初中数学平行线的特征同步训练.docx

七年级平行线检测题一、填空题：1、如图1,已知DCL AC, AB// CD, / 1 与/ B互余，⑴ / DCB^Z D= ___________ ;⑵AD与BC平行吗？为什么？2、如图2中，已知OCL OD直线经过点0,则/ AOC-Z BOD= 若/ A0C /B0D=4 1,则/ B0C= _______________________ 3、推理填空，如图③，根据图形填空•••/ B=Z _ ••• AB/ CD( •••/ DG B _• CD// EF (•/AB/ EF;•••/ B+ ___ = 180° 4、如图①，直线a、b 被直线c所截（即直线c与直线a、b 都相交），已知a / b，若/ 1 = ）；））；6.在△ ABC中，/ A-Z B= 30°、/ C= 4/ B,则/ C= _________7 .如图5-13，在△ ABC中，ADL BC GCLBC, CF丄AB BE!AC 垂足分别为D、C、F、E,则_________ 是厶ABC中BC边上的高，___________ 是厶ABC中AB边上的高， __________ 是厶ABC中AC边上的高，CF是厶ABC的高，也是△___________ 、△_______ 、△_______ 、△__________ ■勺高.E 图5-13&如图5-14,^ABC的两个外角的平分线相交于点D,如果Z A= 50°，那么Z D= ____ .9. 如图5-15,^ABC中，Z A= 60°,Z ABC Z ACB 的平分线BD CD交于点D,则Z BDC= ________ .10. 如图5—21,^ABC中，Z B= 34°,Z ACB= 104°, AD是BC边上的高AE是Z BAC的平分线，求Z DAE的度数.AE是Z BAC的平分线，求Z DAE的度数. 0120°,则/ 2的度数= _________________ ，若/ 1=3/2，则/ 1的度数= ______________ ;如图②中, 已知a// b,且/ 1+2/ 2=1500，则/ 1 + Z 2= __________ 05.直角三角形中，两个锐角的差为40°,则这两个锐角的度数分别为B11、已知在△ ABC中，/ A=30°,Z B — / C = 30 °，则△ ABC是三角形。

