相似三角形的性质和判定(2)

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。

在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。

本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。

一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。

1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。

1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。

例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。

2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。

具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。

3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。

具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。

相似三角形的性质在数学中应用广泛。

例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。

第四讲 相似 性质及判定（2）【知识点】1、三角形相似的性质：对应角相等，对应边、对应高、对应中线、对应角平分线成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方2、三角形相似的判断：一边平行、两角相等、两边对应成比例及夹角相等、三边对应成比例3、全等是相似比为1的特殊情况、中位线构成的两个三角形相似比为1:2 【典型例题】例1如图，AE 2＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠C ，试说明△BCE ∽△EBD 。

例2 如图五，在△ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 上，点G 、F 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 相交于K ，已知S △AGF ︰S △ABC ＝9︰64，EF ＝10，求AH 的长．例3如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．例4如图(3)，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与四边形DECB 的面积之比为 。

A BD CE12（图五）BCA DEG FKH ABCDE 图(3)例5如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C(1)求证：△ABF ∽△EAD ;(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°， 求AE 的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD ＝3，求BF 长. (计算结果含根号).变式：1、已知：如图七，点O 为四边形ABCD 内一点，连接OA 、OB 、OC 、OD ，点E 、F 、G 、H 分别在OA 、OB 、OC 、OD 上，且有OA ＝OB ，EH ∥AD ，HG ∥CD ，FG ∥BC ，求证：EA ＝FB ．2、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在对角线BD 上，且DCE ADB ∠=∠，如果9BC =，CD ∶BD = 2∶3，求CE 的长．【课堂练习】1、如图,在△ABC 中,DE ∥BC, AD ：AC=2：1，则△ADE ∽△ ，∠C=∠ △ABC 的面积：△ADE 的面积= .C A A ED 1E D G EA DB BC B F C(第1题图) (第2题图) (第3题图) 2、已知:如图,直线DE 交△ABC 的两边AB 、AC 于点D 、E,且∠1=∠B 则)()()()()()(==. 3、如图,DE ∥BC,则△ ∽△ ,若AD=3,BD=2,AF ⊥BC,交DE 于 G,则AG:AF= ： , △AGE ∽△AFC,且它们的相似比为 . 4、如图,平行四边形ABCD 中,P 是CD 上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边形ABCDOBAD C FE H G （图七）EBDCAF A BC DE的面积= ,S △BCP ：S △APD ：S △APB = ： ：5、已知：如图,梯形ABCD 的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M 为腰AD 、BC 的交点,则点M 到上底CD 的距离为 cm,点M 到下底AB 的距离为 cm. D P C MD CA B A B（第4题图） （第5题图） 6、如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥AD ，CD ∥AB ，且BD=3，CD=2，则下底AB 的长是 . 7、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为是3:7，若DE=15cm,则BC= cm, AD:BD= ______A AD E (第7题图) （第8题图） DB C C B 8、如图，在△ABC 中，AB=12，AC=15，D 为AB 上一点，且AD=AB 32，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、E 为顶点的三角形和△ABC 相似，则AE 等于 .9、若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB=3，A 1B 1=4.5，且S △ABC +S △111C B A =78，则S △111C B A = . 10、如图，CD 是直角三角形ABC 斜边上的高，已知AB=25cm ，BC=15cm ，则BD= .CA D B11、下列命题中，不正确的是 （ ）A 、如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；B 、等腰直角三角形都是相似三角形；C 、有一个角为600的两个等腰三角形相似； D 、有一个锐角相等的两个等腰三角形相似。

相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。

在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。

本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

记为AA相似性质。

2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SSS相似性质。

3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SAS相似性质。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。

