北师大版九年级数学下册试题第一章直角三角形的边角关系基础测试.docx

第一章检测题时间：120分钟满分：120分一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．(2021·玉林)计算：cos 245°＋sin 245°＝( B )A.12B ．1 C.14D.322．把△ABC 三边的长度都缩小为原来的13，则锐角A 的正弦值( A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝23，则cos B 的值等于( C ) A.12B.22C.23D ．14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC的长为( B )A ．10tan50°B ．10sin40°C ．10sin50° D.10cos50°5．已知α为锐角，且sin (α－10°)＝22，则α等于( B )A ．45°B ．55°C ．60°D ．65°6．已知锐角α满足等式3cos 2α－8cos α＋4＝0，则cos α的值为( A ) A.23B ．2 C ．2或23D ．以上都不对7．(2021·淄博)若锐角α满足cos α＜22且tan α＜3，则α的范围是( B )A ．30°＜α＜45°B ．45°＜α＜60°C ．60°＜α＜90°D ．30°＜α＜60°8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( C ) A.14B.13C.12D ．2错误!错误!,第9题图)错误!,第10题图)9．如图，某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°，已知测倾器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度为(C)(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)A．34米B．38米C．45米D．50米10．转化思想是中学数学中一种常用且有效的解题方法，在本章中这种思想的作用更为突出．通过添加辅助线将非直角三角形问题转化为两个最熟悉的(锐角为30°和45°)直角三角形来解决．试用此方法解决下面问题：如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB ＝6，则AC的长度是(D)A．3 B．33C．5 D．3 6二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．计算：tan245°－1＝__0__．12．某坡面的坡度为1∶3，则坡角是__30°__．13．如图，在坡屋顶的设计图中，AB＝AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h为__3.5__米．(结果精确到0.1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70),第13题图),第14题图),第15题图),第16题图) 14．如图，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则sinα＝__32__．15．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中__没有__触礁的危险．(填“有”或“没有”) 16．如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为__82.0__米．(精确到0.1米；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)17．直线y＝kx－1与y轴相交所成的锐角为60°，则k＝__±3 3__．18．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则图中点P与液面的距离是__6_cm__．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)计算：(1)2sin30°－tan60°＋tan45°；(2)cos245°＋tan60°·cos30°－3tan230°＋4sin230°.解：(1)2－3(2)220．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形．解：∠A＝30°，AB＝103，BC＝5321．(8分)已知锐角α使关于x 的一元二次方程x 2－2sin α·x ＋3sin α－34＝0有两个相等的实数根，求α的度数．解：由题意得b 2－4ac ＝(2sin α)2－4(3sin α－34)＝0，即4sin 2α－43sin α＋3＝0，解得sin α＝32.∵α为锐角，∴α＝60°22．(9分)如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73)解：过A作AD⊥CB，垂足为点D.在Rt△ADC中，AD＝CDtan60°＝363＝123≈20.76.在Rt△ADB中，BD＝AD·tan37°≈20.76×0.75＝15.57≈15.6(米)，则气球应至少再上升15.6米23．(10分)为解决某地的干旱问题，在山洞C里发现了暗河(如图)．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A，B两村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且位于B村庄南偏东60°方向．为方便A，B两村庄的村民取水，需从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A，B两村庄相距6千米．(1)求这条最近的简易公路CD的长；(精确到0.01千米)(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．(精确到个位；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)过C作CD⊥AB，垂足是D.由题意知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝6 km.在Rt△BCD中，CD＝BC·sin60°＝33≈5.20(km)(2)5.20×16000＝83200(元)24．(11分)(2021·淄博)如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG 表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42 cm，AB＝43 cm，CF＝42 cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°.求两根较粗钢管AD和BC的长．(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73)解：如图，作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，则FH＝42 cm.在Rt△BFH中，BF＝FHsin60°≈420.87≈48.28，∴BC＝BF＋CF＝48.28＋42≈90.3(cm)．在Rt△BDQ中，BQ＝DQtan60°.在Rt△ADQ中，AQ＝DQtan80°.∵BQ＋AQ＝AB＝43，∴DQtan60°＋DQtan80°＝43，解得DQ≈56.999.在Rt△ADQ中，AD＝DQsin80°≈56.9990.98≈58.2(cm)，则两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2 cm，90.3 cm25．(12分)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP ∽△BPQ ∽△CQD (2)设AP ＝x ，∴由折叠知BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由△AMP ∽△BPQ 得AM BP ＝AP BQ ，∴BQ ＝x 2.由△AMP ∽△CQD 得AP CD ＝AM CQ，∴CQ ＝2，∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋1.∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35，DF ＝DC ＝2x ，∴2x x 2＋1＝35，变形得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)，∴AB ＝2x ＝6。

直角三角形的边角关系(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．2cos45°的值等于(B )A．22B．2C．24D．222．在Rt△ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，则sin A 的值为(C )A．45B．34C．35D．433．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则∠A 的锐角三角函数值(C )A．扩大2倍B．缩小12C．不变D．无法确定4．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB 的长，下列按键顺序正确的是(B )A．7×sin 28＝B．7÷sin 28＝C．7×tan28＝D．7÷tan28＝第4题图第6题图第7题图5．在△ABC 中，若|sin A －12|＋(33－tan B )2＝0，则∠C 的度数为(A )A．120°B．90°C．60°D．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两处相距(B )A．x sin α米B．x cos α米C．x ·sin α米D．x ·cos α米7．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos B 的值为(B )A．12B．22C．32D．338．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝35，则梯子顶端上升了(C )A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米第8题图第9题图第10题图9．如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(A )A．72海里/时B．73海里/时C．76海里/时D．282海里/时10．如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CEAD的值为(D )A．32B．3C．152D．2二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，则sin B 的值是__12__．第11题图第13题图第14题图第15题图12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3BC ＝3AC ，则tan A ＝__33__，∠B ＝__60°__．13．如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为__42__．14．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A ，在点A 和建筑物之间选择一点B ，测得AB ＝30m，用高1m(AC ＝1m)的测角仪在A 处测得建筑物顶部E 的仰角为30°，在B 处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(153＋1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B (0，－3)，点C在x 轴上，且点C 在点A 右方，连接AB ，BC ，若tan ∠ABC ＝13，则点C 的坐标为__(94，0)__.三、解答题(共75分)16．(8分)计算：2cos 230°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(32)2－2×32×22＝32－62＝3－6217．(9分)已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，利用三角函数知识，求∠A ，∠B 的度数．解：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，∴sin B ＝AC AB ＝32.∴∠B ＝60°.∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.∴∠A ，∠B 的度数分别为30°，60°18．(9分)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sinA ＋cosB 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tan A ＝CD AD ＝32，∴AD ＝4.∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝82＋62＝10.∴cos B ＝BD BC ＝45.在Rt△ADC 中，AC ＝42＋62＝213.∴sin A ＝DCAC ＝6213＝31313.∴sin A ＋cos B ＝31313＋4519．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数．参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)解：由题意得PC ⊥AB ，EF ∥AB ，∴∠A ＝∠EPA ＝72°，∠B ＝∠BPF ＝40°，在Rt△APC中，AP ＝100海里，∴PC ＝AP ·sin 72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP 中，BP ＝PCsin40°≈950.64≈148(海里)，∴B 处距离灯塔P 约有148海里20．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝3∶4是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比．已知斜坡CD 长度为20米，∠C ＝18°，求斜坡AB 的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，由题意得AF ⊥BC ，DE ＝AF ，∵斜面AB 的坡度i ＝3∶4，∴AF BF ＝34，∴设AF ＝3x 米，则BF ＝4x 米，在Rt△ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x (米)，在Rt△DEC 中，∠C ＝18°，CD ＝20米，∴DE ＝CD ·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF ＝DE ＝6.2米，∴3x ＝6.2，解得x ＝3115，∴AB ＝5x ≈10.3(米)，∴斜坡AB 的长约为10.3米21．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝csin C.(1)如图1，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图2所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴6sin60°＝bsin45°，∴b ＝26(2)∵AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B ，∴sin B ＝32，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CDBD ＝3，∴BD ＝33CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33CD )2，∴CD ＝83或CD ＝－33(舍去)，∴CD 的长度为83米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼AB 的顶部B 处的俯角为30°，CD 长为49.6米．已知目高CE 为1.6米．(1)求教学楼AB 的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA 的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB .解：(1)过点B 作BM ⊥CD 于点M ，则∠DBM ＝∠BDN ＝30°，在Rt△BDM 中，BM ＝AC ＝243米，∠DBM ＝30°，∴DM ＝BM ·tan ∠DBM ＝243×33＝24(米)，∴AB ＝CM ＝CD －DM ＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB 的高度为25.6米(2)连接EB 并延长交DN 于点G ，则∠DGE ＝∠MBE ，在Rt△EMB 中，BM ＝AC ＝243米，EM ＝CM－CE ＝24米，∴tan ∠MBE ＝EM BM ＝24243＝33，∴∠MBE ＝30°＝∠DGE ，∵∠EDG ＝90°，∴∠DEG ＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG 中，ED ＝CD －CE ＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG ＝ED ·tan60°＝483(米)，∴483÷43＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB 的坡角∠BAC ＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A ，过其另一端D 安装支架DE ，DE 所在的直线垂直于水平线AC ，垂足为点F ，E 为DF 与AB 的交点．已知AD ＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC ＝28°.锐角A三角函数13°28°32°sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.62(1)求AE的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)在Rt△ADF中，cos∠DAF＝AFAD，∴AF＝AD·cos∠DAF＝100cos28°≈100×0.88＝88(cm)，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝AFAE，∴AE＝AFcos∠EAF＝88cos13°≈880.97≈91(cm)(2)设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，∴∠AMN＝∠MAG＋∠DGA＝13°＋32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD·sin∠DAC＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt△DFG中，tan∠DGA＝DFFG，∴FG＝47tan32°≈470.62≈75.8(cm)，∴AG＝AF＋FG≈88＋75.8＝163.8(cm)，在Rt△AGN中，AN＝AG·sin∠DGA＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝2AN≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM＝AM－AE≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM≈32cm.当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32cm。

