《简单的三角恒等变换》教学设计

第四章 第二讲 简单的三角恒等变换(第一课时)【目标分解】1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；1、同角三角函数的基本关系：平方关系： ；商数关系： ；倒数关系： .若α是三角形的一个内角,53cos =α,则sin _______, tan ______αα==.2、诱导公式：记忆方法（口诀）： .由 ()2k k Z πα⋅±∈中k 是奇数还是偶数，确定__________是否改变；由该角所在的象限确定______.用诱导时先将α看作锐角. 如：计算 tan 600︒=_________; 17cos()3π=__________.3、 两角和与两角差公式：()βα±cos= ；()βα±sin = ；()βα±tan = .4、 二倍角公式及其变式：升幂公式：α2cos = = = ；α2sin = ； α2tan =降幂公式：sin cos αα=____________， 2cos α=______________， 2sin α=______________. 【考点剖析】考点1：诱导公式1.已知α是第三象限角，且)sin()cot()23tan()2cos()sin()(αππαπααπαπα----+---=f 。

（1）化简)(αf ； （2）若51)23cos(=-πα，求)(αf 的值；化简：sin()2 ()cos()2n n Z n παπα+∈+=________ 分类讨论要做到不重不漏. 考点2：同角三角函数的基本关系2. 见《备考指南》P.42例23.已知αsin 和αcos 是方程052=+-m x x 的两实根，求：（1）m 的值； （2）当),0(πα∈时，)3tan(απ-的值；已知sin cos sin -cos sin cos αααααα+、、中的一个值，可求另两个的值， 运用的公式是：_________________________________.”.【课后巩固练习】温故知新，请完成《备考指南》练习册 P.67 ~P.68 【课后提高练习】 1、)619sin(π-的值等于( )A 、21 B 、21-C 、23 D 、23-2、如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π_______.3、已知a = 200sin ，则160t a n等于( ) A 、21aa --B 、21aa - C 、aa 21--D 、aa 21-4.若α是三角形的一个内角，且21)23cos(=+απ，则α＝_______.5、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为_______. 答案：1、C 2、D 3、C 4、54-；5.1003-.一、教学整体把握上的反思：通过对近三年高考试题的分析可以看出，对于诱导公式和同角三角关系知识点的考查一般是以基础题为主，难度不会太大，属于低、中档题目，整个命题过程主要是侧重以三角函数的定义为载体，求三角函数值。

