】：本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件．解答的关键是利用向量垂直的充要条件列出等式，所得到方程的所有解即为可能的k 值．7.（填空题，5分）已知函数f （x ）=sinx （x∈[0，π]）和函数g （x ）= √32 tanx 的图象交于A 、B 、C 三点．则△ABC 的面积为___ ． 【正确答案】：[1] π4【解析】：画出两个函数的图象，求出三个点的坐标，然后求解三角形面积．【解答】：解：由函数f （x ）=sinx （x∈[0，π]）和函数g （x ）= √32 tanx 的图象交于A 、B 、C 三点，可得A （0，0），B （π，0），令sinx= √32 tanx ，可得cosx= √32 ，x= π6 ，∴C （ π6 ， 12 ）， 所以S △ABC = 12×π× 12= π4， 故答案为： π4 ．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．8.（填空题，5分）已知| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°，则 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°，算出| a + b ⃗ |= √7 且（ a + b ⃗ ）• a =2．再设 a + b ⃗ 与 a 的夹角为θ，结合数量积公式和向量投影的定义，算出| a + b ⃗ |cosθ的值，即可得到向量 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影值．【解答】：解：∵| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°， ∴ a • b ⃗ = a |×| b ⃗ |×cos60°=1由此可得（ a + b ⃗ ）2=| a |2+2 a • b ⃗ +| b ⃗ |2=1+2+4=7 ∴| a + b ⃗ |= √7 ．设 a + b ⃗ 与 a 的夹角为θ，则 ∵（ a + b ⃗ ）• a =| a |2+ a • b ⃗ =2 ∴cosθ=(a ⃗ +b ⃗ )•a ⃗ |a⃗ +b ⃗ |•|a ⃗ | = 2√77 ， 可得向量 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影为| a + b⃗ |cosθ= √7 × 2√77=2 故答案为：2【点评】：本题给出向量| a |、| b ⃗ |和 a 与 b ⃗ 的夹角，求向量 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影．着重考查了向量数量积的定义、向量的夹角公式和向量投影的概念等知识，属于基础题． 9.（填空题，5分）函数y=sin 2x+2cosx+1在区间[- 23 π，θ]上的最小值是 34 ，则θ的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1] 56π【解析】：由已知中函数y=sin 2x+2cosx+1，由同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为y=-（cosx-1）2+3的形式，进而根据函数的最小值为 34 ，结合已知中x∈[- 23 π，θ]及余弦函数的图象和性质，即可得到θ的最大值．【解答】：解：∵函数y=sin 2x+2cosx+1=-cos 2x+2cosx+2=-（cosx-1）2+3 若在区间[- 23 π，θ]上的最小值为 34 ， 则由y=-（cosx-1）2+3= 34 ， 解得cosx=- 12 ， 又∵x∈[- 23 π，θ] ∴θ= 56 π，故答案为： 56π．【点评】：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数的基本关系，余弦函数的图象和性质，其中根据已知条件，结合同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为二次型函数的形式是解答本题的关键．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cosx|sinx|，下列说法正确的是___ ． ① f （x ）图象关于x= π4 对称； ② f （x ）的最小正周期为2π； ③ f （x ）在区间[ 3π4，5π4 ]上是严格减函数； ④ f （x ）图象关于（ π2 ，0）中心对称． 【正确答案】：[1] ② ④【解析】：画出f （x ）的图像，由图像即可判断 ① ② ③ ④ 的正误．【解答】：解：函数f （x ）=cosx|sinx|的图像如图所示，由f （-x ）=f （x ），可得f （x ）为偶函数，由图像可得 ① 错， ② 正确； f （x ）在区间[ 3π4，5π4 ]上为不单调函数，故 ③ 错； f （x ）的图像关于（ π2 ，0）中心对称，故 ④ 正确； 故答案为： ② ④ ．【点评】：本题考查了三角函数的图像和性质，考查了函数的对称性，单调性和周期性，注意数形结合思想的运用．11.（填空题，5分）a≤b 时，记{a ，b}min =a ．已知f （x ）=cosnx•{sinnx ，cosnx}min ，x∈[0，π2n]．则y=f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___ ．【正确答案】：[1] π8n【解析】：先由x∈[0， π2n ]．确定nx 的范围，然后就能确定{sinnx ，cosnx}min 取值，将函数f （x ）写成分段形式，利用积分的性质 ∫f ba (x )dx =∫f ca (x )dx +∫f bc(x )dx ，分别对分段进行求取积分在相加．【解答】：解：因为x∈[0， π2n ]．所以nx ∈[0，π2] ， 所以f （x ）=cosnx•{sinnx ，cosnx}min = {cosnx •sinnxx ∈[0，π4n ]cosnx •cosnxx ∈(π4n ，π2n ]= {12sin2nx x ∈[0，π4n ]12(1+cos2nx )x ∈(π4n ，π2n ]y=f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ∫f π2n0(x )dx = ∫12π4nsin2nxdx +∫12π2n π4n(1+cos2nx )dx = 14n•(−cos2nx ) |0π4n+ (12x+14n sin2nx) |π4nπ2n = π8n故答案为： π8n ．【点评】：本题主要考查积分的几何意义及分段函数积分的求解，难点在复合函数的定积分求解，属于中档题．12.（填空题，5分）如图，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，a ＞b ＞c ，且a 、b 、c 是常数，O 是△ABC 的外心，OD⊥BC 于D ，OE⊥AC 于E ，OF⊥AB 于F ，设m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n= OE⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，l= OF ⃗⃗⃗⃗⃗ • OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ：n ：l=___ ．【正确答案】：[1]1：1：1【解析】：连接OA ，OB ，OC ，设∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，∠ACB=∠3，利用三角形外接圆的性质以及数量积的运算可求得m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3，同理可求得n ，l ，计算可得结论．【解答】：解：如图，连接OA ，OB ，OC ， 设∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，∠ACB=∠3，因为O 是△ABC 的外心，OD⊥BC 于D ，OE⊥AC 于E ，OF⊥AB 于F ， 所以∠DOC=∠DOB=∠1，∠AOE=∠COE=∠2，∠BOF=∠AOF=∠3， 所以m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =| OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DOE=（Rcos∠DOC ）（Rcos∠COE ）cos （π-∠ACB ） =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3，同理可得n= OE ⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3，l= OF ⃗⃗⃗⃗⃗ • OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3， 所以m ：n ：l=1：1：1． 故答案为：1：1：1．【点评】：本题主要考查向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．13.（单选题，5分）函数y=3sin （2x+ π3 ）的图象可以看作是把函数y=3sin2x 的图象作下列移动而得到（ ） A.向左平移 π3 单位 B.向右平移 π3 单位 C.向左平移 π6 单位 D.向右平移 π6 单位 【正确答案】：C【解析】：由条件根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】：解：把函数y=3sin2x 的图象向左平移 π6个单位，可得y=3sin2（x+ π6）=3sin （2x+ π3 ）的图象， 故选：C ．【点评】：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.（单选题，5分）已知0＜α＜ π2 ，将角α的终边逆时针旋转 π6 ，所得的角的终边交单位圆于P （- 13 ，y ），则sinα的值为（ ） A.2√2−√36B. 2√2+√36C.2√6−16 D.2√6+16【正确答案】：D【解析】：设角α的终边逆时针旋转 π6 后的角为β，由题意可知 β=α+π6 ，由任意角的三角函数定义可知cos β=−13 ，再利用两角和的余弦公式结合同角三角函数间的基本关系求解．【解答】：解：设角α的终边逆时针旋转 π6 后的角为β， 则 β=α+π6，由任意角的三角函数定义可知cos β=−13， ∴cos （ α+π6 ）=- 13 ， ∴ cosα×√32−sinα×12=−13，又∵sin 2α+cos 2α=1，且0＜α＜ π2， 联立两式可求：sinα= 2√6+16， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．15.（单选题，5分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83C. 127 D.5【正确答案】：D【解析】：根据奔驰定理可得S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =1：2：2，进而可以求解．【解答】：解：根据奔驰定理可得S △BOC ：S △AOC ：S △A OB =1：2：2， 所以S △BOC =15S △ABC ，所以三角形ABC 的面积与三角形BOC 的面积的比值为5，故选：D．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到奔驰定理的应用，属于基础题．16.（单选题，5分）已知x，y∈[−π4，π4]，x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，则cos（x+2y）的值是（）A.1B.-1C.0D. 12【正确答案】：A【解析】：设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=-2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=-f（2y）=f（-2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．【解答】：解：设f（u）=u3+sinu．由① 式得f（x）=2a，由② 式得f（2y）=-2a．因为f（u）在区间[−π4，π4]上是单调奇函数，∴f（x）=-f（2y）=f（-2y）．∴x=-2y，即x+2y=0．∴cos（x+2y）=1．故选：A．【点评】：本题主要考查了利用函数思想解决实际问题．考查了学生运用函数的思想，转化和化归的思想．17.（问答题，14分）化简：（1）tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ；（2）sin 2(π−θ)cos(π2−θ)−sin(π2+θ)−cos(π+θ)1−tan(3π+θ)−√2sin(θ+π4)．【正确答案】：【解析】：（1）结合两角和的正切公式进行化简可求； （2）结合同角基本关系进行化简即可求解．【解答】：解：（1） tan (α−β)+tanβ1−tan (α−β)tanβ =tan[（α-β）+β]=tanα；（2）原式= sin 2θsinθ−cosθ + cosθ1−tanθ -（sinθ+cosθ），=sin 2θsinθ−cosθ + cosθ1−sinθcosθ-（sinθ+cosθ），= sin 2θsinθ−cosθ + cos 2θcosθ−sinθ -（sinθ+cosθ），=sinθ+cosθ-sinθ-cosθ， =0．【点评】：本题主要考查了同角基本关系，两角和的正切公式，属于基础题． 18.（问答题，14分）设平面上有两个向量 a =（cosα，sinα）， b ⃗ =（ −√32，12 ）． （1）求证：向量 a + b ⃗ 与 a - b⃗ 垂直： （2）当向量 √3 a + b ⃗ 与 a - √3 b ⃗ 的模相等时，求α的大小．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件可求出 (a +b ⃗ )•(a −b ⃗ )=0 ，从而得出 (a +b ⃗ )⊥(a −b ⃗ ) ； （2）根据条件可得出 (√3a +b ⃗ )2=(a −√3b ⃗ )2，然后进行数量积的运算可得出 a •b ⃗ =0 ，从而可得出 sin (α−π3)=0 ，这样即可求出α的值．【解答】：解：（1）证明：∵ a =(cosα，sinα)，b ⃗ =(−√32，12) ， ∴ (a +b ⃗ )•(a −b ⃗ )=a 2−b ⃗ 2=1−1=0 ， ∴向量 a +b ⃗ 与 a −b ⃗ 垂直； （2）∵ |√3a +b ⃗ |=|a −√3b ⃗ | ， ∴ (√3a +b ⃗ )2=(a −√3b⃗ )2， ∴ 3+1+2√3a •b ⃗ =1+3−2√3a •b⃗ ，∴ a•b⃗=−√32cosα+12sinα=sin(α−π3)=0，∴ α−π3=kπ，k∈Z，∴ α=π3+kπ，k∈Z．【点评】：本题考查了向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）甲船在距离A港口12海里并在南偏西10°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东20°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为6 √5海里．乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行到D处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？【正确答案】：【解析】：结合实际问题作出图形，然后结合正弦定理及余弦定理即可直接求解．【解答】：解：作出符合题意的图形，AC=12，BC=6 √3，∠CAB=30°，△ABC中，由正弦定理得，12sin∠ABC = 6√3sin30°，所以sin∠ABC= √55，由AC＜BC知∠ABC为锐角，所以cos∠ABC= 2√55，△BCD中，由余弦定理得CD= √BC2+BD2−2BC•BDcos∠B =√(6√3)2+62−2×6×6√3×2√55=6 √2，由余弦定理得，cos∠BDC= 62+(6√2)2−(6√5)22×6×6√2=- √22，所以∠BDC=135°，1180°-135°+20°=65°，所以甲、乙两船相距6 √2海里，甲在乙的北偏西65°方向．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档题．20.（问答题，16分）函数f（x）=6cos2ωx2+ √3 sin（ωx）-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f(x0)=6√35，且x0∈(−103，23)，求f（x0+1）的值；（3）若y=f2（x）-af（x）+1的最小值为12，求a的取值．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的图象的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论，进一步利用角的变换求出结果；（3）求出f（x）的值域，令t=f（x），利用二次函数的性质即可求解a的值．【解答】：解：（1）函数f（x）=6cos2ωx2+ √3 sin（ωx）-3=3cosωx+ √3sinωx=2 √3 sin（ωx+ π3），由于△ABC为正三角形，所以三角形的高为2 √3，所以BC=4．所以函数f（x）的最小正周期为T=4×2=8，所以ω= π4，从而得到f（x）=2 √3 sin（π4 x+ π3）．（2）若f(x0)=6√35，则2 √3 sin（π4x0+ π3）= 6√35，整理得sin（π4x0+ π3）= 35，由于x0∈(−103，23)，所以π4x0+ π3∈（- π2，π2），所以cos（π4x0+ π3）= 45，所以f（x0+1）=2 √3 sin（π4 x0+ π4+ π3）=2 √3 [sin（π4x0+ π3）cos π4+cos（π4x0+ π3）sinπ4 ]=2 √3（35× √22+ 45× √22）= 7√65．（3）f（x）=2 √3 sin（ωx+ π3）的值域为[-2 √3，2 √3 ]，令t=f（x），则t∈[-2 √3，2 √3 ]，所以y=f2（x）-af（x）+1转化为g（t）=t2-at+1，对称轴为t= a2，当a2≥2 √3，即a≥4 √3时，g（t）min=g（4 √3）=12-2 √3 a+1= 12，解得a= 25√312（舍）；当a2≤-2 √3，即a≤-4 √3时，g（t）min=g（-4 √3）=12+2 √3 a+1= 12，解得a=- 25√312（舍）；当-2 √3＜a2＜2 √3，即-4 √3＜a＜4 √3时，g（t）min=g（a2）= a24- a22+1= 12，解得a=±√2．综上可得a=± √2．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数的图象与性质，考查转化思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．21.（问答题，18分）f（x）=sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β）．其中α、β是常数．且0≤α≤β≤π：（1）若α=π2，β=π2，m＜f(x)恒成立，求m的取值范围；（2）若α=π6，β=π3，求关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和：（3）f（x）是否可能为常值函数？