相干光光场与二能级原子相互作用及其演化

原子与光的成像原理
使用光场成像原子的基本原理如下:
1. 冷却和捕捉原子
使用激光冷却技术,将温度降低到接近绝对零度,原子运动速度大大减缓。

使用磁光阱捕捉冷却后的原子。

2. 照射激光
向固定的原子群照射一束相干的激光光场,光场与原子产生相互作用。

3. 原子散射光场
原子与光场发生散射作用,作为二次光源向四周发出scatter光场。

4. 采集散射光
使用高灵敏度的CCD传感器,采集散射光的分布图像。

5. 光场运算重建
将采集的光场图像输入计算机,应用光场运算算法重新构建出原子的波函数。

6. 图像重建
通过光场重建计算,可以实时显像出原子的微观图像,观测原子的量子态信息。

7. 物理信息解析
从重建出的原子图像中,可以解析出原子的各种物理信息,如自旋、能级等数据。

8. 控制实验条件
改变激光参数、外界环境等条件,观察原子态在不同情形下的变化。

该技术利用光场的微扰成像原理,实现了对原子这一微观物体的非接触成像,使人们可以更直观地观测到量子世界。

Tavis-Cummings模型中耦合双原子纠缠度的演化特性刘惠平（大连交通大学数理系，辽宁大连 116028）摘要：本文主要考虑了Tavis-Cummings(T-C)模型中有偶极-偶极相互作用的双原子和单模相干光场相互作用时原子间的纠缠演化规律。

文章给出了模型中系统时间演化算符的具体形式，并且给出了两原子初始均处于基态时不同耦合程度下原子之间的纠缠演化曲线和原子布居差演化曲线，发现原子之间始终是纠缠的，纠缠度随时间作周期性振荡，振荡幅度和周期都与原子间的耦合强度密切相关，同时原子间纠缠度的演化与原子布居差的坍塌-恢复有关联。

关键词：T-C模型；量子纠缠；布居差中图分类号：O431.2The Evolution Properties of Entanglement of Two Coupling Atoms in the Tavis-Cummings ModelLiu Huiping1，Cai Jinfang2(1.Dalian Jiaotong University Dlian 116028，China；2.Department of Physics,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081，China)Abstract: Atomic evolution properties of entanglement are represented by concurrence and the effects of atoms-coupling on the properties are considered within the context of the Tavis-Cummings model. Two coupling two-level atoms interact with a quantized cavity field. The explicit forms of the evolution operator are given. We find atomic entanglement can always be kept though atoms are initially unentangled. The results also show that the amplitude of the entanglement evolution oscillation increases and the periods of the oscillation become longer with increasing atomic coupling effect. When atomic coupling is strong enough, atomic entanglement evolution behavior is similar to that of the Heisenberg model. A tomic entanglement evolution properties have relations with atomic population. Key words:T-C model；quantum entanglement；atomic population1引言T-C模型]1[是描述多个二能级原子和单模量子化光场相互作用的重要理论模型，从提出来就引起人们广泛的兴趣，国内外很多学者对这一模型及其推广作了大量的研究，并揭示出它们多种多样的非经典性质，如原子布居的周期坍塌与恢复、原子算符的压缩、光场的压缩性质等，但是对T-C模型中有关量子信息方面的研究还只是开始。

光波与二能级原子的相互作用 ——半径典理论一般情况下只考虑原子的二能级体系与光波的相互作用，光波与原子体系的哈密顿量，E r e H H ˆˆˆ0−=，这里使用了偶极子近似和偶极子尺寸远小于光波波长的条件。

而没有受光波作用时，原子体系的哈密顿量0ˆˆH H =,本征能量和函数为2121ϕϕ、、、E E ，满足能量本征方程和薛定谔方程，)()(ˆ0x E x H jj j ϕϕ=，2,1=j (4-20) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂−−t E i j tE i j jj e x H e x t h h )(ˆ)(0ϕϕ，2,1=j (4-21) 在没有光波作用时，原子的波函数可以表示为 t E it E iex c ex c t x hh21)()(),(2211−−+=ϕϕψ (4-22)这种情况下，c 1、c 2是与时间无关的常数，也就是说此时原子处于稳定的状态，及处于两个本征态的几率是稳定的。

