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任意角的三角函数一

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任意角的三角函数及其诱导公式

任意角的三角函数及其诱导公式

-α
余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边， 由终边的位置关系可得
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？
练习：求值 19 23 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan （ 1110 ）
二、三角函数的诱导公式
1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、 三、四象限角,并研究其终边位置关系.
一
任意角的三角函数及其诱导公式
一、 任意角的 的三角函数.
角的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n b 1
P(a,b)
b 称为角 的正弦函数； 记作 b=sin ;

一般用x表示自变量，y表示函数； 所以正弦函数表示：y＝sin x （x R） 相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα #43;α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α

1.2任意角的三角函数((不知年级))全面版

1.2任意角的三角函数((不知年级))全面版

2 若lg(sintan)有意义，则是（C）
A 第一象限角
B 第四象限角
C 第一象限角或第四象限角
D 第一或第四象限角或x轴的正半轴
3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a3 。
例3 若是是第二象限角, 且|cos(/2)|=- cos(/2), 问/2是第几象限角？
公式一：sin(α ＋ k·2π )＝sinα cos(α ＋ k·2π )＝cosα
tan(α ＋ k·2π)＝tanα
(k∈Z)
说明：
1 运用公式时， k∈Z不能省略！ 2 α ＋ k·2π， k∈Z表示任意
与 α终边相同的角。 3 此公式表明求任意角的三角函数
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
练习 已知是第三象限角，且sin(/2)<0， 则( B ) A cos(/2)<0 B cos(/2)>0 C tan(/2)>0 D cot(/2)>0
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时

1.2.1任意角的三角函数(一)

1.2.1任意角的三角函数(一)

R
例题与练习
例1. 求下列各角的四个三角函数值：
(1) ;
5 (2) . 3
例题与练习
例2. 已知角的终边经过点P(－ 3,－4)， 求角的四个三角函数值．
小结:若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函数可转化为
y x y 2 2 sin , cos , tan , ( r x y ) r r x
我们把它们统称为三角函数.
说 明：
①的始边与轴的非负半轴重合， 的终边没有表明一定是正角或负角，以 及的大小，只表明与的终边相同的角 所在的位置；
x
②根据相似三角形的知识，对于确 定的角，四个比值不以点P(x, y)在的 终边上的位置的改变而改变大小；
说 明：
2 在y轴上，终边上任意一点 的横坐标x都 y 等于0，所以tan 无意义；同理当 x x k ( k Z ) 时， cot 无意义； y
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
锐角三角函数的定义：
斜边 对边

sin
邻边
对边 斜边 _____;cos

邻边 斜边 _____; tan

对边 邻边 _____
锐角三角函数坐标化
O 重 设锐角 的顶点与原点 y P(a,b) 合,始边与 x 轴的非负半轴重合. P(a,b) 在 的终边上任取一点 P(a, b) ,它 r 与原点的距离 r a2 b2 α
（1）y叫做α 的正弦，记作sinα ， 即 y sinα =y； （2）x叫做α 的余弦，记作 cosα ，即cosα =x
P(x,y)
α
O
A(1,0) x
y （3） 叫做α 的正切，记作tanα ，即 x y

任意角三角函数

任意角三角函数

45°的三角函数值
sin(45°) = cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导
利用三角函数的定义和性质，可以推导出这些 特殊角的三角函数值。例如，利用正弦、余弦、 正切的定义，可以推导出sin(30°) = 1/2， cos(30°) = √3/2，tan(30°) = 1/√3。
sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = 无 穷大
30°的三角函数值
sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3
60°的三角函数值
sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3
反余弦函数图像
反余弦函数的图像是一个连续的单调递减函数， 其值域为$[0, pi]$。在定义域内，反余弦函数先 从无定义开始，经过一个先增后减的过程，最后 又无定义结束。
单调性
反正弦函数和反余弦函数在其定义域内都是单调 的。
05
三角函数的应用
在几何学中的应用
确定平面内一点的位置
01
通过三角函数，可以确定平面内一个点的位置，例如在极坐标
解决物理问题
在解决物理问题时，经常需要用到三角函数，例 如在求解力学、电磁学、波动等问题时。
3
分析信号和波形
在信号处理和波形分析中，三角函数是常用的工 具，例如在频谱分析、滤波器设计等方面。
在工程学中的应用
结构设计
在工程结构设计中，三角函数可以用来计算角度、长度等参数， 以确保结构的稳定性和安全性。
同理，利用勾股定理和三角形的性质， 可以推导出其他特殊角的三角函数值。

