江苏省南京市第二十九中学高一数学周练测试试题20

班级 学号 姓名1．△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状是 ．2．△ABC 中，已知a ＋b sin A ＋sin B＝2，c ＝3，则角C ＝ ． 3．△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝6，CA ＝5，则BC 边上中线长是 ．4．□ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝5，对角线AC ＝42，则另一条对角线BD ＝ ．5．△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝6，CA ＝5，则→AB ·→BC ＝ ．6．△ABC 中，若A ︰B ︰C ＝1︰2︰3，b ＝3，则a ＋c ＝ ．7．△ABC 中，b ＝2，B ＝π4，则c 的最大值是 ． 8．数列－9，99，－999，9999，… 的一个通项公式是 ．9．等差数列1，a ，5，b ，… 的第15项是 ．10．已知a n ＝⎩⎨⎧n ， n 是奇数，2n ，n 是偶数，则a 5＋a 6＝ ． 11．若数列{a n }满足：a 100＝1，a n ＋1＝a n ＋3，则a 1＝ ．12．已知a n ＝⎩⎨⎧n ， n 是奇数，an ＋b ，n 是偶数，若{a n }是等差数列，则a ，b 的值分别是 ． 13．等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝60，则2a 10－a 12＝ ．14．数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 2015＝ ．15．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．(1) 已知∠B ＝75°，∠C ＝45°，a ＝3，求c ；(2) 已知c ＝10，b ＝12，sin B ＝35，求∠C ．16．在△ABC 中，已知→AB ·→AC ＝3→BA ·→BC ．(1) 求证：tan B ＝3tan A ；(2) 若cos C ＝55，求A 的值．17．如图，在半径为R ，圆心角为60°的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，求矩形PNMQ 面积的最大值．18．设a 、b 、c 是正数，若b ＋c a ，c ＋a b ，a ＋b c 成等差数列，判断1a ，1b ，1c 是不是也成等差数列？证明你的结论．N M Q P B A O19．已知等差数列{a n }的公差小于0，a 5＋a 8＝4，a 6a 7＝3．（1）求{a n }的通项公式；（2）当n 取何值时，a 1＋a 2＋…＋a n 最大？求出这个最大值．20．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ，B ，C 成等差数列，a ＝3．（1）设角C 的平分线与AB 交于D ，若C ＝π2，求CD 的长； （2）若a ，b ，c 也成等差数列，求△ABC 的面积．1．等腰三角形或直角三角形，2. 60°或120°，3.22，4.6， 5.－10， 6.3，7．22，8.a n ＝(－1)n (10n －1), 9.29, 10.69, 11.－296, 12. 1, 0, 13.12, 13. －3 15.(1)6; (2)π616(1);(2)π4 17.36R2 18.是等差数列19（1）a n ＝15－2n ，（2）49 20.(1)92－362;(2) 934。

南京市29中2023级高一10月学情调研测试数学试卷2023．10一．单项选择题1．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,4B =，则()()U U C A C B =（ ）A ．{}0,5B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}0,1,2,52．“240x x ->”是“4x >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知2},{3|4A y y x x x ==-+∈R ，},{1|B y y x x ==-∈R ，则A B =（ ）A ．{|}10y y =-或B ．{|}01x x =或C ．()(){}0,1,1,0-D ．{1|}y y ≥-4．如图，I 为全集，M ，P ，S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()MP S B ．()M P S C ．()()I M P C SD ．()()I M P C S5．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的质量分别是a ，b ，c ，d ，已知a b c d +=+，a d b c +>+，a cb +<，则这个四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）A ．d b a c >>>B ．b c d a >>>C ．d b c a >>>D ．c a d b >>>6．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半事件以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m n ≠，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（ ） A ．甲先到B ．乙先到C ．甲乙同时到D ．不能确定7．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知集合{}8,23,81,153,254,370A =，{|}B x A x =∈是自恋数，则B 的真子集个数为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．638．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足6a =，8b c +=，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．B ．8C ．D ．二．多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．命题p ：0x R ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是x R ∀∈，2220x x ++≥B ．“x y >”是“x y >”的必要条件C ．命题“x Z ∀∈，20x >”是真命题D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件10．已知p ：1x >或2x <-，q ：x a <，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值可以是（ ） A ．3-B ．5-C ．2D ．111．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集是{|}24x x -≤≤，则（ ） A ．0b >B ．0c <C ．20a b +=D ．930a b c ++<12．下列说法正确的有（ ）A ．已知1x >，则4211y x x =+--的最小值为1 B ．21x y x+=的最小值为2C ．若正数x ，y 满足23x y xy +=2x y +的最小值为3D ．设x ，y 为正实数，若5224x y xy ++=，则2x y +的最小值是1 三．填空题13．已知集合{}{}2210|x mx x n -+==，则m n -=________．14．满足{}{}11,2,3A ⊆Þ的集合Ａ的个数为________．15．已知关于x 的不等式260x x a -+≤的解集中最多有1个整数，则实数a 的取值范围是________． 16．设集合(){}2220|A x x a x a =-++=，{}2540|B x x x =-+=，若集合AB 中所有元素之和为7，则实数a 的值可以为________．（写出两个符合条件的值，只写一个或有错误的均不得分）四．解答题17．已知集合{}220|A x x x =-++>，集合{}|312B x x =-> （1）求AB ，A B ；（2）设{|}3U x x =≤，求U C A ．18．已知集合{}|2A x m x m =<<，}4{5|B x x x =≤->或 （1）当3m =时，求R AC B ；（2）在①R A C B ⊆；②A B =∅；③R A C B A =这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若________，求实数m 的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 19．设命题p ：[]0,1x ∀∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得不等式210x x m --+≤成立．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．20．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400米，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(26)x ≤≤． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900(1)a x x+元()0a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围． 21．已知函数()()2)66(f x x a x a R =-++∈．（1）若[]1,4x ∀∈，()80f x a ++≥恒成立，求a 的取值范围；（2）已知()73g x mx m =+-，当1a =时，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．22．已知不等式223ax bx c ≤++≤的解集为{|}23x x ≤≤（1）若0a >，且不等式()230ax b x c +--≤有且仅有10个整数解，求a 的取值范围；（2）若a 为非零实数，解关于x 的不等式：()2150ax b x +-+<．数学答案2023．10一．单项选择题1．【答案】C 【解析】()(){}{}{}0,2,4,50,1,3,50,1,2,3,4,5U U C A C B ==2．【答案】B【解析】一元二次不等式240x x ->解得0x <或4x >，又“0x <或4x >”是“4x >”的必要不充分条件，即“240x x ->”是“4x >”的必要不充分条件． 3．【答案】D 4．【答案】C【解析】图中的阴影部分是，MP 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集即是I C S 的子集则阴影部分所表示的集合是()I M P C S ．5．【答案】A【解析】由a b c d +=+，a d b c +>+得22a c >，即a c >，因此b d <． 又a c b +<，即a b <， 综上所述，c a b d <<<． 6．【答案】A【解析】设从出发点到指定地点的路是S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为1t ，2t ， 依题意有1122t t m n S +=，222S t m n +=，化简得12S t m n =+，2()2S m n t mn+=， 即2122()()022()S S m n S m n t t m n mn mn m n +--=-=-<++， 12t t ∴<，故甲先到达指定地点．7．【答案】A【解析】188=，222313+=，228165+=，333153153++=，333254197++=，33370370++={}8,153,370B ∴=，即B 中元素有3个，故真子集个数为3217-=．8．【答案】A 【解析】由题意得1()72p a b c =++=，8c b =-，S ==4b =时，S 有最大值为二．多选题9．【答案】AD 10．【答案】AB【解析】由题意得2a ≤-，根据选项知AB 满足条件，故选AB ． 11．【答案】AC【解析】024208a b b a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⇒=->⎨⎪⎪-=⎪⎩，80c a =->故A 正确，B 错误；2220a b a a +=-=，9396850a b c a a a a ++=--=->，故C 正确，D 错误．12．【答案】ACD【解析】44212(1)1111y x x x x =+-=-++≥--，故A 正确； 当0x <时，2110x y x x x+==+<，故B 错误； 211211222332(2)(5)333y x x y xy x y x y x y x y x y ⎛⎫+=⇒+=⇒+=++=++≥ ⎪⎝⎭故C 正确； 252(2)242x y x y x y +⎛⎫-+=⋅≤ ⎪⎝⎭，令2t x y =+，则251(5)(1)0144t t t t t -≤⇒+-≥⇒≥，故D 正确． 三．填空题13．【答案】12-或0 【解析】由{}{}2|210x mx x n -+==得，方程2210mx x -+=只有一个解，当0m =时，12x =，即12n =，12m n ∴-=-； 当0m ≠时，440m ∆=-=，1m ∴=，此时1x =，即1n =，0m n ∴==，故0m n -=．综上所述，12-或0．14．【答案】3 15．【答案】(8,)+∞【解析】22606x x a a x x -+≤⇒≤-+，设()26f x x x =-+，()g x a =，根据()f x 图象分布得，()()244128a f f >==-+=．16．【答案】0，1【解析】集合()(){}20|A x x x a =--=，{}{}21,4|540B x x x =-+==，2147++=，∴当0a =时，{}0,2A =，{}1,4B =，{}0,1,2,4A B =，符合题意；当1a =时，{}1,2A =，{}1,4B =，{}1,2,4A B =，符合题意； 当2a =时，{}2A =，{}1,4B =，{}1,2,4A B =，符合题意； 当4a =时，{}2,4A =，{}1,4B =，{}1,2,4AB =，符合题意．四．解答题17．【解析】（1）{}12|A x x =-<<，1|13B x x x ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或，1|1123A B x x x ⎧⎫=-<<-<<⎨⎬⎩⎭或，A B R =（2）{123}U C A x x x =≤-≤≤或∣．18．【解析】（1）当3m =时，{}36|A x x =<<，{}54|B x x x =≤->或，所以}|54{C B x x =-<≤R ， 因此(){34}AC B x x =<≤R ∣； （2）若选①，当A =∅时，则2m m ≥，即当0m ≤时，A C B ⊆R 成立， 当A ≠∅时，则2m m <，即当0m >时，由A C B ⊆R 得\524m m ≥-⎧⎨≤⎩，解得52m -≤≤，此时02m <≤．综上所述，实数m 的取值范围为{|}2m m ≤；若选②，当A =∅时，则2m m ≥时，即当0m ≤时，AB =∅成立，当A ≠∅时，则2m m <时，即当0m >时，由A B =∅得524m m ≥-⎧⎨≤⎩，解得52m -≤≤，此时02m <≤．综上所述，实数m 的取值范围为{|}2m m ≤； 若选③，由()AC B A =R 可得()A C B ⊆R ，当A =∅时，则2m m ≥时，即当0m ≤时，A C B ⊆R 成立， 当A ≠∅时，则2m m <时，即当0m >时，由A C B ⊆R 得524m m ≥-⎧⎨≤⎩，解得52m -≤≤，此时02m <≤．综上所述，实数m 的取值范围为{|}2m m ≤．19．【解析】（1）命题p ：对任意[]0,1x ∈，22x -的最小值为2﹣，223m m ∴≥﹣﹣，即2320m m -+≤，解得12m ≤≤，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在,1[]1x ∈-，只需21x x m --+的最小值小于等于0，2215124x x m x m ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，最小值为54m -，则由504m -≤，得54m ≤，即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 命题p ，q 一真一假，若p 为假命题，q 为真命题，则2154m m m ><⎧⎪⎨≤⎪⎩或，解得1m <； 若q 为假命题，p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，解得524m <≤， 综上所述，1m <或524m <≤． 20．【解析】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(26)x ≤≤，底面积为12平方米， 所以屋子的前面墙的长度均为12x，米(26)x ≤≤， 设甲工程队报价为y 元， 所以12163400215037200900()7200(26)y x x x x x=⨯⨯+⨯⨯+=++≤≤900720014400≥⨯=， 当且仅当16x x=，即4x =时等号成立， 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为14400元． （2）根据题意可知16900(1)9007200a x x x x +⎛⎫++>⎪⎝⎭对任意的[]2,6x ∈恒成立，即2(4)(1)x a x x x ++>对任意的[]2,6x ∈恒成立，所以2(4)1x a x+<+对任意的[]2,6x ∈恒成立，因为0a >，22(4)(1)6(1)99(1)6612111x x x x x x x +++++==+++≥=+++， 当且仅当911x x +=+，即2x =时等号成立，所以012a <<， 故当()0,12a ∈时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．21．【解析】（1）对任意[]1,4x ∈，()80f x a ++≥恒成立，即对任意[]1,4x ∈，()21614a x x x -≤-+恒成立，当1x =时，09≤恒成立，当(]1,4x ∈时，22614(1)6(1)14941x x t t a t x t t-++-++≤==+--，令(]10,3t x =-∈ 当且仅当3t =，即4x =时等号成立，所以2a ≤， 综上所述，实数a 的取值范围是(2],-∞．（2）当1a =时，()276f x x x =-+，因为[]1,4x ∈，所以()f x 的值域是25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 对任意[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使()()12f x g x =成立，即()f x 值域是()g x 值域的子集，当0m >时，()g x 的值域为[]27,7m m -++，故25,0[27,7]4m m ⎡⎤-⊆-++⎢⎥⎣⎦，则2527534870m m m ⎧-+≤-⎪⇒≥⎨⎪+≥⎩当0m <时，()g x 的值域为[]7,27m m ++﹣，故25,0[7,27]4m m ⎡⎤-⊆+-+⎢⎥⎣⎦， 则2575344270m m m ⎧+≤-⎪⇒≤-⎨⎪-+≥⎩当0m =时，()g x 的值域为{}7，不符合题意． 综上所述，实数m 的取值范围5353,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 22．【解析】（1）因为0a >，不等式223ax bx c ≤++≤的解集为{|}23x x ≤≤， 故23ax bx c ++≤的解集为{|}23x x ≤≤且22ax bx c ++≥的解集为R ，所以23ax bx c ++=的根为2x =，3x =，故23323b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，化简得5b a =-，63c a =+，又225632ax bx c ax ax a ++=-++≥的解集为R ，即25610ax ax a -++≥恒成立， 所以()2254610a a a -+≤，解得04a <≤，不等式()230ax b x c +--≤等价于()()253630ax a x a -+-+≤，即()()1630x ax a +--≤，所以316x a -≤≤+，由题意得3869a ≤+<，解得312a <≤， 综上所述，a 的取值范围为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．（2）若0a >，当105a <<时，不等式解集为15,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当15a =时，不等式解集为∅， 当145a ≥>时，不等式解集为1,5a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若0a <，原不等式等价于22ax bx c ++≥的解集为{|}23x x ≤≤．且23ax bx c ++≤的解集为R ， 则23b a +=-，223c a-⨯=，所以5b a =-，26c a =+， 不等式225623ax bx c ax ax a ++=-++≤恒成立，故()2254610a a a --≤，解得40a -≤<，不等式20()(()115)5ax b x ax x +-+=--<，解得1x a<或5x >， 综上所述，当40a -≤<时，解集为1|5x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； 当105a <<时，不等式解集为1|5x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当15a =时，不等式的解集为∅； 当145a <≤时，不等式的解集为1|5x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。

