2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习文科数学 第一章 第4讲 算法与程序框图 (7)

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(四) 【p 259】(函数的综合问题)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．某市统一规定，的士在城区内运营：①1公里以内(含1公里)票价5元；②1公里以上，每增加1公里(不足1公里的按1公里计算)票价增加2元的标准收费．某人乘坐市内的士6.5公里应付车费( )A ．14元B ．15元C ．16元D ．17元【解析】由题意可得： 5＋6×2＝17(元)，故选D .【答案】D2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|lg x|C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －1【解析】选项A 中，函数无零点，不合题意，故A 不正确．选项B 中，函数不是偶函数，不合题意，故B 不正确．选项C 中，函数是偶函数又存在零点，符合题意，故C 正确．选项D 中，函数不是偶函数，不合题意，故D 不正确．综上选C .【答案】C3．某商场将彩电的售价先按进价提高40%，然后“八折优惠”，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是( )A ．2 000元B ．2 500元C ．3 000元D ．3 500元【解析】设进价为x 元，得1.4x·0.8－x ＝360，解得x ＝3 000，故选C .【答案】C4．函数f ()x ＝⎩⎨⎧－1＋ln x ，x>03x ＋4，x<0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【解析】当x>0时，令－1＋ln x ＝0，故x ＝e ，符合；当x<0时，令3x ＋4＝0，故x ＝－43，符合，所以y ＝f ()x 的零点有2个，故选B . 【答案】B5．函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则( )A ．x 1＜2，2＜x 2＜5B ．x 1＞2，x 2＞5C ．x 1＜2，x 2＞5D ．2＜x 1＜5，x 2＞5【解析】设g(x)＝(x －2)(x －5)，∴g(x)的零点为2，5，将函数f(x)向下平移1个单位得到g(x)，结合函数图象可知x 1<2，x 2>5.【答案】C6．已知定义在R 上的函数f ()x 对任意实数x 满足f ()x ＋2＝f ()x ， f ()2－x ＝f ()x ，且当x ∈[]0，1时， f ()x ＝x 2＋1，则函数y ＝f ()x 与y ＝12||x 的图象的交点个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【解析】由f ()x ＋2＝f ()x 可知函数f ()x 的周期为2，由f ()2－x ＝f ()x 可知f ()x 的图象关于直线x ＝1对称，根据条件可以画出函数y ＝f ()x 与y ＝12||x 的图象，如图所示，由图可知，交点共6个．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．把答案填在答卷中相应的横线上)．7．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为__________．【解析】令f ()x ＝x 3－2x －1, f ⎝⎛⎭⎫32＝278－3－1＝－58<0, f ()1＝－2<0, f ()2＝8－5＝3>0，故下一步可以断定根所在区间为⎝⎛⎭⎫32，2，填⎝⎛⎭⎫32，2. 【答案】⎝⎛⎭⎫32，28．为促进中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费)．该设备购买的总费用为50 000元；使用每年固定维修费为6 000元；前x 年的总保养费y 满足y ＝ax 2＋bx .已知第一年的总保养费为1 000元，前两年的总保养费为3 000元，则这种设备的最佳年限为________年．【解析】由题意，得⎩⎨⎧1 000＝a ＋b ，3 000＝4a ＋2b ，解得⎩⎨⎧a ＝500，b ＝500，所以y ＝500x 2＋500x .设该设备的年平均消耗费用为f (x )，由题意，可知年平均消耗费用为f (x )＝50 000x ＋6 000＋500x ＋500＝500x ＋50 000x ＋6 500≥16 500，当且仅当500x ＝50 000x时，等号成立，此时x ＝10，所以最佳使用年限为10年．【答案】109．设函数f (x )＝⎩⎨⎧a －2x ，x ≤0，3x ＋1，x >0.若函数f (x )有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为当x >0，f (x )>1，故f (x )在(0，＋∞)上没有零点，所以f (x )在(－∞，0]有且仅有一个零点．又当x ≤0时，a －1≤f (x )<a ，所以a －1≤0<a ，故0<a ≤1.【答案】(0，1]10．某驾驶员喝了500 mL 酒后，血液中的酒精含量f (x )(mg/mL)随时间x (h)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝⎛⎭⎫13x ，x ＞1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________h 后才能开车．(精确到1 h)【解析】当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝⎛⎭⎫13x ≤0.02，得x ≥4. 【答案】4三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f ()x 元，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g ()x 元．(1)试分别写出f ()x 与g ()x 的解析式；(2)选择哪家比较合算？请说明理由．【解析】(1)由题设有f ()x ＝5x ()15≤x ≤40， g ()x ＝⎩⎨⎧90，15≤x ≤30，30＋2x ，30<x ≤40.(2)令5x ＝90时，解得x ＝18∈[]15，30；令5x ＝30＋2x ，解得x ＝10(]30，40，所以当15≤x <18时， f ()x <g ()x ，选甲家比较合算；当x ＝18时， f ()x ＝g ()x ，两家一样合算；当18<x ≤40时， f ()x >g ()x ，选乙家比较合算．12．(13分)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)求函数y ＝f (x )的零点的集合；(2)记函数g (x )＝f (x ＋1)(－1≤x ≤0)的值域为A ，函数h (x )＝lg(a －2x )的定义域为B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)令f (x )＝2x －12|x |＝0， 则2x ＝2－|x |x ＝－|x |x ≤0，函数y ＝f (x )零点的集合为(－∞，0]． (2)g (x )＝f (x ＋1)＝2x ＋1－12|x ＋1|，∵x ∈[－1，0]，∴g (x )＝2x ＋1－12x ＋1， 易知g (x )在[－1，0]上单调递增，∴g (x )∈⎣⎡⎦⎤0，32， 即A ＝⎣⎡⎦⎤0，32， h (x )＝lg(a －2x )，令a －2x >0x <a 2，∴B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，a 2， ∵A B ，∴a 2>32a >3，∴a 的取值范围是a >3.13．(14分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，若函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3.令2x －3＝0，得x ＝32[－1，1]， ∴f (x )在[－1，1]上无零点，故a ≠0.(2)当a >0时，f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a. ①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，应使⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为②当－1<－12a <0，即a >12时，应使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的解集为[1，＋∞)． (3)当a <0时，①当0<－12a≤1， 即a ≤－12时，应使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f ⎝⎛⎭⎫－12a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，－12a－3－a ≥0， 解得a ≤－3－72或－3＋72≤a ≤5，又a ≤－12， ∴a 的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72. ②当－12a >1，即－12<a <0时，应使⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[1，＋∞)．。

1．集合的概念了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．2．集合的基本运算理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图表达集合间的基本关系及运算．3．命题及其关系理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其否命题、逆命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．4．简单的逻辑联结词了解“或”“且”“非”的含义．5．全称量词与存在量词理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况年份2014 2015 2016 2017 2018考查内容第1题集合的交集运算第1题交集运算、元素的个数第1题集合的交集运算第1题集合的运算(交集、并集)第1题集合的运算(交集)分值5分5分5分5分5分2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况年份201420152016 2017 2018考查内容第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第24题第(2)问证明不等式的充要性第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第2题集合的运算(交集)分值5分5分10分5分5分5分2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本单元内容的试题共11道，2015年全国卷Ⅱ考查了2道题占15分(其中24题主要是考查不等式的证明)，其他各年考查本单元的试题都为1道，占5分．高考对集合这一考点的考查主要以选择题出现，涉及的知识包括集合的概念，集合与集合的关系及集合的运算，重点是集合的运算．一般都是作为全卷第1小题，且都是基础题，难度不大，属于高考中的“送分题”．常用逻辑用语包含命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件、充要条件与命题的四种形式，其中量词是新课标新增内容，2013年高考通过一道小题考查了全称命题、特称命题及复合命题真假的判定．充要条件这一内容，在全国卷高考中直接考查的试题不多，只有2015年全国卷Ⅱ在选考内容中，结合不等式的证明进行了考查．本单元是高中数学的基本内容之一，集合论是现代数学的基础，集合语言简洁、准确，是数学中不可缺少的基本语言．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，它可以帮助我们准确地表达数学内容、正确地理解数学概念、合理论证数学结论．对集合这一内容的复习，要重视对集合概念的认识与理解，特别要重视对描述法表示集合的理解，掌握集合与集合之间的关系、集合的运算，要求具备数形结合的思想，会借助V enn图、数轴等工具解决集合之间的关系及集合的运算等问题．高考直接考查常用逻辑用语的试题虽然不多，但常用逻辑用语常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等知识结合，因此复习时仍要非常重视．在复习时，要以小题、基础题为主，要求掌握p∧q，p∨q，﹁p命题真假的判断，全称命题与特称命题真假的判断及否定，四种命题及其关系，充分条件和必要条件的判断等，同时要注意与其他知识的联系．本单元问题的解答蕴涵了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．第1讲集合的概念与运算1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见数集的记法集合符号自然数集N正整数集N*或N＋整数集Z有理数集Q实数集R(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.2．集合间的基本关系(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A⊆B(或B⊇A).(2)如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A).(3)若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．3．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}.1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.热身练习1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A由于3<2，所以a∈A，即{a}⊆A. 2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A∩B＝∅B．∁A B＝BC．A B D．B AA＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，1∈A但1∉B，所以B A.3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B)A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,6}＝(－1,0)，C正确；A∪(∁B)＝(－1，＋∞)，D错误．因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是(C) A．A∪B＝{x|x<0}B．(∁R A)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0}D．A∪(∁RB)＝{x|x≥0}因为A＝{x|－1<x≤2}＝(－1,2]，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，2]，A错误；(∁RA)∩B＝(－∞，－1]，B错误；A∩BR5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C)A．3B．4C．7D．8由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.(2)设 a ，b ∈R ，集合⎨a ，a ，1⎬＝{a 2，a ＋b,0}，则 a 2019＋b 2019＝__________.n集合的基本概念(1)(经典真题)已知集合 A ＝{x|x ＝3n ＋2，∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2⎧ b ⎫ ⎩⎭(2)考虑集合{a ， ，1}中哪一个元素为 0 入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行(1)求解本题，关键是理解集合 A 的意义，将集合 A 进行化简，可以采用特殊化的方法．A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}，所以 A 与 B 的共同元素只有 8,14 两个，故选 D.ba分析．若 a ＝0，则b无意义，所以 a ≠0，a所以b ＝0，从而 b ＝0，所以{a ，b，1}＝{a,0,1}．a a由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得 a 2＝1，即 a ＝1 或 a ＝－1.又根据集合中元素的互异性 a ＝1 应舍去，所以 a ＝－1.故 a 2019＋b 2019＝(－1)2019＝－1.(1)D(2)－1(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(1)若集合 A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则 a 等于(A) A ．4 B ．2C ．0D ．0 或 2(2)已知集合 A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若 3∈A ，则 m 的值为 －3.2(1)当 a ＝0 时，方程化为 1＝0，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当 a ≠0 时，由 Δ＝a 2－4a ＝0，解得 a ＝4.(2)因为 3∈A ，所以 m ＋2＝3 或 2m 2＋m ＝3，若 m ＋2＝3，解得 m ＝1，此时 A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以 m ＝1，不符合题意；若2m 2＋m ＝3，解得 m ＝1(舍去)或 m ＝－3. 故所求 m 的值为－3.2检验知 m ＝－3满足题意．22集合间的基本关系已知集合 A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，且 B A ，则实数 p 的取值范围为________．欲求实数p的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．由x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5，所以A＝{x|－2≤x≤5}．B A，则有①当B≠时，利用数轴可知：⎧⎪p＋1≤2p－1，⎨－2≤p＋1，解得2≤p≤3.⎪⎩2p－1≤5，②当B＝时，有p＋1>2p－1，即p<2.综合①②得实数p的取值范围是(－∞，3]．(－∞，3]解决有关集合的包含关系的问题时，要注意：(1)所给集合若能化简，则先化简；(2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；(3)注意空集的特殊性，一般地，若B⊆A，则应分B＝∅与B≠∅两种情况进行讨论．2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为[3,4].由例2知，A＝{x|－2≤x≤5}．A∩B＝A，所以A B，画出示意图(如下图)，⎧⎪2p－1>p－6，所以⎨p－6≤－2，⎪⎩2p－1≥5，⎧p>－5，解得⎨p≤4，⎩p≥3.所以3≤p≤4.故p的取值范围为[3,4]．A ．A ∩B ＝⎨x|x <2⎬ B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎨x|x <2⎬ D ．A ∪B ＝R集合的基本运算(1)(2017· 全国卷Ⅰ)已知集合 A ＝{x|x<2}，B ＝{x|3－2x>0}，则()⎧ 3⎫ ⎩⎭⎧ 3⎫ ⎩⎭(2)(2018· 宝鸡二模)已知全集 U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合 M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )A ．M ∩NB ．M ∪NC. ∁U (M ∪N ) D ．∁U (M ∩N )因为B＝{x|3－2x>0}＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A∪B＝{x|x<2}．所以(M∪N)＝{1,6}，故选C.(1)首先化简集合A，B，再利用数轴得到A∩B和A∪B.3⎩2⎭3⎩2⎭(2)画出韦恩图，如图，U(1)A(2)C进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．- 21 -/23(2)(2018· 广州一模)设集合 A ＝{x| <0}，B ＝{x|x ≤－3}，则集合{x|x ≥1}＝(D)3．(1)(2018·天津卷)设集合 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，则(A ∪B)∩C ＝(C)A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}x ＋3x －1A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(∁R A)∪(∁R B)D ．(∁R A)∩(∁R B)(1)因为 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以 A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又 C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，所以(A ∪B)∩C ＝{－1,0,1}，故选 C.- 22 - / 23所以∁ A ＝{x|x ≥1，或 x ≤－3}，∁ B ＝{x|x >－3}．易知(∁ A)∩(∁ B)＝{x|x ≥1}，故选 D.x ＋3(2)因为 A ＝{x| <0}＝{x|－3<x<1}，B ＝{x|x ≤－3}，x －1 R R R R1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时， 要根据互异性进行检验．2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元 素．首先看“{ | }”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元 素的关键．例如，{y|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的值域；{x|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的定义域；{(x ，y)|y ＝f(x)}是点集，表示函数 y ＝f(x)图象上的点构成的集合．3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如 A B ，则有 A ＝∅或 A ≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具 辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续 的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行 化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、 直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点， 其解决办法是对端点值进行单独考虑．- 23 - / 23。