任意角的三角函数1

任意角的三角函数1

π
0
−1
3π 2
2π
sinα cosα tanα
0
1
3 2 1 2
1
−1
0
1
0
不存在
0
不存在01来自300
已知角 α 终边上一点 P（ − 3 ，y），且 sin α = 2 y， 例4 4 求 cos α、tan α 的值。
2 解： 由已知得 r = （ − 3 ）+ y 2 = 3 + y 2
y y ∴ sin α = = ，又 sin α = 2 y r 4 3 + y2
x
x cot α = x . cot 叫做α的余切，记作： ④比值 叫做 的余切，记作： α 即 y y
r sec α 即 sec α = r . 记作： 记作 正割， ⑤比值 x 叫做α的正割， ： x
r csc α 即 csc α = r . 叫做α的余割， 记作： ⑥比值 叫做 的余割， 记作： y y
任意角的三角函数定义
是任意角， 的终 设α是任意角，α的终 是任意角 边上任意一点 P(x , y) (除端点外 ， 除端点外) 除端点外 它与原点的 距离为r，则 距离为 ，
r=
x + y
2
2
=
x 2 + y 2 > 0.
定 义：
y y 叫做α的正弦， 记作： ①比值 叫做 的正弦， 记作： α 即 sin α = . sin r r
x. x cos 记作： 记作： α 即 cos α = 余弦， ②比值 叫做α的余弦， r r
y y 叫做α的正切， 记作： ③比值 叫做 的正切， 记作： α 即 tan α = . tan x x

高一数学任意角的三角函数(一)

高一数学任意角的三角函数(一)

cos θ>0 由tan θ<0， 得角 θ 为第四象限角.
∴角θ为第三或第四象限角.
探究点四 诱导公式一
思考1 诱导公式一是什么？ 答 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数值相等.由此得到诱导公式一： sin(k·360°＋α)＝sin α，cos(k·360°＋α)＝cos α， tan(k·360°＋α)＝tan α，其中k∈Z， 或者：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α， tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.
圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α
的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ y， y
cos α＝ x ，tan α＝ x .
探究点二 任意角三角函数的概念
y
yx
x
x2＋y2
思考2 对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的 位置的改变而改变呢？ 答 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实 数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边 上点P的位置无关.
思考2 诱导公式一的作用是什么？ 答 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角 函数值.
例如：sin 420°＝sin 60°＝ 23；cos(－330°)＝cos 30°＝ 23；
tan(－315°)＝tan 45°＝1.
例3 求下列各式的值.
(1)cos 253π＋tan－154π；
45°－sin
90°＋cos
30°＝1－1＋
3 2
＝
3 2.
呈重点、现规律
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位 置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时 必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.

任意角的三角函数-1

任意角的三角函数-1
O
M
x
MP tan OM
M P OP OM OP M P OM
1、角度一定时，角的终边上任意一点的纵 我们发现： 坐标与该点到原点的距离的比值就一定。 非空数集上的 2、当角度变化时，角的终边上任意一点的 映射！即是一 纵坐标与该点到原点的距离的比值就变化。 个函数！ 3、当角的终边相同时，角的终边上任意一点 的纵坐标与该点到原点的距离的比值就相同。 y 对应法则 1 r y 角 2 6 r 的 取 取 1 值 值 4
A.4 3 C. 4 3
B. 4 3 D. 3
1.2.1任意角的三角函数
初中：在直角三角形中锐角A的三角函数定义:
BC a sin A AB c
AC b cos A AB c BC a tan A AC b
c
A
B
a b C
上述定义只限于直角三角形中的锐角，而
现在角的定义已经拓广到任意角.
如：
2 sin ? 3 cos ? t an(
α 的终边 P(x，y)
O
x
三角函数的定义域:
三角函数 定义域
y sin
y cos
R R
y tan
{ |

2
k , k Z }
说明
正切函数．以上三种函数都称为三角函数;
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)?
任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义
正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义
思考：如何定义任意角的三角函数？
新课引入

任意角的三角 函数(1)