南京市第二十九中学2020－2021学年下高一6月学情检测数 学一､单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置． 1． 已知i 为虚数单位，复数z 满足z ＝3＋4i 2＋i，则|z －|＝()A ．293B ．553C ．295D ．5 2． 某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗 的高度，并绘制了频率分布直方图(如图)，那么 根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于 100cm 的树苗棵数是( )． A ．360 B ．600C ．840D ．13203． 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A ．若m //α，n //α，则m //nB ．若m ⊥α，n α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //αD ．若m //α，m ⊥n ，则n ⊥α4．已知在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD →·BC →的值为( )A ．－113B ．－13C ．23D ．435．如图，棱锥D′－A ′CD 体积与长方体ABCD －A′B′C′D′体积的比值为()A ．13B ．14C ．16D ．1126．若λsin160°＋tan20°＝3，则实数λ的值为()A ．3B ．32C ．2D ．47. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A ． 5 －14B ． 5 －12C ． 5 ＋14D ． 5 ＋128．已知菱形ABCD 边长为2，∠ABC ＝60º，沿对角线AC 折叠成三棱锥B’-ACD ，使得二面角 B'-AC -D 为60°，设E 为B’C 的中点，F 为三棱锥B'-ACD 表面上的动点，且总满足AC ⊥EF ，则点F 轨迹的长度为()A ．2 3B ．3 3C ．3D ．332二､多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置． 9．下列命题中，真命题有 ()A ．如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合B ．两条直线可以确定一个平面C ．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内D ．若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l10．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠B ＋∠D ＝180°，AB ＝2，BC ＝42，CD ＝4，AD ＝25，下列四个结论中正确的是() A ．∠B ＝∠D ＝90° B ．四边形ABCD 的面积为4 2＋5 C ．AC ＝6 D ．四边形ABCD 的周长为6＋4 2＋25 11．z ＝1＋cos2θ＋i sin2θ(－π2＜θ＜π2)(其中i 为虚数单位)下列说法正确的是()A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．|z|＝2cos θD ．1z 的实部为1212．如图所示，在正△ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，其中AB ＝8，将△ADE 沿DE翻折至A'DE 位置，使得二面角A'－DE －B 为60°，则下列选项中正确的是()A ．点A' 到平面BCED 的距离为3B ．直线A'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58C ．A'D ⊥B D D .四棱锥A'-BCE D 的外接球半径为2373三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第一空3分，第二空2分．请把答案填写在答题卡相应位置．13．一圆锥侧面展开图为半径为8的半圆，则此圆锥的体积为______．14．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的表格:产品类别 A B C 产品数量(件) 1300 样本数量(件)130由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记的A 产品的样本数 量比C 产品的样本数量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________． 15．在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC →·AP →＝___________．16．蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑圆，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义；鞠最早系外包皮革､内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以交蹴､蹋､踢皮球的活动，类似于今日的 足球．早在2006年5月，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物 质文化遗产名录．现已知某蹴鞠的表面上有四个点S ､A ､B ､C ，满足S －ABC 是正三棱锥， M 是SB 的中点，CM ⊥SA ，侧棱长为2，则该蹴鞠的体积为__________；蹴鞠球心到平面 ABC 的距离为____________．四､解答题:本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2cos 2x2＋3sin x ．(1)求函数f (x )在区间[0，π]上的单调增区间；(2)当f (α)＝115，且α∈(－2π3,π6) ，求sin (2α＋π3)的值． 18．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．(1)求证BD ⊥A 1P ；(2)若AC 1//平面PBD ，求PC1PC 的值．19. (本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上.(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点.设EF →＝λAB →＋μAD →，求λ+μ的值； (2)若AB =3，BC =2,求AF →·EF →的取值范围. 20．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠ADC ＝π2， BC ＝2．(1)若△ABC 面积为332，求AC ；(2)若AD ＝23，∠ACB ＝∠ACD ＋π3 ， 求tan ∠AC D ．21．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，D 是BC 的中点． (1) 求直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2) 求点C 1到平面AB 1D 的距离． 22．(本小题满分12分)ACA 1C 1B 1DD A CBABCDD 1A 1B 1C 1P （第18题图）如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ＝2，BC ＝DC ＝1，AB ∥CD ，顶点D 1在底面ABCD 上的射影恰为点C ．(1)求证:平面AD 1C ⊥平面BCC 1B 1；(2)若直线AD 1与底面ABCD 成30°角，求二面角C -AD 1-D 的余弦值．南京市第二十九中学2020－2021一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．B 4．D 5．C 6．D 7．C 8．D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. AD 10．ACD 11．BCD 12．ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．643π3 14．800 15．－72 16．43π ，33四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)(1)f (x )=cosx +1+3sinx =2sin (x +π6)+1 ……………………………………………1分令-π2+2k π≤x +π6≤π2+2k π, k ∈Z 得-2π3+2k π≤x ≤π3+2k π, k ∈Z ……………………………………………3分令k =0, 则-2π3≤x ≤π3, ……………………………………………4分∴函数f (x )在区间[0，π]上的单调增区间为[0，π3] ………………………………5分B 1A(2)由f (α)＝115，得2 sin (α+π6)+1=115，∴sin (α+π6)=35………………………………………………………………7分又∵α∈(－2π3,π6) ，∴-π2＜α+π6＜π3∴cos (α+π6)=1－sin 2(α＋π6)＝1－(35)2＝45………………………………………9分∴sin(2α＋π3)＝sin[2(α＋π6)]＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2·35·45＝2425． ………………10分18．(本小题满分12分) (1)连接A 1C 1．因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，所以侧棱C 1C ⊥平面ABCD ．又BD 平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ． ……………………………………………2分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ．又AC ∩CC 1＝C ，AC 面ACC 1A 1，CC 1 面ACC 1A 1，所以BD ⊥面ACC 1A 1．…………………………………………………4分又因为A 1P 面ACC 1A 1，所以BD ⊥A 1P ．…………………………………………6分 (2)连接AC 交BD 于点O ，连接OP ． 因为AC 1//平面PBD ，AC 1 平面ACC 1，平面ACC 1∩平面BDP ＝OP ，所以AC 1//OP ． ………………………9分因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO ＝OC ， OABC DD 1A 1B 1C 1P（第18题图）所以在△ACC 1中，PC 1PC ＝AOOC ＝1．…………12分19．(本小题满分12分) (1)∵EF →＝CF →－CE →＝－13AB →＋12AD →，……………………………………………2分又EF →＝λAB →＋μAD →，且AB →，AD →不共线，∴λ=－13，μ＝12 ，……………………………………………………………4分∴λ＋μ=－13+12= 16 . …………………………………………………………5分(不交代AB →，AD →不共线扣1分)(2)以A 为原点，以AB 、AD 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵AB =3，BC =2,∴B( 3 , 0) , D(0 , 2) , C ( 3 , 2) , E( 3 , 1) ; 设F(x , 2) , x ∈[0,3]，则AF →＝(x ，2)，EF →＝(x －3，1) ，∴AF →·EF →＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2＋54 ， x ∈[0,3] ；……………………………9分当x =32时，AF →·EF →的最小值为54； 当x =0或3时，AF →·EF →的最大值为2；∴AF →·EF →的取值范围为[54 , 2] . ……………………………………………………12分20．(本小题满分12分)(1)在△ABC 中，∠ABC ＝π3 , BC ＝2 ,∴S ΔABC ＝12AB ·BC ·sin ∠BAC ＝332，∴AB=3；…………………………………………………………………………2分 在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴AC=7 . …………………………………………………………………………5分 (至少出现一次“在△ABC ”中，否则扣1分)(使用余弦定理时，必须先默公式，再代数值，最后得结果，否则扣1分) (2)设∠ACD=α , 则∠ACB=α+π3 ;在Rt △ACD 中，AD=23,∴AC ＝AD sin α＝23sin α，……………………………………7分在△ABC 中，∠BAC =π－∠ACB －ABC =π3－α ,由正弦定理得，BC sin∠BAC ＝ACsin ∠ABC∴2sin(π3－α)＝2332sinα ; ………………………………………………………9分∴2sin α=3cos α ,∴tanα=32∴tan ∠ACD =32…………………………………………………………………12分 21．(本小题满分12分)(1)法一：连接A 1C, 交AC 1于点E ，连接DE.A在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，∴E 是A 1C 的中点……………………………………2分在△A 1BC 中，D 、E 分别是BC 、A 1C 的中点， ∴DE ∥A 1B …………………………………………………4分 ∴∠EDC 1（或其补角）即为直线A 1B 和C 1D 所成的角 在△EDC 1中， ED=2, DC 1= 5 , C 1E= 2 , 由余弦定理，cos ∠EDC 1＝2＋5－22·2·5＝104∴直线A 1B 和C 1D 所成的角的余弦值为104.………………………………6分 法二：取B 1C 1的中点F ，连接BF 、A 1F在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ∥= B 1C 1∵D 、F 分别是BC 、 B 1C 1的中点，∴BD ∥ =F C 1……………………………………………………2分 ∴四边形BDC 1F 为平行四边形∴BF ∥DC 1……………………………………………………4分 ∴∠FBA 1（或其补角）即为直线A 1B 和C 1D 所成的角 在△FBA 1中，BA 1=22， BF=5,A 1F=3,由余弦定理，cos ∠FBA 1=8＋5－32·22·5＝104 .∴直线A 1B 和C 1D 所成的角的余弦值为104.………………………………6分 法三：将正三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成如图所示的直平行六面体ABGC- A 1B 1G 1C 1 连接C 1G 、DGC A 1AC1A则A 1B ∥C 1G …………………………………4分∴∠DC 1G （或其补角）即为直线A 1B 和C 1D 所成的角 在△DC 1G 中，DC 1=5,C 1G=22，DG=3,由余弦定理，cos ∠DC 1G=8＋5－32·22·5＝104 .∴直线A 1B 和C 1D 所成的角的余弦值为104.………………6分 （未指出“………即为直线A 1B 和DC 1所成的角”扣1分） (2) 法一：过C 1作C 1H∠B 1D, 垂足为H 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， C 1C∠平面ABC ，AD ⊂平面ABC, ∴C 1C∠ AD在△ABC 中，AB=AC, BD=CD,∴AD∠ BC 且BC ∩C 1C= C BC 、C 1C ⊂平面BCC 1B 1∴AD∠平面BCC 1B 1………………………………………………8分 又C 1H ⊂平面BCC 1B 1 ∴AD∠C 1H 且C 1H∠B 1D , B 1D ∩AD= D B 1D 、AD ⊂平面AB 1D∴C 1H∠平面AB 1D ………………………………………………………10分G 1AAC A 1A∴线段C 1H 的长即为点C 1到平面AB 1D 的距离在△C 1B 1D 中，C 1B 1=2, C 1D=B 1D=5,则由余弦定理，cos ∠B 1C 1D=4＋5－52·2·5＝55 ∴sin ∠B 1C 1D=255∴C 1H=C 1B 1·C 1D ·sin∠B 1C 1D B 1D ＝2·5·2555＝455 ∴点C 1到平面AB 1D 的距离为455………………………………………12分 法二：在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C∠平面ABC ，AD ⊂平面ABC,∴C 1C∠ AD在△ABC 中，AB=AC, BD=CD,∴AD∠ BC且BC ∩C 1C= CBC 、C 1C ⊂平面BCC 1B 1∴AD∠平面BCC 1B 1…………………………………………………………8分 设点C 1到平面AB 1D 的距离为h ，则由V C 1－AB 1D ＝V A －B 1C 1D 得13S ΔAB 1D ·h ＝13S ΔB 1C 1D ·AD …………………………………………………10分 在△AB 1D 中，AB 1=22，B 1D=5，AD=3,则由余弦定理，cos ∠AB 1D=8＋5－32·22·5＝104∴sin ∠AB 1D=64∴S ΔAB 1D =1242⋅= 又13S ΔB 1C 1D =12222⋅⋅= ∴13·152·h ＝13·2·3 ∴h ＝455∴点C 1到平面AB 1D 的距离为455………………………………………12分 （不管是定义法还是等积法，均需先证线面垂直，否则扣2分）（等积法若计算过程过于简洁，则酌情扣分）22．(本小题满分12分)(1)在等腰梯形ABCD 中，AB =2, BC ＝DC ＝1,则AC = 3 ,∴AC ²+BC ²=AB ²∴AC ⊥BC ………………………………………………………………………1分 又D 1在底面ABCD 上的射影恰为点C ，∴D 1C ⊥平面ABCD且BC ⊂平面ABCD∴D 1C ⊥BC ………………………………………………………………………2分 且AC ⊥BCAC ∩D 1C =CAC 、D 1C ⊂平面AD 1C∴BC ⊥平面AD 1C且BC ⊂平面BCC 1B 1∴平面AD 1C ⊥平面BCC 1B 1……………………………………………………4分(2)过点D 作DE ⊥AC, 垂足为E ， 过点E 作EF ⊥AD 1, 垂足为F ， 连接DF∵D 1C ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴D 1C ⊥DE又DE ⊥AC ，AC ∩D 1C = CAC 、D 1C ⊂平面CAD 1∴DE ⊥平面CAD 1…………………………………6分 又AD 1⊂平面CAD 1∴DE ⊥AD 1且EF ⊥AD 1,DE ∩EF=EDE 、EF ⊂平面DE F∴AD 1⊥平面DE F ……………………………………………………………8分 又DF ⊂平面DE F∴AD 1⊥DF且AD 1⊥EF∴∠DFE 即为二面角C -AD 1-D 的平面角……………………………………9分 在△ADC 中，AD=DC=1, AC=3, DE ⊥AC,∴DE=12; ∵直线AD 1与底面ABCD 成30°角， ∴∠D 1AC =30°在Rt △EF A 中，AE =32, ∴EF=34. 在Rt △DEF 中，DE=12，EF=34， ∴DF=74∴cos ∠DFE ＝EF DF ＝3474＝217 ∴二面角C -AD 1-D 的余弦值为217.……………………………………………………12分 (未证明两组线面垂直的，少一组扣2分； 未指出二面角的平面角，扣1分； 计算过程过于简洁，酌情扣分）。

