高斯列主元消去法解线性方程组

课程设计任务书前 言回顾普通解方程组的方法，一般都是先逐个削去未知变量，最终得到只有一个未知变量的方程，解之，把得到的值回代到消去变量过程中得到的方程组，逐个求出未知变量。

这种解线性方程组的基本方法就是这里要介绍的高斯消去法。

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。

高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。

高斯消元法可以用来找出一个可逆矩阵的逆矩阵。

用关联矩阵表述网络拓扑结构,并根据厂站拓扑结构和网络拓扑结构等概念简化了电力系统的拓扑结构。

根据广义乘法和广义加法的运算规则,将改进的高斯消元算法应用于电力系统拓扑结构分析中,并引入稀疏、分块处理等技术提高了上述拓扑分析的效率。

采用上述高斯消元算法对山东电网220kV 以上的变电站进行拓扑结构分析,结果表明了运用该高斯消元法进行网络拓扑分析的正确性和有效性。

用列主元素法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。

然后换行使之变到主元位子上，在进行消元计算。

设)()(k k b X A ，确定第k 列主元所在位置k i ，在交换k i 行和k 行后，在进行消元，并用MATLAB 软件进行求解。

目录摘要....................................................................................... 错误！未定义书签。

第1章绪论 ......................................................................... 错误！未定义书签。

第2章高斯消元法的算法描述 (2)2.1高斯消元法的原理概述 (2)c231730658" 2.1.1高斯消元法的消元过程 (2)c231730658" 2.1.2高斯消元法的回带过程 (3)c231730658" 2.1.3高斯消元法的复杂度分析 (4)c231730658" 2.2列主高斯消元法原理简介 (5)c231730658" 2.2.1列主高斯消元法的消元过程 (6)c231730658" 2.2.2列主高斯消元法的回带过程 (6)c231730658" 2.2.3列主高斯消元法的算法描述 (6)c231730662"第3章高斯消元法的物理应用 (9)3.1c231730663"电网模型的描述 (9)c231730658" 3.2电网模型的问题分析 (9)c231730658"3.3求解计算 (11)c231730693"参考文献 (13)摘 要用列主元素高斯消去法法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。

MATLAB 高斯列主元消去一． 高斯列主元消去法的算法过程对于线性方程组AX=b ，A 为n*n 矩阵：（1）Step1——在增广矩阵（A ，b ）第一列中找到绝对值最大的元素，将其所在行与第一行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组的第一行第一列的系数 为1，且第一列其它系数都为0.Step2——在增广矩阵（A ，b ）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值 最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组的第二行第二列的系数为1，且第二列中第二行以下的系数都为0. Step3——在增广矩阵（A ，b ）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值 最大的元素，将其所在行与第三行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组的第三行第三列的系数为1，且第三列中第二行以下的系数都为0。

重复此过程…….（2）如果增广矩阵的秩为n ，则可以将增广矩阵的前n 列化为主对角线都为1的矩阵； 如果增广矩阵的秩为m<n ，则可以将增广矩阵的前m 行m 列矩阵化为主对角线 都是1的矩阵，m 行后的系数均为0；如果增广矩阵的前n 列的秩不等于增广矩 阵的秩，此时方程组无解。

（3）接下来，通过初等变换把对角线上每个1所对应的列上的其他元素变为0，就可以得到增广矩阵的最简阶梯型。

这时可以容易得到最简阶梯型对于方程组的解，即得到方程组的解。

二． 算法的流程图三．运行结果(1)随机生成增广矩阵(6*7)：C =-94 -89 -41 88 83 -57 -1441 70 -27 -30 -82 93 43-67 -24 -31 -62 -49 -14 8318 -21 26 83 -15 56 7821 -35 32 -43 15 5 -7454 11 98 10 79 -34 -77方程组的解为：x =-811/542554/10151329/1117521/628-1763/1053-673/4428检查结果：Right result!>>(2)随机生成增广矩阵(6*7)：C =78 -42 24 86 68 -43 830 -54 60 -81 11 -97 -44-92 -60 -80 19 67 40 -520 -24 45 -54 -60 90 -4378 18 29 -94 24 49 92-23 -47 -6 15 -66 51 -54 方程组的解为：x =1421/1429417/650-557/592-413/1529253/304964/1123检查结果：Right result!>>四．各个重点步骤的设计方法或注意事项生成增广矩阵时，对生成0到1之间的随机数进行变换：C=floor(200*rand(n,n+1)-100)求方程组的唯一解时，对第i列做初等变换前，应该注意找出首非零元绝对值最大的一行，并与第i行进行交换。

