1999年1月 MBA联考数学试题

1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。

把正确答案填写在题中横线上。

) (1) 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰ (3) 2"4xy y e -= 的通解为y =(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。

)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。

(B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。

(C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。

(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。

(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 ( )(A)12 (B)12- (C)34 (D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵， B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠ (B)当m n >时，必有行列式AB 0= (C)当n m >时，必有行列式AB 0≠ (D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A) {}10.2P X Y +≤=(B) {}1P X+Y 1.2≤= (C) {}1P X-Y 0.2≤= (D) {}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx。

1997年全国在职攻读工商管理硕士学位入学考试数学试题（本试卷满分为100分，考试时间为180分钟）一、选择题：本大题共20个小题，每小题2.5分,共50分。

1．若某人以1000元购买A 、B 、C 三种商品，且所有金额之比是1∶1.5∶2.5,则他购买A 、B 、C 三种商品的金额（单位：元）依次是A. 100, 300, 600B. 150, 225, 400C. 150, 300, 550D.200, 300, 500E. 200, 250, 5502. 某地连续举办三场国际商业足球比赛, 第二场观众比第一场少了80%, 第三场观众比第二场减少了50%,若第三场观众仅有2500人, 则第一场观众有A. 15000人B. 20000人C. 22500人D. 25000人E. 27500人3. 用一条绳子量井深, 若将绳子折成三折来量, 井外余绳4尺, 折成4折来量, 井外余绳1尺, 则井深是A. 6 尺B. 7尺C. 8尺D. 9尺E. 12尺4. 银行的一年期定期存款利率为10%, 某人于1991年1月1日存入1000元, 1994年1月1日取出, 若按复利计算, 他取出时所得的本金和利息共计是A. 10300元B.10303元C. 13000元D. 13310元E. 14641元 5. 某商品打九折会使销售增加20%, 则这一折扣会使销售额增加的百分比是 A. 18% B. 10% C. 8% D. 5% E. 2%的值是则的几何平均值是的两个实根，若是方程a x x a x x x x ,311076,.621221+=+-A. 2B. 3C. 4D. –2E. –35)23.(7x -的二项展开式中, 3x 的系数是A. –540B. –720C. –160D. 540E. 720 15. 函数xy 4=的一阶导数是A. x4 B. 14-x x C. x xln 4 D. 4ln 4x E. 4ln 4x16. 由方程xy e y=所确定的函数)(x y y =的导数'y 是A. x e y y -B. xe yy + C. y e x y - D. y e x y + E. y x e y -17.=⎰dx xf )3(63' A. )1()2(f f - B. [])1()2(3f f - C. [])1()2(31f f - D.[])1()2(31""f f - E. [])1()2(3""f f - 19. 若A 是3阶矩阵, 且TT A A A +=则,3=A. 6B. 2/3C. 24D. 12E. 9二、计算题：本大题共12小题，前10题每小题4分，后2题每小题5分，共计50分 。

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。

把正确答案填写在题中横线上。

)(1)2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰(3)2"4xy y e -=的通解为y =(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。

)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。

(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。

(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。

(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。

(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于()(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠(B)当m n >时，必有行列式AB 0=(C)当n m >时，必有行列式AB 0≠(D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A){}10.2P X Y +≤=(B){}1P X+Y 1.2≤=(C){}1P X-Y 0.2≤=(D){}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()xd x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e x y y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P AB C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设21cos 0()() 0xx f x xx g x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n =,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()n n n a a n∞+=+∑的值. (2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,TB 为B 的转置矩阵,试证TB AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y1y2y3y()i i P X x p ∙==1x182x18 ()i j P Y y p ∙==161十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ.(2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 【答】31 【详解1】 302020t a n l i m t a n t a n l i m t a n 11l i m x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313tan lim lim22031sec 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020c o s s i n lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313sin lim 3sin cos cos lim 020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x x du u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 202sin sin x du u dxd x ==⎰ 故本题应填2sin x (3)【答】 x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为：042=-λ，解得2-,22,1==λλ. 故04"=-y y 的通解为x xe C eC y 22211+=-，由于非齐次项为2,)(2==a e x f x 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为xAxe y 2=*，代入原方程求得41=A , 故所求解为x x x xee C e C y y y 22221141++=+=-* 故本题应填x xe x C e C y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.(4)【答】10,,0,-n n【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλn n n A E λλλ00111)(---=n 故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填10,,0,-n n(5) 【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，21)()()(,<===C P B P A P ABC φ,因此有 ),()()()(2A P BC P AC P AB P === 0)()(==φP ABC P , 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 )(x f 的原函数)(x F 可以表示为C dt t f x F x+=⎰)()(，于是.)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰-当)(x f 为奇函数时，),()(u f u f -=-从而有)()()()(0x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 )(x F 为偶函数.故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：2)(x x f =是偶函数，但其原函数131)(3+=x x F 不是奇函数，可排除（B ）； x x f 2cos )(=是周期函数，但其原函数x x x F 2sin 4121)(+=不是周期函数，可排除（C ）；x x f =)(在区间()∞∞-,内是单调增函数，但其原函数221)(x x F =在区间()∞∞-,内非单调增函数，可排除（D ）。

