2009年小学数学奥林匹克决赛试卷及答案

2009年湖北省小学数学奥林匹克六年级决赛试题与答案(2009-04-26 17:10:13)2009年湖北省小学数学奥林匹克六年级决赛试题与答案1、计算题1又1/2+3又1/6+5又1/12+7又1/20+9又1/30+11又1/42解：原式=（1+3+5+7+9+11）+1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42=36又6/72、计算题2.4÷1又24/31×4.125-（9又5/31-4.42）解：原式=5.58-9又5/31+4.42=10-9又5/31=26/313、在所有的四位数中，各个数位上的数字之和等于34的所有的数字有多少个？解：四位数每个位置上最高为9 全部是9也只能是36 ，刚好少了2，所以可能是一个位置上少2或者两个位置各少1，所以可能有两种情况：a、3个9和1个7分别为：9997、9979、9799、7999一共4种；b、2个9和2个8分别为：9988、9898、9889、8989、8998、88999一共4+6=10种。

答案：10种。

4、平面上有10个点，其中4个点在一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点的直线共有多少条？分析：除了4个点是在同一条直线上，其他再找不到三个在一条直线上了。

（2点确定一条直线，不管是6点内部还是共线的4点还是各取1点的情况，都满足2点确定一条直线。

）1）、所以另外6点内部可以构成多少条直线？...............15条直线 . 2）、在同一条直线上的4个点构成多少条直线？.................1条直线.3)、6点中取1点，共线的4点种取1点构成多少条直线？......6乘以4=24条直线.一共可以构成：15+1+24=40条直线。

3)中6点中取得1点有6种不同的取法，4点中取1点有4种取法，构成1条直线需要两个点，取完2个点才算完成这件事，所以符合乘法原理：6乘以4=24条。

正确答案：40条。

2007年小学数学奥林匹克决赛试卷1、计算3.49+4.47+3.51-2.38+4.53-2.62=。

2、计算＝__________。

3、5个相邻整数之和是135，那么最小的数是。

4、一个5升的饮料瓶灌满纯桔子汁。

小林喝了两升后，又用纯净水将它灌满摇匀。

第二天，他再喝了两升饮料后，仍然用纯净水将它灌满摇匀，这时的饮料中，纯桔子汁含量占的百分比是%。

5、一个等腰直角三角形内有一个正方形，正方形内有一个面积为10平方米的圆。

如果这个正方形的一条边在直角三角形的斜边上，那么，直角三角形的面积最少是平方米。

(这里π=3)6、两个瓶子A、B各装有6升盐水溶液。

他们的含盐浓度分别为5%，10%。

我们将A的溶液倒一升到B中，又将B中摇匀后的一升溶液倒回A中。

我们把这样的操作称为一次勾兑。

显然，每经过一次勾兑之后，A瓶的含盐浓度将会增加。

如果希望将A瓶的含盐浓度增加到6.5%以上，那么，我们至少需要勾兑次。

7、一个旅游团到某饭店用餐。

如果每人收16元，还差4元。

如果每人收19元，付用餐费加15%的旅途点心费后，还剩2元。

那么，这个旅行团共有人。

8、一条公路上依次设有A、B、C、D、E五个车站。

它们两两之间的十个距离中，只有一个是未知数K，其余九个距离数从小到大排列依次是：2、4、5、7、8、13、15、17、19（公里）。

从A开往E的汽车到达C站时发现行程已超过全程的一半，那么，这时汽车开了公里。

9、在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物。

有10%的狗认为它们是猫；有10%的猫认为它们是狗。

其余动物都是正常的。

一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有20%认为自己是猫。

如果这个奇怪的动物村庄里有65只猫，那么，狗的数目是只。

10、一个楼阁上有十盏路灯，它们由起点处的十个开关控制，开关编号为1，2，…，10，都是关闭的。

管理员第一次把所有开关都打开；第二次把有偶数号的开关关掉；第三次把所有编号是3的倍数的开关都变动一次（变动的意思是：把关着的开关打开，把打开的开关关闭）；第四次把所有编号是4的倍数的开关都变动一次；如此继续到第九次，这时，楼阁上打开的灯有盏。

2009年小学数学奥林匹克决赛试卷及解答(2)7、一项工程，交甲工程队做需30天完成，每天工程费用万元；交乙工程队做需40天完成，每天工程费用万元，为了在20天内完成，安排甲、乙两队共同参与这项工程，如果两队工作的天数可以不一样，那么，两队共同完成这项工程的总费用至少需要15万元。

解答：设甲工作了x天，乙工作了y天。

1/30x+1/40y=1,4x+3y=120,Y=40-4/3 x,这里x、y均小于20。

只有当x=15时,y=20; 当x=18时,y=16;15×2/3+20×1/4=15；18×2/3+16×1/4=16。

15小于16答：两队共同完成这项工程的总费用至少需要15万元。

8、如图，半径分别是8和28的两个圆盘。

大圆是固定的。

小圆在大圆的外面，沿大圆圆周按逆时针方向滚动。

开始时小圆圆周上的A点与大圆圆周上的B点重合。

当A、B两点再次重合时，A至少绕小圆圆心转动了9圈。

解答：A至少绕小圆圆心转动了 9 圈。

9、右下图中有12个点，A、B、…X、Y、Z，和若干个三角形。

如果从中选出4个三角形，使得它们的顶点正好是图中的12个点，就称这样的选法是合格的选法。

例如，图中用粗线标出的4个三角形（ABM，CLF，DZY，EKX）就是一个合格的选法。

那么，不同的合格选法共有10种。

解答：不同的合格选法共有 10种。

（1）ABM、CLF、DZY、EKX；（2）ABM、CFK、DYL、EXZ；（3）BCK、ADL、EMZ、XFY；（4）BCK、AMD、YFL、ZEX；（5）ACL、BEM、DZY、KXF；（6）ACL、BKE、XFY、DMZ；（7）ABC、DMZ、YFL、XEK；（8）ABC、DYL、XKF、MEZ；（9）XYZ、AMD、CFL、BKE；（10）XYZ、ADL、CKF、BEM。