计算方法实验报告1课题名称用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程目的和意义高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法,但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法;用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵上三角矩阵、单位矩阵等,而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =其中A ∈Rn ×n 的计算量为：乘除法运算步骤为32(1)(1)(21)(1)(1)262233n n n n n n n n n n nMD n ----+=+++=+-,加减运算步骤为(1)(21)(1)(1)(1)(25)6226n n n n n n n n n n AS -----+=++=;相比之下,传统的克莱姆法则则较为繁琐,如求解20阶线性方程组,克莱姆法则大约要19510⨯次乘法,而用高斯消去法只需要3060次乘除法;在高斯消去法运算的过程中,如果出现absAi,i 等于零或过小的情况,则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散,使得最后的计算结果不可靠,所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法,从而使计算结果更加精确; 2、列主元三角分解法高斯消去法的消去过程,实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU,并求解Ly=b 的过程;回带过程就是求解上三角方程组Ux=y;所以在实际的运算中,矩阵L 和U 可以直接计算出,而不需要任何中间步骤,从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略,大大提高了运算速度,这就是三角分解法采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样,也是为了避免除数过小,从而保证了计算的精确度计算公式1、 列主元高斯消去法设有线性方程组Ax=b,其中设A 为非奇异矩阵;方程组的增广矩阵为第1步k=1：首先在A 的第一列中选取绝对值最大的元素1l a ,作为第一步的主元素:111211212222112[,]n n n l n nn n a a a a b a a a b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦a b然后交换A,b 的第1行与第l 行元素,再进行消元计算;设列主元素消去法已经完成第1步到第k -1步的按列选主元,交换两行,消元计算得到与原方程组等价的方程组 Akx=bk第k 步计算如下：对于k=1,2,…,n -11按列选主元：即确定t 使 2如果t ≠k,则交换A,b 第t 行与第k 行元素; 3消元计算消元乘数mik 满足:4回代求解2、 列主元三角分解法 对方程组的增广矩阵 经过k -1步分解后,可变成如下形式：111max 0l i i n a a ≤≤=≠(1)(1)(1)(1)(1)1112111(2)(2)(2)(2)22222()(()1)()()()()()1,1()(,)()[,][,] k k k k nk k nk n k k k k k kk kn k k k k n k k k n nn a a a a b a a a b a a b a b b a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b A b ()()max 0k k tk ik k i na a ≤≤=≠,(1,,)ik ik ik kka a m i k n a ←=-=+, (,1,,), (1,,)ij ij ik kji i ik k a a m a i j k n b b m b i k n ←+=+⎧⎨←+=+⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-←←∑+=)1,,2,1(,)(1n n i a x a b x a b x ii n i j j ij i i nnn n [,]A A b =11121,11111222,122221,11,1,1,211,11,2121,112,112,1k k k k k k k j n k k j n k k k i i i k n n kk kj kn k ik ij in i nknjk k k j k n n nnk k n a a a b A a u u u u u u y l l l l l l ll l l l u u u u u y u u u u y a a b a a b l a -------------⎡→⎣⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦第k 步分解,为了避免用绝对值很小的数kku 作除数,引进量1111 (,1,,;1,2,,) ()/ (1,2,,;1,2,,)k kj kj km mj m k ik ik im mk kkm u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-=⎧=-=+=⎪⎪⎨⎪=-=++=⎪⎩∑∑11(,1,,)k i ik im mk m s a l u i k k n -==-=+∑,于是有kk u =ks ;如果 ,则将矩阵的第t 行与第k 行元素互换,将i,j 位置的新元素仍记为jjl 或jja ,然后再做第k 步分解,这时列主元高斯消去法程序流程图max t ik i n s s ≤≤= ()/ 1,2,,)1 (1,2,,),kk k k t iki k