必修四第3章 三角恒等变形3.2 简单的三角恒等变换教学目的：知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式能用所学知识解决有关综合问题情感目标：创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学过程：导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α=53,α∈(2π,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：()22sin sin sin cos cos sin sin cos ααααααααα=+=+=的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin2α=2sin αcos α（S 2α）;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去). 若tan2α=2tan α,则aa 2tan 1tan 2-=2tan α,∴tan α=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）二、例题讲解例1 已知2sin 3α=，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值．解 由2sin 3α=，(,)2παπ∈，得cosα又由3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈，得sinβ＝－45，∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+＝234()()355-+-=． 点拨 本例主要介绍正弦和角公式的“正用”．让学生从条件、求解结果等方面展开讨论，自己改编习题，并予以解答.预设三：条件不变，求sin()αβ-的值．预设四：改变角的范围，仍然求sin()αβ+的值.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，对于预设四要请学生对改变条件的合理性进行探讨，如学生改变了角的取值范围，可能会出现矛盾等．教师再予以点拨.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，如已知2sin 3α=-，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值． 预设五：把角度限制去掉，即已知2sin 3α=-，3cos 5β=-，求sin()αβ+的值．让学生讨论解的情况，通过以上讨论使学生能从正面熟练应用公式．例2 化简（1）sin14°cos16°＋sin16°cos14°＝ 12； （2）sin()cos cos()sin αββαββ-+-＝ sinα ；（3）cos （70°＋α）sin （170°－α）－sin （70°＋α）cos （10°＋α）＝2． 点拨 本例目的在于让学生能熟悉两角和与差的正弦公式的逆用． 预设六：怎样求 3 sin15°＋cos15°的值？引导学生利用特殊角的三角函数构造两角和的三角函数公式，为后面学习辅助角公式打下伏笔．例3 已知,,.()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈，4cos 5β=，α，β均为锐角，求sinα．帮助学生分析条件，寻找解题的突破口.即让学生发现α＝（α＋β）－β，这样问题就可以得到解决.解 ∵α，β均为锐角，则0°<α＋β<180°，∴sinβ>0，sin （α+β）>0， 由5cos()13αβ+=得12sin()13αβ+=，由4cos 5β=得3sin 5β=． ∴sin[()]sin()cos cos()sin αββαββαββ+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=． 点拨 本例主要介绍利用“变角”，创造应用和角公式的条件，使问题获得解决．常见变角有β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）……预设七：让学生讨论问题：“已知15cos(30),(30,90)17αα-︒=∈︒︒，求sinα的值”.请同学们提出解题方案． 可能性解决方案一：将15cos(30)17α-︒=展开，得到115sin 2217αα+=，由α∈（30°，90°）知sinα>0，cosα>0，再结合22sin cos 1αα+=，可求得sinα的值.必须指出此方案运算量大，不易求解．可能性解决方二：变角α＝（α－30°）＋30°，由α∈（30°，90°）知sin(30)0α-︒>，利用正弦的和角公式可以较快地解决此问题.必须指出通过变角，构造应用公式的条件，这是一种创造性的学习，有利于培养学生的创新精神．例4 求证： sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=． 预设八：由学生自主完成对本题的分析，找出解决本题的突破口，即将等式中的角统一用A ＋B 及A 来表示，以消除角的差异．证 左边＝sin[()]2cos()sin sin A B A A B A A++-+ sin()cos cos()sin 2cos()sin sin A B A A B A A B A A+++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A +-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-==＝右边. ∴等式成立.点拨 本题是通过变角达到灵活运用公式的一个典范，通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一.例5 求2cos10sin 20cos 20︒-︒︒的值. 预设九：学生讨论，寻找角度之间的关系，使非特殊角与特殊角挂上钩.让学生发现解决本题的关键在于统一角度，不难得到10°＝30°－20°.解 原式＝2cos(3020)sin 202(cos30cos 20sin 30sin 20)sin 20cos 20cos 20︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒=︒︒＝12(cos 20sin 20)sin 2022cos 20︒+︒-︒=︒点拨 非特殊角的三角函数求值问题，通常要挖掘题目中的隐含条件，以达到创造使用公式的条件.课堂小结：二倍角的正弦、余弦、正切公式222cos cos sin ααα=-22sin sin cos ααα=22tan tan 21tan ααα=- 板书设计：。

第2课时（一）导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开.思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）推进新课、新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sin x ，y=cosx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例思路1例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠C OP =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt△OBC 中,BC =cosα,BC=sinα,在Rt△OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα. 所以AB=OB-OA =cosα33-sinα. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63. 由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠C OP =α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练(2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+sin(ωx -6π)-2cos 22xω,x∈R(其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间.解:(1)f(x)=23sinωx+21cosωx+23sinωx -21cosωx -(cosωx+1) =2(23sinωx -21cosωx)-1=2sin(ωx -6π)-1. 由-1≤sin(ωx -6π)≤1,得-3≤2sin(ωx -6π)-1≤1,可知函数f(x)的值域为［-3,1］.(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2kπ-2π≤2x -6π≤2kπ+2π(k∈Z),解得kπ-6π≤x≤kπ+3π(k∈Z).所以y=f(x)的单调增区间为［kπ-6π,kπ+3π］(k∈Z).点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π),所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π].当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.和即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx 对任意x 都成立. 又ω>0,所以,得cosφ=0. 依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π.由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0.∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,….∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,…. 当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数. 所以,综合得ω=32或ω=2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先21又∵tanα=tan［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π.又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等.（四）课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.（五）作业。

2.3简单的三角恒等变换【教学目标】1．能运用两角差的余弦公式推导出两角差与和的正弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式.2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式推导出半角公式，万能公式以及积化和差与和差化积公式，了解它们的内在联系.3．能运用上述公式进行简单的恒等变换，增强学习的积极性，避免对公式的生搬硬套，培养学生的探究意识和严谨的思维品质.【教学重点】推导出半角公式，万能公式以及积化和差与和差化积公式.【教学难点】灵活运用上述公式进行简单的恒等变换.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】多媒体平台．【核心素养】数学抽象，数学运算，逻辑推理．【教学过程】一、创设情境，引入课题复习回顾：我们刚刚学习了两角差与和的正弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，同学们还能回顾一些这些公式的源头是谁吗？我们从哪个公式作为逻辑推理的起点的呢？没错，就是从向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进而一步步得到了后续的公式，我们今天要学习的内容也是建立在前面内容的基础上，进行新的探究和推导.将一个三角函数式变为与之恒等的其他三角函数式的变换过程,称为三角恒等变换. 进行三角恒等变换时,一般要使用三角函数间的关系式,除了我们刚刚学过的那些公式，还有下面要推导的半角公式：二、归纳探索，形成概念半角公式首先提问同学，上节课学习的二倍角公式：再由老师板书：二倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααα2tan 1tan 22tan -=ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=在数学研究中，公式经常要灵活理解和运用，比如我们这两节课的学习内容：倍角公式和半角公式，“倍”与“半”都是相对而言的。