1999年1月MBA联考逻辑真题解析1、正确答案是D。

首先，先验证甲、乙、丁都没猜对。

因为辽宁队没有包揽前三名，金银铜牌也多于一个；第一名既不是辽宁队，也不是山东队。

丙估计的是"山东队或者河北队会拿牌的"，现在河北队拿了金牌，所以丙言中了。

选项A不对。

若选项A成立，甲猜中是明显的。

然而，丁也猜中了。

因为了的话"第一名如果不是辽宁队的，就该是山东队的了"，含义是"第一名是辽宁队或山东队"。

现在辽宁队得了第一名，在丁猜的范围之内。

容易验证，选项B、C、E不对。

若选项B或C成立，则乙、丙、丁言中；若E选项成立，则乙、丙言中，显然均与题干的设定"四人只有一人言中"不合。

2、正确答案是已首先，题干中说明了事件发生的时间是"中国高血压日"，白衣大夫要帮王大妈测血压是在宣传中提供的服务活动。

王大妈连说"我又不胖，算了吧"，其隐含的前提是只有胖人才可能得高血压病，需要量血压。

选项A中的陈述与王大妈说的"我又不胖"没有密切关系；选项C、D、E中的理由都不能从题干的陈述中看出。

3、正确答案是乙首先，要看到第三句话"李家集乡没有完成指标"若为真，"有的乡没有完成计划生育指标"也必定为真，与题干矛盾。

所以，第三句话一定是错的，即李家集乡一定完成了计划生育指标。

因此，第一句话一定是对的。

因为三句话只有一句对。

根据直言判断的对当关系可知，由于第二句话为○判断应该是错的，则其矛盾关系的判断A 判断："所有的乡都完成了计划生育指标"一定真，这与选项C的断定是一致的。

其他选项均不合乎题干的要求。

4、正确答案是C。

由题干可知，班长的"后半句话不对"，意思是"有些同学的成绩在70分以下"。

加上选项C中的界定"研究生的课程70分才算及格"，可得到"肯定有的同学成绩不及格"的结论。

1999 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题（1）lim 1-1=.x→0x2x tan x1【答】3【详解1】lim1-1= limtan x -x= limtan x -xx→0x2x t an xx→0 x2 tan x x→0 x3= limx→0= limx→0sec2 x -13x2tan2 x3x2【详解2】lim1-=131= limsin x -x cos x= limsin x -x cos x x→0x2x t an xx→0 x2 sin x x→0 x3= limcos x - cos x +x sin xx→03x2= limsin x=1x→0 3x 3d x 2（2）dx⎰0sin (x -t )dt =.【答】【详解】sin x2 .d ⎰x sin (x -t )2x -t =u d ⎰0(-sin u2)dudx 0 dx x=d ⎰x sin u2dudx 0= sin x2故本题应填sin x2(3) y'' - 4 y =e2 x 的通解为.【答】 y = C e -2 x + C + 1 x e 2 x , 其中C , C 为任意常数.1 2 4 1 2【详解】 特征方程为： λ 2 - 4 = 0, 解得λ = 2, λ = -21 2故 y '' - 4 y = 0 的通解为 y = C e -2 x + C e 2 x , 由于非齐次项为 f ( x ) = e 2 x ， a = 2 为特征方程112的单根，因此原方程的特解可设为 y * = Axe 2 x, 代入原方程可求得 A = 1，4故所求通解为y = y + y * = C e -2 x + C e 2 x + 1xe 2 x故本题应填1 1 24y = C e -2 x +C + 1 x e 2 x ,1 2 4（4）设n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的n 个特征值是 .¸çn -1˛【答】n , 0,…, 0【详解】 因为 λ -1 -1 … -1λ - n-1 … -1 λ E - A = -1λ -1 … -1 =λ - n λ -1 … -1# ### ####-1-1 … 1 -1 … λ -1 -1 λ - n -1 … λ -1 = λ - n0 λ 0# # # #0 0 … λ故矩阵 A 的n 个特征值是n 和 0（ n -1重）¸çn -1˛ 因此本题应填n , 0,…, 0 .（5）设两两相互独立的三事件 A , B 和C 满足条件： ABC = φ, P ( A ) = P ( B ) = P (C ) < 1, 2且 P ( A ⋃ B ⋃ C ) = 1 9, 则 P ( A ) = .16【答】.4【详解】 根据加法公式有P ( A ⋃ B ⋃ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P (C ) - P ( AC ) - P ( AB ) - P ( B C ) + P ( ABC )1由题 A , B 和C 两两相互独立， ABC = φ, P ( A ) = P ( B ) = P (C ) < , 因此有2P ( AB ) = P ( AC ) = P ( B C ) = P 2 ( A ),P ( ABC ) = P (φ ) = 0,从而 P ( A ⋃ B ⋃ C ) = 3P ( A ) - 3P 2 ( A ) = 916 3 1解得 P ( A ) = , P ( A ) =44 1 1又根据题设 P (A ) < , 故 2 P ( A ) = 4二、选择题（1）设 f ( x ) 是连续函数， F ( x ) 是其原函数，则 （A ） 当 f ( x ) 是奇函数时， F ( x ) 必是偶函数. （B ） 当 f ( x ) 是偶函数时， F ( x ) 必是奇函数. （C ） 当 f ( x ) 是周期函数时， F ( x ) 必是周期函数. （D ） 当 f ( x ) 是单调增函数时， F ( x ) 必是单调增函数.【 】【答】 应选（A ）x【详解】 f ( x ) 的原函数 F ( x ) 可以表示为 F ( x ) = ⎰f (t )dt + C , 于是- x xF (-x ) = ⎰0 f (t )dt + Cu = -t ⎰0 f (-u )d (-u ) + C .当 f ( x ) 为奇函数时， f (-u ) = - f (u ) ，从而有即F ( x ) 为偶函数.F (-x ) = ⎰0 = ⎰0 f (u )du + Cf (t )dt + C = F ( x )故（A ）为正确选项.至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：f ( x ) = x 2 是偶函数，但其原函数 F ( x ) = 1x 3 +1 不是奇函数，可排除（B ）；3f ( x ) = cos 2 x 是周期函数，但其原函数 F ( x ) = 1 x + 1sin 2x 不是周期函数，可排除（C ）；2 4f ( x ) = x 在区间(-∞ + ∞) 内是单调增函数，但其原函数 F ( x ) = 1x 2 在区间(-∞ + ∞) 内非2单调增函数，可排除（D ）.xx♠ ♦ ∞11♣1- cos x , x > 0 （2）设 f ( x ) = ♦ x 其中 g ( x ) 是有界函数，则 f ( x ) 在 x = 0 处 ♠♥x 2 g ( x ), x ≤ 0 （A ）极限不存在. （B ）极限存在，但不连续 （C ）连续，但不可导（D ）可导.【 】【答】 应选（D ） 【详解】 因为f '(0 + 0) = limf ( x ) - f (0)= lim1- cos x= 0,x →0+xf ( x ) - f (0) x →0-3x2x 2 g ( x ) f '(0 - 0) = lim = lim lim g ( x ) x = 0,x →0-x x →0-x x →0-可见， f ( x ) 在 x = 0 处左、右导数相等，因此， f ( x ) 在 x = 0 处可导， 故正确选项为(D).♣ (3)设 f ( x ) = ♠ x ,0 ≤ x ≤ 1 2 1， S ( x ) = a 0 2 +∑ a n cos n π x , -∞ < x < +∞, ♠2 - 2x , ♥ 2a =< x < 1 n =15其 中 n2⎰0 f ( x )cos n π xdx , (n = 0,1, 2,…), 则S -2等于1 (A)2(B) - (C) 32 4 (D) - 34【 】【答】 应选（C ）.【详解】 由题设知，应先将 f ( x ) 从[0,1) 作偶延拓，使之成为区间[-1,1] 上的偶函数，然后再作周期（周期 2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有S - 5 = S -2 - 1 = S - 12 2 2 f 1 - 0 + f 1+ 01 2 2= S =2= 3 .4（4）设 A 是m ⨯ n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵，则 （A ）当m > n 时，必有行列式 AB ≠ 02（B ）当m > n 时，必有行列式 AB = 0（C ））当n > m 时，必有行列式 AB ≠ 0（D ）当n > m 时，必有行列式 AB = 0【 】【答】 应选（B ）.【详解】 因为 AB 为m 阶方阵，且 秩r ( AB ) ≤ min ϒ≤r ( A ), r (B )/ƒ ≤ min (m , n ) 当m > n 时，由上式可知， r ( AB ) ≤ n < m , 即 AB 不是满秩的，故有行列式 AB = 0. 因此，正确选项为（B ）.（5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ，则 （A ） P {X + Y ≤ 0} = 1.2(B) P {X + Y ≤ 1} = 1.2 （C ） P {X - Y ≤ 0} = 1.2【答】 应选（B ）.(D) P {X - Y ≤ 1} = 1. 2【 】【详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此( X + Y ) ~ N (1, 2), ( X - Y ) ~ N (-1, 2)1 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 2知，（B ）为正确选项.三、设 y = y ( x ), z = z ( x ) 是由方程 z = xf ( x + y ) 和 F ( x , y , z ) = 0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 dz .dx【详解】 分别在 z = xf ( x + y ) 和 F ( x , y , z ) = 0 的两端对 x 求导，得♣ dz =f + x 1+ dy f '♠ dxdx ♦♠F ' x + F ' y dy +' dz = 0♠♥ 整理后得F zdx dx♣-xf ' dy + dz= f + xf ' ♠ dx dx ♦dy dz♠F ' y + F 'z = -F 'x ♠♥ dx dx 解此方程组，得♦ y = 00 dz =( f + xf ') F 'y - xf 'F 'z , (F ' y + xf 'F 'z ≠ 0)四、求 I =⎰Ldx F ' y + xf 'F ' z(e xsin y - b ( x + y ))dx + (e xcos y - ax )dy , 其中 a , b 为正常数， L 为从点A (2a , 0) 沿曲线 y O (0, 0) 的弧.【详解】 添加从点O (0, 0) 沿 y = 0 到点 A (2a , 0) 的有向直线段 L 1, 则I = ⎰L + L ϒ≤e x sin y - b ( x + y )/ƒ dx + (e xcos y - ax )dy - ⎰L 利用格林公式，前一积分ϒ≤e x sin y - b ( x + y )/ƒdx + (e xcos y - ax )dy I = ⎰⎰ ∂Q - ∂P = ⎰⎰ (b - a )dxdy 1 ∂x ∂y dxdyD D= πa 2 (b - a ) 2其中 D 为 L + L 1 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L 1 :♣ x = x, (0 ≤ x ≤ 2a ), ♥ 可直接积分I 2= ⎰2a (-bx )dx = -2a 2b故I = I - I =π + 2a 2b - π a 3. 