2009年-2015年mba联考数学真题

2009年联考MBA 联考真题—综合试卷一、问题求解（本大题共15题，每小题3分，共45分。

在下列每题给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的。

请在答题卡．．．上将所选的字母涂黑。

） 1．一家商店为回收资金把甲乙两件商品均以480元一件卖出。

已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（A ）不亏不赚 （B ）亏了50元 （C ）赚了50元 （D ）赚了40元 （E ）亏了40元2．某国参加北京奥运会的勇女运动员比例原为19:12，由于先增加若干名女运动员．使男女运动员比例变为20:13．后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员比例．最终变为30:19．如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则最后运员的总人数为（ ）。

（A ）686 （B ）637 （C ）700 （D ）661 （E ）6003．某工厂定期购买一种原料，已知该厂每天需用该原料6吨，每吨价格1800元．原料的保管等费用平均每吨3元，每次购买原料支付运费900元，若该厂要使平均每天支付的总费用最省，则应该每（）天购买一次原料。

（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 （E ）74．在某实验中，三个试管各盛水若千克。

现将浓度为12%的盐水10克倒入A 管中，混合后，取10克倒入口管中，混合后再取10克倒入C 管中，结果 A ，B ，C 三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、0.5%，那么三个试管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是（A ）A 试管，10克 （B ）B 试管，20克 （C ）C 试管，30克（D ）B 试管，40克 （E ）C 试管，50克5．一艘轮船往返航行于甲、乙两码头之间，着船在静水中的速度不变，则当这条河的水流速度增加50%时，往返一次所需的时间比原来将( )．（A ）增加 （B ）减少半个小时 （C ）不变 （D ）减少1个小时 （E ）无法判断6．方程214x x -+=的根是（ ）。

1997年全国在职攻读工商管理硕士学位入学考试数学试题（本试卷满分为100分，考试时间为180分钟）一、选择题：本大题共20个小题，每小题2.5分,共50分。

1．若某人以1000元购买A 、B 、C 三种商品，且所有金额之比是1∶1.5∶2.5,则他购买A 、B 、C 三种商品的金额（单位：元）依次是A. 100, 300, 600B. 150, 225, 400C. 150, 300, 550D.200, 300, 500E. 200, 250, 5502. 某地连续举办三场国际商业足球比赛, 第二场观众比第一场少了80%, 第三场观众比第二场减少了50%,若第三场观众仅有2500人, 则第一场观众有A. 15000人B. 20000人C. 22500人D. 25000人E. 27500人3. 用一条绳子量井深, 若将绳子折成三折来量, 井外余绳4尺, 折成4折来量, 井外余绳1尺, 则井深是A. 6 尺B. 7尺C. 8尺D. 9尺E. 12尺4. 银行的一年期定期存款利率为10%, 某人于1991年1月1日存入1000元, 1994年1月1日取出, 若按复利计算, 他取出时所得的本金和利息共计是A. 10300元B.10303元C. 13000元D. 13310元E. 14641元 5. 某商品打九折会使销售增加20%, 则这一折扣会使销售额增加的百分比是 A. 18% B. 10% C. 8% D. 5% E. 2%的值是则的几何平均值是的两个实根，若是方程a x x a x x x x ,311076,.621221+=+-A. 2B. 3C. 4D. –2E. –35)23.(7x -的二项展开式中, 3x 的系数是A. –540B. –720C. –160D. 540E. 720 15. 函数xy 4=的一阶导数是A. x4 B. 14-x x C. x xln 4 D. 4ln 4x E. 4ln 4x16. 由方程xy e y=所确定的函数)(x y y =的导数'y 是A. x e y y -B. xe yy + C. y e x y - D. y e x y + E. y x e y -17.=⎰dx xf )3(63' A. )1()2(f f - B. [])1()2(3f f - C. [])1()2(31f f - D.[])1()2(31""f f - E. [])1()2(3""f f - 19. 若A 是3阶矩阵, 且TT A A A +=则,3=A. 6B. 2/3C. 24D. 12E. 9二、计算题：本大题共12小题，前10题每小题4分，后2题每小题5分，共计50分 。