平行线的性质与判定的证明练习题温故而知新：平行线的性质1. ）两直线平行，同位角相等；（1 ）两直线平行，内错角相等；（2. ）两直线平行，同旁内角互补（3 平行线的判定2. ）同位角相等，两直线平行；（1 ）内错角相等，两直线平行；（2. ）同旁内角互补，两直线平行互补（3）（1NQ平分∠MNP．，，P分别在ABCD，EF上，，点已知如图例1 2-2，AB∥CD∥EFM，N DNQ的度数；EPN=80°，分别求∠MNP，∠若∠AMN=60°，∠EPN的数量关系．与∠AMN，∠（2）探求∠DNQ.解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求DNPEP（标注MNDAM，°AMN=6MND答案（标注°EPN=8DNPEF，AB）∵∥CD∥解：（1 AMN=60°，∴∠MND=∠°，EPN=80∠DNP=∠°，°=140DNP=60∠MND+∠°+80MNP=∴∠ MNP，NQ又平分∠11°，°=70140MNQ=∴∠∠MNP=×22 =10-60MND=70MNQ-DNQ=∴∠∠∠°°°，1) 下一步的度数分别为140°，10°.(∴∠MNP，∠DNQ ）AMN，∠DNP=∠EPN2（）（标注∠MND=∠∠AMN+∠EPN，∠由（1）得∠MNP=MND+∠DNP=11∠EPN），（∠∴∠MNQ=∠MNP=AMN+22MND DNQ=∠MNQ-∠∴∠1AMN ∠）-=（∠AMN+∠EPN21）AMN，=（∠EPN-∠2AMN. EPN-∠即2∠DNQ=∠小结：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转. 换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补2.⊥AB,证明：∠1＝∠ACB,CD例2 如图，∠AGD＝∠⊥AB,EFE＝2DCDBC解析（标注：（标注：答案＝2DC证明：因为AGDAC，所以DG，∥BC ，＝∠DCB所以∠1 ，⊥又因为CDAB,EF⊥AB 所以CD，∥EF ，＝∠所以∠2DCB2. ∠所以∠1=小结：由直线之间的关系也在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，. 可得到角的关系；ABC+∠CDE=∠BCD∥例3 （1）已知：如图2-4①，直线ABED，求证：∠存在什么等量关系？并证明．，∠CDE与∠BCD②所示时，∠（2）当点C位于如图2-4ABC动画AB∥作（1）解析：CF过点C CDE)ABC，∠2=∠由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠∥AB，答案：证明：如图，过点C作CF∥ED，∵直线AB DE，∴AB∥CF∥CDE. 2=∠∴∠1=∠ABC，∠，BCD=∠1+∠2∵∠；∠CDE=∠BCD∴∠ABC.解析：动由平行线性质找到角的关AB过C2°）∠ABC+∠1=180°，∠2+CDE=180（标注∠°．∠CDE=360∠答案：∠ABC+BCD+ ，作证明：如图，过点CCF∥AB AB，∥ED ∵直线∥∴ABCFDE∥，3∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°.∵∠BCD=∠1+∠2，∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．小结：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？解析：动画过点B作BD∥AE，答案解：过BA，ACABC，∴A，＋C18∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，∴∠2=30°，∴∠C=180°-30°=150°．小结：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.4举一反三：）则∠x的度数为（2-91.如图，FG∥HI, °°° C. 90 D. 100A.60° B. 72°，解得x+48+30°＝+30,由外凸角和等于内凹角和有60°°-120解析：∠AEG=180°°=60°. °x=72:B.答案°，求∠D=24°，∠D=192B-∠平分∠EGBEF，∠B+∠BED+∠∥已知如图所示，2.AB∥EFCD，.的度数GEF解析：CD,EF∥AB解:∵∥D. ∠BEF,∠∠DEF=∴∠B=,D=192°BED+∵∠B+∠∠,D=192DEF+BEF+B+即∠∠∠∠°5, D)=192°∠B+∠∴2(. °∠即∠B+D=96, °B-∠D=24∵∠, °∴∠B=60. °即∠BEF=60BEF, 平分∠∵EG1. °∠∴∠GEF=BEF=302．G，DE交于点BC∥EF，∥ED，ABAB3.已知：如图2-10，．B=∠E求证：∠ED∥AB∥EF，BC解析：标注，答案：证明：∵AB∥EFAGD. ∴∠E=∠，ED∵BC∥∠AGD，B=∴∠E. B=∴∠∠62成立，并说明理由．，试再添上一个条件，使∠1=∠2-6例5如图，已知AB∥CD2 1=∠解析：标注∠，CDAB∥BE）（标注CF∥答案：方法一：，CF∥BE 解：需添加的条件为，AB∥CD理由：∵ABC. ∠∴∠DCB= ，CF∥BE∵，FCB=∠EBC∴∠；1=∠2∴∠，∠BCDBE分别为∠∠ABE）解：添加的条件为CF，（标注CF，BE，∠1=∠2=∠DCF=方法二：的平分线．CBA ，∥CD理由：∵ABABC.DCB=∠∴∠CBA的平分线，BE分别为∠BCD，∠∵CF，2．∴∠1=∠小结.解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯分，已知直A上，分别交、两点，1-如1 PD。

平行线的特征与用尺规作线段和角练习2平行线的特征与用尺规作线段和角练习2平行线的定义：平面上的两条直线，它们没有交点，且始终保持相同的方向，被称为平行线。

1.平行线具有相同的斜率：对于直角坐标系中的平行线，它们的斜率相等。

2.平行线之间的距离是恒定的：平行线之间的任何一点到另一条平行线的距离都相等。

3.平行线与一条直线的交角相等：当一条直线与平行线相交时，与平行线相交的两个角相等，并且与平行线的其他直线间相交的两个角也相等，这两个角被称为同位角。

尺规作线段和角的练习（2个例子）：1.通过已知的直线和点，使用尺规作线段：已知一条直线l和不在l上的一点A，如何在l上作一个与AB长度相等的线段BC？步骤：1）以A为中心，BC为半径，画一个圆，与直线l相交于点D和E。

