三角恒等变换学案练习

第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换一、教学目标1、能用两角和与差的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦公式进行简单的三角y a x b x的化简方法.恒等变换，记住sin cosy A x的三角函数性质进行讨论，能灵活运用公2、能正确的对形如sin()式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.3、能运用三角公式解决一些实际问题.4、通过三角恒等变换的训练，能够培养转化与化归的数学思想.二、教学重难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，进行三角恒等变换，对形如y A x的三角函数性质进行讨论sin()教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不y A x三角函数的应断提高从整体上把握变换过程的能力．对形如sin()用.三、教学过程 [来源:学。

科。

网Z。

X。

X。

K]y A x函数性质的探究探究一：形如sin()问题1.求函数2sin(2)()y x x R的周期，最大值.6问题2.求函数sin 3cos ()y x x x R 的周期，最大值.问题3.函数sin 3cos y x x 如何化简为sin()y A x 的形式呢？问题4.刚才所化简的函数是形如sin cos y a x b x 的函数，那么我们如何将形如sin cos y a x b x 的函数化简为sin()yA x 的形式呢？辅助角公式：例题1：函数3sin 3cos ()22xxy x R 的周期为 .y A x函数的实际应用探究二：形如sin()问题5：如图，半径为R的半圆内有一内接长方形，圆心为O,且,则当取何值时，内接长方形面AOB,(0,)2积最大？。

答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】如图：在Rt△OCB中，设∠COB=α，则OB=2cosα,BC=2sinα，在Rt△OAD中，DAOA=tan45°=1，所以OA=DA=2sinα，∴AB=OB−OA=2cosα−2sinα，设矩形A BCD的面积为S，则S=AB⋅BC=(2cosα−2sinα)⋅2sinα=4(12sin2α−sin2α)=2(sin2α+cos2α)−2=2√2sin(2α+π4)−2，由于0<α<π4，所以当α=π8时，S最大=2√2−2，故答案为：C【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型，利用三角函数的性质求最值。

2.【答案】D【解析】【解答】由f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由x=−5π6和x=π6为两条相邻的对称轴，所以周期T2=π6−(−5π6)=π，所以T=2πω=2π，解得ω=1.故答案为：D.【分析】直接由对称轴得半周期为π，再利用周期公式求解即可。

3.【答案】D【解析】【解答】y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，将函数的图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度，可得y=2sin(x−m−π3)，此函数图像关于y轴对称，则−m−π3=kπ+π2(k∈Z)，解得m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，m取得最小值π6，故答案为：D。

【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用图象的平移变换结合图象的对称性，从而推出函数图像关于y轴对称，再利用函数图象的对称性，从而求出m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，从而求出m的最小值。

4.【答案】D【解析】【解答】解：由辅助角公式得：f(x)=√a2+b2sin(2x+φ)，由f(x)≤f(π6)恒成立，得2×π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)，所以φ=2kπ+π6(k∈Z)，取φ=π6，从而f(x)=√a2+b2sin(2x+π6)，由f(11π12)=0得①正确，由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)，②不正确，根据正弦函数的奇偶性易得③显然正确，由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，得对称轴为x=kπ2+π6(k∈Z)，④正确，故答案为：D．【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再由f(x)≤f(π6)恒成立，得出φ的值，从而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称点和对称轴，并判断出正弦型函数的单调性，从而求出对应的单调递增区间，再利用奇函数和偶函数的定义判断出正弦型函数的奇偶性，从而找出说法正确的序号。