三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。

已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。

根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。

根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。

由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。

相似三角形的性质及判定（2）一、相似三角形的性质及判定【例1】 在直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：44AB FB FDAC EC ED⋅=⋅. F EDCBA【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】面积法 【解析】【答案】由90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，可得ABD CAD ∆∆∽，∴22ABD CAD S AB S AC ∆∆=， 又∵ABD CAD S BDS CD∆∆=∴22AB BD AC CD= 由BDF DCE ∆∆∽， ∴22BDF DCE S BF FD BD S DE EC DC ∆∆⋅==⋅ ∴4242AB BD BF FD AC CD DE EC⋅==⋅【例2】 设O 为ABC ∆内任一点，连接AO 、BO 、CO 并延长交三边于点'A 、'B 、'C ，求证：2'''AO BO COAA BB CC ++=C'B'A'OCBA【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】面积法例题精讲【解析】 【答案】∵'''''AOB AOCAOB AOC AOB AOC AA B AA C AA B AA C ABCS S S S S S AO AA S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++====+， 同理可证：'BOC BOAABC S S BO BB S ∆∆∆+=， 'COA COBABCS S CO CC S ∆∆∆+=， 将上面三式相加，得：22'''ABCABCS AO BO CO AA BB CC S ∆∆⋅++==.【例3】 P 为ABC ∆内任一点，射线AP 、BP 、CP 分别交对边于D 、E 、F ，求证：1PD PE PFAD BE CF++=. PFEDCBAA'P'PF ED CB A【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】【答案】分别过A 、P 作'AA BC ⊥、'PP BC ⊥，'A 、'P 为垂足，容易证得：''ADA PDP ∆∆∽ ∴''PBC ABCS PD PP AD AA S ∆∆==， 同理可证：PAC ABC S PE BE S ∆∆=，PBAABCS PF CF S ∆∆=， ∴1PBC PAC PAB ABCABC ABCS S S S PD PE PF AD BE CF S S ∆∆∆∆∆∆++++===.【例4】 已知P 为平行四边形ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：1BC ABBP BQ-= QPDCB A【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】【答案】∵ABCD 为平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥，∴BC AD AQBP BP BQ==， ∴1BC AB AQ AB AQ AB BQ BP BQ BQ BQ BQ BQ--=-===.【例5】 如图所示．平行四边形ABCD 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ．若A B a =，BC b =，BF c =，求BE ．OF EDCBAGOFEDCBA【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】【答案】过O 作OG BC ∥，交AB 于G ．显然，OG 是ABC ∆的中位线，所以112222b aOG BC GB AB ====，在FOG ∆中，由于GO EB ∥，所以BE FBFOG FEB OG FG ∆∆=∽，， 则222FB c b bcBE OG a FG a c c =⋅=⋅=++【例6】 已知：如图①，②，在矩形ABCD 中，48AB BC ==，，P ，Q 分别是边BC ，CD 上的点．⑴ 如图①，若AP PQ ⊥，BP =2，求CQ 的长；（6分）⑵ 如图②，若2BPCQ=，且E ，F ，G 分别为AP ，PQ ，PC 的中点，求四边形EPGF 的面积． （6分）图①QP D C ABG FE图②QP D C AB H G FE图②QPD CAB【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2007年，三明市中考 【解析】【答案】⑴ ∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C ∠=∠=︒．∴90CPQ PQC ∠+∠=︒．∵AP PQ ⊥ ，∴90CPQ APB ∠+∠=︒． ∴APB PQC ∠=∠． ∴ABP ∆∽PCQ ∆． ···························· 3分 ∴BP CQ AB PC =，即2482CQ =- ． ∴3CQ =． ····································· 6分⑵ 解法一：取BP 的中点H ，连结EH ，由2BPCQ=，设CQ a =，则2BP a = ， ∵E ，F ，G ，H 分别为AP ，PQ ，PC ，BP 的中点，∴EH ∥AB ，FG ∥CD ，又∵AB ∥CD ，90B C ∠=∠=， ∴EH ∥FG ，EH BC FG BC ⊥⊥，． ∴四边形EHGF 是直角梯形．∴1112222EH AB FG CQ a ====，，12HP BP a ==， 142HG HP PG BC =+==． ································· 9分 ∴12EHGF S EH FG HG =+梯形（）=1124422a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，11222EHP S HP EH a a ===△．∴44EHP EPGF EHGF S S S a a =-=+-=△四边形梯形． ································ 12分 解法二： 连结AQ ，由2BPCQ=，设CQ a =，则2BP a =， 4DQ a =-，82PC a =-， APQ ABPPCQ ADQ ABCD S S S S S =---△△△△矩形=1114824(82)8(4)222a a a a ⨯----⨯- =2416a a -+． ··················································· 9分 ∵E ，F ，G 分别是AP ，PQ ，PC 的中点，∴12EF AQ EF AQ =∥，． ∴PEF PAQ △∽△．∴14PEF APQ S S =△△，211(416)44PEF APQ S S a a ==-+△△． 同理：11(82)48PFG PCQ S S a a ==-△△．∴PEF PFG EPGF S S S =+△△四边形=211416)(82)48a a a a -++-（=4． ················ 12分【例7】 如图1，已知ABC ∆的高405453AE BC ABC ==∠=︒，，，F 是AE 上的点，G 是点E 关于F 的对称点，过点G 作BC 的平行线与AB 交于H 、与AC 交于I ，连接IF 并延长交BC 于J ，连接HF 并延长交BC 于K ．⑴ 请你探索并判断四边形HIKJ 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明； ⑵ 当点F 在AE 上运动并使点H I K J ，，，都在ABC ∆的三条边上时，求线段AF 长的取值范围【考点】平行四边形的性质及判定，相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2005年，湖北宜昌 【解析】【答案】⑴ ∵点G 与点E 关于点F 对称，∴GF FE = …………1分∵HI BC ∥，∴GIF EJF ∠=∠，又∵GFI EFJ ∠=∠， ∴GFI EFJ ∆∆≌，∴GI JE = ………2分同理可得HG EK = ，∴HI JK =， ∴四边形HIKJ 是平行四边形 ………3分 (注：说明四边形HIJK 是平行四边形评1分，利用三角形全等说明结论的正确性评2分) ⑵ 当F 是AE 的中点时，A G ，重合，所以 2.5AF = …………4分如图，∵AE 过平行四边形HIJK 的中心∴HG EK GI JE ==，.∴HG GIBE EC=. ∵CE BE >，∴GI HG >， ∴CK GJ >.∴当点F 在AE 上运动时， 点K J ，随之在BC 上运动，如图，当点F 的位置使得B J ，重合时，这时点K 仍为CE 上的某一点（不与C E ，重合），而且点H I ，也分别在AB AC ，上.……6分（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分） 设EF x =，∵45AHG ABC ∠=∠=︒，5AE =，∴5BE GI ==，52AG HG x ==-，4053CE =-.……7分∵AGI AEC ∆∆∽，∴AG GIAE CE=. ∴52540553x -=- ……………9分 ∴1x =，∴54AF x =-= ∴542AF <≤.……………10分 C G IEKH F BA【例8】 在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB BD BC ，，分别相交于点E P F ，，，且60BPF ∠=︒．E CB A图2图1图3图2图1lP FEDCBAlFP EDCBA lF PEDCBA⑴ 如图1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明； ⑵ 若直线l 向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；⑶ 探究：如图1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），12PF PE =？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008年，泰安市中考 【解析】【答案】⑴ BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△ 2分以BPF EBF △∽△为例，证明如下： 60BPF EBF ∠=∠= BFP BFE ∠=∠ ∴BPF EBF ∆∆∽ ·········································································· 4分 ⑵ 均成立，均为BPF EBF ∆∆∽，BPF BCD ∆∆∽ ··································· 6分⑶ BD 平分ABC ∠时，12PF PE =． ····················································· 7分证明：∵BD 平分ABC ∠ ∴30ABP PBF ∠=∠= ∵60BPF ∠= ∴90BFP ∠=∴12PF PB = ················································································ 8分又603030BEF ABP ∠=-==∠ ∴BP EP =∴12PF PE = ··············································································· 10分【例9】 把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=，45C F ∠=∠=，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．⑴ 如图9，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△． 此时，AP CQ =·_____．⑵ 将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中090α<<，问AP CQ ⋅的值是否改变？说明你的理由．⑶ 在⑵的条件下，设24x <<，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．图3图2图1FED O ()MQ PCBAEF PQD O ()CBAFED O ()CB Q ()A【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2006年，湖南常德 【解析】【答案】⑴ 8⑵ AP CQ ·的值不会改变．理由如下：在APD △与CDQ △中，45A C ∠=∠=18045(45)90APD a a ∠=--+=- 90CDQ a ∠=-即APD CDQ ∠=∠ APD CDQ ∴△∽△AP CDAD CQ=∴22182AP CQ AD CD AD AC ⎛⎫==== ⎪⎝⎭∴⑶ 情形1：当045a <<时，24CQ <<，即24x <<，此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ ，过D 作DG AP ⊥于G ，DN BC ⊥于N ， 2DG DN ==∴由（2）知：8AP CQ =得8AP x=于是111222y AB AC CQ DN AP DG =--88(24)x x x=--<<情形2：当4590a <≤时，02CQ <≤时，即02x <≤， 此时两三角板重叠部分为DMQ △，由于8AP x=，84PB x =-，易证：PBM DNM △∽△，BM PB MN DN =∴即22BM PB BM =-解得28424PB xBM PB x-==+- 84444xMQ BM CQ x x-=--=---∴ 于是1844(02)24xy MQ DN x x x-==--<-≤综上所述，当24x <<时，88y x x=--当02x <≤时，8444x y x x -=---2484y x x x =⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭或法二：连结BD ，并过D 作DN BC ⊥于点N ，在DBQ △与MCD △中，45DBQ MCD ∠=∠=45DQB QCB QDC QDC MDQ QDC MDC ∠=∠+∠=+∠=∠+∠=∠ DBQ MCD ∴△∽△ MC D B C D B Q =∴84MC x=-∴ 284844x x MQ MC CD x x x -+=-=-=--∴ 2148(02)24x x y DN MQ x x -+==<-∴≤法三：过D 作DN BC ⊥于点N ，在Rt DNQ △中，222DQ DN NQ =+24(2)x =+-248x x =-+ 于是在BDQ △与DMQ △中45DBQ MDQ ∠=∠= DMQ DBM BDM ∠=∠+∠45BDM =+∠BDQ =∠ BDQ DMQ ∴△∽△BQ DQDQ MQ=∴，即4x DQ DQ MQ -= 224844DQ x x MQ x x -+==--∴ 2148(02)24x x y DN MQ x x -+==<-∴≤N G FED O ()MQ PCBA EFP QD O ()CBA点评：本题就是例中两三角形相似的模型，对本题来说，两三角形有一组相等的边AD CD =，且AD CD ，为两个相似三角形的非对应边．故有22AD CD AD CD AP CQ ⋅===⋅．【例10】 已知：在∆ABC 中，AD 为BAC ∠的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且:4:3B CAE FE FD ∠=∠=，． ⑴ 求证：AF DF = ⑵ 求∠AED 的余弦值；⑶ 如果10BD =，求∆ABC 的面积．E MFDCBANE MFDC BANEMFD C B A【考点】公共边型相似问题，，等腰三角形的性质及判定 【难度】4星【题型】解答【关键词】2003年，北京中考 【解析】【答案】⑴ ∵AD 平分∠BAC∴BAD DAC ∠=∠，∵B CAE ∠=∠，∴BAD B DAC CAE ∠+∠=∠+∠ ∵ADE BAD B ∠=∠+∠，∴ADE DAE ∠=∠，∴EA ED = ∵DE 是半圆C 的直径 ∴90DFE ∠=︒ ∴AF DF = 2分 ⑵ 过A 点作AN BE ⊥于N在Rt DFE ∆中，∵:4:3FE FD =，∴可设4FE x =，则3FD x = 由勾股定理，得DE x =5∴53AE DE x AF FD x ====，∵1122ADE S AD EF DE AN ∆=⋅=⋅，∴AD EF DE AN ⋅=⋅，∴(33)45x x x x AN +⋅=⋅，∴245AN x =∴由勾股定理，得EN x =75∴775cos 525xEN AED AE x ∠===5分⑶ 解法一：过A 点作AN BE ⊥于N由cos ∠=AED 725 得sin ∠=AED 2425，∴2424255AN AE x ==在CAE ∆和ABE ∆中∵CAE B AEC BEA ∠=∠∠=∠，∴CAE ABE ∆∆∽，∴AE CEBE AE=∴2AE BE CE =⋅，∴25(5)(105)2x x x =+⋅解得x =2 7分∴244855AN x ==，∴5102152BC BD DC =+=+⨯= ∴11481572225ABC S BC AN ∆=⋅=⨯⨯= 8分解法二：在CAE ∆和BE ∆A 中∵CAE B AEC BEA ∠=∠∠=∠，，∴CAE ABE ∆∆∽，∴AE CEBE AE=∴2AE BE CE =⋅，∴25(5)(105)2x x x =+⋅解得x =2∴244855AN x ==BC BD DC =+=+⨯=1052215∴11481572225ABC S BC AN ∆=⋅=⨯⨯= .【例11】 已知，如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．⑴ 求证：212AD DE DB =⋅⑵ 过点E 作EG AF ⊥交AB 于点G ，若线段BE DE ，(BE DE <)的长是方程22320x ax a -+=(0)a >的两根，且菱形ABCD的面积为EG 的长．G FEDCBA【考点】公共边型相似问题，，菱形的性质及判定，一元二次方程的解法 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】【答案】⑴ 方法一：取DE 中点M ，连接AM ， ∵AF AD ⊥，M 为DE 中点∴12MA MD DE ==，∴12∠=∠，321MG F EDCBA又∵AB AC =，∴23∠=∠，∴13∠=∠， ∴DAM DBA ∆∆∽， ∴2DA DM DB =⋅，∴212AD DE DB =⋅ 方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥， 又∵90EAD ∠=︒，∴AND EAD ∆∆∽，∴2AD DN DE =⋅，又∵12DN BD =，∴212AD DE BD =⋅⑵ ∵线段BE DE ，(BE DE <)的长是方程22320x ax a -+= (0)a >的两根，∴2BE a DE a ==，，由ADE FBE ∆∆∽可知22AD DE aBF BE a===，∴2ABBF=，∴AF =，∵菱形ABCD 的面积为∴BC =∴BC =由BEG BDA ∆∆∽可得133GE BE a AD BD a ===∴13GE AD ==【例12】 ABC ∆中，AB AC CD =，平分ACB ∠． ⑴ 若A x BDC y ∠=︒∠=︒，，则y 与x 之间的函数关系是_________； ⑵ 若BDC ∆三边长是三个连续正整数，求sin A ； ⑶ 在⑵的条件下求ADC ∆的面积．【考点】公共边型相似问题，等腰三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】人大附2008-2009学年度第一学期初三年级数学练习2 【解析】【答案】⑴ 3454x +⑵ 经过分析可知，BD 必为BCD ∆的最小边，设BD n =，则12BC n DC n =+=+，，或12CD n BC n =+=+，． 方法一：延长CB 至E ，使得BD BE =，易证得12E EDB DBC ∠=∠=∠，∵CD 平分ACB ∠，ABC ACB ∠=∠，∴12BCD DBC ∠=∠∴E BDE BCD ∠=∠=∠，∴DC DE =，EDB ECD ∆∆∽， ∴2DE EB EC =⋅．∴2(2)(1)n n n n +=++ ① 或2(1)(2)n n n n +=++ ②， 解①得4n =，方程②无解． 则1526n n +=+=，．即456BD BC CD ===，，． 设AD x =，则4AC AB x ==+，由角平分线定理可知BC ACBD AD=，NFE DCBA(也可以过B 作BM CD ∥交AC 的延长线于M ．易得BC CM =．∵AC CM AD DB =，∴AC BCAD BD=) 即454x x +=，解得16x =， ∴1620AD AC ==，．设AN x =，则20CN x =-，由勾股定理可得：2222166(20)x x -=--，解得15.5x =由勾股定理可得DN∴sin A ． 方法二：作DBC ∠的角平分线BF 交CD 于F ．易证得DBF DCB ∆∆∽， 设BD n =，当1BC n =+，2CD n =+时，则2BD DF DC =⋅，∴22n DF n =+，∴244222n n FC n n n +=+-=++，则442n BF FC n +==+， 由DBF DCB ∆∆∽，∴BF BDBC CD=，即44212n n n n n ++=++，解得4n =． 当21BC n CD n =+=+，时，仿照上述方法无解． ∴1526n n +=+=，．即456BD BC CD ===，，． 接下来⑶1102ADC S AC DN ∆=⋅==．【点评】以上例题及变式都是构造如下基本图形利用2a bc =，从而达到求解的目的．DCBA 2112∠=∠，则ABD CBA ∆∆∽，∴2AB BD BC =⋅。