2）连接DE，得到线段DE。

3）以B为中心，DE为半径，画一个圆，与直线l相交于点C和F。

4）连结BC，得到与AB长度相等的线段BC。

2.通过已知的直线和点，使用尺规作角：已知两条直线l和m，以及l上的一点A和m上的一点B，如何以点A为顶点，作一个与角CBA相等的角DEF？步骤：1）以A为中心，以l为半径，画一个圆，与直线m相交于点C和D。

2）以A为中心，以m为半径，画一个圆，与直线l相交于点E和F。

3）以D为中心，以AC为半径，画一个圆，与直线l相交于点G和H。

4）以G为中心，以AD为半径，画一个圆，与直线m相交于点I和J。

5）连接IJ，得到线段IJ。

6）以E为中心，IJ为半径，画一个圆，与直线l和m相交于点K和L。

7）以K为中心，IJ为半径，画一个圆，与直线m相交于点D和E。

8）由线段DE即可得到与角CBA相等的角DEF。

尺规作线段和角的步骤可以根据具体的题目要求进行调整，但总的原则是根据已知条件在图纸上作出特定的点和线段，然后利用尺规作出所需的线段和角。

平行线的特征第1题. 如图，下列推理中，错误的是（ ） A ．若a ∥b ，则∠1=∠3 B ．若a ∥b ，则∠1=∠2 C ．若c ∥d ，则∠3=∠5 D ．若c ∥d ，则∠2+∠4=180°答案：A第2题. 如图，如果AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC +∠ACE +∠CEF 等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．540°答案：C第3题. 如图，DH //GE //BC ，且DC //EF ，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是（ ）A ． 2个B ．4个C ．5个D ．6个 答案：C第4题. 看图填空(括号内填推理的依据)(1)若∠1=∠2，则_____∥______．（ ） (2)若AB ∥CD ，则∠ABC =∠______．（ ） (3)若∠3=∠4，则______∥______．（ ） (4)若AD ∥BC ，则∠FAD =∠______．（ ）(5)若∠ABC +∠BCD =180°，则_____∥_____．（ ）答案：答案略第5题. 如图，（1）如果AD //BC ，那么根据两直线平行，同旁内角互补，可得______+∠ABC =180；（2）如果AB //CD ，那么根据两直线平行，同旁内角互补，可得________+∠ABC =180dc ba12 34 5FEA 1 CD 4 23 ABCD答案：（1）∠DAB ；（2）∠BCD第6题. 如图，（1）如果AD //BC ，那么根据__________________，可得________=∠1； （2）如果AB //CD ，那么根据__________________，可得______=∠1.答案：（1）两直线平行，同位角相等，∠EBC ； （2）两直线平行，内错角相等，∠ADF （答案并不唯一）第7题. 工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆是否相互平行，工人师傅只检查了其中两条是否与第三条平行即可，这种做法是否正确？答___，理由是___．答案：正确，平行与同一条直线的两条直线平行．第8题. 如图，已知//,12,58AD BC B ∠=∠∠=，则C ∠=________．答案：61第9题. 如图，DE //BC ，CD 是∠ACB 的平分线，50ACB ∠=，则∠EDC =________．答案：25第10题. 如图，已知AB //CD ，AD //BC ，那么∠A 与∠C 有怎样的大小关系？为什么？答案：∠A =∠C ，理由略第11题. 如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则ABEC DF1BOC ∠=____________．ABCE F O答案：125第12题. 如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D =________． 答案：180第13题. 如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠=_________．答案：54第14题. 直线l 同侧有A ，B ，C 三点，如果A ，B 两点确定的直线l 1，与B ，C 两点确定的直线l 2都与直线l 平行，则A ，B ，C 三点____，其理由是_____________________答案：在同一直线上，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．第15题. 如图，已知AB //CD ，ABCDE F1 23 ABCD E（1）你能找到∠B 、∠D 和∠BED 的关系吗？（2）如果∠B =46，∠D =58，则∠E 的度数是多少？答案：（1）∠B +∠D =∠BED ；（2）104第16题. 如图，已知AB ∥CD ，直线l 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG =40°，则∠EGF 的度数是 （ ） （A ）60° （B ）70° （C ）80° （D ）90°第14题ＡＢＤＣＧＦＥＤＣＢＡ第13题l答案：B第17题. 已知：如图4，直线a b ∥，直线c a 与，b ∠相交,若2115=，1∠=则 ．答案：65；第18题. 如图，已知AB CD ∥，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，170∠= ，则2∠的度数是 ．答案：11012c ab图4ABDCEＦ12 (第8题)第19题. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE BC ∥，30ADE ∠=，120C A ∠=∠= ，则（ ）Ａ．60Ｂ．45Ｃ．30Ｄ．20答案：CAECBD。

