相干光光场与二能级原子相互作用及其演化

原子与光的成像原理
使用光场成像原子的基本原理如下:
1. 冷却和捕捉原子
使用激光冷却技术,将温度降低到接近绝对零度,原子运动速度大大减缓。

使用磁光阱捕捉冷却后的原子。

2. 照射激光
向固定的原子群照射一束相干的激光光场,光场与原子产生相互作用。

3. 原子散射光场
原子与光场发生散射作用,作为二次光源向四周发出scatter光场。

4. 采集散射光
使用高灵敏度的CCD传感器,采集散射光的分布图像。

5. 光场运算重建
将采集的光场图像输入计算机,应用光场运算算法重新构建出原子的波函数。

6. 图像重建
通过光场重建计算,可以实时显像出原子的微观图像,观测原子的量子态信息。

7. 物理信息解析
从重建出的原子图像中,可以解析出原子的各种物理信息,如自旋、能级等数据。

8. 控制实验条件
改变激光参数、外界环境等条件,观察原子态在不同情形下的变化。

该技术利用光场的微扰成像原理,实现了对原子这一微观物体的非接触成像,使人们可以更直观地观测到量子世界。

Tavis-Cummings模型中耦合双原子纠缠度的演化特性刘惠平（大连交通大学数理系，辽宁大连 116028）摘要：本文主要考虑了Tavis-Cummings(T-C)模型中有偶极-偶极相互作用的双原子和单模相干光场相互作用时原子间的纠缠演化规律。

文章给出了模型中系统时间演化算符的具体形式，并且给出了两原子初始均处于基态时不同耦合程度下原子之间的纠缠演化曲线和原子布居差演化曲线，发现原子之间始终是纠缠的，纠缠度随时间作周期性振荡，振荡幅度和周期都与原子间的耦合强度密切相关，同时原子间纠缠度的演化与原子布居差的坍塌-恢复有关联。

关键词：T-C模型；量子纠缠；布居差中图分类号：O431.2The Evolution Properties of Entanglement of Two Coupling Atoms in the Tavis-Cummings ModelLiu Huiping1，Cai Jinfang2(1.Dalian Jiaotong University Dlian 116028，China；2.Department of Physics,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081，China)Abstract: Atomic evolution properties of entanglement are represented by concurrence and the effects of atoms-coupling on the properties are considered within the context of the Tavis-Cummings model. Two coupling two-level atoms interact with a quantized cavity field. The explicit forms of the evolution operator are given. We find atomic entanglement can always be kept though atoms are initially unentangled. The results also show that the amplitude of the entanglement evolution oscillation increases and the periods of the oscillation become longer with increasing atomic coupling effect. When atomic coupling is strong enough, atomic entanglement evolution behavior is similar to that of the Heisenberg model. A tomic entanglement evolution properties have relations with atomic population. Key words:T-C model；quantum entanglement；atomic population1引言T-C模型]1[是描述多个二能级原子和单模量子化光场相互作用的重要理论模型，从提出来就引起人们广泛的兴趣，国内外很多学者对这一模型及其推广作了大量的研究，并揭示出它们多种多样的非经典性质，如原子布居的周期坍塌与恢复、原子算符的压缩、光场的压缩性质等，但是对T-C模型中有关量子信息方面的研究还只是开始。

光波与二能级原子的相互作用 ——半径典理论一般情况下只考虑原子的二能级体系与光波的相互作用，光波与原子体系的哈密顿量，E r e H H ˆˆˆ0−=，这里使用了偶极子近似和偶极子尺寸远小于光波波长的条件。

而没有受光波作用时，原子体系的哈密顿量0ˆˆH H =,本征能量和函数为2121ϕϕ、、、E E ，满足能量本征方程和薛定谔方程，)()(ˆ0x E x H jj j ϕϕ=，2,1=j (4-20) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂−−t E i j tE i j jj e x H e x t h h )(ˆ)(0ϕϕ，2,1=j (4-21) 在没有光波作用时，原子的波函数可以表示为 t E it E iex c ex c t x hh21)()(),(2211−−+=ϕϕψ (4-22)这种情况下，c 1、c 2是与时间无关的常数，也就是说此时原子处于稳定的状态，及处于两个本征态的几率是稳定的。