10、字母A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 代表不同的数字。

这些数字满足算式：那么，七位数 = 2178409。

世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛2009年分赛区晋级赛六年级试卷（满分120分，时间90分钟）一、填空题1、在1-100这100个自然数中，所有不能被9整除的奇数的和是____________。

2、同学们去郊游，去时每小时行5千米，回来时每小时行3千米，他们往返的平均速度是_____________千米/时。

3、有一个不等于0的自然数，它的12是一个立方数，它的13是一个平方数，则这个数最小是_____________。

4、1511199899 (2612209900)+++++=________________。

5、小明和小莉早晨去上学，小明去学校的路程比小莉多25，小莉用的时间比小明少25。

小明与小莉的速度比是_______________。

6、甲、乙两个容器中装有40%和25%的盐水，若把两容器的盐水混合在一起，可得到浓度为30%的盐水，设甲容器中盐水质量是a 千克，则乙容器中盐水质量是____________千克。

7、如图在梯形ABCD 中，两条对角线AC BD 、相交于O 点，已知21,54AOD AO AC S cm ∆==，则梯形面积是_______________ 2cm 。

8、一个圆的半径减少40%后，这个圆的面积要减少______________%。

9、一个边长为10cm 的正方形被两条线段分割成两个等高的直角梯形12,S S 和一个直角三角形。

已知12,S S 的面积相差10cm 2，那么图中x 的值是_____________cm 。

10、以平面上不在同一条直线上的三个点为顶点可以连成一个三角形，现在平面上有10个点，并且其中任意三点都不在同一条直线上，则以这10个点为顶点的三角形共有_____________个。

二、解答题11、如图所示，O 为圆心，三角形AOB 为等腰直角三角形，它的面积是40cm 2。

求阴影部分的面积（π取3.14）。

12、小华看一本科技书，看了3天，剩下121页。

2009届小学数学奥林匹克竞赛预赛试题及答案2009届小学数学奥林匹克竞赛预赛试题及答案时间：2012-12-06 11:18 来源：世奥赛资讯站作者：世奥赛小编阅读：175次2009年小学数学奥林匹克预赛试卷及参考答案(本卷共12个题，每题10分，总分120分)1、23×( ＋)＋13×( －)－15×( ＋)=( )解：原式=69/11+11+13×15/23-39/11-30/11-15×13/23=112、(1－)(1－)…(1－)=( )解：原式=1/2×2/3×3/4×4/5×……×2007/2008×2008/2009=1/20093、两个整数相除，商数=4，余数=7。

已知被除数比除数大58，那么除数是( )。

解：设除数为x。

则x+58=4x+7 x=174、四位数- =5904，如果是偶数，那么=( 8892 )。

解：8892-2988=59045、右图中的三角形都是等腰直角三角形。

图中阴影部分的面积=( )。

解：5×5÷2÷2-2×2÷2=4.256、下面是一个乘法算式，它的得数是(69104 )。

１２□□×５□□□０４□□７０□□□□□解：1234×56=69014７、一个泉水池，每分钟涌出的泉水量不变。

如果用8台抽水机工作，10小时能把水抽干；如果用12台抽水机工作，6小时能把水抽干。

那么，用14台抽水机把水抽干，需要工作( )小时。

解：设1台抽水机1小时抽的水为1份。

则每小时涌出的泉水量为（8×10-12×6）÷（10-6）=2（份）原有的水量为8×10-10×2=60（份）用14台抽水机把水抽干，需要工作60÷（14-2）=5（小时）。

2009年小学数学奥林匹克决赛试卷（本卷共12题，每题10分，总分120分）1、5)69221223221514653.0(÷-⨯⨯+⨯∙= 。

2、)200911()311)(211(222--- = 。

3、自然数1，2，…，100中，数字“1”共使用了 次。

4、如图，在一个4×4的正方形内，两个41圆周的半径分别是2和4。

取π=3，那么图中两个阴影部分的面积之差是 。

5、某种商品，去年的售价比前年上涨10%，今年的售价比去年下跌10%，，比前年下跌0.09元。

那么，该商品前年的售价是 元。

6、假日里有57位同学去郊外野餐，他们分成3人或4人一个小组进行准备，可以都是分成3人一组，这算一种分组方法；也可以分成若干3人组，若干个4人组。

3人组和4人组的个数不同就是不同的分组方法。

那么，不同的分组方法有 种。

7、一项工程，交甲工程队做需30天完成，每天工程费用32万元；交乙工程队做需40天完成，每天工程费用41万元，为了在20天内完成，安排甲、乙两队共同参与这项工程，如果两队工2222Z X Y D E F K L MA B C 作的天数可以不一样，那么，两队共同完成这项工程的总费用至少需要 万元。

8、如图，半径分别是8和28的两个圆盘。

大圆是固定的。

小圆在大圆的外面，沿大圆圆周按逆时针方向滚动。

开始时小圆圆周上的A 点与大圆圆周上的B 点重合。

当A 、B 两点再次重合时，A至少绕小圆圆心转动了 圈。

9、右下图中有12个点，A 、B 、…X 、Y 、Z ，和若干个三角形。

如果从中选出4个三角形，使得它们的顶点正好是图中的12个点，就称这样的选法是合格的选法。

例如，图中用粗线标出的4个三角形（ABM ，CLF ，DZY ，EKX ）就是一个合格的选法。

那么，不同的合格选法共有 种。

10、字母A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 代表不同的数字。

这些数字满足算式：那么，七位数ABCDEFG = 。

2009广东省小学数学奥林匹克五年级决赛试题（时间：2009年 4 月18 日上午9：00—10：30）学校：班别：姓名：准考证号：填空题（请把答案填在横线上，共15题，每题10分，满分150分）1. 计算：(364278－3642.78)÷(182139－1821.39)＝2. 计算：288289×357356－288288×357357＝3. 1×4×7×10×13×……×97×100的积的末尾有个连续的0。