结合刚刚复习的倍角公式，你能由αcos 推导出2tan ,2cos ,2sin ααα的数值吗？给同学们一点的时间思考，提问：运用倍角公式，看看能不能得出什么新的关系式？请一位学生回答，由老师板书推导过程：我们从余弦的倍角公式入手，很容易得到正弦的半角公式.下面再给同学们1分钟的时间思考，提问：能不能仿照这个推导过程，得到余弦的半角公式呢？请一位学生回答，由老师板书推导过程：而根据同角三角函数关系，正切的半角公式是不是也就水到渠成了呢？再请一位学生回答，由老师板书推导过程：同学们都应该已经完成了，我们现在得到了正弦、余弦和正切的半角关系式，只不过它们还是平方的形式，我们将上面的三个等式左右两端分别开平方，可得由老师板书：我们就得到了三组半角公式.由于是开平方，具体的正负号，要根据半角所在的象限来判断.我们除了学习数学知识，更要学会通过现象看本质.相信细心的同学不难发现，半角公式和倍角公式实质上是对同一公式的不同变形.三、运用公式，适当延展例1.如果|cos θ|=，＜θ＜3π，求sin 的值？ 解: 根据＜θ＜3π可知角θ是第二象限角，其余弦值为负，即cos θ=-，而＜＜，是为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果-.这道题就是要求同学们注意半角的范围，进而确定所求三角函数值的符号.例2已知α∈(−π2,0)，cosα=45，求tan α2的值？ 解：由α∈(−π2,0)及cosα=45，得到sinα=−35， 故tan α2=sinα1+cosα=−351+45=−13． 可以在讲解时，引出这个解法，呼应教材中的例25125π2θ25π5145π2θ23π515积化和差与和差化积公式在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或者差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式，这应如何转化呢？借鉴前面通过两个单位向量的数量积得出差角余弦公式的思路，我们继续尝试用向量的方法来探讨如何将三角函数的和或差转化为积的形式：我们下来就用和角与差角公式来证明.请一位学生回答，由老师板书推导过程：我们通过设两个参数来帮助我们的推导：由老师板书推导过程：类似地我们还可以证明：将上述四个公式称为和差化积的公式.例3：给同学们1分钟的时间思考，类比我们刚刚推导和差化积公式的思路，利用和角与差角公式能不能得到证明过程呢？提问同学，由老师板书推导过程：刚刚例题的结论实质上就是积化和差公式中的两个，剩下的两个同学们自己证明，给大家一点提升：将sin(α+ β)和sin(α-β)两组公式分别相加减，你还能得出哪些结论呢？下面，我们利用这节课所学的公式，证明下面这个问题：例4：观察一下等式两段，右边式子式三次的，我们一时间不好寻找突破口；所以我们从等式左边入手，发现了两个余弦之和的形式，可以尝试运用和差化积的公式进行推导：同时我们也利用三角形内角和的关系，将C转化为A+B的形式：四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．总结：1.半角公式：2.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 3.和差化积公式：设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y 2，β＝x －y 2.上面的四个式子可以写成，sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y 2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y 2； cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y 2. 在这一节课中，主要学习了半角公式，积化和差与和差化积公式，学习了它们的推导过程.对于我们所学的这些三角公式，同学们一定要在理解的基础上去记忆，多在课下进行推导，才能熟练运用这些公式解决问题.作业。