新北师大版九下第一章直角三角形的边角关系同步测试题一、单选题1、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=35，那么cosB 的值等于（ ）A ．35 B ．45 C ．34 D ．432、如图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△ AB ′C ′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3．6．3、为了求河对岸建筑物AB 的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C 点测得A 点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB 的高是[ ]米A ．．．．4、在Rt △ABC 中,∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则sinA 的值是（ ）A ．34 B ．45 C ．35 D ．435、如图，由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D的仰角为60°，则山高CD 为（ ）A ．550）米B ．650）米C ．750）米D ．850）米6、在△ABC 中，已知AC=3，BC=4，AB=5，那么下列结论正确的是( ) A ．sinA=34 B ．cosA=35 C ．tanA=34D ．cosB=35 7、如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ）A ．34 B ．43 C ．35 D ． 458、在△ABC 中，∠C ＝90°，，则∠A 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9、已知在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，sinA=2tanB 的值为（ ）A ．1B ．12 10、在△ ABC 中，∠ C=90°，若∠ B=2∠ A ，则cotB 等于（ ）A ．3．2．12 11、如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A 处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得C 处的俯角为30°，两山峰的底部BD 相距900m ，则缆车线路AC 的长为（ ） B ． C ． D ．1800m12、如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测出看塔顶的仰角为30°，从C 点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB 的高为（ ）A ．B ．C 100米 D 100米 13、如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D ，CD=1，则AB 的长为（ ）A ．2B ．．13+ D 1+ 14、如果α是锐角，且sin 2α+sin 254°=1，那么α的度数为（ ）A ．45° B ．36° C ．26° D ．46° 15、如图1是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图2，那么在Rt △ ABC 中，sin ∠ B 的值是（ ）A ．12B ．3．1 D ．32 二、填空题(注释)16、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AM 是BC边上的中线，sin ∠CAM=35，则tanB 的值为________． 17、如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB 的值是________．18、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为这个坡面的坡度为________．19、如图，某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB ＝1.8m ．要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC 的宽度至少应为________．20、等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 ；21、已知α是锐角，当α= 时，cos α=2tan α= ．22、因为cos30°=2cos210°=﹣2，所以cos210°=cos （180°+30°）=﹣cos30°=﹣2因为cos45°=2cos225°=﹣2cos225°=cos （180°+45°）=﹣cos45°=﹣2想：一般地，当a 为锐角时，有cos （180°+a ）=﹣cosa ，由此可知cos240°的值等于 ．23、已知asin θ+cos θ=1，且bsin θ﹣cos θ=1，（其中θ是锐角），则ab= ．三、解答题24、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为__；（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是_______．（4）若E为BC中点，则tan∠CAE 的值是________．25、已知：在Rt△ABC中，斜线AB＝10，tanA=34，求Rt△ABC的周长．26、如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据： 1.732）27、如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）28、如图称为“赵爽弦图”，它是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．（1）请说明正方形ABCD ∽正方形EFGH ；（2）设∠ BAF=α，是否存一个α值，使面积S 正方形EFGH =12ABCD S ？如果存在，请求sin α的值；如果不存在，请说明理由．29、求下列各式的值：（1）a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2=（c+b ）（c ﹣b ）和4c ﹣5b=0，求cosA+cosB 的值；（2）已知A 为锐角，且sin 2A+2sinAcosA+cos 2A 的值．30、如图，已知墙高AB 为6.5米，将一长为6米的梯子CD 斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与墙顶的距离AD 为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）31、河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的长为8米，求斜坡AB 与水平面所夹的锐角度数.。

第1章直角三角形的边角关系（练习题）北师大新版数学九年级下册一．选择题1．如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（）A．1B．C．D．2．如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能3．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．4．在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（）A．20m B．30m C．40m D．50m5．如图，山顶有一座电视塔BC，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角α＝60°，在塔底C 处测得A点俯角β＝45°，已知塔高BC为60m，则山高CD等于（）A．m B．m C．30m D．m 6．北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB 的长度为（）A．50sin40°米B．50cos40°米C．米D．米7．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sin B＝，则△ABC的面积等于（）A．15B．C．6D．8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cos B 的是（）A．B．C．D．9．如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．0.3B．0.2C．0.25D．0.3510．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB，AC，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在Rt△ABD中，AB＝6，tan∠ADB＝，点C为斜边BD的中点，P为AD上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝．12．如果一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角为度．13．2cos45°﹣（π+1）0＝．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝．15．某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为米．三．解答题16．学好数学，就是为能更好解决生活中遇到的问题，如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面E处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥EC，自E沿着EC方向向前走100m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．（结果保留根号）17．如图，在离铁塔20m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为53°，测倾仪高AD为1.52m．求铁塔高BC（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．18．如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i＝1：2的山坡向上行走10米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．19．如图，九年级数学兴趣小组要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平地面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）参考数据：sin68.2°≈0.93，≈1.41，cos68.2°≈0.37，≈1.73，tan68.2°≈2.5020．如图，小兵同学利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C 处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为120米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）。

直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。

北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系单元测试卷（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC中，∠C=90∘，BC=5，AB=13，则sin A的值是()A.5 13B.1213C.512D.1252. 已知α是锐角，cosα=√32，则α等于（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘3. 已知α为锐角，且sinα=513，那么α的余弦值为（）A.5 12B.125C.513D.12134. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cos B=35，AB=10cm，则BC的长度为（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm5. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=14，则tan B的值是（）A.√154B.√1515C.√15D.146. 一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（）A.3 4B.43C.√73D.34或√737. 已知：△ABC中，∠A+∠B=90∘，下列关系式中成立的式子共有（）①sin A+B2=cos C2；②tan A+B2=cot C2；③sin(A+B)=sin C；④sin2A+cos2B=1．A.1个B.2个C.3个D.4个8. 在坡度为0.5的山坡上种植树，要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A.4.5mB.5mC.6mD.8m9. 下列各式中，正确的是（）A.cos A−1>0B.√(cos A−1)2=cos A−1C.cos A=√32=30∘ D.cos45∘=sin45∘10. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27∘(tan27∘≈0.51)，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A.24米B.20米C.16米D.12米二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 化简：√tan227∘+tan263∘−2=________．12. 如图，已知∠ABD=∠C=90∘，AD=12，AC=BD，∠BAD=30∘，则。