4. 右图ABC是直角三角形，BCDE是直角梯形，上底ED长20厘米，下底BC长22厘米，高EB长9厘米，甲三角形的面积比乙三角形大9平方厘米， AE长厘米。

5. 计算34个偶数的平均数，保留一位小数是29.4，保留两位小数最小是。

6. 有五个都不是0的不同的自然数，它们当中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数。

如果这五个数的和尽可能小，那么这个最小的和是。

7. 甲、乙两人岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，这个质数的数字之和是17，甲比乙也刚好大17岁，那么甲是岁，乙是岁。

8. 一次数学竞赛有120人参加，全体参加的男、女生的平均分是76分，其中男生的平均分是79分，女生的平均分是71分，参加数学竞赛的男生有人。

9. 甲、乙两车先后以相同的速度从A站按相同的方向开出，10：00甲车与A站的距离是乙车与A站的距离的3倍，10：40乙车在甲车与A站的距离的中点，那么甲车在A站开出时是时分。

10. 甲、乙二人各要做同样多的零件，同时开始做，6小时后两人完成的零件等于甲一人的任务。

乙用10小时完成自己的任务，这时甲还有80个没做。

两人一共要做个零件。

11. 两个自然数的和是60，这两个数的最小公倍数与最大公因数的差也是60，这两数分别是和。

12. 右图是由两个边长都是自然数的长方形A与B组成，它的总面积为510平方米，其中长方形B的面积是133平方米，则由长方形A与B所组成的图形的周长最小是米。

2009年第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案2009年第50届IMO解答2009年7月15日1、是一个正整数，是n12,,...,(2)kaaak≥{}1,2,...,n中的不同整数，并且1(1iinaa+.对于所有都成立，证明：1,2,...,1ik=1(1kaa.不能被n整除。

证明1：由于12(1naa.，令1(,)nap=，nqp=也是整数，则npq=，并且1pa，21qa.。

因此，由于2(,)1qa=23(1npqaa=.，故31qa.；同理可得41qa.，。

，因此对于任意都有2i≥1iqa.，特别的有1kqa.，由于1pa，故1(1knpqaa=.(*)。

若结论不成立，则1(1knpqaa=，与(*)相减可得1(knaa.，矛盾。

综上所述，结论成立。

此题平均得分：4.804分2、外接圆的圆心为O，分别在线段上，ABCΔ,PQ,CAAB,,KLM分别是,,BPCQPQ的中点，圆过Γ,,KLM并且与相切。

证明：OPPQOQ=。

*****QP证明：由已知*****QP∠=∠=∠，*****PQ∠=∠=∠，因此APQMKLΔΔ～。

所以*****QMLCP==，故*****Q.=.(*)。

设圆O的半径为R，则由(*)有222ROPROQ.=.，因此OPOQ=。

不难发现OP也是圆Γ与相切的充分条件。

OQ=PQ此题平均得分：3.710分3、是严格递增的正整数数列，并且它的子数列和都是等差数列。

证明：是一个等差数列。

123,,,...SSS123,,,...SSSSSS*****,,,.SSSSSS+++123,,,...SSS问题等价于：:fZZ+→是一个严格递增的函数。

()()nbffn=是一个等差数列，也是一个等差数列。

证明：(()1ncffn=()nafn=也是等差数列。

证明：由于是一个严格递增的整值函数，所以对于任意f,xy均有()()fxfy xy.≥.。

令{}{},nnbc的公差分别为，则有,de()()(1)()(1)(dffnffnfnfn=+.≥+.，将可得()nfn→()()()1()0nndffnffncb≥+.=.，因此对于任意都有kZ+∈()()*****kkdcbcbkde++≥.=.+.故只能有，也即两个等差数列公差相等，故可设de=nncbg.=是一个为常数。

小学数学奥林匹克试题预赛(A)卷1.计算：（1+0.12+0.23）×（0.12+0.23+0.34）-（1+0.12+0.23+0.34）×（0.12+0.23）=________.2.计算: =__________.3.用两个3, 一个1, 一个2可组成种种不同的四位数,这些四位数共有_______个.4.在一本数学书的插图中, 有100个平行四边形, 80个长方形, 40个菱形. 这本书的插图中正方形最多有_____.5.如下图, 已知正方形ABCD 和正方形CEFG, 且正方形ABCD 每边长为10厘米, 则图中阴影(三角形BFD)部分的面积为________.6.在右上图中, 三个圆的半径分别为1厘米、2厘米、3厘米, AB 和CD 垂直且过这三个圆的共有圆心O. 图中阴影部分面积与非阴影部分的面积之比是________.7.在下式的圆圈和方框中, 分别填入适当的自然数, 使等式成立. 方框中应填_____.8.圆珠笔和铅笔的价格比是4:3, 20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元, 则圆珠笔的单价是每支______元.9.将一个四位数的数字顺序颠倒过来, 得到一个新的四位数. 如果新数比原数大7992, 那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是________.10.两个带小数相乘, 乘积四舍五入以后是22.5. 已知这两个数都只有一位小数, 且个位数字都是4, 则这两个数的乘积四舍五入前是________.11.下面三个正方形内的数有相同的规律, 请你找出它们的规律, 并填出B,C, 然后确定A, 那么A 是_______.12.张宏、李桐和王丽三个人, 都要从甲地到乙地, 上午6时, 张、李二人一起从甲地出发, 9 12 3 20 23 4 A 3B C张每小时走5千米, 李每小时走4千米, 王丽上午8时才从甲地出发, 傍晚6时, 王、张同时到达乙地, 那么王丽什么时间追上李桐?1．计算: 38.3×7.6+11×9.25+427×0.24=________.2．计算: =_________.3．有20个自然数, 它们的和是1999, 在这些数里, 奇数的个数比偶数的个数多, 这些数里偶数至多有______个.4．在一本数学书的插图中, 有100个平行四边形, 80个长方形, 40个菱形. 这本书的插图中正方形最少有______.5．如右图, ABCD是长方形, 图中的数字是各部分的面积数, 则图中阴影部分的面积为_______.6．在下式的圆圈和方框中, 分别填入适当的自然数, 使等式成立. 方框中应填________.7．3只玩具兔卖10元, 5只玩具熊卖20元, 某幼儿园花了70元共买了18只玩具兔和熊, 那么其中玩具兔有______只.8．右图中, 三个圆的半径分别为1厘米、2厘米、3厘米, 则图中阴影部分面积与非阴影部分的面积之比是______.9．甲桶油比乙桶油多3.6千克, 如果从两桶中各取出1千克后, 甲桶里剩下油的等于乙桶里剩下油的, 那么甲桶原有油_______千克.10．两个两位数的乘积是6232, 则两个数中较大的数是_______.11．某次数学竞赛共有五道题(满分不是100分), 赵军只做对了(1)(2)(3)(4)题, 得26分; 钱广只做对了(1)(2)(3)(5)题, 得25分; 孙悦只做对了(1)(2)(4)(5)题, 得26分; 李彤只做对了(1)(3)(4)(5)题, 得27分; 周泉只做对了(2)(3)(4)(5)题, 得28分; 吴伟五题都对了, 得________分.12．甲每小时跑14千米, 乙每小时跑11千米, 乙比甲多跑了10分钟, 结果比甲少跑了1千米. 乙跑了______千米.1．若435×□÷35=870, 则□=_________.2．计算(答数用分数表示): =_________.3．把右面除法算式中缺少的数补上, 则商为_________.4．甲、乙、丙、丁四人平均植树30多棵, 甲植树棵数是乙的, 乙植树棵数是丙的 , 丁比甲还多植树3棵,那么丙植树_________棵.5．如右图,一个矩形被分成八个小矩形, 其中有五个小矩形的面积如右图数字所示, 那么这个大矩形面积是______.6．编号为(1)(2)(3)(4)的四个正方形边长都是1. 将各图中阴影部分的面积用等号或不等号连接起来为_________.7．一个水箱用甲、乙、丙三个水管往里注水. 若只开甲、丙两管, 甲管注入18吨水时, 水箱已满; 若只开乙、丙两管, 乙管注入27吨水时, 水箱才满. 又知乙管每分钟的注水量是甲管每分钟注水量的2倍, 则该水箱可容_________吨水.8．张津坐汽车, 王东骑自行车, 都从甲地匀速驶往乙地. 已知汽车经过两地中点时, 自行车走了全程的 , 汽车到达终点时, 自行车刚好走到两地的中点, 汽车和自行车速度的比是_________.9．甲、乙、丙三数分别是603, 939, 393. 某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍, A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍. A=_________.10．已知某月中, 星期二的天数比星期三的天数多, 星期一的天数比星期日的天数多, 那么这个月的5号是星期_________.11．在时钟盘面上, 1时45分时的时针与分针之间的夹角是_________.12．买贺卡a张, 付b元(a, b都是自然数). 营业员说："你若再多买10张，我就总共收你2元，这相当每买30张你可以省2元。

