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函数迭代和函数方程

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2.5函数迭代和函数方程第1页共4页 2.5函数迭代和函数方程

一、基本知识简述

1． 函数迭代

设f是DD的函数，对任意Dx，记xxf)()0(，定义))(()()()1(xffxfnn，*Nn，则称函数)()(xfn为)(xf的n次迭代.

一些简单函数的n次迭代如下：

（1） 若axxf＝)(，则)()(xfnnax＝；

（2） 若axxf＝)(，则)()(xfnxan＝；

（3） 若axxf＝)(，则)()(xfnnax＝；

（4） 若axxxf1)(＝，则)()(xfnnaxx1＝；

（5） 若)1()(abaxxf＝，则)()(xfnababnxa11)(＝；

)()(xfn的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出)()(xfn的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.

2． 函数方程

含有未知函数的方程称为函数方程，如果一个函数)(xf对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，则称)(xf为该方程的解.证明函数方程无解或寻求鞭解的过程就是解函数方程. 一般用以下方法：

（1） 代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数.

（2） 赋值法：根据所给的条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.

（3） 待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法经比较系数而求解.

（4） 递推法：设)(xf是定义在整数集＊N是的函数，如果存在一个递推关系S和初始条件1)1(af＝，当知道了)1(f，,),2(f，)(nf的值，由S可以惟一地确定)1(nf的值，递推法主要用于解决递归函数问题.

二、例题

1.求函数迭代后的表达式 2.5函数迭代和函数方程第2页共4页 例1设11)(xxxf记fnnxfffxf个)])([()(，求)(1999xf

例2已知函数3)(xxg，)](5[)(1xggxf.记)]([)(2xffxf，)]([)(23xffxf，)]([)(1xffxfnn，则函数)(),(2xfxf，)(3xf的表达式依次为＿＿＿，＿＿＿＿，＿＿＿；而)(xfn的表达式为＿＿＿＿.

2.求迭代后的函数值

例3自然数k的各位数字和的平方记为已知函数)(1xf，且)]([)(1kffkfnn，求 )11(nf（*Nn）的值域.

例4已知函数knf)(，k是循环小数0.918273645的小数点后的第n位数字，则))]([(xfff的值为＿＿＿＿.

例5设121)(xxf，而))(()(11xffxfnn＋，（*Nn），记2)2(1)2(nnnffa，求99a

例6.在自然数集N上定义的函数)]7([3)(nffnnf ),1000(),1000(nn求)90(f的值.

3.解函数方程

例7.已知),0,(x函数)(xf满足xxfxf51)(3)(2，求)(xf的最小值及相应的x值.

［同类变式］函数)(xf满足xxfxf5)(3)(2，求)(xf

例8.已知xxxxxff12111)(2)(，求)(xf的表达式.

例9.实数集R上的函数)(xfy满足：

（1）22121212sin42cos)(2)()(xaxxfxxfxxf),,(21是常数aRxx

（2）1)()0(4ff

（3）当],0[4x时，2)(xf

试求：（1）函数)(xfy的解析式

（2）常数a取值范围.

4.由函数方程函数值

例10.如果)()()(yfxfyxf，并且2)1(f， 2.5函数迭代和函数方程第3页共4页 求)1999()2000()5()6()3()4()1()2(ffffffff的值

例11.定义在R上的函数)(xf，恒有)()()(yfxfyxf，若4)16(f，求)2003(f.

例12.若)(xf是定义域为R的函数，并且)(1)](1)[2(xfxfxf，32)1(f，求)1997(f的值.

三、习题

1. 若为无理数为有理数，xxxf,01)( 则)]([xff的值 ( )

(A)等于1 (B)等于0

(C)可能为1，也可能为0 (D)可能是0,1以外的数

2.已知1)1(xxf，则)12(xf＝ （ ）

(A) x2 (B) 12x (C) 22x (D) 32x

3. 已知43)(2xxxf，486950183))((234xxxxxgf,那么)(xg的各项系数和为（ ）

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11

4. 若函数)(xf，满足)()()(yfxfyxfRyx,，则下列各式中不恒成立的是（ ）

(A) 0)0(f (B) )1(3)3(ff (C) )1()(2121ff (D) 0)()(xfxf

5.已知函数101)(xxf

000xxx定义)]([)()2(xffxf，)]([)()1()(xffxfnn，*),2(Nnn，且)()()1(xfxf，那么关于n的方程0)2001()(nf的最小下整数解为 （ ）