任意角的三角 函数(1)

y sin r
B（x，y）
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
B（x，y） r α A C x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
B（x，y） r α A x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y B（x，y）
r α A x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y B（x，y） （2，4） r （1，2） β α A x
教法、学法分析
1.教学方法 根据本节课的内容和学生认知水平，贯彻启发 性教学原则，充分体现以教师为主导，以学生为主 体，以思维创新为主线的教学思想，本节课的教学 方法主要有“问题探究、启发诱导、合作讨论、分 层教学”相结合，用“问题”组织教学，激发学生 的“求异”思维，通过合作讨论，实现师生互动， 生生互动，让学生相互合作，学会总结，在探索中 学习，在研究中提高。
2 2
合作讨论
教学程序设计 形成概念
概念的理解： 问题1. 角的三角函数值与所选的点的位置是否有关? 问题2. 任意角均有对应的三角函数值吗? 设计意图： 通过合作讨论，培养学生的合作精神，增 强学生的参与意识，充分体现学生的主体地位，提高 学生的交流、表达能力
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P o M x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P
o M
x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y P
M
o
x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P
M
o
x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P
M
o
x

1.2.1任意角三角函数1

1.2.1任意角三角函数1
x
正切为正
余弦为正
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余 割为正,其余均为负 第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关 的正割为正，其余皆为负。
例1：
已知角α 的终边经过点p(2，－3)，
求角α 的正弦、余弦和正切值。
例2
确定下列各三角函数值的符号：
自学检测：
P16 练习：1、 2、
锐角三角函数的定义：

sin _____; _____; _____ cos tan
y r
P(x,y)
x
α
o M
y x y sin ; cos ; tan r r x
定义： y y ①比值 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin ． r r x x ②比值 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos ． r r y 叫做 的正切，记作 ③比值 ， tan P(x,y) y x y 即 tan ． r
正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号
正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四 象限的角是负的。
余弦值x 对于第一、四象 限的角是正的，对于第二、 三象限的角是负的。
y 正切值 对于第一、三象限的角是正的， x 对于第二、四象限的角是负的。
三角函数值的符号问题
y
正弦为正
o
三角函数全为 正
11 (3) tan . 3
7 (1) cos . 12
(2) sin(465);
分层训练
• 必做题 P16 练习：3、4、5 • 选做题 P23 习题：6 • 作业 P23 ：习题：1、5

三角函数任意角的三角函数

三角函数任意角的三角函数

两角差余弦公式
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
两角和与差的正弦公式
两角和正弦公式
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
两角差正弦公式
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
两角和与差的正切公式
对于任意角α，有以下基本 公式
sin²α+cos²α=1， 1+tan²α=sec²α， 1+cot²α=csc²α
04
05
两角和与差的 倍角和半角公 三角函数公式 式
sin(α+β)=sinαcosβ+cos αsinβ。 cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
sin(2α)=2sinαcosα， cos(2α)=cos²α-sin²α， tan(2α)=(2tanα)/(1tan²α)
三角函数的图象与性质
01
三角函数的图象是在单位圆上点的轨迹，具有周期nx的图象是一条波形曲线，具有周期性，最小正周期为2π；余弦 函数y=cosx的图象也是一条波形曲线，也具有周期性，最小正周期为2π；正切 函数y=tanx的图象是一条直线，没有周期性。
交流电
交流电的电压和电流是时间的周期函数，可以用三角函数来 表示。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和稳定性分析需要用到三角 函数的知识。
THANK YOU.
在解三角形中，三角函数可以用于求角度、长度 等，例如利用余弦定理求三角形面积： S=1/2bcsinA。
在微积分中，三角函数可以用于求函数的积分和 导数等，例如求圆的面积：A=πr²。

任意角的三角函数

任意角的三角函数

利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线， 正切线．
三角函数的几何表示课件
三角函数的一种几何表示
当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ， MP 都看 成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正 弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
x x cos x OM r 1
而 48 °第一象限角, 所以tan(－672 °)>0
解:
因为tan(11π/3)=4)tan(5π/3+2π )=tan(5π/3)
而 5π/3第四象限角, 所以tan(11π/3)<0
变式
判断 cos(sinα)的符号
分析:
求 sinα 的大小; 弧度制把角度与实数相联系
解:
因为 sinα 的取值为 [-1,1]; 而 -1>-π /2 , 1< π/2 ;
弦 csc
tan 切 cot
全为+ 函 o x cos
余
函:所有的三角函数 弦:正弦 (倒数余割) 切:正切 (倒数余切) 余:余弦 (倒数正割)
sec
例3
确定下列三角函数值的符号
(1) cos250° (2) sin(－π /4)
解: 因为250°是第三象限角, 所以cos250°<0 解: 因为－π/4是第四象限角, 所以sin(－π/4) <0 练习4 口答
务正业了,每天坐在飞船当中,正在朝南皇国赶路."罢了,你们主内,咱主外吧..."根汉无奈の自嘲,她们在体验不同の人生,或许对她们の道法有所帮助,因为她们可能之前从来没想到会经历这样の生活.不过因为在这里已经呆了有段时间了,根汉必须要着眼开始找到这星海大陆の出口了,若是 再