相似三角形的性质与判定相似三角形在几何学中是一个重要的概念，它们具有一些特殊的性质和判定条件。

本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

相似三角形的性质有以下几个方面：1. 对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。

具体来说，如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。

2. 对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们一定是相似的。

具体来说，如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。

3. 高度比例相等：如果两个相似三角形之间的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。

换句话说，如果两个三角形的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。

二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么它们是相似的。

这是相似三角形的基本判定法。

2. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。

这是相似三角形的充要条件，也是最常用的判定法。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。

这是相似三角形的另一种判定法。

4. SAS判定法：如果两个三角形的两个对应边成比例，且夹角也相等，那么它们是相似的。

三、应用示例下面通过一个具体的示例来说明相似三角形的性质和判定方法。

假设有两个三角形ABC和XYZ，已知∠A = ∠X，∠B = ∠Y，且AB/XY = BC/YZ。

根据AA判定法可知，∠A = ∠X 和∠B = ∠Y，所以三角形ABC 与三角形XYZ相似。

根据对应边成比例可知，AB/XY = BC/YZ，所以三角形ABC与三角形XYZ相似。

因此，根据相似三角形的性质和判定方法，可以得出三角形ABC 与三角形XYZ是相似的。

结论：相似三角形具有相同形状但可能不同大小的特点。

判定两个三角形是否相似可以使用AA判定法、AAA判定法、SSS判定法和SAS判定法。

相似三角形的判定与性质相似三角形是指有着对应角度相等、对应边比例相等的两个三角形。

在解决几何问题中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，因为相似三角形的性质可以帮助我们得到许多有用的结论。

本文将讨论相似三角形的判定方法以及其性质。

一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法:当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。

例如：若∠A1 = ∠A2且∠B1 = ∠B2，则△A1B1C1~△A2B2C2。

2. SSS相似判定法:当两个三角形的三边对应成比例时，这两个三角形是相似的。

例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2 = C1A1/C2A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。

3. SAS相似判定法:当两个三角形的两边成比例，且夹角对应相等时，这两个三角形是相似的。

例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2且∠A1 = ∠A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。

二、相似三角形性质1. 边比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。

也就是说，相似三角形的边长之比保持不变。

2. 高比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AA'为两个三角形的对应边之比，BB'为对应边之比，CC'为对应边之比。

也就是说，相似三角形的高线段之比与对应边之比相等。

3. 角度性质:若△ABC~△A'B'C'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。

也就是说，相似三角形的对应角度相等。

4. 面积比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积之比等于对应边的平方之比。

也就是说，相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比。

相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。

（2）相似三角形的周长比等于相似比。

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

二、典型例题例1：如图，已知直线AB：y=4/3 x+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）试证明：△ABC∽△AOB；（2）求△ABC的周长．例2：如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，0）和点（1，4）交y轴于点B．（1）求一次函数解析式和B点坐标．（2）过B点的另一直线1与直线AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点P的坐标．（3）点M（0，a）为y轴正半轴上的动点，点N（b，O）为X轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线AB时，求a：b的值．例3：（2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中，EF 是BD 的垂直平分线，已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD 的周长．例4：（2010·攀枝花）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连接EF ．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积． 例题(1)两个相似三角形的面积比为21:s s ，与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ (2)如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若16:9:=∆∆COB ABC S S ，则AD:DB=_________BCDE AO(2)题图(4)题图BGFE DAC(5)题图CA ’D D ’ C ’B ’ BA(3)如图，已知AB ∥CD,BO:OC=1:4,点E 、F 分别是OC ，OD 的中点，则EF:AB 的值为 (4)如图，已知DE ∥FG ∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则) (S ::FBCG DFGE =∆四边形四边形S S ABCA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A ’B ’C ’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC=2,则正方形移动的距离AA ’是 (6)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（AD<BC ），AC 、BD 交于点O,若ABCD OAB S S ∆∆=256,则△AOD 与△BOC 的周长之比为__________。

相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中一个重要的概念，理解相似三角形的性质和判定方法对于解题和应用数学非常有帮助。

本文将介绍相似三角形的性质，并讨论如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的性质1. 边长比例：两个三角形相似的充分必要条件是它们对应边长之比相等。