ik u s s s l s s i k k n l i k k n ===++≤=++即交换前的，（且列主元高斯消去法Matlab主程序function x=gauss1A,b,c %列主元法高斯消去法解线性方程Ax=bif lengthA~=lengthb %判断输入的方程组是否有误disp'输入方程有误'return;enddisp'原方程为AX=b：' %显示方程组Abdisp'------------------------'n=lengthA;for k=1:n-1 %找列主元p,q=maxabsAk:n,k; %找出第k列中的最大值,其下标为p,qq=q+k-1; %q在Ak:n,k中的行号转换为在A中的行号if absp<cdisp'列元素太小,detA≈0';break;elseif q>ktemp1=Ak,:; %列主元所在行不是当前行,将当前行与列主Ak,:=Aq,:; 元所在行交换包括bAq,:=temp1;temp2=bk,:;bk,:=bq,:;bq,:=temp2;end%消元for i=k+1:nmi,k=Ai,k/Ak,k; %Ak,k将Ai,k消为0所乘系数Ai,k:n=Ai,k:n-mi,kAk,k:n; %第i行消元处理bi=bi-mi,kbk; %b消元处理endenddisp'消元后所得到的上三角阵是'A %显示消元后的系数矩阵bn=bn/An,n; %回代求解for i=n-1:-1:1bi=bi-sumAi,i+1:nbi+1:n/Ai,i;endclear x;disp'AX=b的解x是' x=b;调用函数解题列主元三角分解法程序流程图列主元三角分解法Matlab主程序①自己编的程序：function x=PLUA,b,eps %定义函数列主元三角分解法函数if lengthA~=lengthb %判断输入的方程组是否有误disp'输入方程有误'return;enddisp'原方程为AX=b：' %显示方程组Abdisp'------------------------'n=lengthA;A=A b; %将A与b合并,得到增广矩阵for r=1:nif r==1for i=1:nc d=maxabsA:,1; %选取最大列向量,并做行交换if c<=eps %最大值小于e,主元太小,程序结束break;elseendd=d+1-1;p=A1,:;A1,:=Ad,:;Ad,:=p;A1,i=A1,i;endA1,2:n=A1,2:n;A2:n,1=A2:n,1/A1,1; %求u1,ielseur,r=Ar,r-Ar,1:r-1A1:r-1,r; %按照方程求取ur,iif absur,r<=eps %如果ur,r小于e,则交换行p=Ar,:;Ar,:=Ar+1,:;Ar+1,:=p;elseendfor i=r:nAr,i=Ar,i-Ar,1:r-1A1:r-1,i; %根据公式求解,并把结果存在矩阵A中endfor i=r+1:nAi,r=Ai,r-Ai,1:r-1A1:r-1,r/Ar,r; %根据公式求解,并把结果存在矩阵A中endendendy1=A1,n+1;for i=2:nh=0;for k=1:i-1h=h+Ai,kyk;endyi=Ai,n+1-h; %根据公式求解yiendxn=yn/An,n;for i=n-1:-1:1h=0;for k=i+1:nh=h+Ai,kxk;endxi=yi-h/Ai,i; %根据公式求解xiendAdisp'AX=b的解x是'x=x'; %输出方程的解②可直接得到P,L,U并解出方程解的的程序查阅资料得子函数PLU1,其作用是将矩阵A分解成L乘以U的形式;PLU2为调用PLU1解题的程序,是自己编的Ⅰ.function l,u,p=PLU1A %定义子函数,其功能为列主元三角分解系数矩阵A m,n=sizeA; %判断系数矩阵是否为方阵if m~=nerror'矩阵不是方阵'returnendif detA==0 %判断系数矩阵能否被三角分解error'矩阵不能被三角分解'endu=A;p=eyem;l=eyem; %将系数矩阵三角分解,分别求出P,L,Ufor i=1:mfor j=i:mtj=uj,i;for k=1:i-1tj=tj-uj,kuk,i;endenda=i;b=absti;for j=i+1:mif b<abstjb=abstj;a=j;endendif a~=ifor j=1:mc=ui,j;ui,j=ua,j;ua,j=c;endfor j=1:mc=pi,j;pi,j=pa,j;pa,j=c;endc=ta;ta=ti;ti=c;endui,i=ti;for j=i+1:muj,i=tj/ti;endfor j=i+1:mfor k=1:i-1ui,j=ui,j-ui,kuk,j;endendendl=trilu,-1+eyem;u=triuu,0Ⅱ.function x=PLU2A,b %定义列主元三角分解法的函数l,u,p=PLU1A %调用PLU分解系数矩阵A m=lengthA; %由于A左乘p,故b也要左乘p v=b;for q=1:mbq=sumpq,1:mv1:m,1;endb1=b1 %求解方程Ly=b for i=2:1:mbi=bi-sumli,1:i-1b1:i-1;endbm=bm/um,m; %求解方程Ux=y for i=m-1:-1:1bi=bi-sumui,i+1:mbi+1:m/ui,i;endclear x;disp'AX=b的解x是' x=b;调用函数解题①②编程疑难这是第一次用matlab编程,对matlab的语句还不是非常熟悉,因此在编程过程中,出现了许多错误提示;并且此次编程的两种方法对矩阵的运算也比较复杂;问题主要集中在循环控制中,循环次数多了一次或者缺少了一次,导致数据错误,一些基本的编程语句在语法上也会由于生疏而产生许多问题,但是语句的错误由于系统会提示,比较容易进行修改,数据计算过程中的一些逻辑错误,比如循环变量的控制,这些系统不会提示错误,需要我们细心去发现错误,不断修正,调试;。