§1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 都是真命题．( √ ) 题组二 教材改编2．[P11练习T3]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________． 答案 2解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．[P15例1]命题“∃x ∈N ，x 2≤0”的否定是____________． 答案 ∀x ∈N ，x 2>04．[P21测试T6]命题“对于函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”) 答案 真解析 当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数． 题组三 易错自纠5．命题“綈p 为真”是命题“p ∧q 为假”的________条件． 答案 充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案③解析当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]解析由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 ∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2<b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 3．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题，其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上) 答案 ②③解析 因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．故②③正确．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 例1 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x ； ②∃x ∈(0,1)，1123log log x x >；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1112331111log log log 232==>成立，故②是真命题；对于③，当0<x <12时，12log x >1>⎝⎛⎭⎫12x ，故③是假命题； 对于④，∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <1<13log x ，故④是真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例2 (1)命题：“∃x ∈R ，sin x ＋cos x >2”的否定是________________． 答案 ∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2(2)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是__________． 答案 ∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x 0，使p (x 0)成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1 (1)设命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ；命题q ：∃x ∈(－∞，0)，3x >2x ，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，所以命题p 为真命题；∀x ∈(－∞，0)，3x <2x ，所以命题q 为假命题，因此p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题，p ∧(綈q )为真命题，故填②. (2)已知命题p ：∃x >1,2x >4，綈p 是：______________. 答案 ∀x >1,2x ≤4解析 因为命题p ：∃x >1,2x >4，是一个存在性命题，所以綈p 是：∀x >1,2x ≤4. (3)已知命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题，则a 的取值范围是________． 答案 [0，＋∞)解析 因为命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题， 所以e x ＋a ≥0恒成立，所以a ≥(－e x )max 的最大值． ∵－e x <0，∴a ≥0.题型三 命题中参数的取值范围例3 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 答案 [e,4]解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1解析 由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题， 所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 由命题p 为真知，0<c <1， 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，2≤x ＋1x ≤52， 要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，即由命题q 为真，知c >12.若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)①∀x∈R，－x2＋x－1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.答案①解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p：∀x∈R,3x<5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①p∧q；②(綈p)∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．答案②解析若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，∴(綈p)∧q是真命题．二、充要条件的判断例2 (1)设命题p ：x >4；命题q ：x 2－5x ＋4≥0，那么p 是q 的________条件． 答案 充分不必要解析 命题q ：x 2－5x ＋4≥0⇔x ≤1或x ≥4， ∵命题p ：x >4，∴p 是q 的充分不必要条件．(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1.又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r <3，故p 是q 的充要条件．三、求参数的取值范围例3 (1)若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.(2)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1， 由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2， 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题， 当p 真q 假时，m ≤－2；当p假q真时，－1<m<2；当p假q假时，m≥2，所以m≤－2或m>－1.1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是________．(填序号)①p∨q为真；②p∧q为真；③p真q假；④p∨q为假．答案④解析∵p假，q假，∴p∨q为假．2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为________．答案∀x∈R，x2－2x＋1>0解析∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题，命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0.3．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为___________． 答案 ∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋1解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号) ①锐角三角形有一个内角是钝角； ②至少有一个实数x ，使x 2≤0； ③两个无理数的和必是无理数； ④存在一个负数x ，1x >2.答案 ②解析 ①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以④是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∨(綈q )；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q . 答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质可知， 当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题． 7．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]． 8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.9．若∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－∞，22]解析 因为∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤22，92，当且仅当x ＝22时，f (x )min ＝22，所以λ≤2 2. 10．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是_________． 答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4. 11．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0. 12．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案0解析∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≥1，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.13．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．现有以下结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．其中正确结论的序号为____________．答案 ①②③④解析 ∵命题p ，q 均为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且綈q ”是假命题，“綈p 或q ”是真命题，“綈p 或綈q ”是假命题，故①②③④都正确．14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0，设f (x )＝e xx ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3. 16．已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫817，1解析 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，即m <2x x 2＋1＝2x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立， 当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ＝174，∴⎝⎛⎭⎫2x x 2＋1min ＝817，∴由p 真得m <817. 设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1. 又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥817，m <1或⎩⎪⎨⎪⎧m <817，m ≥1，解得817≤m <1.故所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫817，1.。

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十六) 【p 283】(圆锥曲线)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．顶点在原点，焦点是F ()5，0的抛物线方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120x D ．x 2＝120y【解析】由p2＝5，得p ＝10，且焦点在x 轴的正半轴上，故y 2＝20x ，故选A .【答案】A2．已知点P ()2，4在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a>0，b>0的渐近线上，则该双曲线的离心率为( )A . 5B ．2C . 3D . 2【解析】根据点P ()2，4在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以有ba ＝2，即b ＝2a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝5a ，所以有e ＝5，故选A .【答案】A3．已知曲线x ＝14y 2上一点P(x ，y)到点A(1，0)的距离为3，又点O(0，0)，Q(0，y)，则△OPQ 的面积为( )A ．2 2B ．2 3C ．3D ．4【解析】∵y 2＝4x ，A 为焦点，准线x ＝－1，直线PQ 平行于x 轴， 由抛物线定义可得|PA|＝1＋|PQ|＝3，∴|PQ|＝2，即P(2，y)．∴y 2＝4×2，y ＝±22，|OQ|＝22， ∴S △OPQ ＝12|OQ|·|PQ|＝2 2.【答案】A4．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A .x 24－3y 24＝1B .x 24－4y 23＝1C .x 24－y 24＝1D .x 24－y 212＝1 【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2，由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，解得b 2＝12， 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.【答案】D5．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π3.若AB ＝6，BC ＝2，则椭圆的焦距为( )A .3105 B . 263C .6105D .463【解析】设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，由题意可知2a ＝|AB|＝6，得a ＝3，即椭圆的方程为x 29＋y 2b2＝1，因为∠CBA ＝π3，BC ＝2，如图所示，可得点C(－2，3)，代入椭圆的方程，即49＋3b 2＝1，解得b 2＝275，所以c 2＝a 2－b 2＝9－275＝185，即c ＝3105，所以椭圆的焦距为2c ＝6105，故选C .【答案】C6．已知过点P(－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|PA|＝12|AB|，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A .53B .75C .97D ．2 【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则分别过A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E ， ∵|PA|＝12|AB|，∴|PA|＝13|PB|，|DA|＝13|EB|.∴3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2， 解得x 1＝23，∴点A 到抛物线C 的焦点的距离为23＋1＝53.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．) 7．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．【解析】由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.【答案】58．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，正三角形的边长为83，则p ＝________．【解析】根据抛物线的对称性可知，正三角形OAB 的另两个顶点A ，B 关于x 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y ，则由正三角形边长为83可得2y ＝83，y ＝43，y22p＝12，解得p ＝2. 【答案】29．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．【解析】∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】x 23＋y 22＝110．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于______．【解析】双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，|F 1F 2|＝10，由3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝43x ，由双曲线的性质知43x －x ＝2，解得x ＝6.∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，∵|F 1F 2|＝10，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积S ＝12×8×6＝24.故答案为24. 【答案】24三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点⎝⎛⎭⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，求m 的取值范围.【解析】(1)∵c a ＝22，∴b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝1－12＝12，∴a 2＝2b 2，①∵椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，22，则1a 2＋12b 2＝1，②由①②解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，则椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0消去y 整理得：3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝8()－m 2＋3>0，解得－3<m< 3.③x 1＋x 2＝－4m 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m3，即AB 的中点为⎝⎛⎭⎫－2m 3，m3. 又∵AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，∴4m 29＋m 29＝5m 29≥59，解得，m ≤－1或m ≥1.④由③④得：－3<m ≤－1或1≤m< 3.12．(13分)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F(c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．【解析】(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， ∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，c2， 代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式， 整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝ 2.∴双曲线的离心率为 2.13．(14分)抛物线C 的方程为y ＝ax 2(a<0)，过抛物线C 上一点P(x 0，y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点(P ，A ，B 三点互不相同)，且满足k 2＋λk 1＝0(λ≠0且λ≠－1)．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)设直线AB 上一点M ，满足BM →＝λMA →，证明：线段PM 的中点在y 轴上． 【解析】(1)由抛物线C 的方程y ＝ax 2(a<0)，得其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a. (2)设直线PA 的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，直线PB 的方程为y －y 0＝k 2(x －x 0)．点P(x 0，y 0)和点A(x 1，y 1)的坐标是方程组的解，即⎩⎨⎧y －y 0＝k 1（x －x 0），①y ＝ax 2，② 将②式代入①式得ax 2－k 1x ＋k 1x 0－y 0＝0， 于是x 1＋x 0＝k 1a ，故x 1＝k 1a －x 0，③同理，x 2＝k 2a－x 0.由已知得，k 2＝－λk 1，则x 2＝－λa k 1－x 0.④设点M 的坐标为(x M ，y M )，由BM →＝λMA →， 则x M ＝x 2＋λx 11＋λ.将③式和④式代入上式得：x M ＝－x 0－λx 01＋λ＝－x 0，即x M ＋x 0＝0.所以，线段PM 的中点在y 轴上．。

第23讲 三角函数的图象与性质夯实基础 【p 54】【学习目标】1．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象．2．会用“五点法”画函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象，理解A 、ω、φ的物理意义． 3．掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)与y ＝sin x 图象间的变换关系．4．会由函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象或图象特征求函数的解析式． 【基础检测】1．下列函数中，周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 【解析】对于选项A ，y ＝－cos 2x ，周期为π且是偶函数，所以选项A 正确； 对于选项B ，y ＝sin 2x ，周期为π且是奇函数，所以选项B 错误； 对于选项C ，y ＝cos x ，周期为2π，所以选项C 错误； 对于选项D ，y ＝－sin x ，周期为2π，所以选项D 错误． 故选A. 【答案】A2．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的一条对称轴是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝π2C ．x ＝－π3D ．x ＝8π3【解析】由题意，x 2－π3＝kπ＋π2，∴x ＝2kπ＋5π3(k ∈Z )，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的一条对称轴是x ＝－π3，故选C. 【答案】C3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 【解析】由图可得：函数的最大值为2，最小值为－2，故A ＝2，T 2＝π3＋π6，故T ＝π，ω＝2， 故y ＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π3，2代入可得：2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2， 则φ＝－π6满足要求，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 【答案】A4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π6B.⎝⎛⎭⎫－π2，π2C.⎝⎛⎭⎫－π3，π3D.⎝⎛⎭⎫－π6，23π 【解析】将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再往上平移1个单位，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1的图象，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得：－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π3，π6，故选A. 【答案】A 【知识要点】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，__(π，－1)__，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质其中相位变换中平移量为__|φ|__个单位，φ＞0时，向__左__移，φ＜0时，向__右__移；横向伸缩变换中的纵坐标不变，横坐标变为原来的__1ω__倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的__A__倍．4．当函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，__A__叫作振幅，T ＝__2π|ω|__叫作周期，f ＝__1T__叫作频率，__ωx ＋φ__叫作相位，__φ__叫作初相．5．根据y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点纵坐标－最低点纵坐标2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点纵坐标＋最低点纵坐标2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 取开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ. 典 例 剖 析 【p 55】考点1 画三角函数图象及图象变换例1已知函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1，x ∈R . (1)求它的振幅、周期和初相；(2)该函数的图象是由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？ (3)用五点法作出它一个周期范围的简图．【解析】(1)因为函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1，x ∈R ，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 它的振幅为A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6. (2)①y ＝sin x 的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin x .②y ＝2sin x 的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝2sin 2x .③y ＝2sin 2x 沿x 轴向左平移π12个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ④y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6沿y 轴向上平移1个单位，得到 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. (3)选取⎝⎛⎭⎫－π12，1，⎝⎛⎭⎫π6，3，⎝⎛⎭⎫5π12，1，⎝⎛⎭⎫2π3，－1，⎝⎛⎭⎫11π12，1五个点，用“五点法”能作出它一个周期范围的简图．【小结】“五点法作图”应抓住四条：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．考点2 由图象求三角函数解析式例2已知函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，－12<φ<12的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递减区间． 【解析】(1)由图形易得A ＝4，2πω＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6，解得ω＝2， 此时f (x )＝4sin (2x ＋φ)．因为f (x )的图象过⎝⎛⎭⎫π6，4，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝4，得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.因为－π2<φ<π2，所以－π6<φ＋π3<5π6，所以φ＋π3＝π2，得φ＝π6.综上A ＝4，ω＝2，φ＝π6.(2)由(1)得g (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6·4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝16sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝8sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 由π2＋2kπ≤4x ＋π3≤3π2＋2kπ， 解得π24＋kπ2≤x ≤7π24＋kπ2，其中k ∈Z .取k ＝0，得π24≤x ≤7π24，所以g (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π24，7π24. 【小结】该题型考查通过图象得到三角函数周期T 、对应点的值，从而得到函数解析式．考点3 由三角函数图象的性质求解析式例3已知函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的图象关于点B ⎝⎛⎭⎫－π4，0对称，点B 到函数y ＝f (x )的图象的对称轴的最短距离为π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝1. (1)求A ，ω，φ的值；(2)若0<θ<π，且f (θ)＝13，求cos 2θ的值．【解析】(1)依题意有2πω＝4×π2＝2π，∴ω＝1.又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝Asin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝0. ∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，∴φ＝π4.又f ⎝⎛⎭⎫π2＝Asin ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＝22A ＝1，∴A ＝ 2. (2)f (θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝sin θ＋cos θ＝13⇒1＋2sin θcos θ＝19⇒2sin θcos θ＝－89<0. ∵0<θ<π，∴sin θ>0，cos θ<0，∴cos θ－sin θ＝－1－2sin θcos θ＝－173，∴cos 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝－179.【小结】本题的关键是用好两个对称即点对称和线对称． 【能力提升】例4已知向量a ＝(sin(ωx ＋φ)，2)，b ＝(1，cos(ωx ＋φ))⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π4，函数f (x )＝(a ＋b )(a －b )，已知y ＝f (x )的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点M ⎝⎛⎭⎫1，72. (1)求函数f ()x 的解析式；(2)先将函数y ＝f ()x 图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右平移m (m >0)个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y ＝g ()x 的图象，若函数g ()x 的图象关于原点对称，求实数m 的最小值．【解析】(1)f ()x ＝()a ＋b ()a －b ＝a 2－b 2 ＝sin 2()ωx ＋φ＋4－1－cos 2()ωx ＋φ＝－cos ()2ωx ＋2φ＋3.由题可知， T4＝1, ∴T ＝4，∴由T ＝2π2ω＝4得ω＝π4.又∵函数f ()x 经过点M ⎝⎛⎭⎫1，72， ∴－cos ⎝⎛⎭⎫π2·1＋2φ＋3＝72， ∴ cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2φ＝－12. ∵0<φ<π4，∴π2＋2φ＝2π3，即φ＝π12， ∴函数f ()x 的解析式为f ()x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6＋3.(2)依题意知， g ()x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤12()x －m ＋π6 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫12x －12m ＋π6， ∵函数g ()x 关于原点对称，∴函数g ()x 为奇函数，即－12m ＋π6＝k π＋π2()k ∈Z ，∴m ＝－2k π－2π3()k ∈Z .∵m >0，∴当k ＝－1时， m 的最小值为4π3，综上所述，实数m 的最小值为4π3.【小结】求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的解析式时应注意A ，ω的正负和φ的范围情况．方 法 总 结 【p 56】1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝A sin t 的性质．4．对于已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．走 进 高 考 【p 56】 1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π【解析】由已知得f (x )＝tan x1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2 ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故选C.【答案】C 2．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π 【解析】因为f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以由0＋2k π≤x ＋π4≤π＋2k π(k ∈Z )得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，故a max ＝3π4，故选C. 【答案】C。