三角函数任意角的三角函数

三角函数任意角的三角函数
长度。
sin45°和cos45°分别表示单 位圆上从原点到正x轴和正y
轴45°的线段长度。
sin60°和cos60°分别表示单位 圆上从原点到正x轴和正y轴 60°的线段长度。
利用计算器求三角函数值的方法
选择合适的角度模式
大多数计算器都有度数、弧度 、梯度等模式可供选择，根据
需要选择合适的模式。
选择三角函数类型
三角函数在单位圆上的表示
正弦函数、余弦函数和正切函数在单位圆上都有对应的表示。具体来说，正弦 函数和余弦函数的图像都在单位圆上，而正切函数的图像则是单位圆在第一象 限和第三象限的切线。
三角函数在单位圆上的表示
正弦函数在单位圆上的表示
正弦函数的图像是单位圆上点的纵坐标，即y坐标。当角度θ从0°增加到360°时，正弦函 数的值从0增加到1，再减小到0，再增加到-1，再减小到0，呈现出周期性变化。
奇偶性
正弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，因为对于任意实 数x，都有sin(-x)=-sin(x)。
余弦函数的奇偶性
余弦函数是偶函数，因为对于任意实 数x，都有cos(-x)=cos(x)。
有界性
01
有界性的定义
三角函数在定义域内具有有界性，即它们的取值范围都在一定的界限之
内。
02
正弦函数的有界性
正切函数图像
正切函数的图像是一个周期为$pi$ 的曲线，它在每个开区间$(kpi frac{pi}{2}, kpi + frac{pi}{2})$内是 单调递增的。
余切函数图像
余切函数的图像也是一个周期为$pi$ 的曲线，它在每个开区间$(kpi frac{pi}{2}, kpi + frac{pi}{2})$内是单 调递减的。

任意角的三角函数一

任意角的三角函数一

任意角的三角函数学习目标 ：1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.学习重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。

学习难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.知识链接：1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上； （2）第二象限.2：锐角的三角函数如何定义？如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b，它与原点的距离0r =. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b . 则sin MP b OP rα==；cos α= = ； t a n MP OM α== . 新课导学：1.任意角的三角函数的定义问题1： 将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sin MP OP α== ；cos OM OPα== ； tan MP OM α== . 问题2：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何推广到任意角呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为 ，然后就可以类似锐角三角函数求得该角的三角函数值.新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.问题3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1） 叫做α的正弦(sine)，记做sin α；（2） 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；（3）_______叫做α的正切(tangent)，记做tan α.即：sin y α=，cos x α=，tan (0)y x xα=≠.试试：角34π与单位圆的交点坐标为 ，则3s i n 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= . 反思： ①当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于 ，所以 无意义.② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r >，则：sin y rα=；cos α= ； tan α= . 典例解析： 例1、 求35π角的正弦、余弦和正切值．变式练习： 求56π角的正弦、余弦和正切值。

任意角的三角函数(一)

任意角的三角函数(一)
，
y
5 3
5 3 5 1 cos sin 3 2 3 2
1 3 ( , ) 2 2
5 tan 3 3
，
o
﹒
A
x
﹒B
点评：若已知角α的大小，可求 出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。
例3 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 弦和正切值 . 解:由已知可得 | OP0 | (3) 2 (4) 2 5
OMP ∽ OM P
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
若OP r 1 ，则 以原点为圆心,以单
Y
位长度为半径的圆 叫做单位圆.
P(a,b)

O M
MP sin OP OM cos OP X
b
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
y 那么:（1） 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y tan ，即 tan y ( x 0) （3） 叫做 的正切，记作
归纳总结
1. 内容总结： ①任意角三角函数的概念. ②三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限 的符号. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
课后作业
课本第20页 习题1.2 A组 3 、 4题.
思考题：求终边落在直线y=x上的三角函数
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r

