直线与平面平行的判定定理练习

直线、平面平行的判定及性质1．[2015·福州质检]已知m、n、l为三条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nB．l∥β，α∥β⇒l∥αC．m∥α，m∥n⇒n∥αD．α∥β，l∥α且l⊄β⇒l∥β答案 D解析对于选项A，m、n可能平行或异面；对于选项B，还可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，还可能出现n⊂α这种情形．由α∥β，l∥α可得l∥β或l⊂β，又知l⊄β，所以只有l∥β.故选项D正确．故选D.2．[2016·武汉调研]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β答案 D解析选项A中α和β也可能相交，选项B中α和β也可能相交，选项C中也可能n⊂α，只有选项D是正确的．3．[2016·潍坊模拟]已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2答案 D解析由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β，因此选D.4．[2016·江西盟校联考]设l表示直线，α，β表示平面．给出四个结论：①如果l∥α，则α内有无数条直线与l平行；②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行；③如果α∥β，则α内任意的直线与β平行；④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行．以上四个结论中，正确结论的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析②中α内的直线与l可异面，④中可有无数条．5．[2015·南开模拟]下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面内不共线且在平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错；故选项C正确．6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B和AC 上的点，若A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a 3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1.∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D .∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .7．[2015·郑州模拟]设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有( )A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．①或②或③答案 C解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．选C.8．[2016·济宁模拟]过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案 6解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．9．[2016·南京模拟]已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．答案②④解析当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又α∥β，∴m⊥β，④正确，故填②④.10．如图，已知矩形ABCD，ED⊥平面ABCD，EF∥DC，EF＝DE＝AD＝12AB＝2，O为BD的中点．求证：EO∥平面BCF.证明 证法一：如图，在矩形ABCD 中，取BC 的中点G ，连接FG ，OG .由O 为BD 的中点，知OG ∥DC ，OG ＝12DC ，又EF ∥DC ，EF ＝12AB＝12DC ，所以OG ∥EF 且OG ＝EF ，所以四边形OGFE 是平行四边形． 所以EO ∥FG .又FG ⊂平面BCF ，所以EO ∥平面BCF .证法二：如图，过点O 作BC 的平行线分别交AB ，CD 于点M ，N ，连接EM ，EN .因为O 为BD 的中点，则M ，N 分别为AB ，CD 的中点．又EF ＝12AB ，所以EF 綊BM 綊CN .故四边形EFBM 与四边形EFCN 均为平行四边形．所以EM ∥FB ，EN ∥FC ，所以平面EMN ∥平面BCF .又EO ⊂平面EMN ，所以EO ∥平面BCF .11．如图所示，点P 为▱ABCD 所在平面外一点，点M ，N 分别为AB ，PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l .(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面P AD 是否平行？证明你的结论．解 (1)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BC ∥AD .又因为AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，所以BC∥平面P AD.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l.(2)MN∥平面P AD.证明如下：如图所示，取PD的中点E，连接NE，AE，则NE∥CD，NE＝12CD.而CD綊AB，M为AB的中点，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，所以MN∥平面P AD.12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB ＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．(1)求证：直线AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥P －BEF 的表面积．解 (1)证明：作FM ∥CD 交PC 于M ，连接ME .∵点F 为PD 的中点，∴FM 綊12CD ，又AE 綊12CD ，∴AE 綊FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线AF ∥平面PEC .(2)连接ED ，BD ，可知ED ⊥AB ，⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫PD ⊥平面ABCDAB ⊂平面ABCD ⇒PD ⊥AB DE ⊥AB ⇒AB ⊥平面PEF PE ，FE ⊂平面PEF ⇒AB ⊥PE ，AB ⊥FE ，故S △PEF ＝12PF ·ED ＝12×12×32＝38；S △PBF ＝12PF ·BD ＝12×12×1＝14；S △PBE ＝12PE ·BE ＝12×72×12＝78；S △BEF ＝12EF ·EB ＝12×1×12＝14.因此三棱锥P －BEF 的表面积S P －BEF ＝S △PEF ＋S △PBF ＋S △PBE ＋S △BEF ＝4＋3＋78. [B 级 知能提升](时间：20分钟)1．有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m .其中真命题有( )A．4个B．3个C．2个D．1个答案 B解析由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l′⊂α，m′⊂α，使得l∥l′，m∥m′，∵m，l是异面直线，∴l′与m′是相交直线，又n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，故n⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l∥α，m∥β，α∥β的直线m，l或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.2．[2016·温州一测]如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.答案①②④解析取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝12A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值．①正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．3．如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，D是BC的中点．(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)求点A1到平面AB1D的距离．解(1)证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴四边形ABB1A1是平行四边形，∴O是A1B的中点．又D是BC的中点，∴OD∥A1C，∵OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)由(1)知，O是A1B的中点，∴点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴平面BCC1B1⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，设点B 到平面AB 1D 的距离为d ，∵VB 1－ABD ＝VB －AB 1D ， ∴S △ABD ·BB 1＝S △AB 1D ·d ，∴d ＝S △ABD ·BB 1S △AB 1D＝AD ·BD ·BB 1AD ·B 1D ＝BD ·BB 1B 1D ＝255，∴点A 1到平面AB 1D 的距离为255.4．[2015·成都调研]一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 是AB 的中点，G 是DF 上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积；(2)当FG ＝GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．解 (1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF 中，AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC ＝a ，所以该多面体的体积为12a 3，表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.(2)点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .如图，取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .∵G 是DF 的中点，∴GH 綊12CD .又M 是AB 的中点，∴AM 綊12CD .∴GH ∥AM 且GH ＝AM ，∴四边形GHMA 是平行四边形， ∴GA ∥MH .又∵MH ⊂平面FMC ，GA ⊄平面FMC ， ∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .。

DC A B B 1A1C 1直线、平面平行的判定及其性质 测试题A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12MN AC BD ≥+ B ．()12MN AC BD ≤+C ．()12MN AC BD =+ D ．()12MN AC BD <+二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ． 三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α 3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A ．a α⊄，则//a α B ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂ 4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定 5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1． 三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E在棱PC 上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .EPDCBA参考答案A一、选择题 1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条. 3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线. 5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP. 9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE. 三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1（2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，若A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；D 正确. 2．C【提示】若直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α 或a α 3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l . 5．A 【提示】 6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥ 8.68或368 【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68. SS AABBCCα α ββ(1)(2)DD如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上. 三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面. 11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .OF ABCDP E。

9.2 直线与平面平行●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是 A.α⊥β且m ⊥β B.α∩β=n 且m ∥n C.m ∥n 且n ∥α D.α∥β且m β 答案：D2.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β A.①② B.②③ C.③④ D.①④解析：①②显然正确.③中m 与n 可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交. 答案：A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 解析：设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β， 过直线a 作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b ，β∩γ=c ， 则a ∥b 且a ∥c ， ∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .答案：C4.(06重庆卷)对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线解析：对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ，若l 不在平面α内，且l 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直， 综上所述，选C.5.已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 ③⑤ 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 ②⑤ 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）●典例剖析【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .QB CDMP FE N证法一：过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足（如上图），连结PQ . ∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ .又NQ =22 BN =22CM =MP ，∴MPQN 是平行四边形. ∴MN ∥PQ ，PQ ⊂平面BCE .而MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE . 证法二：过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G （如下图），连结NG .GBCDM FE N∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，MG ⊄平面BCE ，∴MG ∥平面BCE .又GA BG =MA CM =NFBN，∴GN ∥AF ∥BE ，同样可证明GN ∥平面BCE . 又面MG ∩NG =G ，∴平面MNG ∥平面BCE .又MN ⊂平面MNG .∴MN ∥平面BCE . 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】 已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.BD E OMNP（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角. （1）证明：∵P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD 是正方形.连结AN 并延长交BC 于点E ，连结PE . ∵AD ∥BC ，∴EN ∶AN =BN ∶ND . 又∵BN ∶ND =PM ∶MA ，∴EN ∶AN =PM ∶MA . ∴MN ∥PE .又∵PE 在平面PBC 内，∴MN ∥平面PBC .（2）解：由（1）知MN ∥PE ，∴MN 与平面ABCD 所成的角就是PE 与平面ABCD 所成的角. 设点P 在底面ABCD 上的射影为O ，连结OE ，则∠PEO 为PE 与平面ABCD 所成的角. 由正棱锥的性质知PO =22OB PB -=2213. 由（1）知，BE ∶AD =BN ∶ND =5∶8， ∴BE =865. 在△PEB 中，∠PBE =60°，PB =13，BE =865， 根据余弦定理，得PE =891. 在Rt △POE 中，PO =2213，PE =891，∴sin ∠PEO =PEPO =724.故MN 与平面ABCD 所成的角为arcsin 724.【例3】如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，（I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1； （III ）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．解析：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点， E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴ AC 1//平面CDB 1；（III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CED 中， ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22， ∴ 8cos 5522CED∠==⋅， ∴ 异面直线AC 1与 B 1C 所成角的余弦值5. ●闯关训练夯实基础1. （07福建理）已知m 、n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. m n m ,,α⊂α⊂∥β，n ∥β⇒ α∥βB. α∥β，α⊂α⊂n m ,，⇒m ∥nC. m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α D . n ∥m,n ⊥α⇒m ⊥α解析：A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在α内，不正确，选D2.（06福建卷）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是 A.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α B.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC.若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m 解：对于平面α和共面的直线m 、,n 真命题是“若,m n αα⊂∥,则m ∥n ”， 选C. 3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的 中点 作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 ( ) A. 4条 B.6条 C.8条 D.12条解：如图，过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11D DBB 平行的直线共有12条，选D.4.(06重庆卷)若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是A.过P 只能作一条直线与平面α相交B.过P 可作无数条直线与平面α垂直C.过P 只能作一条直线与平面α平行D.过P 可作无数条直线与平面α平行 解析：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行， 且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。

《8.5.2 直线与平面平行》教案第1课时直线与平面平行的判定【教材分析】在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线平行关系延续和提高，也是后续研究平面与平面平行的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。