2009世界奥林匹克数学竞赛（中国区）总决赛
——思维能力比赛试卷
三年级试卷（本试卷满分100分，考试时间120分钟）
1、用简便方法计算下面各题（7.5×2＝15分）
（1）677＋3×6770＋677×69 （2）1999＋999×999
2、右图是由同样大小的五个正方形拼成的，请你将图形切分成四块形状、大小都一
样的图形。

（12分）
3、东风小学有100名学生参加数学竞赛，平均分是75分，其中参赛的男同学的平均分为68分，女同学的平均分为78分。

那么该校有多少名女同学参赛？（12分）
4、一天，有一个年轻人到鞋店里买了一双鞋，这双鞋的成本是15元，标价是21元。

结果是这个年轻人掏出50元要买这双鞋，鞋店当时没有零钱，用那50元向街坊换了50元零钱，找给年轻人29元。

但是街坊后来发现那50元是假钞，鞋店主无奈之下还给街坊50元。

鞋店在这次交易中损失了多少元？（12分）
5、A、B两地相距40千米。

甲乙两人如果同时从两地相向而行，8小时后在途中相遇；如果二人同时从A 地向B地出发，5小时后，甲在乙前面5千米。

甲、乙二人每小时各行多少千米？（13分）
6、有124吨水泥，要用车从仓库运到商场。

有两种车可供出租，大卡车每次可运10吨，运费200元；小卡车每次运4吨，运费90元。

可怎样租车？租车方案中总运费最优的方案是什么？（16分）。

行程问题多人行程二次相遇、追及问题多次相遇、追及问题火车过桥流水行船环形跑道简单的相遇、追及问题基本行程问题钟面行程走走停停接送问题发车问题电梯行程猎狗追兔平均速度数论问题数的整除约数倍数余数问题质数合数、分解质因数奇偶分析中国剩余定理位值原理完全平方数整数拆分进位制几何问题巧求周长几何的五大模型勾股定理与弦图圆与扇形立体图形的表面积和体积立体图形染色计数其它直线型几何问题格点与面积计数加法原理乘法原理排列组合枚举法标数法捆绑法插板法排除法对应法树形图法归纳法整体法递推法容斥原理几何图形计数应用题分数百分数应用题工程问题鸡兔同笼问题盈亏问题年龄问题植树问题牛吃草问题经济利润问题浓度问题比例问题还原问题列方程解应用题计算问题数学计算公式繁分数的计算分数裂项与整数裂项换元法凑整找规律比较与估算循环小数化分数拆分通项归纳定义新运算杂题逻辑推理数阵图与数字谜抽屉原理操作与策略不定方程最值问题染色问题各年级奥数知识点一年级奥数知识点认识图形数一数动手画画区分图形数数与计数火柴棍游戏二年级奥数知识点速算与巧算自然数列趣题填图与拆数数数与计数一笔画问题猜猜凑凑三年级奥数知识点植树问题长方形与正方形的面积和差问题平均数问题上楼梯问题鸡兔同笼问题四年级奥数知识点定义新运算倒推法的妙用格点与面积乘法原理行程问题有趣的数阵图五年级奥数知识点带余数的除法流水行船问题容斥原理巧求表面积时钟问题牛吃草问题六年级奥数知识点巧求分数比和比例圆柱与圆锥棋盘上的覆盖枚举法趣题巧解小学奥数理论知识速查手册（一）【学而思网校】2010-08-06 10:34②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