高斯列主元消元法解线性方程组一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中，A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068)二、原理及步骤分析设nn ij R a A ⨯∈=][)1(，nn Rb b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。

若约化主元素),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。

如果在消元过程中发现某个约化主元0)(=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。

此外，即使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。

为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。

相应过程为：（1）选主元：在子块的第一列中选择一个元)(k k i k a 使)(max k ik ni k kk i a a k ≤≤=并将第k 行元与第k i 行元互换。

高斯列主元消去法解线性方程组的实现班级学号姓名榴莲一、实验任务采用高斯列主元消去法求解线性方程组，以下消解方程为例。

1 2 1 x1 02 2 2 x2 = 3-1 -3 0 x3 2二、编程环境Windows7，Codeblock.三、算法步骤Gauss 消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或除某个数以及两个方程相加减这两种运算手续，逐步减少方程组中变元的数目，最终使某个方程只含有一个变元，从而得出所求的解。

对于，G auss消去法的求解思路为：（1）若，先让第一个方程组保持不变，利用它消去其余方程组中的,使之变成一个关于变元的n-1阶方程组。

（2）按照（1）中的思路继续运算得到更为低阶的方程组。

（3）经过n-1步的消元后，得到一个三角方程。

（4）利用求解公式回代得到线性方程组的解。

四、程序流程图数据结构：i，j 变量double a[10][10] a 矩阵double b[10] b 矩阵double x[10] 求解的x矩阵n 矩阵的维度五、程序#include<stdio.h>#include<math.h>void guess(double a[][10],double b[],double x[],int n) { int k,i,j;for(k=0; k<n-1; k++){ double ma =a[k][k]; int tab = k;for(i=k+1; i<n; i++) {if(fabs(ma)<fabs(a[i][k])){ ma = a[i][k];tab = i;}}double mid; mid= b[k]; b[k] =b[tab]; b[tab] =mid; for(i=k; i<n;i++) {mid = a[k][i];a[k][i] = a[tab][i];a[tab][i] = mid;}for(i=k+1; i<n; i++) { b[i]=b[i]-a[i][k]/a[k][k]* b[k];for(j=k+1; j<n; j++) {a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]/a[k][k]*a[k][j];}a[i][k]=0;}}for(k=n-1; k>=0; k--){ double s =0;for(j=k+1; j<n; j++) s += a[k][j]*x[j];x[k]=(b[k]-s)/a[k][k];}}int main(){ int i,j;double a[10][10] = {{1,2,1},{2,2,3},{-1,-3,0}};double b[10] = {0,3,2};double x[10];int k,n=3;guess(a,b,x,n);printf("三角化矩阵A:\n");for(i=0; i<n; i++) {for(j=0; j<n; j++){ printf("%7.2lf",a[i][j]);}printf("\n");}printf("\n 方程数值 b:\n");for(i=0; i<n; i++) printf("%7.2lf",b[i]);printf("\n");printf("\n 求得的函数值 x:\n");for(i=0; i<n; i++) printf("%7.2lf",x[i]);printf("\n");}六、实验结果及分析高斯消去法由消元和回代两个过程组成。

线性方程组的8种解法专题讲解线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组可以帮助我们求出方程组的解，从而解决实际问题。

