5.2 Gauss列主元消去法

Lab06．Gauss 列主元素消去法实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解并掌握Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤； 2．通过对Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法的程序设计，以提高学生程序设计的能力；3．对具体问题，分别用Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法求解。

通过对结果的分析比较，使学生感受Gauss 列主元素消去法优点。

【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤。

2．编写用不选主元的直接三角分解法解线性方程组Ax=b 的M 文件。

要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b ，A=LU 分解的L 与U ，det A 及解向量x 。

3．编写用Gauss 列主元素消去法解线性方程组Ax=b 的M 文件。

要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b 、PA=LU 分解的L 与U 、det A 及解向量x ，交换顺序。

4．给定方程组(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x(2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----15900001.582012151********.23107104321x x x x 先用编写的程序计算，再将(1)中的系数3.01改为3.00，0.987改为0.990；将(2)中的系数2.099999改为2.1，5.900001改为9.5,再用Gauss 列主元素消去法解，并将两次计算的结果进行比较。

【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。

实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年 月 日Lab06．Gauss 列主元素消去法实验第一题：1、算法描述：Ⅰ、Gauss 消去法由书上定理5可知 设Ax=b ，其中A ∈R^(n(1)如果()0(1,2,....,1)k kka k n ≠=-，则可通过高斯消去法将Ax=b 约化为等价的 角形线性方程组，且计算公式为：① 消元计算（k=1,2，….，n-1）()()(1)()()(1)()()/,1,...,,,,1,...,,,1,...,.k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k iiik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+② 回带公式()()()()()1/,()/,1,...,2,1.n n n n nn ni i i i iii j ii j i x b a x ba x a i n =+==-=-∑（2）如果A 为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法将方程组Ax=b 约化方程组为上三角矩阵以上消元和回代过程总的乘除法次数为332333nn nn +-≈，加减法次数为32353263nnn n+-≈以上过程就叫高斯消去法。

一：实验题目：编程实现《计算机数值方法》习题二（p59）的2、3题。

二：实验代码：高斯消去法：#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;float x[100];float a[100][100];//定义一个足够大的全局二维数组//高斯消元法void gauss(int m,int n){int i,j,k,p;k=m;p=n;for(i=0;i<m;++i)//找到对比列{for(j=i+1;j<m;++j)//找到要消元的列{if(a[j][i]!=0){// a[j][i]=0;for(int p=i+1;p<n;++p)//找到两列之后进行相减消元{a[j][p]=a[j][p]-a[i][p]*(a[j][i]/a[i][i]);}}}}x[k-1]=a[k-1][p-1]/a[k-1][p-2]; //最后一个解for(i=k-2;i>=0;i--) //其他的解{float total=a[i][p-1];for(j=p-1;j>i;j--){total=total-x[j]*a[i][j];}x[i]=total/a[i][i];}for(i=0;i<k;i++) //把求出来的解一个一个输出cout<<"x"<<i+1<<"="<<x[i]<<" "<<endl;}int main(){int m,n,i,j;/* float **a;cin>>m>>n;a=new float *[n]; //动态数组for(i=0; i<n; i++){a[i]=new float [m];}*/// float x[100];cout<<"请输入行列式的大小"<<endl;cin>>m>>n;cout<<"请输入每行每列的元素"<<endl;for(i=0;i<m;++i){for(j=0;j<n;++j){cin>>a[i][j];}}//cin>>x[i];gauss(m,n);//调用高斯算法system("pause");return 0;}高斯列组元素消去法：#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;//列组消去法void gauss2(int **a,float *x,int n){int k,Pr,i,j;float t,total;for(k=0;k<n-1;k++){Pr=k;for(i=k+1;i<n;i++){if(fabs(a[i][k])>fabs(a[Pr][k])) Pr=i;}if(Pr>k)for(j=k;j<n+1;j++){t=a[k][j];a[k][j]=a[Pr][j];a[Pr][j]=t;}for(i=k+1;i<n;i++){t=a[i][k];for(j=k;j<n+1;j++)a[i][j]=a[i][j]-(t*a[k][j])/a[k][k];}}x[n-1]=a[n-1][n]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--){total=a[i][n];for(j=n-1;j>i;j--)total=total-x[j]*a[i][j];x[i]=total/a[i][i];}for(i=0;i<n;i++)cout<<"x"<<i+1<<"="<<x[i]<<" "<<endl; }int main(){int i,j,m,n;int **a;cin>>m>>n;a=new int *[n]; //动态数组for(i=0; i<n; i++)a[i]=new int [m];cout<<"\n请输入方程的系数："<<endl;for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++){cin>>a[i][j];}float x[30];gauss2(a,x,m); //a解的数组，m解delete []a;cout<<endl;return 0; }三：实验结果;高斯消去法：高斯列组消去法：。