2009年湖北省小学数学奥林匹克决赛试题（A 卷）答案1. 解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++++42130120112161211197531 = 36＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++71-6161-5151-4141-3131-2121-1 = 7636 2. 解析：502213159-8335531512+⨯⨯ ＝3159-5022150279+ ＝3159-10 ＝3126 3. 解析：此题表面上没有分析的入角点，但是四位数每个位置上最高为9，全部为9也只能是36 ，刚好少了2，所以可能是一个位置上少2或者两个位置各少1A. 当3个9和1个7时，7可以放在四个位置上的任何一个位置。

分别为：9997 9979 9799 7999一共4种；B. 当2个9和2个8时，可能为：9988、8899、8989、9898、9889、8998一共6种4. 解析：将所有的点分两拨进行讨论(1) 所以另外6点内部可以构成多少条直线？...............15条直线 .(2) 在同一条直线上的4个点构成多少条直线？.................1条直线.(3) 6点中取1点，共线的4点种取1点构成多少条直线？......6乘以4=24条直线. 一共可以构成：15+1+24=40条直线5. 解析：此题用方程的方法有点复杂乙：甲=4：5 丙：乙=3：8 可见：甲：乙：丙=10：8：3三个人一共付款10+8+3=21份，每个人都应该平摊7321=份 丙实际上只给了3份，应该给7份的钱，少给了4份的钱。

也就是说少给的这4份钱代表了24元，所以每份需要6424=元 乙给了8份的钱，多给了1份的钱，所以需要拿回1份的钱6元。

6. 解析：72＝8×9能被8整除的数的特点为：末尾三位数能够被8整除能被9整除的数的特点为：全部数字加起来能被9整除此题超出了研究的范围7. 设该用户本月用电x 度()47.0x45.0100-x 5.0100=∙+⨯ ， x ＝250 8. 解析：设总路程为单位“1”V 甲＝401 15秒钟甲跑了8315401=⨯ V 乙＝2411583-1= 多长时间会第一次追上甲，即乙比甲多跑一圈，设时间为t1t 401-t 241= ， t ＝60 9. 解析：此题在初一上册知识上加以改编，设对的题数为x当x ＝10，得分最差＝10×8－5×10＝30＞13，不符合情况当x ＝1时，得分＝1×8＝8＜13，不符合情况所以，只可能是2≤x ≤9当x ＝2时，得分＝2×8＝16分，需要扣除3分，不可能当x ＝3时，得分＝3×8＝24分，需要扣除11分，不可能当x ＝4时，得分＝4×8＝32分，需要扣除19分，不可能当x ＝5时，得分＝5×8＝40分，需要扣除27分，不可能当x ＝6时，得分＝6×8＝48分，需要扣除35分，可以是做错7题，不做7题其他情况，同样可以如此验证都不符合情况10. 解析：195cm--------x 根--------可以做65cm 的木料：3x 根176cm--------y 根--------可以做88cm 的木料：2y 根218cm--------z 根--------可以做65cm 的2z 根＋88cm 的z 根⎩⎨⎧=+=+15z y 215z 2x 3 可以发现，2z 为偶数，15为奇数，则3x 必须为奇数，这样就缩小了讨论的范围 x ＝1、3、5最终可知：195cm 的3根，176cm 的6根，218cm 的3根11. 解析：设甲速度为a 千米/小时，乙速度为b 千米/小时，则A 、B 两地之间的距离为8(a+b)千米()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++⨯+=-+++⨯+208585168585a b a b a a b b a b a b 解得a+b=45所以8(a+b)=360。

CB2009年中国数学奥林匹克试题与解答(2009年1月11日)一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ⋅=⋅；（2）若 EM FN EN FM ⋅=⋅，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接EQ ，MQ ，FR ，MR ，则11,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形， 所以OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以ABD ACD ∠=∠，于是22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ∆≅∆， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ，所以 EM FN EN FM ⋅=⋅． （2）答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有EM FN EN FM ⋅=⋅，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则11,22NS OD EQ OB ==，所以NS ODEQ OB=． ① 又11,22ES OA MQ OC ==，所以ES OAMQ OC=． ② 而AD ∥BC ，所以OA ODOC OB =， ③ 由①，②，③得NS ESEQ MQ=． 因为 2NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠，()(1802)EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+︒-∠(180)2AOE EOB AOD AOE =∠+︒-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 所以NSE ∆～EQM ∆，故EN SE OAEM QM OC==（由②）． 同理可得， FN OAFM OC =， 所以 EN FNEM FM=， 从而 EM FN EN FM ⋅=⋅．二、求所有的素数对（p ，q ），使得qppq 55+．解：若pq |2，不妨设2=p ，则qq 55|22+，故255|+qq ．由Fermat 小定理， 55|-qq ，得30|q ，即5,3,2=q ．易验证素数对)2,2(不合要求，)3,2(，)5,2(合乎要求．若pq 为奇数且pq |5，不妨设5=p ，则qq 55|55+，故6255|1+-q q ．当5=q 时素数对)5,5(合乎要求，当5≠q 时，由Fermat 小定理有15|1--q q ，故626|q ．由于q 为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以313=q ．经检验素数对)313,5(合乎要求．若q p ,都不等于2和5，则有1155|--+q p pq ，故)(m od 05511p q p ≡+--． ①CB由Fermat 小定理，得 )(m od 151p p ≡- ， ②故由①，②得)(m od 151p q -≡-． ③设)12(21-=-r p k，)12(21-=-s q l， 其中s r l k ,,,为正整数． 若l k ≤，则由②，③易知)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)12(21)12(2p r r q s r s p s l k l k l -≡-≡==≡=----------，这与2≠p 矛盾！所以l k >．同理有l k <，矛盾！即此时不存在合乎要求的),(q p ． 综上所述，所有满足题目要求的素数对),(q p 为)3,2(，)2,3(，)5,2(，)2,5(，)5,5(，)313,5(及)5,313(．三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A 是一个正2n +1边形，{}1221,,,+=n A A A P ．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数．解 先证一个引理：顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻． 事实上，设这个凸m 边形为m P P P 21，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设221π<∠P P P m ，则)13(2122-≤≤>∠-=∠m j P P P P P P m m j ππ，更有)13(211-≤≤>∠+-m j P P P j j j π．而321P P P ∠+11P P P m m -∠>π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理． 由引理知，若凸m 边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．在凸m 边形中，设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边（n r ≤≤1），这样的),(j i 在r 固定时恰有12+n 对．（1） 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在劣弧j i A A 上，而j i A A 劣弧上有1-r 个P 中的点，此时这2-m 个顶点的取法数为21--m r C ．（2） 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在优弧j i A A 上，取i A ，j A 的对径点i B ，j B ，由于凸m 边形在顶点i A ，j A 处的内角为锐角，所以，其余的2-m 个顶点全在劣弧j i B B 上，而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点，此时这2-m 个顶点的取法数为2-m r C ．所以，满足题设的凸m 边形的个数为))()()(12()12()()12(11111111121211221∑∑∑∑∑==--+---=-=--=----+-+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++nr nr m rm r m r m r n r m r n r m r nr m rm r C C C C n C C n CCn))(12(111--+++=m n m n C C n ．四、给定整数3≥n ，实数n a a a ,,,21 满足 1min 1=-≤<≤j i nj i a a ．求∑=nk k a 13的最小值．解 不妨设n a a a <<< 21，则对n k ≤≤1，有k n a a a a k k n k n k 2111-+≥-≥++-+-，所以()∑∑=-+=+=nk kn knk ka a a 13131321()()()∑=-+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=n k k n k kn k k n k a a a a a a 121211414321 ()∑∑==-+-+≥+≥n k nk kn k k n a a 13131218181． 当n 为奇数时，222113313)1(412221-=⋅⋅=-+∑∑-==n i k n n i nk ． 当n 为偶数时，32113)12(221∑∑==-=-+n i nk i k n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==21313)2(2ni n j i j)2(4122-=n n ． 所以，当n 为奇数时，2213)1(321-≥∑=n ank k，当n 为偶数时，)2(3212213-≥∑=n n a nk k，等号均在n i n i a i ,,2,1,21=+-=时成立． 因此，∑=nk k a 13的最小值为22)1(321-n （n 为奇数），或者)2(32122-n n （n 为偶数）．五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n ，存在一种染色方式，使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P 的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？解 当n 3≥为奇数时，存在合乎要求的染法；当n 4≥为偶数时，不存在所述的染法。