本文将介绍线性方程组的8种常见解法。

1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法。

该方法通过将方程组转化为阶梯型矩阵，然后进行回代求解，得到方程组的解。

这一方法适用于任意维度的线性方程组。

2. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。

该方法将方程组转化为阶梯型矩阵，并通过变换矩阵的方式使得主元为1，然后进行回代求解，得到方程组的解。

高斯消元法适用于任意维度的线性方程组。

3. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是对高斯消元法的改进。

该方法在高斯消元法的基础上，通过变换矩阵的方式使得主元为0，然后进行回代求解，得到方程组的解。

高斯-约当消元法适用于任意维度的线性方程组。

4. 矩阵分解法矩阵分解法是一种将线性方程组转化为矩阵分解形式，从而求解线性方程组的方法。

常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解等。

这些方法可以有效地降低求解线性方程组的计算复杂度。

5. 特征值分解法特征值分解法是一种将线性方程组转化为特征值和特征向量的形式，从而求解线性方程组的方法。

通过求解方程组的特征值和特征向量，可以得到方程组的解。

特征值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。

6. 奇异值分解法奇异值分解法是一种将线性方程组转化为奇异值分解形式，从而求解线性方程组的方法。

通过奇异值分解，可以得到方程组的解。

奇异值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。

7. 迭代法迭代法是一种通过逐步逼近方程组的解来求解线性方程组的方法。

常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

迭代法的优点是可以适应各种规模的线性方程组。

8. 数值求解法数值求解法是一种通过数值计算的方式来求解线性方程组的方法。

常见的数值求解法有牛顿法、梯度下降法等。

数值求解法可以处理复杂的线性方程组。

以上是线性方程组的8种常见解法。

2.3高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。

就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。

实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。

在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。

但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。

1．一旦遇到某个主元等于0，消元过程便无法进行下去。

2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当某个主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。

为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。

其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。

目前计算机上常用的按列选主元的方法。

因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。

二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。

我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。

然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。

高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。

于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。

三、算法的描述1、设有n 元线性方程组如下：1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K M OM L1n x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ＝1n b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M 2、 第一步：如果a 11!=0, 令l i1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i 个方程上,得同解方程组：a (1)11 a (1)12 . . . a (1)1nx 1 b (1)1a (1)21 a (1)22 . . . a (1)2n x 2b (1)2. . . . . . . = .a (1)n-11 a (1)n-12 . . a (1)n-1n x n-1b (1)n-1a (1)n1 a (1)n2 . . . a (1)nn x nb (1)n简记为：A (2) x = b (2)其中a (2)ij = a (1)ij – l i1 * a (1)1j , I ,j = 2,3,..,nb(2)I = b(1)I– l i1 * b(1)1 , I = 2,3,...,n第二步：如果a(2)22 != 0,令l i2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11a(1)12 . . . a(1)1n x1b(1)10 a(1)22 . . . a(1)2n x2b(1)2. . . . . . . = .0 0 . . a(n-1)n-1n x n-1b(n-1)n-10 0 . . . a(n)nn x n b(n)n简记为：A(n) x = b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：X n = b(n) / a(n)nnX i = ( b(k)k - a(k)kj x j ) / a(k)kk以上为高斯消去法的基本过程。

gauss列主元消去法条件-回复Gauss列主元消去法是一种常用的线性方程组求解方法，它通过高斯消元和行交换的方式将一个线性方程组转化为上三角形方程组，从而方便地求解未知数的值。

在实际操作中，我们需要注意一些条件和步骤，以确保计算过程的正确性和可行性。

一、线性方程组的条件在使用Gauss列主元消去法求解线性方程组时，需要满足以下两个条件：1. 方程组必须是齐次或非齐次的线性方程组。

所谓齐次的线性方程组是指常数项全部为零的线性方程组，即右端项为零向量；非齐次的线性方程组则是指右端项不为零的线性方程组。

2. 方程组的未知数个数必须等于方程组的方程个数。

这意味着方程组必须是方阵，即系数矩阵的行数和列数相等。

满足以上两个条件后，可以应用Gauss列主元消去法对线性方程组进行求解。

二、Gauss列主元消去法的步骤下面我们一步一步来详细解释Gauss列主元消去法的过程。

步骤1：构造增广矩阵首先，将线性方程组的系数矩阵和右端项向量排列在一起，构成增广矩阵。

例如，对于一个3×3的线性方程组：a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3构造的增广矩阵为：[ a11 a12 a13 b1 ][ a21 a22 a23 b2 ][ a31 a32 a33 b3 ]步骤2：选取主元在消元过程中，我们需要选取一个主元素进行消元，目的是将主元素所在的列下方的元素全部消为零。