(A) 2000 (B) 2001 (C) 2002 (D) 2003

(二)填空题

6.已知函数,)(2qpxxxf Rxqp、、,又集合xxfxA)(|，xxffxB)]([|.3,1A，则B＝＿＿＿＿

7.已知11)(xxxf，12)(bxaxxg，且xxgf21))((，则a=______,b=_________.

8.设函数2)1()(2xxf（x0）,函数)(xg适合xxgf)]([，则)(xg_______.

9. 已知函数22)(xxaxf，且3)]([aff，则a=________. 2.5函数迭代和函数方程第4页共4页 10.已知)(xf是一次函数，且10231024)()10(xxf，则)(xf＝＿＿＿＿＿

11.若函数)(xf满足条件xfxfx)(4)(1，则)(xf的最小值是＿＿＿＿.

12.设)(xfy是定义在R上的函数，且对于任意实数a,b,有abbaff)]([，则)1999(f

13. 设121)(xxf，而))(()(11xffxfnn＋，（*Nn），记2)0(1)0(nnnffa，求100a

(三)解答题

14. 设],0[2，函数)(xfy的定义域为[0,1],且0)0(f，1)1(f，当yx时，有)()sin1(sin)()(2yfxffyx，求

（1）)(),(4121ff；

（2）的值；

（3）函数)2sin()(xxg的单调递增区间.

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一类迭代型函数方程问题的研究

一类迭代型函数方程问题的研究

很长时间没有人答出,小明仅仅拿了一面镜子,很快就解决了这道题目,你知道他是怎

样做的吗?其实,小明的镜子就起到了一个轴对称

的作用,那他的镜子是怎样摆的呢?看了下图

你就明白了:(镜子里)

镜子(镜子外)

一个很平常的例子,让学生在运用轴对

称原理解题的过程中,感受到数学的有趣,学生就自然会喜欢上数学这门课.

七年级数学的自然性、实用性,决定了开辟第二课堂的重要性.根据新教材的提示与

要求,我经常利用课余时间开展数学兴趣小

组活动,举办数学知识猜谜,小制作比赛,拼图游戏等等.丰富多彩的课余活动,可以拓宽学

生的知识面,发展他们的个性特点与创造力,也可以挖掘学生的潜能,从而逐步提高他们

对数学的兴趣.

以上只是在新教材教学过程中一点粗浅的看法.如何用好新教材,教师在实践教学中,

其方法、措施是多种多样的,体会也各不相同,还有待于我们共同研究和探讨,真正能胜任

新教材的教学改革.

参考文献

[1]数学(初中卷)教学实施指南.华中师范出版社.

[2]马兰.合作学习的价值内涵.课程、教材、教法.2004.4.

[3]陈秦青.巧分组妙提词善引导.福建教育.2004.7.[4]王克亮.关于看谁做得最快的思考.福建教育.

2004.12.

[5].认知科学建构主义与数学教育.上海教育出版社.一类迭代型函数方程问题的研究

广州大学数学与信息科学学院卢建川吴伟朝

20世纪以来函数方程常常出现在国际数

学奥林匹克竞赛中,成为数学竞赛的一个重要领域,函数方程问题以其求解的技巧丰富

和创意越来越受到各类数学竞赛命题者的青睐,并引起国内外数学教育界的广泛关注.近

年来,函数方程的身影更不断出现在高考试

卷中.本文试图就一类迭代型函数方程问题的求解及解法依据进行一些分析,并给出它

的一个充分条件.

例1求解函数方程:f(x)+f(1xx)=1+x

(其中x≠0,x≠1).(美32届普特南数学竞赛题)分析本题可以用解函数方程常用的换

元法.令()x=1xx,注意到

(())x=11x,)))(((x=x.

