九年级数学微课资料：利用二次函数的定义求字母的值课件

注意:二次函数的二次项系数不能为零
知识运用
练习１、m取何值时，函数是
m2 2m1
y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
驶向胜利 的彼岸
练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
最高次数=2
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
a≠ 0
整式，X的取值范围任意实数
注意：
可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
（1）y=3(x-1)²+1 (2)y=_1_ -x x²
(3)s=3-2t²
这节课你有什么收获和体会？
结束寄语 下课了!
•生活是数学的源泉.
• 探索是数学的生命线.
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.正方体表面积公式是什么？
3. n边形对角线条数
d=
1 2
n(n-3)
如图：正方体的六个面全是全等的正方形如图， 设正方体的棱长为x，表面积为y．
X
X
显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的 函数，它们具体的关系可以表示为
展示才智
3、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，求 m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则

解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函1 数二的次定函 义数优的秀定p义pt(共 课2件1 张PPT)
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函1 数二的次定函 义数优的秀定p义pt(共 课2件1 张PPT)
展示才智
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函1 数二的次定函 义数优的秀定p义pt(共 课2件1 张PPT)
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数， 叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数， k≠０）的函数，叫做一次函数.
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的棱长为a ，表面积为S。S与a 之间有什么关系呢？S =6a2
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2 (2) y x2 1
x (3) y (x 2)(x 3)
(是 ) ( 否) ( 是)
(4)y x2 2x 3
( 否)
Байду номын сангаас
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函1 数二的次定函 义数优的秀定p义pt(共 课2件1 张PPT)
九年级数学
第22章
第一节
二次函数

y
y
O 1x A
y
O1
x
By
O 1x C
O
1x
D
再见
交点在y轴正半轴
c>0
交点在y轴负半轴
c<0
经过坐标原点
c=0
合作交流
（4）∆的符号： 抛物线与x轴的交点个数
有两个交点
∆>0
有一个交点
∆=0
没有交点
∆<0
练一练
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定 a、b、c、∆ 的符号：
y
o
x
比一比
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定 a、b、c、∆ 的符号：
y
o
x
比一比
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定 a、b、c、∆ 的符号：
y
o
x
比一比
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定 a、b、c、∆ 的符号：
y
o x
直击中考
1.【莱芜市2015中考】二次函数y=ax2bx+a的图象不经
过（ D ）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
直击中考
2.【2015年山西中考】已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中 ：①abc＞0；②2a=b；③a+b+c＜0；④a-b+c＜0；⑤b2-4ac＜0正确的个数是 （ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
B
y
-1 o 1 x
练一练
课堂小结
抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数关系：

二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。

轴是$x = - \frac{b}{2，利用描点法可以 绘制出二次函数的图像。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。

二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高

02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。

元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次
函数，且当x=60时，y=80,x=50时，y=10．在销售过程中，每天还要支
付其它费用450元．
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函
数关系式．
解：（1）设y与x的函数关系式为
S x 2 30 x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的
每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
y =- x ²+30 x
y =-5x2+100x+60 000
y=100x2+200x+100
观察上面几个式子，分析它们的特点，你能试着
猜出二次函数的概念吗？注意事项是什么？
果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳
光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵
树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些
是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子
树？这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
数叫什么？这
节课我们一起
来学习吧.
一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的
函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，
即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.
合作探究
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600
个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如
y=100x2+200x+100.

已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$ 经过点$(0,3)$和$(3,0)$，且顶点 在第四象限，求抛物线的方程。
综合习题
综合习题1
已知抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与直线$y = 2x + k$相交于点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，求证：$x_1 cdot x_2 < 0$。
位移变换会改变二次函数的开口方向、开口大小和顶 点位置，但不会改变顶点位置。
04
CATALOGUE
二次函数的实际应用
最大值与最小值问题
总结词
求二次函数的最值
详细描述
通过配方法或顶点式，找到二 次函数的对称轴，从而确定函 数的最大值或最小值。
总结词
求最值时的参数条件
详细描述
根据二次函数的开口方向和顶 点位置，确定参数的取值范围 ，确保函数取得最大值或最小
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式是二次函数的一种特殊形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 。这个解析式可以很方便地表示函数的顶点和对称轴，并且可以很容易地转化为 一般二次函数解析式。
配方式二次函数解析式
总结词
配方式二次函数解析式是 $y=a(xh)^2+k$，其中 $h$ 和 $k$ 是常数，可 以通过配方将一般二次函数转化为这种 形式。VSFra bibliotek详细描述
配方式二次函数解析式可以通过配方将一 般二次函数转化为这种形式，其开口方向 和开口大小也可以通过调整 $a$ 和 $(h, k)$ 来改变。这种形式的二次函数在解决 实际问题中经常被使用。