平行线的特征【知能点分类训练】知能点平行线的特征1．如图1，AC∥BD，∠A=60°，∠C=62°，则∠2=_____，∠3=______，∠1=_____．(1) (2) (3)2．如图2，已知DE∥BC，∠ADE=50°，∠DEC=120°，则∠B=_____，∠C=______．3．如图3，AB∥CD，AD∥BC，则图中相等的角共有_____对．4．如图4，AB∥EF，BC∥DE，则∠B+∠E=________．(4) (5) (6) (7)5．如图5，已知L1∥L2，∠1=40°，∠2=55°，则∠3=______，∠4=_______．6．如图6，DE∥BC，DF∥AC，图中与∠C相等的角有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图7，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC等于（）．A．30° B．60° C．90° D．120°8．如图，已知∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4的度数．9．如图，有一条小船，把小船平移，使点A平移到点B，请在图中画出平移后的小船．10．如图，已知a∥b，c∥d，∠1=100°，求∠2，∠3，∠4的度数．（1）在这个解题过程中包含着这样一个规律：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_________．（2）填空：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一角大20°，那么这两个角分别是_______和________．【综合应用提高】11．如图，∠1：∠2：∠3=2：3：4，EF∥BC，DF∥EB，则∠A：∠B：∠C=_______．12．如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE•相等的角有__个．13．（1）如图，AB∥CD，PG，QH分别为∠APQ和∠DQP的平分线，试判断PG，QH的位置关系．（2）现在将PG改为∠BPQ的平分线，PG与QH相交于点O，如图，此时PG，QH的位置关系如何？【开放探索创新】14．如图，已知AB∥CD，分别探讨下面四个图形中的∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得的四个关系中任意选取一个加以说明．【中考真题实战】15．（湖北）如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB，并且交OA于点C，•交OE•于点D，•∠ACD=50°，则∠CDE的度数是（）．A．125° B．130° C．140° D．155°16．（江苏常州）如图，已知AB∥CD，直线L分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，•若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是（）．A．60° B．70° C．80° D．90°答案:1．60° 62° 58°点拨：∵AC∥BD，∴∠3=∠C=62°，∠A=∠2=60°，又∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠1=180°-62°-60=58°．2．50° 60°3．8 点拨：对顶角有2对，内错角有4对，还有∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC．4．180°点拨：∵AB∥EF，∴∠B=∠BFE，又∵BC∥DE，∴∠BFE+∠E=180°，•• ∴∠B+∠E=180°．5．95° 85°6．C 点拨：∠C=∠AED=∠EDF=∠DFB．7．B 点拨：∵AD∥BC，∴∠B=∠DFB．又∵∠ADE=2∠ADB=60°，∴∠DEC=∠ADE=60°．8．∵∠1=72°，∠2=72°，∵AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠3=60°，∴∠4=120°．9．如图所示．10．∵a∥b，∴∠1=∠2=100°．∵c∥d，∴∠2=∠3=100°．∵∠3+∠4=180°，∴∠4=180°-100°=80°．（1）相等或互补（2）100°，80°点拨：设这两个角分别为x，180°-x，则根据题意得x-（180°-•x）=20°，所以x=100°，则另一个角为180°-100°=80°．11．3：2：4 点拨：∠A=∠2，∠B=∠1，∠C=∠3．12．5 点拨：与∠AGE相等的角有∠EAG，∠GAB，∠CGF，∠GCF和∠DCG，共5个． 13．（1）直观判断：PG∥QH．验证：∵AB∥CD，∴∠APQ=∠DQP，又∵PG，QH分别为∠APQ和∠DQP的平分线，∴∠GPQ=12∠APQ，∠HQP=12∠DQP，∴∠GPQ=∠HQP，∴PG∥QH．（2）直观判断：PG⊥QH．验证：∵AB∥CD，∴∠BPQ+∠DQP=180°，又∵PG，QH分别为∠BPQ和∠DQP的平分线，∴∠GPQ=12∠BPQ，∠HQP=12∠DQP，故∠GPQ+∠HQP=12（∠BPQ+∠DQP）=90°，由三角形的内角和为180°，可得∠POQ=90°，∴PG⊥QH．14．由图（1）可得∠PAB+∠PCD=360°-∠APC；由图（2）可得∠APC=∠PAB+∠PCD；由图（3）可得∠APC=∠PCD-∠PAB；由图（4）可得∠APC=∠PAB-∠PCD．已知：如图（3），AB∥CD．试说明：∠APC=∠PCD-∠PAB．解：∵AB∥CD，∴∠PCD+∠CEB=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠PAB+∠APC+∠AEP=180°（三角形的内角和为180°），∠AEP=∠CEB（•对顶角相等），∴∠PAB+∠APC+∠CEB=180°，∴∠PAB+∠APC+∠CEB=∠PCD+∠CEB，∴∠APC=∠PCD-∠PAB．（说明：这里只给出对图（3）的证明，对于其他图形的证明，同学们可自行完成）． 15．D 点拨：∵CD∥OB，∴∠ACD=∠1+∠2=50°，又∵∠1=∠2，∴∠2=25°，∴∠3=∠2=25°，∴∠CDE=180°-25°=155°．16．B.。