第2课时简单的三角恒等变换【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tan1-tan2.2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=2sin22,1+cosα=2cos22.(升幂公式) (2)1±sinα=(sin2±cos2)2.(升幂公式) (3)sin2α=1-cos22,cos2α=1+cos22,tan2α=1-cos21+cos2.(降幂公式)3.半角公式sin2=±cos2=±tan2=±=sin 1+cos=1-cos sin.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A .半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B .存在实数α,使tan 2α=2tan αC .cos 22=1-cos2D .tan 2=sin 1+cos =1-cos sin【解析】选ABD .由半角公式、二倍角公式可知,选项A 正确;因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以选项B 正确;因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos 22-1,所以cos 22=1+cos2,因此选项C 错误;因为tan2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=sin 1+cos ,tan 2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=1-cossin ,所以选项D 正确.2.(必修第一册P223练习5改条件)cos 2π12-cos 25π12=()A .12B .33C .22D .32【解析】选D .因为cos5π12=sin(π2-5π12)=sin π12,所以cos 2π12-cos 25π12=cos 2π12-sin 2π12=cos(2×π12)=cos π6=32.3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=1+54,则sin2=()A .3-58B .-1+58C .3-54D .-1+54【解析】选D .cos α=1+54,则cos α=1-2sin 22,故2sin 22=1-cos α=3-54,即sin 22=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216,因为α为锐角,所以sin2>0,所以sin 2=-1+54.4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan2=()A .2B .12C .2或不存在D .12或不存在【解析】选D .当α=2k π+π(k ∈Z )时,满足2sin α=1+cos α,此时tan 2不存在;当α≠2k π+π(k ∈Z )时,tan2=sin1+cos =12.【核心考点·分类突破】考点一三角函数式的化简[例1](1)函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12可以化简为()A .f (x )=sin(2x -π3)B .f (x )=sin(2x -π6)C .f (x )=sin(2x +π3)D .f (x )=sin(2x +π6)【解析】选B .f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12=1-cos22+32sin 2x -12=32sin 2x -12cos 2x =sin(2x -π6).(2)已知0<θ<π,(1+sinrcos )(sin 2-cos 2)________.【解析】由θ∈(0,π)得0<2<π2,所以cos2>0,所以2+2cos =2.又(1+sin θ+cos θ)(sin 2-cos 2)=(2sin 2cos2+2cos 22)(sin 2-cos2)=2cos2(sin 22-cos 22)=-2cos2cos θ.故原式=-2cos2cos 2cos2=-cos θ.答案:-cos θ【解题技法】三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.【对点训练】1.化简:2cos 4-2cos 2r122tan(π4-psin 2(π4+p =__________.【解析】原式=12(4cos 4-4cos 2r1)2×sin(π4-pcos(π4-p ·cos 2(π4-p =(2cos 2-1)24sin(π4-pcos(π4-p =cos 222sin(π2-2p =cos 222cos2=12cos 2x.答案:12cos 2x2.化简:sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=________.【解析】原式=1-cos22·1-cos22+1+cos22·1+cos22-12cos 2αcos 2β=1-cos2-cos2rcos2vos24+1+cos2rcos2rcos2vos24-12cos 2α·cos 2β=12+12cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=12.答案:12【加练备选】化简:2sin (π-)+sin2cos 22=________.【解析】2sin (π-)+sin2cos 22=2sinr2sinvos 12(1+cos )=2sin (1+cos )12(1+cos )=4sin α.答案:4sin α考点二三角函数式的求值角度1给值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cos αsin β=16,则cos(2α+2β)=()A .79B .19C .-19D .-79【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23,所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.【解题技法】给值求值解题的两点注意(1)注意“变角”,使其角相同或具有某种关系.(2)注意公式的选择及其公式的逆应用.角度2给角求值[例3](2023·淄博模拟______.【解析】=14sin48°2sin48°=18.答案:18【解题技法】给角求值的解题策略(1)该问题一般所给出的角都是非特殊角,解题时一定要注意非特殊角与特殊角的关系;(2)要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.角度3给值求角[例4]若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α,π,β∈π则α+β的值是() A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【解析】选A.因为α4π,所以2α2π,因为sin2α=55,所以2α,π.所以αcos2α=-255,又因为sin(β-α)=1010,β∈π,所以β-α(β-α)=-31010,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=---1010×55=22,又α+β2π,所以α+β=7π4.【解题技法】给值求角的方法依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值.【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知sin(θ-π4)=223,则sin2θ的值为()A.79B.-79C.29D.-29【解析】选B.由sin(θ-π4)=223,得sin(θ-π4)=sinθcosπ4-cosθsinπ4=22(sinθ-cosθ)=223,即sinθ-cosθ=43,等式两边同时平方,得1-sin2θ=169,所以sin2θ=-79.2.(2023·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),则tan2=()A.-12或2B.2C.-13或3D.3【解析】选B.因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),所以sinα=45,cosα=-35,所以tan2=sin1+cos=451-35=2.3.已知sin(α-2)=55,sin(β-2)=1010,且α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),则r2=__________.【解析】因为α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),所以0<r2<π,cos(α-2)=255,cos(β-2)=31010.因为cos r2=cos[(α-2)+(β-2)]=cos(α-2)cos(β-2)-sin(α-2)sin(β-2)=255×31010-55×1010=22,所以r2=π4.答案:π44.化简求值:3-4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°.【解析】原式=3-4sin20°(1-2sin 220°)2sin20°sin480°=3-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (20°+40°)-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (40°-20°)2sin20°sin480°=1sin480°=1sin120°=233.【加练备选】若tan 2α=-34,则sin2rcos 21+2sin 2=()A .-14或14B .34或14C .34D .14【解析】选D .由tan 2α=2tan1-tan 2=-34,可得tan α=3或tan α=-13.故sin2rcos 21+2sin 2=2sinvosrcos 23sin 2rcos 2=2tanr13tan 2r1,当tan α=3时,2×3+13×32+1=728=14;当tan α=-13时,2×(-13)+13×(-13)2+1=1343=14.考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ 中,半径OP =1,圆心角∠POQ =π3,C 是扇形弧上的动点,矩形ABCD 内接于扇形.记∠POC =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.【解题导思】看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP =1,圆心角∠POQ =3,矩形ABCD 内接于扇形,∠POC =α定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD 的长和宽表示出来,确定矩形ABCD面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,D D=tanπ3=3.OA=33DA=33BC=33sinα,AB=OB-OA=cosα-33sinα.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin2α=12sin2α-36(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36(32sin2α+12cos2α)-36=α+π6)-36.由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S最大-36=36.因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.【高考链接】(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧P 上),则矩形ABCD面积的最大值为__________.【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OC sinα=2sinα,则AD=BC=2CE=4sinα,则OF=32AD=23sinα,OE=OC cosα=2cosα,则AB=2cosα-23sinα,所以矩形ABCD的面积S=BC·AB=4sinα(2cosα-23sinα)=4sin2α+43cos2α-43=8sin(2α+π3)-43,当2α+π3=π2,即α=π12时,S取得最大值8-43,所以矩形ABCD面积的最大值为8-43.答案:8-43[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交AD,BC于点F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.。