2008-2009学年第二学期期末考试《数学奥赛》试卷出卷人：适用年级：三年级1、一根钢筋锯成2段用了3分钟，如果锯成6段需要（）分。

2、将2、4、6、8这四个数填入下面算式中，使两个数的乘积最大。

□□×□□3、用1、4、7、0可以组成（）个三位数。

4、古代有个国家，1头猪可换4只羊，1头牛可换5头猪。

1头牛可换（）只羊。

5、有一列数：2、5、3、2、5、3……第31个数字是（）。

6、长方形的周长是１８米，这个长方形的面积最大是（）平方米。

7、已知○＋○＋□=12，□=○＋○。

○=（），□=（）。

8、在□÷□=7……□中，余数最小是（），最大是（）。

9、、正方形的边长是6厘米,它的周长是( ),面积是( )。

10、、找规律填空： 0， 1， 1， 2， 3， 5， 8，（）。

1， 2， 2， 4， 3， 8，（），（）。

2， 6， 18， 54，（），（）。

二、我会选（15分）1、一张长方形纸片有4个角，用剪刀沿直线剪掉1个角后，最多还剩（）个角。

① 4 ② 2 ③ 3 ④ 52、如果有3只猫，同时吃3条鱼，需要3分钟的时间才能吃完，按照同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要（）时间。

① 50 ② 100 ③ 9 ④ 33、有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过１０天可以把整个池塘全部遮住。

问：睡莲要遮住半个池塘需要（）天。

①７②１０③９④ 84、8个足球队进行比赛,每两个队打一场,共要打( )场.①8 ②16 ③ 24 ④28 5、学校给长30米的水泥路，从头到尾每3米插上彩旗，每旁共插（）面彩旗。

①10 ②9 ③11 ④12三、计算（15分）1、（6分）○＋□＝45 ○=( )△＋□＝40 □=( )△＋○＝41 △=( )2、巧算:（9分）997 ＋246= 23＋18＋47＋82= 875-364-236=一、解决问题（29分）1、小华4次数学测验的平均成绩是90分，第5次得了95分，5次测验的平均成绩是多少分？（9分）2、秦秦和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？(10分）3、用篱笆围成的一块长方形菜地，其中有一边是长15米的墙壁，篱1、一根钢筋锯成2段用了3分钟，如果锯成6段需要（）分。

小学数学奥林匹克试题及答案小学数学奥林匹克试题及答案数学奥林匹克是针对小学阶段学生的数学竞赛，旨在培养孩子的数学思维和解决问题的能力。

以下是一份小学数学奥林匹克试题及答案，供家长和老师们参考。

1、有一个正方形的池塘，池塘的边长为5米。

请问池塘的周长和面积分别是多少？解：池塘的周长是20米，面积是25平方米。

2、一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。

请问这只青蛙跳n级台阶最少要跳几次？解：当n为偶数时，青蛙需要跳n/2次；当n为奇数时，青蛙需要跳(n+1)/2次。

3、小明有4个苹果，小红有3个苹果，他们把这些苹果放在一起，请问他们一共有多少个苹果？解：一共有7个苹果。

4、一个数的平方减去这个数的本身等于14，请问这个数是多少？解：这个数是7或-7。

5、小明从家到学校有5个红绿灯，每个红绿灯有3种状态：红灯、黄灯和绿灯。

请问小明从家到学校一共有多少种不同的红绿灯组合？解：小明从家到学校一共有3^5=243种不同的红绿灯组合。

希望以上试题和答案能够为家长和老师们提供一些帮助。

也建议家长们在平时的生活中多引导孩子发现生活中的数学问题，培养孩子的数学思维和解决问题的能力。

小学数学奥林匹克竞赛试题及答案小学数学奥林匹克竞赛试题及答案一、选择题1、以下哪个数是质数？ A. 10 B. 17 C. 23 D. 25 答案：B2、下列哪个图形是正方形？ A. ① B. ② C. ③ D. ④答案：C3、下列哪个算式的结果为偶数？ A. 2 + 4 + 6 + ... + 100 B. 3 + 6 + 9 + ... + 99 C. 1 + 3 + 5 + ... + 99 D. 1 + 4 + 7 + ... + 100 答案：A二、填空题4、一个长方形的长比宽多2，若长和宽均为整数，则这个长方形的面积最小为______。