MBA联考数学真题2015年一、问题求解下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一个选项符合试题要求．1. 若实数a，b，c满足a:b:c=1:2:5，且a+b+c=24，则a2+b2+c2=______．•A.30•B.90•C.120•D.240•E.270E[解析] 考查比例问题．设a=k，则根据题意则a2+b2+c2=32+62+152=270故本题正确选项为E．2. 某公司共有甲、乙两个部门，如果从甲部门调10人到乙部门，那么乙部门人数是甲部门的2倍，如果把乙部门员工的调到甲部门，那么两个部门的人数相等．该公司的总人数为______．•A.150•B.180•C.200•D.240•E.250D[解析] 考查二元一次方程的应用求解．设甲部门有x人，乙部门有y人，则由题意知因此该公司一共有x+y=90+150=240人．故本题正确选项为D．3. 设m，n是小于20的质数，则满足条件|m-n|=2的{m，n}共有______．•A.2组•B.3组•C.4组•D.5组•E.6组C[解析] 由于20以内的质数只有2，3，5，7，11，13，17，19，那么能满足题干条件的|m-n|=2的{m，n}只能为{3，5}，{5，7}，{11，13}，{17，19}，一共4组．故本题正确诜项为C．4. 如下图，BC是半圆的直径，且BC=4，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为______．A．B．C．D．E．A[解析] 如题图，连接OA，O为圆心．由题干知道∠ABC=30°，那么必定有∠ABC=∠BAO=30°，因此∠AOB=180°-∠ABC-∠BAO=120°，所以．故本题正确选项为A．5. 某人驾车从A地赶往B地，前一半路程比计划多用45分钟，平均速度只有计划的80%．若后一半路程的平均速度为120千米/小时，此人还能按原定时间到达B地．A、E两地的距离为______．•A.450千米•B.480千米•C.520千米•D.540千米•E.600千米D[解析] 设A、B两地的距离为s千米，原计划速度为v千米/小时，则根据题意得因此A、B两地距离为540千米．故本题正确选项为D．6. 在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩分别为80、81和81.5分，三个班的学生得分之和为6952分，三个班共有学生______．•A.85名•B.86名•C.87名•D.88名•E.90名B[解析] 设甲、乙、丙三个班共有学生x名，根据题意知道三个班的平均成绩分别为80，81和81.5分，即三个班的平均成绩不等，那么必定存在有80＜三个班平均分＜81.5，即存在x必须取二者中之整数，即86，所以三个班共有学生86名．故本题正确选项为B．7. 有一根圆柱形铁管，管壁厚度为0.1米，内径为1.8米，长度为2米，若将该铁管熔化后浇铸成长方体，则该长方体的体积为(π=3.14)______立方米．•A.0.38•B.0.59•C.1.19•D.5.09•E.6.28C[解析] 由题干可知，圆柱形管铁管的壁厚度为0.1米，内径为1.8米，那么该圆柱形铁管的整个直径为0.1×2+1.8=2米；又知圆柱形铁管熔化后浇铸成长方体，那么长方体的体积应该等于圆柱形铁管的体积，结合V圆柱体=πr2h，由题意可得．故本题正确选项为C．8. 如下图，梯形ABCD的上底与下底分别为5，7，E为AC与BD的交点，MN过点E且平行于AD，则MN=______．A．B．C．D．E．C[解析] 由题干可知，由于ABCD为梯形，MN过点E且平行于AD，那么△ADE∽△CBE，，则又∵△BME∽△BAD，则又∵△DNE∽△DBC，则因此故本题正确选项为C．9. 若直线y=ax与圆(x-a)2+y2=1相切，则a2=______．A．B．C．D．E．E[解析] 考查直线与圆的位置关系．由题干圆(x-a)2+y2=1可知，该圆的圆心为(a，0)，半径为1，结合题意可得：故本题正确选项为E．10. 设点A(0，2)和B(1，0)，在线段AB上取一点M(x，y)(0＜x＜1)，则以x，y为两边长的矩形面积的最大值为______．A．B．C．D．E．B[解析] 本题考查最值问题．根据题意可知，A、B所在的直线方程为：设以x，y为两边长的矩形面积为S，那么S=xy方法一：由于y=2-2x，那么S=xy=x(2-2x)=-2x2+2x根据二次函数取最值的条件可知，当时，S有最大值，即方法二：由于y=2-2x，那么y+2x=2结合均值定理可得到即矩形面积故本题正确选项为B．11. 已知x1，x2是方程x2-ax-1=0的两个实根，则______．•A.a2+2•B.a2+1•C.a2-1•E.a+2A[解析] 考查韦达定理．根据韦达定理，结合题干可知x1+x2=a，x1·x2=-1则故本题正确选项为A．12. 一件工作，甲、乙两人合作需要2天，人工费2900元，乙、丙两个人合作需要4天，人工费2600元，甲、丙两人合作2天完成全部工作量的，人工费2400元，则甲单独完成这件工作需要的时间与人工费为______．•A.3天，3000元•B.3天，2580元•C.4天，3000元•D.4天，3000元•E.4天，2900元A[解析] 考查工程问题．设甲、乙、丙三人单独完成此工作分别需要x、y、z天，所需费用为分别为a元/天、b元/天、c元/天，则结合题意可得到如下两组关系：因此甲单独完成此项工作需要3天，人工费为3a=3×1000=3000元．故本题正确选项为A．13. 某新兴产业在2005年末至2009年末产值的年平均增长率为q，在2009年末至2013年末产值的年平均增长率比前年下降了40%，2013年末产值约为2005年产值的14.4(≈1.954)倍，则q为______．•A.30%•B.35%•D.45%•E.50%E[解析] 本题考查百分比．设2005年的产值为a，则结合题干可知2009年末的产值为a(1+q)42013年末的产值为a(1+q)4[1+(1-40%)q]4=a(1+q)4(1+0.6q)4由题干知2013年末产值约为2005年产值的14.4(≈1.954)，则可得到a(1+q)4(1+0.6q)4≈a·1.954(1+q)(1+0.6q)=1.95整理后可得：不合题意，舍去，故只有，符合题意故本题正确选项为E．14. 某次网球比赛的四强对阵为甲对乙，丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军，选手之间相互获胜的概率如下表：甲乙丙丁甲获胜概率0.30.30.8乙获胜概率0.70.60.3丙获胜概率0.70.4丁获胜概率0.20.70.5甲获得冠军的概率为______．•A.0.165•B.0.245•C.0.275•D.0.315•E.0.330A[解析] 若甲获得冠军，那么只有两种情况：(1)甲胜乙，丙胜丁，最后甲胜丙；(2)甲胜乙，丁胜丙，最后甲胜丁．