如果可能，求出f（x）为常值函数时，α、β的值；如果不可能，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意可得f（x）=1+cos2x，则f（x）≥1，进而可得m＜1，即可得出答案．（2）根据题意可得f（x）= 32 +sin（2x- π6），x∈[0，2π]，求出对称轴，作出图象，分情况讨论，即可得出答案．（3）根据题意可得f（x）= 32 - 12（cos2x（1+cos2α+cos2β）-sin2x（sin2α+sin2β））若f（x）是常值函数，则1+cos2α+cos2β=0，sin2α+sin2β=0，由三角恒等变化，解得答案．【解答】：解：（1）f（x）=sin2x+sin2（x+ π2）+sin2（x+ π2）=sin2x+2cos2x=1+cos2x，所以f（x）≥1，所以m＜1．（2）所以f（x）=sin2x+sin2（x+ π6）+sin2（x+ π3）= 32 - 12（cos2x+cos（2x+ π3）+cos（2x+ 2π3））= 32 - 12（cos2x- √3 sin2x），= 32 +sin（2x- π6），x∈[0，2π]．令2x- π6 = π2+kπ，k∈Z，则x= π6 + kπ2，k∈Z，所以在（0，2π）上的对称轴为x= π6，x= 2π3，x= 7π6，x= 5π3，当n＞1时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为2× π6 +2× 7π6= 8π3，当12＜n≤1时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为2× 2π3+2× 5π3= 14π3，当n= 12时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为2π3+ 5π3= 7π3，当n＞52或n＜12时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为0．（3）f（x）= 32 - 12（cos2x+cos2xcos2α-sin2xsin2α+cos2xcos2β-sin2xsin2β）= 32 - 12（cos2x（1+cos2α+cos2β）-sin2x（sin2α+sin2β））若f（x）是常值函数，则1+cos2α+cos2β=0，sin2α+sin2β=0，由sin2α+sin2β=0，得2β=-π+2α或2β=2π-2α，当β= π2+α时，1+cos2α+cos2β=1+cos2α+cos（π+2α）=1≠0，所以不成立，当β=π-α时，1+cos2α+cos2β=1+cos2α+cos（2π-2α）=1+2cos2α=0，所以cos2α=- 12，所以2α= 2π3或2α= 4π3，所以α= π3，β= 2π3．【点评】：本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．。

高一数学下学期期中试题（含解析）一. 填空题1.求值：arccos0=________【答案】2π【解析】【分析】设arccos0=x,x∈[0,]π，直接利用反三角函数求解. 【详解】设arccos0=x,x∈[0,]π，所以cos0,2x xπ=∴=. 故答案为：2π【点睛】本题主要考查反三角函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.一个扇形的弧长和面积都是5，则这个扇形的圆心角大小是________弧度【答案】52【解析】【分析】设扇形的半径为R,圆心角是α，再根据已知得方程组，解方程组即得解. 【详解】设扇形的半径为R,圆心角是α，所以15=5 25RRα⎧⋅⋅⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以5 =2α.故答案为：5 2【点睛】本题主要考查扇形的面积和圆心角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________ 【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ---U U 【解析】【分析】 解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩所以x ∈[1,)(,)(,1]4444ππππ---U U . 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ---U U 故答案为：[1,)(,)(,1]4444ππππ---U U 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.函数tan()3y x π=-的周期为________ 【答案】π【解析】【分析】 由题得函数tan()3y x π=-的最小正周期为π，再利用图像得到函数tan()3y x π=-的周期. 【详解】由题得函数tan()3y x π=-的最小正周期为π， 函数tan()3y x π=-就是把函数tan()3y x π=-的图像在x 轴上的保持不变，把x 轴下方的图像对称地翻折到x 轴上方，如图，所以函数tan()3y x π=-的周期为π.故答案为：π 【点睛】本题主要考查函数的周期，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5.函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0>ω）的振幅是3，最小正周期是25π，初相是2，则它的解析式为________【答案】3sin(52)y x =+【解析】【分析】根据函数的性质求出,,A w ϕ，即得函数的解析式.【详解】因为函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0>ω）的振幅是3，所以A=3. 因为函数的最小正周期是25π，所以22=,55w wππ∴=. 因为函数的初相是2，所以=2ϕ.所以函数的解析式为3sin(52)y x =+.故答案为：3sin(52)y x =+【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，记1OA ，2OA ，3OA ，…，8OA 的长度构成的数列为{}()*,8n a n N n ∈≤，则{}n a 的通项公式n a =__________.()*,8n N n ∈≤【答案】n a n 【解析】根据题意：OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 7A 8=1∴2211n n a a -=+，∴{}2n a 是以1为首项，以1为公差的等差数列 ∴2,n n a n a n =点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7.已知数列{}n a 中，12a =，25a =，212n n n a a a +++=，则100a =________【答案】299【解析】【分析】由212n n n a a a +++=得数列是等差数列，再求出等差数列的通项公式，再求解.【详解】因为212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列，因为12a =，25a =，所以公差3d =.所以2(1)331n a n n =+-=-，所以1003001299a =-=.故答案为：299【点睛】本题主要考查等差数列的判断和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8.在ABC ∆中，3,3sin 2sin AC A B ==，且1cos 4C =，则AB =____________【解析】【分析】根据正弦定理求出BC ，再利用余弦定理求出AB . 【详解】由正弦定理可知：sin sin AC BC B A=，又3sin 2sin A B = sin 22sin 3AC A BC AC B ⋅⇒=== 由余弦定理可知：22212cos 94232104AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=AB ∴=【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.9.关于x 的方程(sin 1)(cos 1)0x x m ++-=恒有实数解，则m 的取值范围是________【答案】 【解析】先化简原方程得sin cos sin cos =1x x x x m ++-，再换元得到22121==122t t t t m -+-+-，再利用方程有解得到m 的取值范围.【详解】由题得sin cos sin cos 10x x x x m +++-=，所以sin cos sin cos =1x x x x m ++-，设sin cos ),[4x x x t t π+=+=∈ 所以21sin cos 2t x x -=， 所以22121==122t t t t m -+-+-，由题得221,[2t t y t +-=∈的值域为1[1,]2+-， 因为关于x 的方程(sin 1)(cos 1)0x x m ++-=恒有实数解，所以1112m -≤-≤，所以0m ≤≤.故答案为：3[0,2+ 【点睛】本题主要考查方程的解的问题，考查同角的正弦余弦的关系和三角函数的值域的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.10.中国古代数学名著《九章算术》中“竹九节”问题曰：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间两节欲均容各多少？”其意为：“现有一根9节的竹子，自上而下的容积成等差数列，下面3节容量为4升，上面4节容积为3升，问中间2节各多少容积？”则中间2节容积合计________升 【答案】4722【分析】根据题意题意设九节竹至下而上各节的容量分别为1a ，2a ，⋯，n a ，公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求得首项和公差，再计算中间两节4a 、5a 的值，再求中间2节总容积.【详解】根据题意，九节竹的每一节容量变化均匀，即其每一节的容量成等差数列， 设至下而上各节的容量分别为1a ，2a ，⋯，n a ，公差为d ，分析可得：123678943a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩， 解可得19566a =，766d =-， 则49574831666666a d =+==（升)， 59567141666666a d =+==（升)． 故中间两节的总容积为813471+1=2=66662222. 故答案为：4722【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．二. 选择题题11.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列各式，其中数列{}n b 必为等差数列的是（ ）A. ||n n b a =B. 2n n b a =C. 1n n b a =D.2n n a b =- 【答案】D【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数，所以三个选项都是错误的；对于选项D ，1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12.下列等式中正确的是（ ） A. cos(arccos )33ππ= B. 1arccos()1202-= C. arcsin(sin)33ππ=D. arctan 24π= 【答案】C【解析】 【分析】 利用反三角函数对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,cos arc x 中x [1,1]∈-,而cos3arc π是错误的，所以该选项错误； 选项B, 12arccos()23π-=,所以该选项是错误的； 选项C,arcsin(sin ),33ππ==，所以该选项是正确的； 选项D, arctan144ππ=≠,反正切函数是定义域上的单调函数，所以该选项是错误的. 故选：C【点睛】本题主要考查反三角函数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13.若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为 A. 16 B. 14 C. 13 D. 12【答案】D【解析】函数tan()(0)4y x πωω=+>的图像向右平移6π个单位得tan[()]tan()6464y x x ππωππωω=-+=-+，所以,646k k Z ωππππ-+=+∈ 16,2k k Z ω=-+∈，所以ω得最小值为12。

2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.若sin(π+α)=√53且α∈(−π2,0)，则cos(π−α)=()A. −23B. −√53C. 23D. ±232.若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=()A. 1B. −1C. 0D. 0或−13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(2x+π3)B. f(x)=2sin(x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π6)D. f(x)=2sin(x+π6)4.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z5.求满足2x(2sinx−√3)≥0，x∈(0,2π)的角α的集合()A. (0,π3) B. [π3,2π3] C. [π3,π2] D. [π2,2π3]6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3acosB+√3bcosA，若c=√7,a=2，则b的值为()A. 3B. 1C. 2D. √2二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）7.点P是角α的终边上的一点，且P(3,−4)，则sinα−cosα=______ ．8.函数y=3sin(π2x+3)的最小正周期为________。

9.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．10.已知(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，则tan(5π+x0)=．11.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，则sinα=______．12.已知，则的值为_________．13.若，则的值为__________．14.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2=4a2，则cos A的最小值为______．15.函数y=2sin(3x+π3)在区间[−π6,π3]上的最小值为__________．16.函数y=x+5x−a在(−1,+∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，求tanα18.设函数的最小正周期为．(1)若f(α2+3π8)=2425，且α∈(−π2,π2)，求tanα的值．(2)“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的简图．(3)y=f(x)的图象经过怎样的图象变换，可以得到y=sinx的图象．y=f(x)→ _____________ →y=sinx19.已知sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，求sin(α+β)的值．20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=√53，∴sinα=−√53，且α∈(−π2,0)，∴cosα=√1−sin 2α=23，则cos(π−α)=−cosα=−23． 故选：A ．已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1． 故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案． 本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f (76π)=−2结合0<φ<π2求出φ的值． 解：由函数过点(2π3,0)，(7π6,−2) 可得A =2，14T =π2ω=7π6−2π3=π2则ω=1，即f (x )=2sin (x +φ)，又f(76π)=−2，即sin(76π+φ)=−1，所以76π+φ=32π+2kπ(k∈Z)，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以函数f(x)=2sin(x+π3)．故选B．4.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x−π6的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．5.答案：B解析：解：∵满足2x(2sinx−√3)≥0，2x>0．∴sinx≥√32，∵x∈(0,2π)，∴π3≤x≤2π3，故选：B．满足2x(2sinx−√3)≥0，化为sinx≥√32，由于x∈(0,2π)，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC =√3sinC ，结合sinC ≠0，可求得tanC =√3，结合范围C ∈(0,π)，可求C ，进而根据余弦定理b 2−2b −3=0，解方程可求b 的值． 解：∵ctanC =√3acosB +√3bcosA ，∴由正弦定理可得：sinCtanC =√3(sinAcosB +sinBcosA)=√3sin(A +B)=√3sinC ， ∵sinC ≠0， ∴可得tanC =√3， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3， ∵c =√7，a =2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得7=4+b 2−2×2×b ×12，可得b 2−2b −3=0， ∴解得b =3，或b =−1(负值舍去)． 故选A ．7.答案：−73解析：解：∵|OP|=√32+(−4)2=5， ∴sinα=−45，cosα=35． ∴sinα−cosα=−45−35=−75．故答案为：−75．利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题．8.答案：4解析：本题考查三角函数的周期公式．依题意，最小正周期为2ππ2=4，即可得到结果．解：因为y=3sin(π2x+3)，所以最小正周期为2ππ2=4，故答案为4．9.答案：2解析：本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．10.答案：−√33解析：本题主要考查正弦函数的图像及性质和正切的诱导公式及周期，属于基础题．首先根据正弦函数的图像和性质求出x0，然后利用诱导公式求正切即可．解：因为(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，所以x0+π6=kπ(k∈Z)，即x0=kπ−π6(k∈Z)，所以tan(5π+x0)=tanx0=tan(kπ−π6)=−tanπ6=−√33．