聚焦二函模型与实际问题

聚焦二函模型与实际问题六神中学 翟升华二次函数的图象——抛物线，揭示了现实世界数量关系和运动变化规律.建立抛物线模型，可以解决我们日常生活中、生产工程中、体育活动中、国防建设中可能遇到的诸多实际问题，体现着函数、坐标、转换、数形结合等思想方法.近年来中考，出现了不少形形色色、方方面面的二次函数模型与实际问题的应用题，她考查了学生的建模能力和用数学意识.现分类举例说明，供参考.一、体育运动型例1 如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x (m )满足关系式y =a (x -6)2+h .已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m .（1）当h =2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）当h =2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.析解：（1）利用h =2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可.（2）利用h =2.6，当x =9时，y =-601(9－6)2+2.6=2.45与球网高度比较；当y =0时，解出x 值与球场的边界距离比较，即可得出结论.（3）根据球经过点（0，2）点，得到a 与h 的关系式。

由x =9时球一定能越过球网得到y ＞2.43；由x =18时球不出边界得到y ≤0。

分别得出h 的取值范围，即可得出答案.（1）把x =0，y =2,及h =2.6代入到y =a (x -6)2+h ，即2=a (0－6)2+2.6，∴a=-601. ∴当h =2.6时， y 与x 的关系式为y=-601 (x －6)2+2.6. （2）当h =2.6时，y =- 601(x －6)2+2.6，∵当x =9时，y =-601 (9－6)2+2.6=2.45＞2.43， ∴球能越过网.∵当y =0时，即-601(18－x )2+2.6=0，解得x =6+156＞18，∴球会过界. （3）把x =0,y =2,代入到y =a (x -6)2+h 得a=362h -.x =9时，y =362h -（9－6)2+h =432h +＞2.43 ①；x =18时，y =362h -(18－6)2+h =h 38-≤0 ②.由① ②解得h 38≥.∴若球一定能越过球网，又不出边界,h 的取值范围为h 38≥.点评：这是一道二次函数模型与排球知识相搭配的应用题.通过计算确定球能否越过球网？球会不会出界？融知识性和趣味性于一体.二、桥下通行型例2 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16m ，AE ＝8m ， 抛物线的顶点C 到ED 的距离是11m ，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立 平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40h 内，水面与河底ED 的距离h (单位：m )随时间t (单位：h ) 的变化满足函数关系21h=(t 19)+8(0t 40)128--≤≤且当水面到顶点C 的距离不大于5m 时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？析解：（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B 坐标代入即可求解.（2）水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h 至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t 的值，相减即可得到禁止船只通行的时间（1）设抛物线的为y =ax 2+11，由题意得B （8，8），∴64a +11=8，解得a=643-. ∴抛物线的解析式y =643-x 2+11. （2）画出21h=(t 19)+8(0t 40)128--≤≤的图象：水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h ≥6；当h =6时，6=-81912812+-）（t ，解得t 1=35，t 2=3.∴35－3=32（小时）. 答：需32小时禁止船只通行.点评：数学来源于生活，又反过来为生活服务.本题利用抛物线模型来解决桥下通航、安全行驶问题，极富生活气息，体现了数学的实用价值.三、飞机着陆型例3 某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x ﹣1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来．析解：根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值.∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值.∴S 最大值=）（5.146002-⨯-=600，即飞机着陆后滑行600米才能停止.点评：本题运用二次函数知识解决飞机着陆后滑行的最大路程的问题，说明数学知识应用广泛，数学是“万能”的.四、导弹发射型例4 如图，某种新型导弹从地面发射点Ｌ处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y (km )与飞行时间x (s )之间的关系式为211y x x 186=+ (0x 10)≤≤．发射3 s 后，导弹到达A 点，此时位于与L 同一水平面的R 处雷达站测得AR 的距离是2 km ，再过3s 后，导弹到达B 点．