简单三角恒等变换（学案）1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(c o s πα（ ）A. 1325 B. 1327 C. 26217 D. 2627 2.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A.552 B.2552 C.2552552或D.552- 3.=+-)12sin12(cos)12sin12(cosππππ（ ） A. 23-B. 21-C. 21D. 234.=-+000tan50tan703tan50tan70 （ ）A.3 B.33 C. 33- D. 3- 5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ）A. αtan B. αtan2 C. 1 D. 21 6.函数则,cos 2cos 1)(xxx f -=（ ）A.在上递减在上递增]2,23(),23,[,],2(),2,0[πππππππ， B. .在上递减在上递增]2,23(],,2(,)23,[),2,0[πππππππ C. .在上递减在上递增)23,[),2,0[,]2,23(],,2(πππππππ D.在上递减在上递增],2(),2,0[,]2,23(),23,[πππππππ 7.已知的值为则且2tan ,270180,53cos 00θθθ<<-=（ ）A. 2 B. -2 C. 2± D. 21±8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππφφ-∈-=-x x x ，则=φ（ ）A. 6π- B. 6π C. 65π D. 65π-9.的值是则设αααπαcos2,31cos sin ),,0(=+∈（ ）A. 917 B. 322- C. 917- D. 917或917- 10.在（0，2π）内，x x cos sin >成立的x 的取值范围（ ）A. )45;()2,4(ππππ B.),4(ππ C. )45,4(ππ D. )23,45(),4(ππππ 11. 求=115cos 114cos 113cos 112cos 11cos πππππ（ ）A. 521B. 421 C. 1 D. 0 12. 函数472cos sin cos 2+--=x x x y 的最大值为（ ）A. 74 B. 2 C. 411 D. 41513．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ；14． 如果=-+=--)cos()sin(,033tan tan 2βαβαβα那么的两根是方程、x x 。

第2课时 三角恒等变换的应用题型一 三角恒等变换与三角函数性质的综合 【典例1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．[思路导引] 先降幂，再用辅助角公式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，从而研究三角函数的性质．[解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k π＋5π12，k ∈Z .(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．[针对训练]1．已知函数f (x )＝23sin(x －3π)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos2x 0的值．[解] f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)f (x )的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6. 又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，cos2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 题型二三角恒等变换在实际生活中的应用【典例2】 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？[思路导引] 在△AOB 中利用∠AOB 表示OA ，AB 的长，然后表示出矩形面积：2OA ·OB ，从而得到面积与角间的函数关系，再通过求函数的最值得到面积的最值．[解] 画出图象如右图所示，设∠AOB ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，即S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时，A ，D 距离O 点都为22a .解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．[针对训练]2.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．[解] 连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos(2θ－45°)－12. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S max ＝2－12(m 2)． ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2. 课堂归纳小结1．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：(1)φ与点(a ，b )同象限；(2)tan φ＝b a(或sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2)．2．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握，例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等.1．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数[解析] ∵f (x )＝1－cos2x 2－12＝－12cos2x∴最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数．[答案] D2．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 [解析] y ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12，故选C.[答案] C3．函数f (x )＝sin x (cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π4 B.π2C ．π D．2π[解析] 由f (x )＝sin x (cos x －sin x )＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin2x －1－cos2x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12，可得函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故选C.[答案] C4．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为______．[解析] ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， ∴f (x )的最小值为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1[答案] －1课后作业(五十三)复习巩固一、选择题1．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1B ．2 C.32D ．3[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.即f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值为32. 故选C. [答案] C2．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3[解析] f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x 是奇函数．[答案] D3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0[解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π.∵x ∈[－π，0]，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0，故选D. [答案] D4．设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.则ω的值为( )A ．1 B.12 C.13 D.14[解析] f (x )＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ，依题意得2ω·π6＋π3＝π2，解之得ω＝12.[答案] B5．已知函数f (x )＝cos2x －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤π3，则( )A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值[解析] 因为f (x )＝cos2x －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos2x －1sin2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ，0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D.[答案] D 二、填空题6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．[解析] f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，所以T ＝2π2＝π.[答案] π7．在△ABC 中，若3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A tan B ＝________.[解析] 因为3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，所以32cos(A －B )－52cos(A ＋B )＝0，所以32cos A cos B ＋32sin A sin B －52cos A cos B ＋52sin A sin B ＝0， 即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A tan B ＝14.[答案] 148．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋32π－3cos x 的最小值为________． [解析] f (x )＝－cos2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋342－18∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝1时，f (x )min ＝－4. [答案] －4 三、解答题9．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．[解] (1)∵f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)∵f (α)＝22，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.∴4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.10．已知f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(x ∈R )．(1)求f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )的对称轴、对称中心．[解] f (x )＝52sin2x －53×1＋cos2x 2＋532＝52sin2x －532cos2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )．(2)对称轴方程是：x ＝12k π＋512π，(k ∈Z )；对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋π6，0(k ∈Z )．综合运用11．函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[解析] y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝12sin2x ，是奇函数．故选A. [答案] A12．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形[解析] 由已知得，sin A sin B ＝1＋cos C2，又∵cos C ＝－cos(A ＋B )，∴2sin A sin B ＋cos(A ＋B )＝1，∴cos(A －B )＝1，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴△ABC 是等腰三角形，故选B.[答案] B13.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．[解析] 题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，所以两条直角边的长分别为3,4.则cos θ＝45，cos2θ＝2cos 2θ－1＝725. [答案] 725 14．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是______，最小值是________． [解析] ∵A ＋B ＝2π3， ∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos2A ＋1＋cos2B ) ＝1＋12(cos2A ＋cos2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )， ∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32； 当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. [答案] 32 1215.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD ，已知草坪长AB ＝100米，宽BC ＝503米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE ，HF 和EF ，并要求H 是CD 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EHF 为直角，如图所示．(1)设∠CHE ＝x (弧度)，试将三条路的全长(即△HEF 的周长)L 表示成x 的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．[解] (1)∵在Rt △CHE 中，CH ＝50，∠C ＝90°，∠CHE ＝x ，∴HE ＝50cos x. 在Rt △HDF 中，HD ＝50，∠D ＝90°，∠DFH ＝x ，∴HF ＝50sin x. 又∠EHF ＝90°，∴EF ＝50sin x cos x， ∴三条路的全长(即△HEF 的周长)L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x. 当点F 在A 点时，这时角x 最小，求得此时x ＝π6； 当点E 在B 点时，这时角x 最大，求得此时x ＝π3.故此函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3. (2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF 的周长L 的最小值即可．由(1)得L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， 设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝t 2－12，∴L ＝50(t ＋1)t 2－12＝100t －1. 由t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，得3＋12≤t ≤2， 从而2＋1≤1t －1≤3＋1， 当x ＝π4，即CE ＝50时，L min ＝100(2＋1)， ∴当CE ＝DF ＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．。