11.答案：5665解析：解：α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，可得cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=45，sinβ=√1−cos2β=513，sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinα=35×1213+45×513=5665．故答案为：5665．利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．12.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．解：，，∴sin2x=cos(π2−2x)=1−2sin2(π4−x)=78．故答案为78.13.答案：解析：，则14.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A的最小值．解：△ABC中，b2+c2=4a2，则a2=14(b2+c2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．15.答案：−√3解析：因为x∈[−π6,π3]，所以3x+π3∈[−π6,4π3]，所以当3x+π3=4π3时，函数y=2sin(3x+π3)有最小值−√3...16.答案：(−5,−1]解析：本题以分式函数为例，考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题.题中的分式函数与反比例函数有关，因此用反比例函数的图象研究比较恰当．根据题意，将题中的函数分离常数，变形为y=1+a+5x−a ，进而研究反比例函数y=a+5x在区间(0,+∞)上是一个单调减的函数，从而得出实数a的取值范围．解：函数y=x+5x−a =1+a+5x−a函数的图象可由函数y=a+5x的图象先向右平移a个单位，再向上平移1个单位而得，∵函数在(−1,+∞)上单调递减，∴{a +5>0a ≤−1，可得−5<a ≤−1， 故答案为(−5,−1]．17.答案：解：(1)由f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−cosαsinα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=−cosα． (2)∵f(α)=45，即cosα=−45，α为第三象限角，那么：sinα=−√1−cos 2α=−35可得tanα=sinαcosα=34．解析：(1)根据诱导公式化简可得f(α)；(2)利用同角三角函数关系式即可得解．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)∵函数的最小正周期为， ∴2πω=π，∴ ω=2.可知f(x)=sin(2x −3π4) ， 由f(α2+3π8)=2425得：sinα=2425， ∵−π2<α<π2， ∴cosα=725，∴tanα=247.(2)由(1)知f(x)=sin(2x −3π4)，于是有： x 0 π8 5π8π y −√22−1 0 1 0 −√22描点，连线，函数y =f(x)在区间[0,π]上的图象如下：(3)把y =f(x)=sin(2x −3π4)图象上点的横坐标变为原来的2倍， 可得函数y =sin(x −3π4)的图象； 再把图象向左平移3π4个单位长度，可得函数y =sinx 的图象.解析：本题主要考查正弦函数的性质，用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)由周期可得：f(x)=sin(2x −3π4)，然后利用已知结合α的取值范围求解．(2)用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．19.答案：解：∵sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，∴cosα=−√1−sin 2α=−√53，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23×(−35)+(−√53)×(−45)=4√5−615． 解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20.答案：解：在△ABC 中，∠BAC =15°，AB =100米，∠ACB =45°−15°=30°. (3分)根据正弦定理有100sin30∘=BC sin15∘，∴BC =100sin15°sin30∘. (6分)又在△BCD 中，∵CD =50，BC =100sin15°sin30∘，∠CBD =45°，∠CDB =90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a=√3cos2x+sin2x+a=2sin(2x+π3)+a≤2+a=1，∴a=−1；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)=f(x+π6 )=2sin[2(x+π6)+π3]−1=2sin(2x+2π3)−1．当x∈[0,π2]时，2x+2π3∈[2π3,5π3]，故当2x+2π3=3π2时，sin (2x+2π3)=−1，函数g(x)取得最小值为−2−1=−3．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+π3)+a，可得a=−1．(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)=2sin(2x+2π3)−1.再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的图像和性质求得函数g(x)的最小值．。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件2.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）A. B.C. D. （1-sin1cos1）R23.已知△ABC内接于单位圆，则长为sin A、sin B、sin C的三条线段（ ）A. 能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B. 能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C. 能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D. 不一定能构成一个三角形4.已知函数，，则下列说法正确的是A.与的定义域都是B. 为奇函数，为偶函数C. 的值域为的值域为D.与都不是周期函数二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，则cosα=______．6.若，则cos2α=______．7.已知tan（π-θ）=3，则=______．8.已知，则=______．9.已知，则cosα=______．10.函数的最小正周期为______．11.函数y=cos2x+2sin x-2的值域为______．12.下图为函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD的中点，且△OMB为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）=______．13.已知方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是______．14.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点及点C处，且小区里从D沿DA 有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为______（精确到1米）．15.设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）=______．16.已知函数f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间内没有零点，则ω的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可）19.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=1，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用θ表示S1和S2；（2）当θ变化时，求的最小值，及此时角θ的大小．20.某种波的传播是由曲线f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．（1）已如“1类波”中的两个波，与加后是一个“A类波”，求A的值；（2）已知三个不同的“A类波”，从f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3）（其中φ1、φ2、φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y=0，即f1（x）+f2（x）+f3（x）=0，求cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）的值．21.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x x1x2ωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010-10f（x）00y20（1）请写出上表的x1、x2、y2，及函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式及的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，若在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由正弦定理知=2R，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2R sin A，b=2R sin B，∴sin A＞sin B故选：A．由正弦定理知，由sin A＞sin B，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．2.【答案】D【解析】解：l=4R-2R=2R，α===2，可得：S扇形=lR=×2R×R=R2，可得：S三角形=×2R sin1×R cos1=sin1•cos1•R2，可得：S弓形=S扇形-S三角形=R2-sin1•cos1•R2=（1-sin1cos1）R2．故选：D．通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，弓形面积的求法，考查计算能力，注意弓形面积的求法．3.【答案】C【解析】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，∴a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C∵a，b，c为三角形的三边∴sin A，sin B，sin C也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选：C．设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，可得a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C由a，b，c为三角形的三边判断即可本题主要考查了正弦定理的变形形式a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C（R为三角形外接圆的半径）的应用，属于中档试题．4.【答案】C【解析】解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误.B．f（-x）=cos（sin（-x））=cos（-sin x）=cos（sin x）=f（x），则f（x）是偶函数，故B错误.C．∵-1≤sin x≤1，-1≤cos x≤1，∴f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域[-sin1，sin1]，故C正确.D．f（x+2π）=cos（sin（x+2π））=cos（sin x）=f（x）则f（x）是周期函数，故D错误.故选：C．根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．5.【答案】【解析】解：∵角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，在角α的终边上任意取一点（-1，1），则cosα==-，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】【解析】解：因为sinα=，所以cos2α=1-2sin2α=1-2×=．故答案为：．把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sinα的值代入即可求出值．通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．7.【答案】【解析】解：∵tan（π-θ）=-tanθ=3，∴tanθ=-3，则=．故答案为：．由已知利用诱导公式求tanθ，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.【答案】【解析】解：∵已知，∴cosα=-=-，则=sinαcos+cosαsin=-=，故答案为：．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin （α+）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，所以：，解得：，所以：，整理得：，解得：（负值舍去），故=，故答案为：．直接利用三角函数关系式的变换和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】2π【解析】解：函数的最小正周期是函数y=sin的周期的一半，而函数y=sin的周期为=4π，故函数的最小正周期是2π，故答案为：2π．利用y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，而y=sinωx的周期为，得出结论．本题主要考查三角偶函数的周期性，利用了y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，y=sinωx的周期为，属于基础题．11.【答案】[-4，0]【解析】解：y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-（sin x-1）2，∵x∈R，∴sin x∈[-1，1]，∴当sin x=1时，y max=0；当sin x=-1时，y min=-4，∴函数y的值域为[-4，0]．故答案为：[-4，0]．由y=cos2x+2sin x-2可得由y=-（sin x-1）2，再利用二次函数的相关性质求出最值即可．本题考查了函数的性质及其应用，考查了转化思想和整体思想，属基础题．12.【答案】2sin（x+）【解析】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A=2，根据△OMB为等腰直角三角形，可得M（-1，0），D（1，2），∴•=1-（-1），解得ω=；∴函数f（x）=2sin（x+φ），又由M（-1，0）是f（x）图象上的点，由正弦函数的图象与性质知，×（-1）+φ=0，可得φ=，∴f（x）=2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．由已知点E得出A的值，再根据△OMB为等腰直角三角形可得M、D的坐标，从而求得ω和φ的值．本题主要考查了正弦型函数的图象与性质应用问题，是基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的有解问题，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的图象与性质，分析求解m 的范围．【解答】解：m+1=sin x+cos x=2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，作出函数y=2sin（x+），x∈[0，π]的图象，如图：方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，即函数y=2sin（x+），x∈[0，π]与直线y=m+1有两个交点，由图可得，m+1∈，可得m∈．故答案为：．14.【答案】445米【解析】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2-2CD•OD•cos60°=OC2即，5002+（r-300）2-2×500×（r-300）×=r2解得r=≈445（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2-2•CD•AD•cos120°=5002+3002+2×500×300×=7002．∴AC=700（米）．cos∠CAD==．在直角△HAO中，AH=350（米），cos∠HAO=，∴OA==≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．故答案为：445米．法一：连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．法二：连接AC ，作OH⊥AC，交AC于H，由余弦定理可求AC，cos∠CAD，在直角△HAO中，利用三角函数的定义可求OA=的值．本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．15.【答案】1【解析】解：∵α1，α2∈R，且，∴sinα1+2=1，2+sin（2α2）=1，求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，∴α1=2kπ-，且2α2=2nπ-，k、n∈Z，∴α2=nπ-，∴α1+α2=（2k+n）-，∴tan（α1+α2）=tan（-）=1，故答案为：1．由题意可得求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，求得α1和α2的值，可得tan（α1+α2）的值．本题主要考查三角函数的求值问题，属于基础题．16.