所以有p=p(甲、丙)+p(甲、丁)=0.3×0.5×0.3+0.3×0.5×0.8=0.165．故本题正确选项为A．15. 平面上有5条平行直线与另一组n条平行直线垂直，若两组平行直线共构成280个矩形，则n=______．•A.5•B.6•C.7•D.8•E.9D[解析] 根据题意可知，．故本题正确选项为D．二、条件充分性判断A、B、C、D、E五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断．•A.条件(1)充分，但条件(2)不充分．•B.条件(2)充分，但条件(1)不充分．•C.条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分．•D.条件(1)充分，条件(2)也充分．•E.条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．1. 已知p，q为非零实数，则能确定的值．(1)p+q=1．(2)．B[解析] 本题可以采取灵活的方法来判断．方法一：直接计算法由条件(1)p+q=1p=1-q则，无法确定的值，故条件(1)不充分．由条件(2)则，可以确定的值，故条件(2)充分．方法二：数字代入法条件(1)中，取p=1，由条件(1)p+q=1q=1-p=1-1=0则没有意义，故条件(1)不充分．条件(2)中，取p=2，由条件(2)则，可以确定的值，故条件(2)充分．因此，条件(1)不充分，条件(2)充分．故本题的正确选项为B．2. 信封中装有10张奖券，只有1张有奖．从信封中同时抽取2张奖券，中奖的概率为P；从信封中每次抽取1张奖券后放回，如此重复抽取n次，中奖的概率为Q，则P＜Q．(1)n=2．(2)n=3．B[解析] 由题意可知，从信封中同时抽取2张奖券的中奖概率为：由条件(1)n=2时，中奖概率，则P＞Q，故条件(1)不充分．同理推条件(2)．由条件(2)n=3时，中奖概率故条件(2)充分．因此，条件(1)不充分，条件(2)充分．故本题的正确选项为B．3. 圆盘x2+y2≤2(x+y)被直线L分成面积相等的两部分．(1)L：x+y=2．(2)L：2x-y=1．D[解析] 结合圆的特性，当直线L将该圆分成面积相等的两部分时，该结论等价于直线L过x2+y2=2(x+y)的圆心，即圆心在直线L上．该圆的标准方程为：(x-1)2+(y-1)2=2，所以圆心坐标为(1，1)．条件(1)L：x+y=2，经过点(1，1)．条件(2)L：2x-y=1，经过点(1，1)．因此，条件(1)充分，条件(2)也充分．故本题的正确选项为D．4. 已知a，b为实数，则a≥2或b≥2．(1)a+b≥4．(2)ab≥4．A[解析] 由题干知a，b为实数，那么条件(1)：假设a＜2且b＜2，则有a+b＜4，所以如果a+b≥4，则必定存在a≥2或b≥2，故条件(1)充分．条件(2)：取a=-2，b=-3，则有ab≥4，但无法推断出a≥2或b≥2，故条件(2)不充分．因此，条件(1)充分，条件(2)不充分．故本题的正确选项为A．5. 已知：M=(a1+a2+…+a n-1)(a2+a3+…+a n)N=(a1+a2+…+a n)(a2+a3+…+a n-1)则M＞N：(1)a1＞0．(2)a1a n＞0．B[解析] 设X=a1+a2+…+a n-1，Y=a2+a3+…+a n-1，则有M=X·(Y+a n)N=(X+a n)·Y那么M-N=X·(y+a n)-(X+a n)·Y=XY+Xa n-XY-Ya n=(X-y)a n①X-Y=(a1+a2+…+a n-1)-(a2+a3+…+a n-1)=a1②结合①和②，可得M-N=(X-Y)a n=a1a n＞0因此，条件(1)不充分，条件(2)充分．故本题的正确选项为B．6. 已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，S是{a n}的前n项和，则S n≥S10，n=1，2，…．(1)a10=0．(2)a11·a10＜0．D[解析] 由题干可知S n=S10+(a11+a12+…)≥S10S n-S10=a11+a12+…≥0已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，那么d＞0由条件(1)，，所以必然有a11+a12+…≥0，即条件(1)充分．由条件(2)，，所以也必然有a11+a12+…≥0，即条件(2)也充分．因此，条件(1)充分，条件(2)也充分．故本题的正确选项为D．7. 设{a n}是等差数列，则能确定数列{a n}．(1)a1+a6=0．(2)a1a6=-1．E[解析] 由条件(1)，a1+a6=a1+(a1+5d)=2a1+5d=0，不能唯一确定数列{a n}，所以条件(1)不充分．由条件(2)，a1a6=a1·(a1+5d)=-1，不能唯一确定数列{a n}，所以条件(2)也不充分．将条件(1)和条件(2)联合起来，即有或，由此也不能唯一确定数列{a n}．因此，条件(1)单独不充分，条件(2)单独不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．故本题的正确选项为E．8. 设半径为r，高为h的圆柱体表面积为S1，半径为R的球体表面积为S2，则S1≤S2．(1)(2)C[解析] 由题干可知，S1=2πrh+2πr2S2=4πR2由条件(1)，，并不能由此推断出4R2≥2rh+2r2．由条件(2)，显然可以看出不充分．现将条件(1)和条件(2)联合，即那么必然可以得到r2+2rh+h2≥r2+2rh+r2=2r2+2rh即满足4R2≥r2+2rh+h2≥2rh+2r2因此，条件(1)单独不充分，条件(2)单独不充分，条件(1)和条件(2)联合起来充分．故本题的正确选项为C．9. 已知x1，x2，x3为实数，为x1，x2，x3的平均值，则，k=1，2，3．(1)|x k|≤1，k=1，2，3．(2)x1=0．C[解析] 用数字代入法验证．条件(1)，取，x2=1，x3=-1，那么显然无法满足，k=1，2，3，因此条件(1)不充分．条件(2)显然不充分．现将条件(1)和条件(2)联合，即，那么，若x2=1，x3=-1,则成立；同理可得成立．因此，条件(1)单独不充分，条件(2)单独不充分，条件(1)和条件(2)联合起来充分．故本题的正确选项为C．10. 几个朋友外出游玩，购买了一些瓶装水，则能确定购买的瓶装水数量．(1)若每人分3瓶，则剩余30瓶．(2)若每人分10瓶，则只有一个人不够．C[解析] 很显然，条件(1)和条件(2)单独都不充分，无法确定购买的瓶装水数量．那么将条件(1)和条件(2)联合，设共有x个人，有一个人得到了y瓶水(1≤x≤y)，则有由于人数x和其中一个人得到的瓶装水数量y都必须是正整数，那么可以推出只有当x=5，y=5时，y=40-7x成立，即一共有5人，所购买的瓶装水数量为3x+30=3×5+30=45瓶．因此，条件(1)单独不充分，条件(2)单独不充分，条件(1)和条件(2)联合起来充分．故本题的正确诜项为C．。