高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学案（含解析）新人教A 版必修4考试标准课标要点学考要求高考要求二倍角的正弦、余弦、正切公式c c 倍角公式的应用bb学法指导1.二倍角公式就是上一节所讲的和(差)角公式的特殊情形(α＝β)． 2．本节所讲的二倍角具有相对性，注意体会公式的本质． 3．公式要记忆准确，并会灵活运用其变形公式.1.二倍角公式记法 公式推导 S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α S (α＋β)――→令α＝βS 2α C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2α C (α＋β)――→令α＝βC 2α cos 2α＝1－2sin 2α利用cos 2α＋状元随笔 细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用． 2．二倍角公式的变形(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α； 1－cos 2α＝2sin 2α.(2)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2.12sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18 C.116 D.12解析：原式＝14×2sin 15°cos 15°＝14×sin 30°＝18.答案：B3．计算1－2sin222.5°的结果等于( )A.1 2B.22C.33D.32解析：1－2sin222.5°＝cos 45°＝22.答案：B4．已知α为第三象限角，cos α＝－35，则tan 2α＝________. 解析：因为α为第三象限角，cos α＝－35，所以sin α＝－1－cos2α＝－45，tan α＝43，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×431－⎝⎛⎭⎪⎫432＝－247.答案：－247类型一二倍角的正用、逆用例1 (1)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C．－79D．－89(2)计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝________；(3)计算：1－tan2π12tanπ12＝________.【解析】 (1)cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.(2)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2 sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.(3)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan 2π122tan π12＝2tanπ6＝2 3.【答案】 (1)B (2)18 (3)2 3(1)cos 2α＝1－2sin 2α.(2)构造二倍角的正弦公式，分子视为1，分子分母同时乘以2sin 20 °. (3)运用二倍角的正切化简求值． 方法归纳应用二倍角公式化简(求值)的策略(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 跟踪训练1 求下列各式的值． (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π5cos 2π5.【解析】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°) ＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝2sin π5cos π5cos2π52sinπ5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sinπ54sinπ5＝14.利用二倍角公式求值，注意二倍角是相对的，例如π6是π12的二倍，25π是π5的二倍．类型二 给值求值例 2 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则sin 2α＝__________，cos 2α＝____________，tan 2α＝____________；(2)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x 的值．【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫552＝35， tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43，故填－45，35，－43.(2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，所以cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169.【答案】 (1)－45，35，－43 (2)见解析(1)由sin α求cos α，再利用二倍角公式求值．(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .利用二倍角求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ，再利用诱导公式求值．方法归纳三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2π4－x －1＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；②cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .跟踪训练2 本例(2)条件不变，求sin2x 的值．解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，所以22cos x －22sin x ＝513， 所以12cos 2x －sin x cos x ＋12sin 2x ＝25169，所以sin x cos x ＝119338，所以sin 2x ＝119169.先化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，再平方可得sin 2x.类型三 简单的化简证明 例3 (1)已知cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝52，则tan α＋1tan α等于( ) A.－8 B ．8C.18 D ．－18(2)求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B .【解析】 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin α＋cos α＝cos α－sin α＝52⇒(cos α－sinα)2＝54⇒sin αcos α＝－18，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝－8.(2)左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边，所以等式成立． 【答案】 (1)A (2)见解析(1)利用二倍角的余弦、两角和的正弦展开，再由切化弦化简求值．(2)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差公式转化为右边形式．方法归纳三角函数式的化简与证明(1)化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低．(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．跟踪训练3 化简： (1)12＋1212＋12cos 2α，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π； (2)1＋sin θ－1－sin θ，其中θ∈(0，π)． 解析：(1)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，∴cos α2<0.故原式＝12＋12cos 2α＝12＋12cos α＝cos2α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.(2)原式＝ sin2θ2＋cos2θ2＋2sin θ2cos θ2－sin2θ2＋cos2θ2－2sin θ2cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2.