【答案】【解析】解：f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1=sin2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-），（ω＞0），由f（x）=0得2ωx-=kπ，即x=+，k∈Z，∵函数f（x）在区间内没有零点，∴x=+∉（，π），若+∈（，π），则＜+＜π，得ω-＜k＜2ω-，若函数f（x）在区间内没有零点，等价为在（ω-，2ω-）内没有整数，则≥=，即0＜ω≤1，若（ω-，2ω-）内有整数，则当k=0时，由ω-＜0＜2ω-，得，即＜ω＜，若当k=1时，由ω-＜1＜2ω-，得，即＜ω＜，此时＜ω≤1，当k=2时，由ω-＜2＜2ω-，得，即＜ω＜，此时ω超出范围，即若（ω-，2ω-）内有整数，则＜ω＜或＜ω≤1，则若（ω-，2ω-）内没有整数，则0＜ω≤或≤ω≤，即ω的取值范围为（0，]∪[，]，故答案为：（0，]∪[，]利用倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合f（x）在区间内没有零点，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数零点的应用，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数零点问题件转化是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）由于，则有3tan2α+8tanα-3=0，解得或tanα=-3，∵，∴tanα=-3；（2）=-cos2α=-（cos2α-sin2α）====．【解析】（1）运用同角的倒数关系，解方程，即可得到；（2）运用诱导公式和二倍角的余弦公式及同角的平方关系和商数关系，计算即可得到．本题考查同角的平方关系和商数关系、倒数关系及诱导公式、二倍角的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）由2b cos A=c cos A+a cos C代入正弦定理得：2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C即2sin B cos A=sin（C+A）=sin B≠0∴cos A=又0＜A＜π∴A=（2）选①③由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A∴b2+3b2-3b2=4∴b=2，c=2∴S=选①②由正弦定理得：又sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=∴S=选②③这样的三角形不存在．【解析】（1）化简，利用正弦定理，推出关系式，然后求出A 的值．（2）选①③通过余弦定理，求出b，c，求出三角形的面积；选①②通过正弦定理求出的值，推出sin C的值，然后求出面积；选②③这样的三角形不存在．本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，逻辑推理能力．19.【答案】解：（1）∵BC是半圆的直径，A在半圆上，∴AB⊥AC，又BC=1，∴AB=cosθ，AC=sinθ，所以：S1=•AB•AC=sinθcosθ；设正方形的边长为x，则：BP=，AP=x cosθ，由BP+AP=AB，得：+x cosθ=cosθ，解得：x=，所以：S2=x2=（）2．（2）===+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为0＜θ＜，所以：0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]，所以：=++1，令g（t）=++1（0＜t≤1），则g′（t）=-+=＜0，所以函数g（t）在（0，1]上递减，因此：当t=1时，g（t）取得最小值g（1）=1++1=，此时：sin2θ=1，解得θ=．所以：当θ=时，的值最小，最小值为．【解析】（1）据题三角形ABC为直角三角形，利用三角函数分别求出AC和AB，得出三角形ABC的面积S1，设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC ，由BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2，（2）化简比值，设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．20.【答案】解：（1）与加后是一个“A类波”，即：f1（x）+f2（x）=sin（x+）+sin（x+）=sin x cos+cos x sin+sin x cos+cos x sin=sin x+cos x=sin（x+）；由定义解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以：A=；（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得：（cosφ1+cosφ2+cosφ3）sin x+（sinφ1+sinφ2+sinφ3）cos x=0，易得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；①sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；②由两式变型平方可得：cosφ1+cosφ2=-cosφ3；sinφ1+sinφ2=-sinφ3；两式左右完全平方相加可得：2+2cos（φ1-φ2）=1；cos（φ1-φ2）=-；同理可得：cos（φ2-φ3）=-；cos（φ3-φ1）=-；∴cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）=-．【解析】（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sin x+（sinφ1+sinφ2）cos x ，由辅助角公式可求得A的值．（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；由两式变型平方可得结论．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，辅助角公式，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题21.【答案】解：（1）由表格根据五点法作图的规律，可得+=x1-=x2-x1=-x2，解得x1=，x2=，A=，y2=-，f（x）=sin（x+）．（2）将函数f（x））=sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x-+）=-sin x的图象；再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin x的图象．函数=[sin x-]，由sin x-＞0，可得sin x＞，,要求函数的单调递增区间，即求y=sin x的减区间，而y=sin x的减区间为[，），故的单调递增区间为[，）．（3）=3sin2x+a sin x-1，令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，令t=sin x（sin x≠0且0＜x≤2π），则t∈[-1，0）∪（0，1]，a=，则函数y=在[-1，0）和（0，1]上单调递减，且t=1时y=2，当t=-1时，y=-2∴当y∈（-2，2）时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在4个实根，当y∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，y=t与y=有一个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在2个实根，当y=2或y=-2时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在3个实根．∵在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，∴当x∈（2018π，2019π）时，F（x）只可能存在2个零点，因此只有a=2时符合条件，∴x∈（0，2019π）时F（x）的零点为：个．【解析】（1）根据表中的数据直接求解个值即可；（2）由条件得到g（x）的图象，然后在由求出单调区间；（3）令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，根据F（x）在（0，2π]上的零点情况，得到a 的值，然后在根据a的值求出零点的个数．本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列命题正确的是（ ）A. 第一象限的角都是锐角B. 小于的角是锐角C. 2019°是第三象限的角D. 2019°是第四象限的角2.“sinα=sinβ”是“α=β”的________条件（ ）A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要3.在△ABC中，内角A、B满足sin2A=sin2B，则△ABC的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.设MP与OM分别是角的正弦线和余弦线，则（ ）A. MP＜OM＜0B. MP＜0＜OMC. OM＜MP＜0D. OM＜0＜MP二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.与终边相同的角的集合是______．6.若tanθ＜0且sinθ＜0，则θ是第______象限的角．7.已知角α的终边经过点（-3，4），则sinα+cosα=______．8.已知，且α是第四象限的角，则cscα=______，9.若sin x+cos x=，则sin2x=______．10.把化成A sin（α+ϕ）（A＞0）的形式______（注：ϕ不唯一）．11.若cosα=-，α∈（，π），则sin（α+）=______．12.=______．13.化简：=______．14.若且，则sin2α=______．15.已知且，则=______．16.在△ABC中，a=4，A=30°，请给出一个b值______，使该三角形有两解．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知一个扇形的周长为20cm，当它的圆心角为多大时，该扇形的面积最大？并求面积的最大值．18.已知tanθ=a，（a＞1），求的值．19.修建铁路时要在一个大山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D、E之间的距离，测量人员在山的一侧选取点C，因有障碍物，无法测得CE、CD的距离，现测得CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，又测得A、B两点到隧道口的距离分别是80.13米、40.24米（A、D、E、B在同一条直线上），求隧道DE的长（精确到1米）．20.已知，求x+2y的值．21.在△ABC中，已知边，角B=45°，面积．求：（1）边c；（2）角C．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A错误，B．α=-＜，但α不是锐角，故B错误，C.2019°=5×360°+210°，∵210°是第三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C正确，D．由C知2019°是第三象限的角，不是第四象限角，故D错误，故选：C．结合象限角的定义分别进行判断即可．本题主要考查与象限角有关的命题的真假判断，结合象限角的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：“sinα=sinβ”时，由正弦函数的图象和性质可知：α=β+2kπ，k∈Z，或α=π-β+2kπ，k∈Z，∴“sinα=sinβ”不能推出“α=β”所以：“sinα=sinβ”是“α=β”的非充分条件．当“α=β”时，一定推出“sinα=sinβ”，所以：“α=β”是“sinα=sinβ”的充分条件．“sinα=sinβ”是“α=β”的必要条件．综上：“sinα=sinβ”是“α=β”的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．是基础题3.【答案】D【解析】解：法1：∵sin2A=sin2B，∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0，∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，∴A+B=90°或A=B，则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形．故选：D．解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．4.【答案】D【解析】解：作出单位圆，以及角的正弦线和余弦线，则由图象知，OM＜0＜MP，故选：D．作出单位圆，利用正弦线和余弦线的定义判断即可．本题主要考查三角函数线的大小判断，结合三角线的定义是解决本题的关键．5.【答案】{α|α=2kπ+，k∈Z}【解析】解：与终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+，k∈Z}，故答案为：{α|α=2kπ+，k∈Z}根据终边相同角的定义进行求解即可．本题主要考查终边相同角的求解，结合终边相同角的定义是解决本题的关键．6.【答案】四【解析】解：∵tanθ＜0，∴θ位于第二象限或第四象限，∵sinθ＜0，∴θ位于第三象限或第四象限或y轴的非正半轴，综上θ位于第四象限，故答案为：四结合三角函数值的符号和象限之间的关系进行判断即可．本题主要考查角的象限的判断，结合三角函数的符号和象限之间的关系是解决本题的关键．7.【答案】【解析】解：∵角α的终边经过点（-3，4），∴x=-3，y=4，r==5∴sinα=，cosα=-∴sinα+cosα=-=故答案为：利用三角函数的定义，求出sinα、cosα，即可得到结论．本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．8.【答案】-【解析】解：∵，且α是第四象限的角，∴sinα=-=-，∴cscα==-．故答案为：-．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】-【解析】解：已知等式两边平方得：（sin x+cos x）2=1+2sin x cosx=1+sin2x=，则sin2x=-．故答案为：-已知等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x的值．此题考查了二倍角的正弦，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10.【答案】2sin（α+）【解析】解：∵=2（sinα+cosα）=2sin（α+），故答案为：2sin（α+）．由题意利用辅助角公式，求得结果．本题主要考查辅助角公式的应用，属于基础题．11.【答案】【解析】解：由α∈（，π），cosα=-，得到sinα==，则sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×-×=．故答案为：根据α的范围，由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意α的取值范围．12.【答案】1【解析】解：由于：==2，故：=log22=1．故答案为：1直接利用三角函数关系式的变换和对数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，对数的运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．13.【答案】1【解析】解：==1．故答案为：1．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由于且，则：cos，所以：sin2=故答案为：直接利用三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：∵，可得：＜＜，可得：＞0，又∵=1-2sin2，∴解得：=．故答案为：．由已知可求＜＜，可得＞0，根据已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】（4，8）【解析】解：由正弦定理有：∴，∵△ABC有两解，∴B＞A，∴，即，∴4＜b＜8所以b的取值范围为：（4，8）．故答案为：（4，8）．利用正弦定理求出sin B，然后根据三角形有两解得到sin B＜1，b＞a即可．本题考查了正弦定理和三角形解得个数问题，属基础题．17.【答案】解：设扇形的半径为r，则扇形的弧长l=20-2r，∴S扇形=lr=（20-r）=-r2+10r=25-（r-5）2，∴当r=5时，扇形的面积最大值为25cm2，∴此时扇形的圆心角α===2．【解析】设扇形的半径为r，由题意可求扇形的弧长l=20-2r，利用扇形的面积公式及配方法可得S扇形=25-（r-5）2，即可得解．本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，考查了配方法的应用，属于基础题．18.【答案】解：原式===．即：=．【解析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanθ=a，求出结果即可．本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．19.【答案】解：根据题意，如图：△ABC中，CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，则AB2=CB2+CA2-2CB•CA cos∠ACB=293557.0525，则AB≈541.81，则DE=AB-AD-BE≈421米；故隧道DE的长约421米．【解析】根据题意，由余弦定理求出AB的长，又由DE=AB-AD-BE，计算即可得答案．本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式，属于基础题．20.【答案】解：∵已知，∴cos y==，∴tan y==，∴tan2y==＞0，故2y仍为锐角．∴tan（x+2y）==1，∴x+2y=，【解析】利用同角三角函数的基系求得tan y的值，利用二倍角的正切公式求得tan2y的值，可得2y为锐角，利用两角和的正切公式求得tan（x+2y）的值，可得x+2y的值．本题主要考查同角三角函数的基系，二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．21.【答案】解：（1）根据题意，△ABC中，，B=45°，面积，则有ac sin B=3+，则c=+；（2）根据题意，b2=a2+c2-2ac cos B=（2）2+（+）2-2×2（+）cos45°=8，则b=2，则cos A==，则A=60°，C=180°-A-B=75°．【解析】（1）根据题意，由三角形面积公式可得ac sin B=3+，解可得c的值，即可得答案；（2）根据题意，由余弦定理可得b的值，进而由余弦定理求出cos A的值，即可得A的大小，由三角形内角和定理分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题．。