第五章三角函数《5.5.2简单的三角恒等变换》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》5.5.2节《简单的三角恒等变换》属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换，主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

让学生感受数形结合及转化的思想方法。

发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】【教学重难点】教学重点：体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．教学难点：了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．【教学过程】分析:要求当角 取何值时步进行.①找出S 与α之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S 的最大值. 解：在OBC Rt ∆中,αcos =OB ,αsin =BC .在OAD Rt ∆中,360tan ==︒OA DA,所以,αsin 333333===BC DA OA ,所以,ααsin 33cos -=-=OA OB AB .设矩形ABCD 的面积为S ,则αααsin )sin 33(cos -=⨯=BC AB S)2cos 1(632sin 21sin 33cos sin 2ααααα--=-=63)2cos 212sin 23(31632cos 632sin 21-+=-+=αααα63)62sin(31-+=πα. 对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围:由03πα<<,得52666πππα<+<.所以当262ππα+=,即6πα=时,max 133.663S =-=因此,当6πα=时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为36.2sin αcos α＝1－sin2α＝2516，所以sin2α＝－916. 【答案】 C 4．函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 【解析】 ∵y ＝32sin2x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.【答案】 π 5．求证：4sin θcos 2θ2＝2sin θ＋sin2θ.【证明】 法一：左边＝2sin θ·2cos 2θ2＝2sin θ(1＋cos θ)＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ＋sin2θ＝右边， 所以原式成立．法二：右边＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ) ＝2sin θ·2cos 2θ2＝4sin θcos 2θ2＝左边，所以原式成立．6、如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？【精彩点拨】 设∠AOB ＝α→建立周长l α→求l 的最大值【解答】 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R .∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大． 四、小结1．知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现.如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题．2．思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式sin cos y a x b x =+化成sin()y A x ωϕ=+的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力.通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识．五、作业1.课时练2.预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。