①当θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2时，θ2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，cos θ2≥sin θ2，此时原式＝sin θ2＋cos θ2－cos θ2＋sin θ2＝2sin θ2.②当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，cos θ2<sin θ2，此时原式＝sin θ2＋cos θ2－sinθ2＋cos θ2＝2cos θ2.利用二倍角公式及变形公式化简，同时注意角的范围． 3.1.3[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75B.125 C.1225 D.2425解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2425.答案：D2．已知cos α＝－35，则cos 2α等于( )A.725 B ．－725 C.2425 D ．－2425解析：cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.答案：B3．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A ．2 B ．－2 C.34 D ．－34解析：因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.答案：D4．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin 2θ的值为( )A ．－65 B.65C ．－45 D.45解析：cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝65.故选B. 答案：B5．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为( )A ．±74 B.74 C ．－74 D ．－34解析：因为sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，所以1＋2sin αcos α＝14，所以sin 2α＝－34，且sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－72， 所以cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－74.故选C. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分) 6.1－tan 215°2tan 15°等于________． 解析：原式＝1tan 30°＝133＝ 3.答案： 37．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________.解析：∵sin θ2＋cos θ2＝233，∴⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43，即1＋2sin θ2cos θ2＝43，∴sin θ＝13，∴c os 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案：13 798．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________.解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝－79.答案：－79三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列各式的值． (1)2cos2π12－1；(2)tan 30°1－tan 230°； (3)cos π12cos 5π12； (4)cos π7cos 3π7cos 5π7. 解析：(1)2cos 2π12－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32. (2)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32. (3)cos π12cos 5π12＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14. (4)cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝⎛⎭⎪⎫－cos 4π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7 ＝2sin π7cos π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos 4π74sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. 10．化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ； (2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α. 解析：(1)原式＝1＋tan θ－1－tan θ1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan2θ(2)原式＝2cos 2α－12sin π4－αcos π4－α·cos 2π4－α ＝2cos 2α－12sin π4－αcos π4－α ＝cos 2αsin π2－2α＝cos 2αcos 2α ＝1 [能力提升](20分钟，40分)11．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13C.12D.23解析：∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 答案：A12．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________. 解析：原式＝22sin α＋cos α2sin αcos α＋2cos 2α＝2sin α＋cos α4cos αsin α＋cos α. ∵α为第二象限角，且sin α＝154， ∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－14， ∴原式＝24cos α＝－ 2. 答案：－ 213．证明：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ＝tan θ.证明：证法一 左边＝sin 2θ＋1－cos 2θsin 2θ＋1＋cos 2θ＝2sin θcos θ＋1＋1－2cos 2θ2sin θcos θ＋1＋2cos2θ－1＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2 θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋sin θcos θsin θ＋cos θ＝tan θ＝右边． ∴原式成立．证法二：左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＋cos 2θ－sin 2θ ＝sin 2θ＋2sin 2θsin 2θ＋2cos 2θ＝2sin θsin θ＋cos θ2cos θsin θ＋cos θ＝tan θ＝右边．∴原式成立．证法三：左边＝1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ ＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＋cos 2θ－sin 2θ ＝sin θ＋cos θ2－cos θ＋sin θcos θ－sin θsin θ＋cos θ2＋cos θ＋sin θcos θ－sin θ ＝sin θ＋cos θsin θ＋cos θ＋sin θ－cos θsin θ＋cos θsin θ＋cos θ＋cos θ－sin θ＝sin θcos θ＝tan θ＝右边． ∴原式成立．14．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解析：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因此tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan α＋β1＋tan 2αtan α＋β＝－211.。