设两个三角形分别为ABC和DEF，若满足以下条件，则可判断它们为相似三角形：AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 角度相等：两个三角形相似的另一个重要性质是它们对应角度相等。

即若三角形ABC和DEF满足以下条件，则可以判断它们为相似三角形：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F3. 高度比例：相似三角形的高度之比等于对应边长之比。

假设ABC 和DEF为相似三角形，且BC和EF为对应边，h1和h2为它们的高度，则有以下关系：h1/h2 = BC/EF二、相似三角形的判定方法1. AA（角-角）判定法：若两个三角形的两个角相等，则这两个三角形相似。

即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。

2. SAS（边-角-边）判定法：若两个三角形的两个对应边的比例相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形相似。

假设AB/DE =BC/EF，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。

3. SSS（边-边-边）判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

即若AB/DE = BC/EF = AC/DF，可判断三角形ABC与DEF相似。

三、相似三角形的应用1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以测量高度。

例如，根据两个相似三角形的高度比例，可以利用已知的高度和对应的边长，求解未知高度的长度。

2. 图形放缩：相似三角形的性质使得我们能够进行图形的缩放。

通过改变相似三角形的边长比例，可以将图形按照一定的比例进行放大或缩小。

3. 建模与设计：相似三角形的应用还可以用于建模和设计。

例如，在设计模型中，可以利用相似三角形的概念，按照一定的比例来缩放和调整图形的形状。

相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相等对应角度的三角形，它们的对应边长之比也相等。

相似三角形不仅在几何学中具有重要意义，而且在实际生活中应用广泛。

本文将介绍相似三角形的性质及其判定方法。

一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对于两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判断这两个三角形相似。

2. 相似三角形的对应边长比相等：对于两个相似三角形ABC与DEF，若AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以判断这两个三角形相似。

二、判定相似三角形的方法1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别对应相等（即两个角的对应边平行），则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，∠C = ∠F，并且∠B与∠E不相等，但∠B与∠E之间没有已知的关系。

根据AA判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

2. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，并且AB/DE = AC/DF。

根据SAS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

3. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知AB/DE = BC/EF =AC/DF。

根据SSS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

4. RHS判定法（直角边-斜边-直角边判定法）：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个直角三角形ABC与DEF，已知∠C = ∠F = 90°，并且AB/DE = AC/DF。

根据RHS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

三、实际应用相似三角形的性质及判定方法在实际生活中有广泛的应用。

考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。

5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形的判定和性质1.相似三角形定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

2.判定：（1）平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似直角三角形相似判定定理（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

3.性质：(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.（6）相似三角形的传递性。

典型例题例1、如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有例2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE 是直角三角形时，t的值为例3、如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是例4、如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=例5、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG ⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为例6、如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=例7、如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为例8、如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD 的面积为例9、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为例10、如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于练习1．如图1，△OED∽△OCB，且OE=6，EC=21，则△OCB与△OED的相似比是（）A．37B．52C．85D．352．如图2，点E，F分别在矩形ABCD的边DC，BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（）A．只有甲与乙B．只有乙与丙C．只有甲与丙D．甲与乙与丙3．如图3，D是AB的中点，E是AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比是（）A．1 B．12C．13D．144．在相同水压下，口径为4cm的水管的出水量是口径为1cm的水管出水量的（）A．4倍B．8倍C．12倍D．16倍5．对于下列说法：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1∶1 000万的地图上的面积约是（）A．960平方千米 B．960平方米 C．960平方分米 D．960平方厘米7、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k (k≠1)，则k的值是（）A．∠A：∠A′B．A′B′：AB C．∠B：∠B′D．BC：B′C′8、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）A．30°B．50° C．40°D．70°9、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm10如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）A．1对B．2对 C．3对D．4对11△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A．B． C．D．12、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（）A．200cm B．200dm C．200m D．200km13、已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（）A．B． C．D．14、若则下列各式中不正确的是（）A．B． C．D．15、已知△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．16、如图：在△ABC 中，DE ∥AC ，则DE ：AC=（ ）A ．8：3B ．3：8C ．8：5D ．5：817．已知ABC A B C '''△∽△，且4AB =，6A B ''=，8B C ''=则BC= ．18．两个相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别是40°和30°，则另一个三角形的最大内角的度数是 ．19．如图4，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a ，BC=b ，当BD 与a 、b 满足关系 时，△ABC ∽△CDB ．20．如图5，P 是等腰梯形ABCD 上底AD 上一点，若∠A=∠BPC ，则和△ABP 相似的三角形有 个．21．相似三角形对应 、 、 的比都等于相似比．22．相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 ．23．把一个三角形三边同时扩大4倍，则周长扩大了 倍，面积扩大了 倍．24．两个相似三角形对应中线的比为23，则面积比是 ． 25．如图6，已知△ABC ∽△DEF ，AB=6，BF=2，CE=8，CA=10，DE=15．求线段DF ，FC 的长．26．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别是4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？想想看，你有几种解决方案？27．如图7，已知△ABC ∽△DEF ，AM 、DN 是中线，试判断△ABM 与△DEN 是否相似？为什么？28．如图8，AD 是△ABC 角平分线，试判断BD AB DC AC=是否成立？3.3相似三角形的性质和判定试题练习答案例1∴∠BAC=∠DAC=45°．∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME，故①正确；∴PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP．∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE∴四边形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故②正确；∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确．∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．例2∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠DBE=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠EDB=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．例3∴△ADE∽△ABC，则=，∵DE=1，AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=5，∴BC==52．例4∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．例5解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．例6解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．例7∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．例8解答：解：∵∠DAC=∠B ，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCA ，∵AB=4，AD=2，∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为1：4，∴△ACD 的面积：△ABD 的面积=1：3，∵△ABD 的面积为a ，∴△ACD 的面积为a ，例9解：如图，设正方形S 2的边长为x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x ，x=CD ， ∴AC=2CD ，CD==2，∴EC 2=22+22，即EC=；∴S 2的面积为EC 2==8；∵S 1的边长为3，S 1的面积为3×3=9，∴S 1+S 2=8+9=17． 例10解：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，又∵∠CBD=∠A ，∴△ABC ∽△BDC ，同理可得：△ABC ∽△BDC ∽△CDE ∽△DFE ，∴=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=．一、1~6．BDCDC D二、7．163 8．110 9．2b BD a= 10．2 11．高、中线、角平分线 12．相似比，相似比的平方 13．4，16 14．49 三、15．25DF =，2FC =．16．可选料有三种方案，三角形框架边长分别是①2，2.5，3；②1.6，2，2.4；③43，53，2． 17．相似；可用三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等说明．18．过点B 作BE AC ∥交AD 延长线于点E ，则可得BDE CDA △∽△， 从而BD BE DC AC =，然后再由E DAC BAD ==∠∠∠，得BE AB =，故BD AB DC AC=成立．。

相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

在几何学中，相似的三角形有着许多有趣的性质和特点。

本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。

一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等。

如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

例如，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC相似于DEF。

2. 相似三角形的对应边成比例。

如果两个三角形的对应边长之比相等，则它们是相似的。

例如，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

3. 相似三角形的周长比例等于任意一边长的比例。

如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意一边的比例。

例如，若三角形ABC 相似于DEF，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = BC/EF = AC/DF。

4. 相似三角形的面积比例等于边长比例的平方。

如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长比例的平方。

例如，若三角形ABC相似于DEF，则△ABC的面积/△DEF的面积 = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：若两个三角形的两对角分别相等，则它们是相似的。