2019-2020学年上海市金山中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A. x>3B. x<3C. x>1D. x<12.将函数y=sin2x的图象向右平移π4，所得图象的函数解析式为()．A. y=sin(2x+π4) B. y=sin(2x–π4)C. y=–cos2xD. y=cos2x3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S33−S22=1，则数列{a n}的公差是()A. 12B. 1C. 2D. 34.已知函数，x∈[0,7π3]有三个不同的零点x1,x2,x3，且x1<x2<x3，则x1+2x2+x3的值为()A. 10π3B. 4π C. 11π3D. 不能确定二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.−1445°是第________象限角．6.若扇形的弧长为2，半径为1，则扇形面积是_________7.若tanθ=2，则3cosθ−sinθcosθ+sinθ=________．8.已知y=f(x)是定义在[1,4)上的函数，则函数y=f(2x+1)的定义域为__________．9.数列{a n}前n项和为S n，若a n=(2n−1)sin(nπ2+2019π)，则S2019=__________．10.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有一点A(3,−4)，则sin(θ+π2)= ______ ．11.已知cos(π2−α)=35,α∈(π2,π)，则sin(α+π3)=______ ．12. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A 、B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______ 米.13. 已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 2+a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n =______． 14. 在数列√1，√2，√3，2，√5…中，第9个数是______． 15. 函数f(x)=x −x 3,x ∈[0,2]的值域为______．16. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω=________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知α，β∈(0,π)，且tan(α−β)=12，tanβ=−17(1)计算tanα、tan2α的值 (2)求2α−β的值．18. 已知函数f(x)=1−2x1+2x(1)分别求出f (1)，f (a )的值．(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明；19.已知函数f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3；(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性与最值．20.已知：等差数列{a n}中，a4=14，前10项和S10=185.求首项a1和a n．21.已知函数f(x)=2cos2x+√3sin2x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)−m=2在x∈[π6,π3]上有解，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查了充分条件与必要条件的知识，考查了学生的分析能力，属基础题．根据题意进行判断它的一个必要不充分条件．解：由x>2可得x>1，但x>1不一定满足x>2，所以x>2的一个必要不充分条件是x>1．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．解：函数y=sin2x的图象向右平移π4个单位，那么所得的图象的函数解析式是y=sin2(x−π4)=sin(2x−π2)=−cos2x，故选C.3.答案：C解析：解：S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S2=a1+a2=2a1+d，∴S33−S22=d2=1∴d=2故选：C．先用等差数列的求和公式表示出S3和S2，进而根据S33−S22=d2，求得d．本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．4.答案：A解析：本题考查函数的零点与方程根的关系和正弦函数的对称性，属于中档题．设t=x+π6，画出y=m与y=sint在t∈[π6,5π2]上的函数图像，由正弦函数的对称性即可求解．解：令，则，设t=x+π6，则y=sint，由x∈[0,7π3]可得t∈[π6,5π2]，做出函数y=sint，t∈[π6,5π2]和函数y=m的图象，要使得函数有三个零点，则两函数图象有三个交点，则12≤m<1，由正弦函数的对称性可知，所以．故选A．5.答案：四解析：本题考查象限角及终边相同角的应用，属于基础题目．解：−1445°=−360°×4−5°，所以−1445°角的终边与−5°的终边位置相同，故−1445°是第四象限角．故答案为四．6.答案：1解析：本题考查扇形面积公式的应用，属于基础题．直接代入扇形面积公式即可．解：因为扇形的弧长为2，半径为1，所以扇形面积是12×2×1=1．故答案为1．7.答案：13解析：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．把分子分母都除以cosθ，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．解：∵tanθ=2，∴3cosθ−sinθcosθ+sinθ=3−tanθtanθ+1=3−22+1=13．故答案为13．8.答案：[0,32)解析：因为函数y =f(x)的定义域为[1,4)，令1≤2x +1<4，解得0≤x <32，所以函数y =f(2x +1)的定义域为[0,32).故答案为：[0,32)．9.答案：2020解析：本题考查数列的求和，注意分析数列中的项的特点，考查等差数列的求和公式的运用，属于基础题． 求得数列的前四项，得到数列的偶数项为0，奇数项的绝对值为等差数列，计算可得所求和． 解析：解：若a n =(2n −1)sin(nπ2+2019π)， 可得a 1=sin(π2+2019π)=−1； a 2=3sin(π+2019π)=0； a 3=5sin(3π2+2019π)=5；a 4=7sin(2π+2019π)=0， …，即偶数项为0，奇数项的绝对值为等差数列，可得S 2019=(−1+5)+(−9+13)+(−17+21)+⋯+(−4033+4037) =4×505=2020． 故答案为：2020．10.答案：35解析：解：由题意可得，x =3、y =4、r =5，∴cosθ=xr =35， ∴sin(θ+π2)=cosθ=35 故答案为：35．根据任意角的三角函数的定义求得cosθ=xr 的值，再利用诱导公式化简所求表达式，计算求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．11.答案：3−4√310解析：解：cos(π2−α)=35,α∈(π2,π)，可得sinα=35，cosα=−45，sin(α+π3)=sinαcosπ3+cosαsinπ3=35×12−45×√32=3−4√310．故答案为：3−4√310．求出角的余弦函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．本题考查两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式诱导公式的应用，考查计算能力．12.答案：20√63解析：本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，正弦定理的应用，是中档题．结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可．解：根据图形知，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，由正弦定理得，BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12√22=20√2，在Rt△BCD中，∠BDC=30°，所以CD=BCtan30°=20√2×√33=20√63．故答案为：20√63．13.答案：n2解析：本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，属于中档题． 利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出． 解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1=1，a 2+a 3=8， ∴2×1+3d =8，解得d =2． 则数列{a n }的前n 项和S n =n +n(n−1)2×2=n 2．故答案为：n 2．14.答案：3解析：本题考查数列的概念以及通项，属于基础题．通过观察可知数列√1，√2，√3，2，√5…的第9个数是√9=3． 解：由数列√1，√2，√3，2，√5…，可写为√1，√2，√3，√4，√5，…， 可得1，2，3，4，5，…为等差数列，公差为1，首项为1， ∴数列的第n 项为：√n ， 则第9个数是√9=3． 故答案3．15.答案：[−6,2√39]解析：本题主要考查了函数的定义域与值域，利用导数研究闭区间上函数的最值，属于基础题． 先求出函数的导数，求出函数在闭区间内的极值点，代入解析式求值即可得出值域． 解：函数f(x)=x −x 3,x ∈[0,2]， f′(x)=1−x 2，在x ∈[0,2]内， 当x =√33时，f′(x)=0，f(x)在(0,√33)单调递增，在(√33,2)单调递减，f(0)=0−03=0，f(2)=2−23=−6，f(√33)=√33−(√33)3=2√39，故答案为[−6,2√39]． 16.答案：23解析：本题主要考查函数y =Asin (ωx +φ)的图象与性质．解：根据题意得，34T =15π8−(−3π8)=9π4， 解得T =3π，所以ω=2πT =2π3π=23， 故答案为23．17.答案：解：(1)∵tan(α−β)=12，∴tanα−tanβ1+tanαtanβ=12…(2分)而：tanβ=−17，∴tanα+171−17tanα=12，解得tanα=13…(5分) ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×131−(13)2=34…(7分)(2)tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=34+171−34×17=1.…(9分) ∵tanα=13>0，α∈(0,π)，∴0<α<π2，0<2α<π∵tan2α=34>0∴0<2α<π2，…(11分)∵tanβ=−17<0，β∈(0,π)，∴π2<β<π，…(12分) ∴−π<2α−β<0，…(13分)∴2α−β=−3π4. …(15分)解析：(1)利用差角的正切公式，求出tanα；利用二倍角公式求出tan2α的值；(2)先求出tan(2α−β)=1，再确定−π<2α−β<0，即可求2α−β的值．本题考查两角和与差的正切函数，考查知值求角，考查学生的计算能力，属于中档题．18.答案：(1)解：∵f(x)=1−2x1+2x∴f(1)=1−21+2=−13，f(a)=1−2a2a+1；(2)证明：∵x∈R，∴函数f(x)=1−2x1+2x的定义域关于原点对称，∵f(−x)=1−2−x2−x+1=1−12x12x+1=2x−11+2x=−f(x)，∴f(x)是奇函数．解析：本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性的证明，属于基础题．(1)将x=1和x=a直接代入，即可求出f(1)，f(a)的值；(2)利用奇偶性的定义，进行判断并证明．19.答案：解：(1)由tan x有意义得x≠π2+kπ，，∴f(x)的定义域是，f(x)=4tanxcosxcos(x−π3)−√3=4sinxcos(x−π3)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3 =sin2x+√3(1−cos2x)−√3=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3 ).∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，．令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，．[−π12+kπ,5π12+kπ]∩[−π4,π4]=[−π12,π4]，[5π12+kπ,11π12+kπ]∩[−π4,π4]=[−π4,−π12]，∴f(x)在[−π12,π4]上单调递增，在[−π4,−π12]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(−π12)=−2，又f(−π4)=−1，f(π4)=1，∴f(x)的最大值为f(π4)=1．解析：本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．(1)根据tan x有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简f(x)，得出f(x)的周期；(2)根据正弦函数的单调性求出f(x)的单调区间，根据单调性计算最值．20.答案：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=14，前10项和S10=185．∴{a1+3d=1410a1+10×92d=185，解得首项a1=5，d=3．∴a n=5+3(n−1)=3n+2．解析：设等差数列{a n}的公差为d，由于a4=14，前10项和S10=185.可得{a1+3d=1410a1+10×92d=185，解出即可．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)化简可得f(x)=2cos2x+√3sin2x=1+cos2x+√3sin2x=1+2cos(2x−π3)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)∵x∈[π6,π3]，∴2x−π3∈[0,π3]，∴cos(2x−π3)∈[12,1]，∴f(x)的值域为[2,3]，方程f(x)−m=2可化为f(x)=m+2，∴m+2∈[2,3]，∴m+2∈[0,1]，∴实数m的取值范围为：[0,1]解析：(1)由三角函数公式化简可得f(x)=1+2cos(2x−π3)，由周期公式可得；(2)由x∈[π6,π3]和三角函数的知识可得f(x)的值域为[2,3]，进而可得m+2∈[2,3]，可得实数m的取值范围．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．。

2020学年七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，直接填写结果，1-6每题4分，7-12每题5分．1．已知角α的终边经过点(2,3)P -，则cot α的值是________． 2．函数3sin 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期是________． 3．已知4sin 5α=，且α是第二象限角，则tan α的值是________． 4．已知tan 2θ=，则sin cos(2)23cos sin()2πθπθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭________． 5．若,αβ为锐角，且1sin ,cos 72αβ==，则cos()αβ+=________． 6．方程sin x x -=[0,2]π上的解组成的集合为________．7．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin 2sin ,A C a c ac b =+-=，则C ∠=________． 8．函数cos 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，[2,2]x ππ∈-的严格递增区间是________． 9．函数cos(2)y x ϕ=+的图像向右平移2π个单位长度后与函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像重合，则||ϕ的最小值为________．10．在等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，2CA CB ==，M 是CB 中点，点点D 是AC 上一点，若1sin 3BDM ∠=，则CD =________．11．设ABC 的内角A 、B 、C 满足6cos a bC b a=+，则cot cot A B +的最小值为________． 12．在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(1,0)B ，若对于y 轴上的任意5个不同的点12345,,,,P P P P P ，总存在两个不同的点,(,{1,2,,5})i j P P i j ∈，使得sin sin ij APB AP B λ∠-∠≤，则λ的最小值为________．二、选择题（本大题满分20分每题5分）13．在ABC 中，已知sin2sin2A B =，则ABC 该的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰或直角三角形14．赵爽是我国古代数学家、天文学家．约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．4D ．915．在ABC 中，已知30,18A b =︒=，设(0)a x x =>以下说法错误的是（ ） A ．若ABC 有两解，(9,18)x ∈ B ．若ABC 有唯一解，[18,)x ∈+∞ C ．若ABC 无解，(0,9)x ∈ D ．当10x =，ABC 外接圆半径为1016．已知,,k k Z αβπ≠∈，则“sin()sin sin αβαβ+=+”是“2,n n Z αβπ+=∈”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．17．（1）证明：4421sincos 1sin 22ααα+=-；（2）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin ,120a c B b C ===︒，求ABC 的面积S ．18．已知11tan ,tan()32ααβ=+=，且,αβ是锐角． （1）求tan β的值； （2）求2αβ+的值．19．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60,,PBA QAB AQ QP PB OM QP ∠=∠=︒==⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，（1）用θ表示OM 的长度；（2）若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OM 最长时，该奖杯比较美观的长度以及θ的大小． 20．已知函数()y f x =，其中()tan ,03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，（1）若2ω=，求函数()y f x =的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数()y f x =在[0,]π上严格递增，求ω的取值范围；（3）若函数()y f x =在[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：方程()f x =[,]a b 上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的[,]a b 中，b a -的最小值不小于2021，求ω的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系中．