平行线的特征同步练习练习平行线是具有以下特征的直线：1.直线上的任意两点与一条已知直线上的任意两点的连线的夹角相等。

2.直线与已知直线的夹角为90度（垂直于已知直线）。

3.直线与已知平面的平行线的直线也是与该平面垂直的直线（垂直于平行于该平面的两条直线）。

4.两个垂直于同一条直线的直线是垂直的。

下面是一些用来练习平行线特征的例题：例题1：已知直线l1与平面P1垂直，且直线l2与l1平行，证明直线l2与平面P1垂直。

证明：由题意，直线l1与平面P1垂直，即l1垂直于P1，而l2与l1平行，即l2也平行于P1、根据平行线的特征3，l2也与P1垂直，所以l2与平面P1垂直。

例题2：已知直线AB与直线CD平行，直线EF与直线CD垂直，证明直线EF与直线AB垂直。

证明：由题意，直线CD与直线AB平行，即CD∥AB，而直线EF与直线CD垂直，即EF⊥CD。

根据平行线的特征4，EF也与AB垂直，所以EF与直线AB垂直。

例题3：已知直线AB与直线CD平行，直线EF与直线AB垂直，证明直线EF与直线CD垂直。

证明：由题意，直线AB与直线CD平行，即AB∥CD，而直线EF与直线AB垂直，即EF⊥AB。

根据平行线的特征1，EF与CD的垂线也是垂直的，所以EF与直线CD垂直。

例题4：已知直线l1与平面P1平行，直线l2与l1垂直，证明直线l2与平面P1垂直。

证明：由题意，直线l1与平面P1平行，即l1∥P1，而直线l2与l1垂直，即l2⊥l1、根据平行线的特征3，直线l2与P1的垂线也是垂直的，所以l2与平面P1垂直。