§1.1集合的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于AA B(或B A)集合相等如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n，2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2，1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A答案 D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为______． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0 答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. 5．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－4x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或2解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝16－8a ＝0，解得a ＝2.综上，a 的值为0或2.题型一 集合的含义1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．无数个答案 C解析 依题意有A ＝{－2，－1,0,1,2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1,2,5}，故B 中有3个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二 集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2 018，＋∞)解析 由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1<x <2 018， 故A ＝{x |1<x <2 018}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)(2018·辽宁实验中学期中)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －2≤0，则集合A 的子集的个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16 答案 B解析 由x ＋1x －2≤0，可得(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠2，解得－1≤x <2.又x ∈Z ，可得x ＝－1,0,1，∴A ＝{－1,0,1}．∴集合A 的子集的个数为23＝8.(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________． 答案 (－∞，1]解析 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}，B ⊆A ， 所以在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－m ≥－1，所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ∪B ＝R答案 D解析 ∵A ＝{x |x >2或x <0}，∴A ∪B ＝R . 命题点2 利用集合的运算求参数例3 (1)(2018·锦州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a >2D ．a ≥2 答案 D解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图．可知a ≥2.(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )等于( )A ．(2,4)B ．(－2,4)C ．(－2,2)D ．(－2,2] 答案 D解析 由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)， ∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例4 (1)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 由题意知，A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}， A *B ＝(A －B )∪(B －A )＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，m ＝3，则下列关系中正确的是( ) A ．m ⊆P B ．m P C ．m ∈P D ．m ∉P答案 D解析 P ＝[0，2]，m ＝3>2，故选D.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R答案 B解析 由题意得，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x <2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B. 3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x ≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4) B ．{2,4} C ．{3} D ．{2,3} 答案 D解析 由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x ≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 故选A.5．设集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}，则M ∩N 等于( ) A ．{－3，－2，－1,0} B ．{－2，－1,0} C ．{－3，－2，－1} D ．{－2，－1}答案 D解析 因为集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}＝{x |－3<x <0}，所以M ∩N ＝{－2，－1}．6．(2018·呼和浩特联考)已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2<x≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A)∩B等于()A．{3,5} B．{2,3,5}C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}答案 A解析由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(∁U A)∩B＝{3,5}．故选A. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.9．已知集合P＝{x|y＝－x2＋x＋2，x∈N}，Q＝{x|ln x<1}，则P∩Q＝________.答案{1,2}解析由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0,1,2}．因为ln x<1，所以0<x<e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{1,2}．10．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁U B)＝________________.答案{x|x<－1或x≥2}解析集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，∴∁U B＝{x|x<－1或x≥2}，∴A∩(∁U B)＝{x|x<－1或x≥2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析 由题意知，A ＝[1，＋∞)，当B ＝∅，即12a >2a －1时，a <23.符合题意． 当B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1<1，解得23≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．。

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十) 【p 271】(数列的综合应用)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．若数列{}a n 的通项公式是a n ＝()－1n ⎝⎛⎭⎫12n －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A .52B ．5C ．10D ．－5 【解析】由条件知a n ＝()－1n ⎝⎛⎭⎫12n －1，a n ＋1＝()－1n ＋1⎝⎛⎭⎫n －12 , a n ＋a n ＋1＝()－1n⎝⎛⎭⎫－12 ， 故a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝12，…，a 9＋a 10＝12，故结果为52. 故选A .【答案】A2．已知数列{}a n 满足： a 1＝1，a n >0, a 2n ＋1－a 2n ＝1()n ∈N *，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25【解析】∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴{a 2n }是首项为a 21＝1，公差为1的等差数列．则a 2n ＝n ，又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5即n <25，∴使a n <5成立的n 的最大值为24.故选C.【答案】C3．在2016年至2019年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2020年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取出，则取回的金额是( )A ．m ()1＋q 4元B ．m ()1＋q 5元C.m[]()1＋q 4－()1＋q q元D.m[]()1＋q 5－()1＋q q元 【解析】到2020年6月1日止，2019年存款的本息和为m ()1＋q ，2018年存款的本息和为m ()1＋q 2，2017年存款的本息和为m ()1＋q 3，2016年存款的本息和为m ()1＋q 4，三年存款的本息和为m ()1＋q ＋m ()1＋q 2＋m ()1＋q 3＋m ()1＋q 4＝m ()1＋q []()1＋q 4－1()1＋q －1＝m []()1＋q 5－()1＋q q，选D. 【答案】D4．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3【解析】因为数列{S n ＋2}是等比数列，所以(S 1＋2)(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，即q (q －3)＝0，∵q ≠0，∴q ＝3.【答案】C5．已知函数f (x )＝x α的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 020＝( ) A. 2 019－1 B. 2 020－1 C. 2 021－1 D. 2 021＋1【解析】由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12， 则f (x )＝x 12，∴a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， ∴S 2 020＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 021－ 2 020)＝ 2 021－1.【答案】C6．已知数列{}a n 的通项公式为a n ＝n ＋c n，若对任意n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数c 的取值范围是( )A.[]6，12B.()6，12C.[]5，12D.()5，12【解析】由题意可得c >0，因为对所有n ∈N *不等式a n ≥a 3恒成立，∴⎩⎨⎧a 2≥a 3，a 4≥a 3，∴⎩⎨⎧2＋c 2≥3＋c 3，4＋c 4≥3＋c 3，∴6≤c ≤12，经验证在()1，2上递减，()3，＋∞上递增，或在()1，3上递减，()4，＋∞上递增，符合题意，故选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．)7．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是______个． 【解析】设开始的细胞数和每小时后存活的细胞数构成的数量为{a n }，则⎩⎨⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2， 数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n －1＝1×2n －1，a n ＝2n －1＋1，故6小时后细胞的存活数是a 7＝27－1＋1＝65.【答案】658．定义等积数列{a n }：若a n a n －1＝p (p 为非零常数，n ≥2)，则称{a n }为等积数列，p 称为公积．若{a n }为等积数列，公积为1，首项为a ，前n 项和为S n ，则S 2 020＝________．【解析】由题意可得：a n a n －1＝1，且a 1＝a ，所以a 2＝1a ，a 3＝a ，a 4＝1a ，a 5＝a ，a 6＝1a， 所以n 为奇数时a n ＝a ，n 为偶数时a n ＝1a， 当n ＝2 020时，有1 010项奇数项，有1 010项偶数项，所以S 2 020＝1 010a ＋1 010a. 【答案】1 010a ＋1 010a9．已知A n (a n ，b n )(n ∈N *)是曲线C ：y ＝e x 上的点，设A 1(0，1)，曲线C 在A n 处的切线交x 轴于点(a n ＋1，0)，则数列{b n }的通项公式是b n ＝________．【解析】∵y ＝e x 在(a n ，b n )处切线方程是y －b n ＝e a n (x －a n )，即y －e a n ＝e a n (x －a n )， 令y ＝0得x ＝a n ＋1＝a n －1，a n ＋1－a n ＝－1，∴{a n }是以0为首项，以－1为公差的等差数列，a n ＝1－n ，∴b n ＝e 1－n .【答案】e 1－n 10．设正项等比数列{}a n 的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且满足2a 3＋S 2＝4，则满足6665<S 2n S n<1615的最大正整数n 的值为________． 【解析】由题意，2×2q 2＋2＋2q ＝4，∵q >0，∴q ＝12， 由题意有：6665<2()1－q 2n 1－q 2()1－q n 1－q<1615， ∴6665<1＋⎝⎛⎭⎫12n <1615， ∴满足题意的最大正整数n 的值为6.【答案】6三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)已知数列{a n }是等比数列，a 1＝2，且a 3＋1是a 1和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝ln a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，∵a 3＋1是a 1和a 4的等差中项，∴2(a 3＋1)＝a 1＋a 4，解得q ＝2.又∵a 1＝2，∴a n ＝2n .(2)∵b n ＝ln a n ＋(－1)n a n ＝ln 2n ＋(－1)n 2n ＝n ln 2＋(－1)n 2n ，∴S n ＝ln 2·（n ＋1）n 2＋[－2＋4－8＋16＋…＋(－1)n 2n ] ＝（n ＋1）n ln 22＋－2[1－（－2）n ]3＝23·(－2)n ＋（n ＋1）n ln 22－23. 12．(13分)已知公差不为零的等差数列{a n }中，S 2＝16，且a 1，a 4，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .【解析】(1)由S 2＝16，a 1，a 4，a 5成等比数列，得⎩⎨⎧2a 1＋d ＝16，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋4d ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(2)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n （n ≤5），n 2－10n ＋50（n ≥6）. 13．(14分)f (x )对任意x ∈R 都有f (x )＋f (1－x )＝12.(1)求f ⎝⎛⎭⎫12和f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n (n ∈N *)的值； (2)若数列{a n }满足：a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)，数列{a n }是等差数列吗？请给予证明；(3)令b n ＝44a n －1，T n ＝b 21＋b 22＋b 23＋…＋b 2n ，S n ＝32－16n ，试比较T n 与S n 的大小． 【解析】(1)因为f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫12＝12.所以f ⎝⎛⎭⎫12＝14. 令x ＝1n，得f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫1－1n ＝12， 即f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＝12.(2)a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)， 又a n ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f (0)． 两式相加，2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝n ＋12. 所以a n ＝n ＋14，n ∈N ， 又a n ＋1－a n ＝n ＋1＋14－n ＋14＝14. 故数列{a n }是等差数列．(3)b n ＝44a n －1＝4n， T n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝16⎝⎛⎭⎫1＋122＋132＋…＋1n 2 ≤16⎣⎡⎦⎤1＋11×2＋12×3＋…＋1n （n －1） ＝16⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝16⎝⎛⎭⎫2－1n ＝32－16n＝S n ， 所以T n ≤S n .。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合运算[复习要点] 1.了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．知识点一集合的基本概念1．集合中元素的性质：________、________、________.2．元素与集合的关系(1)属于，记为________；(2)不属于，记为________．3．常见数集的符号4.答案：1.确定性无序性互异性2．(1)∈(2)∉3．N N*或N＋Z Q R4．(1)列举法(2)描述法(3)图示法知识点二集合间的基本关系少有一个元素不是A 中的元素空集空集是________的子集，是________的真子集∅⊆A ∅B (B ≠∅)答案：相同 A ⊆B B ⊆A A ⊆B 或B ⊇A A B 或BA 任何集合 任何非空集合知识点三 集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 ________________若全集为U ，则集合A 的补集为________图形 表示意义{x |________}{x |______}{x |＝________}答案：A ∪B A ∩B ∁U A x ∈A ，或x ∈B x ∈A ，且x ∈B x ∈U ，且x ∉A链/接/教/材1．[必修1·P11·A 组T1改编]若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P答案：D2．[必修1·P12·A 组T6改编]已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |0<x ≤4}，则A ∪B ＝( ) A ．[－1,4] B ．(0,3] C ．(－1,0]∪(1,4] D ．[－1,0]∪(1,4] 答案：A3．[必修1·P12·B 组T3改编]设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |0<x <2} 答案：B 易/错/问/题 1．忽视元素的互异性(1)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． (2)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________.答案：(1)－32 (2)0或32．集合中的两个易混结论：集合中元素的个数；集合子集的个数．(1)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．(2)集合A ＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A 有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．(1)答案：5 解析：因为A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.(2)答案：28 28－1 28－1 28－2 解析：因为集合A 中有8个元素，所以集合A 有28个子集、28－1个真子集、28－1个非空子集、28－2个非空真子集．通/性/通/法1．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法．(1)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩B 的子集的个数为________． (2)若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B ＝________.(1)答案：4 解析：A ∩B ＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．(2)答案：{x |－3＜x ＜2} 解析：在数轴上画出表示集合A ，B 的两个区间，观察可知A ∩B ＝{x |－3＜x ＜2}． 2．集合中两组常用结论：集合间的基本关系；集合的运算．(1)[2021湖南湘潭模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x |<1}，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则集合∁U (M ∪N )＝( ) A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)(2)[2021皖北协作区联考]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞(1)答案：A(2)答案：D 解析：因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.题型集合的含义与表示角度Ⅰ.用描述法表示集合试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．已知集合A ＝{6x －5∈Z |}x ∈N *，则集合A 用列举法表示为_______________． 