【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题.2．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的判定定理，找平行关系；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：直线与平面平行的判定定理及其应用.难点：直线与平面平行的判定定理，找平行关系.【教学过程】一、情景导入问题1.观察开门与关门，门的两边是什么位置关系．当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系？【答案】平行.问题2.请同学门将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l 与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？桌面内有与l 平行的直线吗？【答案】平行，有.问题3.根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平面平行？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本135-137页，思考并完成以下问题 1、直线与平面平行的判定定理是什么？2、怎样用符号语言表示直线与平面平行的判定定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、直线与平面平行的判定定理四、典例分析、举一反三题型一直线与平面平行的判断定理的理解 例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内,则a ∥α ②若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α ③若直线l 与平面α平行,则l 与α内的任意一条直线都平行 ④若l 与平面α平行,则l 与α内任何一条直线都没有公共点 ⑤平行于同一平面的两直线可以相交A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①a⊄α,则a∥α或a与α相交,故①不正确;②当l与α相交时,满足条件,但得不出l∥α,故②不正确;③若l∥α,则l与α内的无数条直线异面,并非都平行,故③错误;若l∥α,则l与α内的任何直线都没有公共点,故④正确;若a∥α,b∥α,则a与b可以相交,也可以平行或异面,故⑤正确.解题技巧（判定定理理解的注意事项）(1)明确判定定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.跟踪训练一1.设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是( )A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βD.α∥β,a⊂α,则a∥β【答案】D.【解析】A,B,C错;在D中,α∥β,a⊂α,则a与β无公共点,所以a∥β,故D正确.故选D.题型二直线与平面平行的判断定理的应用例2 在空间四边形ABCD中,E，F分别是AB，AD的中点,求证:EF∥平面BCD.【答案】证明见解析【解析】∵AE=EB,AF=FB,∴EF∥BD.EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD.∴ EF ∥平面BCD解题技巧： (判定定理应用的注意事项) (1)欲证线面平行可转化为线线平行解决.(2)判断定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形.跟踪训练二1.如图,已知OA,OB,OC 交于点O,AD 12OB,E,F 分别为BC,OC 的中点.求证:DE∥平面AOC.【答案】证明见解析 【解析】 证明 在△OBC 中, 因为E,F 分别为BC,OC 的中点, 所以FE 12OB,又因为AD12OB,所以FE AD.所以四边形ADEF 是平行四边形. 所以DE ∥AF.又因为AF ⊂平面AOC,DE ⊄平面AOC. 所以DE ∥平面AOC. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本139页练习1、2、3题，143页习题8.5的4、5、6题.【教学反思】本节课，从内容上来说，学生基本掌握判定定理，但是在应用中，书写证明过程不太规范，需提高学生的逻辑思维能力.从方法上来说，通过本节课判定定理的学习，学生理解证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了，让学生初步感知空间问题可以转化为平面问题解决.《8.5.2 直线与平面平行》导学案第1课时直线与平面平行的判定【学习目标】知识目标1．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题.2．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的判定定理，找平行关系；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：直线与平面平行的判定定理及其应用.【学习难点】：直线与平面平行的判定定理，找平行关系.【学习过程】一、预习导入阅读课本135-137页，填写。

直线与平面平行的判定定理练习（11）1 .如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD CD，AB//CD，AB AD 2，CD 4，M 为CE 的中点.求证：BM //平面ADEF2.直三棱柱ABC-A I B I C I中，AB=5, AC=4, BC=3, AA i=4, D 是AB 的中点.求证：AC i//平面B i CD ；3.如图，在三棱柱ABC AB i C i中，D为BC中点.（I）求证:平面ADC i；（5题图）4 .如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形, AD // BC ,ABC 90若BE P 平面PCD .DAB BC AD .设侧棱PA的中点是E,求证：（4题图）CAB〃5.已知四棱锥P ABCD的底面是菱形.PB PD , E为PA的中点.（I）求证：PC //平面BDE ；E6.在长方形AAiB i B 中，AB 2AA i 4 , C , G 分别是AB , A 1B 1的中点（如左图）•将此长方形 沿CC i 对折，使平面 AAQ i C 平面CC i B i B （如右图），已知D ,是正方形.求证： A i B //平面AC i D ；是PA 的中点，求证PC //平面BDE ；（9题图）9.三棱柱ABC A i B i C i 中，侧棱与底面垂直，ABC 90 , AB A i C 的中点•求证： MN ||平面BCC i B i ；io •如图：在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是菱形,ABC 60 , PA 平面ABCD ，点M , N 分别为BC, PA 的中点，且PA AB 2，则在线段PD 上是否存在一点E ,使得NM //平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由*A iN（iO 题图）DD（8题图）E 分别是AB i ，CC i 的中点•求证：C i D // 平面 A i BE ；7.如图，在直二棱柱ABCA|B i C i 中，AB AC , D , E 分别为BC , BB i 的中点，四边形B i BCC i&如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为i 的正方形, PA 2 E 是侧棱PA 上的动点•如果EBC BB iCAA iABC（7题图）D CB。

1.点A 在直线上,记作 ；点A 在平面α内,记作 ；直线α在平面α内,记作 .2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：3.公理的作用：（1）公理1作用：判断直线是否在平面内；（2）公理2作用：确定一个平面的依据；（3）公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 4. 空间两条直线的位置关系：5. 等角定理：6. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.7. 公理4：8. 公理4作用：判断空间两条直线 的依据.9.直线与平面有三种位置关系：（1） —— 有无数个公共点（2）——有且只有一个公共点（3）——没有公共点10. 两个平面之间有两种位置关系：（1）——没有公共点（2）——有且只有一条公共直线2.2 直线、平面平行的判定及其性质11.判定定理的符号表示为：.12. 证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.13.面面平行判定定理：．用符号表示为：.14. 垂直于同一条直线的两个平面平行.15. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是.16.线面平行的性质定理：符号语言：18. 面面平行的性质：. 用符号语言表示为：.19. 其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等.1．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别是AC、BD的中点，且EF＝3，则AB与CD所成的角为__________．3 / 72．在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝213，AC ＝23，求AC 和BD 所成的角．3．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点，并且有GB CG EB AB ＝，HD CH FD AF ＝，试证EF 、GH 、BD 共点或两两平行．4 已知异面直线a 、b 所成的角为60°，在过空间一定点P 的直线中，与a ，b 所成的角均为60°的直线有多少条？过P 与a 、b 所成角均为50°，或均为70°的直线又各有多少呢？希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题方法，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况：已知异面直线a ，b 所成的角为θ0且θ0＜90°，过空间一点P 的直线中与a ，b 所成的角均为θ的直线有多少条？5．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b常用结论1．三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．2．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.()(2)若直线l在平面α外，则l∥α.()(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.()(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l平行于平面α内的无数条直线．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区|(1)对空间平行关系的相互转化条件理解不够；(2)忽略线面平行、面面平行的条件．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D．因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D．2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH 是平行四边形．答案：平行四边形与线、面平行相关命题的判定(师生共研)(1)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知a，b为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法中正确的是()①若a∥α，α∥β，则a∥β；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.A．①③B．②③C．①②③D．②③④【解析】(1)A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.(2)若a∥α，α∥β，则a可能平行于β，也可能在β内，故①不正确；若α∥β，β∥γ，则由面面平行的性质知α∥γ，故②正确；若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质知a∥b，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故④不正确．综上所述，②③正确，故选B．【答案】(1)D(2)B解决线、面平行关系应注意的问题(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易被忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析：选D．A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α.2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：选B．对于A，C，D选项，α均有可能与β相交，故排除A，C，D 选项，选B．线面平行的判定与性质(多维探究)角度一线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为在平面BCC 1B 1中，BM ∥＝FC 1， 所以四边形BMC 1F 为平行四边形， 所以MC 1∥BF ，所以BF ∥HD 1. (2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE ∥DC 且OE ＝12DC ，又D 1G ∥DC 且D 1G ＝12DC ，所以OE ∥＝D 1G ， 所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D .证明直线与平面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义．(2)利用线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．角度二 线面平行性质定理的应用如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥AB ，过BC的平面交棱FD 于点P ，交棱F A 于点Q .证明：PQ ∥平面ABCD .【证明】 因为底面ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，⎭⎪⎬⎪⎫AD ∥BCAD ⊂平面ADF BC ⊄平面ADF ⇒BC ∥平面ADF ，⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥平面ADFBC ⊂平面BCPQ 平面BCPQ ∩平面ADF ＝PQ ⇒BC ∥PQ ，⎭⎪⎬⎪⎫PQ ∥BCPQ ⊄平面ABCD BC ⊂平面ABCD ⇒PQ ∥平面ABCD .应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化为线线平行．1．(一题多解)(2021·河南中原名校联考)如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是P A ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .证明：方法一：如图，连接AF ，并延长交BC 于点G ，连接PG ，因为BC ∥AD ，所以FG F A ＝FBFD ， 又因为PE EA ＝BFFD ，所以PE EA ＝GFF A ，所以EF ∥PG .又因为PG ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC .方法二：如图，过点F 作FM ∥AD ，交AB 于点M ，连接EM ，因为FM ∥AD ，AD ∥BC ，所以FM ∥BC ，又因为FM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以FM ∥平面PBC . 由FM ∥AD 得BM MA ＝BFFD ，又因为PE EA ＝BF FD ，所以PE EA ＝BMMA ，所以EM ∥PB . 因为PB ⊂平面PBC ，EM ⊄平面PBC ， 所以EM ∥平面PBC ，因为EM ∩FM ＝M ，EM ，FM ⊂平面EFM ，所以平面EFM∥平面PBC，因为EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PBC.2.如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，又因为CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)取AB的中点N，连接DN，MN，因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G∥＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.【迁移探究1】(变条件)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.【迁移探究2】(变条件)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1∥＝BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.1.如图，AB∥平面α∥平面β，过点A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为()A．65B．75C．85D．95解析：选C．由AB∥α∥β，易证ACCE＝BDDF.即AC AE ＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE＝2×45＝85.2．(一题多解)如图，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD.证明：平面ABF∥平面DCE.证明：方法一：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，所以AF∥平面DCE.因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.因为AB⊄平面DCE，CD⊂平面DCE，所以AB∥平面DCE.因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.方法二：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD.又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，所以平面ABF∥平面DCE.方法三：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC.又DE∩DC＝D，所以AD⊥平面DEC.同理AD⊥平面ABF.所以平面ABF∥平面DCE.[A级基础练]1．已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选D．A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．3．(2021·合肥模拟)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．若α∥β，a∥α，则a∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c解析：选D．若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；若a⊂α，b ⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确；如图，由a∥b可得b∥α，又b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确．4．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A．对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A．5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选B．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝12AC＝ 2.答案： 27．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其面积为12×(2＋22)×（5）2－⎝⎛⎭⎪⎫222＝92.答案：9 28.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD ＝D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)9．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P-ABM的体积．解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥P A，又MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，所以MN∥平面P AB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.因为CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CN∥平面P AB.又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面P AB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面P AB，所以点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．因为AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝3，所以三棱锥P-ABM的体积V＝V M­P AB＝V C­P AB＝V P­ABC＝13×12×1×3×2＝33.10.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m 的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m ∥AM ，所以l ∥m .[B 级 综合练]11．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ＝BD C ．AC ∥截面PQMND ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 解析：选B ．因为截面PQMN 是正方形， 所以PQ ∥MN ，QM ∥PN ，则PQ ∥平面ACD ，QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故C 正确； 由BD ∥PN ，所以∠MPN 是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45°，D 正确； 由上面可知：BD ∥PN ，MN ∥AC . 所以PN BD ＝AN AD ，MN AC ＝DN AD ，而AN 与DN 关系不确定，PN ＝MN ， 所以BD 与AC 关系不确定．B 错误．故选B ．12．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .解析：如图所示，设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A .连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，PO ⊂平面P AO ，P A ⊂平面P AO ，所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面P AO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .答案：Q 为CC 1的中点13．(2021·烟台模拟)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST ，其中O ，P 分别为AD ，CD 的中点，B 1S ＝12，则AT ＝________．解析：设AT ＝x ，则A 1T ＝1－x ，由面面平行的性质得，PO ∥SR ，TO ∥QR ，TS ∥PQ ， 所以△DOP ∽△B 1RS .因为DP ＝OD ＝1，所以B 1S ＝B 1R ＝12， 所以A 1S ＝C 1R ＝32.由△ATO ∽△C 1QR ，可得AO AT ＝C 1RC 1Q ，即1x ＝32C 1Q ，故C 1Q ＝3x2.由△A 1TS ∽△CQP ，可得CQ CP ＝A 1TA 1S ，即1－3x 21＝1－x 32，解得x ＝25.答案：2514．(2020·高考全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心．若AO ＝AB ＝6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN ＝π3，求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积．解：(1)证明：因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN .因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N .又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN .又因为B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ，所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F ＝PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN ＝AO ＝6，AP＝ON ＝13AM ＝3，PM ＝23AM ＝23，EF ＝13BC ＝2.因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．如图，作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由(1)知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT ＝PM sin ∠MPN ＝3.底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1＋EF )·PN ＝12×(6＋2)×6＝24.所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为13×24×3＝24.[C 级 提升练]15．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝2AD ＝4，侧面P AB 是等腰直角三角形，P A ＝PB ，平面P AB ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别是棱AB ，PB 上的点，平面CEF ∥平面P AD .(1)确定点E ，F 的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F -DCE 的体积．解：(1)因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面ABCD ＝CE ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CE ∥AD ，又AB ∥DC ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以DC ＝AE ＝12AB ，即点E 是AB 的中点．因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面P AB ＝EF ，平面P AD ∩平面P AB ＝P A ，所以EF ∥P A ，又点E 是AB 的中点，所以点F 是PB 的中点．综上，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(2)连接PE ，由题意及(1)知P A ＝PB ，AE ＝EB ，所以PE ⊥AB ，又平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以PE ⊥平面ABCD .又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以V F ­DEC ＝12V P ­DEC ＝16S △DEC ×PE ＝16×12×2×2×2＝23.。