通过以上例题的练习，可以巩固平行线特征的应用和推理能力。

同时，理解平行线的特征也有助于解决几何问题和证明。

继续多做类似的练习题，对平行线的特征有更深入的理解和掌握。

数学人教版七年级下册同步训练：5.3 平行线的性质一、单选题1.如图，若//,1105m n ∠=︒，则2∠=（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒2.如图，若//CD AB ，则下列说法错误的是（ ）A ．3A ∠=∠B ．12∠=∠C ．45∠=∠D ．180C ABC ∠+∠=︒3.如图，直线//m n ，170230∠=︒∠=︒，，则A ∠等于 （ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°4.如图，直线//a b ，150240∠=︒∠=︒，，则3∠的度数为（ ）A ．40︒B ．90︒C ．50︒D ．100︒5.如图,直线//AM CD ,70,40A C ∠=︒∠=︒,则E ∠等于( )A.30︒B.40︒C.60︒D.70︒二、填空题6.如图，直线//a b ，三角板的直角顶点A 落在直线a 上，两条直角边分别交直线b 于B 、C 两点．若150∠=︒，则2∠的度数是 °．7.如图，ABCD 为一长条形纸带，//AB CD ，将ABCD 沿EF 折叠，A D 、两点分别与''A D 、对应．若165∠=︒，则2∠= .8.如图,在ABC △中,CD 平分ACB ∠,//DE BC 交AC 于,E 若5,7DE AE ==,则AC 的长为 .9.如图所示,已知//,80,140AB DE ABC CDE ∠=︒∠=︒,则BCD ∠的度数为_______.三、证明题10.完成下面的证明过程:已知:如图，123D ∠︒＝，57EFD ∠︒＝，12∠∠＝. 求证:3B ∠∠＝解:123D ∠︒＝，57EFD ∠︒＝（已知），180D EFD ∴∠∠︒＋＝.AD ∴∥ （ ）又12∠∠＝（已知），∴ ∥BC （内错角相等，两直线平行）EF ∴∥ （ ）3B ∴∠∠＝（两直线平行，同位角相等）11.已知:如图，AE BC ⊥，FG BC ⊥，12∠∠＝，360D ∠∠︒＝＋，70CBD ∠︒＝.（1）求证://AB CD ；（2）求C ∠的度数.参考答案1.答案：D解：//m n ，12180∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），而 1105∠=︒，218010575∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．2.答案：CA.由“两直线平行，同位角相等”可得；B.由“两直线平行，内错角相等”可得；C.无法得出；D.由“两直线平行，同旁内角互补”可得.故选C.3.答案：C 标注角，得到下图直线//m n ，13∴∠=∠，170∠=︒，370∴∠=︒，32,230A ∠=∠+∠∠=︒，40A ∴∠=︒。

平行线的特征同步测试1
平行线的特征同步测试1
平行线是在同一个平面内不相交的两条直线，它们永远保持着同样的间距，即两条平行线之间的任意一对线段总是平行且长度相等。