第一章直角三角形的边角关系1.1.1 锐角三角函数1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tanA的值为( )A．2 B.12C.55D.2552．在△ABC中，若BC∶CA∶AB＝3∶4∶5，则tan B＝( )A.45B.35C.43D.343．如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t的值是( )A．1 B．1.5 C．2 D．34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若三角形各边同时扩大三倍，则tanA的值( )A．扩大为原来的三倍 B．不变 C．缩小为原来的13D．不确定5．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是( )A．2 B.43C．1 D.346．(教材P4习题T2变式)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝．7．西安市某新修商业大厦的一处自动扶梯如图，已知扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于．8．如图，斜坡AB的坡度是1∶4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，那么斜坡AB的长度米．9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tan∠DBC的值是．10．(教材P4随堂练习T1变式)如图，等腰△ABC的腰AB，AC的长为5，底边长为6，则tanC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12 cm，AB＝20 cm，求tanA和tanB的值．12．(教材P3例1变式)如图所示，方方和圆圆分别将两根木棒AB，CD斜立在墙AE上，其中AB＝10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm，你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由．13．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝1x(x＞0)与y＝－5x(x＜0)的图象上，则tan∠BAO的值为5．1.1.2 锐角三角函数1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于( )A.35B.45C.34D.432．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，则AB＝( )A．4 B．6 C．8 D．103．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边AC的长是( )A．msin35° B．mcos35° C.msin35°D.mcos35°4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝3，则AB的长可以表示为( )A.3cosαB.3sinαC．3sinα D．3cosα5.如图，在面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为( )A.2425B.45C.34D.12256．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝35，则cos∠DBE的值是( )A.12B.54C.55D.337．在△ABC中，∠C＝90°.若tanA＝12，则sinB＝．8．在Rt△ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．10．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．(1)求sinA，cosB；(2)求tanA，tanB；(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA与cosB，tanA与tanB之间有什么关系吗？(4)应用：①在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝23，则cosB的值为23；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝2，则tanB＝1 2．12．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝32，求sinA＋cosB的值．13．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝45.求：(1)线段CD的长；(2)tan∠EDC的值．1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．2sin60°的值等于( )A． 2 C. 3 D．2 2．计算：cos245°＋sin245°＝( )A.12B．1 C.14D.223．已知α为锐角，且sinα＝12，则α＝( )A．30° B．45° C．60° D．90°4．在△ABC中，若sinA＝cosB＝22，则下列结论最确切的是( )A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形5．如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值是( )A.12B.32C.22D.236．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝3BC，则∠C等于( )A．45° B．30° C．60° D．50°7．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．若∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为( ) A．2，1) B．(1，2) C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)8．计算：||1－tan60°＝．9．把sin60°，cos60°，tan60°按从小到大顺序排列，用“＜”连接起来 . 10．在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝．11．在△ABC中，(tanA－3)2＋|22－cosB|＝0，则∠C的度数为．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝23，则∠A＝．13．计算：2sin30°＋(－1)2 019－(12)－1＝．14．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是 cm2.15．规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny. 据此判断下列等式成立的是 (写出所有正确的序号)．16．计算：(1)3tan30°＋cos60°； (2)2cos30°－2sin30°＋3tan45°；(3)cos30°－sin45°sin60°－tan30°. （4）2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2；(5)已知∠α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，求8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋(13)－1的值．17．(2019·西安莲湖区二模)某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？(结果保留根号)1.4 解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( ) A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出C．计算cosA的值求出 D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝60°，则BC的长是( ) A． 3 B．5 2 C．5 D．103．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝37，BC＝4，则AB的长度为( )A.43B.74C.8103D.2834．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为( )A．12 cm2 B．6 3 cm2 C．6 cm2 D．9 3 cm25．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为( )A.102B.153C.64D.1046．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC 的值为( )A．2 3 B．2 3 C．3＋ 3 D．3 37．菱形ABCD的对角线AC＝63，BD＝6，则菱形的四个内角的度数分别是．8．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，AC＝1，则∠ACB＝．9．(2019·盐城)如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则CE＝．11．(2019·黔东南)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是．12．(教材P16例1变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件求出直角三角形的其他元素．(1)已知a＝6，b＝23；(2)已知a＝24，c＝24 2.13．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6.(1)求sinC的值；(2)求AC边上的高BD的长14．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝13，cosC＝22，AC＝ 2.(1)求BC的长；(2)求sin∠ADC的值．周测(1.1～1.4) 1．sin60°的值等于( )A.12B.22C．1 D.322．在△ABC中，∠C＝90°，6，8分别是∠A，∠B所对的两条直角边，c是斜边，则有( )A．sinA＝53B．cosB＝45C．tanA＝34D．cosB＝433．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为( )A．4 B．2 5 C.181313D.1213134．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB－3|＋(2cosA－1)2＝0，则△ABC是( ) A．直角(不等腰)三角形 B．等边三角形C．等腰(不等边)三角形 D．等腰直角三角形5．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，叙述正确的是( )A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关6．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )A．2 B.255C.55D.127．一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为( )A．41° B．37° C．41°或37° D．以上答案都不对8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A．1，2，3 B．1，1， 2 C．1，1， 3 D．1，2， 39．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α.若AC＝a，BD＝b，则▱ABCD的面积是( )A.12absinα B．absinα C．Abcosα D.12abcosα10．已知α为锐角，若sin(α－10°)＝32，则α＝ .11．如图，旗杆高AB＝8 m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16 m，则tanC＝．12．如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC＝13，AC＝6，则BD的长是．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，∠BAC的平分线交BC于点D，AD＝1033cm，则BC＝ cm.14．如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝9 m，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20 cm，则此阶梯最少要建阶(最后一阶的高度不足20 cm时，按一阶算，3取1.732)．15．计算： (1)3cos30°＋2sin45°； (2)(tan30°＋cos45°)(tan30°－cos45°)．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝34，求sinC的值．17．改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图1是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图2，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20 m，EG＝0.6 m.(1)求线段AG的长度；(2)连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．(所有结果精确到0.1 m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60)1.5.1三角函数的应用1．已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( )2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB的长是( )A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里第2题图第3题图第4题图第5题图3．(2019·长沙)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )A．30 3 n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋303)n mile 4．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是______海里．5．如图，C，D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD＝6 km，且D位于C 的北偏东30°方向上，则AB＝______km.6．(2019·商洛商南县模拟)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号)．7．(2019·青岛)如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120 m，BD＝80 m，求木栈道AB的长度(结果保留整数)．(参考数据：sin32°≈17 32，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910)8．(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．(1)求收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离；(2)若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达？9．如图，我国南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整航向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北方向1.5海里的D 处，渔政船航行到点C处时测得点D位于其南偏东53°方向上．(1)求C，D两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处会合，求∠ECD的正弦值(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)．1.5.2 仰角、俯角问题1．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为()A．1 200 m B．1 200 2 m C．1 200 3 m D．2 400 m2．(2019·枣庄)如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距离旗杆底部B 点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°.若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为______m(精确到0.1 m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)第1题图第2题图第3题图第4题图3.(2019·广东)如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝153米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是______米(结果保留根号)．4．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M 处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为______米(结果保留根号)．5．(2019·宜宾)如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)6.(2019·西安二模)如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C、楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10 m，求塔的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)7．(2019·河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m 到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73)8．(2019·株洲)小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝13.若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．(1)求BC的长度；(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边)，MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点)，求障碍物的高度．9．(2017·陕西)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米，参考数据：sin23°≈0.390 7，cos23°≈0.920 5，tan23°≈0.424 5，sin24°≈0.406 7，cos24°≈0.913 5，tan24°≈0.4452)1.5.3坡度问题1．(2019·广州)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan∠BAC＝25，则此斜坡的水平距离AC为()A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m2．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为()A.hsinαB.htanαC.hcosαD．h sinα第1题图第2题图第3题图第4题图3．(2019·西安莲湖区二模)如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E 处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)()A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米4．(2019·重庆A卷)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i＝1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)()A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米5．如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，则该斜坡的坡比是______．6．(2018·枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为______米(结果保留两个有效数字，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)．第5题图第6题图7．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)?8．学校校园内有一小山坡AB(如图)，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.9．(2018·安顺)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°.若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)?10．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1 790 m．如图，DE∥BC，BD＝1 700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(参考数据：sin29°≈0.484 8，cos29°≈0.874 6，sin80°≈0.984 8，cos80°≈0.173 6.结果精确到0.1 m)11．(2018·连云港)如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3 m，背水坡AD 的坡度i(即tan∠DAB)为1∶0.5，坝底AB＝14 m.(1)求坝高；(2)如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34)1.6利用三角函数测高1．(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()A．a sinα＋a sinβ B．a cosα＋a cosβC．a tanα＋a tanβ D.atanα＋atanβ2．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°.若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为()A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m第1题图第2题图第3题图3．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．4．如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝______m.5．(2018·荆州)荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7 m，某校学生测得古塔的整体高度约为40 m．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a m后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示)，那么a的值约为______．(3≈1.73，结果精确到0.1)．第4题图第5题图6．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12 m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6 m，求旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28)．