例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC相似于DEF。

2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，两边成比例，则它们是相似的。

例如，如果∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则它们是相似的。

例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

4. 直角三角形的判定法：若两个直角三角形的斜边和直角边成比例，则它们是相似的。

例如，若∠C = ∠F = 90°，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

相似三角形的性质和判定(二)
教学目标:
1.通过画图,知道两个角对应相等的两个三角形相似.
2.理解三角形相似的判定定理2,并能运用它识别两个三角形相似. 重 点: 三角形相似的判定定理2及其应用. 难 点: 三角形相似的判定定理2的应用 教学过程: (一)复习导入
三角形全等的判定方法有哪些?你能从三角形全等的判定定理ASA,AAS 中类似地联想三角形相似的判定方法吗? (二)探究新知
画一画,用量角器画出满足下列条件的三角形:
画一个△ABC,使∠A=30°画一个△ABC,使∠A=30°∠B=50° 画一个△ABC,使∠A=40°∠B=55°
归纳小结:三角形相似的判定定理2:两个角对应相等的三角形相似. (三)讲解例题
例1 已知:如图左,图右,
D E ∥BC . 求证:△ADE ∽△ABC
说明:此题的两个图形是相似三角形中的基本类型.
利用左图,学生独立证明,然后引导学生思考讨论图右,最后归纳得出如下结论:平等三角形一边的直线和其他两边和其他两边(
或两边
的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
(四) 应用新知
想一想,议一议:
1.任意两边等边三角形都相似吗?为什么?
2.任意两个等腰三角形都相似吗?为什么?
3.各有一个角是80°的两个等腰三角形相似吗?为什么?
4.课本P.76,练习题1,2题.
说一说:三角形相似的判定定理2的内容是什么?
做一做:如图已知D G∥EH∥FI∥BC,你能找出
图中所有的相似三角形吗?由此你能得到相似
三角形的什么性质?
布置作业。