Guass列选主元消去法和三⾓分解法 最近数值计算学了Guass列主消元法和三⾓分解法解线性⽅程组，具体原理如下：1、Guass列选主元消去法对于AX =B1）、消元过程：将（A|B）进⾏变换为，其中是上三⾓矩阵。

即：k从1到n-1a、列选主元选取第k列中绝对值最⼤元素作为主元。

b、换⾏c、归⼀化d、消元2）、回代过程：由解出。

2、三⾓分解法（Doolittle分解）将A分解为如下形式由矩阵乘法原理a、计算U的第⼀⾏，再计算L的第⼀列b、设已求出U的1⾄r-1⾏，L的1⾄r-1列。

先计算U的第r⾏，再计算L的第r列。

a）计算U的r⾏b）计算L的r列C#代码： 代码说明：Guass列主消元法部分将计算出来的根仍然储存在增⼴矩阵的最后⼀列，⽽Doolittle分解，将分解后的结果也储存⾄原来的数组中，这样可以节约空间。

using System;using System.Windows.Forms;namespace Test{public partial class Form1 : Form{public Form1(){InitializeComponent();}private void Cannel_Button_Click(object sender, EventArgs e){this.textBox1.Clear();this.textBox2.Clear();this.textBox3.Clear();boBox1.SelectedIndex = -1;}public double[,] GetNum(string str, int n){string[] strnum = str.Split(' ');double[,] a = new double[n, n + 1];int k = 0;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < strnum.Length / n; j++){a[i, j] = double.Parse((strnum[k]).ToString());k++;}}return a;}public void Gauss(double[,] a, int n){int i, j;SelectColE(a, n);for (i = n - 1; i >= 0; i--){for (j = i + 1; j < n; j++)a[i, n] -= a[i, j] * a[j, n];a[i, n] /= a[i, i];}}//选择列主元并进⾏消元public void SelectColE(double[,] a, int n){int i, j, k, maxRowE;double temp; //⽤于记录消元时的因数for (j = 0; j < n; j++){maxRowE = j;for (i = j; i < n; i++)if (System.Math.Abs(a[i, j]) > System.Math.Abs(a[maxRowE, j]))maxRowE = i;if (maxRowE != j)swapRow(a, j, maxRowE, n); //与最⼤主元所在⾏交换//消元for (i = j + 1; i < n; i++){temp = a[i, j] / a[j, j];for (k = j; k < n + 1; k++)a[i, k] -= a[j, k] * temp;}}return;}public void swapRow(double[,] a, int m, int maxRowE, int n){int k;double temp;for (k = m; k < n + 1; k++){temp = a[m, k];a[m, k] = a[maxRowE, k];a[maxRowE, k] = temp;}}public void Doolittle(double[,] a, int n){for (int i = 0; i < n; i++){if (i == 0){for (int j = i + 1; j < n; j++)a[j, 0] = a[j, 0] / a[0, 0];}else{double temp = 0, s = 0;for (int j = i; j < n; j++){for (int k = 0; k < i; k++){temp = temp + a[i, k] * a[k, j];}a[i, j] = a[i, j] - temp;}for (int j = i + 1; j < n; j++){for (int k = 0; k < i; k++){s = s + a[j, k] * a[k, i];}a[j, i] = (a[j, i] - s) / a[i, i];}}}}private void Exit_Button_Click(object sender, EventArgs e){this.Close();}private void Confirm_Button_Click(object sender, EventArgs e){if (this.textBox2.Text.Trim().ToString().Length == 0){this.textBox2.Text = this.textBox1.Text.Trim();}else{this.textBox2.Text = this.textBox2.Text + "\r\n" + this.textBox1.Text.Trim();}this.textBox1.Clear();}private void