江苏省南京市第二十九中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题一、单选题(★) 1. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知向量，，且，则（）A．3B．4C．5D．6(★★★) 3. 在△ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则△ 的形状一定是A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形(★★★) 4. 如图，在中，，，，分别为边和上的点且，，则的值为（）A．B．C．D．6(★★★) 5. 在中，是的中点， H为 AD的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 6. 已知的边长为2的等边三角形，，分别是，上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．在方向上的投向量的模为三、单选题(★) 7. 定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的，，令.下面说法错误的是A．若共线，则B．C．对任意的D．四、填空题(★★★) 8. 如图，菱形的边长为2，，为的中，若点为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为 ________ .五、解答题(★★) 9. 已知向量在同一平面上，且.（1）若，且，求向量的坐标﹔（2）若，且与垂直，求的值.(★★★) 10. 在△ ABC中，,点 D在线段 AC上，且,（1）求；（2）求 BC和 AC的长(★★★) 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足. （1）求的值；（2）已知，. ，，若最小值记为，求表达式，并求的最大值.(★★★) 12. 如图，一楼房高为米，某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌，为拉杆，广告牌的倾角为，安装过程中，一身高为米的监理人员站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设米，该监理人员观察广告牌的视角.（1）试将表示为的函数；（2）求点的位置，使取得最大值.。