相似三角形的判定与性质一、基础巩固一．解答题1. 如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．【答案】（1（∠ADE=40°（∠AED =65°（（2（8cm【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=180°（（BAC（（ABC=65°（根据相似三角形的对应角相等即可得到结论（（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论（【详解】（1（（（BAC=75°（（ABC=40°（（（ACB=180°（（BAC（（ABC=65°（（（ABC（（ADE（（（ADE=（ABC=40°（（AED=（ACB=65°（（2（（（ABC（（ADE（（AD DE AB BC=（（AB=30cm（BD=18cm（BC=20cm（（30183020DE-=（（DE=8（cm（（【点睛】本题考查了相似三角形对应角相等（对应边成比例的性质（准确找出对应边与对应角是解题的关键（2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG=12BC吗？（3）DG=5cm，试求△AEF的周长．【答案】（1）△AEF 为等边三角形；证明见解析；（2）证明见解析；（3）10cm ．【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B =∠C =30°，再利用垂直平分线的性质得BE =AE ，AF =CF ，则∠EAB =∠B =30°，∠F AC =∠C =30°，然后根据三角形的外角性质可求出∠AEF =∠AFE =60°，于是可判断△AEF 为等边三角形； （2）由D 是AB 中点、G 是AC 中点知//DG BC ，得出△∽△ADG ABC ，最后根据相似三角形的性质即可得出答案．（3）利用AE =BE ，AF =CF 可得AE +EF +AF =BE +EF +CF =BC =10cm ，从而可确定△AEF 的周长．【详解】解：（1）△AEF 为等边三角形．理由如下：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵DE 垂直平分AB ，FG 垂直平分AC ，∴BE =AE ，AF =CF ，∴∠EAB =∠B =30°，∠F AC =∠C =30°，∴∠AEF =2∠B =60°，∠AFE =2∠C =60°，∴△AEF 为等边三角形；（2）∵D 是AB 中点、G 是AC 中点，∴DG 是△ABC 中位线，∴//DG BC ，∴ADG B ∠=∠，AGD C ∠=∠，∴△∽△ADG ABC ， ∴12DG AD BC AB ==， ∴DG =12BC ； （3）∵DG =5，∴BC=2DG=10，∵AE=BE，AF=CF，∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，∴△AEF的周长为10cm．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段中垂线的性质、中位线定理、等腰三角形的性质与等边三角形的判定．3. （1）如图1，Rt△ABC中，若AC=4，BC=3，DE△AC，且DE=DB，求AD的长；（2）如图2，已知△ABC，若AB边上存在一点M，若AC边上存在一点N，使MB=MN，且△AMN△△ABC，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段MN（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．【答案】（1）258（2）见解析【解析】【分析】（1）根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，进而得到DE ADBC AB=，据此可得AD的长．（2）作∠B的平分线BN，交AC于G，作BN的垂直平分线MG，交AB于M，则MN=BM，而MN∥BC，则△AMN∽△ABC（【详解】（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，△AB=5，△DE△AC，△C=90°，△DE△BC，△△ADE△△ABC，△DE AD BC AB=，即535AD AD-=，解得AD=258，故AD的长为258．（2）如图2所示，作△B的平分线BN，交AC于G，作BN的垂直平分线MG，交AB 于M，MN即为所求．【点睛】考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4. 如图，点C（D在线段AB上，（PCD是等边三角形，且（ACP（（PDB（（1）求（APB的大小．（2）说明线段AC（CD（BD之间的数量关系．【答案】（1（120°（（2（见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的性质得到∠APC=（PBD，根据三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．【详解】解：（1（（（PCD是等边三角形，（（PCD=60°（（（A+（APC=60°（（（ACP（（PDB（（（APC=（PBD（（（A+（B=60°（（（APB =120°（（2（∵△PCD 是等边三角形，∴PC =PD =CD （（（ACP （（PDB （ （AC PD =PC BD（ （CD 2=AC •BD （【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．5. 如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE=6cm ，EC=3cm ，BC=6cm ，∠BAC=∠C=47°．（1）求∠AED 和∠ADE 的大小；（2）求DE 的长．【答案】（1）∠AED=47°；∠ADE=86°；（2）4（cm ）．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等、三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，代入计算即可．【详解】解：（1）∵△ABC ∽△ADE ，∴∠AED=∠C=47°，∠ADE=180°﹣∠BAC ﹣∠AED=86°；（2）∵△ABC ∽△ADE ， ∴=AE DE AC BC ，即6=96DE ， 解得，DE=4（cm ）．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关键．6. 如图，BC ，AD 相交于点C ，△ABC ∽△DEC ，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．【答案】（1）3.1；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；（2）根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．【详解】解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴AC BC DC EC=，∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3∴4.89.3 1.6CE=，解得：CE=3.1．（2）∵△ABC∽△DEC，∴∠ACB=∠DCE，∵∠ACB+∠DCE=180°，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴BC⊥AD．【点睛】此题考查相似三角形的性质，正确找出两个三角形的对应边与对应角是解题关键．7. 如图：已知△ABC△△DEC，△D=45°，△ACB=60°，AC=3cm，BC=4cm，CE=6cm．求：（1）△B的度数；（2）求AD的长．【答案】(1) 75°；(2)152cm.【解析】【分析】（1）直接利用相似三角形对应角相等进而得出答案；（2）直接利用相似三角形的对应边成比例进而得出答案．【详解】（1（∵△ABC∽△DEC（∴∠A=∠D=45°（在△ACB中，∠B=180°（∠A（∠ACB=180°（45°（60°=75°（（2（∵△ABC∽△DEC（∴AC BC DC EC（即DC=ACBC×CE=92cm（∴AD=AC+CD=152cm（【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出掌握相似三角形的性质是解题关键．8. 已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，AD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=35°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【答案】（1）∠ADE =35°，∠AED =70°；（2）12cm．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=35°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣75°﹣35°=70°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=35°，∠AED=∠C=70°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB：AD=BC：DE，即30：18=20：DE，解得DE=12cm．【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质．9. 如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),反比例函数y=kx(k>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；(2)点F是OC边上一点,若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．【答案】（1）y=3x，（2，32）（2）（0，53）【解析】【分析】（1）根据D为BC的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D（得出函数关系式，进而得出E点坐标（2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案．【详解】（1（（BC（x轴，点B的坐标为（2（3（（（BC=2（∵点D为BC的中点，（CD=1（∴点D 的坐标为（1（3（（将点D 的坐标代入y=k x中得（k=1×3=3（ ∴反比例函数的表达式y=３ｘ（ （BA（y 轴，∴点E 的横坐标与点B 的横坐标相等为2（∵点E 在双曲线上， （y=３２（ ∴点E 的坐标为（2（３２（（ （2）∵点E 的坐标为（2（３２（（B 的坐标为（2（3），点D 的坐标为（1（3（（ （BD=1（BE=３２（BC=2（ （（FBC（（DEB（ （DB BE CF BC＝（ （FC=４３（ （OF=3（４５＝３３ ∴点F 的坐标为（0（５３（（ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键．10. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD=CD ，则∠ACB= ．（2）如图，在△ABC 中，AC=2，，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．【答案】（1）96°；（2．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD=∠A=48°，再根据角的和差关系求出∠ACB 即可．（2）设BD=x ，利用△BCD ∽△BAC ，得=BC BD BA BC，列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）当AD=CD 时，如图3，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知AC=AD=2，∵△BCD ∽△BAC ， ∴BC BD BA BC =，设BD=x ，）2=x （x+2），∵x ＞0，∴1，∵△BCD ∽△BAC ，∴CD BD AC BC =，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．11. 如图，AD∥BC（∠ABC=90°（AB=8（AD=3（BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．【答案】AP=247或AP=2或AP=6【解析】【分析】由AD//BC,∠B=90°,可证∠P AD=∠PBC=90°,又由AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8-x,然后分别从APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析,利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．【详解】解：（ AB（BC,（ （B=90°,（ AD（BC,（ （A=180°﹣（B=90°,（ （P AD=（PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8﹣x,若AB边上存在P点,使（P AD与（PBC相似,那么分两种情况:若（APD（（BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:（8﹣x）=3:4,解得x=24 7,若（APD（（BCP,则AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8﹣x）,解得x =2或x =6,所以AP =247或AP =2或AP =6． 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=20cm ，BC=15cm ，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿CB 向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/秒，点Q 的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？【答案】（1）10cm ；（2）2204=-S t t ；（3）t ＝3或t ＝4011【解析】 【分析】（1）在Rt △CPQ 中，当t=3秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出；（2）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知AC ，BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式CPQ S =12CP×CQ 求解； （3）应分两种情况：当Rt △CPQ ∽Rt △CAB 时，根据CP CQ CA CB=，可将时间t 求出；当Rt △CPQ ∽Rt △CBA 时，根据CP CQ CB CA =，可求出时间t ． 【详解】由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm ，CQ=2t=6cm ，由勾股定理得10cm ==；（2）由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，因此Rt △CPQ 的面积为S=()21204t 22042t t t -⨯=-； （3）分两种情况：①当Rt △CPQ ∽Rt △CAB 时，CP CQ CA CB =，即204t 2t 2015-=， 解得：t=3秒；②当Rt △CPQ ∽Rt △CBA 时，CP CQ CB CA =，即204t 2t 1520-=， 解得：t=4011秒． 