Calculate_Button_Click(object sender, EventArgs e){string str = this.textBox2.Text.Trim().ToString();string myString = str.Replace("\n", " ").Replace("\r", string.Empty);double[,] a = new double[this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 2];a = GetNum(myString, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1);if (boBox1.Text == "Guass列主消元法"){Gauss(a, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1);for (int i = 0; i < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; i++){this.textBox3.Text = this.textBox3.Text + "\r\nX" + (i + 1) + "=" + a[i, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1]; }}else if (boBox1.Text == "Doolittle三⾓分解法"){this.textBox3.Enabled = true;Doolittle(a, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1);bel3.Text = "分解后的结果：";this.textBox3.Clear();this.textBox3.Text += "L矩阵：\r\n";for (int i = 0; i < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; i++) {for (int j = 0; j < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; j++) {if (j < i){this.textBox3.Text += a[i, j].ToString() + "\t";}else if (i == j){this.textBox3.Text += "1\t";}else{this.textBox3.Text += "0\t";}}this.textBox3.Text += "\r\n";}this.textBox3.Text += "\r\nU矩阵：\r\n";for (int i = 0; i < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; i++) {for (int j = 0; j < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; j++) {if (j >= i){this.textBox3.Text += a[i, j].ToString() + "\t";}else{this.textBox3.Text += "0\t";}}this.textBox3.Text += "\r\n";}}}private void textBox1_KeyDown(object sender, KeyEventArgs e){if (e.KeyCode == Keys.Enter){if (this.textBox1.Text.Trim().ToString().Length == 0){Calculate_Button_Click(sender, e);}else{Confirm_Button_Click(sender, e);}}}private void button1_Click(object sender, EventArgs e){this.textBox2.Enabled = true;}}} 运⾏截图： ⾄此完毕。

列主元素消去法列主元素消去法（Gauss-Jordan 消元法）是一种线性代数中常用的消元方法，用于求解线性方程组的解。

这种方法的基本思想是，将线性方程组的增广矩阵通过一系列的初等变换，化为一个阶梯矩阵或行简化阶梯矩阵，从而得到线性方程组的解。

具体步骤如下：构造增广矩阵，即将系数矩阵和常数矩阵组合成一个矩阵。

将增广矩阵转化为一个上三角矩阵（也叫阶梯矩阵）。

反向消元，将阶梯矩阵转化为一个行简化阶梯矩阵。

根据简化矩阵求解方程组。

这种方法的优点是计算简单、容易理解，且可避免误差的积累。

但是，如果矩阵的规模较大，运算量会很大，计算时间较长。

此时可以使用更高效的算法，如LU分解、QR分解等。

假设有一个 $n$ 个未知量和 $n$ 个方程的线性方程组，可以写成矩阵形式如下：$Ax = b$其中，$A$ 是一个 $n \times n$ 的系数矩阵，$x$ 是一个 $n \times 1$ 的未知量向量，$b$ 是一个 $n \times 1$ 的常数向量。

为了求解 $x$，可以将方程组的增广矩阵表示如下：$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} & b_{n} \end{bmatrix}$ 其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

