第五章复数章末整合-【新教材】北师大版(2019)高中数学必修第二册课件

高中数学
必修第二册
北师大版
新知学习
一、复数的加法与减法
1.复数的加法与减法
两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们
的虚部的和.也就是：（ + i） + （ + i）＝（ + ） + （ + ）i.
名师点析
（1）复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加.很明显，两个复数的和仍然是一个确定的
根据平面向量的坐标运算，得1 +2 ＝（ + ， + ）.
这说明两个向量1 ，2 的和就是与复数（ + ）+（ + ）i对应的向量.
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.
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二、复数的乘法与除法
1.复数的乘法
（ + i）（ + i）＝（ − ） + （ + ）i.
解：（方法1）原式＝（1-2+3-4+…+2 017-2 018）+（-2+3-4+5+…-2 018+2 019）i＝-1 009+1 009i.
（方法2）（1-2i）-（2-3i）＝-1+i，（3-4i）-（4-5i）＝-1+i，…，（2 017-2 018i）-（2 018-2 019i）＝-1+i.
解析：＝（1+i）（1+2i）＝1+2i+i+2i2＝1+2i+i-2＝-1+3i，∴ ||＝
.
−1
2
+ 32 ＝ 10.

坐标为(x,y),
由 = ,得(x-1,y-3)=(2,2),
即 x-1=2,y-3=2,解得 x=3,y=5,
故点 D(3,5),其对应的复数为 3+5i.
(2)因为 B(0,-1),C(2,1),
所以直线 BC 的方程为 x-y-1=0,
|1-3-1|
所以点 A 到直线 BC 的距离 d=
上,故选ABC.
答案ABC
微练习2
若x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互为共轭复数,则x=
,y=
.
解析由题意,可得
答案-1
1
-2 = 3,
= -1,
故
= 1,
= 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数与点的对应关系
例1求实数a分别取何值时,复数
下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
=(3,10),而=(0,-3),于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得
.
=(a,b).
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对
激趣诱思
知识点拨
例1求实数a分别取何值时,复数
四、共轭复数
+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
复数z=a+bi(a,b∈R)用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而非(a,bi).
这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.

m
解：由题可得 m－2 0 m 0
解得m 2且m 0.
求实数m的值，使复数 1 m－2i为虚数.
m
解：由题可得 m－2 0 m 0
解得m 2且m 0.
04 探索新知
思考2：对于两个复数 a+bi 和 c+di (a,b,c,d∈R)，满足什么条件
这两个复数会相等呢？
提示：对于一元二项式，若 a bx 1 2x对任意 x 都成立，则 a 1 ，b 2 .
x 2 3y 2x y 1
解得xy
1 1.
a+bi=c+di a=c且b=d.
05 巩固练习
练习: 已知（m2 7m 10） m2 5m 14 i 0,求实数m的值.
解： 由复数相等的定义，得
m2 7m 10 0 m2 5m 14 0
m 2
06 学以致用
小组命题 PK 赛
（5）0 0 0i
z=a+bi 实部a
虚部b
11i
1
1
3 1i
-3
1
虚数
0 3 i 2
7 0i 0 0i
0 纯虚数 3
2
-7
0
0
0
实数
z=a+bi (a,b∈R)
实部
虚部
纯虚数：a=0,且b≠0
04 探索新知
2. 复数的分类
根据复数中a，b 的取值不同，复数可
以有以下分类：
复数 z=a +bi
09
谢 谢！ 祝你有所收获
纯虚数
2 2i
答案：鸭（压）舌（蛇）帽
实数
虚数
指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
2 7