2009年10月在职攻读工商管理硕士学位全国联考综合能力数学试题一.问题求解（第15~1小题，每小题3分，共45分，下例每题给 出A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑）1. 已知某车间的男工人数比女工人数多80%,若在该车间的一次技术考核中全体工人的平均成绩为75分,而女工平均成绩比男工平均成绩高20%,则女工平均成绩为（）分。

（A ）88 （B ）86 （C ）84 （D ）82 （E ）80[点拨]未知量设少的一方容易计算。

解：设女工人数为x ，男工平均成绩为y ，则842.170758.18.12.1=⇒=⇒=+⨯+⨯y y xx x y x y ，选（C ）。

2.某人在市场上买猪肉，小贩称得肉重为4斤，但此人不放心，拿出一个自备的100克重的砝码，将肉与砝码一起让小贩用原秤复称，结果重量为25.4斤，由此可知顾客应要求小贩补猪肉（）两（A ）3 （B ）6 （C ）4 （D ）7 （E ）8[点拨]比例问题，但应先化为同一计量单位。

解：32405.22=⇒=x x ，应要求小贩补猪肉83240=-两。

选（E ）。

3. 甲、乙两商店某种商品的进价都是200元，甲店以高于进价20%的价格出售，乙店以高于进价15%的价格出售，结果乙店的售出件数是甲店的两倍，扣除营业税后乙店的利润比甲店多5400元。

若营业税率是营业额的5%，那么甲、乙两店售出该商品各为（）件（A ）450，900 （B ）500，1000 （C ）550，1100（D ）600，1200 （E ）650，1300[点拨]直接设甲店售出件数，在利用利润差。