线面平行、面面平行的判定及性质一、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.二、平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解：由面面平行的定义可知选D.例2：若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直解：A错误，a与α内的直线平行或异面．例3：已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)。

解：①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确。

例4：已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，即命题(1)正确；若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，即命题(2)不正确；若⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α，则m ⊥n ，即命题(3)正确；综上可得，真命题共有2个．选C例6：已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是 ( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.例7：在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 解：排除法，Ａ中α、β可以是相交平面；Ｂ中三点可面平面两侧；Ｃ中两直线可以不相交．故选Ｄ，也可直接证明．例8：经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个解：这两点可以是在平面同侧或两侧．选C 。

直线、平面平行的判定和性质（填空题：容易）1、已知，，，则与的位置关系是_______.2、已知直线和平面，且，则与的位置关系是 .3、设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________4、α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β．②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n．③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β．④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）5、过平面外一点可以作直线与已知平面平行．6、已知是两条不同直线，、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是．（1）．若⊥γ，β⊥γ，则//β（2）．若⊥，⊥，则//（3）．若//，//，则//（4）．若//，//β，则//β7、设m，n，l为空间不重合的直线，为空间不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是．（1）m//l，n//l，则m//n；（2）m l，n l，则m//n；（3），则；（4），则；8、已知直线l∥平面α,直线m Ìα,则直线l和m的位置关系是．（平行、相交、异面三种位置关系中选）9、（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：直线∥平面；（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由．10、如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为（填入所有正确结论的序号）．11、已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m ；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确命题序号是．12、设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，，，则其中真命题的个数是．13、已知是直线，是平面，下列命题中，正确的命题是 .（填序号）①若垂直于内两条直线，则；②若平行于，则内可有无数条直线与平行；③若m⊥n，n⊥l则m∥l；④若，则；14、[2013·郑州模拟]设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①或②B．②或③C．①或③D．①或②或③15、[2014·长春质检]如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．16、已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题正确的序号是．①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．17、已知直线，和平面且，给出下列四个命题：①②③④其中真命题的有________(请填写全部正确命题的序号)18、下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题：①与两条平行线中一条平行的平面必与另一条直线平行；②与两条平行线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直；③与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直；④与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行；⑤与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行；⑥与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直；⑦与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直；⑧与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行.其中正确的命题个数有________个.19、已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。

一、选择题1．能保证直线a与平面α平行的条件是a bA．错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，∥a bB．错误！未找到引用源。

，∥cα，a∥b，a∥cC．错误！未找到引用源。

，∥D．错误！未找到引用源。

，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b且AC＝BD2．下列说法中正确的是A．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥αB．若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥αC．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行D．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行3．两个平面平行的条件是A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合5．设P是异面直线,a b外的一点，则过点P且与,a b都平行的平面A．有且只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个6．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有A．1个B．2个C．3个D．4个7．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是A．0 B．1C．2 D．38．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是A．①③B．①④C．①③D．②④二、填空题9．在三棱台错误！未找到引用源。