思考：已知集合A ＝{x ∈N *⎪⎪⎪⎭⎬⎫6x －5∈Z ，则A 中的元素分别是________． [答案] {－2，－3，－6,6,3,2,1} [解析] 集合中的元素为6x －5的取值，当x ＝2,3,4,6,7,8,11时，6x －5的值为－2，－3，－6,6,3,2,1，共有7个取值，集合A 用列举法表示为{－2，－3，－6,6,3,2,1}．思考：2,3,4,6,7,8,11 2．[2021湖北天门调研]集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．NMD ．M 与N 没有相同的元素[答案] B [解析] 由题可知， 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝14(2k ＋1)，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝14(k ＋2)，k ∈Z ，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又知奇数均为整数，而整数不一定为奇数，所以M N ，故选B.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数． [易错警示] 要注意检验集合中元素的互异性． 角度Ⅱ.元素的互异性与参数的求值试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 021＋b 2 021为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[答案] C [解析] 只有b ＝0，a 2＝1⇒a ＝－1(a ＝1不满足互异性)，从而b ＝0，且a ＝－1，有a 2 021＋b 2 021＝－1.4．[2021山东百师联盟测试三]已知集合P ＝{－1,2a ＋1，a 2－1}，若0∈P ，则实数a 的取值集合为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1，－1B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，－1 [答案] C [解析] 当2a ＋1＝0时，a ＝－12，满足题意；当a 2－1＝0时，a ＝±1，经检验，a ＝1满足题意，故a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1.5．已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，则a ＝________. [答案] －1 [解析] 因为A ∩B ＝{－3}， 所以只可能a －3＝－3或a －2＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1.当a ＝0时，A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－2,1}，此时A ∩B ＝{1，－3}，不合题意．当a ＝－1时，A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，此时A ∩B ＝{－3}，符合题意，故a ＝－1.解/题/感/悟(小题示，大智慧)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．题型集合的基本关系角度Ⅰ.子集、真子集关系的判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2－13，n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝p 2＋16，p ∈Z ，试分析集合M ，N ，P之间的关系．[解] 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z .关于集合N ：当n 是偶数时，令n ＝2m (m ∈Z )，则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m －13，m ∈Z ； 当n 是奇数时，令n ＝2m ＋1(m ∈Z )， 则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2m ＋12－13，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ， 从而得M N .关于集合P ：当p ＝2m (m ∈Z )时， 则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ； 当p ＝2m －1(m ∈Z )时， 则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2m －12＋16，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m －13，m ∈Z ， 从而得N ＝P . 综上可知，M N ＝P .角度Ⅱ.子集、真子集的个数问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)2．[2021山东省实验中学期中]设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 组成的集合的子集个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．8[答案] D [解析] A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}，因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，结合题意可知B ＝∅或{3}或{5}，对应实数a 的值分别为0，13，15，其组成有3个元素的集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15，所以所求子集个数是23＝8，故选D. 3．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D角度Ⅲ.根据集合间的关系求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[2021湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[多选]设集合P ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x 2＋2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －6，集合T ＝{x |mx ＋1＝0}，若T ⊆P ，则实数m 的取值可以是( ) A ．12 B ．－12 C ．0D ．13[答案] BCD [解析] 由2x 2＋2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －6，得2x 2＋2x ＝2x ＋6，∴x 2＋2x ＝x ＋6，即x 2＋x －6＝0， 解得x ＝－3或x ＝2， ∴集合P ＝{2，－3}． 若m ＝0，则T ＝∅，∴T ⊆P . 若m ≠0，则T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m .由T ⊆P ，得－1m ＝2或－1m ＝－3， ∴m ＝－12或m ＝13.综上，实数m 的取值是13，－12，0. 故选BCD.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)根据两集合的关系求参数的方法(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性． (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． [易错警示] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．题型集合的运算角度Ⅰ.交集、并集、补集的综合运算试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2020全国卷Ⅲ，理]已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] C [解析] 本题考查集合的表示方法，集合的交集运算，集合中元素的个数．依题意A ∩B 的元素是直线x ＋y ＝8上满足x ，y ∈N *且y ≥x 的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．故选C.2．[多选][2021山东济宁一中一模]若集合A ＝{x |sin x ＝1}，B ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π4＋k π2，k ∈Z ，则正确的结论有( )A ．A ∪B ＝B B ．∁R B ⊆∁R AC ．A ∩B ＝∅D ．∁R A ⊆∁R B[答案] AB [解析] 本题考查集合的包含关系与补集关系． 由A ＝{x |sin 2x ＝1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋π4，k ∈Z， 又B ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π4＋k π2，k ∈Z ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 显然集合{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }⊆{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }， 所以A ⊆B ，则A ∪B ＝B 成立，所以选项A 正确； 且∁R B ⊆∁R A 成立，所以选项B 正确，选项D 不正确； A ∩B ＝A ，所以选项C 不正确．故选AB.角度Ⅱ.根据集合的运算求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)3．[2021湖北名校学术联盟联考]已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }．若A ∩B ＝{4}，则a ＝( ) A ．3 B ．2 C ．2或3D ．3或1[答案] A [解析] ∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A.4．[2021豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B.角度Ⅲ.补集思想在解题中的应用试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0}，B ＝{x |x 2＋2x －a ＝0}，C ＝{x |x 2＋2ax ＋2＝0}，若三个集合至少有一个集合不是空集，则实数a 的取值范围是________．[答案] {a |a ≤－2或a ≥－1} [解析] 假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，Δ3＝4a 2－8<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a <－1，－2<a <2，解得－2<a <－1，∴a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即三个集合至少有一个集合不是空集．故实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．解/题/感/悟(小提示，大智慧)运用补集思想求参数取值范围的步骤第一步：把已知的条件否定，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数的取值范围； 第三步：求反面问题对应的参数的取值集合的补集． 角度Ⅳ.集合的新定义问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)6．[2021名师原创]对集合A ，B ，记A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，定义A △B ＝(A －B )∪(B －A )为A ，B 的对称差集．若A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，y ，|x |}，且A △B ＝∅，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋1y 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 020＋1y 2 020＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 021＋1y 2 021＝________.[答案] －2 [解析] 依题意及Venn 图知，图中左侧阴影部分为A －B ，右侧阴影部分为B －A ，两阴影部分合起来就是A △B ，因为A △B ＝∅，所以A ＝B ，根据集合中元素的互异性，且结合集合B 知x ≠0，y ≠0，因为0∈B ，且A ＝B ，所以0∈A ，故只有lg(xy )＝0， 从而xy ＝1，而1＝xy ∈A ，由A ＝B 得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，|x |＝1或⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝1，其中x ＝y ＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以x ＝y ＝－1，代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋1y 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 020＋1y 2 020＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 021＋1y 2 021＝－2＋2－2＋…＋2－2＝－2. 7．[2021四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．210[答案] B [解析] 本题考查集合的新定义问题．集合A 的含有3个元素的子集共有C 36＝20个，所以k ＝20.在集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中，最大元素为3的集合有C 22＝1个；最大元素为4的集合有C 23＝3个；最大元素为5的集合有C 24＝6个；最大元素为6的集合有C 25＝10个，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.8．[多选]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案]ABD[解析]本题考查Venn图．用Venn图表示，集合S为如图1中的阴影部分，对于A选项，若S ＝N，利用S的Venn图观察，则有M∩N＝∅，M＝∅，故A选项正确；对于B选项，若S＝∅，则M＝N，故B选项正确；对于C选项，反例：如图集合S为如图2中的阴影部分，N⊆M，故C选项错误；对于D选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{4}，S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}＝{1,2,3,4}＝U，而(∁U M)∪(∁U N)＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S，故D选项正确，故选ABD.图1图2方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)解决集合新定义问题的方法1．紧扣新定义分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解答新定义型集合问题的关键．2．用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解答时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．提醒完成限时跟踪检测(一)第二节充分条件与必要条件，全称量词与存在量词[复习要点] 1.理解充分条件与必要条件的意义．2．理解全称量词与存在量词的含义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点一命题的概念概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断______的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类________命题、________命题答案：真假真假知识点二充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件p是q的________条件p⇒q且q pp是q的________条件p q且q⇒pp是q的________条件p⇔qp是q的________条件p q且q p 答案：充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要知识点三全称量词和存在量词1．全称量词：所有的，任意一个，任给一个，用符号“________”表示；存在量词：存在一个，至少有一个，有些，用符号“________”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：___________________________________.3．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：_________________________________________.答案：1.∀∃ 2.∀x∈M，p(x) 3.∃x0∈M，p(x0)知识点四含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)________________∃x0∈M，p(x0)________________答案：∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)链/接/教/材1．[选修2－1·P12·A组T3]设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：D2．[选修2－1·P30·A组T6]命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_____________________________________________.答案：有些表面积相等的三棱锥体积不相等3．[选修2－1·P27·A组T3改编]命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0B．∃x0∈R，x20＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x<0答案：B4．[选修2－1·P24·例3改编]命题：“∃x∈R，x2－ax＋1<0”的否定为________．答案：∀x∈R，x2－ax＋1≥0易/错/问/题1．命题中的易错点：命题的否定与否命题区分不当．命题“已知a>1，若x>0，则a x>1”的否命题为()A．已知0<a<1，若x>0，则a x>1B．已知a>1，若x≤0，则a x>1C．已知a>1，若x≤0，则a x≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则a x≤1答案：C2．充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．[多选]设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x<1 B．x>1C．x>－1 D．x>3答案：BC3．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 核/心/素/养逻辑推理——充要条件关系中的核心素养充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．[2021河北保定模拟]已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[－1,2]D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 答案：C 解析：由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x <1；由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件， 即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集． 设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝－a 2＋a ＋6>0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <3，－1≤a ≤2，所以－1≤a ≤2.