解：设甲店售出x 件，则甲店的利润为 x x x 28%52.12002.0200=⨯⨯-⨯， 乙店的利润为 x x x 37%5215.1200215.0200=⨯⨯⨯-⨯⨯，60054002837=⇒=-x x x 。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A . ()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ， （拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A . ()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B ⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆 1111000066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002B B AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以 切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x xn e nx nenx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e =.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数，是矩阵T αβ的对角元素之和，则T 2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )lim sin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim lim sin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. 【解析】t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln1412(1)1ln(1211ln(122t tdx Ct t tx Cx x C+++=+-+--+=++-+=+++⎰（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy=+-，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yfxzf f xfy∂'''=++∂∂'''=-+∂12312321112132122233313233 31122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z zdz dx dyx yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f xx yf f f xyf x y f x y f∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂''''''''''''''''''' =⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x= ()0x≥满足微分方程20xy y'''-+=，当曲线()y y x= 过原点时，其与直线1x=及0y=围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程20xy y'''-+=得其通解212122,y C x C x C C=++其中，为任意常数又因为()y y x=通过原点时与直线1x=及0y=围成平面区域的面积为2，于是可得1C=111223222002()(2)()133C Cy x dx x C x dx x x==+=+=+⎰⎰从而23C=于是，所求非负函数223(0)y x x x=+ ≥又由223y x x=+ 可得，在第一象限曲线()y f x=表示为11)3x=（于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-，其中5522100511)9(2393918V x dy dyy dy ππππ==⋅=+-=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. 【解析】由题意，当0x π-<<时，'xy y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又(y =代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=， 故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续 又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=， 当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为0cos sin ,0x y x x x x πππ⎧-<<=⎨-+-≤<⎪⎩或0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f fx ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为3()sin x x f x xπ-=(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-(A)，. （B ），. 1a =16b =-1a =16b =(C)，. （D ），.1a =-16b =-1a =-16b =（3）使不等式成立的的范围是1sin ln x tdt x t>⎰x (A).(B). (C).(D).(0,1)(1,2π(,)2ππ(,)π+∞（4）设函数在区间上的图形为()y f x =[]1,3-则函数的图形为()()0xF x f t dt =⎰(A)(B)(C)(D)（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==阵的伴随矩阵为O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭(A).(B). **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭(C).(D).**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若，则为1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+TQ AQ (A).(B).210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C). (D).200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设事件与事件B 互不相容，则A (A). (B). ()0P AB =()()()P AB P A P B =(C).(D).()1()P A P B =-()1P A B ⋃=（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为X Y X (0,1)N Y ，记为随机变量的分布函数，则函数1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z的间断点个数为(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）.0x →=（10）设，则.()y xz x e =+(1,0)zx ∂=∂（11）幂级数的收敛半径为 .21(1)n n nn e x n ∞=--∑（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为()Q Q P =P 0.2p ξ=10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.（13）设,，若矩阵相似于，则.(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=Tαβ300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k = (14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样1X 2X n X (,)B n p X 2S 本均值和样本方差，记统计量，则.2T X S =-ET =三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值.()22(,)2ln f x y xy y y =++（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .ln(1dx +⎰(0)x >（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则()f x [],a b (),a b ，得证.(),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且()f x 0x =()0,,(0)σσ>，则存在，且.'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线()y f x =()f x ()0f x >()y f x =及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯0,1y x ==(1)x t t =>x 形面积值的倍，求该曲线的方程.t π（20）（本题满分11 分）设,.111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足，的所有向量，.21A ξξ=231Aξξ=2ξ3ξ（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ（21）（本题满分11 分）设二次型.2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.f （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.f 2211y y +a （22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为(,)X Y 0(,)0xe y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度；()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率.11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、X 、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.Y Z （Ⅰ）求；10P X Z ⎡==⎤⎣⎦（Ⅱ）求二维随机变量的概率分布.(,)X Y 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为3()sin x x f x xπ-=(A)1. (B)2. (C)3.(D)无穷多个.【答案】C. 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当取任何整数时，均无意义x ()f x 故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解()f x 30x x -=1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个，即0,1±（2）当时，与是等价无穷小，则0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-(A)，. （B ），. 1a =16b =-1a =16b =(C)，.（D ），.1a =-16b =-1a =-16b =【答案】A.【解析】为等价无穷小，则2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛 故排除(B)、(C).230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅36a b ∴=-另外存在，蕴含了故排除(D).201cos lim3x a axbx →--1cos 0a ax -→()0x → 1.a =所以本题选(A).（3）使不等式成立的的范围是1sin ln xtdt x t>⎰x (A).(B). (C).(D).(0,1)(1,2π(,)2ππ(,)π+∞【答案】A.【解析】原问题可转化为求成立时的111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t--==>⎰⎰x 取值范围，由，时，知当时，.故应选(A).1sin 0tt->()0,1t ∈()0,1x ∈()0f x >（4）设函数在区间上的图形为()y f x =[]1,3-则函数的图形为()()0xF x f t dt =⎰(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、()y f x =x y 所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：0x x =()F x ①时，，且单调递减.[]0,1x ∈()0F x ≤②时，单调递增.[]1,2x ∈()F x ③时，为常函数.[]2,3x ∈()F x ④时，为线性函数，单调递增.[]1,0x ∈-()0F x ≤⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==阵的伴随矩阵为O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭(A).(B). **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭(C).(D).**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B.【解析】根据，若CC C E *=111,C C C CC C*--*==分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（）1111661O B BO A O A O A O B B O B O B O AO A O A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B AO A O ****⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为(B).