= 2,
= 1.
= 3,
= − 3,
2 + 2 = 6,
（2）根据复数相等的充要条件可得ቊ
解得൝
或൝
2 = −6,
=− 3
= 3.
1
2 − 1 = 0,
= 2,
（3）由0＝0+0i结合复数相等的充要条件可得ቊ
解得ቐ
− 3 − = 0,
= 3.
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一对应的，即复数＝ + i
这是复数的一种几何意义.
一一对应
↔
复平面内的点（，）.
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名师点析
（1）复数的实质是有序实数对.
（2）复平面内的点Z的坐标是（，），而不是（，i）.也就是说，复平面内的虚轴单位长度是1，而
不是i.
（3）当＝0， ≠ 0时， + i＝0 + i＝i是纯虚数，所以虚轴上的点（0，）（ ≠ 0）都表示纯虚数.
（4）复数＝ + i中的，书写时应为小写，复平面内点（，）中的，书写时应为大写.
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必修第二册
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2.复数与复平面内平面向量的对应
在平面直角坐标系中，平面向量与有序实数对一一对应，而有序实数对与复数也是一一对应的.于是，还
可以用平面向量来表示复数.如图，复数＝ + i（， ∈ ）与复平面内的向量＝（，）也是一一
ҧ
是它本身，反之亦然.
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名师点析
共轭复数的性质（拓展）
（1） ҧ ＝.
（2）若＝ + i（， ∈ ），则·ҧ＝||2＝||ҧ 2＝2 + 2.利用这个结论，在复数集中可以将2 + 2分解

复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋dia，b，c，d∈R当且仅当a＝c且b＝d
复数z＝a＋bi的模：|z|＝ a2＋b2
复数z＝a＋bi的共轭复数为 z ＝a－bi
复数
实数b＝0
复数的分类复数a＋bia，b∈R虚数b≠0纯 非虚 纯数 虚数a＝a0≠ 0
考点整合•提技能
题型一
有关复数的概念
例 1 当实数a为何值时,z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z对应的点在直线x－y＝0上． [分析] 根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可．
题型四
复数与其他知识的综合应用
例 4 四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应 的复数分别为1＋3i,2i,2＋i,z.
(1)求复数z； (2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根,求实数p,q的值．
[解析] (1)复平面内 A，B，C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)， 设 D 的坐标为(x，y)，由于A→D＝B→C， ∴(x－1，y－3)＝(2，－1)， ∴x－1＝2，y－3＝－1，解得 x＝3，y＝2，故 D(3,2)， 则点 D 对应的复数 z＝3＋2i. (2)∵3＋2i 是关于 x 的方程 2x2－px＋q＝0 的一个根， ∴3－2i 是关于 x 的方程 2x2－px＋q＝0 的另一个根， 则 3＋2i＋3－2i＝p2，(3＋2i)·(3－2i)＝q2， 即 p＝12，q＝26.
4a2＝4， ∴a2＋b2＝2， ∴ab＝ ＝11， 或ab＝ ＝－1，1 或ab＝＝－1 1， 或ab＝＝－－11，，
∴xy＝ ＝11＋ －ii， 或xy＝ ＝11－ ＋ii， 或xy＝＝－－11＋－ii， 或xy＝＝－－11－＋ii，.

虚数．
Hale Waihona Puke ②错,只有当m,n∈R时,才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为
3m,2n.
③正确,复数z＝x＋yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0,只要
x≠0,则复数z一定不是纯虚数．
④错,只有当a∈R,且a≠－3时,(a＋3)i才是纯虚数．
题型二
复数的分类及其应用
例2
已知复数 z＝(m2－2m)＋m2－m2m－8i，其中 m∈R.试求
知识点4 复数集 全体复数构成的集合称为复数集,记作C． 显然R⊂C． 思考1：(1)两个复数一定能比较大小吗？ (2)复数a＋bi的实部是a,虚部是b吗？ (3)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
提示：(1)不一定，只有当这两个复数都是实数时，才能比较大小． (2)不一定，对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是 a，虚部才是 b.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
复数的概念
例 1 (1)给出下列三个命题：①若z∈C,则z2≥0；②2i－1虚部
是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为
( B)
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值
分别是___±___2_，_；5
(3)
知识点5 两个复数相等
两个复数a＋bi与c＋di(a,b,c,d∈R)相等定义为：它们的实部相等且 虚部相等,即：a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d.
思考2：若复数z1,z2分别为z1＝3＋ai(a∈R),z2＝b＋i(b∈R)且z1＝z2,则 a－b的值为多少？
提示：因为z1＝z2,所以a＝1,b＝3,故a－b＝－2.