锐角,αβ的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，角αβ+的终边与单位圆交丁C 点，过点A 、B 、C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 、P ．（1）如果3||5AM =，5||13ON =，求cos()αβ-的值； （2）求证：线段,,MA NB PC 能构成一个三角形；（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2020学年七宝中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题1．23-2．23π 3．43- 4．12- 5．1114 6．713,1212ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 7．6π 8．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．56π10解答：设DC x =，则DM =，DB =BDM 中，1sin sin sin BM DM BDM B BDM =⇒=∠∠sin 3BDM x ⇒∠==⇒=CD =．11解答：由题意得22111cos 0,arccos 633a b C C ab +⎛⎤=⋅≥⇒∈ ⎥⎝⎦， 另一方面，2222222213cos 622a b a b c C a b c ab ab ++-=⋅=⇒+=，()2222cos cos sin 1cot cot sin sin sin sin sin sin 3a b A B C c A B A B A B ab C C ab++=+===⋅216cos 4cot 4cot arccos 3sin 3C C C ⎛⎫=⋅=≥= ⎪⎝⎭1arccos ,3C A B ==．12．14解答：由于(0,]i APB π∠∈，因此sin [0,1],{1,2,,5}i APB i ∠∈∈⋅⋅⋅ 若14λ<，取点i P 使得12312(1)sin 0,sin ,sin 55APB AP B AP B λλ++∠=∠=∠=， 453(1)sin ,sin 15AP B AP B λ+∠=∠=，则对任意的两个点,i j P P ，都有sin sin ij APB AP B λ∠-∠>，而当14λ=， 把区间[0,1]分成1122330,,,,,,,1444444⎡⎫⎡⎫⎡⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎭⎣⎭⎣⎦这4个区间，则12345,,,,P P P P P 中必有两个点,i j PP 使得sin ,sin i j APB AP B ∠∠落在同一区间中，故1sin sin 4i j APB AP B λ∠-∠≤=． 二、选择题13．D 14．A 15．B 16．C解答：sin()sin sin sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβαβ+=+⇔+=+1cos cos 1tan tan 2()sin sin 2222n n n Z βααβαβπαβπβα--⇔=⇔=-⇔=-+⇔+=∈，故选C ．三、解答题17．解：（1）左边()222222211sin cos 2sin cos 1(2sin cos )1sin 222ααααααα=+-=-=-； 7分（2）sin sin sin sin 2126a c B A C B a a =⇒=⇒==⇒=， 11分所以11sin 61822S ab C ==⨯⨯=． 14分18．解：（1）11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯； 7分（2）由于1tan()2αβ+=，且,αβ均为锐角，所以0,2(0,)2παβαβπ⎛⎫+∈⇒+∈ ⎪⎝⎭， 9分 11tan()tan()23tan(2)tan()1111tan()tan()123αβααβαβααβα++++=++===-+-⨯， 12分所以24παβ+=． 14分19．解：（1）20sin AB θ=，10cos OC θ=， 2分 设AQ QP BP x ===，作QE AB ⊥交AB 于E ，PFAB ⊥交AB 于F ，∵60PBA QAB ∠=∠=︒，∴12AE BF x ==，CM PF ==， EF QP x ==，∴2AB x =，则20sin 2AB x θ==，即10sin x θ=， 5分10cos 10cos OM OC CM x θθθ=+=+=+； 7分 （2）10cos )OM θθθϕ=+=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=， 9分当sin()1θϕ+=，cos cos()cos()cos sin()sin sin 7θθϕϕθϕϕθϕϕϕ=+-=+++==， 12分因此，当arccos7θ=时，OM最长为 14分 20．解：（1）2π；,064k ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭； 4分 （2[0,],0,3332x x πππππωωπ⎡⎤⎡⎫∈⇒+∈+⊆⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故10,326ππωπω⎛⎫+<⇒∈ ⎪⎝⎭； 10分（3）()tan 333f x x x k πππωωπ⎛⎫=⇒+=⇒+=+ ⎪⎝⎭，,k x k x k Z πωπω⇒=⇒=∈， 12分结合图像可得b a -至少包含2020个周期， 即20202020b a T πω-≥=⋅，所以b a -的最小值为2020πω⋅， 14分 2020202020210,2021πωπω⎛⎤⋅≥⇒∈ ⎥⎝⎦． 16分 21．解：（1）由题意得35sin ,cos 513αβ==，由于,αβ均为锐角， 所以12sin 13β=，4cos 5α=， 2分 ∴4531256cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ-=+=⨯+⨯=． 4分 （2）证明：sin ,sin MA NB αβ==，而sin()sin cos cos sin sin 1sin 1sin sin PC αβαβαβαβαβ=+=+<⋅+⋅=+， 所以MA NB PC +>， 6分sin sin[()]sin()cos cos()sin sin()11sin MA ααββαββαββαββ==+-=+-+<+⋅+⋅，所以NB PC MA ∠+>， 8分同理MA PC NB +>，所以线段,,MA NB PC 能构成一个三角形． 10分 （3）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下：设（2）中的三角形为A B C '''中，角A '，B C ''所对的边长为sin ,sin ,sin()αβαβ+由余弦定理可得，222sin sin sin ()cos 2sinsin C αβαββ+-+=' 12分2222sin sin (sin cos )(cos cos )cos cos 2sin sin αβαβαβαβααβ+-+=-222sin sin 2sin sin cos cos sin sin cos cos cos()2sin sin αβαβαβαβαβαβαβ-==-=-+， 15分∵1,0,2αβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(0,)αβπ+∈，∴sin sin()C αβ==+'， 16分设外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得sin()21sin sin()B C R A αβαβ+===+'''，∴12R =， 17分 ∴外接圆的面积4S π=． 18分。

2020-2021学年上海市静安区市西中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（共42分，1-6每小题3分，7-12每小题3分）1．已知tanθ＝2，则＝．2．△ABC中，A＝60°，a＝1，则＝．3．在正三角形ABC中，AB＝3，则＝．4．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝．5．已知，用反余弦形式表示x的结果是．6．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则该三角形是三角形．7．如图为函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象，则f（x）＝．8．在三角形ABC中，已知D是BC的中点，G是三角形ABC的重心．设向量，，则向量＝（结果用表示）．9．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）10．设ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围是．11．定义运算，则函数的值域为．12．已知非零向量，且，则△ABC 为三角形．二、选择题（共16分，每小题4分）13．设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（）A．B．C．D．15．已知，则tan2α＝（）A．B．C．D．16．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cos C的最小值为（）A．B．C．D．三、解答题（共42分）17．证明：sinα+sinβ＝2sin cos．18．已知π＜α＜，π＜β＜，，，求α﹣β的值．19．已知三个互不相同的平面向量||＝||＝||＝1，与夹角为60°，与夹角为60°，（1）求证：（﹣）⊥；（2）|k++|＞，求k的范围．20．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．21．已知函数．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求a、b的值．参考答案一、填空题（共42分，1-6每小题3分，7-12每小题3分）1．已知tanθ＝2，则＝．解：∵tanθ＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．2．△ABC中，A＝60°，a＝1，则＝．解：因为A＝60°，a＝1，所以由正弦定理可得＝＝＝．故答案为：．3．在正三角形ABC中，AB＝3，则＝．解：在正三角形ABC中，与的夹角为120°，∴＝＝3×＝﹣，故答案为：﹣．4．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝1．解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是半个周期∴T＝π，则函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的周期T＝2π则ω＝1故答案为：15．已知，用反余弦形式表示x的结果是arccos或2．解：∵，①当x时，x＝arccos，②当x时，x＝2，综上所述，用反余弦形式表示x的结果是arccos或2，故答案为：arccos或2．6．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则该三角形是直角或等腰三角形．解：∵sin2A＝sin2B∴sin2A﹣sin2B＝cos（A+B）sin（A﹣B）＝0∴cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0∴A+B＝或A＝B∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故答案为：等腰或直角．7．如图为函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象，则f（x）＝2sin（2x+）．解：由题中的图象知，A＝2，＝﹣＝，即T＝π，所以ω＝＝2，根据五点作图法，令2×+φ＝+2kπ，k∈Z，得到φ＝+2kπ，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝，可得解析式为f（x）＝2sin（2x+）．故答案为：2sin（2x+）．8．在三角形ABC中，已知D是BC的中点，G是三角形ABC的重心．设向量，，则向量＝（结果用表示）．解：∵D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，∴，∴＝＝+＝+＝﹣+＝+＝+，故答案为：+．9．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．同理在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，则＝1，解得AD＝x，由于，整理得，解得x≈236.6．故答案为：236.610．设ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围是（0，]．解：∵ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，∴f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，∴T＝•≥，∴0＜ω≤．故答案为：（0，]．11．定义运算，则函数的值域为[﹣，]．解：显然y＝sin x与y＝cos x周期相同，且具有相同的周期区间．故f（x）的周期为2π，取原点右侧第一个完整周期的区间[0，2π]，令sin x＝，得，或．故f（x）＝，易知时，sin x，时，，故函数f（x）的值域为．故答案为：[﹣，]．12．已知非零向量，且，则△ABC 为等边三角形．解：∵表示AB边的单位向量，表示AC边的单位向量，∴表示的向量在∠BAC的角平分线上，∵，∴∠BAC的角平分线垂直于边BC，所以△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，•＝1×1×cos A＝cos A＝，∴A＝60°，等腰△ABC中一角为60°，所以△ABC为等边三角形故答案为：等边二、选择题（共16分，每小题4分）13．设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：因为φ＝0时，f（x）＝cos（x+φ）＝cos x是偶函数，成立；但f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ＝kπ，k∈Z，推不出φ＝0．故“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．14．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（）A．B．C．D．解：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长|P1P2|＝a，则∠P2P1P3＝．，＝，∠P2P1P4＝，|P1P4|＝2a，＝，＝0，＜0，∴数量积中最大的是，故选：A．15．已知，则tan2α＝（）A．B．C．D．解：由sinα+2cosα＝，则（sinα+2cosα）2＝，即sin2α+4sinαcosα+4cos2α＝，可得，解得tanα＝3或﹣．那么tan2α＝＝．故选：C．16．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cos C的最小值为（）A．B．C．D．解：因为a2+b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2ab cos C，cos C＝＝．故选：C．三、解答题（共42分）17．证明：sinα+sinβ＝2sin cos．【解答】证明：令a＝，b＝，则α＝a+b，β＝a﹣bsin（a+b）＝sin a cos b+cos a sin bsin（a﹣b）＝sin a cos b﹣cos a sin b两式相加得：sin（a+b）+sin（a﹣b）＝2sin a cos b∴sinα+sinβ＝2sin cos．18．已知π＜α＜，π＜β＜，，，求α﹣β的值．解：∵π＜α＜，π＜β＜，sinα＝﹣，cosβ＝﹣，∴cosα＝﹣＝﹣，sinβ＝﹣＝﹣，∴sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝﹣×（﹣）﹣（﹣）×（）＝﹣，∵﹣＜α﹣β＜0，∴α﹣β＝﹣．19．已知三个互不相同的平面向量||＝||＝||＝1，与夹角为60°，与夹角为60°，（1）求证：（﹣）⊥；（2）|k++|＞，求k的范围．【解答】（1）证明：因为（﹣）•＝•﹣•＝1×1×cos60°﹣1×1×cos60°＝0，所以（﹣）⊥；（2）解：因为与夹角为60°+60°＝1200，且|k++|＞，所以＞6，即k2+++2k•+2k•+2•＞6，所以k2+1+1+2k×1×1×cos120°+2k×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°＞6，化简得k2＞3，解得k＜﹣或k＞，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．20．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sin B•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sin B•[1﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B ＝1+，可得sin B＝，又∵B是△ABC的内角，∴B＝，或B＝；（2）∵a＝4，S＝5，∴ac sin B＝×4×c×＝5，解之得c＝5，∵由余弦定理，得b 2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴当B＝时，b ＝＝；当B＝时，b＝＝．即边b的值等于或．21．已知函数．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x ）的值域为[3，4]，求a、b的值．解：（1）a ＝1时，f（x）＝（2cos2+sin x）+b ＝cos x+1+sin x+b＝sin（x+）+1+b，2k π﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；（2）f（x ）＝a（2cos 2+sin x）+b＝a（cos x+1+sin x）+b＝a sin （x+）+a+b，当x∈[0，π]时，sin（x+）∈[﹣，1]；当a＞0时，由，解得；当a ＜0时，由，解得；综上知，a＝﹣1，b＝3；或a＝1﹣，b＝4．- 11 -。