2022~2023学年南京市第二十九中学高一下3月月考一．选择题（共8小题）1．已知cos α+3sin α＝0，则tan2α＝（）A ．34B ．34-C ．35-D ．38-2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．“a cos A ＝b cos B ”是“△ABC 是以C 为直角的直角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设M 为△ABC 内一点，且1145AM AB AC =+，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（）A ．15B ．14C ．49D ．594．已知a ＝（1+tan21°）（1+tan22°），b ＝（1+tan23°）（1+tan24°），则（）A ．a ＝b ＝2B ．ab ＝4C ．a 2+b 2＝9D ．a 2＝b 2﹣25．已知a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，||be b =，则下列结论正确的是（）A ．当θ为锐角时，a 在b 方向上的投影向量为(||cos )a e θ；θ为钝角时，a 在b 方向上的投影向量为(||cos )a eθ- B ．当θ为锐角时，a 在b 方向上的投影向量为(||cos )a b θ；θ为钝角时，a 在b 方向上的投影向量为(||cos )a bθ-C ．若存在实数λ，使b a λ=，则||||a b a b ⋅= D ．若||||a b a b ⋅= ，则一定存在唯一的实数λ，使b aλ=6．已知单位向量a ，b 满足14a b ⋅=- ，若向量2c a b =+，则cos ＜a ，c ＞＝（）A ．13B ．3C ．14D ．37．已知函数()sin()(0,||2f x x πωω=+Φ>Φ≤的图象关于点(,0)6M π-及直线1:3x π=对称，且f （x ）在(,)2ππ不存在最值，则φ的值为（）A ．3π-B ．6π-C ．6πD ．3π8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为P 为边BD上一动点，则AP CF ⋅的取值范围为（）A ．[﹣6，0]B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[﹣7，0]二．多选题（共4小题）（多选）9．下列等式成立的是（）A ．21(sin15cos15)2︒︒-=B ．222sin 22.5cos 22.52︒︒-=C ．1cos 24cos36cos66cos542︒︒︒︒=-D ．3sin 40(tan103)2︒︒=-（多选）10．下列说法正确的是（）A ．向量AB 与CD共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件B ．若a b ∥，则存在唯一实数λ使得b aλ=C ．已知(1,3),(1,1)a b == ，则a 与a b λ+ 的夹角为锐角的充要条件是5(,0)(0,)2λ∈-⋃+∞D ．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若||||AB ACAD AB AC λ+=，则BD 是BA 在BC 上的投影向量（多选）11．已知函数f （x ）＝cos2x ﹣2sin x +1，则下列结论中正确的是（）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f （x ）的最小值为﹣2C ．函数f （x ）的图像关于直线2x π=对称D ．函数f （x ）在(0,2π上单调递减（多选）12．如图，已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，AD mAB =，AE nAC =，m ＞0，n ＞0，记△ADE ，△ABC ，四边形BDEC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则（）A ．113m n+=B ．12S mn S =C ．1345S S >D ．1345S S ≤三．填空题（共4小题）13．如图，正八边形ABCDEFGH ，其外接圆O 半径为1．则OA AB ⋅＝．14．若cos 210a =-，sin()5a β-=，且(,)42a ππ∈，(,)2πβπ∈--，则α+β＝．15．已知函数f （x ）＝2m ﹣cos2x x 在区间[0，2π]上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，a ＝2，⊙O 为△ABC 的外接圆，OP mOB nOC =+ ．（1）若m ＝n ＝1，则||OP＝；（2）若m ，n ∈[0，1]，则点P 的轨迹所对应图形的面积为．四．解答题（共6小题）17．已知单位向量1e ，2e 的夹角为23π，向量12a e xe =-，向量1232b e e =+ ．（1）若a b∥，求x 的值；（2）若a b ⊥，求a．18．已知向量(2cos ,1)m x =- ，2,2cos )n x x = ，x ∈R ，设函数()1f x m n =⋅+ ．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若a ∈[3π，712π]，且8()5f a =，求cos2a 的值．19．如图，M ，N 分别是△ABC 的边BC ，AB 上的点，且14BM BC =，12AN AB =，AM 交CN 于P ．（1）若AM xAB y AC =+，求x ﹣y 的值；（2）若AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝60°，求AP BC ⋅的值．20．在△ABC 中，AB =AC ＝2，56BAC π∠=，O 是△ABC 的外接圆圆心，若AO AB AC λμ=+ ．（1）求AO AB ⋅及||AO ；（2）求λ，μ．21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段AB 上，且满足CH ⊥AB ．已知∠ACB ＝90°，AB ＝1dm ，设∠ABC ＝θ．（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC ＝∠PCB ，且CA +CP 达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA ＝60°，且CH +CP 达到最大．当θ为何值时，CH +CP 取得最大值，并求该最大值．22．对于函数f （x ），若存在定义域中的实数a ，b 满足b ＞a ＞0且()()2(02a bf a f b f +==≠，则称函数f （x ）为“M 类”函数．（1）试判断f （x ）＝sin x ，x ∈R 是否是“M 类”函数，并说明理由；（2）若函数f （x ）＝|log 2x ﹣1|，x ∈（0，n ），n ∈N *为“M 类”函数，求n 的最小值．2022~2023学年南京市第二十九中学高一下3月月考参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵cos α+3sin α＝0，∴cos α＝﹣3sin α，即tan α＝13-，则tan2α＝22tan 1tan a a -＝34-，故选：B ．2．【解答】解：根据正弦弦定理，由a cos A ＝b cos B ，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，又A ，B ∈（0，π），所以2A ＝2B ，或2A +2B ＝π，所以A ＝B 或A +B ＝2π，所以△ABC 是以C 为直角的直角三角形或△ABC 是以A 、B 为底角的等腰三角形，所以“a cos B ＝b cos A ”是“△ABC 是以C 为直角的直角三角形”的必要不充分条件．故选：B ．3．【解答】解：如图所示，∵点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足1145AM AB AC =+ ，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，15AE AC =，则EF ∥AB ，15ABM ABC S AE S AC ∆∆==．故选：A．4．【解答】解：因为tan 21tan 241tan 451tan 21tan 24︒︒︒︒︒+==-，故tan21°+tan24°＝1﹣tan21°tan24°，故2＝（1+tan21°）（1+tan24°），同理2＝（1+tan22°）（1+tan23°），故ab ＝4，故B 成立；而tan15°＜tan21°＜tan23°＜1，0＜tan22°＜tan24°＜1，故a ＜b ，故A 错误；而tan 45tan 30tan1521tan 45tan 30︒︒︒︒︒-==-+，故2(3a >，因2(3,4a b ab <<=，故2(32a -<<，所以236(74a -<<，又若a 2+b 2＝9，则22169a a +=，解得292a =，因为36(736(74 1.733) 2.448->-⨯=，99 4.1232.438522--<=，故22169a a +=无解，故C 错误；若a 2＝b 2﹣2，则22162aa=-，则21a =-，这与22.44836(74a <-<<矛盾，故D 错误．故选：B ．5．【解答】解：由投影向量定义可知：a 在b 方向上的投影向量为||cos ||b a b θ⋅＝||cos a e θ⋅ ，∴选项A ，B 均错；对C 若λ＜0时，a 与b 反向共线，||||a b a b ⋅=-⋅，∴选项C 错；对D 若||||a b a b ⋅=⋅ ，则a 与b 同向共线，∴一定存在唯一的正实数λ，b a λ=，∴D 正确．故选：D ．6．【解答】解：由已知有21(2)22a c a ab a a b ⋅=⋅+=+⋅= ，又c ＝22，则cos ,a c <> ＝1||||4a c a c ⋅= ，故选：C ．7．【解答】解：函数()sin()(0,||)2f x x πωω=+Φ>Φ≤的图象关于点(,0)6M π-及直线1:3x π=对称，∴sin （﹣6πω+φ）＝0，sin （3πω+φ）＝±1．∴﹣6πω+φ＝k 1π，3πω+φ＝k 2π+2π．k 1，k 2∈Z ．∴ω＝2（k 2﹣k 1）+1．∵f （x ）在(,)2ππ不存在最值，∴T ＝2πω＞2（π﹣2π），可得：0＜ω＜2．∴ω＝1．则φ＝6π+k 1π，|φ|≤2π．∴φ＝6π．故选：C ．8．【解答】解：由题意可知，△BCD 为等边三角形，则有∠DBC ＝60°，∠ABD ＝30°，在Rt △ABD 中，tan 302,243AD BD AB AD ︒=⨯====；如图以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则有(0,4),A C ，由于∠DBC ＝60°，故可设P 点坐标为()x ，且0x ≤≤，所以(4),()AP x CP x =-=-，所以2227(44(44AP CP x x x x ⋅=-+-=-=-- ，因为0x ≤≤，当4x =时，2274(44x --取得最小值274-，当x ＝0时，2274(44x --取得最大值为0，所以2704AP CP -≤⋅≤，故选：C ．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：∵（sin15°﹣cos15°）2＝sin 215°+cos 215°﹣2sin15°cos15°＝1﹣sin30°＝11122-=，故A 正确；∵sin 222.5°﹣cos 222.5°＝﹣cos45°＝﹣2，故B 错误；∵cos24°cos36°﹣cos66°cos54°＝cos24°cos36°﹣sin24°sin36°＝cos （24°+36°）＝cos60°12=，故C 正确；sin40°（tan10︒）＝sin 40(sin10)cos10︒︒︒︒⋅＝sin 402(sin10cos 60cos10sin 60)cos10︒︒︒︒︒︒⋅-＝sin 40(2sin 50)cos10︒︒︒⋅-＝2sin 40cos 40cos10︒︒︒-＝﹣sin 80cos10︒︒＝﹣1，故D 错误，故选：AC ．10．【解答】解：因为A ，B ，C ，D 四点共线时向量AB 与CD 一定共线，但向量AB 与CD共线时A ，B ，C ，D 四点不一定共线，所以A 对；对于B 中说法缺少条件“0a ≠ ”，所以B 错；因为(1,3),(1,1)a b == ，所以a b λ+＝（1+λ，3+λ），所以()a a b λ⋅+ ＝1+λ+3（3+λ）＝4λ+10，又因为a 与a b λ+ 的夹角为锐角，所以4λ+10＞0且1×（3+λ）﹣3（1+λ）≠0，解得：52λ>-且λ≠0，所以C 对；根据题意可知AD 平分∠BAC 且AD 是BC 边上的中线，所以AD ⊥BC ，所以BD 是BA 在BC上的投影向量，所以D 对．故选：ACD ．11．【解答】解：函数f （x ）＝cos2x ﹣2sin x +1＝1﹣2sin 2x ﹣2sin x +1＝﹣2sin 2x ﹣2sin x +2＝2152(sin )22x -++；对于A ：由于函数不满足f （x +π）＝f （x ），故函数的最小正周期不为π，故A 错误；对于B ：当sin x ＝1时，函数取得最小值为﹣2，故B 正确；对于C ：由于x ＝2π时，函数取得最小值，且满足f （π﹣x ）＝f （x ），故函数的图象关于直线2x π=对称，故C 正确；对于D ：由于整体上函数的对称轴为12x =-，且为开口方向向下的抛物线，函数y ＝sin x 在（0，2π）上单调递增，故函数f （x ）在(0,2π上单调递减，故D 正确；故选：BCD ．12．【解答】解：由D 、G 、E 三点共线，则AG＝(1)AD AE λλ+- ，又AD mAB = ，AE nAC =，m ＞0，n ＞0，则(1)AG mAB nAC λλ=+- ，又1()3AG AB AC =+ ，则13m λ=，11(1)33n n λ-==，则113m n+=，即选项A 正确；S 1＝1||||sin 2AD AE A ∠ ＝1||||sin 2mn AB AC A ∠ ，S 2＝1||||sin 2AB AC A ∠，则12S mn S =，即选项B 正确；32121111S S S S S S S -==-＝11mm -≤2115()124m n +-=，当且仅当11m n =，即23m n ==时取等号，则1345S S >，即选项C 正确，选项D 错误，故选：ABC ．三．填空题（共4小题）13．【解答】解：建立平面直角坐标系如图：可得OA ＝（1，0），AB＝（12-，2），则OA AB ⋅＝12-．故答案为：12-．14．【解答】解：∵cos 210a =-，且(,)42a ππ∈，(,2πβπ∈--，∴sin2α＝10．由α﹣β∈（34π，32π），sin()5a β-=，可得α﹣β∈（34π，π），∴cos （α﹣β＝﹣5．∵α+β∈（﹣34π，0），∴cos （α+β）＝cos[2α﹣（α﹣β）]＝cos2αcos （α﹣β）+sin2αsin （α﹣β）＝﹣10•（﹣5）+10•5＝2，∴α+β＝﹣4π，故答案为：﹣4π．15．【解答】解：函数f （x ）＝2m ﹣cos2xx 在区间[0，2π]上有两个不同的零点，即方程2m ﹣cos2xx ＝0在区间[0，2π]上有两个不同的根，2m ＝2sin(2)6x π--在区间[0，2π]上有两个不同的根，即函数y ＝m 与y ＝﹣sin （2x ﹣6π）在区间[0，2π]上有两个不同的交点．作出函数y ＝﹣sin （2x ﹣6π）的图象如图：由图可知，实数m 的取值范围是[﹣1，12-]．故答案为：[﹣1，12-]．16．【解答】解：∵,26A a π==，圆O 为△ABC 的外接圆，∴2242,260,1sin 2a R R BOC A OB OC A ︒===⇒=∠=∠===，（1）若m ＝n ＝1，则OP OB OC =+，2222()212||OP OB OC OB OC OB OC OP =+=++⋅=⇒= ，（2）若m ，n ∈[0，1]，则点P 的轨迹：当m ＝0，n ∈[0，1]时，OP nOC = ，此时点P 在线段OC 上；当n ＝0，m ∈[0，1]时，OP mOB =，此时点P 在线段OB 上；当m ＝1，n ∈[0，1]时，OP OB nOC =+，构造平行四边形OBDC ，此时点P 在线段BD 上（如图1）；当n ＝1，m ∈[0，1]时，OP mOB OC =+，构造平行四边形OBDC ，此时，点P 在线段CD 上；当m ，n ∈（0，1）时，OP mOB nOC =+，此时，点P 在图形OBDC 内部，（如图3）；综上，P 点的轨迹为菱形OBDC 组成的图形区域，则12222sin 602OBC OBCD S S ︒∆==⨯⨯⨯⨯=菱形故答案为：；．四．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）根据题意，若a b ∥，设a kb = ，则有1212(32)e xe k e e -=+ ，即121232e xe ke ke -=+，故132k x k =⎧⎨-=⎩，解可得23x =-，（2）根据题意，若a b ⊥，则12121()(32)32a b e xe e e ⋅=-⋅+=- （2﹣3x ）﹣2x ＝0，解可得x ＝4，则2212|(4)a e e =- ＝1+16+4＝21，故|a =18．【解答】解：（1）()1f x m n =⋅+ ＝x cos x ﹣2cos 2x +1x ﹣cos2x ＝2sin(2)6x π-，∴函数f （x ）的最小正周期为T ＝22π＝π．（2）∵f （a ）＝2sin 8(2)65a π-=，∴sin 4(265a π-=，∵7,312a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,62a πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴3cos(2)65a π-=-，∴cos2a ＝cos(2)66a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦＝cos (2)cos 66a ππ-﹣sin 341(2665252a ππ-=-⨯-⨯＝410--．19．【解答】解：（1）因为1131()4444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ；∴x ＝，y ＝⇒x ﹣y ＝；（2）过点N 作ND ∥BC 交AP 于D ；则AD ＝DM ；DN ＝11112236BM MC MC =⨯=；∴16DP PM =；∴47AP AM =；∴4431()()7744AP BC AM BC AB AC AC AB ⋅=⋅=⨯+⋅-2211(3)()(23)77AB AC AC AB AC AB AC AB =+⋅-=+⋅- ；∵AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝60°，∴17AP BC ⋅= （32+2×3×4×cos60°﹣3×42）＝277-．20．【解答】解：建立如右图的平面直角左边系，则A （0，0），∵AB ，∴B ，0），又AC ＝2，56BAC π∠=，∴C ，1）∴CA 中点坐标为1(,)22-，又AC k =∴CA 的垂直平分线l 2方程为：122y x -=+，又AB 的垂直平分线l 1方程为：2x =，代入l 2方程中可得O 7(,22，∴7,)22AO = ，AB = ，(AC = ，∴（1）322AO AB ⋅== ，||AO ＝3491344+=；（2）∵AO AB AC λμ=+，∴7,(22λμ=+，∴272μ=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴λ＝4，72μ=．21．【解答】解：由∠ABC ＝∠PCB ＝θ，在直角△ABC 中，AC ＝sin θ，BC ＝cos θ；在直角△PBC 中，PC ＝BC •cos θ＝cos θ•cos θ＝cos 2θ，PB ＝BC •sin θ＝sin θ•cos θ＝sin θcos θ；（1）AC +CP ＝sin θ+cos 2θ＝sin θ+1﹣sin 2θ＝﹣sin 2θ+sin θ+1＝215(sin)24θ-+，所以当1sin 2θ=，即θ＝30°时，AC +CP 的最大值为54；即θ＝30°时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）在直角△ABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅，可得sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅；在直角△PBC 中，PC ＝BC •sin （60°﹣θ）＝cos θ•（sin60°cos θ﹣cos60°sin θ），所以CH +CP ＝sin θcos θ+cos θ•1(cos sin )22θθ-，θ∈（0，60°），所以CH +CP＝211sin 2cos sin cos 222θθθθ+-＝11sin 2cos 2sin(260)44424θθθ︒++=++，所以当θ＝15°时，CH +CP取得最大值，且最大值为12244+=．22．【解答】解：（1）由题意，假设f （x ）为M 类函数，则存在b ＞a ＞0，使得sin a ＝sin b ，则b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ＝π+2k π，k ∈Z ，根据题意，有sin 2sin 2a b a +=．①当b ＝a +2k π，k ∈Z 时，有sin a ＝2sin （a +k π），k ∈Z ，即sin a ＝±2sin a ，解得sin a ＝0，不成立；②当b +a ＝π+2k π，k ∈Z 时，有，k ∈Z ，即sin a ＝±2，不成立，∴函数f （x ）不是M 类函数．（2）由题意221log ,02()11,2x x f x og x x -<≤⎧=⎨->⎩，则f （x ）在（0，2）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又∵f （x ）是M 类函数，∴存在0＜a ＜2＜b ，满足22211112|log 1|2a b og a og b +-=-=-，由等式可得：log 2（ab ）＝2，则ab ＝4，所以214(2)2(4)0222a b a a a a+--=+-=>，则21102a b og +->，所以得22112(log 1)2a b og b +-=-，从而有222log 1log ()2a b b ++=，则有2()24a b b +=，即24()8b b b+=，所以b 4﹣8b 3+8b 2+16＝0，则（b ﹣2）（b 3﹣6b 2﹣4b ﹣8）＝0，由b ＞2，则b 3﹣6b 2﹣4b ﹣8＝0，令g （x ）＝x 3﹣6x 2﹣4x ﹣8，当2＜x ＜6时，g （x ）＝（x ﹣6）x 2﹣4x ﹣8＜0，且g （6）＝﹣32＜0，g （7）＝13＞0，且g （x ）连续不断，由零点存在性定理可得存在b ∈（6，7），使得g （b ）＝0，此时a ∈（0，2），∴n 的最小值为7．。