（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若，则为1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+TQ AQ (A).(B).210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C). (D).200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A.【解析】，即：122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（7）设事件与事件B 互不相容，则A (A).(B). ()0P AB =()()()P AB P A P B =(C).(D).()1()P A P B =-()1P A B ⋃=【答案】D.【解析】因为互不相容，所以,A B ()0P AB =(A)，因为不一定等于1，所以(A)不正确.()()1()P AB P A B P A B ==- ()P A B (B)当不为0时，(B)不成立，故排除.(),()P A P B (C)只有当互为对立事件的时候才成立，故排除.,A B(D)，故(D)正确.()()1()1P A B P AB P AB ==-= （8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为X Y X (0,1)N Y ，记为随机变量的分布函数，则函数1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z 的间断点个数为（ ）(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.【答案】 B.【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==1[(0)(1)]21[(00)(1)]2P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=独立,X Y 1()[(0)()]2Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤（1）若，则0z <1()()2Z F z z =Φ（2）当，则0z ≥1()(1())2Z F z z =+Φ为间断点，故选(B).0z ∴=二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）.0x →=【答案】.32e 【解析】.00x x →→=02(1cos )lim13x e x x→-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =（10）设，则.()y xz x e =+(1,0)zx ∂=∂【答案】.2ln 21+【解析】由，故()xy z x e=+()(),01xz x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣⎦代入得，.1x =()ln 21,01ln 22ln 212z e x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭（11）幂级数的收敛半径为 .21(1)n n nn e x n ∞=--∑【答案】.1e【解析】由题意知，()210nn n e a n--=>()()()()111122122111()11111n n n n n nn n nn e e ea n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞⎡⎤+--+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，该幂级数的收敛半径为1e（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为()Q Q P =P 0.2p ξ=10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.【答案】8000.【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+因为，所以0.2p Q PQξ'==-0.2Q P Q '=-所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+=将代入有.10000Q =()8000QP '=（13）设,，若矩阵相似于，则.(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=Tαβ300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k =【答案】2.【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为T αβ300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Tαβ3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.TαβT αβ1300k ∴+=++2k ∴= (14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样1X 2X n X (,)B n p X 2S 本均值和样本方差，记统计量，则 .2T X S =-ET =【答案】2np 【解析】由.222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值.()22(,)2ln f x y xy y y =++【解析】，，故.2(,)2(2)0x f x y x y '=+=2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=10,x y e= =.2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =则，，.12(0,)12(2xxef e ''=+1(0,)0xyef ''=1(0,)yyef e ''=而0xxf ''> 2()0xy xx yy f f f ''''''-<二元函数存在极小值.∴11(0,)f e e=-（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .ln(1dx+⎰(0)x >得t =22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112(11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C +++=+-+--+=+++⎰（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥【解析】由得，22(1)(1)2x y -+-≤2(sin cos )r θθ≤+32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰.3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则()f x [],a b (),a b ，得证.(),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且()f x 0x =()0,,(0)σσ>，则存在，且.'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----()x ϕ；在闭区间上连续，在开区间内可导，且()()a b ϕϕ=()x ϕ[],a b (),a b .''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即(),a b ξ'()0ϕξ='()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取，则函数满足：在闭区间上连续，开区间内可导，0(0,)x δ∈()f x []00,x ()00,x 从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得()()000,0,x x ξδ∈⊂……()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-()*又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：()'lim x f x A +→=00x +→()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故存在，且.'(0)f +'(0)f A +=（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线()y f x =()f x ()0f x >()y f x =及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯0,1y x ==(1)x t t =>x 形面积值的倍，求该曲线的方程.t π【解析】旋转体的体积为22()()11x x t t V f dx f dxππ==⎰⎰曲边梯形的面积为：，则由题可知()1x ts f dx =⎰22()()()()1111x x x x t t t tV ts f dx t f dx f dx t f dxπππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰两边对t 求导可得 22()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =+⇒-=⎰⎰继续求导可得，化简可得''2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，解之得'1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y-=⇒+=1223t c y y-=⋅+在式中令，则，代入得 1t =2(1)(1)0,()0,(1)1f f f t f -=>∴= 1223t cyy -=+.11,2)33c t y =∴=所以该曲线方程为：.230y x +=（20）（本题满分11 分）设,.111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足，的所有向量，.21A ξξ=231Aξξ=2ξ3ξ（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭故有一个自由变量，令，由解得，()2r A =32x =0Ax =211,1x x =-= 求特解，令，得120x x ==31x = 故 ，其中为任意常数21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k解方程231Aξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令，由得231,0x x =-=20A x =11x =令，由得230,1x x ==-20A x =10x =求得特解21200η⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故 ，其中为任意常数3231102100010k k ξ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭23,k k （Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2((21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠故 线性无关. 123,,ξξξ（21）（本题满分11 分）设二次型.2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.f （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.f 2211y y +a【解析】（Ⅰ） 0101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭0110||01()1111111aa aE A a a a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--.123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则2212y y +1)若，则， ，不符题意10a λ==220λ=-<31λ=2)若 ，即，则，，符合20λ=2a =120λ=>330λ=>3)若 ，即，则 ，，不符题意30λ=1a =-110λ=-<230λ=-<综上所述，故2a =（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为(,)X Y 0(,)0x e y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦【解析】（Ⅰ）由得其边缘密度函数0(,)0x y xe f x y -<<⎧= ⎨⎩其它()0xx x x f x e dy xe x --== >⎰故 |(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x== <<即|1(|)0y x y xf y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪⎩其它（Ⅱ）[1,1][1|1][1]P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=≤而11111[1,1](,)12xxx x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-⎰⎰⎰⎰⎰()|,0x x yY yf y e dx e e y y+∞---+∞==-= >⎰11101[1]|110y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰.11122[1|1]11e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、X 、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.Y Z ①求.10P X Z ⎡==⎤⎣⎦②求二维随机变量的概率分布.(,)X Y 【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球.12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======012 XY01/41/61/36 11/31/9021/900。