上海中学2020学年第二学期高一年级数学期中考试2021.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1.角度大小为7弧度的角是第________象限角2.用弧度制表示所有终边位于第四象限角平分线的角构成的集合________.3.函数y =________.4.若角α的始边落在x 轴正半轴，终边落在直线2y x =上，则sin α=________.5.已知角[)0,x π∈213x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则角x 为________. 6.已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________.7.在ABC ∆中，30A ∠=︒，AB =8BC =，则ABC ∆的面积为________. 8.函数()12log cos sin y x x =-的单调递减区间为________.9.已知正六边形ABCDEF ，若AC a =，AD b =，则AE 用a ，b 表示为________. 10.已知3tan tan 1212ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2θ=________. 11.已知函数()y f x =，x R ∈满足：()()f x f x ππ+=，且,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()sin 2f x x x π=-则当[]3,2x ππ∈--时，()f x 的最小值为________.12.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan 2tan tan tan tan tan A B B A Bi C ++的最小值是________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.命题p ：“角A 小于2π”是命题q ：“角A 是第一象限角”的（ ）条件. A .充要 B .充分非必要 C .必要非充分 D .既非充分又非必要14.若322x ππ-<<-）.A .2cos2x B .2sin 2π C .2cos 2π- D .2sin 2π- 15.现给出以下4个命题：（1）对于任意的向量a ，都有00a ⋅=；（2）已知向量a ，b ，c ，若a b b a ⋅=⋅且0b ≠，则a c =； （3）已知三个非零向量a ，b ，c ，则()()b c a c a b ⋅--与c 不垂直；（4）已知向量a ，b ，则a b a b +=-是“a ，b 中至少有一个是0”的充要条件. 其中正确的个数是（ ）A .3B .2C .1D .016.2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人貝目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O ，A ，两动点B ，Q ，且1OA OB ==，OA 绕点O 逆时针旋转到OB 所形成的角记为θ.设函数()()4sin5f sign θθθ=⋅-，()πθπ-≤≤，其中，()1,0sign 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，令，作随着θ的变化，就得到了Q 的轨迹，其形似“蝴蝶”.则以下4幅图中，点Q 的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（ ）图①图②ABCD三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分8分）已知a ，b 两个向量，4a =，3b =，1sin ,2a b <>=，求a 在b 方向上的投影与数量投影. 18.（本题满分8分）已知的数()2cos sin f x x x a =-+（1）()0f x =有解时，求实数a 的取值范围； （2）当x R ∈时，总有()1714f x ≤≤，求定a 的取值范围. 19.（本题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()2cos24cos 30A B C +++=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 20.（本题满分10分）数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段.某中学程老师根据实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图③所示（各邻边垂直）.一房间的门框宽（即房门两边墙之间距离）为0.9米，门框厚为0.28米，思考能否将家具水平移入房内.（注：门框高度及房内外空间不受限制，且移动时均不发生形变.）（1）如图④，0.28MN =（米），在移动家具时，为顺利过门，家具的两个边CD ，DE 紧贴M ，N ，设直线AB 和直线MN 的夹角为θ，家具的初始位置对应2πθ=，N 与D 重合时可视为移动成功，延长NM 交MN 于点K ，设AK S =（米），请写出S 关于θ的函数（2）基于（1），请问家具能否移动成功？并说明理由. 21.（本题满分12分）对于函数()y f x =，x R ∈，如果存在一组正常数1t ，2t ，…，k t ，（其中k 为正整数），满足）120k t t t <<<<使得当x 取任意实数时，有()()()()120k f x f x t f x t f x t +++++++=，则称函数()y f x =具有“性质1P ”.（1）判断以下函数是否具有“性质1P ”，并说明理由： ①函数()cos h x x =②函数()()122u x x x =--<≤，()()4u x u x +=对任意实数均成立； （2）证明：()cos h x x =具有性质2P ；（3）设函数()cos2cos5cos8g x a b x c x d x =+++，其中b ，c ，d 是不全为0的实数且存在m R ∈，使得()4g m a =，证明：存在n R ∈，使得()0g n <.答案及其解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1.【答案】：一 【解析】∶1807736041.190π︒=⨯-︒≈︒<︒弧度，所以第一象限2.【答案】：2,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【解析】：由已知得，第四象限角平分线的角构成的集合为2,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭3.【答案】：22,22x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭≤≤【解析】：由cos 0x ≥得，定义域是22,22x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭≤≤4.【答案】：【解析】：由已知得，终边落在直线2y x =上，tan 2α=，sin 5α=± 5.【答案】：4x π=，34π 【解析】：213x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，236x k πππ-=+，42k x ππ=+，k Z ∈ 又因为[)0,x π∈，所以4x π=，34π6.【答案】：【解析】：设正三角形边长为a ，外接圆的半径为R ，则3l a R α==，23R =，∴a =7.【答案】：【解析】：由已知得，30A ∠=︒，c =2222cos 8a b c bc A b =+-⇒=或16，所以1sin 2ABC S bc A ∆==8.【答案】：322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+-+∈⎨⎬⎩⎭≤≤ 【解析】：由题意得cos sin 0cos sin 4x x x x x π->⎧⎪⎨⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩单调递增， 所以5224432244k x k k x k ππππππππ⎧-+<<+⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩≤≤，所以322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+-+∈⎨⎬⎩⎭≤≤9.【答案】：32b a - 【解析】：1322AE AF FE CD FE AD AC AD b a =+=+=-+=- 10.【答案】：1【解析】：由3tan tan 1212ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭切化弦得，3sin sin 1212cos cos 1212ππθθππθθ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴3sin cos sin cos 12121212ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由积化和差， 31sin 2sin sin 2sin 2626ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 21θ=11.【答案】：42π-【解析】：由()()f x f x ππ+=迭代递推得()()kf x f x k ππ+=∴()()k f x f x k ππ=⋅+ ①当53,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，30,2x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()()()()33sin 33sin 22f x x x x x ππππππ+=++-=-+- ()()()3333sin 2f x f x x x πππππ⎡⎤=+=-++⎢⎥⎣⎦，故()f x 的最小值()432f ππ-=- ②当5,22x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，2,02x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()()()()22sin 22sin 22f x x x x x ππππππ+=++-=+-，()()()2222sin 2f x f x x x πππππ⎡⎤=+=+-⎢⎥⎣⎦，故()f x 的最小值为()422f ππ-=-，综上所述，当[]3,2x ππ∈-时，()f x 的最小值为42π-.12.【答案】：16【解析】：由已知得，()sin sin 2sin sin A B C B C =+=，.：.sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C += 所以tan tan 2tan tan B C B C +=，又因为tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ 所以()tan tan 2tan tan A A B C =--所以tan tan 2tan tan 'tan 4tan tan 2tan tan tan 2tan tan 2AA B C A B C A B C A A ++==⋅-()42tan 2424416tan 2A A ⎛⎫=-+++= ⎪-⎝⎭≥，当且仅当tan 4A =时取到等号.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.【答案】：D 【解析】：取4A π=-，左推不出右，取94A π=，右推不出左，故选D 14.【答案】：A【解析】：由322x ππ-<<-，324x ππ-<<-，cos sin 022x x<<得， 1sin cos sin cos sin cos sin cos 2cos 222222222x x x x x x x x=-++=--=-故选A . 15.【答案】：C【解析】：对于（1）对于任意的向量a ，都有00a ⋅=，所以（1）错误；对于（2）已知向量a ，b ，c ，若a b b a ⋅=⋅且0b ≠，只要保证a 和c 方向上的数量投影相等即可 ∴a c =，故（2）错误；对于（3）：()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅--⋅=⋅⋅--⋅=⎣⎦，垂直，故（3）错误；对于（4）：0a b a b a +=-⇔=或0b =，故（4）正确，故选C 16.【答案】：B【解析】：本题比较抽象，考虑特殊情况.先考虑与OA 共线的蝴蝶身方向，令0θ=，π±，44OQ OB OA =-=要满足，故排除A ，C ； 再考虑与OA 垂直的方向，令2πθ=，OQ OB =-要满足，故排除D ，故选B .三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分8分） 【答案】：见解析【解析】：由题意得1sin ,2a b <>=，3cos ,a b <>=±；则a 在b 方向上的投影：23cos ,3b a a b b b⋅<>⋅=±a 在b 方向上的数量投影：cos ,23a a b <>=±18.（本题满分8分） 【答案】：见解析【解析】：（1）由已知得，()2cos sin 0f x x x a =-+=所以222155sin cos sin sin 1sin ,1244a x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=+-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）由已知得()2171cos sin 4f x x x a =-+≤≤恒成立， 则2222max 1111sin cos 1sin sin sin 122424a x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=+-=+-=⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥ 22min17131sin cos sin sin sin 33442a x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+=++=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤ 所以实数a 的取值范围为[]2,3 19.（本题满分10分） 【答案】：见解析【解析】：（1）()()22cos 24cos 322cos 14cos 3A B C A A +++=--+()224cos 4cos 12cos 10A A A =-+=-=，所以1cos 2A =，3A π= （2）由已知得，1a =，3A π=21l a b c a =++>=，2221cos 22b c a A bc +-==，∴221b c bc +-=()()22221134b c bc b c bc b c =+-=+-+≥∴()24b c +≤ ∴2b c +≤ ∴23l <≤20.（本题满分10分） 【答案】：见解析【解析】：0.28cos 0.48cot 0.48S θθ=++，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）由已知得，添加辅助线，要使家具能白移入房间内， 则要求外抛角点A 到一边门框厚度MN 的距离()0.9m AH ≤， 设点距离所在直线距离为：()sin 0.48sin cos 0.28sin cos 0.480.14sin 24d S πθθθθθθθ⎛⎫=⋅=++=++ ⎪⎝⎭()0.4810.1410.81920.9m +⨯<≤≤（当且仅当4πθ=），所以能移动成功.21.（本题满分12分）【解析】：（1）①由已知得，()()()cos cos cos cos 0h x h x x x x x ππ++=++=-=所以()h x 具有“性质1P ”；②由已知得，()()122u x x x =--<≤，()()4u x u x += 得()()[]14,24,414,4,42x k x k k u x x k x k k +-∈-+⎧⎪=⎨-+∈+⎪⎩，易知对任意x R ∈，()()20u x u x ++=所以()u x 具有“性质1P ”； （2）单位圆的性质，易令()cos h x x =满足()24033h x h x h x ππ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 证明如下：()24cos cos cos cos 2cos cos cos cos 0333x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++++=++=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）本题难度较大，对其进行分类讨论： ①若0a <，此时取n m =即可；②若0a =，采取反证法，若不存在n R ∈，使得()0g n <，则()0g x ≥恒成立， 又()243033g x g x g x a ππ⎛⎫⎛⎫++++== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵()0g x ≥，203g x π⎛⎫+⎪⎝⎭≥，403g x π⎛⎫+⎪⎝⎭≥ ∴24()033g x g x g x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 再由()()0cos2cos80g x g x b x d x π++=⇒+=恒成立， 故0b c ==，进而0c =，与b ，c ，d 是不全为0矛盾； 故存在n R ∈，使得()0g n <. ③若0a >，由()24333g m g m g m a ππ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()4g m a = 得24033g m g m a ππ⎛⎫⎛⎫+++=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，命题成立.。