因此t=3秒或t=4011秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．13. 如图所示，Rt ABC Rt DFE ~（CM （EN 分别是斜边AB （DF 上的中线，已知9AC cm =（12CB cm =（3DE cm =（()1求CM 和EN 的长；()2你发现CM EN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【答案】（1）CM=7.5,EN=2.5；（2）相等，相似三角形对应中线的比等于相似比.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据相似三角形的性质解答即可．【详解】.解：()1在Rt ABC 中，15AB ===，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴7.152CM AB ==， ∵Rt ABC Rt DFE ~， ∴DE DF AC AB=，即319315DF ==， ∴5DF =，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴ 2.152EN DF ==； ()2∵7532..51CM EN ==， 相似比为9331AC DE ==， ∴相似三角形对应中线的比等于相似比．【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形对应的中线之比等于相似比. 14. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE△△DEF ，AB=6，AE=9，DE=2，求EF 的长.【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，求出DF 的长度，在直角三角形DEF 中，利用勾股定理求出斜边EF 长【详解】解：（（ABE（（DEF ， （AB AE DE DF692AB AE DE ===，，69=2DF∴， （DF=3在矩形ABCD 中，（D=90°．（在Rt（DEF 中，EF ==15. 如图，△AED ∽△ABC ，相似比为1∶2.若BC ＝6，则DE 的长是多少？【答案】DE=3（【解析】【分析】由△AED∽△ABC，相似比为1（2，可得DE（CB=1（2，又由BC=6，即可求得DE的长．【详解】∵△AED∽△ABC，∴DE：CB=1：2，∵BC=6，∴DE：6=1：2，∴DE=3．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例．16. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD的延长线上，AE与CD的交点为G，且∠EAF＝45°．（1）试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）若点E在BC的延长线上时△EGF与△EFA相似，求BE的长．【答案】（1）BE＝DF＋EF；证明见解析；（2）1 ．【解析】【分析】（1）猜想BE＝DF＋EF，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，通过角的计算可得出∠EAF′＝∠EAF，结合AF＝AF′、AE＝AE即可证出△EAF≌△EAF′（SAS），进而得出EF＝EF′，再结合BE＝BF′＋EF′即可得出结论；（2）由△EGF∽△EFA可得出∠EFG＝∠EAF＝45°，结合∠ECF＝90°可得出CE＝CF，设DF＝x，则CE＝1＋x，EF（1＋x），BE＝1＋1＋x，根据BE＝DF ＋EF即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入BE＝x（1＋x）中即可求出结论．【详解】解：（1）猜想：BE＝DF＋EF，理由如下：将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图1所示，由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，∵∠BAF′＋∠EAF′＋∠GAD＝90°，∠BAF′＝∠DAF，∠EAF＝∠GAD＋∠DAF＝45°，∴∠EAF′＋∠GAD＋∠DAF＝90°，∠EAF′＝∠EAF＝45°．在△EAF和△EAF′中，AF=AF?EAF=EAF? AE=AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△EAF≌△EAF′（SAS），∴EF＝EF′，∴BE＝BF′＋EF′＝DF＋EF．（2）∵△EGF∽△EFA，∴∠EFG＝∠EAF＝45°，∵∠ECF＝90°，∴CE＝CF．设DF＝x，则CE＝1＋x，EF（1＋x），BE＝1＋1＋x，根据题意得：1＋1＋x＝x（1＋x），解得：x﹣1，∴x（1＋x）＝1，∴BE的长为1【点睛】本题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17. 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C 上，使三角板绕点C旋转．（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是，数量关系是；（2）继续旋转三角板，旋转角为α．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若OF ，求PE的长．【答案】（1）垂直、相等；（2）画图见解析；（1）中结论仍成立；证明见解析；（3）．6【解析】【分析】（1）作AM⊥DC，垂足为点M，解直角△ADM可求DM，从而可知CD长，CD＝CB，CE＝CF，可证△CDE≌△BCF，利用对应边相等，对应角、对应边相等，互余关系得出垂直、关系；（2）画出图形，围绕证明△CDE≌△BCF，寻找条件，仿照（1）的方法进行证明；（3）用勾股定理求AC、BD，用相似求AO、OC、OB，已知OFCF、CE，证明△CPE∽△COB，利用相似比求PE．【详解】解：（1）垂直，相等，理由如下：延长DE 交BF 与点N ，作AM ⊥DC ，垂足为点M ，则四边形ABCM 是矩形， ∴AM ＝BC ＝2，MC ＝AB ＝1，∵在Rt △ADM 中，tan ∠ADC ＝2， ∴AM =2DM，解得：DM ＝1， ∴CD ＝DM ＋MC ＝2，∴CD ＝BC ，在△CDE 和△CBF 中，DC=BC DCE=BCF=90CE=CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△CDE ≌△BCF ，∴∠EDC ＝∠FBC ，DE ＝BF ，∵∠FBC ＋∠BFC ＝90°，∴∠EDC ＋∠BFC ＝90°，∴∠DNF ＝90°，∴DE ⊥BF ，故填：垂直，相等；（2）（1）中结论仍成立．证明如下：过A 作AM ⊥DC 于M ，则四边形ABCM 为矩形． ∴AM ＝BC ＝2，MC ＝AB ＝1．∵DC ＝2，∴DM 2==12， ∴DC ＝BC ．∵△CEF 是等腰直角三角形，∴∠ECF ＝90°，CE ＝CF ．∵∠BCD ＝∠ECF ＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF ，在△DCE 和△BCF 中，DC=BC DCE=BCF CE=CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCE ≌△BCF ，∴DE ＝BF ，∠1＝∠2，又∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠BCD ＝90°，∴DE ⊥BF ，∴线段DE 和BF 相等并且互相垂直．（3）∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AB OA OB==CD OC OD，∵AB＝1，CD＝2，∴OA OB1== OC OD2，在Rt△ABC中，，∴OA=3，同理可求得OB=3，∵OF=，∴AC AF=OA+OF==22，∴CE=CF=2，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠OBC＝45°，由（2）知△DCE≌△BCF，∴∠1＝∠2，又∵∠3＝∠OBC＝45°∴△CPE∽△COB，∴PE CE=OB BC，22，∴．【点睛】本题运用了旋转的观点解决相似三角形、全等三角形的问题，并运用勾股定理求线段的长．18. 如图，在等腰梯形中，AD BC ∥，E 为AD 上一点，且AE:DE=1:3，联结BD 和CE ，BD 与CE 交于点F ，如果4=AD ，6BD BC ==．（1）求梯形的周长（2）求线段CF 的长度【答案】（1）10+（2）【解析】【分析】（1）过A 做AM ∥CD，交BC 于M ，先证明△ABM∽△BCD,解得AB 的长度，从而利用梯形的周长公式求解即可（2）先证明△EDF∽△BDA,求出EF 的值，因为AD∥BC,利用平行线分线段成比例求解即可【详解】（1） 如图，过A 做AM ∥CD，交BC 于M∵AD∥BC，AM∥CD∴四边形AMCD 是平行四边形∴AD=MC=4，AM=CD∵梯形ABCD是等腰梯形∴AB=CD∴AB=AM∴∠ABM=∠AMB∵BD=BC=6∴∠BDC=∠BCD∵AM∥CD∴∠AMB=∠BCD∴△ABM∽△BCD∴AB BM BC AB=∴BM=6-4=2∴2 6ABAB=∴AB=∴CD=AB=∴梯形ABCD周长=AB＋BC＋CD＋AD=10＋（2）∵AE:DE=1:3,AD=4∴DE=33 4AD=∵AD∥BC∴DFDE EF BC BF CF==∵BC=BD=6∴3DF6EFBF CF ==∴BF=2DF，CF=2EF ∴BD=3DF=6∴DF=2∴DE EF BD AB==12∵∠EDF=∠BDA∴△EDF∽△BDA∴EF=12∴CF=2EF=【点睛】本题主要考查了相似三角形的判断与性质的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键19. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，若S △ADE =16cm 2，S △EFC =49cm 2， 求①BC DE，②S △ABC ．【答案】（1）114；（2）121 【解析】 【分析】利用平行求相似三角形，再根据相似三角形的性质，对应求解.【详解】①（DE∥BC，EF∥AB；（（ADE=（ABC, （AED=（ACF（（ΔADE（ΔABC（（ABC=（EFC, （EFC=（ADE（（ΔADE（ΔEFC（（S △ADE ：S △EFC =(BC（EF) ²=16:49, BC（EF=4（7（（DE∥BC，EF∥AB；（四边形DEFB 为平行四边形，DE=BF（（= 114. （（ΔADE（ΔABC（= 114（ （S △ADE ：S △ABC =（4:11（²=16（121（（S △ADE =16cm 2；（S △ABC E =121 cm 2．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和利用平行求相似三角形，熟练掌握这两点是解题的关键.20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）DE＝125．【解析】【分析】（1）要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB；（2）根据题意和（1）中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．【详解】证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，∴∠BAM＝∠EDA，在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，∴△ADE∽△MAB；（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，∴BM＝32，∴AM52 =，由（1）知，△ADE∽△MAB，∴AM AB DA DE=，∴5223DE =，解得，DE ＝125． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答． 21. 已知在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，且AD=DE ．连接AC 交DE 于点F ，作DG ⊥AC 于点G ．（1）如图1，若12EF DF =，DG 的长； （2）如图2，作EM ⊥AC 于点M ，连接DM ，求证：AM ﹣EM=2DG ．【答案】（1）13；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）设EF=x ，DF=2x ，则DE=EF+DF=3x=AD ，根据勾股定理求出x ，在△ADF 中，根据三角形面积公式求出即可；（2）过D 点作DK ⊥DM 交AC 于点K ，求出MDK 为等腰直角三角形，求出MK=2DG 即可．【详解】（1）解：设EF=x ， 12EF DF =， ∴ DF=2x ，则DE=EF+DF=3x=AD在Rt ADF 中，AD 2+DF 2=AF 2，∴ 222(3)(2)x x +=，∵x ＞0，∴x=1，∴EF=1，DF=2，AD=3，∴由三角形面积公式得：11,22ADF SAD DF AF DG =•=•即3213AD DF DG AF ⨯=== （2）证明：过D 点作DK ⊥DM 交AC 于点K ，∵∠1+∠KDF=90°，∠2+∠KDF=90°，∴∠1=∠2，∵∠3+∠4=90°，∠5+∠EFM=90°，又∵∠4=∠EFM ，∴∠3=∠5，在△ADK 和△EDM 中1235AD DE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADK EDM ≌（ASA ），∴DK=DM ，AK=EM ，∴MDK 为等腰直角三角形，∵DG ⊥AC ，∴MK=2DG ，∴AM ﹣EM=AM ﹣AK=MK=2DG ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 边上，若四边形DEFB 为菱形，并且AB=8cm ，BC=12cm ，求菱形DEFB 的边长．【答案】4.8cm【解析】【分析】设菱形DEFB 的边长为x ，根据菱形的性质得出BD=DE=BF=x ，DE ∥BF ，根据相似三角形的判定得出△ADE ∽△ABC ，得出比例式，代入求出即可．【详解】设菱形DEFB 的边长为x ，∵四边形DEFB 是菱形，∴BD=DE=BF=x ，DE ∥BF ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE AD BC AB=， ∵AB=8，BC=12，8AD AB BD x =-=-， ∴8128x x -=， 解得： 4.8x =．即菱形DEFB 的边长为4.8cm ．【点睛】本题考查了菱形的性质和相似三角形的性质和判定，求出△ADE ∽△ABC 是解此题的关键．23. 已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，点F 在边AB 上，BC 2=BF•BA ，CF 与DE 相交于点G ．（1）求证：DF•AB=BC•DG ；（2）当点E 为AC 中点时，求证：2DF•EG=AF•DG ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由BC 2=BF•BA ，∠ABC=∠CBF 可判断△BAC ∽△BCF ，再由DE ∥BC 可判断BCF DGF ∽，所以DGF BAC ∽，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）作AH ∥BC 交CF 的延长线于H ，如图，易得AH ∥DE ，由点E 为AC 的中点得AH=2EG ，再利用AH ∥DG 可判定AHF DGF ∽，则根据相似三角形的性质得AH AF DG DF=，然后利用等线段代换即可． 