双曲线的几何性质ppt课件

虚半轴长b = ; c = a + b =
图 . −
()
例 双曲线型冷却 , 塔的外形 是双曲线 的一部分绕其虚轴 ( 旋转所成的曲面图 . − ( ) )它的最小 半 径为 m, 上口半 径为 m ,下口半径 为 m,高 m.试选择 , 适当的坐标系求出 ( 此双曲线方程 精确 到 m ).
解 如图 . − ( ), 建立直 角坐标系 xOy, 使小圆的直 径AA`在x轴上, 圆心与原点 重合.这时, 上、下口的直径 CC `, BB` 都平行于 x 轴 , 且 | CC `|= × , | BB`|= × .
B2 O F1 A1 B1 A2 F2 x
图 . −
x 于是, 双曲线上点的坐标 ( x, y ) 都适合 ≥ , 即 a x ≥ a , 所以x ≤ − a, 或 x ≥ a .这说明双曲线在不
等式 x ≤ − a 与 x ≥ a 所表示的区域内.
对称性
x y 类比研究椭圆 + = a b (a > b > ) 对称性的方法 , , x 容易得到双曲线关于 轴、 y 轴和原点都是对称的 .这 时,坐 标轴是双曲线的对 , 称轴 原点是双曲线的对称
, M . 操作打开的几何画板观察动点 形成轨迹过程
解 设d是点M到到直线l的距离, 所求轨迹就是 | MF | 集合P = M = d ,
y
H
O d
M x
(x − )
由此得
+y
F
= .
图 . −
−x
, 将上式两边平方 并化简, 得 x − x 即 − y = y = . ,
)
()
思考 类比椭圆几何性质的研 ,你认 究 你认 , 为应研究双曲线 x y − = (a > , b > a b ? 如何研究这些性质
) 的哪些性质 ?
y
范围
, 观察双曲线可以看出它在 不等式x ≤ −a 与x ≥ a 表示 .下面利用双曲线 的区域内 . 的方程求出它的范围 x y 将方程( )化为 − = , a b
13
C A
x
12
()
b
由方程( ) , 得y =
代入方程( ), 得 b + b−
(负值舍去),
B`
25
B
b 图 . − − = , 化简得 − b = .用计算器解得b ≈ . x − y = .
()
所以, 所求双曲线的方程为
例 l:x=
点M( x, y) 到定点F( , ) 的距离和它到直线 . 的距离的比是常数 , 求点M 的轨迹
观 关 例 求双曲线 y − x = 的实半轴长 和虚半轴长、焦点坐标 离心率、渐近线 和虚半轴长、 、离心率、 . 方程
解 把方程 y − x = 化为标准方程 y x , − = . 由此可知 实半轴长a = ,
+ = , c 焦点坐标是( ,− ), ( , );离心率e = = ; a
渐近线方程为y = ± x.
y
B2
O
F1
A1
A2
F2
x
B1
图 . −
. 中心 双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心
顶点
y
( , 在方程 )里 令y = , 得
A 轴有两个交点 (− a, ), A (a, ). 因为x轴是双曲 线的对称轴, 所以双曲 x = ±a,因此双曲线与 x
F1
B2
O
A1 A2
F2
x
B1
图 . −
线和它的对称轴 有两 . , 个交点它们叫做双曲线的顶点
y
H
d
M
x
O
F
所以 点M的轨迹 , 图 . − 是实轴、虚轴长 分别为 、的双曲线 (图 . − ).
探究与发现
b x y 为什么y = ± x 是双曲线 − = 的渐近线 a a b x y 如图 , 先取双曲线 − = y a b N Q 在 第一象 限 内部分进行证明 . M
B2
这一部分的方程可写为
增大时| MQ | 无限接近于零 , .
F1
y
Q
N M
B2
b
O A1 B1
a
A2
F2
x
所以 | MN |= Y − y = b x− x −a a
(
b x− x −a x+ x +a ab . = ⋅ = a x+ x +a x+ x +a b 设 | MQ | 是点M到直线y = x的距离, 则 | MQ |<| MN | . a
(
)
)(
离心率
c , 与椭圆类似双曲线的焦距与实轴长 的比 , a 叫做双曲线的离心率.因为c > a > , 所以双 c e 曲线的离心率 = > . a
思考 离心率可以刻画椭圆的 , ,双 扁平程度双 ? 曲线的离心率刻画双曲 线的什么几何特征
操作打开的几何画板 , 在动态中观察图形的 变化与离心率的关系.
令 x = , 得 y = −b , 这个 方程没有实数根说明双 , y , 曲线和 轴没有交点但我 画在y 轴上(图 . − ). 们也把 B ( ,−b) , B ( , b)
F1
y
B2
O
A1 A2
F2
x
B1
线段 A A 叫做 双曲线的实轴 图 . − , 它的长等于 a, a 叫做双曲线的半实轴长 ; 线段 B B 叫做 双曲线的虚轴它的长等于 , b, b 叫做双曲线的虚半轴长 .
双曲线的几何性质
• 思考回顾
• 椭圆的简单几何性质 ？ 范围; 对称性; 顶点; ①范围 ②对称性 ③顶点 ④离心率等
回想：我们是怎样研究上述性质的？ 回想：我们是怎样研究上述性质的？
双曲线是否具有类似的性质呢?
究方法 我们根 , 类比椭圆几何性质的研 据双曲线的标准方程 x y − = (a > , b > a b . 研究它的几何性质
)
图
当x逐渐增大时, | MN | 逐渐减小, x无限增大, | MN | 无限接近于零, | MQ | 也无限接近于零.
也就是说, 双曲线在第一象限的部分从射线 ON的下方逐渐接近于射线ON .
在其他象限内也可以证明类似情况你能证 , , 明吗? , | x 另外 我们也可直接计算 MQ |, 证明当 无限
渐近线
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1
y
B2
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, 如图 经过 A , A 作y轴的平 O F A A F x 行线x = ±a, 经过 B , B 作x B 轴的平行线y = ± b,四条直 ( 线围成一个矩形图 . − ). 图 . − 矩形的两条对角线 所在的 x y 直线的方程是 ± = .由几何画板实验可以看 a b x y , 到, 双曲线 − = 的各支向处延伸时与这两 a b
b
b y= x − a ( x > a ). a 设M ( x, y )是它上面的点, b N ( x, Y )是直线 y = x上 a
O
a
F1
A1 B1
A2
F2
x
图
b 与M有相同横坐标的点, 则Y = x . a
b 因为 y = x −a = a b x a b a − < x = Y, a x
1 2 2 1
, 条直线逐渐接近我们把这两条直线叫做 , . 双曲线的渐近线也就是说 双曲线与它的
,但永远不相交 . 渐近线无限接近但永远不相交 x y , 在方程 − = 中 如果 a = b, 那么双曲 a b 线方程为x − y = a ,它的实轴和虚轴的 , 长都等于 a.这时 四条直线 x = ± a, y = ± b , 围成正方形 渐近线方程为 y = ± x,它们互 相垂直, 并且平分双曲线 实轴和虚轴所成 , 的角实轴和虚轴等长的双曲 线叫做 等轴双 曲线.
设双曲线的方程为
y
C` A` O
13 12
C A
x
B`
25
B
图 . −
()
x y − = (a > , b > ) , 令点C的坐标为( , y ), a b 则点B的坐标为( , y − ).
因为点 B,C 在双曲线上 , 所以
(y − ) −
− b y − = . b
y
= ,(
)
C` A` O