12 2 2五、 设函数 y ( x )( x ≥ 0) 二阶可导且 y ' ( x ) > 0, y (0) = 1, 过曲线 y = y ( x ) 上任意一点P ( x , y ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为S 1, 区间[0, x ] 上以 y = y ( x ) 为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 - S 2 恒为 1，求此曲线y= y ( x ) 的方程.【详解】 曲线 y = y ( x ) 上点 P ( x , y ) 处的切线方程为Y - y ( x ) = y ' ( x )( X - x )1 1y ' x1 2y '它与 x 轴的交点为 x - ,0 由于 y ( x ) > 0, y (0) = 1, 因此 y ( x )( x > 0)1y y 2 于是S 1 = 2 y x - x - y ' = 2 y' .又S 2 = ⎰0 y (t )dty 2 x根据题设2S 1 - S 2 = 1 ，有2 y'- ⎰0 y (t )dt = 1,并且 y ' (0) = 1 ，两边对 x 求导并化简得yy '' = ( y ' )2这是可降阶得二阶常微分方程，令yp dp= p 2 ，分离变量得 dyp = y '，则上述方程可化为dp = dy p y dy解得 p = C 1 y ，即dx= C 1 y ,从而有 y = C e x+ C根据 y (0) = 1, y ' (0) = 1, 可得 C = 1, C = 0,12故所求曲线得方程为y = e x .六、试证：当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2.【详解 1】令 f ( x ) = (x 2 -1)ln x - ( x -1)2. 又易知 f (1) = 0 f ' ( x ) = 2x ln x - x + 2 - 1, f ' (1) = 0x f '' ( x ) = 2 ln x +1+ 2 (x 2-1) 1 , f ''(1) = 2 > 0x 2 f '''( x ) =x 3可见，当0 < x < 1时， f ''' ( x ) < 0; 当1 < x < +∞ 时， f ''' ( x ) > 0; 因此，有当1 < x < +∞ 时，f '' ( x ) ≥ f '' (1) = 2 > 0又由 f ' (1) = 0 及 f ' ( x ) 是单调增函数推知，当0 < x < 1 时， f ' ( x ) < 0; 当1 < x < +∞ 时，f ' ( x ) > 0; 因此进一步有 f ( x ) ≥ f (1) = 0 (0 < x < +∞) ，即证之：当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2.【详解 2】先对要证的不等式作适当变形，则当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2. 等价于当0 < x < 1时，ln x ≤x -1; 当1 < x < +∞ 时， ln x ≥ x -1; 于是令 x +1 f ( x ) = ln x - x -1x +1 x +1则f ' ( x ) = 1 - 2=x 2 +1 2 > 0( x > 0)x又因为 f (1) = 0 ，可见有 ( x +1) x ( x +1)当0 < x < 1时， f ( x ) < 0 ，当1 < x < +∞ 时， f ( x ) > 0 ，从而当 x > 0 时，有(x 2-1) f ( x ) = (x 2-1)ln x - ( x -1)2≥ 0,即当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2.七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗自重 400 N , 缆绳每米重 500 N ，抓斗抓起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m/s,在提升过程中， 污泥以 20 N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①1N ⨯1m = 1J ; m , N , s , J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【详解 1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功W = W 1 + W 2 + W 3230其中W 1 是克服抓斗自重所作的功；W 2 是克服缆绳重力作的功；W 3 为提出污泥所作的功.由题意知W 1 = 400 ⨯ 30 = 12000.将抓斗由 x 处提升到 x + dx处，克服缆绳重力所作的功为dW 2 = 50 (30 - x )dx ,从而 W 2 = ⎰50 (0 - x )dx = 22500.在时间间隔[t , t + dt ]内提升污泥需作功为dW 3 =3(2000 - 20t ) d t .30 将污泥从井底提升至井口共需时间310= 10 ，所以W 3 = ⎰0 3(2000 - 20t ) d t = 57000.因此，共需作功W = 12000 + 22500 + 57000 = 91500 ( J )【详解 2】作 x 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用 力 f ( x ) 1包括抓 斗的自重 400 N , 缆绳的重力 50 (30 - x )( N ) ，污泥的 重力2000 - 3于是x ⋅ 20 ( N ) ，即f ( x ) = 400 + 50 (30 - x ) + 2000 - 20 x = 3900 - 170 x , 33Ax + By + Cz A 2 + B 2 + C 22 1- 2 + 2x 2 y 22 1- 2 + 2x 2 y 24 - x 2 - y 2 2 1- 2 + 2x 2y 2x 2 + y 2 + 4 4 z 2 zx y z ⎰⎰ dS = 2W =303900 - 170 x dx = 3900x - 85 x 2|30 = 117000 - 24500 = 91500 ( J ) ⎰0 3 3 02 八、设S 为椭球面 x+ y + 2 = 1 的上半部分，点 P ( x , y , z )∈ S ,π 为S 在点 P 处的切平面， 2 2ρ ( x , y , z ) 为点O (0, 0, 0) 到平面π 的距离，求⎰⎰z dS . S ρ ( x , y , z )【详解】 令 F ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2-1, 设( X ,Y , Z ) 为π 上任意一点，则π 的方程为2 2F ' ( X - x ) + F ' (Y - y ) + F '(Z - z ) = 0,xXyY即从而知+ + zZ = 1 2 2ρ ( x , y , z ) =x2+ y 2-1 + z224 4这里 A = x , B = y22, C = z ,x 2y 2由曲面方程知 z = 1- 2 + 2 ,于是∂z =∂x, ∂z =∂y因此dS =d σ =σ故有zdSS ρ ( x , y , z ) S= 1 ⎰⎰(4 - x 2 - y 2 )d σ = 1 ⎰2π d θ ⎰ 2 (4 - r 2 )rdr 4 D = 3 π 24 00 1+ ∂x + ∂y ∂z 2 ∂z 2n n n nn 2⎰nn n1π九、设a n = ⎰ 4 tan n xdx , ∞ 1（1） 求∑ (a n + a n +2 ) 的值；n =1∞a n（2） 试证：对任意的常数λ > 0, 级数∑ λ收敛n =1【详解】 （1）因为1 1 π 1π(a + a) = 4 tan n x (1+ tan 2 x )dx = 4tan n x sec 2 xdxn n n +2 n ⎰0n ⎰0tan x = t 1 ⎰1t n dt = 1n 0又由部分和数列n (n +1) S = ∑1 (a + a) = ∑ 1= 1-1 ,i =1iii +2i =1i (i +1)n +1有lim S = 1, n →∞∞1因此∑ (a n+ a n +2) = 1.n =1（2）先估计a n 的值，因为π1a n = ⎰ 4tan nxdx tan x = t ⎰t dt < 1t n dt =1, 01+ t 0n +1a n 所以nλ< n λ(n +1) <1 , n λ +1∞1由λ +1 > 1知∑ λ+1收 敛n =1∞a n从而∑ λ也收敛.n =1ϒ a 十、设矩阵 A = ' 5 -1 c / b 3 ∞ ，其行列式 A = -1，又 A 的伴随矩阵 A * 有一个特征值λ ，' ∞0 '≤1- c 0 -a ∞ƒ属于λ 的一个特征向量为α = (-1, -1,1)T，求a , b , c 和λ 的值.nn【详解】120 0 0 ♥根据题设有 A*α = λ α ,又AA * = A E = -E , 于是 AA *α = A λα = λ A α ,即-α = λ0 A αϒ a 也即λ ' 5-1 c / ϒ-1/ ϒ-1/ b 3 ∞ '-1∞ =- '-1∞0 ' ∞ ' ∞ ' ∞由此，可得'≤1- c 0 -a ∞ƒ '≤ 1 ∞ƒ '≤ 1 ∞ƒ♣ λ0 (a +1+ c ) = 1 ♠λ (-5 - b + 3) = 1 ♦ 0解此方程组，得♠λ0(-1+ c - a ) = -1 λ0 = 1, b = -3, a = c又由 A = -1和a = c ，有a-1 a5 -3 3 = a - 3 = -1故a = c = 2,1- a 0 -a因此 a = 2, b = -3, c = 2, λ0 = 1.十一、设 A 为m 阶实对称矩阵且正定， B 为m ⨯ n 实矩阵， B T为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩r ( B ) = n .【详解】 必要性. 设 B TAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有x T (B T AB ) x > 0,即( B x )TBA ( B x ) > 0,于是， Bx ≠ 0 .因此， Bx = 0 只有零解，故有 r ( B ) = n充分性. 因 (B TAB)T= B T A T B = B T AB , 故 B T AB 为实对称矩阵.若r ( B ) = n则线性方程组 Bx = 0 只有零解，从而对任意的实n 维列向量 x ≠ 0 ，有 Bx ≠ 0 .又 A为正定矩阵，所以对于 Bx ≠ 0 有(B x )TBA ( B x ) > 0, 于是当 x ≠ 0 ，有 xT(BTAB ) x = ( B x )TA (B x ) > 0 ，故 B T AB 为正定矩阵.f ( x ) = ♠ = n ∑ 十二、设随机变量 X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量( X ,Y ) 联合分布律及关于 X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.【详解】十三、设总体 X 的概率密度为♣ 6x(θ - x )，0 < x < θ ♦♥♠ 0, 其他X 1, X 2 ,…, X n 是取自总体 X 的简单随机样本.^（1） 求θ 的矩估计量θ ；^^（2） 求θ 的方差 D θ .+∞θ6x θ【详解】 (1) E ( X ) =⎰-∞xf ( x )dx = ⎰0θ 3(θ - x ) d x =21 n 记 X i =1X , 令θ = X , 得θi 2^的矩估计量θ = 2 X ； （2）由于2+∞ 2θ6x 2 6x 2E ( X ) = ⎰-∞ x f ( x )dx = ⎰0 θ 3 (θ - x ) d x = 202 2 6θ 2 θ2 θ = D (2 X ) = 4D X ( )D ( x ) =E (x ) - ϒE ( x )/ = - = ⎝ 2 ≤ ƒ 20 20^因此 θ = 2 X 的方差为D ^= 4 D ( X ) = θn 5n2 2。