1、知识目标：以已有的十一个公式为依据，以求三角函数的周期，最值，三角函数恒等式的证明为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法。

2、能力目标：体会三角变换的特点，提高推理，运算的能力。

能运用化归转化的数学思想方法对三角函数的变换过程进行设计，不断提)B ϕ+的周期，最值，单调区间： 2. 三角函数和差角公式： 3.三角函数二倍角公式： 4.辅助角公式： 二、问题设置： 问题1、求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最大值和最小值。

问题2、证明：21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+三、知识探究：探究问题1：思考1：求解函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最值与求函数y sin()A x B ϖϕ=++的周期，最值有什么区别与联系吗？答：问题都是一样的；如果能把函数22tan tan 2y cos)tan 2tan αααααα=--转化为函数y sin()A x B ϖϕ=++，那么，函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期和最值就可以求解了。

思考2：如何将函数22tan tan 2y cos )tan 2tanαααααα=+--转化为y sin()A x B ϖϕ=++的形式呢？思考3：观察函数22tan tan 2y cos )tan2tan αααααα=+--与函数y sin()A x B ϖϕ=++形式的差别，有哪些？答：函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--中三角函数的种类多，角也是两种不同的角思考4：在问题3中所找到的差别，我们能否转化消除？如果能，怎样转化消除？答：正切化正弦，可以减少一种三角函数，tan 2α可以通过正切的二倍角公式转化为单角，这样就可以和其它三角函数的角一样了 思考5：当我们把函数22tan tan 2y cos )tan2tan αααααα=--中与y sin()A x B ϖϕ=++不同的地方全部转化消除了，是否意味着我们可以求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期，最大值和最小值？思考6：如何书写此问题的解答过程？请在下面写出来： 解答：反思总结：探究问题2：思考7：这是三角恒等式的证明问题，在学习同角三角函数关系的时候，我们已经接触过三角函数恒等式的证明问题，请问三角恒等式的证明有哪些方法？思考8：若用“从等式的左边推证得出等式的右边”的方法证明此恒等式，你认为其核心思想是什么？与思考1问题解决的核心思想有什么样的关系？思考9：结合思考1的解题思路，给出思考2的解答反思总结：四．知识巩固：1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值： （1）y sin 2cos 2x x =（2）2y 2cos 12x=+（3）y sin 4x x =+2、求证：（1）2(sin 2cos2)1sin 4x x x -=- （2）12tan 2tan tan2θθθ-=-（3）1sin 2cos sin cos sin θθθθθ+=++ （4）1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++（5）tan()tan()2tan 2424xx x ππ++-=（6）21cos 22sin 2x x ++= ）。