中,错误！未找到引用源。

,点错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

分别是棱错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

的中点,则在三棱台的各棱所在的直线中,与平面错误！未找到引用源。

线面平行的判定与性质练习题1一．选择题（共10小题）1．（2014张掖一模）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，mβ，则α⊥β；②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③mα，nα，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④2．（2013浙江模拟）已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β；其中可以判定α∥β的是（）A．①B．②C．①③D．③3．（2012德兴市模拟）设l表示直线，α、β表示平面．给出四个结论：①如果l∥α，则α内有无数条直线与l平行；②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行；③如果α∥β，则α内任意的直线与β平行；④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行．以上四个结论中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．34．（2012济南二模）设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥l1且n∥l25．（2012桂林模拟）已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题①a∥b，b∥ca∥c；②a∥α，b∥αa∥b③a∥α，β∥αa∥β；④aα，bα，a∥ba∥α．其中正确的命题是（）A．①④B．①②C．②③D．③④6．（2009北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．7．（2008东城区二模）已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（）A ． 若aβ，且α∥β，则a ∥αB ． 若bα，a ∥b ，则a ∥α C ． 若a ∥β，α∥β，则a ∥α D ． 若b ∥α，a ∥b ，则a ∥α8．能保证直线与平面平行的条件是（ ）A ． 直线与平面内的一条直线平行B ． 直线与平面内的某条直线不相交C ． 直线与平面内的无数条直线平行D ． 直线与平面内的所有直线不相交9．已知直线m ∥平面α，则下列命题中正确的是（ ）A ． α内所有直线都与直线m 异面B ． α内所有直线都与直线m 平行C ． α内有且只有一条直线与直线m 平行D ． α内有无数条直线与直线m 垂直10．α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ． α、β都平行于直线l 、mB ． α内有三个不共线的点到β的距离相等C ． l 、m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥βD ． l 、m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β二．填空题（共5小题）11．在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1、BC 的中点，点P 在BD 1上且BP=BD 1．则以下四个说法：（1）MN ∥平面APC ；（2）C 1Q ∥平面APC ；（3）A 、P 、M 三点共线；（4）平面MNQ ∥平面APC ．其中说法正确的是 _________ ．12．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD ．13．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1．14．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若mα，nβ，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，mα，m∥β，nβ，n∥α，则α∥β上面四个命题中，其中真命题有_________．15．如图所示，边长为4的正方形与正三角形所在平面互相垂直，M、Q分别是PC，AD的中点．（1）求证：PA∥面BDM（2）求多面体P﹣ABCD的体积．三．解答题（共12小题）16．（2014南充一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．17．（2014龙泉驿区模拟）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示．（1）求证：AN∥平面MBD；（2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值；（3）求二面角M﹣BD﹣C的余弦值．18．（2014蚌埠二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B﹣CDP的体积．19．（2014安徽模拟）如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：（1）PC∥平面EBD．（2）平面PBC⊥平面PCD．20．（2014惠州模拟）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．21．（2014甘肃一模）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，E为AD的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥PB；（Ⅱ）判断并说明PD上是否存在点G，使得EG∥平面PBC．22．（2014黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．23．（2014吉林模拟）在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）如果P为线段VC的中点，求证：VA∥平面PBD；（Ⅱ）如果正方形ABCD的边长为2，求三棱锥A﹣VBD的体积．24．（2014郴州二模）如图所示，四棱锥P﹣ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，PA=AD=AB=1．（1）证明：EB∥平面PAD；（2）证明：BE⊥平面PDC；（3）求三棱锥B﹣PDC的体积V．25．（2014邯郸一模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）求证：DA⊥BC；（2）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（3）求点A到平面BCD的距离．26．（2014盐城二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．27．（2014延庆县一模）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC=BC=BB1．（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅱ）求证：BC1⊥AB1．线面平行的判定与性质练习题1参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2014张掖一模）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，mβ，则α⊥β；②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③mα，nα，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．解答：解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题．③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．点评：本题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．2．（2013•浙江模拟）已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β；其中可以判定α∥β的是（）A．①B．②C．①③D．③考点：平面与平面平行的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①如图1所示，平面α内的三角形ABC，边BC∥β，顶点A在β的另一侧，点M、N分别为边AB、AC的中点，且M∈α，N∈α．满足条件，但是α与β不平行；②假设α∩β=c，l∥c，m∥c，则l∥m，满足条件，但是α与β相交不平行；③如图3所示，过直线l作一平面γ，设γ∩α=a，γ∩β=b，过直线m作一平面π，设π∩α=c，π∩β=d，利用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理即可判断出．解答：解：①如图1所示，平面α内的三角形ABC，边BC∥β，顶点A在β的另一侧，点M、N分别为边AB、AC的中点，且M∈α，N∈α．则A、B、C三点到平面β的距离相等，满足条件．但是α与β相交不平行，故不正确．②假设α∩β=c，l∥c，m∥c，则l∥m，满足条件，但是α与β相交不平行，故不正确．③如图3所示，过直线l作一平面γ，设γ∩α=a，γ∩β=b，∵l∥α，l∥β，则l∥a，l∥b，∴a∥β；过直线m作一平面π，设π∩α=c，π∩β=d，∵m∥α，m∥β，则m∥c，m∥d，∴c∥β．∵l与m是异面直线，∴a与c必定相交，∴α∥β．因此正确．综上可知：只有③正确．故选D．点评：熟练掌握空间中线面、面面平行的判定与性质定理是解题的关键．3．（2012•德兴市模拟）设l表示直线，α、β表示平面．给出四个结论：①如果l∥α，则α内有无数条直线与l平行；②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行；③如果α∥β，则α内任意的直线与β平行；④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行．以上四个结论中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：利用直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面的位置关系进行分析判断．解答：解：①如果l∥α，则α内有无数条平行直线与l平行，故①正确；②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行或异面，故②错误；③如果α∥β，则由直线与平面平行的定义知：α内任意的直线与β平行，故③正确；④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内有无数条直线与a平行，故④错误．综上，以上四个结论中，正确结论的个数为2个．故选：C．点评：本题考查直线与平面、平面与平面、直线与直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．4．（2012•济南二模）设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥l1且n∥l2考点：平面与平面平行的判定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：根据面面平行的判定定理，我们逐一对四个答案中的条件进行分析，易得A，B，C三个答案，均不能判断出α∥β，不满足要求．解答：解：当m∥β且l1∥α时，α、β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的一个充分条件；当m∥β且n∥l2时，α、β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的一个充分条件；当m∥β且n∥β，若m∥n，则α、β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的一个充分条件；当m∥l1且n∥l2，由面面平行的判定定理，可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件；故选D点评：本题考查的知识点是平面与平面平行的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中熟练掌握平面与平面平行的判定方法是解答本题的关键．5．（2012•桂林模拟）已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题①a∥b，b∥c⇒a∥c；②a∥α，b∥α⇒a∥b③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α．其中正确的命题是（）A．①④B．①②C．②③D．③④考点：平面与平面平行的性质；平面与平面之间的位置关系．专题：规律型；空间位置关系与距离．分析：根据平行线的传递性，可知①正确；a∥α，b∥α，则a，b可以平行、相交、异面；a∥α，β∥α，则a∥β或a⊂β；根据线面平行的判定，可知④正确，故可得结论．解答：解：根据平行线的传递性，可知①正确；a∥α，b∥α，则a，b可以平行、相交、异面，即②不正确；a∥α，β∥α，则a∥β或a⊂β，即③不正确；根据线面平行的判定，可知④正确故正确的命题是①④故选A．点评：本题考查线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．（2009•北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．考点：直线与平面平行的性质．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．解答：解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，∠B 1AB=60°，BB 1=1×tan60°=，故选：D ．点评： 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．7．（2008•东城区二模）已知两条直线a ，b ，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（）A ． 若a ⊂β，且α∥β，则a ∥αB ． 若b ⊂α，a ∥b ，则a ∥αC ． 若a ∥β，α∥β，则a ∥αD ． 若b ∥α，a ∥b ，则a ∥α考点： 直线与平面平行的判定．分析： 根据直线与平面平行的判断定理及其推论对A 、B 、C 、D四个选项进行一一判断；解答： 解：A 、∵α∥β，又a ⊂β，∴a ∥α故A 正确；B 、∵b ⊂α，a ∥b ，若a ⊂α，则a 不可能与α平行，故B 错误；C 、∵a ∥β，α∥β，若a ⊂α，则结论不成立，故C 错误；D 、∵b ∥α，a ∥b ，若a ⊂α，则结论不成立，故D错误；故A正确；点评：此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握．8．能保证直线与平面平行的条件是（）A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的某条直线不相交C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交考点：直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：根据直线和平面平行判定定理，直线和平面平行的定义，研究由各个选项能否推出直线和平面平行，从而得出结论．解答：解：A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交．C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．故选D．点评：本题主要考查直线和平面平行判定定理，直线和平面平行的定义，考查逻辑推理论证能力，属于中档题．9．已知直线m∥平面α，则下列命题中正确的是（）A．α内所有直线都与直线m异面B．α内所有直线都与直线m平行C．α内有且只有一条直线与直线m平行D．α内有无数条直线与直线m垂直考点：直线与平面平行的性质．专题：阅读型．分析：依据直线和平面平行的定义、性质，可举反例说明A，B，C是错误的．解答：解：A、如图，直线m∥平面α，，存在n⊂α，n∥l，从而n∥m，A错；B、如图，直线m∥平面α，存在n⊂α，n与l相交，从而m，n异面，m、n不平行．B错；C、如图，α内凡是与l平行的直线n、e…均与m平行，C错；D、如图，α内凡是与l垂直的直线n、e…均与m垂直，D对．故选D．点评：本题考查直线和平面平行的定义、性质，直线和直线位置关系的判定，属于基础题．10．α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是（）A．α、β都平行于直线l、mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l、m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：A、B、C列举反例：当α∩β=a，l∥m∥a；当α∩β=a，且在α内同侧有两点，另一侧一个点，三点到β的距离相等；当l与m平行；先判断α内存在两条相交直线与平面β平行，再根据面面平行的判定，即可得到结论．解答：解：对于A，当α∩β=a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；对于B，当α∩β=a，且在α内同侧有两点，另一侧一个点，三点到β的距离相等时，不能推出α∥β；对于C，当l与m平行时，不能推出α∥β；对于D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定，可得α∥β，故选D．点评：本题考查面面平行的判定，解题时，不正确的结论列举反例，正确的结论要给出充分的理由．二．填空题（共5小题）11．在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1、A1D1、BC的中点，点P在BD1上且BP=BD1．则以下四个说法：（1）MN∥平面APC；（2）C1Q∥平面APC；（3）A、P、M三点共线；（4）平面MNQ∥平面APC．其中说法正确的是（2）（3）．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：观察正方体不难发现（1）因为直线在平面内；（4）平面与平面相交，是错误的；（2）在平面内找到直线和它平行（3）利用相似可以说明是正确的．解答：解：解：（1）MN∥AC，连接AM、CN，得AM、CN交与点P，即MN⊆面PAC，所以MN∥面APC是错误的；（2）平面APC延展，可知M、N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥面APC，是正确的；（3）由BP=BD1，以及（2）△APB∽△D1MP，所以，A，P，M三点共线，是正（4）直线AP延长到M，则M在平面MNQ，又在平面APC，面MNQ∥面APC，是错误的．故答案为：（2）（3）．点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面平行的判定，三点共线问题，考查空间想象能力，是基础题．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：取PD的中点E，连接AE，EN，通过证明MN∥AE．利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面PAD．解答：证明：取PD的中点E，连接AE，EN，∵N为中点，∴EN为△PDC的中位线，∴EN又∵CD平行且等于AB，∴EN平行且等于AM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．又∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．13．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1．考点：直线与平面平行的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：连接B1C交BC1于点O，再连接EO，由E是AC的中点，O是B1C的中点，知EO∥AB1，由此能够证明AB1∥面BEC1．交BC1于点O，再连接EO，∵E是AC的中点，O是B1C的中点，∴EO∥AB1，∵EO⊂面BEC1，AB1⊄面BEC1，∴AB1∥面BEC1．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，恰当地连接辅助线，注意三角形中位线的合理运用．14．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β上面四个命题中，其中真命题有①和④．考点：平面与平面平行的判定．专题：综合题．分析：利用直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，对选项逐一判断即可．解答：解：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；垂直同一条直线的两个平面β⊥γ，则α∥β；可能平面α和β相交，不正确．③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；可能平面α和β相交，不正确．④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β，满足两个平面平行的判断，正确．故答案为：①④点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查学生灵活运用知识的能力，是基础题．15．如图所示，边长为4的正方形与正三角形所在平面互相垂直，M、Q分别是PC，AD的中点．（1）求证：PA∥面BDM（2）求多面体P﹣ABCD的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结AC、BD交于点O，连接OM．利用正方形的性质，结合已知条件可PA∥OM．再根据线面平行的判定定理，即可证出PA∥面BDM；（2）由面面垂直的性质定理，证出PQ⊥底面ABCD，可得PQ是P﹣ABCD的高线．正三角形PAB中，算出高线PQ的长为2，再利用锥体的体积公式即可算出多面体P﹣ABCD的体积．（1）连结AC、解答：解：BD交于点O，连接OM．则正方形ABCD中，AO=OC，又∵PM=MC，∴OM是△PAC的中位线，可得PA∥OM．∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PA∥平面BMD．（2）∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=2．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD，可得PQ是P﹣ABCD的高线因此多面体P﹣ABCD的体积为V=•S ABCD•PQ=×42×=．点评：本题给出四棱锥，求线面平行并求锥体的体积．着重考查了面面垂直的性质定理、线面平行判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．三．解答题（共12小题）16．（2014•南充一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AB1∥线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B﹣AA1C1D的体积求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积即可．解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．（3分）∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，BC1D．（6分）（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，（10分）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积（12分）==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．（14分）点评：本题主要考查了线面平行的棱锥的体积的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力，以及转化与化归的思想，属于基础题．17．（2014•龙泉驿区模拟）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示．（1）求证：AN∥平面MBD；（2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值；（3）求二面角M﹣BD﹣C的余弦值．考点：直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（1）连接AC交BD于O，连接OM，可得OM∥AN，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，写出各点的坐标，，AN与PD的夹角就是异面直线AN与PD所成角，然后求出其余弦值．（3）侧棱PA⊥底面ABCD，可得平面BCD的一个法向量为，设平面MBD的法向量为m=（x，y，z），两个法向量的夹角就是二面角M﹣BD﹣C，然后再求出其余弦值．解答：（Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，连接OM，∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，（1分）∵M、N为侧棱PC的三等分点，∴CM=MN，∴OM∥AN，（3分）∵OM⊂平面MBD，AN不属于平面MBCD，∴AN∥平面MBD．（4分）（Ⅱ）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，6，0），D（0，6，0），P（0，0，3），M（2，4，1），N（1，2，2），∵，（5分）∴，（7分）∴异面直线AN 与PD所成角的余弦值为．（8分）（Ⅲ）∵侧棱PA⊥底面ABCD，∴平面BCD的一个法向量为，（9分）设平面MBD的法向量为m=（x，y，z），∵，并且，∴，令y=1得x=2，z=﹣2，∴平面MBD的一个法向量为m=（2，1，﹣2）．（11分）（13分）由图可知二面角M﹣BD﹣C的大小是锐角，∴二面角M﹣BD﹣C大小的余弦值为．（14分）点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面的夹角问题，此题建立直角坐标系比较简单，万一找不到面面角，用向量法求解也是可以的，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．18．（2014•蚌埠二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B﹣CDP的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：（I）连接DP、AC1，在△ABC1中根据中位线定理，得DP∥AC1，结合线面平行的判定定理，得DP∥平面ACC1A1；（II）过点D作DE⊥BC于E，结合DE∥CC1且DE=CC1，得三棱锥B﹣CDP的高DE=，结合△BCP的面积和锥体体积公式，可算出三棱锥B﹣CDP的体积．解答：解：（I）连接DP、AC1，∵△ABC1中，P、D分别为AB、BC1中点∴DP∥AC1，∵AC1⊆平面ACC1A1，DP⊈平面ACC1A1，∴DP∥平面ACC1A1（II）由AP=3PB，得PB=AB=过点D作DE⊥BC于E，则DE∥CC1且DE=CC1又∵CC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP∵CC1=3，∴DE=∵S△BCP=×2××sin60°=∴三棱锥B﹣CDP的体积v=××=点评：本题在直三棱柱中证明线面平行，并求锥体的体积公式，着重考查了线面平行的判定、线面垂直的性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．19．（2014•安徽模拟）如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：（1）PC∥平面EBD．（2）平面PBC⊥平面PCD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连BD，与AC交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；（2）证明BC⊥平面PCD，即可证得平面PBC⊥平面PCD．解答：证明：（1）连BD，与AC交于O，连接EO∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵E是PA的中点，∴EO∥PC又∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD∴PC∥平面EBD；（2）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴BC⊥PD∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD又∵PD∩CD=D∴BC⊥平面PCD∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PCD．点评：本题考查线面平行，考查面面平行，掌握线面平行，面面平行的判定方法是关键．20．（2014•惠州模拟）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AM∥平面BEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AM与平面BEC内一直线平行，取EC中点N，连接MN，BN，根据中位线定理和条件可知MN∥AB，且MN=AB，从而得到四边形ABNM为平行四边形，则BN∥AM，BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，满足定理所需条件；（2）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；（3）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，从而点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，在直角三角形BDE中，利用等面积法即可求出DG，从而求出点D到平面BEC的距离．解答：解：（1）证明：取EC中点N，连接MN，BN．在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且．由已知AB∥CD，，所以MN∥AB，且MN=AB．（3分）所以四边形ABNM为平行四边形．所以BN∥AM．（4分）又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC．（5分）（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．（7分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得．在△BCD中，，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．（8分）所以BC⊥平面BDE．（10分）（3）由（2）知，BC⊥平面BDE又因为BC⊂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．（11分）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度（12分）在直角三角形BDE中，所以所以点D到平面BEC的距离等于．（14分）点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的判定和点到面的距离的度量等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于综合题．21．（2014•甘肃一模）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，E为AD的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥PB；（Ⅱ）判断并说明PD上是否存在点G，使得EG∥平面PBC．考点：直线与平面平行的性质；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的条件，只要证明BC⊥平面PDB，即可证明BC⊥PB；（Ⅱ）假设PD上是否存在点G，根据EG∥平面PBC的性质定理，进行求解即可．．解答：解：（Ⅰ）如图连结BD，∵侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，∵AB=AD=PD=1，CD=2，∠ADC=90°，∴∠BAD=90°，∴BD=，又AB∥DC，∴BC=，则BC2+BD2=CD2，即BD⊥BC，∴BC⊥平面PDB，∴BC⊥PB．（Ⅱ）PD上存在点G，使得EG∥平面PBC．过点E作EF∥BC交DC于F，再过点F作FG∥PC交PD于G，连结EG，易得DG=．点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．。