当光波与原子作用时，原子的状态将随时间变化，那么处于某个本征态的几率也随时间变化，c 1、c 2将是时间的函数，而由于量子力学假设所用的微观系统都按薛定谔方程演化，所以原子的态函数， ),()ˆˆ(),(0t x E r e H t x ti ψψ−=∂∂h(4-23) 那么利用(4-20)和(4-21),从(4-23)得到，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂−−−−t Ei t E i t E i t Ei e x t c e x t c E r e H e x t c e x t c t i h h hh h 2121)()()()()ˆˆ()()()()(221102211ϕϕϕϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂+∂∂−−−−−−−−t E i t Ei t E i t E i t Ei t E i t E i t E i ex t c e x t c E r e ex t c e x t c H e x t c E e x t c E e x t c t i ex t c t i hhhhh hh h h h 21212121)()()()(ˆ)()()()(ˆ)()()()()()()()(2211221102221112211ϕϕϕϕϕϕϕϕν = (E 212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=∂∂+∂∂−−−−t Ei t E i Ei t E i e x t c e x t c E r e e x t c ti ex t c t i h h h hh h 2121)()()()(ˆ)()()()(22112211ϕϕϕϕ (4-24) 分别将t E iex h1)(*1ϕ、t E iex h2)(*2ϕ乘上(4-24)并积分，利用本征函数的正交性和光波，ij j i dx δϕϕ=∫* (4-25))(21)cos(2100t i t i e e E t E E ωωω+==− (4-26)得到，⎪⎩⎪⎨⎧+=∂∂+=∂∂∆∆−22221121221111)()()()()()(V t c e V t c t c ti eV t c V t c t c t i ti ti ωωh h (4-26)这里h12E E −=∆ω,ij t i t i j i t i t i ij V e e dx re e eE V ~)(ˆ)(21*0ωωωωϕϕ+=+−=−−∫,dx reE V j i ij ϕϕ∫−=ˆ21~*0，*2112~~~V V V == 由本征函数的奇偶对称性，得到 0~~22112211====V V V V , 那么(4-26)式得到，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=∂∂+=+=∂∂∆+∆−−−∆∆−∆+−−∆−][~)()(~)()(][~)()(~)()()()(2112112)()(1221221ti t i t i t i t i ti t i t i t i t i e e V t c e e e V t c t c ti e e V t c e e e V t c t c ti ωωωωωωωωωωωωωωh h (4-27) 另外，这里考虑旋转波近似，忽略高频变化项ti e)(ωω∆+、ti e)(ωω∆+−,那么(4-27)式变为⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂=+=∂∂∆−−−∆∆−−∆−t i ti t i t i t i ti t i t i e V t c e e e V t c t c ti e V t c e e e V t c t c t i )(*1212112)(1221221~)()(~)()(~)()(~)()(ωωωωωωωωωωh h (4-28) 由(4-28)得到，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω−Ω−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆−−∆−21)(*12)(122100c c e i e i c c dt d ti t i ωωωω (4-29)∫∫−==Ωdx r eE V 1*201212ˆ21~ϕϕh h，记为 C M C dtd= (4-30) 作旋转变换，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆−−∆−212)(2)(2100a ae e c c t i t i ωωωω (4-31) 记为 A R C = (4-32) (4-32)代入(4-30)得到，A R dt d R R M R A dt d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−11 (4-33) 矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆−−Ω−Ω−∆−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−2)(2)(*121211ωωωωi i i i R dt d RR M R (4-34)那么方程(4-34)的通解为222212)(214)(ωωωωλ∆−+Ω±=∆−+Ω±=±ii i (4-35)所对应的本征矢量为,⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+Ω=±2/)(2/22δδm A , (4-36) 这里∫∫−=Ω=Ωdx r eE 1*2012ˆ2ϕϕh，ωωδ∆−=，方程 (4-33) 的通解为，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Ω++Ω+−ΩΩ=Ω+−Ω+Ω+−Ω+212/222/222/2/222222222/)(2/)(2/2/)(a a e e e e t A t i t i t i t i δδδδδδδδ (4-37) 如果知道t=0时原子的状态，即知道⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)0()0()0(21c c t C (4-38) 利用(4-32)和(4-37)，我们可以得到(4-37)的两个未知系数，并得到)(t C 的通解和演化矩阵， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)0()0()()(21c c t T t C (4-39) ()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Ω+Ω+−Ω+Ω+Ω+Ω−Ω+Ω+Ω−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Ω+Ω++Ω+=−−22222122212/2221222/2221222/22222122212/]sin[]cos[]sin[]sin[]sin[]cos[)(δδδδδδδδδδδδδδδδt i t e t i e t i e t i t e t T tt i tt i tt i tt i当光波与两能级共振时，0=δ，那么此时演化矩阵变为，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)0()0())()(2121c c t T t c t c⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ−Ω−Ω=]cos[]sin[]sin[]cos[)(112121t t i t i t t T 即得到，⎩⎨⎧Ω+Ω−=Ω−Ω=]cos[)0(]sin[)0()(]sin[)0(]cos[)0()(21221122122111t c t ic t c t ic t c t c (4-39) 那么处于能级E 1和E 2的几率分别为，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−ΩΩ+Ω+Ω=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−ΩΩ+Ω+Ω=)]0()0()0()0(][cos[]sin[][sin )0(][cos )0()()]0()0()0()0(][cos[]sin[][sin )0(][cos )0()(*21*122121212212122222*12*212121212222122121c c c c t t i t c t c t c c c c c t t i t c t c t c (4-40) 如果原子一开始处于低能级E 1，即0)0(,1)0(21==c c ，那么上式(4-40)变为⎪⎩⎪⎨⎧Ω=Ω=][sin )(][cos )(2122221221t t c t t c (4-41) Ω称为拉比（Rabi ）频率，它表示光波与原子作用的强度，它正比于偶极子和光场强度。