7．(2019·西安蓝田县一模)大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量玄奘铜像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.8 m的测角仪测得铜像顶部C的仰角分别为30°，60°，两人间的水平距离AB为10 m，求玄奘铜像的高度CF.(结果保留根号) 8．(2019·广安)如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A，B，C三点在同一水平线上．(1)求古树BH的高；(2)求教学楼CG的高．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)10．(2019·宝鸡岐山县一模)为了测量休闲凉亭AB的高度，某数学兴趣小组在水平地面D处竖直放置一个标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到凉亭顶端A，在F处测得凉亭A顶端的仰角为30°，平面镜E的俯角为45°，FD＝2米，求休闲凉亭AB的高度．(结果保留根号)小专题(一)构造基本图形解直角三角形的实际应用模型1单一直角三角形1．(2019·温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为()A.95sinα米B.95cosα米C.59sinα米D.59cosα米2．(2018·台州)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4 m．当起重臂AC长度为9 m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)．模型2背靠背型及其变式第3题图第4题图3．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC.若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为______米(参考数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)．4．某市对拦水坝进行加固。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则 tan B 的值为（ ）A B ．1 C D ．22、在Rt ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列式子一定成立的是（ ）A ．sin a cB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a c B =D ．sin c a A =⋅3、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（ ）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米4、tan 45︒的值为（ ）A ．1B ．2CD ．5、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（ ）A ．5米B ．C ．D ．6、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，O 为对角线BD 的中点，2OA =，5BC =，3CD =，则tan DCB ∠等于（ ）A ．43B ．34C ．45 D ．357、如图，某建筑物AB 在一个坡度为i ＝1：0.75的山坡BC 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC ＝20米，在距山脚点C 右侧同一水平面上的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是42°，在另一坡度为i ＝1：2.4的山坡DE 上的点E 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，点E 到山脚点D 的距离DE ＝26米，若建筑物AB 和山坡BC 、DE 的剖面在同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 42°≈0.67．cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）A ．36.7米B ．26.3 米C ．15.4米D ．25.6 米8、如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，连接CE ，过点B 作BH ⊥CE 于F ，交AC 于G ，交AD 于H ，下列说法：①AH HG AB BG =； ②点F 是GB 的中点；③AG AB =；④S △AHG =16S △ABC ．其中正确的结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④ 9、在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，则边AC 的长是（ ）A B ．3 C ．43 D 10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线14y k x =+与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若2OBC S ∆=，1tan 5BOC ∠=，则2k 的值是（ ）A ．-20B ．20C ．－5D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、等腰ABC ，底角是30ABC 的周长是_____________2、如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠ADE ＝α，cosα＝35，AB ＝4，AD 长为_____．3、cos30°的相反数是 _____．4、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至D ，使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°AC CD ====2tan22.5°的值为 _____．5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线 AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDEABC SS 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，平地上两栋建筑物AB 和CD 相距30m ，在建筑物AB 的顶部测得建筑物CD 底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD 的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）2、如图，等腰Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为线段BC 上的一个动点，E 为线段AB 上的一个动点，使得CD=．连接DE ，以D 点为中心，将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接线段EF ，过点D 作射线DR ⊥BC 交射线BA 于点R ，连接DR ，RF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BDE ≌△RDF ；（3）若AB ＝AC ＝2，P 为射线BA 上一点，连接PF ，请写出一个BP 的值，使得对于任意的点D ，总有∠BPF 为定值，并证明．3、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan370.75︒≈，tan53 1.3︒≈）4、如图, 在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===， 点 D E 、 分别在 AC 边和 AB 边上，沿着直线 DE 翻折 ADE ，点 A 落在 BC 边上，记为点 F ，如果 1CF =，则 BE =_______．5、计算：（1）22390x x +-=；（21016sin 453)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭︒．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°，∠A =60°，∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．2、B【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可．【详解】解：由题意可得，如下图：sinaAc=，则sina c A=⋅，A选项错误，不符合题意；cosaBc=，则cosa c B=⋅，B选项正确，符合题意；tanbBa=，则tanacB≠，C选项错误，不符合题意；sinaAc=，则sinacA=，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．3、C【分析】先根据AP⊥PC，可求∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，利用三角函数AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP⊥PC，∴∠PCA+∠A=90°，∵∠A=46°，∴∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，tan∠PCA=APCP，PC=50米，∴AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米．故选C．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．4、A【分析】直接求解即可．【详解】解：tan45︒=1，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC：AC=1：2，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC：AC=1：2．∴设BC=x，则AC=2x．∵AB=10，BC2+ AC2=AB2，∴x2+ (2x)2=102，解得：x=．故选：B．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．6、A【分析】先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD ，再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC =90°，由正切定义求解即可．【详解】解：∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠BAD =90°，∵O 为对角线BD 的中点，OA =2，∴BD =2OA =4，∵BC =5，CD =3，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC =90°，∴tan∠DCB =BD CD =43， 故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．7、D【分析】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H 由坡度为i ＝1：0.75，BC ＝20可得BG =16,GC =12,由坡度为 i ＝1：2.4，DE ＝26可得DF =24,EF =10，分别在在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒化简联立得AB =25.6．【详解】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H∵在BGC 中BC ＝20，坡度为i ＝1：0.75，∴222BG GC BC +=， ∴2223()4BG BG BC +=， ∴222916BG BG BC +=， ∴22252016BG =， ∴22540016BG =， ∴21640025BG =⨯， ∴2256BG =，∴16BG =， ∴3124CG BG ==． 在BGC 中DE ＝26，坡度为 i ＝1：2.4，∴222DF EF DE +=， ∴22212()5EF EF DE +=， ∴22214425EF EF DE +=， ∴221692625EF =， ∴225676169EF =⨯，∴2100EF =，∴10EF =， ∴12245DF EF ==， ∴在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒, 即0.9AB BG GC CD +=+,0.45AB BH GC CD DF+=++ 其中BG =16、BG =12、BH =BG -EF =6、DF =24，代入化简得160.9(12)60.45(36)AB CD AB CD +=+⎧⎨+=+⎩①②， 令2②-①有2261620.45360.91220.450.9AB AB CD CD -+⨯-=⨯⨯-⨯+⋅⋅-∴421.6AB -=，∴AB =25.6．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．8、D 【分析】①先证明△ABH≌△BCE，得AH=BE，则1122AH AD BC==，即12AHAB=，再根据平行线分线段成比例定理得：12HGBG=即可判断；②设BF=x，CF=2x，则BC，计算FG=23x即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC，根据①中得：13AGAC=即可判断；④根据11,22HG AGBG CG==，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=12AB，∴1122AH AD BC==，即12AHAB=∵AH//BC，∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=，故①正确；②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x，CF=2x，则BC，∴AHx∴52 BH x=∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠，故②不正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AC，∵12 AG AH CG BC==∴13 AG AC=∴13AG AC AB==，故③正确；④∵12GH AG BG CG==∴11,22 AHG ABGABG BCGS SS S∆∆∆∆==∴13 ABGABCSS∆∆=∴16AHG ABCS S=，故④正确．故选D．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．9、A【分析】先根据BC＝2，sin A＝23求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵sin A＝BCAB =23，BC＝2，∴AB＝3,∴AC故选：A．【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．10、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论．【详解】解：∵直线y=k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，4），∴OC=4，过B作BD⊥y轴于D，∵S △OBC =2， ∴114222OC BD BD ⋅=⨯⋅=， ∴BD =1，∵tan∠BOC =15， ∴15BD OD =， ∴OD =5，∴点B 的坐标为（1，5）， ∵反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B ， ∴k 2=1×5=5．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．二、填空题140 【分析】设腰长为x ，则等腰三角形的高为2x ，三角形的面积为122x ⨯=x 的值，进而求出周长2x +的值．【详解】解：设等腰三角形的腰长为x ，高为sin 302x x ︒=，底边长为2cos30x ︒=122x S ∴=⨯=解得x =∴周长为240x =40+． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数值，等腰三角形．解题的关键在于利用三角函数值将边长表示出来． 2、163【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到∠ADE =∠DCE =α，求出AC 的值，再由勾股定理计算即可．【详解】∵∠ADC =∠AED =90°，∠DAE +∠ADE =∠ADE +∠CDE =90°∴∠DAE =∠CDE又∵∠DCE +∠CDE =90°∴∠ADE =∠DCE =α∴cosα＝35=CD AC又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=20 3在ADC中满足勾股定理有163AD=故答案为：163．【点睛】本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键．3、【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数．【详解】所以其相反数为故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念．41##【分析】在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．设AC =1，求出CD ，可得结论．【详解】解：如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．∵∠ABC =45°，∴45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5°，设AC =1，则BC =1，AB =∴1CD CB BD CB AB =+=+=∴tan 22.5tan 1AC D CD ︒====．1．【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．5、1336【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌，则AED CED S S =，进而证明DAE BCA ∽，据3tan 2BAC ∠=求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线， 12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠ 90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒ EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒ 又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴= 设3CB k =，则2AC k =AB ∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S SBC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：1336【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明AED CED SS =是解题的关键． 三、解答题1、建筑物CD 的高度约为45m ．【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥CD 于E ，先证明AE =CE ，然后证明四边形ABDE 是矩形，则AE =BD =30m ，CE =AE =30m ，tan =30tan26.615m DE AE EAD =⋅︒≈∠，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，∴∠AEC=∠AED=90°，∵∠CAE=45°，∴∠C=45°，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠BDE=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴AE=BD=30m，∴CE=AE=30m，tan=30tan26.615m∠，=⋅︒≈DE AE EAD∴CD=CE+DE=45m，答：建筑物CD的高度约为45m．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）当4BP=，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明见解析【分析】（1）根据题意作出图形连接,DR RF ；（2）根据BDR EDF ∠=∠可得BDE RDF ∠=∠，证明BRD 是等腰直角三角，可得BD DR =，根据旋转的性质可得ED DR =，进而根据边角边即可证明△BDE ≌△RDF ；（3）当24PB AB ==时，设DE a =，则CD =，分别求得,FR RP ,根据1tan 22RF a BPF RP a ∠===即可求解【详解】（1）如图，（2）DR ⊥BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形45B ∴∠=︒90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD∴是等腰直角三角形∴=BD DR∴△BDE≌△RDF；（2）如图，当24==时，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明如下，PB ABAB AC==ABC是等腰直角三角形，2∴=BCDC==，则CD，设DE a△BDE≌△RDF,==DR BD∴==，FR BR aABC是等腰直角三角形，∴∠=︒45EBD⊥DR BC∴∠=︒BRD45∴是等腰直角三角形，BDR∴==-BR a42()∴=-=--=4422PR BP BR a a△BDE ≌△RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒即FR AB ⊥1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，正切的定义，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．3、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，由解直角三角形求出AD 和BD 的长度，则求出AB 的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，∴903753CAD ∠=︒-︒=︒， ∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈， ∴231AD ≈，同理：400BD ≈631AB AD BD =+=速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度．4【分析】过点F 作FG AB ⊥于点G ，设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=EGF △即可求得x ，即BE 的值【详解】解：如图，过点F 作FG AB ⊥于点G在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===，AB ∴=tan 1AC B BC ==45A B ∠FGB ∴是等腰直角三角形BG FG ∴==sin FB B ⋅=设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=沿着直线DE 翻折ADE ，点A 落在BC 边上，记为点F ，EA EF ∴=x在Rt EFG 中，222EF EG FG =+即()(222x x =+解得x =【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键．5、（1）123,32x x ==-；（2）1 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质计算即可．【详解】（1）∵2a =，3b =，9c =-24972810b ac -=+=>，∴x ==∴123,32x x ==-．（2）原式621=-01=+1=． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是关键．。