直线、平面平行的判定及其性质一、选择题（共60分）1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )A.平行B.异面C.相交D.平行或异面2、下列结论中，正确的有( )①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥平面β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aα个个个个3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC 和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内D.不能确定4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( )∥αα与α相交 D.以上都有可能6、下列命题中正确的命题的个数为( )①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.7、下列命题正确的个数是( )(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥α个个个个8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ③若mα,nβ,m ∥n,则α∥β;④若m 、n 是异面直线，m α,m ∥β,nβ,n ∥α,则α∥β.其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④9、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为AA 1中点,F 为BB 1中点,与EF 平行的长方体的面有( ) 个 个 个 个10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，M ，使得l ∥α,l ∥β,M ∥α,M ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（ ） 个 个 个 个11、设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是 ( ) A.若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β B.若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α C.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD.若m,n 是两条异面直线，且βσββσσ////,//,//,//，则n m n m12、已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B.若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β C.若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α D.若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β 二、填空题 （共20分）13.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP=3a,过P 、M 、N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ=_________. 14.若直线a 和b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是__________.15.过长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC 1A 1平行的直线有 _________条.16.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为 .三、解答题 (17(10分)、18、19、20、21、22（12分）)17. （10分）如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD //平面MAC ．18.(12分)如图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心.求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.19. （12分）如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD ∶∶，求证：EF //平面PBC ．CDABM P20．（12分）如下图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1H.21.(12分)如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点.求证：直线EE1∥平面FCC1.22．（12分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．(2)若MN＝BC＝4，PA＝3直线、平面平行的判定及其性质(答案)一、选择题1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( D )A.平行B.异面C.相交D.平行或异面2、下列结论中，正确的有( A )①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aα个个个个解析：若aα，则a∥α或a与α相交，由此知①不正确若a∥平面α,bα,则a与b异面或a∥b，∴②不正确若平面α∥β，aα，bβ，则a∥b或a与b异面，∴③不正确由平面α∥β，点P∈α知过点P而平行平β的直线a必在平面α内，是正确的.证明如下：假设aα，过直线a作一面γ，使γ与平面α相交，则γ与平面β必相交.设γ∩α=b,γ∩β=c,则点P∈b.由面面平行性质知b∥c；由线面平行性质知a∥c,则a∥b,这与a∩b=P矛盾，∴aα.故④正确.3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC 和平面DEF的位置关系是( A )A.平行B.相交C.在内D.不能确定参考答案与解析:解析：在平面ABC内.∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.可以证明AC平面DEF.若AC平面DEF，则AD平面DEF，BC平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC平面DEF.∵AC∥EF，EF平面DEF.∴AC∥平面DEF.主要考察知识点:空间直线和平面[来源:学+科+网Z+X+X+K]4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( D )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在参考答案与解析:解析：如当A与a确定的平面与b平行时，过A作与a,b都平行的平面不存在. 答案：D主要考察知识点:空间直线和平面[来源:学+科+网Z+X+X+K]5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( )∥αα与α相交 D.以上都有可能参考答案与解析:思路解析:a与b垂直,a与b的关系可以平行、相交、异面,a与α平行,所以b 与α的位置可以平行、相交、或在α内,这三种位置关系都有可能.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题中正确的命题的个数为( A )①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内(若改为l与α内任何直线都平行，则必有l∥α),∴①是假命题.对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平行，∴②为假命题.对于③,∵a∥b,bα,只能说明a与b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α.∴③也是假命题.对于④,∵a∥b,bα.那么aα,或a∥α.∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上，真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面7、下列命题正确的个数是( A )(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥α个个个个参考答案与解析:解析：由直线和平面平行的判定定理知，没有正确命题.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.其中真命题是( D )A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④参考答案与解析:解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有( C )个个个个参考答案与解析:解析：面A1C1,面DC1,面AC共3个.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（ B ）个个个个参考答案与解析:解析：取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①，若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除③.容易证明②④都是正确的.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面11.D12.D二、填空题13、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP=,过P 、M 、N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ=_________.参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN ∥PQ(∵MN ∥平面AC ，PQ=平面PMN ∩平面AC ，∴MN ∥PQ).易知DP=DQ=.故.答案：主要考察知识点:空间直线和平面14、若直线a 和b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是__________. 参考答案与解析:相交或平行或异面 主要考察知识点:空间直线和平面 15、6 16、52424或三、解答题17.答案：证明：连接AC 、BD 交点为O ，连接MO ，则MO 为BDP △的中位线，∴PD MO //． PD ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD //平面MAC ．18.答案：19.答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ． 连结PM ，AD BC ∵//，BF MFFD FA=∴， 又由已知PE BF EA FD =，PE MFEA FA=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ，CDABM PO又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．20．如下图，F ，H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1，AA 1的中点， 求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H . 证明： 取DD 1，中点E 连AE 、EF . ∵E 、F 为DD 1、CC 1中点，∴EF ∥CD .，EF =CD ∴EF ∥AB ，EF =AB∴四边形EFBA 为平行四边形． ∴AE ∥BF .又∵E 、H 分别为D 1D 、A 1A 中点，∴D 1E ∥HA ，D 1E =HA ∴四边形HADD 1为平行四边形． ∴HD 1∥AE ∴HD 1∥BF由正方体的性质易知B 1D 1∥BD ，且已证BF ∥D 1H . ∵B 1D 1⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF .连接HB ，D 1F ， ∵HD 1⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ， ∴HD 1∥平面BDF .又∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .21，答案：[证明] 因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD ∥AF ，CD =AF因此四边形AFCD 为平行四边形， 所以AD ∥FC .又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1， AD ∩DD 1＝D ，AD ⊂平面ADD 1A 1， DD 1⊂平面ADD 1A 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1. 又EE 1⊂平面ADD 1A 1，EE 1⊄平面FCC 1，所以EE 1∥平面FCC 1.22.答案：(1)取PD 的中点H ，连接AH ，NH ，∵N 是PC 的中点，∴NH =12DC .由M 是AB 的中点，且DC ∥AB ，∴NH ∥AM ，NH =AM 即四边形AMNH 为平行四边形． ∴MN ∥AH,由MN ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .(2)连接AC 并取其中点O ，连接OM 、ON ， ∴OM ∥12BC ，ON ∥12PA .，OM =12BC ，ON =12PA .∴∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角， 由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝2 3.∴MO 2＋ON 2＝MN 2，∴∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 成30°的角．。