光子与原子相互作用的基本原理和现象解析光子与原子相互作用是量子力学中一个重要的研究领域，也是光谱学和量子计算等领域的基础。

本文将解析光子与原子相互作用的基本原理和现象，以帮助读者更好地理解这一领域。

光子是光的基本组成单位，它是量子力学中描述光波粒性的概念。

光子具有能量和动量，并遵循能量守恒和动量守恒的定律。

与光子相互作用的原子系统可以分为两个主要的情况：一是自由原子，二是束缚原子。

自由原子指的是原子处于无外界场的自由状态，束缚原子指的是原子受到某种外界场的束缚状态，比如原子在晶格中。

当光子与自由原子相互作用时，可以发生光电效应、康普顿散射和光背散射等现象。

其中最典型的是光电效应，即光子的能量高于一定能量阈值时，光子会被吸收，电子被激发并跃迁到连续能量态。

这种现象在实际应用中被广泛利用，例如用于光电转换装置。

康普顿散射是指当光子与自由电子碰撞时，光子的能量和动量会被散射，同时电子也发生散射。

光背散射是指当光子与自由原子或分子作用时，光子的能量和动量会被激发并发生散射。

对于束缚原子，光子与原子的相互作用可以导致原子的激发、退激发和光吸收等现象。

这种相互作用可以用来研究物质的结构和性质，例如原子光谱学中的拉曼光谱和拉曼散射等。

当光子与束缚原子相互作用时，光子的能量与原子的能级差相匹配时，光子会被吸收，从而激发原子跃迁到更高的能级。

当光子的能量与原子的能级差不匹配时，光子被散射，原子退激发到低能级。

另外，光子与原子相互作用还可以导致光的干涉、衍射和散射等现象。

光的干涉和衍射是光和原子之间相互作用的结果，通过它们可以研究光的波动性和原子的结构。

例如Young实验中的双缝干涉实验证明了光的波动性，而原子的Beugung 实验则证实了原子的波动性。

光的散射是指入射光在与原子碰撞后发生方向变化和能量损失的现象，其中最著名的是拉曼散射。

拉曼散射是指光子与原子或分子之间发生能量、动量和频率的交互转移，从而导致散射光的频移和强度变化。

光与二能级原子的相互作用二能级原子与光场的相互作用是最基本的模型，如图1为二能级原子与光场的相互作用。

图1二能级原子与光场的相互作用如图1所示，频率为v 的单模光场与二能级原子系统相互作用。

不考虑外界因素的影响，分析光场与原子相互作用。

其中，m 表示激发态，n 表示基态，原子在上下能态之间作简谐振荡，其中拉比频率为Ω，原子跃迁频率为ω，探测光的失谐量为v -=∆ω，激发态到基态的自发辐射衰减率为Γ，相干衰减率为()2/n m γγγ+=，二能级的电偶极矩矩阵元为n r m e mn =℘。

该系统的总哈密顿量由自由哈密顿0H 和光与原子相互作用的哈密顿1H 。

系统的总哈密顿量为10H H H +=。

nn m m H n m ωω +=0(3.1.2)m n e n m e H ivt ivt *122Ω-Ω-=- (3.1.3)根据考虑耗散作用的密度矩阵方程：[]{}ρρρ,21,Γ--=H i ()()∑∑Γ-Γ---=k kj kj kj ik k kj kj kj ik ij H H i ρρρρρ21 (3.1.4)利用可以得到：()()mm nn ivt mn mn mn nm ivt mn ivt nn nn mn ivt nm ivt mm mm e i i e i e i e i e i ρρργωρρρρρρρρρ-Ω++=Ω-Ω+Γ=Ω-Ω+Γ-=---22222**1 (3.1.5)做慢变振幅近似有：ivt mnmn e -=ρρ~，mm mm ρρ~=，nn nn ρρ~=()()mm nn mn mn nm mn nn nn mn nm mm mm i i i i i i ρρργρρρρρρρρρ~~2~~~2~2~~~2~2~~**1-Ω+-∆=Ω-Ω+Γ=Ω-Ω+Γ-= (3.1.6)由系统封闭条件:1~~=+nnmm ρρ令方程左边倒数部分为零，求解可得：()()()()()()[]222222222222222/2/~/2/~/2/~∆+Ω+Γ∆-ΓΩ=∆+Ω+Γ∆+Ω+Γ=∆+Ω+Γ∆+Ω=γγγργγγγργγγγρi i mn nn mm (3.1.7)由极化强度关系：[]..~..210c c e c c e E P ivt mn nm ivt +℘=+=--ρχε(3.1.8)Ω℘=''+'= 02~2ερχχχmnmn N i (3.1.9)由此得到探测光极化率的实部χ'和虚部χ''，它们分别表示色散和吸收()()()()mm nn mn mm nn mn N N ρργεγχρργεχ~~~~22022202-∆+℘=''-∆+∆℘=' (3.1.10)其中，令0~,1~==mm nn ρρ，原子数密度为N ，真空介电常数为0ε，绘制出探测光的吸收和色散随其失谐量变化的曲线，如图2所示。