题型充分条件与必要条件角度Ⅰ.充分条件与必要条件的判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2020北京卷]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C [解析] 本题考查充分条件、必要条件的判断，以及诱导公式的应用．充分性：若存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β，当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则α＝2n π＋β，则sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则α＝(2n ＋1)π－β＝2n π＋(π－β)，则sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β，所以充分性成立．必要性：若sin α＝sin β，则α＝2n π＋β或α＝2n π＋π－β(n ∈Z )，即α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z )，所以必要性成立．故选C.2．[多选][2021海南华侨中学段测]“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．0<a <1B ．0≤a ≤1C ．0<a <12D ．a ≥0[答案] BD [解析] 本题考查二次不等式恒成立、充分条件和必要条件的判断．关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1.A 选项，“0<a <1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的充要条件；B 选项，“0≤a ≤1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的必要不充分条件；C 选项，“0<a <12”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件； D 选项，“a ≥0”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对 ∀x ∈R 恒成立”的必要不充分条件．故选BD. 3．[2019北京卷]设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C [解析] 因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，因为模为正，故不等号两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →|·|AC →|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →|·|AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →|·|AC →|cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．因为以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB→＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)充分条件与必要条件的判定方法1．定义法①若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p且p q，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．2．等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题常转化为其逆否命题来判断．如①命题“綈q⇒綈p”转化为命题“p⇒q”；②命题“綈p⇒綈q”转化为命题“q⇒p”；③命题“綈p⇔綈q”转化为命题“q⇔p”．3．集合法设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A B，则p是q的充分不必要条件；⑤若A B，则p是q的必要不充分条件；⑥若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．角度Ⅱ.探究充分条件、必要条件及充要条件试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[多选]“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是()A．2≤m<3 B．12≤m≤3C．1≤m<3 D．2≤m≤5 2[答案]BC[解析]本题考查必要不充分条件的探求．函数f(x)图象的对称轴是直线x＝m，由已知可得充要条件是1<m <3，由选项判断，命题成立的必要不充分条件可以是12≤m ≤3或1≤m <3.故选BC.角度Ⅲ.由充分条件、必要条件求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．[多选]设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，则f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立的必要不充分条件是( )A ．m ∈[0，＋∞)B ．m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞C ．m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，5D ．m ∈[5，＋∞)[答案] AB [解析] 易知f (x )＝C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＝52x 3，故f (x )≤mx ⇔m ≥52x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2， ∴m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2max ＝5.∴m ∈[5，＋∞)满足条件，即所求区间应真包含区间[5，＋∞)．故选AB.6．已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 32≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[答案] [8，＋∞) [解析] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m ， 所以綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， 由p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 32≤4，解得－3≤x ≤9，所以綈p ：B ＝{x |x >9或x <－3}． 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以A B . 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－3，1＋m ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－3，1＋m >9，即m ≥8或m >8，所以m ≥8.7．[2021湖南浏阳三校联考]设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[解] 由p 得(x －3a )(x －a )<0， 当a <0时，3a <x <a .由q 得(x －3)(x ＋2)≤0或(x ＋4)·(x －2)>0， 则－2≤x ≤3或x <－4或x >2， 则x <－4或x ≥－2.∴綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件． 设A ＝(3a ，a )，B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)， 可知A B ，∴a ≤－4或3a ≥－2， 即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 1．根据充分、必要条件求解参数范围的方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． [提醒] 含有参数的问题，要注意分类讨论．题型全称量词与存在量词角度Ⅰ.全(特)称命题的否定试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2021湖南怀化模拟]命题“∀x ∈N *，x 2∈N *且x 2≥x ”的否定形式是( )A ．∀x ∈N *，x 2∉N *且x 2<xB ．∀x ∈N *，x 2∉N *或x 2<xC ．∃x 0∈N *，x 20∉N *且x 20<x 0 D ．∃x 0∈N *，x 20∉N *或x 20<x 0[答案] D [解析] 本题考查存在量词命题的否定．由题意可得命题“∀x ∈N *，x 2∈N *且x 2≥x ”的否定为“∃x 0∈N *，x 20∉N *或x 20<x 0”，故选D.2．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2[答案] D [解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知选D.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)全称命题与特称命题的否定1．改写量词确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． 2．否定结论对原命题的结论进行否定． 3．“双量词”命题的否定叙述“对于∀t ∈D 1，∃x 0∈D 2，满足条件p (t ，x 0)”其否定叙述为“∃t 0∈D 1，对于∀x ∈D 2，满足条件綈p (t 0，x )”，如本例2中出现的形式．角度Ⅱ.全(特)称命题的真假判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0；p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ；p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[答案] D [解析] 对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x 0＝12时，有1＝log 1212＝log 1313>log 1312成立，即log 1212>log 1312，故p 2是真命题；对于p 3，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与对数函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上的图象(如图1)可以判断p 3是假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与对数函数y ＝log 13x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的图象(如图2)可以判断p 4是真命题．综上可知，真命题为p 2，p 4，故选D.4．下列各命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R,1－x 2<0 B ．∀x ∈N ，x 2≥1 C ．∃x 0∈Z ，x 30<1D ．∃x 0∈Q ，x 20＝2[答案] C [解析] 分别对选项中的不等式求解，依次判断是否正确即可．对于选项A,1－x 2<0，即x >1或 x <－1，故A 不正确；对于选项B ，当x ＝0时，x 2＝0<1，故B 不正确；对于选项D ，x ＝±2为无理数，故D 不正确；对于选项C ，当x ＝0时，x 3＝0<1，故C 为真命题，故选C.5．[多选]已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，则下列命题正确的是( ) A ．∀k ∈R ，l 与C 相交 B ．∃k ∈R ，l 与C 相切 C ．∀r >0，l 与C 相交D ．∃r >0，l 与C 相切[答案] AC [解析] 直线l ：y ＝k (x －1)经过定点(1,0)， 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为(1,0)，半径为r ， ∴直线l 经过圆C 的圆心，∴∀k ∈R ，l 与C 相交，∀r >0，l 与C 相交．∴AC 正确．解/题/感/悟(小提示，大智慧)由于全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，原命题与其否定的真假相对，因此涉及特称命题为假命题时，常转化为全称命题为真命题后求解．全称命题为真，常转化为恒成立问题，特称命题为真，常转化为有解问题．角度Ⅲ.根据全(特)称命题的真假求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)6．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 [解析] f (x )＝x 2－2x ，在x ∈[－1,2]内的值域为[－1,3]，g (x )＝ax ＋2(a >0)在x ∈[－1,2]内的值域为[－a ＋2,2a ＋2]．由条件可知：[－a ＋2,2a ＋2]⊆[－1,3]．从而：⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，∴0<a ≤12. 7．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ [解析] 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由题意得f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.8．[2021河南安阳调研]已知p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，q ：∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] {a |a ≤－2或a ＝1} [解析] 由x 2－a ≥0，得a ≤x 2.又x ∈[1,2]，∴x 2∈[1,4]，∴a ≤1，∴若命题p 是真命题，则a ≤1；要使命题q 为真命题，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.∵命题“p 且q ”是真命题，∴p ，q 同时为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a ≥1或a ≤－2，解得a ≤－2或a ＝1，即实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ＝1}．解/题/感/悟(小提示，大智慧)根据全(特)称命题真假求参数的取值范围时，常采用分离参数法(1)∀x ∈D ，不等式p (a ，x )≥0恒成立，分离出参数a 后转化为a ≥f (x )[或a ≤f (x )]恒成立，进而转化为a ≥f (x )max [或a ≤f (x )min ]．(2)∃x ∈D ，不等式p (a ，x )≥0有解，求参数，也常分离参数后，化为a ≥f (x )[或a ≤f (x )]有解问题，从而转化为a ≥f (x )min [或a ≤f (x )max ]．(3)形如：“对∀x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立”，问题转化为两值域间的包含关系：{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．(4)形如：“对∀x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得f (x 1)<g (x 2)成立”，问题转化为两函数最值间的关系：f (x )max <g (x )max . 提醒 完成限时跟踪检测(二)。

第4节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式考试要求 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集4.分式不等式与整式不等式 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0). (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒]1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x≥0的解集为( ) A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 答案 B5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A.1B.－14C.4D.－12解析 因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝1a ，所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14. 答案 B6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析 若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立， 若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一 一元二次不等式的解法 多维探究角度1 不含参数的不等式【例1－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.角度2 含参数的不等式 命题点1 通过判别式分类讨论【例1－2】 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R ). 解 ①当k ＝0时，不等式的解为x >0.②当k >0时，若Δ＝4－4k 2>0，即0<k <1时，不等式的解为1－1－k2k<x <1＋1－k 2k；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解.③当k <0时，若Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时， 不等式的解为x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k ，若Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1， 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0<k <1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}； 当－1<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1＋1－k 2k ，或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k <－1时，不等式的解集为R . 命题点2 通过根的大小分类讨论【例1－3】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】 (2018·豫北豫南名校联考)不等式x 2－3|x |＋2>0的解集是________. 解析 由题原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0， 解得|x |<1或|x |>2，所以x ∈(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞). 答案 (－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞) 考点二 一元二次方程与一元二次不等式【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5. 故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2. 答案 {x |x ≥3或x ≤2}规律方法 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 C考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2] 解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立； 当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________. 