空间直线、平面的平行考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行错误!⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行错误!⇒a∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行错误!⇒β∥α性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行错误!⇒a∥b常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( ×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)教材改编题1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案 D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是( )A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α答案 D解析若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，PD 的中点，求证：(1)PB ∥平面ACF ；(2)EF ∥平面PAB .证明 (1)如图，连接BD 交AC 于O ，连接OF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点，又∵F 是PD 的中点，∴OF ∥PB ， 又∵OF ⊂平面ACF ，PB ⊄平面ACF ， ∴PB ∥平面ACF .(2)取PA 的中点G ，连接GF ，BG . ∵F 是PD 的中点， ∴GF 是△PAD 的中位线， ∴GF 綉12AD ，∵底面ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点， ∴BE 綉12AD ，∴GF 綉BE ，∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF ∥BG ，又∵EF ⊄平面PAB ，BG ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .命题点2 直线与平面平行的性质例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.教师备选如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．(1)证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.题型二平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.延伸探究在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值．解如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD， 所以DC AD＝1，即AD DC＝1. 教师备选如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G 分别为B 1C 1，A 1B 1，AB 的中点．(1)求证：平面A 1C 1G ∥平面BEF ；(2)若平面A 1C 1G ∩BC ＝H ，求证：H 为BC 的中点． 证明 (1)∵E ，F 分别为B 1C 1，A 1B 1的中点， ∴EF ∥A 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1C 1G ，EF ⊄平面A 1C 1G ， ∴EF ∥平面A 1C 1G ，又F ，G 分别为A 1B 1，AB 的中点， ∴A 1F ＝BG ， 又A 1F ∥BG ，∴四边形A 1GBF 为平行四边形， 则BF ∥A 1G ，∵A 1G ⊂平面A 1C 1G ，BF ⊄平面A 1C 1G ， ∴BF ∥平面A 1C 1G ，又EF ∩BF ＝F ，EF ，BF ⊂平面BEF ， ∴平面A 1C 1G ∥平面BEF .(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．跟踪训练2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B 1D 1∥BD ，所以B 1D 1∥l .题型三 平行关系的综合应用例4 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为对角线BD ，CD 1上的点，且CQ QD 1＝BP PD ＝23.(1)求证：PQ ∥平面A 1D 1DA ；(2)若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA ？请给出证明． (1)证明 连接CP 并延长，与DA 的延长线交于M 点，如图，连接MD 1，因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ∥AD ，故△PBC ∽△PDM ， 所以CP PM ＝BP PD ＝23，又因为CQ QD 1＝BP PD ＝23， 所以CQ QD 1＝CP PM ＝23， 所以PQ ∥MD 1.又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ， 故PQ ∥平面A 1D 1DA .(2)解 当AR AB 的值为35时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA .如图，证明如下：因为AR AB ＝35，即BR RA ＝23， 故BR RA ＝BP PD. 所以PR ∥DA .又DA ⊂平面A 1D 1DA ，PR ⊄平面A 1D 1DA ， 所以PR ∥平面A 1D 1DA ，又PQ ∥平面A 1D 1DA ，PQ ∩PR ＝P ，PQ ，PR ⊂平面PQR ， 所以平面PQR ∥平面A 1D 1DA . 教师备选如图，四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明 (1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO . 又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ， 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ， 又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，所以平面BDE ∥平面MNG .思维升华 证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．跟踪训练3 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．(1)证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥HG .∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴EF ∥平面ABD . 又∵EF ⊂平面ABC ， 平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB ，又∵AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH . (2)解 设EF ＝x (0<x <4)， 由(1)知EF ∥AB ， ∴CF CB ＝EF AB ＝x4， 与(1)同理可得CD ∥FG ， ∴FG CD ＝BF BC， 则FG 6＝BF BC＝BC －CF BC ＝1－x4， ∴FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长L ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x .又∵0<x <4，∴8<L <12，故四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．课时精练1．(2022·宁波模拟)下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．(2022·呼和浩特模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案 D解析对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；对于D，如图，在直线b上取点B，过点B和直线a确定一个平面γ，交平面β于a′，因为a∥β，所以a∥a′，又a′⊄α，a⊂α，所以a′∥α，又因为b∥α，b∩a′＝B，b⊂β，a′⊂β，所以β∥α.3．(2022·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四边形MNEF为平行四边形D．四边形MNEF为梯形答案 D解析由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．4．(2022·杭州模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )A．2∶3B．2∶5C．4∶9D．4∶25答案 D解析∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是( )答案AC解析对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG并延长，交AB延长线于H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．6．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜程度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图(3)所示时，AE ·AH 为定值 答案 AD解析 根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A 正确；由题图可知水面EFGH 的边EF 的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B 错误；因为A 1C 1∥AC ，AC ⊂平面ABCD ，A 1C 1⊄平面ABCD ，所以A 1C 1∥平面ABCD ，当平面EFGH 不平行于平面ABCD 时，A 1C 1不平行于水面所在平面，故C 错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH －BFG 的体积V 为定值，又V ＝S △AEH ·AB ，高AB 不变，所以S △AEH 也不变，即AE ·AH 为定值，故D 正确．7．考查①②两个命题，①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α为平面)，则此条件为__________． 答案 l ⊄α解析 ①由线面平行的判定定理知l ⊄α；②由线面平行的判定定理知l ⊄α.8.如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件______，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合) 解析 连接HN ，FH ，FN (图略)， 则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ， 则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H . 证明 如图．(1)取B 1B 的中点M ，连接HM ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形， ∴HD 1∥MC 1. 又MC 1∥BF ， ∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接OE ，OD 1， 则OE 綉12DC .又D 1G 綉12DC ，∴OE 綉D 1G .∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴EG ∥D 1O .又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，EG ⊄平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知BF ∥HD 1，由题意易证B 1D 1∥BD .又B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)如图，连接EC ， 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AE ，BC ＝AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形， 所以O 为AC 的中点． 又因为F 是PC 的中点， 所以FO ∥AP ， 因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点， 所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ， 所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， 所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ， 所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，FH ，OH ⊂平面OHF ， 所以平面OHF ∥平面PAD . 又因为GH ⊂平面OHF ， 所以GH ∥平面PAD .11．(多选)已知α，β是两个平面，m，n是两条直线．下列命题正确的是( )A．如果m∥n，n⊂α，那么m∥αB．如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥nC．如果α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，那么m⊥β答案BC解析如果m∥n，n⊂α，那么m∥α或m⊂α，故A不正确；如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥n，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故B正确；如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故C正确；缺少m⊂α这个条件，故D不正确．12．(2022·福州检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是( )A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案 B解析过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．13．(多选)(2022·临沂模拟)如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点(不含端点)，将△ABE 沿AE 翻折，使得二面角B －AE －D 为直二面角，得到图2所示的四棱锥B －AECD ，点F 为线段BD 上的动点(不含端点)，则在四棱锥B －AECD 中，下列说法正确的有( )图1 图2A ．B ，E ，C ，F 四点不共面 B ．存在点F ，使得CF ∥平面BAE C ．三棱锥B －ADC 的体积为定值D ．存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直 答案 AB解析 对于A ，假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以E 在平面BCF 上， 又因为E 在折前线段BC 上，BC ∩平面BCF ＝C ，所以E 与C 重合，与E 异于C 矛盾， 所以直线BE 与直线CF 必不在同一平面上，即B ，E ，C ，F 四点不共面，故A 正确； 对于B ，如图，当点F 为线段BD 的中点，EC ＝12AD 时，直线CF ∥平面BAE ，证明如下：取AB 的中点G ，连接GE ，GF ， 则EC ∥FG 且EC ＝FG ，所以四边形ECFG 为平行四边形， 所以FC ∥EG ，又因为EG ⊂平面BAE ， 则直线CF 与平面BAE 平行，故B 正确；对于C ，在三棱锥B －ADC 中，因为点E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离发生变化，所以三棱锥B －ADC 的体积不是定值，故C 不正确；对于D ，过D 作DH ⊥AE 于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ∩平面AECD ＝AE ，所以DH ⊥平面BAE ，所以DH ⊥BE ，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，且DC ⊂平面AECD ，DH ∩DC ＝D ，所以BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE ，与△ABE 是以B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 不正确．14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DD 1＝1，AB ＝3，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面ABCD 内，若直线D 1P ∥平面EFG ，则线段D 1P 长度的最小值是________．答案72解析 如图，连接D 1A ，AC ，D 1C .因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，C 1D 1的中点， 所以AC ∥EF ，又EF ⊄平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1， 则EF ∥平面ACD 1.同理可得EG ∥平面ACD 1，又EF ∩EG ＝E ，EF ，EG ⊂平面EFG ，所以平面ACD 1∥平面EFG . 因为直线D 1P ∥平面EFG ， 所以点P 在直线AC 上．在△ACD 1中，易得AD 1＝2，AC ＝2，CD 1＝2， 所以1AD C S △＝12×2×22－⎝⎛⎭⎪⎫222＝72， 故当D 1P ⊥AC 时，线段D 1P 的长度最小，最小值为7212×2＝72.15．(2022·合肥市第一中学模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面AMN ，则PA 1的长度范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32答案 B解析 取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连接A 1E ，A 1F ，EF ， 取EF 的中点O ，连接A 1O ，如图所示，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ，∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ，AM ，MN ⊂平面AMN ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动， 且PA 1∥平面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，∵A 1E ＝A 1F ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，EF ＝1212＋12＝22，∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值A 1O ， A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，当P 与E (或F )重合时，PA 1的长度取最大值A 1E 或A 1F ，A 1E ＝A 1F ＝52.∴PA 1的长度范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52.16．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为AB 1，A 1C 1上的点，A 1N ＝AM .(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)求MN 的最小值．(1)证明 如图，作NE ∥A 1B 1交B 1C 1于点E ，作MF ∥AB 交BB 1于点F ，连接EF ， 则NE ∥MF .∵NE ∥A 1B 1，∴NEA 1B 1＝C 1NA 1C 1.又MF ∥AB ，∴MF AB ＝B 1MAB 1，∵A 1C 1＝AB 1，A 1N ＝AM ，∴C 1N ＝B 1M .∴NE A 1B 1＝MF AB，又AB ＝A 1B 1，∴NE ＝MF .∴四边形MNEF 是平行四边形，∴MN ∥EF ， 又MN ⊄平面BB 1C 1C ，EF ⊂平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解 设B 1E ＝x ，∵NE ∥A 1B 1， ∴B 1E B 1C 1＝A 1NA 1C 1.又∵MF ∥AB ，∴B 1F BB 1＝B 1M AB 1，∵A 1N ＝AM ，A 1C 1＝AB 1＝2a ，B 1C 1＝BB 1＝a ，B 1E ＝x ，∴B 1E B 1C 1＋B 1F BB 1＝A 1N A 1C 1＋B 1MAB 1，∴x a ＋B 1F a ＝1，∴B 1F ＝a －x ，从而MN ＝EF ＝B 1E 2＋B 1F 2 ＝x 2＋a －x2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， ∴当x ＝a 2时，MN 的最小值为22a .。