1999年全国在职攻读工商管理硕士学位入学考试试题一、简述题（每小题4分，共20分）1．形成垄断的原因主要有哪些？2．与非正式组织比较，正式组织特点何在？3．领导者的权力，按其基础的不同，可分为哪几种类型？其中哪些是行政性的，哪些是个人特征性的？4．某下岗职工准备利用自有房屋开设餐厅，试分析这一打算可能涉及哪些机会成本项目。

5．试分析我国职工中所存在的“端起碗来吃肉，放下碗来骂娘”（即生活有明显改善，而不满却反而增加）现象的主要原因是什么。

二、判断题（每小题1分，共10分）A.对 B.错1．有限责任公司的特点，就是把公司的资本划为等量的股份后，向社会公开发行，以募集资本，股东对公司的债务需负有无限责任。

2．某行业存在许多厂商,都生产同一种标准化的产品。

据此可以判定：对于该待业的任一厂商而言，其产品的市场需求为富有弹性或弹性较大。

3．据调查，某L品牌口香糖的价格下降1角，可引起其需求量提高一倍；某M品牌电视机的价格下降100元，可引起其需求量增加2台。

由此可得结论：L品牌口香糖的需求要比M品牌电视机的需求更富有弹性。

4．领导即使做好了对下级的激励工作，也不一定会显著提高工作业绩。

5．经验决策主要根据决策者的经验、智慧、直觉等定性因素来作出。

而科学决策不同于经验决策，它主要根据统计数据、数学模型、计算机模拟等定量因素来作出。

因此，科学决策比经验决策更合理、更实用、更有效。

6．从马斯洛的需要层次论看，职工对工作自主权的追求应列归“尊重需要”层次。

凡事听命于别人，怎谈得上有自尊？7．某商品市场上有甲、乙两个生产厂家，甲厂生产每个商品需花人工5个单位，而乙厂只需人工1个单位。

由此可和结论：乙厂的生产效率肯定要比甲厂高。

8．我国企业的体制改革实际上是从分配制度开始的。

9．非正式组织普遍存在，不但无法硬性禁止使之消失，而且还应考虑它们对于满足职工个人心理需要的积极作用。

正确的态度应当是给予适当的指引和疏导，使它的目标能与组织目标一致起来。

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。

把正确答案填写在题中横线上。

)(1)2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰(3)2"4xy y e -=的通解为y =(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。