1.垂直距离相等：平行线之间的垂直距离始终保持相等。

对于两条平行线，任意一条垂直于这两条平行线的直线，在与两条平行线的交点上，到两条平行线的距离相等。

2.内角和相等：平行线被一条横截线切割后，内角和相等。

当两条平行线被一条横截线相交时，同旁内角相等，同位内角相等，对顶角相等。

3.外角和相等：平行线被一条横截线切割后，外角和相等。

当两条平行线被一条横截线相交时，所成的外角相等。

4.对称性：平行线具有对称性。

如果两条平行线中的一条与一条其它直线相交，那么另一条平行线也与该直线相交，并且这两个交点的连线平分两个交点与直线之间的夹角。

5.平行线的存在性：通过给定一点和一条直线，可以通过构造一条与该直线平行且经过该点的线段来证明平行线的存在性。

6.平行性的判定：通过构造垂直于两条直线的直线，并判断这两条垂线是否重合，可以判断两条直线是否平行。

7.平行线的性质：平行线具有一些特殊的性质，如遥相呼应、错落有致、平行线首尾可延拓等。

这些性质使得平行线在几何学中具有重要的应用。

总之，平行线是几何学中的重要概念，具有许多独特的特征。

通过研究平行线的特征，可以进一步深入理解和应用几何学的相关知识。

平行线的性质和特征在证明和解决几何问题中起着重要的作用，并广泛应用于建筑、制图、机械设计等众多领域中。

数学23平行线的特征同步练习1数学23平行线的特征同步练习11.平行线的定义在平面上，如果两条直线没有交点，并且在同一个平面内，那么这两条直线被称为平行线。

2.平行线的特征2.1平行线有且只有一个公共平行线如果有两条平行线l和m，那么它们的公共平行线只能有一条。

也就是说，任意一条与l平行的直线，必然与m平行。

2.2平行线的夹角为零平行线之间的夹角为零度。

这意味着平行线之间的任意两条线段之间的夹角都是零度。

2.3平行线的斜率相等对于两条平行线l和m，它们的斜率必须相等。

斜率是描述直线倾斜程度的一个数值，通过计算任意两点的坐标差得到。

2.4平行线的方向相同平行线的方向相同，也就是说它们的倾斜方向相同。

如果一条平行线是向上倾斜的，那么其他平行线也必须向上倾斜。

3.练习题(1)在下图中，直线l和m是平行线，PX⊥l，PY⊥m，证明PX≌PY。

解:首先，由于直线l和m是平行线，所以它们的斜率相等。

因此，∠PXY=∠PYX=90度，即直角。

所以三角形PXY是一个直角三角形。

根据直角三角形的性质，直角边上的高是等长的。

因此，PX≌P Y。

(2)在下图中，直线l和m是平行线，AB⊥l，CD⊥m，AB≌CD，证明⊿ABC≌⊿CDA。

解:首先，由于直线l和m是平行线，所以它们的斜率相等。

因此，∠ABC=∠CDA=90度，即直角。

所以△ABC和△CDA都是直角三角形。

根据直角三角形的性质，直角三角形的两个直角边对应的斜边是等长的。

由于AB≌CD，所以，AB，≌，CD。

根据ASA(边角边)三角形相似定理，△ABC≌△CDA。

(3)在下图中，ABCD是一个平行四边形，EF⊥AD，证明EF⊥BC。

解:首先，由于ABCD是一个平行四边形，所以对角线AD和BC交于O 点，且AO≌OB。

同时，EF⊥AD，所以∠AEO=∠BFO=90度，即直角。

所以△AEO和△BFO都是直角三角形。

根据直角三角形性质，直角三角形的两个直角边对应的斜边是等长的。

平行线的特征同步练习1，两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角2，如图1，若∠1=∠2，∠3=73 º，则∠4=3，如图2，BD是一条直线，CE∥AB，则∠1= ，∠2= ，又因为∠1∠2∠ACB=180 º，故∠A∠B∠ACB=4，如图3，若∠1=80 º，a∥b，则∠2的度数是（）ºººº图 1 图 2图35，下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等，其中是平行线特征的是（）A ①B ②③C ④D ①④6，如图4，AC∥BD，AE∥BF，下列结论错误的是（）Ａ∠Ａ＝∠ＢＢ∠Ａ＝∠１Ｃ∠Ｂ＝∠２Ｄ∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０º图４图５７，下列说法错误的是（）Ａ在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行Ｂ两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补Ｃ平行于同一直线的两条直线平行Ｄ若两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直８，已知，如图５，ＤＧ⊥ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＣ，ＥＦ⊥ＡＢ，∠１＝∠２，试判断ＣＤ与ＡＢ的位置关系，作出说明解：观察分析可知ＣＤ⊥ＡＢ，理由如下：∵ＤＧ⊥ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＣ（）∴∠ＤＧＢ＝∠ＡＣＢ＝∠９０º（）∴ＤＧ∥ＡＣ（）∴∠２＝∠ＤＣＡ（）∵∠＝∠２（）∴∠１＝∠ＤＣＡ（）∴ＥＦ∥ＣＤ（）∴∠ＡＥＦ＝∠ＡＤＣ（）∵ＥＦ⊥ＡＢ（）∴∠ＡＥＦ＝９０º（）∴∠ＡＤＣ９０º，即ＣＤ⊥ＡＢ９，如图６，若∠１＝∠Ｄ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，且∠ＡＢＣ＝５５º，试求∠ＢＣＤ的度数１０，如图７，ＢＯ，ＣＯ分别是∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的平分线，它们相交于点Ｏ，过Ｏ作ＥＦ∥ＢＣ交ＡＢ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，若∠ＡＢＣ＝５０º，∠ＡＣＢ＝６０º，试求∠ＢＯＣ的度数图６图７１１，如图，ＡＣ⊥ＢＣ于Ｃ，ＤＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＦＧ⊥ＡＢ于Ｇ，交ＢＣ于Ｆ，若∠１＝∠２，试问ＣＤ与ＡＢ的位置关系如何并说明理由。