【详解】证明：（1）∵BC 2=BF•BA ，∴BC ：BF=BA ：BC ，而∠ABC=∠CBF ，∴BAC BCF ∽，∵DE ∥BC ，∴BCF DGF ∽，∴DGF BAC ∴∽，∴DF ：BC=DG ：BA ，∴DF•AB=BC•DG ；（2）作AH ∥BC 交CF 的延长线于H ，如图，∵DE ∥BC ，∴AH ∥DE ，∵点E 为AC 的中点，EG ∴为CAH 的中位线，∴AH=2EG ，∵AH ∥DG ，∴AHF DGF ∴∽， ∴AH AF DG DF=， ∴2EG AF DG DF =， 即2DF•EG=AF•DG ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．24. 在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．（1）求PD的长；（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝6，求CE的长．【答案】（1）3；（2）76．【解析】【分析】（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．利用勾股定理求出DM，再证明PD AD==2PM AM即可解决问题；（2）由△AMP∽△FDE，推出PM AM=DE DF，即可解决问题；【详解】解：（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠PAD ＝∠PAB ＝45°， ∵PK ⊥AD ，PH ⊥AB ，∴PK ＝PH ， ∴APD APM 1AD FK S PD AD 2===1S PM AMAM PH 2⋅⋅⋅⋅， ∴AB ＝AD ＝2，AM ＝BM ＝1， ∴DM∴PD PM＝2， ∴PD＝233， （2）∵PF＝PD，DM∴DF PM ∵DE ∥AM ，∴∠AMP ＝∠EDF ，∵∠DFE ＝∠MAP ＝45°， ∴△AMP ∽△FDE ， ∴PM AM =DE DF，∴13=1DE ，∴DE ＝56， ∴EC ＝2﹣56＝76． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法探究线段之间的关系，属于中考常考题型．25. 在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．（1）如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AF BC ，交BE 的延长线于点F ，易得AP PD的值为 ； （2）如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求AP PD的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．【答案】（1）32；（2）23；（3）6 【解析】【分析】（1）易证△AEF ≌△CEB ，则有AF=BC ．设CD=k ，则DB=2k ，AF=BC=3k ，由AF ∥BC 可得△APF ∽△DPB ，然后根据相似三角形的性质就可求出AP PD的值；（2）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k ，DB=DC+BC=3k ．易证△AEF ≌△CEB ，则有EF=BE ，AF=BC=2k ．易证△AFP ∽△DBP ，然后根据相似三角形的性质就可求出AP PD的值； （3）当CD=2时，可依次求出BC 、AC 、EC 、EB 、EF 、BF 的值，然后根据FP BP的值求出BFBP的值，就可求出BP的值．【详解】解：（1）如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴32 PA AFPD BD==，故答案是：32；（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF 和△CEB 中，123F AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△CEB ，∴EF=BE ，AF=BC=2k ．∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP ， ∴2233PA FP AF k PD BP BD k ====； （3）当CD=2时，BC=4，∵AC=6，∴EC=AE=3，∴EB= 5=∴EF=BE=5，BF=10． ∵23FP BP =， 53BF BP ∴=， ∴BP=35BF=35×10=6． 故答案为6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键． 26. 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DH 丄AB 于H ，交AO 于G ，连接OH ．（1）求证：AG •GO ＝HG •GD ；（2）若AC ＝8，BD ＝6，求DG 的长．【答案】（1）见解析；（2）DG ＝154【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，由于DH ⊥AB 于H ，于是得到∠DHA=∠DOG=90°，推出△AGH ∽△DGO ，根据相似三角形的性质得到=AG HG DG OG ，于是得到结论；（2）根据菱形的性质得到AO=CO=4，BO=DO=3，根据勾股定理得到AB=AD=，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∵DH ⊥AB ，∴∠AOD ＝∠AHD ＝90°，∵∠AGH ＝∠DGO ，∴△AGH ∽△DGO ， ∴=AG HG DG OG∴AG •GO ＝HG •GD ；（2）∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，∴OA ＝12AC ＝4，OB ＝12DB ＝3，∴AB ＝5，由（1）△AGH ∽△DGO 得∠GAH ＝∠GDO∵∠AOB ＝∠DOG ＝90°，∴=AO AB DO DG， ∴453=DG， 解得：DG ＝154. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．27. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC ＝90°．（1）求证：△ADE ∽△BEC ．（2）若AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，求EB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）32． 【解析】 【分析】（1）由AD ∥BC 、AB ⊥BC 可得出∠A ＝∠B ＝90°，由等角的余角相等可得出∠ADE ＝∠BEC ，进而即可证出△ADE ∽△BEC ；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∠A ＝∠B ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°．∵∠DEC ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠ADE ＝∠BEC ，（2）解：∵△ADE ∽△BEC ， ∴AD AE =BE BC， 即12=BE 3， ∴BE ＝32．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE ∽△BEC ；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．28. 如图1，设D 为锐角（ABC 内一点，（ADB=（ACB+90°（（1）求证：（CAD+（CBD=90°（（2）如图2，过点B 作BE（BD（BE=BD ，连接EC ，若AC•BD=AD•BC（ （求证：（ACD（（BCE（（求AB CD AC BD⋅⋅的值．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②AB CD AC BD⋅⋅ 【解析】【分析】（1）如图1，延长CD 交AB 于E（根据三角形外角的性质得到∠ADE=∠CAD+∠ACD（∠BDE=∠CBD+∠BCD（结合已知条件∠ADB=∠ACB+90°（即可证明.（2（①∠CAD+∠CBD=90°（∠CBD+∠CBE=90°（根据同角的余角相等即可得到∠CAD=∠CBE（根据AC•BD=AD•BC（BD=BE（即可得到,AC BC AD BE=根据相似三角形的判定方法即可判定△ACD ∽△BCE（②连接DE（根据BE ⊥BD（BE=BD（得到△BDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到DE BD=分别判定△ACD ∽△BCE（△ACB ∽△DCE（根据相似三角形的性质得到,AB DE AC DC =则AB CD AB CD DE CD DE AC BD AC BD DC BD BD ⋅=⋅=⋅==⋅ 【详解】证明：（1）如图1，延长CD 交AB 于E（∵∠ADE=∠CAD+∠ACD（∠BDE=∠CBD+∠BCD（∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠CAD+∠CBD+∠ACB（∵∠ADB=∠ACB+90°（∴∠CAD+∠CBD=90°（（2（①如图2（∵∠CAD+∠CBD=90°（∠CBD+∠CBE=90°（∴∠CAD=∠CBE（∵AC•BD=AD•BC（BD=BE（ ∴,AC BC AD BE= ∴△ACD ∽△BCE（②如图2，连接DE（∵BE ⊥BD（BE=BD（∴△BDE 是等腰直角三角形，∴DE BD= ∵△ACD ∽△BCE（∴∠ACD=∠BCE（∴∠ACB=∠DCE（ ∵,AC CD BC CE= ∴△ACB ∽△DCE（ ∴,AB DE AC DC=∴AB CD AB CD DE CD DE AC BD AC BD DC BD BD ⋅=⋅=⋅==⋅【点睛】考查三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.29. 如图，在△ABC 中．AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，作DE ⊥AC 于E ，F 是AB 中点，连EF 交AD 于点G ．(1)求证：AD 2＝AB•AE ；(2)若AB ＝3，AE ＝2，求AD AG的值．【答案】(1)证明见解析；(2)74.【解析】【分析】（1）只要证明△DAE ∽△CAD ，可得,AD AE CA AD=推出AD 2=AB•AE ，即可解决问题；（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF ，再根据DF ∥AC ，可得332.24DF DG AE AG === 由此即可解决问题；【详解】(1)证明：∵AD ⊥BC 于D ，作DE ⊥AC 于E ，∴∠ADC ＝∠AED ＝90°，∵∠DAE ＝∠DAC ，∴△DAE ∽△CAD ， ∴,AD AE CA AD= ∴AD 2＝AC•AE ，∵AC ＝AB ，∴AD 2＝AB•AE ．(2)解：如图，连接DF ．∵AB ＝3，∠ADB ＝90°，BF ＝AF ， ∴13,22DF AB == ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴DF ∥AC ，∴332.24 DF DGAE AG===∴ADAG＝74．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．30. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E（（1）求证：AG=CG（（2）求证：AG2=GE·GF（【答案】（1）证明见解析；（2（证明见解析.【解析】【分析】（1（根据菱形的性质得到AB（CD（AD=CD（（ADB=（CDB，推出△ADG（（CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=（DCG，等量代换得到∠EAG=（F，求得△AEG（（FGA，即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，（AB（CD（AD=CD（（ADB=（CDB（在△ADG与△CDG中，AD CDADG CDGDG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,（（ADG（（CDG（SAS（（（AG=CG（（2（（（ADG（（CDG（AB（CD （（F=（FCD（（EAG=（GCD（（（EAG=（F （（AGE=（AGE（（（AEG（（FAG（（AG EG FG AG=,（AG2=GE•GF（【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．二、拓展提升31. 如图，在等腰三角形ABC中，点E、F、O分别是腰AB、AC及底BC边上任意一点，且∠EOF=∠B=∠C．求证：OE•FC=FO•OB．【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得到∠FOC=（OEB，得到△BOE（（CFO，根据相似三角形的性质证明．【详解】证明：∵∠EOC=∠EOF+∠FOC，∠EOC=∠B+∠BOE，∠EOF=∠B，∴∠FOC=∠OEB，又∠B=∠C，∴△BOE∽△CFO，OE OB OF FC=，∴OE•FC=FO•OB．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．32. 如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF．（2）若BE＝4，EC＝6，△DGF的面积为8，求▱ABCD的面积．。

相似三角形的判定与性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

相似性是几何学中的基本概念之一，研究相似三角形的判定与性质对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。

本文将从判定相似三角形的条件和相似三角形的性质两个方面进行论述。

一、判定相似三角形的条件1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。

2. AA判定法：如果两个三角形的两个角度分别相等，则这两个三角形是相似的。

例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角度相等，且两个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，AB/XY = BC/YZ = AC/XZ（其中AB表示边AB 的长度），则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。

4. SSS判定法：如果两个三角形的三个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。

二、相似三角形的性质1. 对应边比值相等性质：相似三角形的对应边的比值相等。

即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。

2. 对应角度相等性质：相似三角形的对应角度相等。

即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z。

3. 定理一：如果一个三角形的一个角较大，那么它对应的边也较大。

4. 定理二：如果两个三角形的对应边比值相等（即相似），则它们的对应角度也相等。

5. 定理三：如果两个角相等，则它们所对应的边的比值相等。