上海市行知中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ=___________.2．若3tan 4α=，则2cos sin 2αα+＝________． 3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.4．已知33,,sin 22πππαπβαβ<<<<==，则αβ-＝________． 5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转4π后经过点（－3，4），则sin α＝________． 6．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，计算(0)(1)(2)(3)(2021)f f f f f +++++＝________．7．若6x π=是函数()3sin2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是___________.8．已知函数2()lg ||f x x x =+，则不等式()1f x >的解集为________．9．如图，将矩形纸片ABCD 的右下角折起，使得该角的顶点D 落在矩形的左边BC 上，CD ＝6 cm ，若1sin 4θ=，则折痕l 的长度为_______cm ．10．在锐角ABC ∆中，1BC ＝，2B A ＝，则AC 的取值范围为____________.11．设O 为△ABC 内部的一点，且230OA OB OC ++=，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为________．12．函数()lg()2lg(1)f x kx x =-+仅有一个零点，则k 的取值范围为________．二、单选题13．下列函数中最小正周期为π的函数是 A ．y sinx =B ．12y cos x =C ．2y tan x =D ．y sinx =14．已知非零向量,,a b c 共面，那么“存在实数λ，使得a c λ=成立”是“()()a a cb bc ⋅=⋅”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．设函数()2sin 1(0)f x x ωω=->，在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则ω的取值范围是（ ） A ．2610,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2658,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3458,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．26103458,,9399⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭16．对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．[)0,2 C ．[)0,4 D ．[)2,4三、解答题17．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．18．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6.（1）求MD NC ⋅的值；（2）求MD 与NC 的夹角θ（用符号“ arccos ”表示．）19．已知函数()sin 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调增区间；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（3）如果()f x k =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，求k 的取值范围．20．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD ＝90°），且∠ABC ＝120°，路灯C 锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD ＝24米，设灯柱高AB ＝h 米，∠ACB ＝θ（30°≤θ≤45°）．（1）当θ＝30°时，求四边形ABCD 的面积； （2）求灯柱的高h （用θ表示）；（3）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．21．已知函数(),y f x x D =∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T m f x +=⋅成立，则称函数()f x 是D 上的周期为T 的m 级类周期函数．（1）已知()y f x =是[0,)+∞上的周期为1的m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的严格增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围； （2）设函数()f x 是R 上的周期为1的2级类周期图数，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，求m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由．参考答案1．4 【详解】以向量a ，b 的交点为原点，建立直角坐标系，则a =(-1,1)， b =(6,2)， c = (-1,-3)，由c =λa ＋μb ，得()()()1,31,16,2λμ--=-+，即61,{23,λμλμ-+=-+=-解得12,2λμ=-=-，4λμ=.【考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理.2．85【分析】把求值式转化为关于sin ,cos αα的二次齐次分式，然后转化为tan α，代入求值即可. 【详解】 ∵3tan 4α=， ∴2222231cos 2sin cos 12tan 82cos sin 29sin cos tan 15116ααααααααα++++====+++ 故答案为：85.3．【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算． 4．4π-【分析】利用同角的三角函数关系及角的范围求cos ,sin αβ，再应用两角差正弦公式求sin()αβ-，结合22ππαβ-<-<即可确定αβ-.【详解】由题意，可得cos αβ==，∴sin()sin cos cos sin ((((αβαβαβ-=-=⨯⨯-=， 又22ππαβ-<-<，即4παβ-=-.故答案为：4π-5 【分析】由题意可知4sin()45πα+=，3cos()45πα+=-，利用两角和正余弦公式求得sin cos αα+、cos sin αα-即可求sin α.【详解】由题意知：4sin()45πα+=，3cos()45πα+=-∴sin cos αα+=，cos sin αα-=，∴2sin α=sin α=6．1 【分析】利用奇函数及其对称轴求()f x 的周期，并由奇函数求10x -≤<上的解析式，进而求得(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====-=-，应用周期性求值即可. 【详解】由题意，()()f x f x -=-且(2)()f x f x -=，∴()(2)()(2)(2)f x f x f x f x f x -=+=-=--=-，即()(4)f x f x =+， ∴()f x 是周期为4的函数.令10x -≤<，则01x <-≤，而[0,1]x ∈时()21x f x =-， ∴1()()(21)12x xf x f x -=--=--=-， ∴(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====-=-，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 而(0)(1)(2)(3)(2021)505[(0)(1)(2)(3)]f f f f f f f f f +++++=⨯+++(5054)f +⨯(50541)f +⨯+(0)(1)1f f =+=. 故答案为：17．【分析】利用对称关系，得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值 【详解】由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得a =从而()3sin 2226f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取到最大值故答案为：8．{1x x >或}1x <-【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，求得不等式的解集. 【详解】∵函数2()lg ||f x x x =+为偶函数， 当0x >时，函数()f x 单调递增，()11f =， 则不等式()1f x >的解集为{|1}x x >，故当0x <时，不等式()1f x >的解集为{|1}x x <-， 综上，可得不等式()1f x >的解集为{1x x >或}1x <-， 故答案为：{1x x >或}1x <-. 9．645【分析】由题设知2CND θ'∠=，令ND ND x '==cm ，由cos 2CNND θ='结合已知及二倍角余弦公式可得678x x -=求x ，进而求出折痕l 的长度. 【详解】由题意知：2CND θ'∠=，令ND ND x '==cm ，则(6)CN x =-cm ， ∴6cos 2CN x ND x θ-=='，又1sin 4θ=，即4l MN x ==，由2cos 212sin θθ=-， ∴678x x -=，解得165x =，则645l MN ==.故答案为：64510．【详解】解：在锐角△ABC 中，BC=1，∠B=2∠A ，∴π ÷2 ＜3 A ＜π，且 0＜2A ＜π÷ 2 ，故 π÷6 ＜A ＜π÷ 4 ，故cosA ＜． 由正弦定理可得 1： sinA =" b" ：sin2A ，∴b=2cosA ，b ＜ ．11．2:1 【分析】令2OD OB =，3OE OC =，则O 为△ADE 的重心，利用重心的性质：AOEEODS S=即可求比值. 【详解】若2OD OB =，3OE OC =，∴230OA OB OC OA OD OE ++=++=，即O 为△ADE 的重心， 令AOCSx =，BOCSy =，则3AOESx =，6EODSy =，∴36x y =，由::2:1AOCBOCS Sx y ==，故答案为：2:112．(,0){4}-∞⋃ 【分析】由题意()f x 仅有一个零点，令1y kx =、22(1)y x =+，即1y 、2y 在()f x 定义域内只有一个交点，讨论0k >、0k <并结合函数图象，求k 的范围. 【详解】由题意，()lg()2lg(1)0f x kx x =-+=，即2lg()lg(1)kx x =+， ∴在()f x 定义域内，1y kx =、22(1)y x =+只有一个交点， 当0k >时，即(0,)+∞上1y 、2y 只有一个交点；∴仅当1y 、2y 相切，即2(2)10x k x +-+=中2(2)40k ∆=--=，得4k =或0k =(舍)，∴当4k =时，(0,)+∞上1y 、2y 只有一个交点；当0k <时，即(1,0)-上1y 、2y 只有一个交点，显然恒成立.∴k ∈(,0){4}-∞⋃. 故答案为：(,0){4}-∞⋃ 13．D 【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案. 【详解】A 选项的最小正周期为221T ππ==； B 选项的最小正周期为2412T ππ==； C 选项的最小正周期为2T π=； D 选项的最小正周期为1T ππ==.故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题. 14．C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合平面向量的数量积运算判断. 【详解】假设存在实数λ，使得a c λ=成立，所以()()cos ,a c c c c c b b b b c λλ⋅=⋅=⋅， ()cos ,b a c c c c b b λ⋅=⋅，所以()()a a cb bc ⋅=⋅，故充分； 若()()a a cb bc ⋅=⋅， 则()()a a cb bc ⋅=⋅，即co ,cos ,s b b b b a a c a c c ⋅=⋅， 所以cos ,cos ,b b a c =， 因为[],0,,,b b a c π∈，所以 ,,b c b a =或 ,,b b a c π+=， 所以,a c 方向相同或相反，所以存在实数λ，使得a c λ=成立，故必要； 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是平面向量数量积定义的应用. 15．A 【分析】由题意，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得ω的范围． 【详解】解：函数()2sin 1(0)f x x ωω=->，在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．[4x ωπω∈，3]4ωπ， 当46ωππ<，则5352646πωπππ<+，求得ω∈∅；当46ωππ=，3346ωππ=，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有1个根，不满足题意； 当5646πωππ<<，324646πωππππ+<+，求得261093ω<； 当546ωππ=，则3542ωππ=，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有3个不同的根，满足条件，此时，103ω=， 当246ωπππ=+，33646ωπππ=+，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有5个不同的根，不满足题意； 当246ωπππ>+时，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有5个不同的根，不满足题意． 综上，可得261093ω， 故选：A ． 16．B 【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分0a <，0a >，0a =三种情况分析即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2yx 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x ⎛⎫⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件.综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B 【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()f x ，()f x -可能取何值，进而根据22x x =方程有两个解2x =或4x =求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题. 17．（1）725-；（2）211-【详解】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈． 又因为()cos αβ+=()sin αβ+=，因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 18．（1）26；（2）13arccos 14. 【分析】（1）由题设，MD MO OD =+，NC NO OC =+，结合已知条件，利用向量数量积的运算律可求MD NC ⋅.（2）由余弦定理求,CN DM ，根据（1）及向量数量积的定义，可直接写出θ的反三角表达式. 【详解】（1）由题意知：MD MO OD =+，NC NO OC =+，224MN OM ON ===， ∴()()MD NC MO OD NO OC ⋅=+⋅+MO NO MO OC OD NO OD OC =⋅+⋅+⋅+⋅4661826=-+++=，（2）在△CON 中，6OC =、2ON =，则2222cos283CN OC ON OC ON π=+-⋅⋅=，∴CN DM ==∴13cos 14||||MD NC MD NC θ⋅==，即13arccos 14θ=.19．（1）3[,]88k k ππππ-+()k ∈Z ；（2）1-；（3）1k ≤【分析】应用两角和正弦公式、二倍角正余弦公式可得())4f x x π+，（1）根据正弦函数的单调增区间有222242k x k πππππ-≤+≤+即可求()f x 的单调增区间；（2）由题设52[,]444x πππ+∈，求()f x 的值域范围，即可知最小值；（3）由正弦函数的对称性，结合给定区间知32[,)(,]44224x πππππ+∈⋃上存在两个解，即可求k 的范围．【详解】2()sin 12sin cos 2cos 14f x x x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭sin 2cos 2x x =+)4x π=+.（1）222242k x k πππππ-≤+≤+，则388k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间为3[,]88k k ππππ-+()k ∈Z . （2）由题设，52[,]444x πππ+∈，故()[1f x ∈-，∴当2x π=时，()f x 最小值为1-.（3）根据正弦函数的性质知：32[,)(,]44224x πππππ+∈⋃上会存在两个解，∴1k ≤<20．（1）2m ；（2）16sin 2h θ=()64ππθ≤≤；（3）16sin(2)3S πθ=++()64ππθ≤≤，最小值为8(1. 【分析】（1）由题设△ABC 为等腰三角形，△ACD 为等边三角形，且△△=+ABCD ABC ACD S S S ，结合已知即可求面积. （2）由题意，可得2D πθ∠=-，在△ACD 、△ABC 中应用正弦定理求AC ，h 即可.（3）由（2）及正弦定理求BC ，再利用正余弦倍角公式、辅助角公式写出S 关于θ的函数表达式并求最小值即可. 【详解】（1）由题意，△ABC 为等腰三角形，△ACD 为等边三角形，∴211242422ABCD ABCACDS SS=+=⨯⨯⨯=2m . （2）由题意，3BAC πθ∠=-，则6CAD πθ∠=+，故2D πθ∠=-，在△ACD 中，由正弦定理知：sinsin()32ADAC ππθ=-，即AC θ=，在△ABC 中，由正弦定理知：2sin sin 3h ACπθ=，即16sin 2h θ=()64ππθ≤≤.（3）由（2）知：2sin sin()33AC BCππθ=-，则28sin 2BC θθ=-，∴228sin 216sin 28sin 2S θθθθθ=-+=+=28sin 216sin(2)3πθθθ++++252[,]336πππθ+∈，∴S最小值为8(1. 21．（1）[2,)+∞；（2）73m ≤；（3）答案见解析； 【分析】（1）根据函数定义有()(1)f x mf x =-，易得[,1)x n n ∈+时()2n x nn f x m -=⋅*()n N ∈，根据已知条件有0m >且1(1)22n x n n x n m m ----⋅≥⋅即可求m 的范围；（2）由函数定义有(2,3]x ∈时()[1,0]f x ∈-，再结合题设函数不等式恒成立、二次函数的性质，求m 的范围；（3）由题意cos ()cos k x T T kx +=恒成立，讨论0k =、0k ≠分别求对应k 值. 【详解】（1）由m 级类周期函数定义知：(1)()f x mf x +=，即()(1)f x mf x =-∴当[1,2)x ∈时，11()2x f x m -=⋅，…，当[,1)x n n ∈+时，()2n x n n f x m -=⋅*()n N ∈， ∵()y f x =是[0,)+∞上的严格增函数，且[0,1)x ∈上()f x 单调递增， ∴0m >且1(1)22n x n n x n m m ----⋅≥⋅，解得2m ≥， ∴[2,)m ∈+∞.（2）由题设：()2(1)f x f x =-，而(0,1]x ∈时1()(1)[,0]4f x x x =-∈-，∴当(1,2]x ∈，即1(0,1]x -∈时1()2(1)(2)[,0]2f x x x =--∈-，当(2,3]x ∈，即1(1,2]x -∈时()4(2)(3)[1,0]f x x x =--∈-， ∴0(2,3]x ∃∈，使0084(2)(3)9x x --=-，解得073x =或083x =对任意(,]x m ∈-∞都有8()9f x ≥-，则73m ≤.（3）若存在，则()()f x T T f x +=，即cos ()cos k x T T kx +=恒成立， ∴当0k =时，1T =；当0k ≠时，cos ()[1,1]k x T +∈-，则1T =±，若1T =，cos (1)cos k x kx +=，可得2k n π=(,0)n Z n ∈≠， 若1T =-，cos (1)cos k x kx +=-，可得(21)k n π=+()n Z ∈， ∴综上，1T =时2k n π=()n Z ∈；1T =-时(21)k n π=+()n Z ∈. 【点睛】关键点点睛：利用m 级类周期函数的定义确定相应区间上的函数解析式，根据函数的单调性、函数不等式恒成立、存在性问题求参数.。