一、等比数列选择题1．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．20202．已知数列{}n a 满足112a =，*11()2n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．3(1,)2-C ．3(,)2-∞D ．(1,2)-3．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．34．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152B ．142C ．132D ．1226．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．87．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．14B ．1C ．12D ．138．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．109．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（）AB ．2C ．D ．410．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭11．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（ ）A ．32B ．63C ．123D ．12612．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或213．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．1514．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 15．在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（ ） A ．35B ．35C ．53D ．53-16．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，则该数列从第5项到第15项的和为（ ）A ．2016B ．1528C ．1504D ．99217．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列18．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092B ．2047C ．2046D ．102319．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-20．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ） A ．16B ．32C ．64D ．128二、多选题21．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比22．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） A．12B．12- C．12+ D．12-+ 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+24．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314S =C ．公比4q =或14D ．14a =或1425．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1 26．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2827．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >28．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路29．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--30．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列31．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 32．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<33．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列34．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值. 35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<，所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.2．C 【分析】 由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，12n n a =，得2(2)2n n nn b n a λλ-==-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，参变分离后即可得解．【详解】 由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以1111()222n n n a -==， 2(2)2n n nn b n a λλ-==- ∵数列{n b 是单调递增数列， ∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立， 即1(12)2(2)2n n n n λλ++->-，整理得：22n λ+<32λ∴＜ ，故选：C. 【点睛】本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有： 一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减； 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 3．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=， 则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 4．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 5．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =，故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =， 故12q =， 所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 6．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=， 则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ．7．D 【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =， 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++， 即21210q q --=， 解得13q =，或14q =-（舍去）. 故选：D 8．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C 9．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =，所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q，所以2424a q a ==. 故选：D. 10．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n na =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈， 因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 11．D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2260q q --=，∴2q 或32q =-（舍去），∵416a =，∴4132a a q==，∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--， 故选：D. 12．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 13．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B. 14．D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 15．D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中3498a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-， 故选：D 16．C 【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可 【详解】因为119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，所以，41049104561022222212a a a -+++=++==--，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=⨯-+-=⨯+-=⨯=故选：C 【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 17．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 18．A 【分析】根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12,2nn a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212-=-.故选：A. 19．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 20．A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3q ，再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=，4568a a a ++=.∴32q =，∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选：A二、多选题21．BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，211n n n na a a a +++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32nn a =-+，2113n n n na a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 22．AB 【分析】因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案 【详解】解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+， 整理得()()()2111qq q q -=-+，因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >，所以解得q =， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即321q q =+，整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=， 因为0q >，所以解得12q -+=，综上12q +=或12q -+=， 故选：AB 23．ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 24．BD 【分析】设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得1112114a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为21531a a a ==，2311a a q == ， 所以51115135151511111112111114a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，当14a =，12q =时，551413121412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；当114a =，2q 时，5314S =，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314S =. 故选：BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114a a ++=，进而解方程计算. 25．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.26．CD由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 27．AD 【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可.对选项A ，因为0q <，所以29109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确；对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误；对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 28．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确； 对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 29．AB 【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，∴()2412323412n n nS n n +-=-=---.故选：AB. 30．BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时，取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r+->1112222da ra dr rn N d dr -+-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，11n n x x q-=，若1q >，则对任意正数r ，当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q rN x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦， 当n N >时，11110n n rx x q x r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n N>=时，110n n r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题. 31．ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 32．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n k n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110k k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立 即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立所以23t -<，且22t -≥解得45t ≤<，故正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.33．BC【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0，故a 2＞0，a 3＞0．根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根．解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4．故必有公比q ＞0，∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1．∴a 2＝4，a 3＝8满足题意．∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ．∵S n ()21212n-==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确．S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确．∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确．故选：BC【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.34．ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确；B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确； D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----， 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数， 当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n nb a a =-<， 当n 为奇数时，11()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的， 即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．35．ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn ) 11121131313131313n n n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。

一、第六章 圆周运动易错题培优（难）1．如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A 、B 、C ，质量分别为m 、2m 、3m ，A 叠放在B 上，C 、B 离圆心O 距离分别为2r 、3r 。

C 、B 之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直无张力。

已知C 、B 与圆盘间动摩擦因数为μ，A 、B 间摩擦因数为3μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，现让圆盘从静止缓慢加速，则（ ）A ．当23grμω=时，A 、B 即将开始滑动 B ．当2grμω=32mgμ C ．当grμω=C 受到圆盘的摩擦力为0D ．当25grμω=C 将做离心运动 【答案】BC 【解析】 【详解】A. 当A 开始滑动时有：2033A f mg m r μω==⋅⋅解得：0grμω＝当23ggrrμμω=<AB 未发生相对滑动，选项A 错误；B. 当2ggrrμμω=<时，以AB 为整体，根据2F mr ω向＝可知 29332F m r mg ωμ⋅⋅=向＝ B 与转盘之间的最大静摩擦力为：23Bm f m m g mg μμ=+=（）所以有：Bm F f >向此时细线有张力，设细线的拉力为T ， 对AB 有：2333mg T m r μω+=⋅⋅对C 有：232C f T m r ω+=⋅⋅解得32mg T μ=，32C mgf μ= 选项B 正确；C. 当ω=时，AB 需要的向心力为：2339AB Bm F m r mg T f ωμ'⋅⋅=+＝＝解得此时细线的拉力96Bm T mg f mg μμ'-== C 需要的向心力为：2326C F m r mg ωμ⋅⋅＝＝C 受到细线的拉力恰好等于需要的向心力，所以圆盘对C 的摩擦力一定等于0，选项C 正确；D. 当ω=C 有： 212325C f T m r mg ωμ+=⋅⋅=剪断细线，则1235C Cm f mg f mg μμ=<= 所以C 与转盘之间的静摩擦力大于需要的向心力，则C 仍然做匀速圆周运动。