为了提高计算的精确性，我们在选取主元素时通常选择当前列的绝对值最大的元素。

即，在第i列中，选取使得a[i][i]最大的行k，然后将第k行与第i行进行交换，将主元素移动到当前位置。

步骤3：高斯消元通过选取主元后，我们开始进行高斯消元的操作。

对于第i行以下的每一行j，执行如下操作：1. 计算倍数m，使得第j行的第i列元素消为零。

倍数m的值为第j行第i列的元素除以主元素所在位置的元素值，即m=a[j][i]/a[i][i]。

Gauss消去法求解线性方程组
Gauss消去法，又称高斯-约旦消去法，是求解线性方程组的一种常用方法。

其基本思想是通过行变换将线性方程组转化为行最简形式，然后利用回代法求解。

以下是Gauss消去法求解线性方程组的详细步骤：
1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量组成增广矩阵。

2. 从第一行开始，将第一列的元素作为主元，并通过初等行变换将其它行的第一元素消成0。

3. 将第二行的第二个元素作为主元，并通过初等行变换将其它行的第二元素消成0。

4. 以此类推，直到将增广矩阵转化为行最简形式。

5. 利用回代法求解，即从最后一行开始，解出未知数依次代入上面的方程中求解。

其中，初等行变换包括以下三种：
1. 交换矩阵中两行的位置。

表示为 Ri<->Rj。

2. 将矩阵中某一行的每个元素乘以一个非零常数k。

表示为Ri*k。

3. 将矩阵中某一行的每个元素加上另一行对应元素的k倍。

表
示为 Ri+k*Rj。

Gauss消去法是一种较为常用的求解线性方程组的方法，但当系数矩阵存在奇异现象或行列式为0时，此方法无法求解。

此时可以采用LU分解法、SOR迭代法等其他方法进行求解。

高斯列主元消去法解线性方程组c语言编写的源程序：#include <stdio.h>#include<math.h>int n;float a[100][100],b[100];void output (){int i,j;printf("the array a,b is\n");for (i=0;i<n;i++){ for (j=0;j<n;j++)printf("%-10f",a[i][j]);printf("%-10f",b[i]);printf("\n");}}void input(){int i,j;printf("input sting a ");scanf("%d",&n);printf("input array a:\n");for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){scanf("%f",&a[i][j]);}printf("input array b:\n");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&b[i]);}void gaosi (){ int k,i,j,max;float ta,tb,m;for(k=0;k<n;k++){max=k;for(i=k+1;i<n;i++){if(fabs(a[i][k])>fabs(a[max][k]))max=i;}if(i!=k){for(j=0;j<n;j++){ta=a[k][j];a[k][j]=a[max][j];a[max][j]=ta;}tb=b[k];b[k]=b[max];b[max]=tb; }output();for(i=k+1;i<n;i++){m=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;j<n;j++)a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*m;b[i]=b[i]-m*b[k];output();}}}void qiujie (){ int i,j;float sum;b[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--){sum=0;for(j=i+1;j<n;j++)sum=sum+a[i][j]*b[j];b[i]=(b[i]-sum)/a[i][i];}printf("the result is:\n");for(i=0;i<n;i++)printf("x%d=%f\n",i+1,b[i]);}void main(){ input();gaosi();qiujie();}以下是运行结果：输出矩阵的大致变化过程input sting a 4input array a:1.003 0.333 1.504 -0.333-2.011 1.455 0.506 2.9564.329 -1.952 0.006 2.0875.113 -4.004 3.332 -1.112input array b:3.005 5.407 0.136 3.772the result is:x1=-0.325438x2=0.327990x3=2.372718x4=1.040163计算如下方程组：1.003 x1+ 0.333x2+ 1.504x3 -0.333x4=3.005 -2.011x1 + 1.455 x2+ 0.506x3 + 2.956x4=5.4074.329 x1 -1.952x2+ 0.006 x3+ 2.087x4=0.1365.113 x1-4.004x2 + 3.332x3 -1.112x4= 3.772。