当光波与原子作用时，原子的状态将随时间变化，那么处于某个本征态的几率也随时间变化，c 1、c 2将是时间的函数，而由于量子力学假设所用的微观系统都按薛定谔方程演化，所以原子的态函数， ),()ˆˆ(),(0t x E r e H t x ti ψψ−=∂∂h(4-23) 那么利用(4-20)和(4-21),从(4-23)得到，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂−−−−t Ei t E i t E i t Ei e x t c e x t c E r e H e x t c e x t c t i h h hh h 2121)()()()()ˆˆ()()()()(221102211ϕϕϕϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂+∂∂−−−−−−−−t E i t Ei t E i t E i t Ei t E i t E i t E i ex t c e x t c E r e ex t c e x t c H e x t c E e x t c E e x t c t i ex t c t i hhhhh hh h h h 21212121)()()()(ˆ)()()()(ˆ)()()()()()()()(2211221102221112211ϕϕϕϕϕϕϕϕν = (E 212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=∂∂+∂∂−−−−t Ei t E i Ei t E i e x t c e x t c E r e e x t c ti ex t c t i h h h hh h 2121)()()()(ˆ)()()()(22112211ϕϕϕϕ (4-24) 分别将t E iex h1)(*1ϕ、t E iex h2)(*2ϕ乘上(4-24)并积分，利用本征函数的正交性和光波，ij j i dx δϕϕ=∫* (4-25))(21)cos(2100t i t i e e E t E E ωωω+==− (4-26)得到，⎪⎩⎪⎨⎧+=∂∂+=∂∂∆∆−22221121221111)()()()()()(V t c e V t c t c ti eV t c V t c t c t i ti ti ωωh h (4-26)这里h12E E −=∆ω,ij t i t i j i t i t i ij V e e dx re e eE V ~)(ˆ)(21*0ωωωωϕϕ+=+−=−−∫,dx reE V j i ij ϕϕ∫−=ˆ21~*0，*2112~~~V V V == 由本征函数的奇偶对称性，得到 0~~22112211====V V V V , 那么(4-26)式得到，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=∂∂+=+=∂∂∆+∆−−−∆∆−∆+−−∆−][~)()(~)()(][~)()(~)()()()(2112112)()(1221221ti t i t i t i t i ti t i t i t i t i e e V t c e e e V t c t c ti e e V t c e e e V t c t c ti ωωωωωωωωωωωωωωh h (4-27) 另外，这里考虑旋转波近似，忽略高频变化项ti e)(ωω∆+、ti e)(ωω∆+−,那么(4-27)式变为⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂=+=∂∂∆−−−∆∆−−∆−t i ti t i t i t i ti t i t i e V t c e e e V t c t c ti e V t c e e e V t c t c t i )(*1212112)(1221221~)()(~)()(~)()(~)()(ωωωωωωωωωωh h (4-28) 由(4-28)得到，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω−Ω−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆−−∆−21)(*12)(122100c c e i e i c c dt d ti t i ωωωω (4-29)∫∫−==Ωdx r eE V 1*201212ˆ21~ϕϕh h，记为 C M C dtd= (4-30) 作旋转变换，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆−−∆−212)(2)(2100a ae e c c t i t i ωωωω (4-31) 记为 A R C = (4-32) (4-32)代入(4-30)得到，A R dt d R R M R A dt d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−11 (4-33) 矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆−−Ω−Ω−∆−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−2)(2)(*121211ωωωωi i i i R dt d RR M R (4-34)那么方程(4-34)的通解为222212)(214)(ωωωωλ∆−+Ω±=∆−+Ω±=±ii i (4-35)所对应的本征矢量为,⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+Ω=±2/)(2/22δδm A , (4-36) 这里∫∫−=Ω=Ωdx r eE 1*2012ˆ2ϕϕh，ωωδ∆−=，方程 (4-33) 的通解为，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Ω++Ω+−ΩΩ=Ω+−Ω+Ω+−Ω+212/222/222/2/222222222/)(2/)(2/2/)(a a e e e e t A t i t i t i t i δδδδδδδδ (4-37) 如果知道t=0时原子的状态，即知道⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)0()0()0(21c c t C (4-38) 利用(4-32)和(4-37)，我们可以得到(4-37)的两个未知系数，并得到)(t C 的通解和演化矩阵， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)0()0()()(21c c t T t C (4-39) ()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Ω+Ω+−Ω+Ω+Ω+Ω−Ω+Ω+Ω−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Ω+Ω++Ω+=−−22222122212/2221222/2221222/22222122212/]sin[]cos[]sin[]sin[]sin[]cos[)(δδδδδδδδδδδδδδδδt i t e t i e t i e t i t e t T tt i tt i tt i tt i当光波与两能级共振时，0=δ，那么此时演化矩阵变为，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)0()0())()(2121c c t T t c t c⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ−Ω−Ω=]cos[]sin[]sin[]cos[)(112121t t i t i t t T 即得到，⎩⎨⎧Ω+Ω−=Ω−Ω=]cos[)0(]sin[)0()(]sin[)0(]cos[)0()(21221122122111t c t ic t c t ic t c t c (4-39) 那么处于能级E 1和E 2的几率分别为，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−ΩΩ+Ω+Ω=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−ΩΩ+Ω+Ω=)]0()0()0()0(][cos[]sin[][sin )0(][cos )0()()]0()0()0()0(][cos[]sin[][sin )0(][cos )0()(*21*122121212212122222*12*212121212222122121c c c c t t i t c t c t c c c c c t t i t c t c t c (4-40) 如果原子一开始处于低能级E 1，即0)0(,1)0(21==c c ，那么上式(4-40)变为⎪⎩⎪⎨⎧Ω=Ω=][sin )(][cos )(2122221221t t c t t c (4-41) Ω称为拉比（Rabi ）频率，它表示光波与原子作用的强度，它正比于偶极子和光场强度。