第2课时 简单的三角恒等变换必备知识预案自诊考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是7.( ) (2)在斜三角形ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.( ) (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的. ( ) (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α. ( )2.化简:sinα-2cos 2α2sin(α2-π4)=( )A.2√2cos α2B.cosB √2α2C.2√2sin α2D.sinD √2α2 3.已知sinπ6-α=√23,那么cos 2α+√3sin 2α= ( )A.109B.-B 109C.-C 59 D .594.若tan α=-3,则1cos 2α+2sinαcosα的值为( ) A.103B.53C.23D.-D25.设α1,α2∈R ,且12+sinα1+20182+sin2α2=2 019,则tan(α1+α2)= .?关键能力学案突破考点三角函数式的化简【例1】(1)sin (π+2α)1+cos2α·cos 2αcos(π2+α)等于( )A.-sin αB.-cosB αC.sinC αD.cosD α (2)化简:sin (2α+β)sinα-2cos(α+β).解题心得1.三角函数式化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化等.2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.3.化简、求值的主要技巧:(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.对点训练1(1)化简:sin2α-2cos 2αsin(α-π4)= .?(2)化简:2cos 2α-12tan(π4-α)cos 2(π4-α).考点三角函数式的求值(多考向探究)考向1 给角求值 【例2】cos10°(1+√3tan10°)cos50°的值是 .?解题心得三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.对点训练2求值:cos20°cos35°√1-sin20°=( ) A.1 B.2 C.√2D.√3考向2 给值求值 【例3】已知sin α+π4=√210,α∈π2,π.求:(1)cos α的值; (2)sin 2α-π4的值.解题心得三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.对点训练3(1)(2020河北保定二模,文6,理6)已知sin π3+α=cos π3-α,则cos 2α=( )A.0B.1C.√22D.√32(2)设α为锐角,若cos α+π6=45,则sin 2α+π12的值为 .? 考向3 给值求角【例4】(1)(2020湖南师大附中一模,理7)已知α为锐角,且cos α(1+√3tan 10°)=1,则α的值为( ) A.20° B.40° C.50° D.70° (2)若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解题心得解决“给值求角”问题的一般思路从给的条件中先求出角的某种三角函数的值;然后根据已知条件确定角的范围;最后根据角的范围写出所求的角.在求角的某种三角函数值时,选函数的原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦较好.对点训练4(1)已知锐角α,β满足sin α=√55,cos β=3√1010,则α+β等于( )A.3π4B.π4或3π4C.π4D.2k π+π4(k ∈Z )(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .?考点三角恒等变换的综合应用【例5】(2020江西名校大联考,理17)已知函数f (x )=2a sin π2-x cos (x -2π3),且f (π3)=1. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期; (2)若f (α)=-13,α∈(0,π2),求sin 2α.解题心得解决三角函数图像与性质综合问题的方法先将y=f (x )化为y=a sin x+b cos x 的形式,然后用辅助角公式化为y=A sin(ωx+φ)的形式,再借助y=A sin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.对点训练5(2019浙江,18)设函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.1.三角恒等变换主要有以下四变:(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常有切化弦、正弦与余弦互化等. (3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的是有利于应用公式.(4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法通常有:常值代换、逆用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等. 2.三角函数恒等变换“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan45°等. (2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α=12[(α+β)+(α-β)]. (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换先把函数化为最简形式y=A sin(ωx+φ),再研究其性质,解题时注意观察角、三角函数名、式子结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.第2课时 简单的三角恒等变换必备知识·预案自诊考点自诊1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√2.A 原式=2sin α2cos α2-2cos 2α2√22(sin α2-cos α2)=2√2cos α2.3.A ∵cos2α+√3sin2α=2sin 2α+π6=2sinπ2−π3+2α=2sinπ2-2π6-α=2cos [2(π6-α)]=2-4sin 2π6-α=109. 4.D tan α=-3,即1cos 2α+2sinαcosα=sin 2α+cos 2αcos 2α+2sinαcosα=tan 2α+11+2tanα=9+11-6=-2.