)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。

(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。

(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。

(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。

(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于()(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠(B)当m n >时，必有行列式AB 0=(C)当n m >时，必有行列式AB 0≠(D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A){}10.2P X Y +≤=(B){}1P X+Y 1.2≤=(C){}1P X-Y 0.2≤=(D){}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim()tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx -⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设21cos 0()() 0xx f x xx g x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.XY1y 2y 3y ()i i P X x p ∙==1x 182x 18()i jP Y y p ∙==161十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ.(2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)【答】31 【详解1】 302020tan lim tan tan lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→313tan lim lim22031sec 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020cos sin lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→313sin lim 3sin cos cos lim020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x xdu u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 22sin sin xdu u dx d x ==⎰故本题应填2sin x(3)【答】 ，其中为任意常数.x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-21,C C 【详解】 特征方程为：，解得.042=-λ2-,22,1==λλ故的通解为，由于非齐次项为为04"=-y y x xe C eC y 22211+=-2,)(2==a e x f x 特征方程的单根，因此原方程的特解可设为，代入原方程求得,xAxey 2=*41=A故所求解为 xx x xe e C e C y y y 22221141++=+=-*故本题应填，其中为任意常数.x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-21,C C (4)【答】10,,0,-n n 【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλnn n A Eλλλ0111)(---=n故矩阵的n 个特征值是n 和0（n-1重）A因此本题应填10,,0,-n n (5)【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，,因此有21)()()(,<===C P B P A P ABC φ ),()()()(2A P BC P AC P AB P === ,0)()(==φP ABC P 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 的原函数可以表示为，于是)(x f )(x F C dt t f x F x+=⎰)()( .)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰- 当为奇函数时，从而有)(x f ),()(u f u f -=-)()()()(00x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 为偶函数.)(x F 故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除（B ）；2)(x x f =131)(3+=x x F 是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除x x f 2cos )(=x x x F 2sin 4121)(+=（C ）；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非x x f =)(()∞∞-,221)(x x F =()∞∞-,单调增函数，可排除（D ）。

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图，I 是全集，,,M P S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是A ．()M P SB ．()M P SC ．()M P SD ．()M P S【答案】C【解析】由图知阴影部分表示M P 与S 的交集．2．已知映射:f A B →，其中，集合{}3,2,1,1,2,3,4A =---，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a A ∈，在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是A ．4B ．5C ． 6D ．7 【答案】A【解析】{}1,2,3,4B =．3．若函数()y f x =的反函数是(),(),0y g x f a b ab ==≠，则()g b 等于 A ．a B ．1-a C ．b D ．1-b 【答案】A【解析】根据互为反函数的关系知()f a b =，则()g b a =．4．函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>在区间[]b a ,上是增函数，且(),()f a M f b M =-=， 则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[]b a ,上 A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值M - 【答案】C【解析】由题设0M >，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+，故函数()cos()g x M x ωϕ=+在[]b a ,上不单调，切当2x k ωϕπ+=时取得最大值M ．5．若()sin f x x 是周期为π的奇函数，则()f x 可以是A ．x sinB ．x cosC ．x 2sinD ．x 2cos 【答案】B【解析】取()sin f x x =，2sin x 是偶函数；取()cos f x x =，1sin cos sin 22x x x =是奇函数且期为π．6．在极坐标系中，曲线4sin()3πρθ=-关于A ．直线3πθ=轴对称 B ．直线πθ65=轴对称 C ．点(2,)3π中心对称 D ．极点中心对称【答案】B【解析】54sin()4cos[()]4cos()3236πππρθθθπ=-=--=-表示一个过极点的半径为2，圆心过点5(2,)6π的圆，故关于直线πθ65=轴对称．7．若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 A ．cm 36 B ．cm 6 C ．cm 3182 D ．cm 3123 【答案】B【解析】设水面的半径为r ，由题设条件得221263r ππ⋅⋅=，所以3r =r =6=．8．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为 A ．1 B ．1- C ． 0 D ．2 【答案】A【解析】令1x =得401234(2a a a a a ++++=；令1x =-得401(2a a -=-234a a a +-+，∴2202413012340123()()()(a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-442244)(2(2[(2)]1a +=-=-+=．9．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得到的劣弧所对的圆心角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C=2，弦与两半径构成等边三角形，故所求圆心角为3π．10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，3//,2EF AB EF =，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6 D ．215 【答案】D【解析】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 分析：由已知中多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF 与面AC 的距离为2，我们易求出四棱锥E ABCD -的体积，然后根据整个几何体大于部分几何体的体积，分析已知中的四个答案，利用排除法，得到答案．法一：如下图所示，连接,EB EC ．则四棱锥E ABCD -的体积133263E ABCD V -=⨯⨯⨯=，又∵整个几何体大于四棱锥E ABCD -的体积，∴所求几何体的体积E ABCD V V ->．法二：连接,EB EC ，依题意，四棱锥E ABCD -的体积为6，又由于//,EF AB AB =2EF ，所以EAB ∆的面积是BEF ∆面积的2倍，从而四面体F EBC -的体积即为四面体C EFB -的体积，等于四面体E ABC -的一半，即四棱锥E ABCD -体积的四分之一，故所求多面体的体积为1156642+⨯=． 方法三：分别取,AB CD 的中点,G H 连,,EG GH EH ，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积29，整个多面体的体积为215．故选D ． 【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，其中根据根据整个几何体大于部分几何体的体积，求出四棱锥E ABCD -的体积，并与已知中的四个答案进行比较，利用排除法是解答此类问题的捷径．11．若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则∈αA ．(,)24ππ-- B ．(,0)4π- C ．(0,)4π D ．(,)42ππ【答案】B 【解析】若(,0)2πα∈-，则1sin tan ,tan tan αααα>>，即211,tan 1cos αα<<， 11cos α<显然成立，由2tan 1α<可得1tan 0α-<<，所以(,0)4πα∈-；同样，若∈α (,)42ππ时，无解，所以B 正确．12．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1:2，那么R =A ．10B ．15C ．20D ．25 【答案】D【解析】中截面的半径为52R +，设圆台的母线为l ，由题设得5(5)122(5)3R lS S R l ππ+⋅+⋅==⋅+⋅上总，解得25R =．13．已知两点55(1,),(4,)44M N --，给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP NP =的所有曲线方程是A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】D【解析】点P 在直线230x y ++=的垂直平分线上，该直线与曲线②③④都有交点，选D ．14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种 【答案】C【解析】设购买单片软件和盒装磁盘数量分别为,x y ，由题设可得3,2,6070500x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩易知当3x =时，2,3,4y =；当4x =时，2,3y =；当5x =时，2y =；当6x =时，2y =，故共有7种不同的选购方式．第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．15．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是 ． 【答案】21 【解析】依题意得222a b c c a-=，又222c a b =-，解得2a c =，从而12c e a ==．16．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植,A B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求,A B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种（用数字作答）．【答案】12【解析】先考虑A 种植在左边的情形，有3类：A 种在最左边1垄，B 有（8，9，10垄）3种种植方法；A 种在左边第2垄，B 有（9，10垄）2种种植方法；A 种在左边第3垄，B 有（10垄）1种种植方法，所以不同的选垄方法共有2(321)12++=种．17．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 ． 【答案】[9,)+∞【解析】33ab a b =++≥，即30ab -≥3≥，即9ab ≥．18．,αβ是两个不同的平面，,m n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： ．【答案】n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,, 【解析】略．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分10分）2log 1(0,1)a x a a <->≠．【解】本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想．原不等式等价于()23log 20,3log 22log 1,2log 10.a a a a x x x x -≥⎧⎪-<-⎨⎪->⎩.............4分由①得2log 3a x ≥， 由②得3log 4a x <，或log 1a x >，由③得1log 2a x >．由此得23log 34a x ≤<，或log 1a x >． .............8分当1a >时得所求的解是{}2334||x a x a x x a ⎧⎫≤<>⎨⎬⎩⎭；当01a <<时得所求的解是{}2334||0x a x a x x a ⎧⎫<≤<<⎨⎬⎩⎭．.............12分20．（本小题满分12分）设复数3cos 2sin z i θθ=+⋅．求函数arg (0)2y z πθθ=-<<的最大值以及对应的θ值．【解】本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力．由20πθ<<得tan 0θ>．由θθsin 2cos 3i z +=得2arg 0π<<z 及()2sin 2tan arg tan 3cos 3z θθθ==．故()22tan tan 13tan tan arg 231tan 2tan 3tan y z θθθθθθ-=-==++，因为32tan tan θθ+≥132tan tan θθ≤+ 当且仅当32tan (0)tan 2πθθθ=<<时，即tan 2θ=时，上式取等号．所以当arctan2θ=时，函数tan y 取得最大值12由z y arg -=θ得(,)22y ππ∈-．由于在(,)22ππ-内正切函数是递增函数，函数y 也取最大值arctan 12．21．（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面1//EAC D B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45,AB a =．（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线11B A 与AC 之间的距离； （Ⅲ）求三棱锥EAC B -1的体积．【解】本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．（Ⅰ）如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO ．因为底面ABCD 是正方形，所以DO AC ⊥．又因为ED ⊥底面AC ，因为EO AC ⊥．所以EOD ∠是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角． 所以45EOD ∠=．,,sec45DO AC EO a ===⋅=．故22EAC S a ∆=． （Ⅱ）由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，1A A AC ⊥，又111A A A B ⊥ ，所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线． 因为11//D B 面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO ．所以11//D B EO ．又O 是DB 的中点，所以E 是D D 1的中点，1122D B EO a ==．所以D D 1==．异面直线11B A 与AC ． （Ⅲ）解法一：如图，连结11B D ．因为1D D DB =．所以11B BDD 是正方形， 连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q ．因为11B D D B ⊥，1//EO D B ，所以1B D EO ⊥． 又,AC EO AC ED ⊥⊥，所以AC ⊥面11B BDD ， 所以1B D AC ⊥，所以D B 1⊥面EAC ． 所以Q B 1是三棱锥1B EAC -的高．由DQ PQ =，得113342B Q B D a ==．所以123133224B EAC V a a -=⋅⋅=．所以三棱锥EAC B -1的体积是34a ．解法二：连结O B 1，则112EO B A EAC B V V --=．因为AO ⊥面11B BDD ，所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，2AO a =． 在正方形11B BDD 中，,E O 分别是1,D D DB 的中点（如右图），则1234EOB S a ∆=．∴1231323424B EAC V a a -=⋅⋅⋅=．所以三棱锥EAC B -1的体积是34a ．22．（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（Ⅰ）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r ．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ．若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为k L ．为了便于检修，请计算123,,L L L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）．【解】本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力．（Ⅰ）厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为()01nr α-．为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()01n r αβ-≤，即()01nr βα-≤． 由于()010,0nr βα->>，对比上式两端取对数，得()0lg 1lg n r βα-≤． 由于()0lg 10r -<，所以()0lg lg lg 1n r βα-≥-．因此，至少需要安装不小于()0lg lg lg 1r βα--的整数对轧辊．（Ⅱ）解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()16001kr α⋅-⋅宽度（其中20%r =），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()41k L r α⋅-⋅宽度． 因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()()()416001120%kk r L r r αα⋅-=⋅-=，即416000.8k k L -=⋅．由此得()32000L mm =，()22500L mm =，()mm L 31251=． 填表如下：解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有()3160010.2L =⋅-，所以()3160020000.8L mm ==． 同理()3225000.8LL mm ==，()2131250.8LL mm ==．填表如下：【本题难度】难，一种看不懂的难．23．（本小题满分14分）已知函数()y f x =的图像是自原点出发的一条折线，当1(0,1,2,)n y n n ≤≤+=时，该图像是斜率为n b 的线段（其中正常数1≠b ），设数列{}n x 由()()1,2,n f x n n ==定义．（Ⅰ）求12,x x 和n x 的表达式；（Ⅱ）求()f x 的表达式，并写出其定义域；（Ⅲ）证明：()y f x =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点．【解】本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．（Ⅰ）依题意(0)0f =，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()y f x =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f ，得11x =． 又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()y f x =的图像是斜率为b 的线段， 故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得211x b =+．记00x =．由函数()y f x =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()()111n n n n n f x f x b x x ----=-．又()()1,1-==-n x f n x f n n ，所以111(),1,2,n n n x x n b---==．由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为1b． 因1b ≠，得11111()11()11n nn k k k n b b x x x b b b --=--=-=+++=-∑，即11()1n n b b x b --=-． （Ⅱ）当10≤≤y ，从（Ⅰ）可知y x =，即当10≤≤x 时，()f x x =．当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由（Ⅰ）可知1()()(,1,2,3,)n n n n f x n b x x x x x n +=+-≤≤=．为求函数()f x 的定义域，须对11()(1,2,3,)1n n b b x n b --==-进行讨论． 当1b >时，11()lim lim 11n n n n b b b x b b -→∞→∞-==--； 当01b <<时，n x n ,∞→也趋向于无穷大． 综上，当1b >时，()y f x =的定义域为[0,)1bb -； 当01b <<时，()y f x =的定义域为[)+∞,0． （Ⅲ）证法一：首先证明当1b >，11-<<b bx 时，恒有()f x x >成立． 用数学归纳法证明：（ⅰ）由（Ⅱ）知当1=n 时，在(]2,1x 上，()()11y f x b x ==+-， 所以()()()110f x x x b -=-->成立．（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()f x x >成立． 可得 ()111k k f x k x ++=+>，在(]21,++k k x x 上，()()111k k f x k b x x ++=++-． 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()111110k k k b x x k x +++=--++->也成立．由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()f x x >成立． 即11-<<b bx 时，恒有()f x x >． 其次，当1b <，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()f x x <成立． 故函数()y f x =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点． 证法二:首先证明当1b >，11bx b <<-时，恒有()f x x >成立． 对任意的1,1b x b ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，存在n x ，使1n n x x x +<≤，此时有 ()()()()01n n n f x f x b x x x x n -=->-≥．所以()()n n f x x f x x ->-． 又()1111n n n f x n x bb -=>+++=，所以()0>-n n x x f ， 所以()()0n n f x x f x x ->->，即有()f x x >成立．其次，当1b <，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()f x x <成立． 故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点． 【本题难度】难，一种想不明写不清的难．24．（本小题满分14分）如图，给出定点(,0)(0)A a a >和直线:1l x =-．B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C ．求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．【解】本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．解法一：依题意，记()()1,B b b R -∈，则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和y bx =-．设点()y x C ,，则有0x a ≤<，由OC 平分AOB ∠，知点C 到,OA OB 距离相等．根据点到直线的距离公式得y =①依题设，点C 在直线AB 上，故有()1by x a a=--+． 由0≠-a x ，得()1a y b x a+=--． ②将②式代入①式得()()()22222111a y a xy y y x a x a ⎡⎤++⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 整理得()()2221210y a x ax a y ⎡⎤--++=⎣⎦．若0≠y ，则()()()2212100a x ax a y x a --++=<<；若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为(0,0)，满足上式． 综上得点C 的轨迹方程为()()()2212100a x ax a y x a --++=≤<．（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为()201y x x =≤<． ③此时，方程③表示抛物线弧段；（ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为()a x a a y a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111122222． ④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段；当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段．解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE x ⊥轴，E 是垂足．（ⅰ）当0BD ≠时，设点(,)C x y ，则0,0x a y <<≠． 由//CE BD 得()1CE DA y BD a EAa x⋅==+-．因为COA COB COD BOD ∠=∠=∠-∠COA BOD π=-∠-∠，所以2COA BOD π∠=-∠． 所以22tan tan(2)1tan COACOA COA∠∠=-∠，tan()tan BOD BOD π-∠=-∠．因为()tan ,tan 1y BD y COA BOD a xODa x∠=∠==+-，所以222(1)1y y x a y a x x⋅=-+--， 整理得22(1)2(1)0(0)a x ax a y x a --++=<<．（ⅱ）当0BD =时，BOA π∠=，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式． 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为22(1)2(1)0(0)a x ax a y x a --++=≤< 以下同解法一．【本题难度】难，一种冷漠的难．。