第十一讲-方程的迭代解法与函数的迭代、混沌与分形实验

第十一讲-方程的迭代解法与函数的迭代、混沌与分形实验

方程的迭代解法与函数的迭代、混沌与分形实验

一、编写程序,对不同的λ进行迭代)1(1nnnxxx−=+λ, 并用图形加以显示(收敛?

发散?混沌？) 并特别讨论如下情况迭代的结果

4546.3 46.34.3 3226.11

=<<≤≤==

λλλλλ

）（）（）（）（）（

二、 编程生成如下雪花状分形图，具体步骤如下：将单位长度的一条线段三等

分，将中间的一段去掉，代之以更小的等边三角形的两条边，如图（1），对

每条边依次做下去，得到如图所示的的雪花状图形，如图（2）。

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.35

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.35

图（1） 图（2）

三、 炮弹发射视为斜抛运动，已知初速度为200m/s,问要击中水平距离300m,垂

直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应为多大。如果只考虑水

平方向的阻力时，且阻力与水平方向的速度成正比，比例系数为0.1，发射

角又应该为多大？

函数方程和函数迭代问题（奥数）

函数方程和函数迭代问题（奥数）

函数方程和函数迭代问题（奥数）

第四讲函

在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.

一. 探求函数的解析式

函数方程的求解事实上也是一个探求函数解析式的过程,而函数方程常见的初等解法有许多,下面对其作进一步详尽的介绍.

1,换元法

换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解.

例1 解函数方程 f(x)+f(x

x 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) f(x)=x+1/x+1/(1-x) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x) f(x)=c/(a-b)x+c/(a+b)

2.赋值法

赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.

例3 已知定义在R 的函数满足

⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x

2∈R,a 为常数) f(x)=(a-1)(sin2x-cos2x)+a

⑵ f(0)=f(

4

π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式;

⑵常数a 的取值范围.

例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x) ⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);

⑵ f(2)=0

⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0 f(x)= 0,x>=2

2/(2-x),x<2

3递推法

这一方法的其本思想是:当f(x)是定义在自然数集上的函数(实际上就是通项为a n =f(n)的数列)时,可根据题中所给函数方程,通过持殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系求出(即数列{a n}的通项表达式)

函数迭代与函数方程初步

函数迭代与函数方程初步

本讲主要讲述竞赛数学中六大模块之一的函数方程问题.

在联赛大纲中明确要求函数方程问题在联赛中不作过高要求，也就是说专业级的函数方程问题一般都在冬令营乃至集训队的考试中出现，在联赛中出现的函数方程问题一般难度不高.本讲的目标是能够解决联赛级别的函数方程问题.

函数迭代严格来说其实并不算函数方程的内容，联赛中涉及到的函数迭代问题一般来说也就是寻找迭代规律进而探求一般表达式这种类型，即确定()()((((()))nnfxffffx1442443的具体表达式；

函数方程，是指这样一种特殊的方程，它的解是某一个函数表达式.绝大部分函数方程的求解需要用到高深的数学工具.能用初等数学方法求解的函数方程数量不多，且其方法往往非常独特巧妙，难以想到.因此函数方程问题成为高难度数学竞赛命题者青睐的对象，在2010年IMO中第1、3题都是函数方程问题，每年的IMO中也至少会出现一道函数方程问题.

联赛与高考中的函数方程问题很多并不要求求出函数解析式，而是要求根据给定的函数方程探究该函数的性质：对称性、奇偶性、单调性、周期性并进而证明某个相关命题或确定某个特定的函数值；

根据函数方程求解析式的方法一般有：1、赋值法；2、换元法；3、迭代解方程组法；4、柯西法等等.

本讲我们主要关注前面这些常规的解法，而对于柯西法以及函数方程的较专业的解法本讲只是略讲.

这里仅给出一些利用基本的找规律方法来解决的问题,而桥函数方法、不动点方法这里不涉及.实际上，如果我们令()01,,nnaxafxafx，那么函数迭代问题就变成了递归数列求通项问题，因此我们主要在以后的递归数列一讲讲述此类问题.

知识点睛

经典精讲

8.1函数迭代问题 本讲关键词 第8讲 函数迭代与函数方程初步 【例1】 （1）若函数21xfxx且()nnfxffffxL144424443，则991f ．