2022-2023学年南京市第二十九中学高一2月期初试卷一．选择题（共8小题）1．已知角α的终边经过点P（3，﹣4），则角α的正弦值为（ ）A．B．﹣4C．D．2．已知集合M＝{y|y＝sin x，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则M∩N＝（ ）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，1]D．（0，1]3．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（ ）A．3B．2C．4D．54．“φ＝”是“y＝sin（2x+φ）为偶函数”的（ ）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要5．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A⋅h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C＝I n•t，其中为Peukert常数在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10A时，放电时间t＝56h，则当放电电流I＝15A 时，放电时间为（ ）A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h6．下列函数中最小值为4的是（ ）A．y＝x2+2x+4B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+7．记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，若＜T＜π，且y＝f （x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）A．1B．C．D．38．设a＝log34+log43，3a+4a＝5b，则（ ）A．a＞b＞2B．a＞2＞b C．b＞a＞2D．b＞2＞a二．多选题（共4小题）9．已知点是函数图像的一个对称中心，其中ω为常数且ω∈（0，3），则以下结论正确的是（ ）A．f（x）的最小正周期是2πB．将函数f（x）的图像向左平移个单位后所得的图像关于原点对称D．若，则f（x1）＞f（x2）10．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x﹣1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x+1），则下列结论正确的是（ ）A．当x＞1时，乙在最前面B．当x＞1时，丙在最前面C．当0＜x＜1时，丁在最后面D．如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲11．已知，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（ ）A．若tan A+tan B+tan C＞0，则△ABC是锐角三角形B．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形C．若b cos C+c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形D．若＝，则△ABC是等边三角形12．下列说法正确的是（ ）A．存在实数a，使得不等式成立B．命题“∃x≥1，x2＜1”的否定是“∀x＜1，x2≥1”C．函数y＝x与函数表示同一个函数D．若命题“∀x∈R，x2﹣ax+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（0，4）三．填空题（共4小题）13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+2bc sin A，0＜A＜，则tan A﹣4tan B的最小值为 ．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：f（x）＝ ．①f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减；③f（x）为偶函数．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3b，则cos B的最小值是．16．已知函数f（x）＝x3+2x﹣2﹣x+3．若实数a、b满足f（2a2）+f（b2﹣1）＝6，则的最大值为．四．解答题（共6小题）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（1）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．18．设函数y＝f（x），其中f（x）＝x2|x﹣a|．（1）若函数y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）若a∈（2，3），记g（x）＝f（x）﹣10，求证：函数y＝g（x）在[2，4]上有零点．19．已知命题：“∀x∈[1，2]，不等式x2﹣2mx﹣3m2＜0成立”是真命题．（1）求实数m取值的集合A；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为B，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．设a∈R，已知函数y＝f（x）＝log3（x+a）．（1）当a＝2时，用定义证明y＝f（x）是（﹣2，+∞）上的严格增函数；（2）若定义在[﹣2，2]上的奇函数y＝g（x）满足当0≤x≤2时，g（x）＝f（x），求g （x）在区间[﹣2，0]上的反函数y＝h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式在[0，2]上恒成立，求实数t的取值范围．21．我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为△CDP．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为θ．（Ⅰ）试用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积；（Ⅱ）若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：θ的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数）22．已知函数为偶函数．（1）求实数k的值；（2）解关于m的不等式f（2m+1）＞f（m﹣1）；（3）设，若函数f（x）与g（x）图象有2个公共点，求实数a的取值范围．2022-2023学年南京市第二十九中学高一2月期初试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知角α的终边经过点P（3，﹣4），则角α的正弦值为（ ）A．B．﹣4C．D．【解答】解：∵角a的终边经过点P（3，﹣4），∴r＝|OP|＝5，sinα＝＝＝﹣．故选：D．2．已知集合M＝{y|y＝sin x，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则M∩N＝（ ）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，1]D．（0，1]【解答】解：集合M＝{y|y＝sin x，x∈R}＝[﹣1，1]，N＝{y|y＝2x，x∈R}＝（0，+∞），则M∩N＝（0，1]．故选：D．3．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（ ）A．3B．2C．4D．5【解答】解：∵扇形圆心角1弧度，所以扇形周长和面积为整个圆的．弧长l＝2πr•＝r，故扇形周长C＝l+2r＝3r＝6cm，∴r＝2cm扇形面积S＝π•r2•＝2cm2．故选：B．4．“φ＝”是“y＝sin（2x+φ）为偶函数”的（ ）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由φ＝，可得y＝sin（2x+φ）＝cos x为偶函数，故充分性成立；由y＝sin（2x+φ）为偶函数，可得φ＝kπ+，k∈Z，不能推出φ＝，故必要性不成立，故“φ＝”是“y＝sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故选：A．5．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A⋅h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C＝I n•t，其中为Peukert常数在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10A时，放电时间t＝56h，则当放电电流I＝15A 时，放电时间为（ ）A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h【解答】解：根据题意可得C＝57•10n，则当I＝15A时，56•10n＝15n•t，所以，t＝56•（）n＝56•（）＝56•（）＝28h，即当放电电流I＝15A，放电时间为28h．故选：A．6．下列函数中最小值为4的是（ ）A．y＝x2+2x+4B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+【解答】解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A错误；当且仅当，即|sin x|＝2时取等号，因为|sin x|≤1，所以等号取不到，所以y＝|sin x|+＞4，故选项B错误；对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x＝，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确；对于D，因为当x＝时，，所以函数的最小值不是4，故选项D错误．故选：C．7．记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，若＜T＜π，且y＝f （x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）A．1B．C．D．3【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（ω+）＝0，则ω+＝kπ，k∈Z．∴ω＝（k﹣），k∈Z，取k＝4，可得ω＝．∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．8．设a＝log34+log43，3a+4a＝5b，则（ ）A．a＞b＞2B．a＞2＞b C．b＞a＞2D．b＞2＞a【解答】解：a＝log34+log43＞，∵3a+4a＝5b，∴5b＝3a+4a＞32+42＝52，即b＞2，令g（x）＝3x+4x﹣5x（x＞2），g （x ）＝32•3x ﹣2+42•4x ﹣2﹣52•5x ﹣2＜（32+42）4x ﹣2﹣52•5x ﹣2＝25（4x ﹣2﹣5x ﹣2）＜0， ∴g （x ）＝3x +4x ﹣5x ＜0， ∴3a +4a ﹣5a ＜0， ∴3a +4a ＜5a ，即5b ＜5a ， ∴b ＜a ， ∴a ＞b ＞2． 故选：A ．二．多选题（共4小题）9．已知点是函数图像的一个对称中心，其中ω为常数且ω∈（0，3），则以下结论正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期是2πB ．将函数f （x ）的图像向左平移个单位后所得的图像关于原点对称C ．函数f （x ）在上的最小值为D ．若，则f （x 1）＞f （x 2）【解答】解：因为点是函数图像的一个对称中心，所以，解得ω＝2+6k ，k ∈Z ， 又ω∈（0，3）， 所以ω＝2， 则f （x ）＝2sin （2x ﹣），对于A ，函数f （x ）的最小正周期为，故选项A 错误；对于B ，将函数f （x ）的图像向左平移个单位后，得到函数，因为函数y ＝2sin2x 为奇函数，所以函数的图像关于原点对称， 故选项B 正确；对于C ，当x ∈时，2x ﹣∈，则函数sin （2x ﹣），所以f （x ）∈，则函数f （x ）在上的最小值为，故选项C 正确； 对于D ，因为，所以，当时，，函数f （x ）单调递减，即时，则f （x 1）＞f （x 2）； 当时，，函数f （x ）单调递增，即时，则f （x 1）＜f （x 2）， 故选项D 错误． 故选：BC ．10．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i （x ）（i ＝1，2，3，4）关于时间x （x ≥0）的函数关系式分别为f 1（x ）＝2x ﹣1，f 2（x ）＝x 2，f 3（x ）＝x ，f 4（x ）＝log 2（x +1），则下列结论正确的是（ ） A ．当0<x <1时，丁在最前面，当x ＞1时，丁在最后面 B ．当x ＞1时，丙在最前面 C ．当0＜x ＜1时，丁在最后面D ．如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲【解答】解：在同一直角坐标系中作出函数f i （i ＝1，2，3，4）的图象： 对于A 选项，f 1（5）＞f 2（5），故A 正确； 对于B 选项，f 2（5）＞f 3（2），故B 错误；对于C 选项，当0＜x ＜1时，f 4（x ）＞f 3（x ）＞f 1（x ）＞f 2（x ），即乙在最后面，C 错； 对于D 选项，随着x 的增大，越到后面，四个函数中，函数f 1（x ）的增长速度越快， 如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲，D 对． 故选：D ．11．已知，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（ ）A．若tan A+tan B+tan C＞0，则△ABC是锐角三角形B．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形C．若b cos C+c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形D．若＝，则△ABC是等边三角形【解答】解：∵tan A+tan B＝tan（A+B）（1﹣tan A tan B），∴tan A+tan B+tan C＝tan（A+B）（1﹣tan A tan B）+tan C＝tan A tan B tan C＞0，∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，故A正确；若acoA＝b cos B，则sin A cos A＝sin B cos B，则2sin A cos A＝2sin B cos B，则sin2A＝sin2B，则A＝B，或A+B＝90°，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误若b cos C+c cos B＝b，sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故C正确；若＝，则，即tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故D正确；故选：ACD．12．下列说法正确的是（ ）A．存在实数a，使得不等式成立B．命题“∃x≥1，x2＜1”的否定是“∀x＜1，x2≥1”C．函数y＝x与函数表示同一个函数D．若命题“∀x∈R，x2﹣ax+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（0，4）【解答】解：对于A，当a＝﹣1时，成立，故A正确，对于B，命题“∃x≥1，x2＜1”的否定是“∀x≥1，x2≥1，故B错误，对于C，函数y＝x的定义域是x∈R，函数的定义域是{x|x＞0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误，对于D，因为∀x∈R，x2﹣ax+a＞0，则a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，故D正确．故选：AD ．三．填空题（共4小题）13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2+2bc sin A ，0＜A ＜，则tan A ﹣4tan B 的最小值为 ﹣ ． 【解答】解：∵a 2＝b 2+2bc sin A ，∴由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得：2bc sin A ＝c 2﹣2bc cos A ，可得2b sin A ＝c ﹣2b cos A ，∴由正弦定理可得：sin C ﹣2sin B cos A ＝2sin B sin A ，可得sin （A +B ）﹣2sin B cos A ＝2sin B sin A ，可得sin A cos B ﹣sin B cos A ＝2sin B sin A ， ∴可得tan A ﹣tan B ＝2tan A tan B ，可得tan B ＝，∵0＜A ＜，∴tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan A ﹣4tan B ＝tan A ﹣＝（2tan A +1）﹣﹣＝（2tan A +1）+﹣≥2﹣＝﹣，当且仅当（2tan A +1）＝，即tan A ＝时等号成立，所以tan A ﹣4tan B 的最小值为﹣． 故答案为：﹣．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：f （x ）＝ ﹣log 2|x |（不唯一） ． ①f （x 1x 2）＝f （x 1）+f （x 2）；②当x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递减； ③f （x ）为偶函数．【解答】解：结合基本初等函数的性质可知f （x ）＝﹣log 2|x |是符合题意的一个函数， 检验f （x 1x 2）＝﹣log 2|x 1x 2|＝﹣log 2|x 1||x 2|＝﹣log 2|x 1|﹣log 2|x 2|， f （x 1）+f （x 2）＝﹣log 2|x 1|﹣log 2|x 2|，①正确；当x ＞0时，f （x ）＝﹣log 2|x |＝﹣log 2x 单调递减，符合题意；因为f （﹣x ）＝﹣log 2|﹣x |＝﹣log 2|x |＝f （x ），即f （x ）为偶函数，符合题意． 故答案为：f （x ）＝﹣log 2|x |（答案不唯一）． 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3b ，则cos B 的最小值是．【解答】解：因为a ＝3b ， 则cos B ＝＝＝＝，当且仅当时取等号，此时cos B 取得最小值．故答案为：．16．已知函数f （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +3．若实数a 、b 满足f （2a 2）+f （b 2﹣1）＝6，则的最大值为 1 ．【解答】解：∵f （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +3， ∴f （x ）+f （﹣x ）＝6， ∵f （2a 2）+f （b 2﹣1）＝6， ∴2a 2+b 2﹣1＝0，即b 2＝1﹣2a 2（﹣≤a ≤），令t ＝，则t 2＝a 2（2+b 2）＝a 2•（3﹣2a 2）＝﹣2（a 2﹣）2+≤﹣2（﹣）2+＝1（当且仅当a ＝，b ＝0时取等号），∴t ≤1， 即的最大值为1， 故答案为：1． 四．解答题（共6小题）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，b ＝a +1，c ＝a +2． （1）若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵2sin C ＝3sin A ， ∴根据正弦定理可得2c ＝3a ，∵b＝a+1，c＝a+2，∴a＝4，b＝5，c＝6，在△ABC中，运用余弦定理可得，∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C＝，∴＝．（2）∵c＞b＞a，∴△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，＝，∴a2﹣2a﹣3＜0，∵a＞0，∴0＜a＜3，∵三角形的任意两边之和大于第三边，∴a+b＞c，即a+a+1＞a+2，即a＞1，∴1＜a＜3，∵a为正整数，∴a＝2．18．设函数y＝f（x），其中f（x）＝x2|x﹣a|．（1）若函数y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）若a∈（2，3），记g（x）＝f（x）﹣10，求证：函数y＝g（x）在[2，4]上有零点．【解答】解：（1）若函数y＝f（x）是偶函数，则f（x）＝f（﹣x），即x2|x﹣a|＝（﹣x）2|﹣x﹣a|，即x2|x﹣a|＝x2|x+a|，故﹣a＝a，解得a＝0；（2）证明：g（x）＝f（x）﹣10＝x2|x﹣a|﹣10，则g（2）＝4|a﹣2|﹣10，g（4）＝16|a﹣4|﹣10，∵a∈（2，3），∴a﹣2∈（0，1），a﹣4∈（﹣2，﹣1），∴g（2）＝4|a﹣2|﹣10∈（﹣10，﹣6），g（4）＝16|a﹣4|﹣10∈（6，22），当a∈（2，3）时，g（2）g（4）＜0恒成立，故函数y＝g（x）在[2，4]上有零点．19．已知命题：“∀x∈[1，2]，不等式x2﹣2mx﹣3m2＜0成立”是真命题．（1）求实数m取值的集合A；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为B，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，命题“∀x∈[1，2]，不等式x2﹣2mx﹣3m2＜0成立”是真命题．设f（x）＝x2﹣2mx﹣3m2，必有，解可得：m＜﹣2或m＞，即m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；（2）根据题意，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B是A的真子集，对于不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0，当a＞1时，有3a＞2+a，不等式的解集即集合B＝（2+a，3a），此时有3a≤﹣2或2+a ≥，又由a＞1，综合可得：a＞1，当a＝1时，有3a＝2+a，不等式的解集即集合B＝∅，满足题意，当a＜1时，有3a＜2+a，不等式的解集即集合B＝（3a，2+a），此时有2+a≤﹣2或3a ≥，解可得a≤﹣4或≤a＜1；综合可得：a≤﹣4或a≥，即a的取值范围为{a|a≤﹣4或a≥}．20．设a∈R，已知函数y＝f（x）＝log3（x+a）．（1）当a＝2时，用定义证明y＝f（x）是（﹣2，+∞）上的严格增函数；（2）若定义在[﹣2，2]上的奇函数y＝g（x）满足当0≤x≤2时，g（x）＝f（x），求g （x）在区间[﹣2，0]上的反函数y＝h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式在[0，2]上恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）证明：当a＝2时，y＝f（x）＝log3（x+2）．任取x1，x2∈（﹣2，+∞），x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log3（x1+2）﹣log3（x2+2）＝log3，因为0＜x1+2＜x2+2，所以0＜＜1，所以log3＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以y＝f（x）是（﹣2，+∞）上的严格增函数．（2）由题意得当0≤x≤2时，g（x）＝f（x）＝log3（x+a），又g（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，即g（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤2时，g（x）＝log3（x+1），由g（x）＝﹣g（﹣x）得当﹣2≤x≤0时，g（x）＝﹣log3（﹣x+1），g（x）∈[﹣1，0]，令y＝﹣log（﹣x+1），则﹣x+1＝3﹣y，得x＝1﹣（）y，故g（x）在区间[﹣2，0]上的反函数y＝h（x）＝1﹣（）x，x∈[﹣1，0]．（3）g（x）＝是[﹣2，2]上的严格增函数，关于x的不等式在[0，2]上恒成立，又g（﹣）＝1﹣log34，所以＞g（﹣），即﹣＜恒成立，令3x＝m∈[1，9]，得，即故实数t 的取值范围是（﹣5，37]．21．我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O 的半个圆弧（P 为此圆弧的中点）和直径MN 构成．已知圆O 的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD ；喷泉观景区的形状为△CDP ．要求端点A ，B 均在直径MN 上，端点C ，D 均在圆弧上．设OC 与直径MN 所成的角为θ．（Ⅰ）试用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积；（Ⅱ）若在矩形ABCD 两侧线段AD ，BC 的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：θ的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数）【解答】解：（Ⅰ）由题意，知，易得OB ＝cos θ，BC ＝sin θ， 所以矩形ABCD 的面积为 △CDP的面积为．（Ⅱ）设建造观景区所需总费用为F （θ），则由题意得：，即．令，设sin θ+cos θ＝t ，则2sin θcos θ＝t 2﹣1，且，所以，从而．显然当，此时，有．所以F（θ）最小值为（万元）．故当时，建造该观该景区总费用最低，且最低费用约为20万元．22．已知函数为偶函数．（1）求实数k的值；（2）解关于m的不等式f（2m+1）＞f（m﹣1）；（3）设，若函数f（x）与g（x）图象有2个公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为R，因为函数为偶函数．所以f（﹣x）＝f（x），即，所以，所以k＝﹣1；（2）因为，当x≥0时，2x≥1，单调递增，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，又函数f（x）为偶函数，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减；因为f（2m+1）＞f（m﹣1），所以|2m+1|＞|m﹣1|，解得m＜﹣2或m＞0，所以所求不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（3）因为函数f（x）与g（x）图象有2个公共点，所以，即，a⋅2x+a＞0，设t＝2x＞0，则，即（a﹣1）t2+at﹣1＝0，又t＝2x在R上单调递增，所以方程（a﹣1）t2+at﹣1＝0有两个不等的正根；所以，解得，所以a的取值范围为．。