答案：641、若将1至200的整数均匀写在一张纸上，则纸上所有数字的总和为______。

2009中国数学奥林匹克解答一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ⋅=⋅；（2）若 EM FN EN FM ⋅=⋅，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接EQ ，MQ ，FR ，MR ，则11,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，所以OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以ABD ACD ∠=∠，于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，所以 E Q M E Q OO Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ∆≅∆，所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 E M F N E N F M⋅=⋅． （2）答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有EM FN EN FM ⋅=⋅，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则CB11,22NS OD EQ OB ==，所以N S O DE Q O B=． ① 又11,22ES OA MQ OC ==，所以ES OAMQ OC=． ② 而AD ∥BC ，所以OA ODOC OB=， ③ 由①，②，③得NS ESEQ MQ=． 因为 2NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠，()(1802)EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+︒-∠ (180)2AOE EOB AOD AOE =∠+︒-∠=∠+∠，即 NSE EQM ∠=∠， 所以 NSE ∆～EQM ∆， 故EN SE OAEM QM OC==（由②）． 同理可得， FN OAFM OC =， 所以 EN FNEM FM =， 从而 EM FN EN FM ⋅=⋅．CB二、求所有的素数对（p ，q ），使得q p pq 55+．解：若pq |2，不妨设2=p ，则q q 55|22+，故255|+q q ．由Fermat 小定理， 55|-q q ，得30|q ，即5,3,2=q ．易验证素数对)2,2(不合要求，)3,2(，)5,2(合乎要求．若pq 为奇数且pq |5，不妨设5=p ，则q q 55|55+，故6255|1+-q q ． 当5=q 时素数对)5,5(合乎要求，当5≠q 时，由Fermat 小定理有15|1--q q ，故626|q ．由于q 为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以313=q ．经检验素数对)313,5(合乎要求．若q p ,都不等于2和5，则有1155|--+q p pq ，故)(m od 05511p q p ≡+--． ①由Fermat 小定理，得 )(m od 151p p ≡- ， ② 故由①，②得)(m od 151p q -≡-． ③设)12(21-=-r p k ，)12(21-=-s q l ， 其中s r l k ,,,为正整数． 若l k ≤，则由②，③易知)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)12(21)12(2p r r q s r s p s lkl kl -≡-≡==≡=----------，这与2≠p 矛盾！所以l k >．同理有l k <，矛盾！即此时不存在合乎要求的),(q p ． 综上所述，所有满足题目要求的素数对),(q p 为)3,2(，)2,3(，)5,2(，)2,5(，)5,5(，)313,5(及)5,313(．三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A 是一个正2n +1边形，{}1221,,,+=n A A A P ．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数．解 先证一个引理：顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．事实上，设这个凸m 边形为m P P P 21，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设221π<∠P P P m ，则)13(2122-≤≤>∠-=∠m j P P P P P P m m j ππ，更有)13(211-≤≤>∠+-m j P P P j j j π．而321P P P ∠+11P P P m m -∠>π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理． 由引理知，若凸m 边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻． 在凸m 边形中，设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边（n r ≤≤1），这样的),(j i 在r 固定时恰有12+n 对．（1） 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在劣弧j i A A 上，而j i A A 劣弧上有1-r 个P 中的点，此时这2-m 个顶点的取法数为21--m r C ．（2） 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在优弧j i A A 上，取i A ，j A 的对径点i B ，j B ，由于凸m 边形在顶点i A ，j A 处的内角为锐角，所以，其余的2-m 个顶点全在劣弧j i B B 上，而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点，此时这2-m 个顶点的取法数为2-m r C ．所以，满足题设的凸m 边形的个数为))()()(12()12()()12(11111111121211221∑∑∑∑∑==--+---=-=--=----+-+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++nr nr m rm r m r m r n r m r n r m r nr m rm r C C C C n C C n CCn))(12(111--+++=m nm n C C n ．四、给定整数3≥n ，实数n a a a ,,,21 满足 1min 1=-≤<≤j i nj i a a ．求∑=nk k a 13的最小值．解 不妨设n a a a <<< 21，则对n k ≤≤1，有k n a a a a k k n k n k 2111-+≥-≥++-+-，所以()∑∑=-+=+=nk kn knk ka a a 13131321()()()∑=-+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=n k k n k kn k k n k a a a a a a 121211414321 ()∑∑==-+-+≥+≥n k nk kn k k n a a 13131218181． 当n 为奇数时，222113313)1(412221-=⋅⋅=-+∑∑-==n i k n n i nk ． 当n 为偶数时，32113)12(221∑∑==-=-+n i nk i k n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==21313)2(2ni n j i j)2(4122-=n n ． 所以，当n 为奇数时，2213)1(321-≥∑=n a nk k，当n 为偶数时，)2(3212213-≥∑=n n a nk k，等号均在n i n i a i ,,2,1,21 =+-=时成立． 因此，∑=nk k a 13的最小值为22)1(321-n （n 为奇数），或者)2(32122-n n （n 为偶数）．五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n ，存在一种染色方式，使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P 的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？解 当n 3≥为奇数时，存在合乎要求的染法；当n 4≥为偶数时，不存在所述的染法。