1999考研数学一真题在1999年的考研数学一真题中，我们可以看到这是一份考试试卷，需要我们解答数学相关的问题。

以下是我针对该真题的详细解析：一、填空题1. 设f(x) = x^3 - 3. 则f(x)的次数为______.答案：3.2. 设f(x) = log[2](ax+2), g[1](x) = log[4](ax+3). 则F(x) = ∫[1, x]f(t)dt - G[1](x)的一个原函数为______.答案：xln[2](ax+2) - xln[4](ax+3).3. 曲线y = f(x)在点(1,2)处的切线方程为2x + y + 4 = 0, 则f(x)在点(1,2)处的导数为______.答案：-2.4. 设P_n(x) = (x-1)(x-2)...(x-n) (n∈N*), 则P_n(x)有n个零点, 且都是______.答案：整数.二、选择题1. 设D是二阶线性齐次常系数微分方程的解集, 则下列命题中错的是______.A. D中的任意两个元素相加的和任然是D的元素.B. D中的任意两个元素相乘的积任然是D的元素.C. D中的元素的任意线性组合任然是D的元素.D. D中的任意元素的任意n次幂任然是D的元素.答案：D. D中的任意元素的任意n次幂不一定是D的元素.2. 设A为3阶方阵, 且A的特征值为1, -2, 3, 则|A^2 + 3A - 2E|的值为______.A. -1.B. 3.C. 7.D. 27.答案：B. 3.3. 已知复数z = cos(π/4) + isin(π/4). 则z^15的实部和虚部的乘积等于______.A. sqrt(2)^15.B. -sqrt(2)^15.C. -sqrt(2)^30.D. sqrt(2)^30.答案：A. sqrt(2)^15.4. 已知曲线L的方程为x^2 + 4y^2 - x - 3 = 0, 则曲线L在点(1, -1/2)处的切线的斜率为______.A. 3.B. -1/2.C. 2/3.D. -3/4.答案：D. -3/4.三、解答题1. 设数列{a_n}满足a_1 = 2, a_{n+1} - 3a_n = -4(n∈N*), 求a_n的通项公式.解：根据题目给出的递推式a_{n+1} - 3a_n = -4，我们可以写出a_{n+1} = -4 + 3a_n。