解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可. 因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3解析 由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立， 则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数. ∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52.因此a ≥－52，则a 的最小值为－52. 答案 C考点四 一元二次不等式的应用【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解 (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0， 解得x ≥3或x ≤－15， 又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10]. (2)设利润为y 元，则 y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.规律方法 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台D.180台解析 由题设，产量x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去).故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.故选C.答案 C[思维升华]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.2.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.[易错防范]1.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·合肥调研)已知集合A＝{y|y＝e x，x∈R}，B＝{x∈R|x2－x－6≤0}，则A ∩B 等于( ) A.(0，2) B.(0，3] C.[－2，3]D.[2，3]解析 因为A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－2≤x ≤3}， 故A ∩B ＝{x |0<x ≤3}. 答案 B2.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解析 不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0，解得－12≤x <1或1<x ≤3. 答案 C3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( ) A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 A4.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1，1]上为增函数.所以x ∈[－1，1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2. 答案 C5.(2019·淄博月考)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(0，＋∞) B.(－∞，0)∪(1，＋∞) C.(－1，0)D.(0，1)解析 由Δ＝[－(a ＋2)]2－4a ＝a 2＋4>0知，函数f (x )必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则f (－2)·f (－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1，此时不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0. 答案 C 二、填空题6.不等式2x 2－x <4的解集为________. 解析 由已知得2x 2－x <22，∴x 2－x <2即x 2－x －2<0，解得－1<x <2， 故所求解集为 (－1，2). 答案 (－1，2)7.已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12或x >2}，则m －n ＝________. 解析 由已知得m <0且－12，2是方程mx 2＋nx －1m＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－n m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2＝－1m 2，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝32或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－32(舍). ∴m －n ＝－1－32＝－52. 答案 －528.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________. 解析 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ). 又f (0)＝0.于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞). 答案 (－3，0)∪(3，＋∞) 三、解答题9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.10.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R ).解 (1)原不等式等价于⎩⎨⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，可得⎩⎨⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}. (2)∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析 易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1). 答案 D12.(2019·保定一中调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2).答案 A13.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2.答案 (－∞，－2]14.(2019·济南一中质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x .若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围. 解 因为函数f (x )是偶函数，故函数图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增. 所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立， 化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎨⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.新高考创新预测15.(试题创新)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x ＋4y＋5，则()A.a＋b－c的最小值为2B.a－b＋c的最小值为－4C.a＋b－c的最大值为4D.a－b＋c的最大值为6解析由题意可得－5≤(a－3)x＋(b－4)y＋c≤5恒成立，所以a＝3，b＝4，－5≤c≤5，则2≤a＋b－c≤12，即a＋b－c的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；－6≤a－b＋c≤4，则a－b＋c的最小值是－6，最大值是4，B错误，D 错误，故选A.答案 A。

2020年第一轮高考数学专题复习第一讲：集合一、考纲导读（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.第1课时 集合的概念一、基础过关 <1>.集合1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．2．集合中的元素属性具有：(1) 确定性； (2) ； (3) ．3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．<2>.元素与集合的关系4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作 ，若a 不是集合B 的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．<3>.集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号 表示．6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ．8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．二、典型例题例1. 已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集.变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.例2. 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.变式训练2：（1）P ＝{x|x2－2x －3＝0}，S ＝{x|ax ＋2＝0}，S ⊆P ，求a 取值？（2）A ＝{－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A,求m 。

1．函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．(2)在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． (3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及几何意义，了解函数的奇偶性的含义． (5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象．(4)体会指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数2,10，12的对数函数的图象．(3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． 4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的变化规律．5．函数与方程结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ的10套试题直接考查本部分内容的试题共21道，除2014年卷Ⅰ考查了3道，占15分，其他各套都考查了2道，占10分．(以导数为主的解答题结合了函数的知识，但没有统计在内)函数是每年高考的必考内容，常以客观题的形式出现，主要考查函数的概念，分段函数的求值、求参数范围；函数的奇偶性、单调性及其应用；指数、对数函数的性质及应用，函数的零点等内容．容易题、中等难度试题及较难试题都有出现．函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了高中数学的全过程，是中学数学与高等数学的结合点，是进一步学习高等数学的重要基础．在复习本部分知识时，要注意如下方面：1．加强函数概念的理解，会求一些简单函数的定义域，能够利用解析式求函数的值，要特别注意加强对分段函数的理解，加强函数与方程、分类讨论及数形结合等思想方法的应用意识．2．理解函数的单调性、奇偶性的定义，切实掌握判断函数的单调性、奇偶性的方法，强化函数性质的应用意识．熟练掌握利用函数性质解决求函数最值、求函数零点、求参数范围及解“函数”不等式等相关问题．3．在复习幂、指数、对数函数时，要坚持“定义(概念)→解析式→图象→性质”这条主线．要注意掌握指数、对数的基本运算．要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及其图象变换，加强函数图象的应用意识．4．对函数的零点及方程根的复习，要理解函数的零点、方程的实根和函数与x轴交点的横坐标的等价性，掌握零点的存在性定理，能通过两函数图象的交点个数来判断方程零点的个数．函数是传统的学习内容，对这一部分的复习历来师生都十分重视，由于导数的引入，对函数的复习的要求就有所变化，因为导数是研究函数强有力的工具，有些问题在导数中研究变得更加轻松(如函数的单调性)，根据全国卷高考对本单元的要求，在复习时，要适当控制难度．第4讲函数及其表示1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．知识梳理1．函数的概念(1)给定两个非空的数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在B 中都有唯一确定的数y与之对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，此时的x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合C＝{f(x)|x∈A}叫做函数的值域且C B.(2)函数有三个要素：定义域、值域和对应关系.2．函数的表示列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法．解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法．3．分段函数分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数称为分段函数．4．映射的概念如果两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素，B中总有唯一确定的元素y与之对应，就称这种对应是从集合A到集合B的映射．1．函数是一种特殊的映射，映射不一定是函数．从A到B的映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.热身练习1．考察下列图象：其中能够作为函数图象的是A，B，C.抓住函数的定义进行判断．对每一个x，都有唯一确定的y与之对应才构成函数关系，表现在图象上为在定义域范围内与x轴垂直的直线与图象有且只有1个交点，由此可知，A，B，C都能作为函数图象，D 不能作为函数图象．2．(经典真题)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝ －2 .由f (x )＝ax 3－2x 可得f (－1)＝－a ＋2＝4， 所以a ＝－2.3．下列函数中，f (x )与g (x )表示同一函数是(D) A ．f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2A 的定义域不同，B 的值域不同，C 的对应法则不同，只有D 的定义域、值域、对应法则都相同．4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]＝(C)A ．－1 B.14C.12D.32因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (14)＝1－14＝1－12＝12. 5．已知函数满足f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为(B) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0(方法一)令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， 所以f (t )＝(t ＋1)2－3， 所以f (2)＝(2＋1)2－3＝6.(方法二)f (x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2，所以f (x )＝x 2＋2x －2，所以f (2)＝22＋2×2－2＝6. (方法三)令x －1＝2，则x ＝3，所以f (2)＝32－3＝6.求函数的定义域(1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)(2)设函数f (x )＝ln 1＋x 1－x，则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1x )的定义域为____________．(1)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ＋1>0，解得x >－1且x ≠1.故函数f (x )的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．(2)要使f (x )＝ln 1＋x 1－x 有意义，则1＋x1－x >0，所以－1<x <1.则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1x)的定义域为⎩⎨⎧－1<x2<1，－1<1x <1，所以x ∈(－2，－1)∪(1,2)．(1)C (2)(－2，－1)∪(1,2)求定义域的基本方法：①若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集；②已知函数f (x )的定义域为D ，则f [g (x )]的定义域为满足g (x )∈D 的x 的取值范围．1．(1)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是(D) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) (2)(2018·重庆模拟)已知函数f (x )的定义域为[－1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域是(A) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－1,2] D ．(－2,1](1)要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0， 即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)因为f (x )的定义域为[－1,2]，要使函数y ＝f (x )＋f (－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤－x ≤2，解得－1≤x ≤1.所以y ＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1,1]．求函数的解析式(1)(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.(2)已知f (1x ＋1)＝x 2＋1x 2＋3x，则f (x )＝___________________________.(1)先利用函数解析式将f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2的左边表示出来，再化简右边，然后利用多项式相等的条件求解即可．因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－3，a 2＋2ab ＝0，a 3＋3a 2＝a 2b .①②③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.(2)令t ＝1x ＋1，则x ＝1t －1(t ≠1)，于是f (t )＝(1t －1)2＋1(1t －1)2＋31t －1＝1＋(t －1)2＋3(t －1)＝t 2＋t －1(t ≠1)．所以f (x )＝x 2＋x －1(x ≠1)．(1)－2 1 (2)x 2＋x －1(x ≠1)求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x ＋1)＝ x 2＋2x (x ≥0) .(2)已知函数f (x )是一次函数，且f (8)＝15，f (14)，f (5)，f (2)成等比数列，则f (x )＝ 2x －1 .(1)设u ＝x ＋1≥1，则x ＝(u －1)2，所以f (u )＝(u －1)2＋2(u －1)＝u 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x (x ≥0)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由f (8)＝15，得8a ＋b ＝15，① 又f (14)，f (5)，f (2)成等比数列， 所以[f (5)]2＝f (2)·f (14)， 得(5a ＋b )2＝(14a ＋b )(2a ＋b a 2＋6ab ＝0. 因为a ≠0，所以a ＝－2b ，②由①②得a ＝2，b ＝－1，所以f (x )＝2x －1.