数学mba联考试题及答案数学MBA联考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 某公司年销售额为500万元，预计明年增长10%，那么明年的预计销售额为：A. 550万元B. 510万元C. 540万元D. 600万元答案：A2. 一项投资的年回报率为5%，如果投资100万元，一年后的收益是多少？A. 5万元B. 10万元C. 15万元D. 20万元答案：A3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B4. 如果一个数列的前四项是2, 4, 6, 8，那么这个数列的第五项是多A. 10B. 12C. 14D. 16答案：A5. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A6. 一个公司有10个员工，如果每个员工的工作效率提高了20%，那么整体工作效率提高了百分之多少？A. 10%B. 20%C. 22%D. 25%答案：C7. 如果一个数的平方根是4，那么这个数是多少？A. 16B. 8C. 12D. 20答案：A8. 一个班级有30名学生，其中15名学生是男生，那么女生的比例是A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/5答案：A9. 一个数的立方是125，那么这个数是多少？A. 5B. 10C. 15D. 20答案：A10. 如果一个产品的成本是50元，售价是100元，那么利润率是多少？A. 50%B. 100%C. 150%D. 200%答案：B二、填空题（每题2分，共10分）11. 如果一个数的平方是36，那么这个数是________。

答案：±612. 一个直角三角形的斜边长度是13，一个直角边是5，那么另一个直角边的长度是________。

答案：1213. 一个圆的直径是14厘米，那么它的半径是________。

答案：7厘米14. 如果一个数的对数（以10为底）是2，那么这个数是________。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-= （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ）()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = . （11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2xy x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|(1('))y y ρ==+而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ， （拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23OA B O ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B ⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆11110066000100B BA A AB B BBAA A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002B B AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ）()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dydx=所以 切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = . 【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k =-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0 【解析】令sin sin cos xx x n I enxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x x n e nx ne nx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1ye x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e-=+ 对''1yy xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y yy xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e-==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2xy x =在区间(]01，上的最小值为 .【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e=. 又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21e y e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而Tβα是一个常数，是矩阵Tαβ的对角元素之和，则T2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim limsin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x →-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. 【解析】t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln1412(1)1ln(1211ln(122t tdx Ct t tx Cx x C+++=+-+--+=++-=+++⎰（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy=+-，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yfxzf f xfy∂'''=++∂∂'''=-+∂12312321112132122233313233 31122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z zdz dx dyx yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f xx yf f f xyf x y f x y f∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂''''''''''''''''''' =⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x= ()0x≥满足微分方程20xy y'''-+=，当曲线()y y x= 过原点时，其与直线1x=及0y=围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程20xy y'''-+=得其通解212122,y C x C x C C=++其中，为任意常数又因为()y y x=通过原点时与直线1x=及0y=围成平面区域的面积为2，于是可得1C=111223222002()(2)()133C Cy x dx x C x dx x x==+=+=+⎰⎰从而23C=于是，所求非负函数223(0)y x x x=+ ≥又由223y x x=+ 可得，在第一象限曲线()y f x=表示为11)3x=（于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为15V Vπ=-，其中5522100511)9(2393918V x dy dyy dyππππ==⋅=+-=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.【解析】由题意，当0x π-<<时，'x y y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又(y =代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=， 故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续 又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=， 当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为0cos sin ,0x y x x x x πππ⎧-<<=⎨-+-≤<⎪⎩或0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f fx ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x ®时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sinlim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx ®®®®®---==-×---洛洛230sin lim 166x aax a b b ax a®==-=-× 36a b \=- 故排除,B C 。

另外201cos lim 3x a axbx ®--存在，蕴含了1cos 0a ax -®()0x ®故 1.a =排D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ££被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =òò，则{}14max k k I ££=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是-1 -1 1 1 xy 1D 2D3D4D关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ³££=>òò；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy £-££=<òò.所以正确答案为A. （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =ò的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x Î时，()0F x £，且单调递减。