解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。

三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。

其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gau(高斯）消去法一定能进行到底。

优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gau消去法相同的计算量。

列主元Gau(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gau(高斯）消去法。

注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。

矩阵三角分解的条件是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。

三角分解的实现是通过(1)Doolittle分解的实现；(2)Doolittle分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。

（3）用Doolittle分解求解方程组:A某=bLU某=bLY=bA=LUU某=Y；四、实验内容：解下列两个线性方程组3.016.031.99某114.161.23某21（1）1.270.9874.819.34某1371032.099999（2）51211某1862某25.90000151某3502某410a、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出A某=b中矩阵A及向量b,A=LU分解的L及U，detA及解向量某.b、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量某及detA，并与（1）中结果比较。

问题提出：采用高斯列主元消去法解线性方程组。

算法（公式）推导：高斯顺序消去法有一个最大的缺点就是一旦对角元素为0，就进行不下去了，为了解决这个问题就有了高斯主元消去法。

如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，先选取a ri ()n r i ≤≤中（即第i 列）绝对值最大的元素，设为第j 行的元素aji ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii kj a a （k 代表行号），依次进行消元，这样得到的算法叫高斯按列主元消去法。

高斯按列主元消去法的算法步骤介绍如下:1. 将方程组写成以下的增广矩阵的形式： 432144434241343332312423222114131211b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a 2. 对k=1，2，3，…..，n-1,令∑==nk s sk pk a a max ，交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1,K+2,……..,n,计算*km jkjm jm kk a a a a a =-（m=k,k+1,....n)kk jk k j j a a b b b *-=算法结束。

3. 在MATLABE 中编程实现的高斯按列主元消去法函数为：GaussXQLineMain功能：高斯按列主元消去法求线性方程组Ax=b 的解调用格式：[x,XA]=GaussXQLineMain(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；B：线性方程组中的常数向量；x：线性方程组的解：XA：消元后的系数矩阵（可选的输出参数）。

高斯列主元消去法用MATLAB实现如下所示：4.其中用到上三角矩阵求解函数：在MATLABE中编程实现的上三角系数矩阵求解函数为：SolveUPTriangle 功能：求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解调用格式：x=SolveUpTriangel(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；b ：线性方程组中的常数向量； X ：线性方程组的解；上三角系数矩阵求解函数用MATLAB 实现如下所示：高斯按列主元消去法解线性方程组应用实例：用高斯按列主元消去法求解下列线性方程组的解。

1. 高斯列主元法解线性方程组1.1算法说明首先列出线性方程组的增广矩阵，对增广矩阵进行初等行变换。

主要步骤有：求主元、换行、消元，具体操作为：对元素ii a ，在第i 列中，第i 行及以下的元素选取绝对值最大的元素，将该元素所在的行与第i 行交换，然后采用高斯消元法将新得到的ii a 消去第i 行以下的元素。