一、 列主元素Gauss 消去法、Jacobi 迭代法原理及计算方法1. 列主元素Gauss 消去法：1.1 Gauss 消去法基本原理设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。

高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。

1.2 列主元Gauss 消去法计算步骤将方程组用增广矩阵[]()(1)ijn n B A b a ⨯+== 表示。

1). 消元过程对1,2,,1k n =-(1) 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i na a ≤≤= (2) 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行(3)。

(3) 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+ 。

(4) 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算.ij ij ik kj a a l a =-2). 回代过程(1) 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行(2)。

(2) ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2. Jacobi 迭代法2.1 Jacobi 迭代法基本原理Jacobi 迭代法的基本思想是对n 元线性方程组b Ax =，.,n n R b R A ∈∈将其变形为等价方程组f Bx x +=，其中.,,n n n n R x R f R B ∈∈∈⨯B 成为迭代矩阵。

从某一取定的初始向量)0(x 出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量f Bx x k k +=+)()1( （ 1,0=k ）,使得向量序列}{)(k x 收敛于方程组的精确解.(1)输入1,,,,)0(=k n xb A ε，. (2) )(1,1)0()1(∑≠=-=n j i i j ij i iii x a b a x )1,0(n i = (3)判断 ε≤--≤≤)0()1(10max i i n i x x ，若是，输出1)1(2)1(1,,n x x x ，若否，置1+=k k ，)1()0(i i x x =，)2,1(n i =。

《Gauss列主元消去法》实验报告实验名称：Gauss列主元消去法程序设计成绩：___________专业班级：数学与应用数学1202班姓名：王晓阳学号：28实验日期：2014 年11月10日实验报告日期：2014年11月10日一．实验目的1.学习Gauss消去法的基本思路和迭代步骤.2.学会运用matlab编写高斯消去法和列主元消去法程序，求解线性方程组.3.当()ka绝对值较小时，采用高斯列主元消去法.kk4.培养编程与上机调试能力.二、实验内容用消去法解线性方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原线性方程组Ax b=化为与其等价的三角形线性方程组，而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解.1.求解一般线性方程组的高斯消去法.(1)消元过程：设()0k kk a ≠，第i 个方程减去第k 个方程的()()/k k ik ik kk m a a =倍，(1,,)i k n =+L ，得到()()11k k A x b ++=.()()()()()()()11,,1,,k k k ij ij ik kj k k k ii ik k a a m a i j k n b b m b ++⎧=-=+⎪⎨=-⎪⎩L 经过n-1次消元，可把方程组()()11A x b =化为上三角方程组()()n n A x b =.(2)回代过程：()()()()()1//,1,,1n n n n nn n i i i i i ij j ii j i x b a x b a x a i n =+⎧=⎪⎛⎫⎨=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩∑L 以解如下线性方程组为例测试结果.1212312310773264556x x x x x x x x -=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩2.列主元消去法由高斯消去法可知，在消元过程中可能出现()0k kk a =的情况，这是消去法将无法进行，即使主元素()0k kk a ≠但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠.这时就需要选取主元素，假定线性方程组的系数矩阵A 是菲奇异的.(1)消元过程：对于1,2,,1k n =-L ，进行如下步骤：1) 按列选主元，记max pk ik k i na a ≤≤=2) 交换增广阵A 的p,k 两行的元素。