1.2.1.1任意角三角函数

1.2.1.1任意角三角函数

第1课时 任意角的三角函数(一)任意角的三角函数的定义sin α，即sin α＝y cos α，即cos α＝x ，即tan α＝yx(x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数到一个比值的集合的函数．三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．Z }三角函数值在各象限的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦状元随笔 对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y 的符号；．sin 750°＝________.类型一三角函数的定义及应用1(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________ 2x”其他条件不变，结果又如何？的值为；（1）将本例中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？（2）将本例中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？（3）将本例中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.方法归纳判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上. 跟踪训练1 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.2．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是 ． 3．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角．(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.7．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是________．8．已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知角α的终边为射线y ＝－34x (x ≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．10．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.11．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角 12．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 13．计算：(1)sin 390°＋cos(－660°)＋3tan 405°－cos 540°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－7π2＋tan π－2cos 0＋tan 9π4－sin 7π3.14．已知角α的终边过点(a,2a )(a ≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．第2课时 任意角的三角函数(二)1.相关概念(1)单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值． 2．三角函数线状元随笔 (1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的，为正值，与x 轴或y 轴反向的，为负值． (1)角的三角函数线是直线．( )(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )(3)第二象限的角没有正切线．( )2．有下列四个说法：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边相同． 不正确说法的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT 4．已知sin α>0，tan α<0，则α的( )A ．余弦线方向向右，正切线方向向下B ．余弦线方向向右，正切线方向向上C ．余弦线方向向左，正切线方向向下D ．余弦线方向向上，正切线方向向左类型一 三角函数线的作法【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.类型二 利用三角函数线比较大小【例2】 (1)已知A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β B ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β D ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β (2)利用三角函数线比较sin2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．跟踪训练1．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c2 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？类型三 利用三角函数线解不等式(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1．将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围 2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin θ＜32”，求α的取值范围3．利用本例的方法，求函数y ＝2sin x －1的定义域．方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．跟踪训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1) sin α≥32；(2)cos α≤－12.一、选择题(每小题5分，共25分)1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM3．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D.[]0，π5．如果π4<θ<π2，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ二、填空题(每小题5分，共15分)6．比较大小：sin 1________sin π3(填“>”或“<”)．7．不等式tan α＋33>0的解集是________________________．8．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．三、解答题(每小题10分，共20分)9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)5π6；(2)－2π3.10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－22.11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第一、第三象限的角平分线上12．若cos θ>sin 7π3，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．13．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，试利用三角函数线证明sin α＋cos α>1.。

任意角的三角函数

任意角的三角函数

的其他
a, y 2a
(a , 2a )(a 0) ，所以
x r 5 | a |，
2a
y 当a 0时， a sin r
cos a x a 5a r 5 5a
2a 5|a|
2 5 5 5a
tan a 2;

y sin 当 a 0时 ， a r
小结
本节课学习以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式.
作业
记忆 : 0 ,30 ,45 ,60 ,90 的正弦, 余弦, 正 切值.
0 0 0 0 0
x x (2) 叫做a的余弦, 记作 cos a ,即 cos a ; r r y y (3) 叫做a的正切, 记作 tan a ,即 tan a ; x x
特别地, 任意角α的终边与单位圆交于点 P(x, y)时 :
(1) sin a y; (2) cos a x; y (3) tan a ; x
P(x,y) O
y
a
x
A(1,0)
填写正弦, 余弦, 正切函数值在各象限的 符 号:
y
(
y
y
( (
)
(
(
)
)
O
(
)
x
) ( ) x O ( ) ( )
(


) )
(

)
O
(
)
x
sin a
cosa
tan a
G S P
举例
3π 例1求 的正弦, 余弦, 正切值. 2 3 y r 解：设 a ，此时 x 0

§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)

§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
教学目标：
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学重、难点：
1.任意角三角函数的定义.
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
4) 例3.已知角的终边经过点 P0 (3,，求角的正弦、 余弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3) 2 (4) 2 5 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
2013-1-11
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
⑤定义域：
y y 1)对于正弦函数 sin ，因为ｒ＞0，所以 r 恒有 ry
意义，即取任意实数， 恒有意义，也就是说sin r 恒有意义，所以正弦函数的定义域是R； 2)类似地可写出余弦函数的定义域R ； y y 3)对于正切函数 tan ，因为x＝0时， 无意义，即 x x tan 无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时， y 才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时， 恒有意 x 义，即tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是: k ( k Z) 2 2013-1-11 10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
b 邻边 cos A r 斜边 a 对边 tan A b 邻边
A (0, ) 2