直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏的判定（附答案）直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏的判定[学习⽬标] 1.理解直线与平⾯平⾏、平⾯与平⾯平⾏判定定理的含义.2.会⽤图形语⾔、⽂字语⾔、符号语⾔准确描述直线与平⾯平⾏、平⾯与平⾯平⾏的判定定理，并知道其地位和作⽤.3.能运⽤直线与平⾯平⾏的判定定理、平⾯与平⾯平⾏的判定定理证明⼀些空间线⾯关系的简单问题.知识点⼀直线与平⾯平⾏的判定定理思考若⼀条直线平⾏于⼀个平⾯内的⼀条直线，则这条直线和这个平⾯平⾏吗？答根据直线与平⾯平⾏的判定定理可知该结论错误. 知识点⼆平⾯与平⾯平⾏的判定定理思考如果⼀条直线与两个平⾏平⾯中的⼀个平⾏，那么这条直线与另⼀个平⾯也平⾏吗？答不⼀定.这条直线与另⼀个平⾯平⾏或在另⼀个平⾯内.题型⼀直线与平⾯平⾏的判定定理的应⽤例1 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.求证：(1)EH ∥平⾯BCD ； (2)BD ∥平⾯EFGH .证明 (1)∵EH 为△ABD 的中位线，∴EH ∥BD .∵EH ?平⾯BCD ，BD ?平⾯BCD ，∴EH∥平⾯BCD.(2)∵BD∥EH，BD?平⾯EFGH，EH?平⾯EFGH，∴BD∥平⾯EFGH.跟踪训练1在四⾯体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重⼼，求证：MN∥平⾯ADC.证明如图所⽰，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重⼼，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.所以MN∥PQ.⼜因为MN?平⾯ADC，PQ?平⾯ADC，所以MN∥平⾯ADC.题型⼆⾯⾯平⾏判定定理的应⽤例2如图所⽰，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平⾯A1EB∥平⾯ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，⼜D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平⾏四边形，因此EB∥C1D，⼜C1D?平⾯ADC1，EB?平⾯ADC1，所以EB∥平⾯ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平⾏四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平⾏四边形，所以A 1E ∥AD ，⼜A 1E ?平⾯ADC 1，AD ?平⾯ADC 1，所以A 1E ∥平⾯ADC 1.由A 1E ∥平⾯ADC 1，EB ∥平⾯ADC 1， A 1E ?平⾯A 1EB ，EB ?平⾯A 1EB ，且A 1E ∩EB ＝E ，所以平⾯A 1EB ∥平⾯ADC 1.跟踪训练2 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正⽅体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，点G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点. 求证：(1)E ，B ，F ，D 1四点共⾯； (2)平⾯A 1GH ∥平⾯BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. ⼜∵BG ∥A 1E ，∴四边形A 1EBG 是平⾏四边形，∴A 1G ∥BE .连接FG .∵C 1F ＝B 1G ，C 1F ∥B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平⾏四边形，∴FG ＝C 1B 1＝D 1A 1，FG ∥C 1B 1∥D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平⾏四边形，∴A 1G ∥D 1F ，∴D 1F ∥EB . 故E ，B ，F ，D 1四点共⾯. (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.⼜∵B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.⼜FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .⼜由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平⾯A 1GH ∥平⾯BED 1F .题型三线⾯平⾏、⾯⾯平⾏判定定理的综合应⽤例3 在正⽅体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底⾯ABCD 的中⼼，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平⾯D 1BQ ∥平⾯P AO ？请说明理由.解当Q 为CC1的中点时，平⾯D 1BQ ∥平⾯P AO .理由如下：连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ，∴四边形ABQP 是平⾏四边形，∴QB ∥P A . ⼜∵O 为DB 的中点，∴D 1B ∥PO . ⼜∵PO ∩P A ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ，∴平⾯D 1BQ ∥平⾯P AO .跟踪训练3 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底⾯为正三⾓形，侧棱A 1A ⊥底⾯ABC ，E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，EC ＝2FB .M 是线段AC 上的动点，当点M 在何位置时，BM ∥平⾯AEF ？请说明理由.解当M 为AC 中点时，BM ∥平⾯AEF .理由如下：⽅法⼀如图1，取AE 的中点O ，连接OF ，OM . ∵O ，M 分别是AE ，AC 的中点，∴OM ∥EC ，OM ＝12EC .⼜∵BF ∥CE ，EC ＝2FB ，∴OM ∥BF ，OM ＝BF ，∴四边形OMBF 为平⾏四边形，∴BM ∥OF . ⼜∵OF ?⾯AEF ，BM ?⾯AEF ，∴BM ∥平⾯AEF .⽅法⼆如图2，取EC 的中点P ，连接PM ，PB . ∵PM 是△ACE 的中位线，∴PM ∥AE .∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF，∴四边形BPEF是平⾏四边形，∴PB∥EF.⼜∵PM?平⾯AEF，PB?平⾯AEF，∴PM∥平⾯AEF，PB∥平⾯AEF.⼜∵PM∩PB＝P，∴平⾯PBM∥平⾯AEF.⼜∵BM?⾯PBM，∴BM∥平⾯AEF.⾯⾯平⾏的判定例4已知在正⽅体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正⽅体中是否存在过顶点且与平⾯AMN平⾏的平⾯？若存在，试作出该平⾯，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正⽅体，根据平⾯AMN的特点，试着在正⽅体中找出⼏条平⾏于该平⾯的直线，然后作出判断，并证明.解如图，与平⾯AMN平⾏的平⾯有以下三种情况：下⾯以图①为例进⾏证明.如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，可知四边形ABEM是平⾏四边形，所以BE∥AM.⼜因为BE?平⾯BDE，AM?平⾯BDE，所以AM∥平⾯BDE.因为MN是△A′B′D′的中位线，所以MN∥B′D′.因为四边形BDD′B′是平⾏四边形，所以BD∥B′D′.所以MN∥BD.⼜因为BD?平⾯BDE，MN?平⾯BDE，所以MN∥平⾯BDE.⼜因为AM?平⾯AMN，MN?平⾯AMN，且AM∩MN＝M，所以由平⾯与平⾯平⾏的判定定理可得，平⾯AMN∥平⾯BDE.1.过直线l外两点，作与l平⾏的平⾯，则这样的平⾯()A.不可能作出B.只能作出⼀个C.能作出⽆数个D.上述三种情况都存在2.经过平⾯α外两点，作与α平⾏的平⾯，则这样的平⾯可以作()A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个3.若线段AB，BC，CD不共⾯，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平⾯MNP的位置关系是()A.平⾏B.直线在平⾯内C.相交D.以上均有可能4.在正⽅体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截⾯彼此平⾏的⼀对是()A.平⾯E1FG1与平⾯EGH1B.平⾯FHG1与平⾯F1H1GC.平⾯F1H1H与平⾯FHE1D.平⾯E1HG1与平⾯EH1G5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平⾯α，CD?平⾯α，则直线CD与平⾯α的位置关系是________.⼀、选择题1.下列说法正确的是()①若⼀个平⾯内有两条直线都与另⼀个平⾯平⾏，则这两个平⾯平⾏；②若⼀个平⾯内有⽆数条直线都与另⼀个平⾯平⾏，则这两个平⾯平⾏；③若⼀个平⾯内任何⼀条直线都平⾏于另⼀个平⾯，则这两个平⾯平⾏；④若⼀个平⾯内的两条相交直线都与另⼀个平⾯平⾏，则这两个平⾯平⾏.A.①③B.②④C.②③④D.③④2.平⾯α与平⾯β平⾏的条件可以是()A.α内有⽆穷多条直线与β平⾏B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内C.直线a?α，直线b?β，且b∥α，a∥βD.α内的任何直线都与β平⾏3.六棱柱的表⾯中，互相平⾏的平⾯最多有()A.2对B.3对C.4对D.5对4.如果直线a平⾏于平⾯α，那么下列命题正确的是()A.平⾯α内有且只有⼀条直线与a平⾏B.平⾯α内有⽆数条直线与a平⾏C.平⾯α内不存在与a平⾏的直线D.平⾯α内的任意直线与直线a都平⾏5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，⼜H，G分别为BC，CD的中点，则()A.BD∥平⾯EFG，且四边形EFGH是平⾏四边形B.EF∥平⾯BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平⾯ABD，且四边形EFGH是平⾏四边形D.EH∥平⾯ADC，且四边形EFGH是梯形6.平⾯α内有不共线的三点到平⾯β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为()A.平⾏B.相交C.平⾏或相交D.可能重合7.已知直线l，m，平⾯α，β，下列命题正确的是()A.l∥β，l?α?α∥βB.l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC.l∥m，l?α，m?β?α∥βD.l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β⼆、填空题8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重⼼，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平⾯SBC的关系为________.9.如图是正⽅体的平⾯展开图.在这个正⽅体中，①BM∥平⾯DE；②CN∥平⾯AF；③平⾯BDM∥平⾯AFN；④平⾯BDE∥平⾯NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.10.右图是⼀⼏何体的平⾯展开图，其中四边形ABCD为正⽅形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此⼏何体中，给出下⾯五个结论：①平⾯EFGH∥平⾯ABCD；②P A∥平⾯BDG；③EF∥平⾯PBC；④FH∥平⾯BDG；⑤EF∥平⾯BDG；其中正确结论的序号是________.三、解答题11.如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底⾯ABCD为平⾏四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平⾯MNQ∥平⾯PBC.12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧⾯AA1D1D上运动，点N满⾜什么条件时，MN∥平⾯BB1D1D?当堂检测答案1.答案 D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作⽆数个平⾯与l平⾏；若直线AB与l异⾯，则只能作⼀个平⾯与l平⾏；若直线AB与l相交，则过A、B没有平⾯与l 平⾏.2.答案 B解析①当经过两点的直线与平⾯α平⾏时，可作出⼀个平⾯β使β∥α.②当经过两点的直线与平⾯α相交时，由于作出的平⾯⼜⾄少有⼀个公共点，故经过两点的平⾯都与平⾯α相交，不能作出与平⾯α平⾏的平⾯.故满⾜条件的平⾯有0个或1个. 3.答案 A解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共⾯，所以直线BD不在平⾯MNP上.∴直线BD与平⾯MNP平⾏.4.答案 A解析如图，∵EG∥E1G1，EG?平⾯E1FG1，E1G1?平⾯E1FG1，∴EG∥平⾯E1FG1，⼜G1F∥H1E，同理可证H1E∥平⾯E1FG1，⼜H1E∩EG＝E，∴平⾯E1FG1∥平⾯EGH1.5.答案CD∥α解析因为AB∥CD，AB?平⾯α，CD?平⾯α，由线⾯平⾏的判定定理可得CD∥α.课时精练答案⼀、选择题1.答案 D解析如图，长⽅体ABCD－A1B1C1D1中，在平⾯ABCD内，在AB上任取⼀点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线⾯平⾏的判定定理，知EF，BC都平⾏于平⾯ADD1A1，⽤同样的⽅法可以在平⾯ABCD内作出⽆数条直线都与平⾯ADD1A1平⾏，但是平⾯ABCD与平⾯ADD 1A 1不平⾏，因此①②都错；③正确，事实上，因为⼀个平⾯内任意⼀条直线都平⾏于另⼀个平⾯，所以这两个平⾯必⽆公共点(要注意“任意⼀条直线”与“⽆数条直线”的区别)；④是平⾯与平⾯平⾏的判定定理，正确. 2.答案 D解析对于A 项，当α与β相交时，α内也有⽆数条直线都与交线平⾏，故A 错误；对于B 项，当a 平⾏于α与β的交线时，也能满⾜，但此时α与β相交，故B 错误；对于C 项，当a 和b 都与α与β的交线平⾏时，也能满⾜，但此时α与β相交，故C 错误；对于D 项，α内的任何直线都与β平⾏，故在⼀个平⾯内存在两条相交直线平⾏于另⼀平⾯，故D 正确. 3.答案 C解析侧⾯中有3对，对⾯相互平⾏，上下两底⾯也相互平⾏. 4.答案 B解析如图，直线B 1C 1∥平⾯ABCD ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1∥AD ，B 1C 1∥EF (E ，F 为中点)等，平⾯ABCD 内平⾏于BC 的所有直线均与B 1C 1平⾏.但AB 与B 1C 1不平⾏.5.答案 B解析易证EF ∥平⾯BCD .由AE ∶EB ＝AF ∶FD ，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD .⼜因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG ∥BD ，且HG ＝12BD .综上可知，EF ∥HG ，EF ≠HG ，所以四边形EFGH 是梯形，且EF ∥平⾯BCD . 6.答案 C解析若三点分布于平⾯β的同侧，则α与β平⾏，若三点分布于平⾯β的两侧，则α与β相交. 7.答案 D解析如图所⽰，在长⽅体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，则AB ∥平⾯DC 1，AB ?平⾯AC ，但是平⾯AC 与平⾯DC 1不平⾏，所以A 错误；取BB 1的中点E ，CC 1的中点F ，则可证EF ∥平⾯AC ，B1C1∥平⾯AC.EF?平⾯BC1，B1C1?平⾯BC1，但是平⾯AC与平⾯BC1不平⾏，所以B 错误；可证AD∥B1C1，AD?平⾯AC，B1C1?平⾯BC1，⼜平⾯AC与平⾯BC1不平⾏，所以C错误；很明显D是⾯⾯平⾏的判定定理，所以D正确.⼆、填空题8.答案平⾏解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重⼼知AG∶GF＝2，⼜AE∶ES＝2，∴EG∥SF，⼜SF?平⾯SBC，EG?平⾯SBC，∴EG∥平⾯SBC.9.答案①②③④解析以ABCD为下底⾯还原正⽅体，如图：则易判定四个命题都是正确的.10.答案①②③④解析把图形还原为⼀个四棱锥，然后根据线⾯、⾯⾯平⾏的判定定理判断即可.三、解答题11.证明因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP?平⾯PBC，NQ?平⾯PBC，所以NQ∥平⾯PBC.⼜因为底⾯ABCD为平⾏四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC?平⾯PBC，MQ?平⾯PBC，所以MQ∥平⾯PBC.⼜因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平⾯与平⾯平⾏的判定定理，得平⾯MNQ∥平⾯PBC.12.解如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.所以四边形MEFG是平⾏四边形.因为ME∥BB1，BB1?平⾯BB1D1D，ME?平⾯BB1D1D，所以ME∥平⾯BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1?平⾯BB1D1D，EF?平⾯BB1D1D，所以EF∥平⾯BB1D1D.⼜因为ME∩EF＝E，且ME?平⾯MEFG，EF?平⾯MEFG，所以平⾯MEFG∥平⾯BB1D1D.在FG上任取⼀点N，连接MN，所以MN?平⾯MEFG.所以MN与平⾯BB1D1D⽆公共点.所以MN∥平⾯BB1D1D.总之，当点N在平⾯AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平⾯BB1D1D.。

直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂αa∩b＝Aa∥β，b∥β⇒α∥β思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC.题型二面面平行判定定理的应用例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.跟踪训练2 已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点.求证：(1)E，B，F，D1四点共面；(2)平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.又∵BG∥A1E，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1G∥BE.连接FG.∵C1F＝B1G，C1F∥B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形，∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB.故E，B，F，D1四点共面.(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32 .又∵B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO 请说明理由.解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .理由如下：连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ，∴四边形ABQP 是平行四边形，∴QB ∥PA .又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.跟踪训练3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC＝是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF请说明理由.解当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：方法一如图1，取AE的中点O，连接OF，OM.∵O，M分别是AE，AC的中点，∴OM∥EC，OM＝12 EC.又∵BF∥CE，EC＝2FB，∴OM∥BF，OM＝BF，∴四边形OMBF为平行四边形，∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，∴BM∥平面AEF.方法二如图2，取EC的中点P，连接PM，PB.∵PM是△ACE的中位线，∴PM∥AE.∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF，∴四边形BPEF是平行四边形，∴PB∥EF.又∵PM⊄平面AEF，PB⊄平面AEF，∴PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.又∵PM∩PB＝P，∴平面PBM∥平面AEF.又∵BM⊂面PBM，∴BM∥平面AEF.面面平行的判定例4 已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.解如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：下面以图①为例进行证明.如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，可知四边形ABEM是平行四边形，所以BE∥AM.又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.因为MN是△A′B′D′的中位线，所以MN∥B′D′.因为四边形BDD′B′是平行四边形，所以BD∥B′D′.所以MN∥BD.又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )A.不可能作出B.只能作出一个C.能作出无数个D.上述三种情况都存在2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )个或2个个或1个个个3.若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是( )A.平行B.直线在平面内C.相交D.以上均有可能4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.一、选择题1.下列说法正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.A.①③B.②④C.②③④D.③④2.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内C.直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥βD.α内的任何直线都与β平行3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )对对对对4.如果直线a平行于平面α，那么下列命题正确的是( )A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )A.平行B.相交C.平行或相交D.可能重合7.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )∥β，l⊂α⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m ⊂α⇒α∥β∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β二、填空题8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.10.右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG；其中正确结论的序号是________.三、解答题11.如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D当堂检测答案1.答案D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.2.答案B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.3.答案A解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上.∴直线BD与平面MNP平行.4.答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.5.答案CD∥α解析因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；④是平面与平面平行的判定定理，正确.2.答案D解析 对于A 项，当α与β相交时，α内也有无数条直线都与交线平行，故A 错误；对于B 项，当a 平行于α与β的交线时，也能满足，但此时α与β相交，故B 错误；对于C 项，当a 和b 都与α与β的交线平行时，也能满足，但此时α与β相交，故C 错误；对于D 项，α内的任何直线都与β平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D 正确. 3.答案 C解析 侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行. 4.答案 B解析 如图，直线B 1C 1∥平面ABCD ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1∥AD ，B 1C 1∥EF (E ，F 为中点)等，平面ABCD 内平行于BC 的所有直线均与B 1C 1平行.但AB与B 1C 1不平行.5.答案 B解析 易证EF ∥平面BCD .由AE ∶EB ＝AF ∶FD ，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD .又因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG∥BD，且HG＝12BD.综上可知，EF∥HG，EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形，且EF∥平面BCD.6.答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.7.答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.二、填空题8.答案平行解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.9.答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.10.答案①②③④解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.三、解答题11.证明因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.12.解如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.所以四边形MEFG是平行四边形.因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，所以ME∥平面BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，所以平面MEFG∥平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN⊂平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点.所以MN∥平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.。