班级 学号 姓名1．将390°写成2k π＋α(0≤α＜2π， k ∈Z)的形式是 ．2．－2312π rad 化为角度是 ． 3．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则sin B ＝ ．4．sin π6＋tan π4＋cos π3＝ ． 5．cos 1，cos 2，cos 3，cos 4中负数的个数是 ．6．若α是第一象限角，则下列各角中为第四象限角的是 ．(A ) 90°－α (B ) 90°＋α (C )360°－α (D )180°＋α7．若角α、β的终边关于y 轴对称，则必有 ．（其中k ∈Z ）(A ) α＋β＝π (B ) α－β＝2(C ) α－β＝(2k ＋1)π (D ) α＋β＝(2k ＋1)π 8．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其所对圆心角的弧度数是 ．9．终边在坐标轴上的角的集合是 ．10．若点P （sin θ，cos θ）在第二象限，则角－θ的终边的第 象限．11．若α是第一象限角，且｜os α2｜＝－cos α2，则α2的终边在第 象限． 12．角θ的终边在直线y ＝2x 上，则tan θ＝ ．13．若sin α＝sin 29°14′，且－360°＜α＜0°，则α＝ ．14．如图，圆周上点A 按逆时针方向作匀速圆周运动．已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟时第一次在第三象限，14分钟时回到原来的位置，则θ＝ ．15．利用单位圆及三角函数线，分别写出符合下列条件的角α的集合．(1) cos α＞－12； (2) 0＜sin α＜cos α．16．已知角α的终边经过点P （－x ，－6）,且cos α＝－513． （1）求x 的值；（2）求sin α和tan α的值．17．已知扇形的面积是25 cm 2，半径r ∈ ，当半径和圆心角各取什么值时，扇形的周长最小？最小周长是多少？18．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并写出它们的正弦、余弦和正切的值．（1）－11π6；（2）8π3．19．设集合A 是函数y ＝sin x 的定义域，B 是不等式－1517＜2x －12x + 1＜1517的解集，求A ∩B ．20．已知函数f (x )＝x 2－1．若关于x 的方程| f (x ) |2 ＋m | f (x ) |＋2m ＋3＝0在（0，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．1．2π＋π6， 2．－345°，3．45， 4．2，5．3，6．C ，7．D ，8．3，9．{x |x ＝n 2π，n ∈Z}， 10．一，11．三，12．2，13．－330°46′，－209°14′，14．4π7， 5π7． 15．(1){x |－2π3＋2k π＜x ＜2π3＋2k π，k ∈Z }; (2) {x |2k π＜x ＜π4＋2k π，k ∈Z }．16．(1)x ＝52;(2)－1213，125．17．r ＝4， α＝258，20．518．(1)12， 32， 33;(2) 32，－12，－3．19．(－4，π]∪．20．{－32，4－27}．。