北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°3、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图，在▱ABCD中，，，分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部，则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标＝（x＞0）的图象上，顶点B在原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.12、sin45°=（）A. B. C.1 D.13、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B. C. D.15、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是________．17、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18、在Rt△ABC中，,BC=2,，则AB=________19、已知⊙O半径为，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________.22、在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=c，则∠A=________23、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠，M，N分别为AB，CD的中点。

北师版数学九年级下册第1章 直角三角形的边角关系综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．sin 30°的值为( ) A.32 B.22 C.12 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，则下列等式中正确的是( )A ．cosA ＝a cB ．sinB ＝c bC ．tanB ＝a bD ．以上都不正确 3．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为( )A ．3.5sin29°米B ．3.5cos29°米C ．3.5tan29°米 D. 3.5cos29°米4．若α为锐角，且cosα＝1213，则sin(90°－α)＝( ) A.513 B.1213 C.512 D.1255．某铁路路基的横截面为等腰三角形，已知路基高5 m ，坡长10 m ，则坡度为( )A ．1∶2B ．1∶12C ．1∶ 3D ．1∶336．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( ) A.34 B.43 C.35 D.457．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边上一点，∠DAC ＝30°，BD ＝2，AB ＝23，则AC 的长是( ) A. 3 B ．2 2 C ．3 D.3228．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60 n mile 的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 之间的距离为( )A ．60 3 n mileB ．60 2 n mileC ．30 3 n mileD ．30 2 n mile9、如图, 两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a,测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高为( )A.a mB.(a·tanα)mC.tan am D.a(tanα－tanβ)m10．如图为固定电线杆AC ，在离地面高度为6 m 的A 处引拉线AB ，使拉线AB 与地面BC 的夹角为48°，则拉线AB 的长度约为(结果精确到0．1 m ，参考数据：sin 48°≈0．74，cos 48°≈0．67，tan 48°≈1．11)( )A ．6．7 mB ．7．2 mC ．8．1 mD ．9．0 m二．填空题（共8小题，3*8=24）11．计算：2sin 30°＋2cos 60°＋3tan 45°＝__ __．12．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是____cm 2.13．一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，若sin ∠CAM ＝35，则tan B ＝________．15．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是________cm 2.16．如图，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13 m ，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE ＝____m ．17．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，P 是OA 上的一动点，N(3，0)是OB 上的一定点，M 是ON 的中点，∠AOB ＝30°，要使PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为________．18．已知：在△ABC 中，AC ＝1，AB 与BC 所在直线所成的角中锐角为45°角，AC 与BC 所在直线形成的夹角的余弦值为255(即cosC ＝255)，则BC 边的长是_______________． 三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 计算：(1)2(2cos 45°－sin 60°)＋244；(2)(－2)0－3tan 30°－|3－2|.20．(8分) 数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题．21．(8分) 已知：在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件，解直角三角形．(1)BC＝8，∠B＝60°；(2)AC＝2，AB＝2.22．(10分) 如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3 m远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45°夹角范围内，才能有效避免雷击(α≤45°)．已知接收设备高80 cm，那么避雷针至少应安装多高？23．(10分) 如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．24．(10分) 如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)25．(12分) 如图，反比例函数y＝kx(x>0)的图象经过点A(2 3，1)，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B(1，a)，射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D.(1)求k的值；(2)求tan∠DAC的值及直线AC的函数表达式．参考答案：1-5 CDSABC 6-10AABDC11. 512. 49213．34或1314. 2315. 6016. 1217．(32，32) 18. 355或5519. 解：(1)原式＝2×⎝⎛⎭⎫2×22－32＋62 ＝2－62＋62＝2.(2)原式＝1－3＋3－2＝－1.20．解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BC tan A ＝2 3. ∴EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF·sin E ＝ 6. ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.21. 解：(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝8，∴∠A ＝30°，AB ＝8cos60°＝16， AC ＝8 tan 60°＝8 3.(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝2，∴cosA ＝AC AB ＝22，∴∠A ＝45°，∴∠B ＝45°，BC ＝ 2.22. 解：如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，AB ＝EC ＝0．8 m ，AE ＝BC ＝3 m ．在Rt △ADE 中，tan α＝AE DE ，∴DE ＝AE tan α＝3tan α． ∵α≤45°，∴tan α≤1，即DE≥3 m ，∴CD ＝CE ＋DE≥3．8 m ．故避雷针至少应安装3．8 m 高．23. 解：由题意得BG ＝3.2 m ，MN ＝EF ＝3.2＋2＝5.2(m)，ME ＝NF ＝BC ＝6 m ．在Rt △DEF 中，EF FD ＝12， ∴FD ＝2EF ＝2×5.2＝10.4(m)．在Rt △HMN 中，MN HN ＝12.5，∴HN ＝2.5MN ＝13(m)． ∴HD ＝HN ＋NF ＋FD ＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．∴加高后的坝底HD 的长为29.4 m.24. 解：(1)连接PA.由题意知，AP ＝39 m ．在Rt △APH 中，PH ＝AP 2－AH 2＝392－152＝36(米)；(2)由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．在Rt △ADH 中，DH ＝AH tan30°＝153(米)． 在Rt △CDQ 中，DQ ＝CQ sin30°＝3912＝78(米)． 则PQ ＝PH ＋HQ ＝PH ＋DQ －DH ＝36＋78－153≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)． 故高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．25. 解：(1)k ＝2 3×1＝2 3.(2)过点B 作BH ⊥AD 于点H ，如图，把B(1，a)代入反比例函数表达式y ＝2 3x，得a ＝2 3， ∴B 点坐标为(1，2 3)，∴AH ＝2 3－1，BH ＝2 3－1，∴△ABH 为等腰直角三角形，∴∠BAH ＝45°.∵∠BAC ＝75°，∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAH ＝30°， ∴tan ∠DAC ＝tan30°＝33. ∵AD ⊥y 轴，∴OD ＝1，AD ＝2 3.∵tan ∠DAC ＝CD AD ＝33， ∴CD ＝2，∴OC ＝1，∴C 点坐标为(0，－1)． 设直线AC 的函数表达式为y ＝mx ＋b ，把A(2 3，1)，C(0，－1)代入，得⎩⎨⎧2 3m ＋b ＝1，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝33，b ＝－1，∴直线AC 的函数表达式为y ＝33x －1.。

初中数学试卷班级 姓名 学号 成绩一、选择题（每小题3分，共36分）1.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( )是正确的。

A 、sinA=a cB 、cosB=c bC 、sinB=a bD 、tanA=ba2．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（ ）A ．34B ．43C ．35D ．453.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=23，则BC ∶AC ∶AB 等于( ) A 、1∶2∶5 B 、1∶3∶5 C 、1∶3∶2 D 、1∶2∶3 4．在Rt ABC ∆中，90C ∠=o ，13AC AB =，则cos A 等于（ ） A ．223B ．13C ．22D ．245．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D落在CB 的延长线上的点D '处，那么tan BAD '∠等于（ ）A ．1B ．2C ．22D ．226.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 7．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植2题图5题图草皮，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这 种草皮至少需要 （ ） A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元8．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、350米、280米，线与地面的夹角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），三人所放风筝（ ） A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．一样高9．如图，在某海岛的观察所A 测得船只B 的俯角是30°.若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m ，当时的水位是＋3m ，则观察所A 和船只B 的水平距离BC 是（ ） A ．50 mB ．350 mC ．53 mD ．353m10.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB 等于( )A 、21B 、22C 、23D 、111.等腰三角形的一腰长为6cm ，底边长为63cm ，则其底角为（ ）。

第14周 第一章 直角三角形边角关系（一）（内容：§1.1 —§1.5）（时间：120分钟 满分：150分）A 卷（100分）一．选择题（每小题3分，共30分）1．（2019秋•金凤区校级期末）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，b ＝12，c ＝13，下列结论成立的是（ ）A ．sinA =125B ．cosA =513 C ．tanA =512 D ．cosB =1213 2．（2020•淮北期末）已知cos A ＞12，则锐角∠A 的取值范围是（ ）A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜90°C ．0°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°3．（2019秋•肥西县期末）已知sin αcos α=18，且0°＜α＜45°，则sin α﹣cos α的值为（ ）A ．√32B ．−√32C ．34D ．±√32 4．（2019秋•永定区期末）已知∠A 为锐角，且sin A =√22，那么∠A 等于（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°5．（2020•福田区校级期末）如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB ＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（ ）A ．2tan80°米 B ．2sin80°米 C ． 2.2tan80°米 D ．2.2cos80°米6．（2020•微山县期末）如图为了测量一条小河的宽度BC ，可在点C 的左侧岸边选择一点A 使AC ⊥BC ，若量得AC ＝a ，∠BAC ＝θ，那么宽度BC 为（ ）A ．a sin θB ．a cos θC ．a tan θD ．条件不足，无法计算7．（2019秋•峄城区期末）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos ∠BAC 的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45 8．（2019秋•遵化市期末）若角α，β都是锐角，以下结论：①若α＜β，则sin α＜sin β；②若α＜β，则cos α＜cos β；③若α＜β，则tan α＜tan β；④若α+β＝90°，则sinα＝cosβ．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④9．（2019秋•禅城区期末）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα=513，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．7米10．（2020•沙坪坝区期末）如图，某底面为圆形的古塔剖面和山坡的剖面在同一平面上，古塔EF（F为塔底的中心）与地面BD垂直，古塔的底面直径CD＝8米，BC＝10米，斜坡AB＝26米，斜坡坡面AB的坡度i＝5：12，在坡脚的点A处测得古塔顶端点E的仰角∠GAE＝47°，则古塔EF的高度约（）（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）A．27.74米B．30.66米C．35.51米D．40.66米二．填空题（每小题3分，共15分）11．（2020•天桥区期末）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为．12．（2020•禅城区期末）正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为．13．（2020•蓬溪县期末）已知：tan x ＝2，则sinx+2cosx 2sinx−cosx =． 14．（2020•市南区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A =35，则tan A ＝ ．15．（2020•成都期末）计算：cot44°•cot45°•cot46°＝ ．三．解答题（共55分）16．（每小题6分•共12分）（1）（2019秋•宿松县期末）计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos 245°．（2）（2020•嵊州市期中）如图，水库大坝截面的迎水坡AD 坡比（DE 与AE 的长度之比）为4：3背水坡BC 坡比为1：2，大坝高DE ＝20m ，坝顶宽CD ＝10m ，求大坝的截面面积和周长．17．（每小题8分•共16分）（1）（2019秋•鄞州区期末）计算：3tan30°+cos 245°﹣2sin60°．（2）（2020春•鱼台县期末）△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝4，求AB 的长？18．（8分）（2019秋•普宁市期末）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD =34，求sin C的值．19．（9分）（2020•定兴县期末）将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入，图2是它的平面示意图，请根据图中的信息解答下列问题：（1）填空：AP＝cm，BP＝cm；（2）求出容器中牛奶的高度CF．（结果精确到0.1cm）20．（10分）（2020•菏泽期末）如图，小明为测量某铁塔AB的高度，他在离塔底B的10米C处测得塔顶的仰角α＝43°，已知小明的测角仪高CD＝1.5米，求铁塔AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin43°＝0.6820，cos43°＝0.7314，tan43°＝0.9325）B 卷（50分）一．填空题（每小题4分，共20分）21．（2019秋•兰州期末）若1−√2cosα=0，则锐角α＝ ．22．（2019秋•河池期末）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB ＝4cm ，则阴影部分的面积是 cm 2．23．（2020•安岳县期末）在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且|tan A ﹣1|+（12−cos B ）2＝0，则∠C ＝ °． 24．（2020•慈溪市期末）若∠A 为锐角，且tan A ＝1，则∠A 的度数为 ．25．（2019秋•碑林区校级期末）在△ABC 中，若AB ＝5，BC ＝13，AD 是BC 边上的高，AD ＝4，则tan C ＝ ．二．解答题（共30分）26．（8分）（2020•龙岗区期末）如图，河对岸有古塔AB ．小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进20米到达D ．在D 处测得A 的仰角为45°，则塔高是多少米？27．（10分）（2019秋•任城区期末）如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD ＝30m ，两楼间的距离AC ＝24m ，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？28．（12分）（2019秋•法库县期末）如图，斜坡AF的坡度为5：12，斜坡AF上一棵与水平面垂直的大树BD在阳光照射下，在斜坡上的影长BC＝6.5米，此时光线与水平线恰好成30°角，求大树BD的高．（结果精确的0.1米，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）。