一次进行直到nn a 。

从而得到上三角矩阵。

再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。

1.2高斯列主元算法流程图图1-1 高斯列主元法解线性方程组算法流程图1.3高斯列主元算法程序调试以下列线性方程组为例进行算法调试,调试界面如下所示：x 1+2x 2+x 3+4x 4=132x 1+0x 2+4x 3+3x 4=284x 1+2x 2+2x 3+x 4=20-3x 1+x 2+3x 3+2x 4=6图1-2 1-3 1-4高斯列主元法解线性方程组程序调试界面1.4高斯列主元算法程序代码#include<iostream>#include<iomanip>#include<cmath>#define m 10using namespace std;double A[m][m],b[m],Aug[m][m+1];void equ(double A[m][m],double b[m],double x[m],int n){int i,i1,j,k;double Aug[m][m+1],maxele,Temp,l,s;for (i=0;i<n;i++) //构建增广矩阵Aug {for (j=0;j<n;j++)Aug[i][j]=A[i][j];Aug[i][n]=b[i];}for (i=0;i<n;i++) //输出增广矩阵Aug {for (j=0;j<n;j++)cout<<Aug[i][j]<<" ";cout<<Aug[i][n]<<endl;}for (i1=0;i1<n-1;i1++) //求主元{maxele=fabs(Aug[i1][i1]);k=i1;for(i=i1;i<n;i++)if (maxele<fabs(Aug[i][i1])){maxele=fabs(Aug[i][i1]);k=i;cout<<"i1="<<i1<<" "<<"k="<<k<<" "<<"maxele="<<maxele<<" "<<Aug[i][i1]<<" "<<endl;}for (j=i1;j<n+1;j++) //换行{Temp=Aug[i1][j];Aug[i1][j]=Aug[k][j];Aug[k][j]=Temp;}for (i=0;i<n;i++) //换行后输出增广矩阵Aug {for (j=0;j<n;j++)cout<<Aug[i][j]<<" ";cout<<Aug[i][n]<<endl;}for (k=i1+1;k<n;k++){l=-Aug[k][i1]/Aug[i1][i1];for (j=i1;j<n+1;j++)Aug[k][j]=Aug[k][j]+l*Aug[i1][j];}cout<<"每次消元结束输出增广矩阵Aug"<<endl;for (i=0;i<n;i++) //每次消元结束输出增广矩阵Aug{for (j=0;j<n;j++)cout<<Aug[i][j]<<" ";cout<<Aug[i][n]<<endl;}}x[n-1]=Aug[n-1][n]/Aug[n-1][n-1];//x[n-2]=(Aug[n-2][n]-Aug[n-2][n-1]*x[n-1])/Aug[n-2][n-2];for (i=n-2;i>=0;i=i-1){s=0;for (j=i+1;j<n;j++)s=s+Aug[i][j]*x[j];cout<<"s="<<s<<endl;x[i]=(Aug[i][n]-s)/Aug[i][i];cout<<"x["<<i<<"]="<<x[i]<<endl;}}int main(){void equ(double A[m][m],double b[m],double x[m],int n);double A[m][m],b[m],x[m];int i,j,n;cout<<"输入未知量的个数"<<endl;cin>>n;if (n>m){ cout<<"问题规模太大，需更改原程序中符号常量m"<<endl;return 0 ;}for (i=0;i<n;i++){cout<<"请输入A的第"<<i+1<<"行:";for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j];cout<<"请输入b的第"<<i+1<<"行:";cin>>b[i];}equ( A,b, x,n);for (i=0;i<n;i++)cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;return(0);}。

%利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解clear all;A=[3 -2 1 -1;4 0 -1 2;0 0 2 3;0 0 0 5]; b=[8;-3;11;15];function [X,XA] = UpGaussFun(A,b)%利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解%A为一个n阶上三角非奇异矩阵%b为线性方程组的阐述向量%X为线性方程组AX=b的解%XA为消元后的系数矩阵N=size(A);n=N(1);index=0;for i=1:(n-1)me=max(abs(A(1:n,i)));%选列主元for k=i:nif(abs(A(k,i))==me)index=k;break;end;end;end;temp=A(i,1:n);A(i,1:n)=A(index,1:n);A(index,1:n)=temp;bb=b(index);b(index)=b(i);b(i)=bb;%交换主行for j=(i+1):nif(a(i,i)==0)disp('¶Ô½ÇÔªËØΪ0£¡');return;end;l=A(j,i);m=A(i,i);A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m;b(j)=b(j)-l*b(i)/m;end;X=UpTriangleFun(A,b);XA=A;-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------% 函数定义function [X,XA]= UpGaussFun(A,b)%利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解%A为一个n阶上三角非奇异矩阵%b为线性方程组的阐述向量%X为线性方程组AX=b的解%XA为消元后的系数矩阵[N,M]=size(A);%N=sizes(A);n=N;index=0;for i=1:(n-1)me=max(abs(A(1:n,i))); %选列主元for k=i:nif(abs(A(k,i))==me)index=k;break;end;end;temp=A(i,1:n);A(i,1:n)=A(index,1:n);A(index,1:n)=temp;bb=b(index);b(index)=b(i);b(i)=bb; %交换主行for j=(i+1):nif(A(i,i)==0)disp('¶Ô½ÇÔªËØΪ0£¡');return;end;l=A(j,i);m=A(i,i);A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m;b(j)=b(j)-l*b(i)/m;end;end;XA=A;%数据测试>>clear all;A=[3 -2 1 -1;4 0 -1 2;0 0 2 3;0 0 0 5]; b=[8;-3;11;15];>> [X,XA]=UpGaussFun(A,b)X =-3.000010.250011.000015.0000XA =4.0000 0 -1.0000 2.00000 -2.0000 1.7500 -2.50000 0 2.0000 3.00000 0 0 5.0000。