故选D .5.1 ∵α1,α2∈R ,且12+sinα1+20182+sin2α2=2019,∴sin α1+2=1,2+sin2α2=1,求得sin α1=-1,sin2α2=-1,∴α1=2k π-π2,且2α2=2n π-π2,k ,n ∈Z ,∴α2=n π-π4,n ∈Z ,∴α1+α2=(2k+n )π-3π4,n ,k ∈Z , ∴tan(α1+α2)=tan (-3π4)=1.关键能力·学案突破例1(1)Dsin (π+2α)1+cos2α·cos 2αcos(π2+α)=-sin2αcos 2α2cos 2α(-sinα)=-2sinαcosα·cos 2α2cos 2α(-sinα)=cos α.(2)解原式=sin (2α+β)-2sinαcos (α+β)sinα=sin [α+(α+β)]-2sinαcos (α+β)sinα=sinαcos (α+β)+cosαsin (α+β)-2sinαcos (α+β)sinα=cosαsin (α+β)-sinαcos (α+β)sinα=sin [(α+β)-α]sinα=sinβsinα.对点训练1(1)2√2cos α 原式=2sinαcosα-2cos 2α√22(sinα-cosα)=2√2cos α.(2)解原式=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)=cos2αsin(π2-2α)=cos2αcos2α=1.例22 原式=cos10°+√3sin10°cos50°=2sin (10°+30°)cos50°=2sin40°sin40°=2.对点训练2C 原式=cos20°cos35°|sin10°-cos10°|=cos 210°-sin 210°cos35°(cos10°-sin10°)=cos10°+sin10°cos35°=√2(√22cos10°+√22sin10°)cos35°=√2cos (45°-10°)cos35°=√2cos35°cos35°=√2.例3解(1)由sin α+π4=√210,得sin αcos π4+cos αsin π4=√210, 化简得sin α+cos α=15, ① 又sin 2α+cos 2α=1, ②且α∈π2,π,解得cos α=-35. (2)∵α∈π2,π,cos α=-35,∴sin α=45,∴cos2α=1-2sin 2α=-725,sin2α=2sin αcos α=-2425,∴sin 2α-π4=sin2αcos π4-cos2αsin π4=-17√250.对点训练3(1)A (2)17√250(1)由sinπ3+α=cos π3-α,得√32cos α+12sin α=12cos α+√32sin α,所以sin α=cos α,cos2α=cos 2α-sin 2α=0.(2)∵α为锐角,且cos α+π6=45>0,∴α+π6∈π6,π2,∴sin α+π6=35. ∴sin 2α+π12=sin 2α+π6-π4=sin2α+π6cos π4-cos2α+π6sin π4=√2sin α+π6cos α+π6-√222cos 2α+π6-1=√2×35×45−√222×452-1=12√225−7√250=17√250. 例4(1)B (2)A (1)由cos α(1+√3tan10°)=1可得cos α·√3sin10°+cos10°cos10°=1,即cos α·2sin40°cos10°=1, ∴cos α=cos10°2sin40°=sin80°2sin40°=2sin40°cos40°2sin40°=cos40°.∵α为锐角,∴α=40°.故选B .(2)∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.∵sin2α=√55,∴2α∈π2,π,∴α∈π4,π2,且cos2α=-2√55. 又sin(β-α)=√1010,β∈π,3π2, ∴β-α∈π2,5π4,cos(β-α)=-3√1010, ∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α] =cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α =-3√1010×-2√55-√1010×√55=√22, 又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7π4. 对点训练4(1)C (2)-3π4(1)由sin α=√55,cos β=3√1010,且α,β为锐角,可知cos α=2√55,sin β=√1010, 故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2√55×3√1010−√55×√1010=√22, 又0<α+β<π,故α+β=π4. (2)因为tan α=tan[(α-β)+β] =tan (α-β)+tanβ1-tan (α-β)·tanβ=12-171+12×17=13>0,所以0<α<π2. 又因为tan2α=2tanα1-tan 2α=2×131-(13)?2=34>0,所以0<2α<π2.所以tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-34×17=1.因为tan β=-17<0, 所以π2<β<π,-π<2α-β<0, 所以2α-β=-3π4.例5解(1)由已知f (π3)=1,得2a×12×12=1,解得a=2.所以f (x )=4cos x√32sin x-12cos x=2√3sin x cos x-2cos 2x=√3sin2x-cos2x-1=2sin (2x -π6)-1.所以f (x )=2sin (2x -π6)-1的最小正周期为π.(2)f (α)=-13,2sin (2α-π6)-1=-13,sin (2α-π6)=13,因为α∈(0,π2),所以2α-π6∈(-π6,5π6).又因为sin (2α-π6)=13<12,所以2α-π6∈(0,π6). 所以cos (2α-π6)= √1-sin 2(2α-π6)=2√23, 则sin2α=sin (2α-π6)+π6=sin (2α-π6)cos π6+cos (2α-π6)sin π6 =13×√32+2√23×12=√3+2√26. 对点训练5解(1)因为f (x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin x cos θ+cos x sin θ=-sin x cos θ+cos x sin θ,故2sin x cos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.(2)y=fx+π122+fx+π42=sin 2x+π12+sin 2x+π4=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2=1-12√32cos2x-32sin2x =1-√32cos2x+π3.因此,函数的值域是1-√32,1+√32.。