第1章直角三角形的边角关系一．选择题（共15小题）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sin A＝，则BC等于（）A．B．4 C．36 D．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．B．C．D．3．已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，若∠C＝Rt∠，则（）A．B．C．D．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝，c＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（）A．m sin35°B．m cos35°C．D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．对于任意锐角α，下列结论正确的是（）A．sinα＜tanαB．sinα≤tanαC．sinα＞tanαD．sinα≥tanα9．在△ABC中，tan C＝，cos A＝，则∠B＝（）A．60°B．90°C．120°D．135°10．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.511．在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sin A的是（）A．B．C．D．12．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．13．在Rt△ABC中，若∠B＝75°，∠C＝90°，BC＝1，则Rt△ABC的面积是（）A．B．C．D．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，AB＝8cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．24cm2C．2cm2D．6cm215．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m二．填空题（共5小题）16．比较大小：cos36°cos37°．17．已知α为锐角，sin（α﹣15°）＝，则α＝度．18．若坡度i＝，则坡角为α＝19．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tan A＝3，AB＝，则BC＝三．解答题（共7小题）21．如图，一座堤坝的横断面为梯形，AD∥BC，AB坡坡角为45°，DC坡坡度为1：2，其他数据如图所示，求BC的长．（结果保留根号）22．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6，求△ABC的面积．23．如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点C处有一灯塔，灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上，轮船又由A向东航行40海里到B处，测得灯塔在北偏东30°方向上．（1）求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少？（2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？24．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）25．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（结果精确到1m）（参考数据：≈1.732，≈1.414）26．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？27．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sin A＝，则BC等于（）A．B．4 C．36 D．【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴＝，解得，BC＝4，故选：B．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：连接DC，由网格可得：CD⊥AB，则DC＝，AC＝，故sin A＝＝＝．故选：B．3．已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【解答】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜，故①正确；cosα＞sinα，故②错误；sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；0＜tanα＜1，故④正确；故选：B．4．如图，在△ABC中，若∠C＝Rt∠，则（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：在△ABC中，若∠C＝Rt∠，sin A＝，cos B＝，故选：A．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝，c＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】由三角函数的定义，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边易得答案．【解答】解：如图，AC＝b＝，AB＝c＝4，所以BC＝a＝＝1，由三角函数的定义可得sin A＝＝，则sin A＝，故选：A．6．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（）A．m sin35°B．m cos35°C．D．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．【解答】解：sin∠A＝，∵AB＝m，∠A＝35°，∴BC＝m sin35°，故选：A．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．【分析】因为∠A与∠B互余，则tan A•tan B＝1，代入计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴tan A•tan B＝1，∵tan B＝＝，故选：D．8．对于任意锐角α，下列结论正确的是（）A．sinα＜tanαB．sinα≤tanαC．sinα＞tanαD．sinα≥tanα【分析】直接利用锐角三角函数关系分析得出答案．【解答】解：∵sinα＝，tanα＝，且斜边＞α的邻边，∴sinα＜tanα．故选：A．9．在△ABC中，tan C＝，cos A＝，则∠B＝（）A．60°B．90°C．120°D．135°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠C＝30°，∠A＝30°，进而得出答案．【解答】解：∵tan C＝，cos A＝，∴∠C＝30°，∠A＝30°，∴∠B＝120°．故选：C．10．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5【分析】根据同角三角函数关系tanα＝进行解答．【解答】解：由＝1，得＝1．所以＝1．解得tanα＝2.5．故选：D．11．在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sin A的是（）A．B．C．D．【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin A＝sin∠BCD＝，故选：D．12．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，由AE＝5，DE∥BC知AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，故选：A．13．在Rt△ABC中，若∠B＝75°，∠C＝90°，BC＝1，则Rt△ABC的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角形的定义可求出AC的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：∵tan∠B＝，∴＝，∴AC＝＝2+，∴Rt△ABC的面积为：×1×（2+）＝，故选：D．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，AB＝8cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．24cm2C．2cm2D．6cm2【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AB＝8cm，∴sin A＝＝，∴BC＝6（cm），∴AC＝＝＝2（cm），∴S△ABC＝•BC•AC＝×6×2＝6（cm2）．故选：D．15．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：＝m，故选：C．二．填空题（共5小题）16．比较大小：cos36°＞cos37°．【分析】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）求解．【解答】解：cos36°＞cos37°．故答案为＞．17．已知α为锐角，sin（α﹣15°）＝，则α＝75 度．【分析】利用特殊角的三角函数值求出α的度数即可．【解答】解：∵α是锐角，且sin（α﹣15°）＝，∴α﹣15°＝60°，即α＝75°，故答案为：7518．若坡度i＝，则坡角为α＝30°【分析】根据坡度i与坡角α之间的关系计算，得到答案．【解答】解：∵坡度i＝，∴tanα＝，∴α＝30°，故答案为：30°．19．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝×+×＝．故答案为：．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tan A＝3，AB＝，则BC＝ 3【分析】由tan A＝＝3可设BC＝3x，则AC＝x，依据勾股定理列方程求解可得．【解答】解：∵在Rt△ABC中，tan A＝＝3，∴设BC＝3x，则AC＝x，由BC2+AC2＝AB2可得9x2+x2＝10，解得：x＝1（负值舍去），则BC＝3，故答案为：3．三．解答题（共7小题）21．如图，一座堤坝的横断面为梯形，AD∥BC，AB坡坡角为45°，DC坡坡度为1：2，其他数据如图所示，求BC的长．（结果保留根号）【分析】根据题意可以作辅助线AE⊥BC，作DF⊥BC，然后根据AB坡坡角为45°，DC 坡坡度为1：2和题目中的数据可以分别求得CF和BE的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，如右图所示，由题意可得，tan∠C＝，CD＝10m，∠B＝45°，AD＝6m，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，AE＝DF，设DF＝x，则CF＝2x，∴＝102，解得，x＝2，∴DF＝2m，CF＝4m，AE＝2m，∵∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，AE＝2m，∴BE＝2m，∴BC＝BE+EF+CF＝2+6+4＝（6+6）m，即BC的长是（6+6）m．22．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6，求△ABC的面积．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D．∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝3，AD＝AC•cos A＝3，∵cos B＝，∴设BD＝4x，则BC＝5x，由勾股定理得，CD＝3x，由题意的，3x＝3，解得，x＝1，∴BD＝4，∴AB＝AD+BD＝3+4，CD＝3，∴S△ABC＝•AB•CD＝×（3+4）×3＝6+．23．如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点C处有一灯塔，灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上，轮船又由A向东航行40海里到B处，测得灯塔在北偏东30°方向上．（1）求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少？（2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据等腰三角形的判定定理解答；（2）作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，比较得到答案．【解答】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝40（海里）；（2）作CE⊥AB交AB的延长线于E，在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC•sin∠CBE＝40×＝20，∵20＞30，∴轮船继续向东航行，无触礁危险．24．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC＝x，则x+10＝24+DH，再利用tan76°＝，求出即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，设AH＝5km，则PH＝12km，由勾股定理，得AP＝13km．∴13k＝26m．解得k＝2．∴AH＝10m．答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD．设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，解得x＝，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．25．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（结果精确到1m）（参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】在Rt△CBE中，由于∠CBE＝45°，所以BE＝CE，AE＝40+x，在Rt△ACE中，利用30°的锐角三角函数求出x，加上测角仪的高度就是CD．【解答】解：设CE的长为xm，在Rt△CBE中，∵∠CBE＝45°，∴∠BCD＝45°，∴CE＝BE＝xm，∴AE＝AB+BE＝40+x（m）在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，∴tan30°＝即＝，解得，x＝20+20≈20×1.732+20＝54.64（m）所以CD＝CE+ED＝54.65+1.5＝56.15≈56（m）答：该建筑物的高度约为56m．26．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与10的大小．因此作CD⊥AB于D 点，求CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于D，根据题意，AB＝30×＝20（海里），∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，在Rt△ACD中，AD＝＝CD，在Rt△BCD中，BD＝＝CD，∵AB＝AD﹣BD，∴CD﹣CD＝20（海里），解得：CD＝10＞10，所以不可能．27．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO．【分析】过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，连接PA，PB，于是得到∠PBO＝∠CPB＝60°，∠CPA＝30°，求得∠APB＝30°，根据余角的定义得到∠ABP＝90°﹣60°＝30°，求出∠ABP＝∠APB，根据等腰三角形的判定得到AP＝AB＝200，在Rt△APC中，根据含30°角的直角三角形的性质得到AC＝AP＝100，即可得到结论．【解答】解：过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，连接PA，PB，则∠PBO＝∠CPB＝60°，∠CPA＝30°，∴∠APB＝30°，∵∠ABP＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝200，在Rt△APC中，AC＝AP＝100，∴PO＝AC+AB＝300米．答：飞机的高度PO为300米．。