班级 学号________ 姓名一、填空题1. 若全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1M =，集合{2,3}N =，则()U C MN = . 2. 已知集合{}{}(,)3,(,)31A x y y x B x y y x ==+==-，则AB = _. 3.函数函数1y x=的定义域为 . 4.函数4)(2-=x x f 的单调增区间是 ________.5．已知2(1)21f x x +=+，则=)4(f .6. ()f x 是R 上的偶函数，且0>x 时13)(2--=x x x f 则0<x 时=)(x f .7．若函数)(x f 是R 上的奇函数，则=++-)2013()0()2013(f f f .8. 函数32)(2--=ax x x f 在区间[)+∞,2上为增函数，则a 的取值范围 .9. 已知函数20,()3, 0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，.若3()()02f m f +=，则实数m 的值等于_ _ _. 10．函数122+=x x y 值域是 . 11．已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且()()x f x f -=+2．当10≤≤x 时， ()x x f = ，则()=5.7f .12．函数()x x x f --=1的值域是 .13. 已知奇函数()f x 是定义在(2,2)-上的减函数，且(1)(31)0f m f m -+->，则实数m 的取值范围是 .14. 对于函数f (x )＝x ＋11＋|x －1|给出如下结论： ①f (x )是非奇非偶函数；②f (x )的最大值是2，最小值是－1；③若x 1≠ x 2，则f (x 1)≠ f (x 2).其中正确结论的序号是 .二、解答题15. 设全集U =R ，集合{}{}{}13,04,A x x B x x C x x a =-≤≤=<<=<．（1）求,AB A B ； （2）若BC ⊆，求实数a 的取值范围．16．（1）已知)(x f 是一次函数，且3)2(3)1(2=+f f ，1)0()1(2-=--f f ，求)(x f 的解析式；（2）已知)(x f 是二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)(x f 的解析式．17. 已知奇函数函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，当0>x 时，xx f 11)(-= （1）求)2(-f 的值；（2）求)(x f 的解析式；（3）求证：函数)(x f 在区间(0,)+∞上是单调增函数.18. 有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时５元；乙中心按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲中心健身x 小时的收费为)(x f 元)4015(≤≤x ，在乙中心健身活动x 小时的收费为)(x g 元)4015(≤≤x ．试求)(x f 和)(x g ；（2）问：选择哪家比较合算？为什么？19．已知函数)()(R a xa x x f ∈+= （1）判断并证明函数f (x )的奇偶性；（2）若()12+≤x x f 对于[)+∞∈,1x 恒成立，求实数a 的取值范围．（3）若()()[]x a x f x g 2-=在[]2,1的最小值为4，求a 的值20．已知函数1)(2++=bx ax x f （b a ,∈R 且0≠a ），⎩⎨⎧<->=0),(0),()(x x f x x f x F . （1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设0<mn ，0,0>>+a n m ， 且)(x f 是偶函数，判断)()(n F m F +是否大于零？高一数学04答案1．｛2，3｝ 2．｛（2，5）｝ 3．｛x ｜x ≥－1，且x ≠0｝ 4．(－2，0)，(2，＋∞)5．19 6．x 2＋3x －1 7．0 8．(－∞，2] 9． －6 10． 13．(－13，12) 14．① 15(1)(0．3]，；（3）－3．20（1）F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1， x ＞0，－x 2－2x －1， x ＜0;（2）｛x ｜x ≤－2，或x ≥6｝；（3）大于0．。

江苏南京市第二十九中学(高中部)数列多选题试题含答案一、数列多选题1．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”C ．若(),2n ra n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD 【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦，当n 是奇数时，()211kn k n a a k +=---+，则存在1k时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211kn k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.5．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】 由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．6．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=，故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n nn =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故()*21n a n n N=-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==，故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.7．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】BCD 【分析】由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以121423k k a --=⋅-，故S 奇()21321141232(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===+⨯++⨯--+++-=---，S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=+++=+++--，故2k S S =奇＋S 偶3285k k +=--，故121828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.故选：BCD . 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．8．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r+-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即12p q +==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知，1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.二、平面向量多选题9．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。

江苏省南京市第二十九中学2014-2015学年高一数学周练测试试题03 班级 学号________ 姓名1．设集合A ＝{x | 2x －5≤0}，则A ∩N ＝ ．2．设集合U ＝{2，3，a2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋7| }，∁UA ＝{5}，则a 的值是 ．3．设集合A ＝{x | tx ＋1＝0}，若A ⊆{1，2}，则实数t 的取值范围是 ．4．设集合A ＝{(x ，y) | y ＝x2，x ∈R }，B ＝{(x ，y) | y ＝－x ，x ∈R }，则A ∩B ＝ ．5．若{x | x 2＋2(t ＋1)x ＋t 2－1＝0，x ∈R }＝{0}，则实数t 的值是 ．6．设集合A ＝{x | 6＜x ＜10}，B ＝{x | m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∩B ＝Φ，则实数m 的取值范围是 ．7．若集合{x ｜(x －2)(x2＋bx ＋c)＝0}＝{1，2}，则b －c 的值是 ．8．设f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1，x ＜0，2x ， x ≥0，则f 的值是 ． 9．函数y ＝1x －1＋x ＋2的定义域是 ． 10．函数y ＝2x ＋1x 的单调减区间是 ．11．函数y ＝ax －x2在区间，则实数m 的取值范围是 ．13．函数y ＝1x2＋x ＋a的定义域是R ，则a 的取值范围是 ． 14．设集合A ＝{1，2}， B ＝{3，4}，则A 到B 的函数的个数是 ．15．已知一次函数f(x)满足f ＝x 对一切实数x 成立，且f(2)＝0．（1）求f(x)的解析式；（2）设g(x)＝| f(x) |－2，画出函数y ＝g(x)的图像并指出它的单调区间．16．画出下列函数图象，并写出值域．（1）f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1， x ＜1，4－2x ，x ≥1；（2）f(x)＝⎩⎨⎧x2－2x －3，－1≤x ≤4，5， 4＜x ≤6．17．设函数f(x)＝k x 在区间上的最大值是1．（1）求k 的值；（2）求f(x)在区间上的最小值．18．设f(x)＝ax 2＋4x (a ∈R)的值域是(－∞，4］．（1）求a 的值；（2）若方程｜f(x)｜＝m 有四个不同的实数根，求实数m 的取值范围．19．设f(x)＝x 2－3x ＋m (m ∈R)．（1）证明f(x)在区间(－∞，32)是上减函数，在区间(32，＋∞)上是增函数；（2）当0≤x ≤4时，f(x)最大值是0，求m 的值．20．设函数f (x)满足：f(x＋1)＝x2－1．（1）求f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间（t＞0）上的最小值是g(t)，求g(t)的值域．1．{0，1，2}2．－43．{0，－1，－12}4．{（0，0），（－1，1）}5．－16．（－∞，72]∪12．（2，5]13．（14，＋∞）14．415．f(x)＝2－x16．(1)（－∞，2],(2) [－4，5）17．(1)k ＝2, (2)－218．－1, (0,4)19．－420．(1) f(x)＝(x －1)2－1, (2) [－1，0）。

南京市第二十九中学2022级高一10月学情调研测试数学一、选择题1.函数243y x x =-+的零点为（）A.（1，0）B.（1，3）C.1和3D.（1，0）和（3，0）2.设命题p ：[]0,1x ∀∈，都有210x-≤，则p ⌝为（）A.[]00,1x ∀∈，使2010x -<B.[]0,1x ∃∈，使210x -≥C.[]00,1x ∃∈，使2010x -> D.[]0,1x ∀∈，使210x ->3.若,,a b c ∈R ，0a b <<，则下列不等式正确的是（）A.11a b< B.||||a c b c >C.22()(11)a cbc +<+ D.2ab b <4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今"青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还"，由此推断，最后一句“不返家乡"是“不破楼兰"的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要5.若不等式34x -<的解集为{}x b <<，则不等式()()2210---+≤x x ax b 的解集为（）A.(],3-∞-B.(]{},32-∞-⋃C.(],2-∞ D.(][],22,3-∞-⋃6.已知关于x 的方程()222240x m x m +-++=有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数m 的值是（）A.17B.－1C.17或－1D.－17或17.已知集合[]2,5A =-，[]1,21B m m =+-，若B A ⊂，则实数m 的取值范围是（）A.{}3m m ≤ B.{}33m m -≤≤ C.{}23m m ≤≤ D.{}23m m <≤8.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（）A.2ab a b <+<B.2ab a b <<+C.2a b ab<+< D.2ab a b<<+二、选择题9.下列说法中，正确的有（）A.集合6N N E x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集B.若A B =∅ ，则()()U UA B U ⋃=痧（U 为全集）C.集合{}2320M x x x =-+=，{}10N x mx =-=，若M N ⊇，则11,2m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭D.若x Q ∈，则R ,,Z,0qx x x p q p p ⎧⎫∈∈=∈≠⎨⎬⎩⎭10.下面命题正确的是（）A.“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B.“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C.设,x y R ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件D.“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件11.若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（）A.ab 有最大值14B.C.11a b+有最小值2 D.22a b +有最大值1212.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为M ，则下列说法正确的是（）A.若M =∅，则0,0a <∆≤B.若a b ca b c ''='=，则关于x 的不等式20a x b x c ''+'+>的解集也为M C.若{12}Mx x =-<<，则关于x 的不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+<的解集为{0x x <或3}x >D.若M ={00,xx x x ≠为常数}，且a b <，则34a b cb a++-的最小值为5+三、填空题13.若函数2()4f x x m x =++的两个零点都在区间()1,+∞内，则实数m 的取值范围为______.14.已知0a >，0b >，若不等式212m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为______．15.某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛有40人，参加物理竞赛有45人，参加化学竞赛有30人，同时参加物理、化学竞赛有15人，同时参加数学、物理竞赛有20人，同时参加数学、化学竞赛有10人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有______名.16.已知集合A ，B ，U ，满足A U ⊆，B U ⊆，且A B U ⋃=时，则称集合对(),A B 为集合U 的最优子集对.若{}1,2,3,4U =，则集合U 的最优子集对的对数为______.四、解答题17.（1）求值：12133227649125--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（2）求值：2(lg2)lg5lg20lg0.1+⨯+；（3）已知13a a -+=，求33a a -+的值.18.已知集合{}211A x m x m =-<<+，{}24B x x =<.（1）当2m =时，求,A B A B ⋃⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19.（1）若不等式220ax bx +->的解集为124x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，求实数a ，b 的值；（2）若不等式2(2)2(2)40a xa ---+≥对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围.20.设集合{}13A x x =-<，32{|0}1x a B x x--=>-.（1）当1a =时，求集合B ；（2）当A B B = 时，求实数a 的取值范围.21.近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A 企业春节期间加班追产提供[]()0,20x x ∈(万元)的专项补贴.A 企业在收到政府x (万元)补贴后，产量将增加到(2)t x =+(万件).同时A 企业生产t (万件)产品需要投入成本为72(72)t x t ++(万元)，并以每件40(6t+元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本（1）求A 企业春节期间加班追产所获收益()R x (万元)关于政府补贴x (万元)的函数关系式；（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大？22.（1）已知命题p ：R x ∃∈，()2210x m x +-+=成立，命题q ：对(),0,a b ∀∈+∞，21ab a =-，都有()1m a b +≤-成立.若命题p 和命题q 有且仅有一个命题是真命题，求实数m 的取值范围.（2）已知,,0a b c >，3a b c ++=，求证：22232a b c b c c a a b ++≥+++.。