分段函数(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8先由f (a )＝f (a ＋1)求出a ，再求f (1a)．求f (a )和f (a ＋1)时，将a ，a ＋1代入分段函数的哪一个表达式中？这就必须依据分段函数的定义域对a 进行分类讨论．若0<a <1，a ＋1>1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a )＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，a ＋1>1，由f (a )＝f (a ＋1)得 2(a －1)＝2(a ＋1－1)，此方程无解． 综上，f (1a)＝6.C(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．(2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式，自变量的值不确定时，要分类讨论．3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1， x ＞0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(D)A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(方法一：利用分段函数分段求解)①当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． (方法二：借助函数图象求解)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1， x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数， 故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1. 当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )．此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．1．函数的定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，都必须在定义域上进行，求函数的定义域，主要掌握以下两种类型：(1)由解析式给出的函数，根据其定义域求出使函数有意义的自变量的取值范围．其主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0；③对数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1.(2)复合函数f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为D，则满足g(x)∈D的x的集合是f[g(x)]的定义域．2．求函数的解析式主要掌握如下两种方法：(1)给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．(2)换元法求解析式，已知f[h(x)]＝g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元求解．但用换元法时，要注意新元的范围．3．分段函数问题要分段求解．如求分段函数f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系，当不能确定时，要注意分类讨论．。

课时规范练A 组 基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅱ )中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( C ) A ．7 B.12 C ．17D.341题图 2题图2．(2017·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( C ) A ．0 B.1 C ．2D.33．(2018·湖南湘东五校联考)执行如图所示的程序框图，当A ＝2425时，输出的k 的值为( B )A ．23 B.24 C ．25D.26解析：程序框图中算法的功能是计算11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1k －1k ＋1＝1－1k ＋1＝k k ＋1.因为A ＝2425，退出循环的条件为S ≥A ，当k ＝24时，k k ＋1＝2425满足条件，故输出的k 的值为24.故选B .4．(2018·石家庄质检)当n ＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( C )A ．9 B.15 C ．31D.63解析：执行程序框图，k ＝1，S ＝1；S ＝3，k ＝2；S ＝7，k ＝3；S ＝15，k ＝4；S ＝31，k ＝5>4，退出循环．故输出的S ＝31，故选C .5．(2018·福州质量检测)如图的程序框图是为了求出满足1＋12＋13＋…＋1n <1 000的最大正整数n 的值，那么在◇和▱两个空白框中，可以分别填入( D )A ．“S <1 000”和“输出i －1”B ．“S <1 000”和“输出i －2”C ．“S ≥1 000”和“输出i －1”D ．“S ≥1 000”和“输出i －2”6．(2018·武汉调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S ∈( A )A．[－4,2] B.[－2,2]C．[－2,4] D.[－4,0]解析：当－2≤t<0时，S＝2t，S∈[－4,0)；当0≤t≤2时，S＝t3－3t，易知S＝t3－3t在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，且当t＝0时，S＝0，当t＝1时，S＝－2，当t＝2时，S＝2，所以S∈[－2,2]．综上，输入的t∈[－2,2]时，输出的S∈[－4,2]，故选A .7．执行如图所示的程序框图，若输入的a0＝4，a1＝－1，a2＝3，a3＝－2，a4＝1，则输出的t的值为(D)A．5 B.10C．12 D.148．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x＋1问题”．执行该程序框图，若N＝3，则输出的i＝(C)A．6 B.7C ．8 D.9B 组 能力提升练1．(2018·太原模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( D )A ．3＋12log 23 B.log 23 C ．3D.2解析：S ＝3＋log 22，i ＝2；S ＝3＋log 22＋log 232，i ＝3；S ＝3＋log 22＋log 232＋log 243＝4，i ＝4>3，退出循环，输出的S ＝log 24＝2.2．执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( C )A ．5 B.6 C ．7D.8解析：由程序框图可知，S ＝1－12＝12，m ＝14，n ＝1，12>0.01； S ＝12－14＝14，m ＝18，n ＝2，14>0.01； S ＝14－18＝18，m ＝116，n ＝3，18>0.01；S＝18－116＝116，m＝132，n＝4，116>0.01；S＝116－132＝132，m＝164，n＝5，132>0.01；S＝132－164＝164，m＝1128，n＝6，164>0.01；S＝164－1128＝1128，m＝1256，n＝7，1128<0.01.故选C.3．(2016·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(B)A．1 B.2 C．3 D.4解析：输入a＝1，则b＝1，第一次循环，a＝－11＋1＝－12，k＝1；第二次循环，a＝－11－12＝－2，k＝2；第三次循环，a＝－11－2＝1，此时a＝b，结束循环，输出k＝2.故选B.4．(2018·湖北八市联考)对任意非零实数a，b，定义a*b的运算原理如图所示，则＝(A)A ．1 B.2 C ．3 D.4解析：因为＝4,3<4，所以输出4－13＝1，故选A .5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S 的值为1，则判断框内为( D ) A ．i >6? B.i >5? C ．i ≥3?D.i ≥4?解析：依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S ＝1×(3－1)＋1＝3，i ＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S ＝3×(3－2)＋1＝4，i ＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S ＝4×(3－3)＋1＝1，i ＝4，因此当输出的S 的值为1时，判断框内为“i ≥4？”，故选D.5题图 6题图6．执行如图所示的程序框图，若输出y ＝－3，则输入的θ＝( D ) A.π6 B.－π6 C.π3D.－π3解析：对于A ，当θ＝π6时，y ＝sin θ＝sin π6＝12，则输出y ＝12，不合题意；对于B ，当θ＝－π6时，y ＝sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，则输出y ＝－12，不合题意；对于C ，当θ＝π3时，y ＝tan θ＝tan π3＝3，则输出y ＝3，不合题意；对于D ，当θ＝－π3时，y ＝tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，则输出y ＝－3，符合题意．故选D.7．已知图象不间断的函数f (x )是区间[a ，b ]上的单调函数，且在区间(a ，b )上存在零点．如图所示是用二分法求方程f (x )＝0近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择： ①f (a )f (m )<0；②f (a )f (m )>0；③f (b )f (m )<0；④f (b )f (m )>0，其中能够正确求出近似解的是( A )A．①④ B.②③C．①③ D.②④解析：因为函数f(x)在区间[a，b]上单调，且函数f(x)在区间(a，b)上存在零点，所以f(a)f(b)<0，所以当f(a)f(m)<0或f(b)f(m)>0时，符合程序框图的流程，故选A.7题图8题图8．(2018·福建质检)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为(B)A．120 B.84C．56 D.28解析：执行程序框图，i＝1，n＝1，S＝1；i＝2，n＝3，S＝4；i＝3，n＝6，S＝10；i＝4，n＝10，S ＝20；i＝5，n＝15，S＝35；i＝6，n＝21，S＝56；i＝7，n＝28，S＝84，此时退出循环，输出S＝84，故选B .。

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十三) 【p 277】(概率与统计)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．某一考点有64个试室，试室编号为001～064，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005试室号，则下列可能被抽到的试室号是( )A ．051B ．052C ．053D ．055【解析】每八个抽取一个，第一个是005，故后面编号为005＋8k ，当k ＝6时，编号为053.【答案】C2．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示．若甲运动员的中位数为a ，乙运动员的众数为b ，则a －b 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 【解析】∵甲运动员的中位数为a ，∴a ＝19＋172＝18， ∵乙运动员的众数为b ，∴b ＝11，∴a －b ＝18－11＝7.【答案】A3．电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到6组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)，(x 6，y 6)．根据收集到的数据可知x －＝10，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝1.3x ＋5.2，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6＝( )A ．50.5B ．45.5C ．100.2D ．109.2【解析】由y －＝1.3x －＋5.2 ，且x －＝10可知y －＝1.3×10＋5.2＝18.2.所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6＝18.2×6＝109.2所以选D.【答案】D4．有人发现，附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d.A ．99%B ．97.5%C ．95%D ．99.9%【解析】∵K 2＝168×（68×38－20×42）288×80×110×58≈11.377. ∵11.377＞10.828.∴有99.9%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故答案为D.【答案】D5．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A ．至少有一个红球，都是红球B ．至少有一个红球，都是白球C ．至少有一个红球，至少有一个白球D ．恰有一个红球，恰有二个红球【解析】在各选项中所涉及到的四对事件中，选项B 和D 中的两对事件是互斥事件，同时，发现B 所涉及事件是一对对立事件．D 中的这对事件可以都不发生，故不是对立事件．【答案】D6．关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，不等式()x －42＋()y －32≤1所表示的平面区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为( )A.π16B.π8C.14D.12【解析】M 的面积为12×4×4＝8，半圆的面积为π2，故概率为π16.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．)7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481【解析】由随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左到右依次取数，第一个数为08；第二个数为02；63＞20，第三个数为14；第四个数为07；02重复舍去，43＞20，69＞20，97＞20，28＞20，第五个数为01.故答案为01.【答案】018．有一组样本数据8，x ，10，11，9，已知它们的平均数为10，则这组数据的方差s 2＝__________．【解析】∵该组样本的平均数为10，∴(8＋x ＋10＋11＋9)÷5＝10，∴x ＝12，∴s 2＝15(4＋4＋0＋1＋1)＝2. 【答案】29．现从甲、乙、丙、丁4个人中随机选派2人参加某项活动，则甲乙两人中有且只有一个被选中的概率为________．【解析】从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，共有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，六种选法．其中甲乙两人中有且只有一个被选中，则有(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，四种选法．故所求概率为46＝23. 【答案】2310．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【解析】连结AC ，∵tan ∠CAB ＝BC AB ＝13＝33， ∴∠CAB ＝30°，满足条件的事件是射线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交时，即射线AP 与线段BC 有公共点，∴所求概率为P ＝∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13. 【答案】13三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，准备加大产品研发投资，下表是该到0.001)；(2)若2020年6月份研发投入为35百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量．参考数据：∑8i ＝1x i y i ＝347，∑8i ＝1x 2i ＝1 308. 参考公式：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx －y －∑n i ＝1x 2i －nx －2，a ^＝y －－b ^x －. 【解析】(1)因为x －＝11，y －＝3.所以b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx －y －∑n i ＝1x 2i －nx －2＝347－8×11×31 308－8×121＝83340≈0.244. a ^＝y －－b ^x －＝3－83340×11≈0.315， 所以y 关于x 的线性回归方程为y －＝0.244x ＋0.315.(2)当x ＝35时，y －＝0.244×35＋0.315＝8.855(万台)．12．(13分)“某奶茶店为了促销准备推出“掷骰子(投掷各面数字为1到6的均匀正方体，看面朝上的点数)赢代金劵”的活动，游戏规则如下：顾客每次消费后，可同时投掷两枚骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券，用于在以后来店消费中抵用现金．设事件A ：“两连号”；事件B ：“两个同点”；事件C ：“同奇偶但不同点”．①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．请替该店定出各个等级奖依次对应的事件并求相应概率．【解析】由题意知，基本事件总数为36，枚举如下：1－1，1－2，1－3，1－4，1－5，1－6，2－1，2－2，2－3，2－4，2－5，2－6，3－1，3－2，3－3，3－4，3－5，3－6，4－1，4－2，4－3，4－4，4－5，4－6，5－1，5－2，5－3，5－4，5－5，5－6，6－1，6－2，6－3，6－4，6－5，6－6.事件A 共包含10个基本事件，枚举如下：1－2，2－1，2－3，3－2，3－4，4－3，4－5，5－4，5－6，6－5.∴P(A)＝1036＝518； 事件B 共包含6个基本事件，枚举如下：1－1，2－2，3－3，4－4，5－5，6－6，∴P(B)＝636＝16； 事件C 共包含12个基本事件，枚举如下：1－3，1－5，2－4，2－6，3－1，3－5，4－2，4－6，5－1，5－3，6－2，6－4，∴P(C)＝1236＝13； ∴P(B)<P(A)<P(C)，∴事件B ：“两个同点”对应一等奖，概率为16； 事件A ：“两连号”对应二等奖，概率为518； 事件C ：“同奇偶但不同点”对应三等奖，概率为13； 其余事件对应感谢奖，概率为1－518－16－13＝29. 13．(14分)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35. (1)请将上述列联表补充完整；(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(3)已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面是临界值表仅供参考：参考公式：K 2＝n ()ad －bc ()a ＋b ()c ＋d ()a ＋c ()b ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d)． 【解析】(1)因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35， 所以喜欢游泳的学生人数为100×35＝60人， 其中女生有20(2)因为K 2＝100（40×30－20×10）60×40×50×50≈16.67>10.828， 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．(3)5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a ，b ，c ，另外2名学生记为1，2，任取2名学生，则所有可能情况为(a ，b)、(a ，c)、(a ，1)、(a ，2)、(b ，c)、(b ，1)、(b ，2)、(c ，1)、(c ，2)、(1，2)，共10种．其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为(a ，1)、(a ，2)、(b ，1)、(b ，2)、(c ，1)、(c ，2)，共6种，所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为610＝35.。