第13周 第一章 直角三角形边角关系（一）（内容：§1.1 —§1.3） （时间：120分钟 满分：150分）A 卷（100分）一．选择题（每小题3分，共30分）1．（2020•无锡二模）在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（ ）A ．12B ．√5C ．√55D ．2√552．（2020•邯郸模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，则sin A 的值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433．（2020•新乐市期末）当锐角A 的cos A ＞√22时，∠A 的值为（ ） A ．小于45°B ．小于30°C ．大于45°D ．大于30°4．（2019秋•马边县期末）在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A =35，那么sin A 的值等于（ ） A ．35B ．45C ．34D ．435．（2020•顺城区模拟）在Rt △ABC ，∠C ＝90°，sin B =35，则sin A 的值是（ ）A ．35B ．45C ．53D ．546．（2020•虹口区一模）若cos α=12，则锐角α的度数是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．（2020•威海）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A．5÷tan26°＝B．5÷sin26°＝C．5×cos26°＝D．5×tan26°＝8．（2020•淮安模拟）等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）A．513B．1213C．1013D．5129．（2020•新泰市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B=35，则BC＝（）A．15B．6C．9D．810．（2020•威海）为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题3分，共15分）11．（2020•浦城县一模）在△ABC中，∠C＝90°，sin A=45，则tan B＝．12．（2020•湘潭）用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°＝．13．（2020•利辛县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A=23，BC＝4，那么AB＝．14．（2020•武威模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB=2√3，则AC的长是．15．（2020•立山区二模）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是．三．解答题（共55分）16．（每小题6分•共12分）（1）（2020春•思明区校级月考）设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．（2）（2019秋•甘井子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．17．（每小题8分•共16分）（1）（2019秋•阜阳期末）已知∠A 为锐角且sin A =12，则4sin 2A ﹣4sin A cos A +cos 2A 的值是多少． （2）（2020•雁塔区校级期末）选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（2）题评分） （1）用科学计算器计算：135×√13sin13°≈ （结果精确到0.1）（2）已知α是锐角，且sin （α+15°）=√32．计算√8−4cos α﹣（π﹣3.14）0+tan α+（13）﹣1的值18．（8分）（2020•丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin 229°+sin 261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin 237°+sin 253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin 245°+sin 245°＝（√22）2+（√22）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，有sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1． （1）当α＝30°时，验证sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1是否成立． （2）请你对嘉琪的猜想进行证明．19．（9分）（2020•利辛县模拟）计算：2cos 230°−sin30°tan 260°−4cos45°20．（10分）（2019秋•太仓市期末）如图示，在△ABC 中，AC ＝8，∠A ＝30°，∠B ＝45°，求△ABC 的面积．B 卷（50分）一．填空题（每小题4分，共20分）21．（2020•北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE ．（填“＞”，“＝”或“＜”）22．（2020•三明模拟）计算：2cos60°+tan45°＝．23．（2020•江西）选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；（Ⅰ）计算：sin60°⋅cos30°−12=．（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：sin50°⋅cos40°−120．（可用计算器计算）24．（2020•太和县模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sin A=25，BC＝4，则AB值是．25．（2020•浙江自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①a sinθ+b cosθ﹣c＝0；②a cosθ﹣b sinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：．二．解答题（共30分）26．（8分）（2020•邹城市模拟）（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinαcosα；若0°＜α＜45°，则sinαcosα；若45°＜α＜90°，sinαcosα．27．（10分）（2020•泉港区月考）用计算器求下列各式的值：（1）sin59°；（2）cos68°42′．28．（12分）（2020•浙江自主招生）在△ABC中，AD是边BC上的高，点D在线段BC上，且有tan∠BAD+tan∠CAD=53，BC＝5，AC=√10．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）求cos B×sin C；（Ⅲ）求△ABC中AB上的中线长．。