(1)求发射点L 与雷达站R 之间的距离；(2)当导弹到达B 点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL )的正切值．析解：（1）在解析式中，把x =3代入函数解析式，即可求得AL 的长；在直角△ALR 中，利用勾股定理即可求得LR 的长.（2）在解析式中，把x =6代入函数解析式，即可求得AL 的长；在直角△BLR 中，根据正切函数的定义即可求解(1)把x ＝3代入211y x x 186=+，得y ＝1，即AL ＝1. 在Rt △ARL 中，AR ＝2，∴ LR ＝3122222=-=-AL AR . (2)把x ＝3＋3＝6代入211y x x 186=+，得y ＝3，即BL ＝3 . ∴tan ∠BRL ＝333==LR BL . 答：发射点L 与雷达站R 之间的距离为3km ，雷达站测得的仰角的正切值3.点评：本题设计新颖，综合性强.考查了二次函数模型的应用，解直角三角形的应用（仰角、俯角问题），勾股定理，锐角三角函数等，真是知识系统化、习题系列化.还向学生渗透了军事知识，加强了国防意识教育.五、厨房炊具型例5 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如图②，过点B作直线BE：y=13x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣53），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．析解：（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式．（2）根据直线BE：y=x﹣1知，该直线必过（0，﹣1）点，那么∠EBO=∠CBO，若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，那么夹这组对应角的对应边必成比例，先求出BC、BO、BE的长，然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长，进而得到OP的长，即可确定P点坐标．（3）△EBQ中，BE长为定值，若以BE为底，当△EBQ的面积最大时，Q到直线BE的距离最大；由于点Q可能在抛物线C1或C2上，因此两种情况都要解一下，最后通过比较得到能使△EBQ面积最大的Q点．首先作直线l∥BE，分别令直线l与抛物线C1、C2有且仅有一个交点，那么符合条件的Q点必在这两个交点中，先求出这两个交点分别到直线BE的距离，距离大者符合条件，由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值．（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y=a（x ﹣3）（x+3）；抛物线C1还经过D（0，﹣3），则有：﹣3=a（0﹣3）（0+3），a=.即：抛物线C1：y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）；抛物线C2还经过A（0，1），则有：1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣，即：抛物线C2：y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）．（2）由于直线BE：y=x﹣1必过（0，﹣1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）；由E点坐标可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，所以它们的补角∠EOB≠∠CBx；若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：①∠CBP 1=∠EBO ，且OB ：BE=BP 1：BC ，即：3：=BP 1：，得：BP 1=，OP 1=OB ﹣BP 1=；∴P 1（，0）；②∠P 2BC=∠EBO ，且BC ：BP 2=OB ：BE ，即：：BP 2=3：，得：BP 2=，OP 2=BP 2﹣OB=；∴P 2（﹣，0）． 综上，符合条件的P 点有：P 1（，0）、P 2（﹣，0）． （3）如图，作直线l ∥直线BE ，设直线l ：y=x+b ；①当直线l 与抛物线C 1只有一个交点时：x+b=x 2﹣3，即：x 2﹣x ﹣（3b+9）=0∴该交点Q 2（，﹣）；Q 2到直线 BE ：x ﹣y ﹣1=0 的距离：==；②当直线l 与抛物线C 2只有一个交点时：x+b=﹣x 2+1，即：x 2+3x+9b ﹣9=0∴该交点Q 1（﹣，）；Q 1到直线 BE ：x ﹣y ﹣1=0 的距离：=；∴符合条件的Q 点为Q 1（﹣，）；△EBQ 的最大面积：S max =×BE ×=．点评：该题的难度和计算量都比较大，涉及了函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、图形面积的解法等重点知识的融合.具有较大的选拔性和区分度.解答（2）题时，应注意分不同的对应边来进行分类讨论，以免漏解．（3）的难度更大，点到直线的距离公式【点（x 0，y 0）到直线（Ax+By+C=0）的距离为：d=2200||B A c By Ax +++.如果教材上没有此公式，那就超标了.】是需要记住的内容．另外，题目从司空见惯的问题入手，在设计时结合了一定的生活元素（炒菜锅和锅盖），体现了生活处处有数学，数学能解决日常生活问题.命题形式也较为新颖别致．其实，二次函数模型与实际问题的题型还有很多，本文就不再赘述了.这类问题实质上是先构造实物模型（二次函数解析式），再求函数值，还综合其它知识一起解决实际问题.体现“.在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.”的新课标理念，是中考常考不衰、不断更新的好题型.。