详细描述
图像法是通过绘制二次函数的图 像，观察其开口方向、对称轴、 顶点坐标等特征，从而求解二次 函数的解析式。
05
实际应用案例
生活中的二次函数应用
自由落体运动
在物理学中，自由落体运动可以用二 次函数来描述。物体下落时，下落的 高度与时间的平方成正比，即h = 1/2gt^2，其中g是重力加速度。
一次函数的应用
一次函数可以用于解决一些实际问 题，如速度、成本、时间等。
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的区别
一次函数是一条直线，而二次函数是一个抛物线。
一次函数与二次函数的联系
二次函数可以看作是由两个一次函数组成的，其中一个一次函数的系数为0。
二次函数的意义与重要性
二次函数的意义
二次函数是函数中的一种，一般形如y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，其中x 是自变量，y是因变量。
二次函数的对称轴与开口方向
对称轴：直线$x = \frac{b}{2a}$，是二次函数图像
的对称轴
开口方向：取决于二次项系数a ，a>0时开口向上，a<0时开口
向下
以上是初三二次函数课件的相关 内容。
04
二次函数的求解方法
配方法
详细描述：配方法是通过配方的 方式，将二次函数的一般形式转 化为顶点式或直接用配方法求出 抛物线的顶点坐标及对称轴。
$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})$
二次函数的图像性质
开口方向
取决于二次项系数a，a>0时开口向上，a<0时开口向下
对称轴
直线$x = -\frac{b}{2a}$
顶点坐标
$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$

(1) y 1 x2 3 x 1 22
是，a
1、b
2
3、c
2
1
(2) y x(x 5) 是，a 1、b 5、c 0
(3) y x4 2x2 1 不是
(4) y 3x(2 x) 3x2 不是
6x
例1、判断：下列函数是否为y关于x的二次函
数，如果是，指出其中常数a.b.c的值。
列函数关系式
3、在半径为20（cm）的圆面上，从中心挖去一个 半径为x（cm）的圆面，剩下的面积是y（cm2），写
出变量y与x之间的函数关系式y 400 。 x2
4、某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商 店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出 （350-10x）件商品，那么商店所获利润y元与售价x 元的函数关系为y=(x-21)(350。-10x)
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
函数y x2 px q,得：
｛1 p q 4 4 2 p q 5 解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x2 12x 15
6、已知函数y=(m2-m-2)mx2−5m−4+(m+1)x+m． （1）当m取何值时为二次函数？； （2）当m取何值时为一次函数？．
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 其中称：a为二次项系数，
b为一次项系数，
c为常数项.
注意：二次函数只要求a≠0 ，而b、c 可为0 ： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 二次函数的特殊形式 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、判断：下列函数是否为y关于x的二次函 数，如果是，指出其中常数a.b.c的值。

正比例函数： 反比例函数：
一次函数：
y=kxk0
函数名称都反映 了函数表达式与 自变量的关系。
二次函数： y=ax2+bx+ca0
判断下列函数哪些是正比例函数，一次函数，反比例函 数，二次函数。如果是二次函数请化成一般形式，并指出 二次项系数，一次项系数，常数项。
1、y=2-x
2、 y=-x+1
1 3、y= x
2
4、y=3x-1
5、y= 2 x
1 6、y=
2x
7、 y= x-2x+5
1 8、y= x2+x-3
2
9、y=2 x+22-3
10 8 6 4 2
-10
-5
-2
-4
5
10
问题1：正方体的棱长为x，表面
积为y，那么y与x的函数关系可表
示为：
。
问题2：多边形的对角线数d
与边数n有什么关系？
问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后
两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么 两年后这种产品的产量为y，y与x之间的关系应怎样表示？

(3)a 0,b 0, c 0
.精品课件.
27
敢于创新
x 如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值0,3一定是______
如果函数y=(k-3)
x +kx+1是k二2 -次3函k数+,2则k的值一定是_Hale Waihona Puke ____0.精品课件.
28
知识的升华
已知函数 y (k 2 k)x2 kx 2 k
m 2 1 0(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m 1且m 1
所以m=2
.精品课件.
26
超级链接
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
k2 k k 0
0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k2 - k ≠ 0,即k ≠ 0且k ≠1时
y是x的二次函数 .精品课件.
29
例2、当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5 是x的二次函数
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
.精品课件.
25
展示才智
3、若函数 y (m2 为 1)二xm2次m 函数，求m的 值。
解：因为该函数为二次函数，

1
第一环节 情景引入 导入问题
合作探究
3
运用经验 第二环节
第三环节 即时训练
2
巩固新知
总结概括 自我评价 第四环节
4
二次函数： 一般式 X取全体实数。
自变量x可以 取哪些数？
系数a,b,c取 哪些数？
二次函数：
（口答）请说出这些二次函数中a、b、c的值.
常数项 c
1
-1
2
二次ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数： 一般式
二次函数：
二次函数：
二次函数：
二次函数必须满足的条件
（1）含自变量x的代数式是_整__式___；
（2）自变量x的最高次数是__2____；
（3）二次项系数a__≠__0.
二次函数：
基础练习
巩固练习
巩固练习 不是整式
分式
拓展练习
本课小结
我学会了……
一般式： ★二次函数满足的条件
本课小结
函数 一次函数 正比例函数 二次函数
一般式
图像
一条直线 一条直线
教学反思
《二次函数》
01 教材分析 02 学生分析 03 教学流程
“让数学变简单”
变量x
复习
函数
变量y
常量
复习
一次函数
正比例 函数
二次函数
我们学过 哪些函数呢？
22.1 .1 二次函数（第一课时）
？？？
你们能仿照这个式子共同合作写出一个二次函数吗？
5
-6
-4
7
…
一般式
？？？
系数
字母
二次函数：
二次函数的定义
叫做__二__次___函数.
其中，______是自变量， ____是二次项系数、____是一次项系数，_____是 常数项。