北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系测试卷[范围：第一章 时间：120分钟 分值：120分]一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝3，BC ＝2，则sin A 的值为( ) A.32B.23C.53D.2 552．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝32，BC ＝2 3，则AC 的长为( ) A ．3B ．4C ．4 3D ．63．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则cos B 的值为( )图1A.35B.45C.34D.434．如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ACB 的值为( )图2A.13B ．1C ．3D.3 10105．如图3，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，cos C ＝14，则sin B 的值为( )图3A.102B.153C.64D.1046．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图4所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则(sin θ－cos θ)2的值为( )图4A.15B.52C.3 55D.95二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，则sin A ＝________．8．在以点O 为坐标原点的平面直角坐标系中有一点A (2，1)，如果AO 与y 轴正半轴的夹角为α，那么cos α＝________．9．如图5，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为________m ．(结果保留根号)图510．如图6，人字梯AB ，AC 的长都为2米．当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD 约为________米(结果精确到0.1米．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)图611．某单位门前原有四级台阶，其横截面如图7所示，每级台阶高为18 cm ，宽为30 cm ，为方便残疾人士，拟将它改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是________cm.图712．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”．若等腰三角形的腰长为5，“边长正度值”为3，则这个等腰三角形底角的余弦值等于________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)cos 245°－3tan30°＋2sin60°；(2)tan260°－(1－sin45°)0＋3cos30°.14．如图8，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限，BO＝5，sin∠BOA＝35.求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值．图815．某地的一座人行天桥如图9所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8米(PB的长)处，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶3，有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要被拆除？请说明理由．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图916．【问题呈现】如图10①，在边长为1的正方形网格中，线段DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．【方法归纳】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就转换到Rt△DMN中．【问题解决】(1)直接写出图中tan∠CPN的值为________；(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，线段AN和MC相交于点P，求cos∠CPN的值．图1017．如图11，在边长为1的正方形网格中，线段OA的端点在正方形网格的格点上，请选择适当的格点B，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．(1)在图①中，以OA为边作Rt△AOB，使tan∠AOB＝1 2；(2)在图②中，以OA为边作Rt△AOB，使tan∠AOB＝1，且△AOB的面积为5.图11四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图12，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长； (2)∠ADC 的正弦值．图1219．如图13，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶400米到达C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方．求红蓝双方最初相距多远．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到个位)图1320．如图14①②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB ⊥BC 于点B ，底座BC 的长为1米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝60°，点H 在支架AF 上，篮板底部支架EH ∥BC ，EF ⊥EH 于点E ，已知AH 的长为22米，HF 的长为2米，HE 的长为1米． (1)求篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE 的度数； (2)求篮板底部点E 到地面的距离(结果保留根号)．图14五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图15，旗杆AB的顶端B在夕阳的余晖下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC＝10米，又测得∠BDA＝45°.已知斜坡CD 的坡度为i＝1∶3，求旗杆AB的高度．(参考数据：3≈1.7，结果精确到个位)图1522．如图16，湿地景区岸边有三个观景台A，B，C，已知AB＝700米，AC＝500米，B点位于A点的南偏西60.7°方向上，C点位于A点的南偏东66.1°方向上．景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD.求A，D间的距离．(结果精确到0.1米．参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，2≈1.414)图16六、(本大题共12分)23．如图17①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE 是AB 的垂直平分线，交AC 于点E ，连接BE . (1)当AC ＝8，tan A ＝34时，求cos ∠CBE 的值；(2)如图②，BF 是∠CBE 的平分线，当tan ∠BEC ＝1时，求证：AF ＝2BC .图17参考答案1．B 2．A 3．B4．C 5.D 6.A 7.12 8.559．(103＋1) 10．1.5 11．270 12.15或4513．解：(1)原式＝(22)2－3×33＋2×32＝12－3＋ 3 ＝12. (2)原式＝(3)2－1＋3×32＝3－1＋32＝72. 14．解：(1)如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C.∵在Rt △BOC 中，sin ∠BOC ＝BC BO ＝35，BO ＝5，∴BC ＝3，∴OC ＝BO 2－BC 2＝52－32＝4， ∴点B 的坐标为(4，3)． (2)∵点A 的坐标为(10，0)， ∴OA ＝10，∴AC ＝OA －OC ＝6，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋32＝3 5， ∴cos ∠BAO ＝AC AB ＝63 5＝2 55.15．解：该文化墙PM 不需要被拆除．理由：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan∠CAD＝CDAD＝13，解得AD＝6 3米．∵坡面BC的坡度为1∶1，CD＝6米．∴BD＝6米，∴AB＝AD－BD＝(6 3－6)米．∵PB＝8米，∴PA＝PB－AB＝8－(6 3－6)＝14－6 3≈14－6×1.732≈3.6(米)＞3米，∴该文化墙PM不需要被拆除．16．解：(1)2(2)如图，取格点D，连接CD，DM.∵CD∥AN，∴∠CPN＝∠DCM.∵DM＝CM＝22＋12＝5，CD＝32＋12＝10，∴DM2＋CM2＝CD2，∴△DCM是直角三角形，∠DMC＝90°，∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝CMCD＝510＝22.17．解：(1)Rt△AOB如图①所示．(2)Rt△AOB如图②所示．18．解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E.∵cos C＝22，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝2×22＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt △ABE 中，∵tan B ＝AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3， ∴BC ＝BE ＋CE ＝4. (2)∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD ＝12BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ＝1，∴∠ADC ＝45°， ∴sin ∠ADC ＝22. 19．解：如图，过点B 作AB 的垂线，过点C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过点C 作AB 的垂线，过点D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E ＝∠F ＝90°，AB ＝DF ＋CE.在Rt △BCE 中，∵BC ＝400米，∠EBC ＝60°， ∴CE ＝BC·sin 60°＝400×32＝200 3(米)． 在Rt △CDF 中，∵∠F ＝90°，CD ＝400米，∠DCF ＝45°， ∴DF ＝CD·sin 45°＝400×22＝200 2(米)， ∴AB ＝DF ＋CE ＝(200 2＋200 3)米≈629米． 故红蓝双方最初相距约629米．20．解：(1)在Rt △EFH 中，cos ∠FHE ＝HE HF ＝12＝22，∴∠FHE ＝45°.故篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE 的度数为45°.(2)如图，延长FE 交CB 的延长线于点M ，过点A 作AG ⊥FM 于点G ，过点H 作HN ⊥AG 于点N ，则四边形ABMG 和四边形HNGE 是矩形，∴HE ∥NG ，GM ＝AB ，HN ＝EG.在Rt △ABC 中，∵tan ∠ACB ＝AB BC，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝BC·tan 60°＝1×3＝3，∴GM ＝AB ＝ 3.∵HE ∥AG ，∴∠FAN ＝∠FHE ＝45°，∴在Rt △ANH 中，HN ＝AH·sin 45°＝22×22＝12，∴EG ＝HN ＝12， ∴EM ＝EG ＋GM ＝(12＋3)米． 故篮板底部点E 到地面的距离是(12＋3)米． 21．解：如图，延长BD 交AC 所在直线于点E ，过点D 作DF ⊥AE 于点F.∵i ＝tan ∠DCF ＝13＝33， ∴∠DCF ＝30°.又∵∠DAC ＝15°，∴∠ADC ＝15°，∴CD ＝AC ＝10.在Rt △DCF 中，DF ＝CD·sin 30°＝10×12＝5， CF ＝CD·cos 30°＝10×32＝5 3，∠CDF ＝60°， ∴∠BDF ＝45°＋15°＋60°＝120°，∴∠DEF ＝120°－90°＝30°.在Rt △DFE 中，EF ＝DF tan ∠DEF ＝533＝5 3， ∴AE ＝10＋5 3＋5 3＝10 3＋10.在Rt △BAE 中，BA ＝AE·tan ∠BEA ＝(10 3＋10)×33＝10＋10 33≈16(米)． 故旗杆AB 的高度约为16米．22．解：如图，过点C 作CE ⊥BA 交BA 的延长线于点E.在Rt △AEC 中，∠CAE ＝180°－60.7°－66.1°＝53.2°，∴CE ＝AC·sin 53.2°≈500×0.8＝400(米)．连接AD ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，则DF ∥CE. ∵BD ＝CD ，DF ∥CE ，∴BF ＝EF ，∴DF ＝12CE ≈200米． ∵AE ＝AC·cos 53.2°≈300米，∴BE ＝AB ＋AE ≈1000米，∴AF ＝12BE －AE ≈200米． 在Rt △ADF 中，AD ＝AF 2＋DF 2≈200 2≈282.8(米)． 故A ，D 间的距离约为282.8米．23．解：(1)∵在Rt △ABC 中，AC ＝8，tan A ＝BC AC ＝34， ∴BC ＝6，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴cos A ＝AC AB ＝45. ∵DE 是AB 的垂直平分线，∴∠ADE ＝90°，AE ＝BE ，AD ＝12AB ＝5. ∵在Rt △ADE 中，cos A ＝AD AE ＝45，AD ＝5， ∴AE ＝54AD ＝254， ∴BE ＝AE ＝254， ∴cos ∠CBE ＝BC BE ＝6254＝2425. (2)证明：∵在Rt △BCE 中，tan ∠BEC ＝1，∴∠BEC ＝45°＝∠CBE ，∴BC ＝EC.由(1)知AE ＝BE ，∴∠A ＝∠ABE.又∵∠BEC ＝∠A ＋∠ABE ＝45°，∴∠A ＝∠ABE ＝22.5°.∵BF 是∠CBE 的平分线，∴∠CBF ＝12∠CBE ＝22.5°， ∴∠CBF ＝∠A.又∵∠C ＝∠C ＝90°，∴△FBC ∽△BAC ，∴BCAC＝CFBC，∴AC·CF＝BC2.设BC＝a，则EC＝a，BE＝AE＝2a，∴AC＝(2＋1)a，∴CF＝(2－1)a，∴AF＝AC－CF＝(2＋1)a－(2－1)a＝2a，∴AF＝2BC.。

北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系单元测试（含答案）第一章直角三角形的边角关系一、选择题1.cos60°的值等于（）A. B. C. 1 D.2.已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（）A. 1：B. ：1C. 1：D. ：13.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）A. B. C. D.4.如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（）A. 9：4B. 3：2C. ：D. 3：25.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，且3a=4b，则∠A的度数为（）A. 53.48°B. 53.13°C. 53.13′D. 53.48′6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A. B. C. D.7.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50m至D 处，测得最高点A的仰角为60°．问摩天轮的高度AB约是（）米（结果精确到1 米，参考数据： 1.41， 1.73）A. 120B. 117C. 118D. 1198.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的余弦值的关系为（）A. cosA=cosA′B. cosA=3cosA′C. 3cosA=cosA′D. 不能确定9.如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，则AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AC=6cm，则BC的长度为（）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm11.已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（）A. 1：B. ：1C. 1：D. ：112.如图，已知AE与BF相交于点D，AB⊥AE，垂足为点A，EF⊥AE，垂足为点E，点C在AD上，连接BC，要计算A、B两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，各组分别得到以下数据：甲：AC、∠ACB；乙：EF、DE、AD；丙：AD、DE和∠DCB；丁：CD、∠ABC、∠ADB．其中能求得A、B两地距离的数据有（）A. 甲、乙两组B. 丙、丁两组C. 甲、乙、丙三组D. 甲、乙、丁三组二、填空题13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则cosA=________．14.计算：tan45°﹣2cos60°=________．15. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA=，则BC的长是________17.十二边形的内角和是________度；cos35°≈________（结果保留四个有效数字）．18.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=________19.已知∠A为锐角，且tan35°cotA=1，则∠A=________度．20.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为________米．21.如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长为________（结果用根号表示）．22.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是________ ．三、解答题23.目前，我市正在积极创建文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并再进一步完善各类监测系统，如图，在某公路直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：=1.41，=1.73）24.如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC=10米，又测得∠BDA=45°．已知斜坡CD的坡度为i=1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）．25.如图，某电信部门计划修建一条连接B，C两地的电缆．测量人员在山脚A点测得B，C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200m，电缆BC至少长多少米（精确到1m）？26.为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具．如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，车轮半径28cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2（1）求车座点E到地面的距离；（结果精确到1cm）（2）求车把点D到车架档直线AB的距离．（结果精确到1cm）．参考答案一、选择题A A C AB BC A B C A D二、填空题13.14.015.316.617.1800；0.819218.19.3520.21.（12 ﹣12）cm22.4.8三、解答题23.解：此车没有超速，理由：如图，过点C作CH⊥MN于H，在Rt△BCH中，∠CBN=60°，BC=200，∴CH=BC?sin60°=100 米，BH=BC?cos60°=100米，在Rt△AHC中，∠CAN=45°，∴AH=CH=100 米，∴AB=AH﹣BH=100 ﹣100≈73米，∴车速为=14.6m/s，∵60km/h= m/s，而14.6＜，∴此车没超速．24.解：延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．∵i=tan∠DCF= = ，∴∠DCF=30°．又∵∠DAC=15°，∴∠ADC=15°．∴CD=AC=10．在Rt△DCF中，DF=CD?sin30°=10× =5（米），CF=CD?cos30°=10× =5 ，∠CDF=60°．∴∠BDF=45°+15°+60°=120°，∴∠E=120°﹣90°=30°，在Rt△DFE中，EF= = =5∴AE=10+5 +5 =10 +10．在Rt△BAE中，BA=AE?tanE=（10 +10）× =10+ ≈16（米）．答：旗杆AB的高度约为16米．25.解：过B点分别作BE⊥CD、BF⊥AD，垂足分别为E、F．设BC=xm．∵∠CBE=60°，∴BE= x，CE= x．∵CD=200，∴DE=200﹣x．∴BF=DE=200﹣x，DF=BE= x．∵∠CAD=45°，∴AD=CD=200．∴AF=200﹣x．在Rt△ABF中，tan30°= = ，解得，x=200（﹣1）≈147m，答：电缆BC至少长147米．26.（1）解：作EF⊥AB于点F，如右图所示，∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，∴EF=AE?sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，即车座点E到车架档AB的距离是63cm，∵车轮半径28cm，∴车座点E到地面的距离是63+28=91cm。