- ⎪ - ⎪ - ⎪ 1 2 22 全国硕士研究生入学统一考试数一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.) (1)【答案】 1.3【分析】利用 x → 0 的等价变换和洛必达法则求函数极限. 【详解】 方法1： lim⎛ 1 1 ⎫ = lim tan x - x 2 tan x x l imtan x - x 3 x →0 ⎝ x x tan x ⎭ x →0 x tan xx →0 x洛lims ec 2 x -1 2= lim t an 2 x 2 t an x x limx 2 1 2 = x →03xx →0 3x x → 0 3x 3 方法2： lim ⎛ 1 1 ⎫ = lim ⎛ 1 cos x 2 ⎫ = lim sin x - x cos x 2 x →0 ⎝ x x tan x ⎭ x →0 ⎝ x x s in x ⎭ x →0 x sin xsin x x lim sin x - x cos x 洛limcos x - cos x + x sin x = lim sin x = 1x →0 x3 x →0 3x 2 x →0 3x 3 (2)【答案】s in x 2【分析】欲求d⎰bϕ( x , t )dt ，唯一的办法是作变换，使含有ϕ(x , t ) 中的 x “转移”到ϕ之外dx a【详解】令u = x - t ，则 dt = -du ，所以有d⎰ xsin(x - t )2 dt = d ⎰0 (- s in u 2 )du = d ⎰ x sin u 2 du = sin x 2dx 0 dx x dx 0(3)【答案】 y = C e-2 x+ ⎛C + 1 x ⎫ e 2 x ,其中C , C 为任意常数. 12 4 ⎪ 1 2 ⎝ ⎭【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程 y "- 4 y = 0的特征方程为：λ2- 4 = 0,解得λ = 2,λ = -2，故 y "- 4 y = 0的通解为 y = C e -2x + C e 2 x ,112由于非齐次项为 f ( x ) = e 2 x , 因此原方程的特解可设为 y * = Axe 2 x , 代入原方程可求得A = 1 ，故所求通解为 y = y + y * = C e -2 x + ⎛C+ 1 x ⎫ e 2 x41 12 4 ⎪ ⎝ ⎭(4)【详解】因为1 2 ⎛λ-1 -1 ... -1 ⎫-1 λ-1 ... -1 ⎪λE - A =⎪(对应元素相减) ... ... ... ... ⎪ -1 -1 ... λ-1⎪ ⎝ ⎭两边取行列式，λE - A =λ-1-1 ... -1λ- n -1 λ-1 ...-1 把第2，⋯，n 列λ- n -1 ... -1 λ-1 ...-1... ... ... ... 加到第1列 ...... ... ... -1-1 ... 1 λ-1-1 ... λ- n-1 2行 -1行-1 ... 1 λ-1-1 ... -1 提取第1列 λ1 λ-1 ...-1 3行-1行 0 (λ- n ) λ... 0 ( 的公因子 - n )...... ... ... ... ... ... ...= λn -1 (λ- n )1-1 ... λ-1 n 行-1行0 0 ... λ令 λE - A = λn -1(λ- n ) = 0 ，得λ = n (1重)，λ = 0((n -1)重)，故矩阵A 的n 个特征值是n 和0( (n -1)重)(5)【答案】1 4【详解】根据加法公式有P ( A B C ) = P ( A ) + P (B ) + P (C ) - P ( AC ) - P ( AB ) - P (BC ) + P ( ABC )因为 P ( A ) = P (B ) = P (C ) ，设 P ( A ) = P (B ) = P (C ) = p由于 A , B , C 两两相互独立，所以有P (AB ) = P ( A )P (B ) = p ⨯ p = p 2 ， P (AC ) = P ( A )P (C ) = p ⨯ p = p 2 ， P (BC ) = P (B )P (C ) = p ⨯ p = p 2 ，又由于 ABC = ∅ ，因此有 P (ABC ) = P (∅) = 0, 所以P ( A B C ) = P ( A ) + P (B ) + P (C ) - P ( AC ) - P ( AB ) - P (BC ) + P ( ABC )= p + p + p - p 2 - p 2 - p 2 + 0 = 3p - 3 p 2又 P (A B C ) = 9 16 ，从而 P (A B C ) = 3 p - 3 p 2= 916 ，则有3p - 3 p 2-9= 016⇒ p 2 - p + 3 16 = 0，解得 p = 3 或p = 14 4- ⎰因 P(A) =P(B) =P(C) =p <1，故 p =1，即P(A) =1 2 4 4二、选择题(1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.xf(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=⎰0f(t)dt+C,于是F(-x)=⎰0 f (t)dt +C u =-t =0f (-u)d (-u )+C.当f (x) 为奇函数时，f (-u) =-f (u) ，从而有x xF(-x)=⎰0f(u)du+C=⎰0 f (t)dt +C =F (x)即F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：f (x) =x2 是偶函数，但其原函数F (x) =1x3 +1不是奇函数，可排除(B)；3f (x) = cos2 x 是周期函数，但其原函数F (x) =1x +1sin 2x 不是周期函数，可排除(C)；2 4f (x) =x 在区间(-∞, +∞) 内是单调增函数，但其原函数F( x) =1x2 在区间(-∞, +∞)内2非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.1x 2因为 f '(0) = lim f (x) -f (0) = lim 1- cos x = lim= 0,+x→0+ 'x - 0f (x) -f (0)x→0+ x→0+x2 g(x)f (0) = limx→0- x -0= limx→0-= lim xg(x) = 0,x x→0-从而，f '(0) 存在，且f '(0) = 0 ，故正确选项为(D).(3)【答案】( C )【详解】由题设知，应先将f (x) 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，S (-5) =S (-2 -1) =S (-1) =S (1)2 2 2 2x x2x x -x x> m ⨯n 0 n ⨯m ( ) 0 0 1 ⎝ ⎭1 2 而 x = 1 是 f (x ) 的间断点，按狄利克雷定理有，2f ( 1 - 0) + f ( 1 + 0) 1 +1 1 2 2 2 3S ( ) = = = . 2 2 2 4(4)【答案】B 【详解】方法1： A 是 m ⨯ n 矩阵， B 是 n ⨯ m 矩阵，则 A B 是 m 阶方阵，因r (AB ) ≤ min [r ( A ), r (B )]≤ min (m , n ).当 m > n 时，有 r ( AB ) ≤ min[r ( A ), r (B )] ≤ n < m . ( (AB )x = 0 的系数矩阵的秩小于未知数的个数)，故有行列式 A B = 0，故应选(B). 方法 2： B 是 n ⨯ m 矩阵, 当 m > n 时, 则 r (B ) = n(系数矩阵的秩小于未知数的个数) ，方程组 B x = 0 必有非零解，即存在 x 0 ≠ 0 ，使得 B x 0 = 0 ，两边左乘 A ，得 A Bx 0 = 0 ，即A Bx = 0 有非零解，从而 AB = 0，故选(B).方法 3：用排除法⎛ 1⎫ (A) m n ，取 A = ⎪ , B = 00 , ⎝ ⎭⎛ 0 0 ⎫ AB = ⎪ ， AB = 0，(A)不成立 ⎝ ⎭ (C) n > m ，取 A = (1 0), B= ⎛ 0⎫ ,A B = 0， A B = 0，(C)不成立 m ⨯n n ⨯m⎪ ⎝ ⎭ ⎛ 1⎫(D) n > m ，取 A m ⨯n = (1 0), B n ⨯m = 0 ⎪ , A B = 1， A B = 1，(D)不成立，故选(B).(5)【答案】B【详解】 根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.因 X 和Y 相互独立，且X ~ N (0,1) ，Y ~ N (1,1) ，所以 T = X + Y ~ N (u ,σ2 ) , T = X - Y ~ N (u ,σ2 )111222其中u 1 = E ( X + Y ) ，σ2= D (X + Y ) ， u = E (X - Y ) ，σ2 = D (X - Y )由期望的性质： E (T 1) = E ( X + Y ) = EX + EY = 0 +1 = 1，E (T 2 ) = E ( X - Y ) = EX - EY = 0 -1 = -1由独立随机变量方差的性质： D (T 1) = D ( X + Y ) = DX + DY = 1+1 = 2D (T 2 ) = D ( X - Y ) = DX + DY = 1+1 = 2222 2 2 2 ⎬⎭ 2 2 2 2 2 2 2 2 2⎨ ⎬ ⎨ 所以T 1 = X + Y ~ N (1, 2) ， T 2 = X - Y ~ N (-1, 2)(一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点 出发)A 选项： P {X + Y ≤ 0} = 1 . 2因T 1 = X + Y ~ N (1, 2)由标准化的定义：若 X ~ N (u ,σ2)，则X - u~ N (0,1)σ所以，X + Y -1N (0,1) ，将其标准化有 P {X + Y ≤ 0} = P ⎧ X + Y - 1 ≤ 0 -1⎫ = P ⎧ X + Y -1≤ - 1 ⎫ ⎩ ⎭ ⎩(保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化)又因为标准正态分布图像是关于 y 轴对称，所以P ⎧ X + Y -1 ≤ 0⎫ = 1 ，而 P ⎧ X + Y - 1 ≤ - 1 ⎫ < 1，所以A 错. ⎨ ⎬ 2 ⎨ 2 ⎬ 2⎩ ⎭ ⎩ ⎭ B 选项： P {X + Y ≤ 1} = 1.2将其标准化有： P ⎧ X + Y -1 ≤ 1-1⎫ = P ⎧ X + Y -1 ≤ 0⎫ = 1(根据标准正态分布的对称性)故B 正确.⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 21C 选项： P {X - Y ≤ 0} = .2将其标准化有： P ⎧ X - Y - (-1) ≤ 0 - (-1) ⎫ = P ⎧ X - Y +1 ≤1 ⎫ > 1，故C 错.⎨ ⎬ ⎨2 ⎬ 2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭1D 选项： P {X - Y ≤ 1} = .2⎧ X - Y - (-1) 1- (-1) ⎫ ⎧ X - Y +1 2 ⎫ 1 将其标准化有： P ⎨ ≤ ⎬ = P ⎨2 2 ≤2 ⎬ > 2 ，故D 错. ⎩ ⎭ ⎩ ⎭三【详解】分别在 z = xf (x + y ) 和 F (x , y , z ) = 0 的两端对 x 求导数，得⎧ dz =f (x , y ) + x ⎛1+ dy ⎫ f '(x , y )⎪ dxdx ⎪ ⎨ ⎝ ⎭⎪F ' + F ' dy + F ' dz = 0 ⎩⎪ x y dx z dx-xf ' f + xf 'F y ' -F x ' -xf ' 1 F y ' F z '⎨y = 0⎝ ⎭L⎧-xf '(x , y ) dy + dz = f (x , y ) + xf '(x , y ) 整理后得⎪ dx dx ⎨dy dz⎪F ' + F ' = -F ' ⎪⎩ y dx 解此方程组，得z dx xdz = = ( f + xf ')F y ' - xf F ' z ' , (F ' + xf F' ' ≠ 0) dx F y ' + xf F ' z '四【详解】方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.添加从点O (0, 0) 沿 y = 0到点 A (2a ,0)的有向直线段 L 1 , 如图，则I = ⎰L + L -⎰L (e xsin y - b (x + y ) )dx + (e xcos y - ax )dy (e xsin y - b (x + y ))dx + (e xcos y - ax )dy利用格林公式，前一积分I = ⎛ ∂Q - ∂P ⎫ = (b - a )dxdy = π 2- a ) 1 ⎰⎰ ∂x ∂y ⎪dxdy ⎰⎰ a (b2 D ⎝ ⎭ D其中D 为 L 1 +L 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L 1 :⎧x = x, (0 ≤ x ≤ 2a ), ⎩ 2a2⎛π ⎫ 2 π 3可直接积分I 2 = ⎰0 (-bx )dx = -2a b ，故 I = I 1 - I 2 = 2 + 2 ⎪ a b - 2 a .方法2：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算.I = ⎰ (e x sin y - b (x + y ))dx + (e xcos y - ax )dy= ⎰ e x sin ydx + e x cos ydy - ⎰ b (x + y )dx + axdyLL前一积分与路径无关，所以e x sin ydx + e x cos ydy = e x sin y(0,0)= 0L (2a ,0)对后一积分，取 L 的参数方程1 1y z⎰⎩ π2 2 y ' ⎝ ⎭x= 0(-a b sin t - a b sin t cos t - a b sin t + a cos t + a cos ⎩ - ⎰0 = = ( ) ⎧x = a + a c os t ，则 ⎧dx = -a s in tdt ， t 从0 到π，得⎨ y = a sin t ⎨ dy = a cos tdt⎰Lb ( x + y )dx + axdy= ⎰ 2 2 2 2 3 3 2 = -2a 2b - 1 πa 2b + 1 πa 32 221 2 1 3 ⎛π ⎫ 2 π 3 从而I = 0 - (-2a b - πa b + πa 2 2 ) = + 2 ⎪ a b - a⎝ ⎭五【详解】如图，曲线 y = y (x ) 上点 P (x , y ) 处的切线方程为Y - y (x ) = y '(x )( X - x )⎛ y ⎫所以切线与 x 轴的交点为 x - , 0 ⎪⎝ ⎭由于 y '(x ) > 0, y (0) = 1, 因此 y (x ) > 0 (x > 0)1 ⎛ y ⎫ y 2于是 S 1 = 2 y x - x - y ' ⎪ = 2 y ' .又 S 2 =⎰y (t )dt ，根据题设2S 1 - S 2 = 1, y 2x2即 2y (t )dt 1,两边对 x 求导并化简得 yy " y ' 2 y '这是可降阶得二阶常微分方程，令 p = y ', 则 y ' = dp = dp dy = p dp，dx dy dx dy则上述方程可化为 y p dp = p 2 , 分离变量得 dp = dy，解得 dy p = C y , 即 C y ,dy p y1dx 1从而有 y = C e x+ C ，根据y (0) = 1, y '(0) = 1, 可得C = 1, C = 0, 1 2 1 2故所求曲线得方程为 y = e x六【详解】构造函数，利用函数的单调性， 证法1：令又f (x ) = (x 2 -1)ln x - (x -1)2. 