2009中国数学奥林匹克解答、给定锐角三角形PBC, PB = PC •设A, D分别是边PB,PC上的点，连接AC, BD，相交于点O.过点O分别作0E丄AB, OF丄CD，垂足分别为E, F,线段BC, AD的中点分别为M, N.(1)若A, B, C, D 四点共圆，求证：EM FN =EN FM ;(2)若EM FN =EN FM ,是否一定有A, B, C, D四点共圆？证明你的结论.解(1)设Q, R分别是OB, OC的中点,EQ, MQ, FR, MR」1 1EQ 0B 二RM, MQ OC 二RF , 2 2又OQMR是平行四边形，所以.OQM —ORM ,由题设A, B, C, D四点共圆，所以ABD "ACD ,于是EQO =2 ABD =2 ACD = FRO ,所以EQM = /EQO. OQM/ FRO. O RM ,故.E Q M 二.：M R,F所以EM = FM ,同理可得EN = FN,所以EM F N E N F.M(2) 答案是否定的.当AD // BC时，由于.B = C，所以A, B, C, D四点不共圆，但此时仍然有EM FN二EN FM，证明如下：如图2所示，设S, Q分别是OA, OB的中点，连接ES, EQ, MQ, NS,贝UNS 二丄OD, E^-OB ,2 2 所以EQ O B1 1又ES^OA MQ^OC,所以ES OAMQ - OC而AD// BC,所以OA ODOC~~OBNS ESEQ 一MQ因为NSE 二NSA • ASE 二AOD 2 AOE , .EQM - MQO . OQE 二.AOE • EOB (180 -2 EOB)= /AOE (180 -. EOB)=/AOD 2 AOE ,即所以故同理可得,所以从而NSE 二EQM ,. NSE 〜. EQM ,EN SE OAEM -QM - OC（由②）.FN OAFM - OC ,EN FNEM 一FM ,EM FN =EN FM .A NDE S 'FO由①，②，③得二、求所有的素数对(p, q),使得pq 5p+5q.解：若 2 | pq，不妨设p = 2，则2q|52- 5q，故q |5q• 25 .由Fermat小定理，q|5q—5，得q | 30，即q = 2, 3, 5 .易验证素数对(2,2)不合要求，(2,3)，(2, 5)合乎要求.若pq为奇数且5| pq，不妨设p = 5，则5q |555q，故q |5q」625 .当q =5时素数对(5,5)合乎要求，当q=5时，由Fermat小定理有q | 5q」_ 1，故q|626 .由于q为奇素数，而626的奇素因子只有313,所以q=313 .经检验素数对(5,313)合乎要求.若p,q都不等于2和5,则有pq|5p「5q」，故5pJ 5q_* = 0(mod p). ①由Fermat小定理，得5pJ 1 (mod p)，②故由①，②得5qJ= 1 (mod p). ③设p—1=2k(2r—1)，q-1=2l2s-1)，其中k,l,r,s 为正整数.若k空I，则由②，③易知1 彳上(Z =(5心)廿(Z =52l(2r4)(2s4) =(52)2r' =(-1)心=-1(modp)，这与p = 2矛盾！所以k l .同理有k ：l，矛盾！即此时不存在合乎要求的(p,q).综上所述，所有满足题目要求的素数对(P, q)为(2,3)，(3,2)，(2, 5)，(5,2)，(5, 5)，(5,313)及(313, 5).三、设m, n是给定的整数， 4 ：：：m ：：：n , AA2 A2n d是一个正2n+1边形，P =：A,A2,…，A2「I 1求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数.解先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻.事实上，设这个凸m边形为RP2…P m，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设.P m P i P2 ，则2卩2吓-二 - P zR P m 尹一j 乞口-1)，B亠K更有P j」P j P j i Q(3一j _ m -1) •而.RP2P3+. P m二P m R *二，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理.由引理知，若凸m边形中恰有两个内角是锐角，贝尼们对应的顶点相邻.在凸m边形中，设顶点A i与A j为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角•设A i与A j的劣弧上包含了P的r条边(1兰r W n )，这样的(i, j)在r固定时恰有2n 1对.(1)若凸m边形的其余m-2个顶点全在劣弧A i A j上，而A A j劣弧上有r-1个P 中的点，此时这m-2个顶点的取法数为C^ .(2)若凸m边形的其余m - 2个顶点全在优弧AA j上，取A i，A j的对径点B i , B j，由于凸m边形在顶点A，A j处的内角为锐角，所以，其余的m-2个顶点全在劣弧B j B j 上，而劣弧B i B j上恰有r个P中的点，此时这m-2个顶点的取法数为C r m^ .所以，满足题设的凸m边形的个数为n ■- n n(2n 1p (bj C r m')=(2n 1) '。

2009年小学数学奥林匹克决赛试卷2009年4月20日上午9：00—10：30 (本卷共12个题，每题10分，总分120分)1、(.3.0×465+151×2322×221－692)÷5=( )。

2、181＋211＋281＋631=( )。

3、100米赛跑中，A 比B 快10米，B 比C 快20米，那么A 比C 快( )米。

4、右图是由4个小正方形组成的大正方形。

两个41圆 周的半径分别是大、小正方形的边长，取π=3，那么图中的阴影部份的面积是大正方形的( )。

5、老师在黑板上写出从1到n 的全部正整数。

擦掉其中的一个数后，剩下那些数的平均数=462320。

那么，n=( )。

6、不超过1000的正整数中，满足条件：“至少出现一个数字0，且是4的倍数”的数，共有个。

(首位数字不能是0)。

7、用甲乙二人的年龄构成一个四位数，它的前两个数是甲的年龄，后两个数是乙的年龄，并且这个四位数是完全平方数。

如果31年后，再用甲、乙二人的年龄构成另一个四位数，它的前两个数还是甲的年龄，后两个数还是乙的年龄，第二个四位数也是完全平方数。

那么，第一个四位数是( )。

8、如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 六点中，除 A 、B 、C 三点在同一直线上外，其它任何三 个点都不在同一直线上。

那么这六点中的三点 为顶点的三角形共有( )个。

9、一个环形公路周长500千米，甲乙两个货车同时从一入口出发，按顺时针方向行驶。

甲每小时跑60千米，乙每小时跑50千米。

它们每行驶200一小时后又继续()小时。

10、右边的算式中的a 、b 、c 、d 是除4以外 的不同的数字，那么使算式成立并且商达到 最大时，算式的被除数=( )。

11、商店出售A 、B 、C 三种价格不同的玩具， 单价分别是a 、b 、c(元)。

A 最贵，妈妈在商店买了五件玩具送给小王和他的朋友。

A 买了3件，B 、C 各买了1件，共用去23元。