- 1 -3.2简单的三角恒等变换学案【学习目标】掌握降次公式（半角公式）的降次作用,能正确运用三角公式进行三角恒等变换。

【重点、难点】灵活的运用将次公式进行三角恒等变换 【基础梳理】1、 )sin(βα+= )sin(βα-= =+)cos(βα =-)cos(βα =+)tan(βα =-)tan(βα2、辅助角公式： x b x a cos sin +=3、α2sin = =α2cos = =4、降幂升角 2sin α= 2cos α= 5．用αcos 表示下列三角函数式：2sin2α= ；2cos2α= 2tan2α=【预习自测】1.75sin 15sin 的值是 。

2.化简：2cos 2sinxx = x x sin cos -= 3.证明：（1）2(sin cos )1sin 2θθθ-=-；（2）44cos sin cos 2ααα-=. 4. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 【典例探讨】1.倍角或半角公式的简单应用 例1、 试以αcos 表示2tan ,2cos ,2sin 222ααα。

分析：α是2α的二倍角，在二倍角的余弦公式中以α代替2α，以2α代替α， 即得222sin,cos ,tan 222ααα相除得. 探讨：你能进一步求出sin,cos,tan222ααα的值吗？变式1：已知43sin -,(,2)52πααπ=∈，sin ,cos ,tan 222ααα的值。

变式2：已知α是钝角，β是锐角，且4sin 5α=，12sin 13β=，求-cos 2αβ的值. 2．倍角或半角公式的灵活应用：三角函数式的求值例2：已知：sin 22sin()sin()4242απαπα=-+，求25sin 23sin cos ααα-的值. 分析：4242παπα-+与的和为2π，所以sin()=cos()4222παπα+-，代入化简；给值、求值的关键是找出已知的式子与欲求的式子之间的关系，适当变换已知的式子和欲求的式子，即可. 变式3：已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2sin 22cos θθ-的值. 【课堂检测】1.已知135sin =α，且α在第二象限，求2sin α ，2tan α的值。

三角恒等变换练习题1. 证明： sin^2(x) + cos^2(x) = 1解析：根据三角恒等变换公式 sin^2(x) + cos^2(x) = 1，我们需要证明这个公式的正确性。

下面是证明过程：由于 sin(x) = opp/hyp 和 cos(x) = adj/hyp，其中 opp 表示对边，adj 表示邻边，hyp 表示斜边。

根据勾股定理，我们知道在一个直角三角形中，斜边的平方等于对边的平方与邻边的平方之和。

即 hyp^2 = opp^2 + adj^2。

将 opp/hyp 和 adj/hyp 代入上述公式，则得到：sin^2(x) + cos^2(x) = (opp/hyp)^2 + (adj/hyp)^2 = opp^2/hyp^2 +adj^2/hyp^2 = (opp^2 + adj^2)/hyp^2由于 opp^2 + adj^2 = hyp^2，代入上面的等式可以得到：sin^2(x) + cos^2(x) = (opp^2 + adj^2)/hyp^2 = hyp^2/hyp^2 = 1因此，sin^2(x) + cos^2(x) = 1 成立，证毕。

2. 化简：tan(x) / (sec(x) - 1)解析：我们需要将表达式 tan(x) / (sec(x) - 1) 进行化简。

下面是化简过程：首先，我们知道 tan(x) = sin(x) / cos(x) 和 sec(x) = 1 / cos(x)。

将上述等式代入表达式 tan(x) / (sec(x) - 1)，得到：(sin(x) / cos(x)) / (1 / cos(x) - 1)接下来，我们需要找到表达式中的公共分母，并进行合并。

首先，将 1 / cos(x) 相减得到：1 / cos(x) - 1 = (1 - cos(x)) / cos(x)代入原表达式，得到：(sin(x) / cos(x)) / ((1 - cos(x)) / cos(x))接下来，我们将除法转化为乘法，并得到：(sin(x) / cos(x)) * (cos(x) / (1 - cos(x)))cos(x) 可以约去，得到最终的结果：sin(x) / (1 - cos(x))因此，化简后的结果为 sin(x) / (1 - cos(x))。