线面、面面平行的判定与性质基础巩固强化1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误．．的是()A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β[答案] D[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．(理)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β[答案] D[解析]A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．2．(文)(2011·邯郸期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是()A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β[答案] D[解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)(2011·浙江省温州市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nB．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β[答案] D[解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，可能出现n⊂α这种情形．故选D.3．(2011·宁波模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是()A．若α∥β，l⊂α，则l∥βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β[答案] C[解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.4．(2011·广东揭阳模拟)若a 不平行于平面α，且a ⊄α，则下列结论成立的是( )A ．α内的所有直线与a 异面B ．α内与a 平行的直线不存在C ．α内存在唯一的直线与a 平行D ．α内的直线与a 都相交[答案] B[解析] 由条件知a 与α相交，故在平面α内的直线与a 相交或异面，不存在与a 平行的直线．5．(2012·石家庄二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m 、n ，其中m 2＋n 2＝6，则该三棱锥体积的最大值为( )[答案] D[解析] 令m ＝n ，由m 2＋n 2＝6得m ＝n ＝3，取AB 的中点E ，则BE ＝22，PB ＝3，∴PE ＝102，CE ＝102，∴EF ＝2， ∴V P －ABC ＝13S △PEC ·AB ＝13×(12×2×2)×2＝23，∵23>12，∴23>33，23>8327，故选D.6．(2011·苏州模拟)下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a ∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件[答案] D[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故C真；正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．7．(2012·北京东城区综合练习)在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.其中正确命题的序号为________．[答案]②[解析]①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α内的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．8．(2011·福建文，15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF 的长度等于________．[答案] 2[解析]∵EF∥平面AB1C，平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC，∴EF∥AC，∵E为AD的中点，∴F为CD的中点，∴EF＝12AC＝12×22＝ 2.9．(2011·郑州一检)已知两条不重合的直线m、n，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若n⊥α，m⊥β，且n∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确命题的序号是________．[答案]②④[解析]对于①，直线m可能位于平面α内，此时不能得出m∥α，因此①不正确；对于②，由n ⊥α，m ∥n ，得m ⊥α，又m ⊥β，所以α∥β，因此②正确；对于③，直线m ，n 可能是两条平行直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.10．(文)(2012·辽宁文，18)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S为底面面积，h 为高)．[分析] (1)欲证MN ∥平面A ′ACC ′，须在平面A ′ACC ′内找到一条直线与MN 平行，由于M 、N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点，B ′C ′与平面A ′ACC ′相交，又M 为直三棱柱侧面ABB ′A ′的对角线A ′B 的中点，从而M 为AB ′的中点，故MN 为△AB ′C ′的中位线，得证．(2)欲求三棱锥A ′－MNC 的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M 、N 为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解决，视A ′MC 为底面，则S △A ′MC ＝12S △A ′BC ，∴V A ′－MNC ＝12V N －A ′BC ，又V N －A ′BC ＝V A ′－NBC ，易知A ′N 为三棱锥A ′－NBC 的高，于是易得待求体积．[解析] (1)连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(2)连结BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故V A′－MNC＝V N－A′MC＝12V N－A′BC ＝12V A′－NBC＝16.[点评]本题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的问题，对于(1)还可以利用面面平行(平面MPN∥平面A′ACC′，其中P 为A′B′的中点)来证明；(2)还可利用割补法求解．(理)(2012·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值．[分析](1)①欲证EF∥A1D1，∵B1C1∥A1D1，∴只需证EF∥B1C1，故由线面平行的性质定理“线面平行⇒线线平行”可推证．②要证BA1⊥平面B1C1EF，需证BA1⊥B1C1，BA1⊥B1F，要证BA1⊥B1C1，只需证B1C1⊥平面AA1B1B，要证BA1⊥B1F，通过在侧面正方形AA1B1B中计算证明即可．(2)设BA1与B1F交于点H，连结C1H，则∠BC1H就是所求的角．[解析](1)①∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面A1D1DA.又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，∴C1B1∥EF，∴A1D1∥EF.②∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.∴B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝22，即∠A1B1F＝∠AA1B，∴BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF 所成的角．在矩形AA1B1B中，由AB＝2，AA1＝2，得BH＝46.在Rt△BHC1中，由BC1＝25，BH＝46得，sin∠BC1H＝BHBC1＝3015.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是3015.[点评]本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.能力拓展提升11.(文)(2011·北京模拟)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0[答案] C[解析]①设α∩β＝a，当l，m都与a相交且交点不重合时，满足①的条件，故①假；②中分别在两个平行平面内的两条直线可能平行，也可能异面，故②假；由三棱柱知③真；故选C.(理)如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()A．K B．HC．G D．B′[答案] C[解析]假如平面PEF与侧棱BB′平行则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FK∥BB′，排除A；假如P为B′点，则平面PEF即平面A′B′C，此平面只与一条侧棱AB平行，排除D.若P为H点，则HF为△BA′C′的中位线，∴HF∥A′C′；EF 为△ABC′的中位线，∴EF∥AB，HE为△AB′C′的中位线，∴HE∥B′C′，显然不合题意，排除B.[点评]此题中，∵EF是△ABC′的中位线，∴EF∥AB∥A′B′，故点P只要使得平面PEF与其他各棱均不平行即可，故选G点．12．(文)(2012·江西文，7)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()B．5D．4[答案] D[解析]由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S＝2×[12×(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V＝4.(理)(2012·四川文，6)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行[答案] C[解析]本题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等位置关系的判定与性质，对于A选项，两条直线也可相交，B选项若三点在同一条直线上，平面可相交．D选项这两个平面可相交(可联系墙角)，而C项可利用线面平行的性质定理，再运用线面平行的判定与性质可得．本题需要我们熟练掌握各种位置关系的判定与性质．13．(2012·南昌二模)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．[答案]①③④[解析]①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l，m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P 也可能没有一条直线与l，m都相交；④是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l，m都异面，这无数条直线在过点P且与l，m都平行的平面上．[点评]第③个命题易判断错误．当点P与l确定的平面α∥m时，或点P与m确定的平面β∥l时，过点P与l、m都相交的直线不存在．14．(2012·佛山一模)过两平行平面α、β外的一点P作两条直线，分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若P A＝6，AC＝9，PB ＝8，则BD＝________.[答案]12[解析]由面面平行的性质定理可知AC∥BD，又由平行线分线段成比例定理可得P APB ＝ACBD，即68＝9BD，得BD＝12.15．(文)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.(1)求证：BB1⊥平面ABC；(2)求证：BC1∥平面CA1D；(3)求三棱锥B1－A1DC的体积．[解析](1)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ，∴BB 1⊥平面ABC .(2)连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点，又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1，又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D .(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ，故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高，在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，CD ＝2，又BB 1＝2，∴V B 1－A 1DC ＝V C －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CD＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43.(理)如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝12CD.(1)求证：BC⊥平面ABPE；(2)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．[解析](1)∵PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO，又BC⊥AB，AB∩PO＝O，AB⊂平面ABP，PO⊂平面ABP，∴BC⊥平面ABP，又EA∥PO，AO⊂平面ABP，∴EA⊂平面ABP，∴BC⊥平面ABPE.(2)点E即为所求的点，即点M与点E重合．取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，∵EA＝1，PO＝2，∴NO＝1，又EA与PO都与平面ABCD垂直，∴EF∥AB，∴F为PB的中点，∴NF＝12OB＝1，∴EF＝2，又CD＝2，EF∥AB∥CD，∴四边形DCFE为平行四边形，∴DE∥CF，∵CF⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面PBC.∴当M与E重合时，DM∥平面PBC.16.(2012·北京海淀区二模)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB、BB′、B′C′、C′D′的中点分别为E、F、G、H，如图所示．(1)求证：AD′∥平面EFG；(2)求证：A′C⊥平面EFG；(3)判断点A、D′、H、F是否共面，并说明理由．[解析](1)证明：连结BC′.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′. 所以四边形ABC′D′是平行四边形．所以AD′∥BC′.因为F、G分别是BB′、B′C′的中点，所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.因为EF、AD′是异面直线，所以AD′⊄平面EFG.因为FG⊂平面EFG，所以AD′∥平面EFG.(2)证明：连结B′C.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′⊂平面BCC′B′，所以A′B′⊥BC′.在正方体BCC′B′中，B′C⊥BC′，因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C′⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C′＝B′，所以BC′⊥平面A′B′C.因为A′C⊂平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG.同理可证：A′C⊥EF.因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG＝F，所以A′C⊥平面EFG.(3)点A、D′、H、F不共面．理由如下：假设A、D′、H、F共面．连结C′F、AF、HF.由(1)知，AD′∥BC′，因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′.所以AD′∥平面BCC′B′.因为C′∈D′H，所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F.因为AD′⊂平面AD′HF，所以AD′∥C′F.所以C′F∥BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．所以A，D′、H、F点不共面．1．设m、l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案] B[解析]两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.2.如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，P A ＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE:ED＝2:1.(1)证明：P A⊥平面ABCD；(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？如果存在，请求出此时PF FC的值；如果不存在，请说明理由．[解析](1)因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD ＝AC＝a.在△P AB中，由P A2＋AB2＝2a2＝PB2，知P A⊥AB.同理，P A⊥AD，所以P A⊥平面ABCD.(2)连结BD，则平面PBD与平面AEC的交线为EO，在△PBD中作BM∥OE交PD于M，则BM∥平面AEC，在△PCE中过M作MF ∥CE交PC于F，则MF∥平面AEC，故平面BFM∥平面AEC，所以BF∥平面AEC，F点即为所求的满足条件的点．由条件O为BD的中点可知，E为MD的中点．又由PE:ED＝2:1，∴M为PE的中点，又FM∥CE，故F是PC的中点，∴此时PF:FC＝1.3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，EF ∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.[证明](1)设AC∩BD＝G，在正方形ABCD中，AB＝2，∴AC ＝2，又∵EF＝1，AG＝1∥AG，2AC＝1，又∵EF∴四边形AGEF为平行四边形，∴AF∥EG，∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连结FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形，∴EG⊥CF.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又∵平面ACEF⊥平面ABCD且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又∵BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.。