![[第4讲] 函数迭代和函数方程(上)](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/063bf1fd172ded630a1cb616.webp)
1．函数迭代⑴ 函数迭代的定义设:f D D '→（其中D D '⊆）是一个函数，对任意x D ∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，(3)((()))f f f f x =，……，(1)()()(())n n f x f f x +=，……，则称()()n f x 是函数()f x 在D 上的n 次迭代，并称n 是()()n f x 的迭代指数．如果()()n f x 有反函数，则记为()()n f x -，于是，迭代指数可取所有整数． ⑵ 简单的函数迭代求一个函数的n 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的．若()f x x c =+，则()n f x nc =+，(1)()f x x c -=-，()()n f x x nc -=-． 若3()f x x =，则()3()nn fx x =，1(1)3()fx x -=，1()3()n fx x -=．若()f x ax b =+，则()()11n n b b f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭，(1)1()11b b f x x a a a -⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭， ()1()11n n b bf x x a a a-⎛⎫=-+⎪--⎝⎭． ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数()f x 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出()()n f x 的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数． ②递归法设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知，且0a D ∈， 1()n n a f a -=，1≥n ．一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)()120()()()n n n n a f a f a f a --==== ，即{}n a 通项公式；另一方面，如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0a x =，()n a g x =，而()()10()()()n n n n a f a f a f x -==== ，从而()()()n f x g x =，即()()n f x 的表达式．由上述知，函数的n 次迭代可以通过构造数列的方法来解，其步骤为 第一步，设0a x =，()()n n a f x =；第二步，由()()n n a f x =1()n f a -=，求出0()n a g a =；第三步，()0()()()n f x g a g x ==． ③相似法相似法是求函数()f x 的n 次迭代的一个重要方法．若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们就称()f x 通过()x ϕ和()g x 相似，简称()f x 和()g x 相2函数迭代与函数方程似，记为~()f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数． 相似关系是一个等价关系，也就是说它满足： 自身性，~f f ；对称性，若~f g ，则~g f ；传递性，若~f g ，~g h ，则~f h ．如果()f x 与()g x 相似，即1()(()))（f x g x ϕϕ-=，那么()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=， 1()((()))g x f x ϕϕ-=，()()1()((()))n n g x f x ϕϕ-=． 这样一来，我们便把f 的迭代问题转化为g 的迭代问题． ④不动点法关于x 的方程()f x x =的根称为()f x 的不动点．不动点法的基本思想是根据函数的不动点得出桥函数的一个性质，进而确定桥函数的形状，然后利用相似法求出函数的n 次迭代． 函数的不动点具有如下的性质：若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点．设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=，若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，即0()x ϕ是()g x 的不动点．对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后用数学归纳法证之，会使计算简单些．利用不动点找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映成g 的不动点0()x ϕ，通常为了便于求解()()n g x ，()g x 通常为ax ，x a +，2ax ，3ax 等．2．函数方程⑴ 函数方程的定义解为函数的方程为函数方程．例如()()(5)()，f x f x f x f x -=-+=等都是函数方程． ⑵ 函数方程解法寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程，一般有以下几种方法： ①代换法代换法是解函数方程的常用手段，其基本思想是：将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知数．如2(21)()f x x x x -=+∈R ，令21y x =-，则1(1)2x y =+，于是211()(1)(1)42f y y y =+++，即213()44f x x x =++，经检验它是函数方程的解．代换法在单变量函数方程中尤为多用． ②赋值法所谓赋值法，就是对自变量赋予某些特殊的数值，从而挖掘出题中隐含的条件，并且通过这些新条件简化函数方程，逼近最终目标．如函数:f →R R 满足()()()0，，，f x f y f xy x y x y x y+=∈+≠+R ，求()f x ． 令1y =，得()(1)()(1)1f x f f x x x +=≠-+，由此()(1)xf x f =．令0x =则(1)0f =，从而可知()0(01)，f x x =≠-．令20，x y ==易得(0)(2)0f f ==；令10，x y =-=易知(1)(0)0f f -==．综上可知()0f x =． ③递归法函数方程的递归解法，是一种借助于数列对函数方程加以研究的方法．设()f n 是定义在正整数集+N 上的函数，如果存在一个递推关系S 和初始条件1(1)f a =，当知道(1)f ，(2)f ，…，()f n 的值后，由S 可以惟一地确定(1)f n +的值，我们就称()f n 为递归函数，递归法主要解决递归函数．板块一 函数的迭代【例 1】 已知()f n 是定义在+N 上的函数，并且满足①(())49f f n n =+，n +∈N ， ②1(2)23k k f +=+，k ∈N ．求(1789)f 的值．【例 2】 ⑴设()f x ax b =+，求()()n f x ；⑵设()xf x ax b=+，求()()n f x ；⑶设()1f x x =+，求()()n f x ．【例 3】 ⑴设2()21x f x x =-，求()()n f x ；⑵设1()43x f x x -=-，求()()n f x ；⑶设42()1x f x x -=+，求()()n f x ．板块二 函数方程【例 4】 ⑴定义在+R 上的函数()f x 满足关系式1()lg 1f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f x ．⑵求解函数方程1()11f x f x x ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，0x ≠，1．⑶已知函数()f x 对任意x 、y 有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，求()f x ．【例 5】 求所有满足下列条件的函数:f ++→N N ，使得⑴(2)2f =；⑵()()()f mn f m f n =⋅对所有m ，n 成立； ⑶若m n <，则()()f m f n <．【例 6】 已知函数()f x 满足2()()1f x f x -=，0x >．求满足条件的一个()f x ．习题1. 设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，123，，，n = ，若7()128381f x x =+，则a b += ．习题2. 某同学从换乘中心出发坐车去第一家商店，在店里花了剩余的钱的一半，然后坐车返回换乘中心．之后又坐车去第二家商店，在店里花了剩余钱的一半，然后坐车返回换乘中心．接着他用同样的方式进出第三家和第四家商店，当他返回换乘中心时候，发现身上只剩一元钱．若无论从换乘中心到商店还是从商店到换乘中心的车费都是一元钱，问：他在四家商店总共花了多少钱？习题3. 设2()42f x x x =++，求()()n f x ．习题4. 求解函数方程（写出一个符合方程的解即可），⑴⑵⑶小题中x ，y ∈R ，⑷小题中m ，n +∈N ：⑴()()()f x y f x f y +=+； ⑵()()()f x y f x f y +=⋅； ⑶()()()f xy f x f y =+；⑷()()()()f m f n f m n f m n +=+⋅-．习题5.已知:f→Z Z，求满足下述条件的所有函数f：⑴对一切正数n，(())=；f f n n⑵对一切整数n，((2)2)++=；f f n n⑶(0)1f=。