易知 f (1) = 0f '(x ) = 2x ln x - x + 2 - 1, f '(1) = 0x f ' (x ) = 2 ln x +1+ 1, f ' (1) = 2 > 0x2 t )dt30⎩ ⎩ f ''(x ) =2(x 2 -1)x 3 可见，当0 < x < 1时， ⎧ f ''(x ) < 0；当1 < x < +∞ 时， ⎧ f ''( x ) > 0⎨ f ' (x ) ⎨ f ' (x )因此， f ' (1) = 2为 f ' (x ) 的最小值，即当0 < x < +∞ 时， f ' (x ) ≥ 以 f '(x )为单调增函数. 又因为 f '(1) = 0 ，所以有f ' (1) = 2 > 0 ，所0 < x < 1时 f '(x ) < 0 ；1 < x < +∞ 时 f '( x ) > 0，所以利用函数单调性可知， （f 1）为 f (x ) 的最小值，即 f ( x ) ≥ f (1) = 0 所以有 x > 0 时， (x 2 -1)ln x ≥ ( x -1)2.证法2：先对要证的不等式作适当变形，当 x = 1时，原不等式显然成立；当0 < x < 1时，原不等式等价于ln x ≤x -1;x +1 x -1当1 < x < +∞ 时，原不等式等价于ln x ≥ x -1 x +1;令 f ( x ) = ln x -x +1' 1 2x 2 +1则 f (x ) = - x ( x +1)2 = x ( x +1)> 0( x > 0) 又因为 f (1) = 0, 利用函数单调性可知当0 < x < 1时， f (x ) < 0,即ln x <x -1;当1 < x < +∞ 时， f ( x ) > 0,即ln x > x - 1; x +1 综上所述，当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2.x +1七【详解】建立坐标轴如图所示，解法1：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功W = W 1 + W 2 + W 3 ，其中W 1 是克服抓斗自重所作的功；W 2 是克服缆绳重力作的功；W 3 为提出污泥所作的功. 由题意知W 1 = 400N ⨯ 30m = 12000J .将抓斗由 x 处提升到 x + dx 处，克服缆绳重力所作的功为dW 2 = 缆绳每米重×缆绳长×提升高度= 50(30 - x )dx ,从而W 2 = ⎰0 50(30 - x )dx = 22500J .在时间间隔[t , t + dt ]内提升污泥需做功为2910dW 3 = (原始污泥重- 漏掉污泥重）⨯ 提升高度(3dt )= (2000 - 20t )3dt30m 将污泥从井底提升至井口共需时间 3m / s= 10s ,所以W 3 = ⎰0 3(2000 - 20t )dt = 57000J .因此，共需做功W = W 1 + W 2 + W 3 =（12000 + 22500 + 57000)J = 91500J解法2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f (x ) 包括抓斗的自重 400N , 缆绳的重力50(30 - x )N ， 污泥的重力(2000 - x⋅ 20)N ,3即 f (x ) = 400 + 50(30 - x ) + 2000 -20x = 3900 - 170x , 3 3 于是W =30 ⎛ 3900 - 170 x ⎫ dx = 3900x - 85 x 2 30= 117000 - 24500 = 91500J⎰3⎪ 3⎝⎭八【分析】先写出切平面方程，然后求ρ(x , y , z ) ，最后将曲面积分化成二重积分.【详解】点 P (x , y , z ) ∈ S ， S 在点 P 处的法向量为 n = {x , y , 2z }，设( X ,Y , Z ) 为π上任意一点，则π的方程为x ( X - x ) + y (Y - y ) + 2z (Z - z ) = 0，化简得 x X + yY + zZ =12 2 由点到平面的公式， O (0, 0, 0) 到π的距离- 1 ⎛ x 2 y 2 ⎫2 ρ(x , y , z ) = == + + z 2 ⎪⎝ 4 4⎭从而⎰⎰z dS = ⎰⎰ S ρ(x , y , z )S 用投影法计算此第一类曲面积分，将 S 投影到 x Oy 平面，其投影域为 D = {(x , y ) | x 2 + y 2≤ 2}由曲面方程知 z , y ) ∈ D , 于 是∂z =∂x, ∂z =∂y11SS4 ⎰ - = - n0 0 1因此 dS =σ=σ故有⎰⎰ z dS = ⎰⎰z ρ(x , y , z )1222π22=3π =⎰⎰ (4 - x D- y )d σ极坐标 4⎰0d θ⎰0(4 - r )rdr.21 1 π1π九【详解】(1) 因为(a + a ) = 4 tan n x (1+ tan 2 x )dx = 4tan n x sec 2 xdxnnn + 2n ⎰0n ⎰0又由部分和数列= 1 4 tan nxd tan xn 0 tan x = t= n 1 t n dt = 0 1 n (n +1)S = ∑1(a + a ) = ∑ 1= ∑n 1 1 1 () 1 , i =1 iii + 2i =1 i (i +1)i =1 i i +1n +1 有l im S = 1, n →∞因此∑ n =11(a n n + a n + 2 ) = 1. (2) 先估计 a n 的值，因为πa n = ⎰ 4t an nxdx ，令t = tan x ，则 dt = s ec 2xdx ，即 dx =dt1+ t 21 t n 1 n 1所以 a n = ⎰01+ t 2< ⎰0 t dt =n + , 所以a n< n λ 1 < n λ(n +1) ∞1 1 , n λ+1∞a n由于λ+1 > 0，所以∑ n λ+1 收敛，从而∑ n λ也收敛.n =1n =1十【详解】根据题设， A * 有一个特征值λ，属于λ的一个特征向量为α= (-1, -1,1)T , 根据 0特征值和特征向量的概念，有 A*α= λα, 把 A = -1代入 AA * = A E 中，得 AA * = A E = -E , 则 A A *α= -E α= -α. 把 A *α=λα 代入，于是 AA*α= A λα= λA α, 即-α= λ0 Aα∞n 1 ⎰ nn πA⎡ a -1 c ⎤ ⎡-1⎤ ⎡-1⎤ ⎡ -a + 1+ c ⎤ ⎡-1⎤ 也即λ ⎢ 5b 3 ⎥ ⎢-1⎥ = - ⎢-1⎥ ， ⇒ λ ⎢ -5 - b + 3 ⎥ = - ⎢-1⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢1-c 0 -a ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣-(1- c ) - a ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎡ -a + 1+ c ⎤ 常数λ乘以矩阵⎢ -5 - b + 3 ⎥，需用λ乘以矩阵的每一个元素⎢ ⎥ 0⎢⎣-(1- c ) - a ⎥⎦⎡ -a +1+ c ⎤ ⎡ λ0 (-a +1+ c ) ⎤ ⎡-1⎤ λ ⎢ -5 - b + 3 ⎥ = ⎢ λ(-5 - b + 3) ⎥ = - ⎢-1⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣-(1- c ) - a ⎥⎦ ⎢⎣λ[0 -(1- c ) - a ]⎦⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦矩阵相等，则矩阵的对应元素都相同，可得⎧λ0 (-a +1+ c ) = 1 (1) ⎪λ(-5 - b + 3) = 1 (2) ⎨ 0 ⎪λ(-1+ c - a ) = -1 (3)⎩ 0因 A = -1 ≠ 0 ， A 的特征值λ≠ 0 ， A * 的特征值λ*=≠ 0，故λ ≠ 0λ由(1),(3)两式得λ0 (-a +1+ c ) = -λ0 (-1+ c - a )， 两边同除λ0 ，得-a +1 + c = -(-1+ c - a )整理得 a = c ，代入(1)中，得λ0 = 1. 再把λ0 = 1代入(2)中得b = -3 又由 A = -1， b = -3 以及 a = c ，有a-1 a-1 aa - 1 aA = 5 1- a -3 3 0 -a -3 3 -1 0 2 3 0 0按第3行展开(-1)3+1 a -1 a (其中(-1)3+1 的指数3，1分别是1的行数和列数) 2 3 = 3(a -1) - 2a = a - 3 = -1故 a = c = 2, 因此 a = 2, b = -3, c = 2,λ0 =1.十一【详解】“必要性”. 设 B TAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有x T (B T AB )x > 0, 即(Bx )TA (Bx ) > 0, 于是，B x ≠ 0 ，即对任意的实n 维列向量 x ≠ 0 ，都有 Bx ≠ 0 . (若 Bx = 0 ，则 A (Bx ) = A 0 = 0矛盾). 因此，Bx = 0 只有零解，故有 r (B ) = n ( Bx = 0有唯一零解的充要条件是 r (B ) = n ).“充分性”. 因 A 为 m 阶实对称矩阵，则 A T= A ，故(B TAB)T= B T A T B = B T AB , 根据实对称矩阵的定义知 B TAB 也为实对称矩阵. 若 r (B ) = n ，则线性方程组 Bx = 0 只有零解， 从而对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有 B x ≠ 0 . 又 A 为正定矩阵，所以对于 B x ≠ 0 有(Bx )T A (Bx ) = x T (B T AB )x > 0,x T (B T AB )x > 0).故 B TAB 为正定矩阵(对任意的实n 维列向量 x ≠ 0 ，有十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义：p i ⋅ = P {X = x i } = ∑ P {X = x i , Y = y j } = ∑ p ij , i = 1, 2,jjp j = P {Y = y j }= ∑ P {X = x i ,Y = y j }= ∑ p ij , j = 1, 2,ii(通俗点说就是在求关于 X 的边缘分布时，就把对应 x 的所有 y 都加起来，同理求关于Y 的边缘分布时，就把对应 y 的所有 x 都加起来)故 P {Y = y 1} = p ⋅1 =∑ P {X = x i,Y = y 1} = ∑ pi 1 即iiP {Y = y 1} = P {X = x 1 ,Y = y 1}+ P {X = x 2 ,Y = y 1}而由表知 P {Y = y } = 1 ， P {X = x ,Y = y } = 1，所以1 62 18P {X = x ,Y = y } = P {Y = y }- P {X = x ,Y = y } = 1 - 1 = 11 1 12 1又根据 X 和Y 相互独立，则有：6 8 24P {X = x i ,Y = y j } = P {X = x i } P {Y = y j } 即 p i j = p i ⋅ p ⋅ j1 1因 P {X = x 1,Y = y 1} = ， P {Y = y 1} = ，而P {X = x 1,Y = y 1 } = P {X = x 1 }P {Y = y 1 }24 61所以 P {X = x } = P {X = x 1,Y = y 1} = 24 = 1P {Y = y 1}146再由边缘分布的定义有P {X = x 1} = P {X = x 1 ,Y = y 1} + P {X = x 1 ,Y = y 2} + P { X = x 1 ,Y = y 3}所以P {X = x 1,Y = y 3 } = P {X = x 1}- P {X = x 1 ,Y = y 1}- P {X = x 1 ,Y = y 2 }11 = 1 - 1 - 1 = 1 4 24 8 12又由独立性知 P {X = x 1 ,Y = y 3} = P {X = x 1} P {Y = y 3}1所以P {Y = y } = P {X = x 1,Y = y 3 } = 12 =13P {X = x }1 3 4由边缘分布定义有 P {Y = y 3} = P {X = x 1 ,Y = y 3 }+ P {X = x 2 ,Y = y 3 } 所以P {X = x ,Y = y } = P {Y = y }- P {X = x ,Y = y } = 1 - 1 = 12 3 3 1 33 12 4再由∑ p = 1，所以 P {X = x } = 1- P {X = x } = 1- 1 = 3i ⋅ 2 1i而 P {X = x 2} = P {X = x 2 ,Y = y 1}+ P {X = x 2 ,Y = y 2 }+ P {X = x 2 ,Y = y 3 } 故P {X = x 2 ,Y = y 2 } = P {X = x 2 }- P {X = x 2 ,Y = y 1}- P {X = x 2 ,Y = y 3 }= 3 - 1 - 1 = 34 8 4 8又∑ p = 1，所以 P {Y = y } = 1- P {Y = y } - P {Y = y } = 1- 1 - 1 = 1j j所以有：2 1 36 3 2十三【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故 只需要用样本矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)(1) 矩估计：由期望的定义：+∞θ6xθ 6x 2 6x 3 E ( X ) = ⎰-∞ xf (x )dx = ⎰0 x θ3 (θ- x )dx = ⎰0 ( θ2- )dx θ3 6 θ 26θ 36 θ36 θ43θ θθ2 ⎰x dx -θ3 ⎰x dx = θ2- 3 θ3= 2θ- = 4 2 2=4 4= n ∑ ⎰- 1 n样本均值 X i =1X i ，用样本均值估计期望有 E X = X ， 即θ= X , 2解得θ的矩估计量θ = 2 X(2) 由随机变量方差的性质： D (cX ) = c 2D ( X ) ，所以D (θ ) = D (2 X ) = 4D ( X ) 又由独立随机变量方差的性质：若 X 和Y 独立，则D (X + Y ) = DX + DY因 X 1, X 2 ,⋅⋅⋅, X n 是取自总体 X 的简单随机样本，所以 X 1, X 2 ,⋅⋅⋅, X n 独立且 X 1, X 2 ,⋅⋅⋅, X n与 X 服从同一分布，即 DX i = DXi = 1, 2, n 1 n 1 n1 n 1 n而 D ( X ) = D ( n ∑ X i ) = n 2 D (∑ X i ) = n 2 ∑ D ( X i ) = n 2 ∑ D ( X )i =1 i =1 i =1 i =1= 1 n 2D ( X )∑ i =11 = n n 2D ( X ) = 1 D ( X ) n 方差的定义：D ( X ) =E ( X 2 ) -[E ( X )]2，所以求方差只需要求出E (X 2 ) 和 E ( X ) 根据二阶原点矩的定义： E ( X 2) = +∞ x 2f (x )dx-∞+∞θ6x 3θ6x 3 6x 46θ2 故E ( X 2 ) = ⎰ x 2f (x )dx = ⎰ (θ- x )dx = ( 3 ⎰ 2 )dx =-∞ 0 θ θ0 θ θ 20而 E ( X ) = ，所以226θ2⎛θ⎫2 θ2 D ( X ) = E ( X 2) - [E ( X )] = - ⎪ =20 ⎝ 2 ⎭ 204 θ2因此θ= 2 X 的方差为 D (θ) = D (2 X ) = 4D ( X ) = D ( X ) = .n 5n3 n。