2009年mba数学真题答案解析MBA数学真题答案解析的MBA数学真题可谓是具有一定难度的考题，涉及到了各个数学领域的知识点。

在本文中，我们将对该年度的数学真题进行逐题解析，帮助考生更好地理解和掌握相关知识。

第一题是一道关于集合的题目。

题目给出了两个集合A和B的定义，并要求求出A和B的交集。

首先，根据集合的定义，我们可以很容易地得出A={1,3,5,7,9}，B={2,4,6,8,10}。

然后，求A和B的交集，即求出两个集合中共有的元素。

通过对比A和B的元素，我们可以发现两个集合没有共同的元素，因此，A和B的交集为空集。

第二题是一道关于函数的题目。

题目给出了函数的定义，并要求求出f(4)。

根据题目，我们可以得到函数f(x)的表达式为f(x)=2x-1。

因此，要求f(4)，只需要将x的值替换为4，然后计算出结果即可。

通过计算，我们可以得到f(4)=2*4-1=7。

第三题是一道关于排列组合的题目。

题目给出了A、B、C、D、E五个人参加比赛，并要求找出他们的排名可能性。

根据排列组合的知识，我们知道在这种情况下，共有5个人参加比赛，因此，共有5!=5*4*3*2*1=120种可能的排名。

这就意味着，这五个人的排名共有120种可能性。

第四题是一道关于概率的题目。

题目给出了从一个装有10张红牌和10张黑牌的袋子中，随机抽取两张牌，要求求出两张抽到的牌颜色相同的概率。

根据题目，我们可以得知一共有20张牌，牌的颜色分为红和黑两种。

因此，抽取第一张牌时，第一张牌是红色的概率为10/20=1/2，同理，第一张牌是黑色的概率也为1/2。

接下来，抽取第二张牌时，因为第一张牌已经抽取出来了，所以剩下的牌中，红色和黑色的牌数都减少了1。

因此，第二张牌是红色的概率为9/19，同理，第二张牌是黑色的概率也为9/19。

由于两次抽取的事件是相互独立的，所以两张牌颜色相同的概率可以通过将两次抽到同一种颜色的概率相乘得到。

因此，两张牌颜色相同的概率为(1/2)*(9/19)=9/38。

2009年1月真题解析一、问题求解：第1～15小题，每小题3分，共45分.下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中,有一项是符合试题要求的.请在答题卡上将所选项的字母涂黑.1.一家商店为回收资金，把甲、乙两件商品均以480元一件卖出，已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（）.（A）不亏不赚（B）亏了50元（C）赚了50元（D）赚了40元（E）亏了40元2.某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:12，由于先增加若干名女运动员，使男女运动员比例变为20:13.后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员比例最终变为30:19.如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则最后运动员的总人数为（）.（A）686（B）637（C）700（D）661（E）6003.某工厂定期购买一种原料，已知该厂每天需用该原料6吨，每吨价格1800元.原料的保管费用平均每吨3元，每次购买原料支付运费900元.若该厂要使平均每天支付的总费用最省，则应该每（）天购买一次原料.（A）11（B）10（C）9（D）8（E）74.在某实验中，三个试管各盛水若干克，现将浓度为12%的盐水10克倒入A管中，混合后，取10克倒入B管中，混合后再取10克倒入C管中，结果A、B、C三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、0.5%，那么三个试管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是（）.（A）A试管，10克（B）B试管，20克（C）C试管，30克（D）B试管，40克（E）C试管，50克5.一艘轮船往返航行于甲、乙两码头之间，船在静水中的速度不变，则当这条河的水流速度增加50%时，往返一次所需的时间比原来将（）.（A）增加（B）减少半小时（C）不变（D）减少1小时（E）无法判断6.方程214x x -+=的根是（）.（A）5x =-或1x =（B）5x =或1x =-（C）3x =或53x =-（D）3x =-或53x =（E）不存在7.23x bx ++20bx c +=，则b 和c （A）2，68.若(1)x +122a a +++（A）312n -334n -9.在36（A）7731510.湖中有四个小岛，它们的位置恰好近似构成正方形的四个顶点.若要修建三座桥将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（）种.（A）12（B）16（C）13（D）20（E）2411.若数列{}n a 中，110(1),2n a n a ≠≥=，前n 项和n S 满足22(2)21n n n S a n S =≥-，则1{}nS 是（）.（A）首项为2，公比为12的等比数列（B）首项为2，公比为2的等比数列（C）既非等差也非等比数列（D）首项为2，公差为12的等差数列（E）首项为2，公差为2的等差数列C，则1S S +(A)12确14.若圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，则与此圆相切于劣弧AB 中点M（注：小于半圆的弧称为劣弧）的切线方程是（）.（A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）1y x =-+（D）2y x =-+（E）1y x =+15.已知实数,,,a b x y 满足21y a +=-和221x y b -=--，则33x y a b +++=（）.（A）25（B）26（C）27（D）28（E）29二、条件充分性判断：第16~25小题，每小题3分，共30分.要求判断每题给出的条件（1）和条件（2）能否充分支持题干所陈述的结论.A、B、C、D、E 五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断，在答题卡上将所选项的字母涂黑.（A（B （C （D （E 16.2212a a +（1）数列{（217.A （1）A （2）A 18.log 1a x >．（1）1[2,4],12x a ∈<<（2）[4,6],12x a ∈<<19.对于使711ax bx ++有意义的一切x 的值，这个分式为一个定值．（1）7110a b -=（2）1170a b -=22（（（（（（23.22(28)(2)(226)0x x x x x ----->．（1）(3,2)x ∈--（2）[2,3]x ∈24.圆22(1)(2)4x y -+-=和直线(12)(1)330x y λλλ++---=相交于两点．（1）5λ=（2）2λ=25.{}n a 的前n 项和n S 与{}n b 的前n 项和n T 满足1919:3:2S T =．（1）{}n a 和{}n b 是等差数列（2）1010:3:2a b =。

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2015年MBA联考数学真题与答案
一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。

1.电影开演时观众中女士与男士人数之比为5:4，开演后无观众入场，放映一小时后，女士的20%，男士的15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为
（A）4:5 (B)1:1 (C)5:4 (D)20:17 (E)85:64
2.某商品的成本为240元,若按该商品标价的8折出售,利润率是15%,则该商品的标价为
(A)276元 (B)331元 (C)345元 (D)360元 (E)400元
3.三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数（素数），且依次相差6岁，他们的年龄之和为
（A）21 （B）27 （C）33 （D）39 （E）51
4.在右边的表格中，每行为等差数列，每列为等比数列，x+y+z=
(A)2 (B) 5/2 (C)3 (D) 7/2 (E)4
2 5/2 3
X 5/4
3/2
A Y
3/4
B C z。

2015年管理类联考（MBA/MPA/MPAcc）综合能力真题及答案参考答案：1-15 EDCAD BCCAA EBEAD;16-25 BBADD CBECC三、逻辑推理：（本大题共30小题，每小题2分，共60分。

从下面每题所给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的。

请在答题卡上将所选项的字母涂黑。

）26.晴朗的夜晚可以看到满天星斗。

其中有些是自身发光的恒星；有些是自身不发光，但可以反射附近恒星光的行星。

恒星尽管遥远但是有些可以被现有的光学望远镜“看到”。

和恒星不同，由于行星本身不发光，而且体积还小于恒星。

所以，太阳系的行星大多无法利用现有的光学望远镜“看到”。

以下哪项如果为真，最能解释上述现象？（A）如果行星的体积够大，现有的光学望远镜就能“看到”。

（B）太阳系外的行星因距离遥远，很少能将恒星光反射到地球上。

（C）现有的光学望远镜只能“看到”自身发光或者反射光的天体。

（D）有些恒星没有被发现有光学望远镜“看到”。

（E）太阳系内的恒星大多可用现有光学望远镜“看到”。

【解析】答案选B题干交代了一些看似矛盾的事：明明行星可以反射恒星的光，但为何光学望远镜看不到。

B现象很好地解释了这个疑问，因为那些行星太远了。

27.长期以来，手机产生的电磁辐射是否威胁人体健康一直是极具争议的话题。

一项达10年的研究显示，每天使用移动电话通话30分钟以上的人，患有神经胶质癌的风险比从未使用者要高出40%。

由此某专家建议，在取得进一步的证据之前，人们应该采取更加安全的措施，如尽量使用固定电话通话或者使用手机短信进行沟通。

以下哪项如果为真，最能表明该专家的建议不切实际？（A）大多数手机产生的电磁辐射强度符合国家规定标准。

（B）现有在人类生活空间中的电磁辐射强度已经超过手机通话产生的电磁辐射强度。

（C）经过较长一段时间，人们的体质逐渐适应强电磁辐射的环境。

（D）在上述实验期间，有些每天使用移动电话通话超过40分钟，但他们很健康。