思考：角的范围已经推广，那么对任意角是否也能 像锐 角一样定义其三种三角函数呢？

任意角的三角函数

任意角的三角函数

（4）负
tanx 例3.求函数y = + 的值域. cosx tanx
解析： 定义域：cosx ≠0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx ≠0 ∴x的终边不在y轴上
cosx
∴当x是第一象限角时，x > 0,y > 0, cosx = cosx,tanx = tanx, ∴ y = 2; 当x是第二象限角时，x < 0,y > 0, cosx = -cosx,tanx = -tanx, ∴ y = -2; 当x是第三象限角时，x < 0,y < 0, cosx = -cosx,tanx = tanx, ∴ y = 0; 当x是第四象限角时，x > 0,y < 0, cosx = cosx,tanx = -tanx, ∴ y = 0; 所以，y的值域为 {2， - 2，0}
例2 已知角的终边经过点P（ 2， 3），求角的 正弦、余弦、正切值.
解：
因为
所以
x 2, y 3,
r 2 2 ( 3) 2 13 ,
所以
y 3 3 13 sin , r 13 13
x 2 2 13 cos , r 13 13
3 y . tan 2 x
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6
1 2
4
2 2 2 2
3
3 2
1 2
2 1

0
1
0
不存在
3 2
2
1
0
tanα
3 2 3 3
0
1
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. 1.2.1 任意角的三角函数（一）2015.12
【预习案】
目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。

1、初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？
特别地，r =1时，sin= ___ ,cos= ___ ,tan= _____ （）.
5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律?
7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？
8、三角函数在坐标轴上的取值情况
角
0 90180270360
弧度数
sin
cos
tan
【课堂案】
例1、已知角的终边经过点P(-3,4),求角的正弦,余弦和正切值.
强化1: 已知角的终边经过点P(12,-5),求角的正弦,余弦和正切值.
强化2：已知角的终边经过点P(6m,-8m)，其中m0，求角的三角函数值.
强化3：已知角的终边在直线y = 3x上，求角的三角函数值。

例 2.确定下列三角函数值的符号.
(1) cos 250(2)sin(- ) (3) tan(-672) (4)tan3
强化：1.若角的终边过点(-3，-2)则( )
A.sin tan0
B. cos tan0
C.sin cos0
D.sin cos0 强化：2. 若sin0,tan0则是第象限角? 反之成立吗?
强化：3.设是三角形的一个内角，则sin,cos, tan, tan中，哪些可以取负值？
强化2、 2cos
+tan(-
7
)+cos
2
13
+sin
3
2 4 6 2
巩固案】
1、角
的终边上有一点P （a ,a ） ， a
0，则sin
的值是（ ）
2、已知角
的终边经过点 p （—1, 3 ）,则sin
+ cos
的值是（ ）
已知角
的终边上一点P （- 3,m ），且sin
= 2m ，求cos
的值.
5、若cos 0,tan 0则在( )
6、若sin cos
0 ，则
在（ ）
A. 第一、四象限
B. 第一、三象限
7、下列命题中，正确命题的个数是（
）
（1）终边相同的角的同名三角函数的值相同 （3）若sin 0则
是第一、二象限的角
（2）终边不同的角的同名三角函数的值不等
4）若
是第二象限的角,且 p （x,y ）是其终边
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第三象限
D. 第四象限
上一点，则 cos
=
-x
例 3、求值： (1) sin1485
(2)cos 9
强化 1、(1)cos1140
(2)tan 19
(3)sin(-1050)
(4)tan(-31)
3、
已知角的终边经过点 P （ x ,1）,且 cos =
25
5
则x 的值是（ 4、 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限
. 1.2.1 任意角的三角函数(一)
2015.12
8、 若角
的终边落在直线 y = 3x 上，求 sin
, cos ,tan 的值。

9、已知角
的终边经过点 p (4a ,-3a )(a o ),求2sin
+ cos
的值。

10、若x (0,2
),函数y = sin x + - tan x 的定义域是( ) 3 A.[0,] B.[0,] C.[
3
,2] D.( ,] 2 2
2
11、已知cos
= cos
, tan
= -tan
，则
的取值范围是(
)
A. 2k - ,2k
2
B. 2k
- ,2k + 2 2
C.k - ,k
D. 2k + ,2k +
2 12、若 cos = cos , tan = - tan ，则的终边在( A.第二、四象限 B.第一、三象限
2
C.第一、三象限或x 轴上
D. 第二、四象限或x 轴上
13、 若是第三象限角，且cos 0，则是( ) 22 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 14、 函数y = sin x +cos x + tan x sin x cos x
tan x
的值域是 15、 cos 9
+tan(-11)= 46 11 71 19 cos - +sin - -tan = 3 6
3
sin90 +cos0 -2sin270 -tan180= 16、已知
f (x ) =
c f o (s x
-x 1)-1
的值。