探究三
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
复数加、减运算的几何意义
例 2 已知在平行四边形 ABCD 中,与对应的复数分别是 3+2i
与 1+4i,两对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求:
(1)对应的复数;
(2)对应的复数;
(3)△AOB 的面积.
解(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,
1 =(a,b),2 =(c,d)对应,
根据平面向量的坐标运算,得1 + 2 =(a+c,b+d).
说明两个向量1 , 2 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量.
名师点析复数加法运算的几何意义类似于向量加法运算的平行四
边形法那么.
-7-
2.1
课前篇自主预习
复数的加法与减法
示,||= (- 3)2 + (-1)2 =2.
所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
反思感悟 复数模的问题求解策略
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复
数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,数形结合把复数问
题转化为几何图形问题求解.
-19-
所以 = + ,于是 = − ,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,
即对应的复数是-2+2i.
(2)因为 = − ,而(3+2i)-(-2+2i)=5,
即对应的复数是 5.
-15-
2.1
课前篇自主预习
复数的加法与减法
探究一
探究二

(4)非零复数的相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角 的主值分别相等．
1.复数的模和辐角主值是唯一确定的吗？ 提示：0 的模是唯一确定的，辐角主值是任意的，非零复数的模
和辐角主值都是唯一确定的．
2．纯虚数的辐角主值是什么？ 提示：设纯虚数为 bi(b≠0)，当 b>0 时，arg(bi)＝π2；当 b<0 时，
π3的模为 3
2.
()
[提示]
(1)错误．复数 2cos
π7－isin
π7不是三角形式，其三角形
式应为 2cos
－π7＋isin
－π7.
(2)正确．
(3)错误．复数 3cos
π3＋isin
π3的模为 3.
[答案] (1)× (2)√ (3)×
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 复数代数形式和三角形式的互化 【例 1】 (教材北师版 P180 例 1 改编)请将下列复数表示为三角形 式(辐角取主值)： (1)2；(2)－3i; (3)12－12i；(4)－ 2＋ 6i.
[解] (1)2＝2(cos 0＋isin 0)；
(2)－3i＝3cos
32π＋isin
32π；
(3)12－12i＝ 22cos 74π＋isin 74π；
(4)－
2＋
6i＝2
2cos
23π＋isin
23π.
把复数 z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式的步骤 (1)求模 r＝ a2＋b2； (2)求复数的辐角主值 θ，cos θ＝ar，sin θ＝br； (3)把复数代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式 z＝r(cos θ＋ isin θ).

(2)z2=2


-
;
(3)z3=-sin θ+icos θ < <
(4)z4=-1+√i.


;
解:(1)不是三角形式.
z1=cos 60°+isin
模 r=


+

30°=



+

i,

√
,cos

=
所以 z1=cos 60°+isin
√
θ= ,sin
=60(cos 150°+isin 150°)
=60

√
- +


=-30√+30i.
√
√
(3)法一:复数-1+i 的模 r=√,cos θ=- ,sin θ= ,所以可取






原式=√ + √ +




第五章 复数
*§3 复数的三角表示
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.
2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.
3.了解辐角、辐角的主值等概念.
4.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意
义.
一、复数的三角表示式
( + )
=

[cos(θ
1-θ2)+isin(θ1-θ2)].

这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的

二、复数加法与减法的几何意义
【问题思考】
1.在实数范围内a-b>0⇔a>b恒成立,在复数范围内是否有z1-z2
>0⇒z1>z2恒成立呢?
提示:若z1,z2∈R,则z1-z2>0⇒z1>z2成立.否则z1-z2>0 z1>z2.
比如,z1=1+i,z2=i,虽然z1-z2=1>0,但不能说1+i大于i.
实部的差,两个复数的差的虚部是它们的虚部的差,也就
是:(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i (a,b,c,d∈R).
(2)复数的加法运算满足如下运算律:
①结合律:(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3);
②交换律:z1+z2= z2+z1.
3.(1)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=(
∴z1+z2=z2+z1.
2.(1)复数加法与减法的运算法则
两个复数的和仍是一个复数,两个复数的和的实部是它们的
实部的和,两个复数的和的虚部是它们的虚部的和,也就
是:(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i (a,b,c,d∈R);
两个复数的差仍是一个复数,两个复数的差的实部是它们的
2.复数|z1-z2|的几何意义是什么?
提示:复数|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点Z1与Z2间
的距离.
3.如图 5-2-1,设复数 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)分别与向量
=(a,b), =(c,d)对应,根据平面向量的坐标运算,得 +