高斯列主元素消去法是一种解线性方程组的常用方法，特别在数值分析和线性代数中应用广泛。

在Matlab中，我们可以使用该方法来解决大规模的线性方程组，包括矩阵的求解和矩阵的反转。

一、高斯列主元素消去法的基本原理高斯列主元素消去法是一种基于矩阵消元的方法，它通过一系列的矩阵变换将原始的线性方程组转化为上三角形式，然后再进行回代求解。

这个方法的核心就是通过矩阵的变换来简化原始的线性方程组，使得求解过程更加简单高效。

在Matlab中，我们可以利用矩阵运算和函数来实现高斯列主元素消去法，如`lu`分解函数和`\"`运算符等。

通过这些工具，我们能够快速地求解各种规模的线性方程组并得到准确的结果。

二、高斯列主元素消去法在Matlab中的实现在Matlab中，我们可以通过调用`lu`函数来实现高斯列主元素消去法。

该函数返回一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。

通过对U进行回代求解，我们可以得到线性方程组的解。

除了`lu`函数之外，Matlab还提供了一些其他的函数和工具来帮助我们实现高斯列主元素消去法，比如`\"`运算符和`inv`函数等。

通过这些工具的组合使用，我们能够更加灵活地进行线性方程组的求解，并且可以方便地处理特殊情况和边界条件。

三、高斯列主元素消去法的应用与局限性高斯列主元素消去法在实际应用中具有广泛的适用性，特别是对于大规模的线性方程组或者稀疏矩阵的求解。

通过Matlab中的工具和函数，我们可以快速地求解各种规模的线性方程组，并得到高精度的数值解。

然而，高斯列主元素消去法也存在一些局限性，比如对于奇异矩阵或者接近奇异矩阵的情况时，该方法的求解精度可能会下降。

在实际应用中，我们需要结合具体的问题和矩阵特性来选择合适的求解方法，以确保得到准确的结果。

四、个人观点和总结作为一种经典的线性方程组求解方法，高斯列主元素消去法在Matlab 中具有较好的实现和应用效果。

通过对其原理和实现细节的深入理解，我们能够更加灵活地应用该方法，并且能够更好地理解其适用性和局限性。

1、用Guass列选主元消去法求解方程组源程序代码：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#define MAX_n 100#define PRECISION 0.0000001void MatrixInput(float A[][MAX_n],int m,int n)//输入数组{int i,j;float ftmp;printf("\n===Begin input Matrix elements===\n");for(i=1;i<=m;++i){printf("Input_Line %d : ",i);for(j=1;j<=n;++j){scanf("%f",&ftmp);A[i][j]=ftmp;}}}void MatrixOneColumnOutput(float A[][MAX_n],int n,int k)//输出方程的解{int i;for(i=1;i<=n;++i)printf("\nx[%d]=%f",i,A[i][k]);}int UpTriangle(float U[][MAX_n],int n)//解上三角方程组{int i,j;for(i=n;i>0;--i){if(fabs(U[i][i])<PRECISION)return 1;for(j=i+1;j<=n;++j)U[i][n+1]-=U[i][j]*U[j][n+1];U[i][n+1]/=U[i][i];}return 0;}void Swap(float *a,float *b)//a,b二个变量中的值交换{float ftmp;ftmp=*a;*a=*b;*b=ftmp;}int GaussElimination_column_select(float A[][MAX_n],int n)//选主元{ int i,j,k;float fTmp;for(i=1;i<n;++i){ //找主元所在行for(k=i,j=i+1;j<=n;++j)if(fabs(A[j][i])>fabs(A[k][i])) k=j;//二行交换for(j=i;j<=n+1;++j)Swap(&A[i][j],&A[k][j]);//消元if(fabs(A[i][i])<PRECISION)return 1;for(j=i+1;j<=n;++j)for(k=i+1;k<=n+1;++k)A[j][k]-=A[i][k]*A[j][i]/A[i][i];}UpTriangle(A,n);return 0;}void main(){int n;float A[MAX_n][MAX_n];printf("Input n=");scanf("%d",&n);if(n>=MAX_n-1){printf("\an must <%d!\n",MAX_n);exit(0);}MatrixInput(A,n,n+1);if(GaussElimination_column_select(A,n)) printf("\nGauss Failed!");else{printf("\nOutput Solution:");MatrixOneColumnOutput(A,n,n+1);printf("\n\n");}}运行结果：2、用追赶法求解方程组#include<stdio.h>#include<math.h>double ZhuiGanFa(double a[],double b[],double c[],double d[],int n); void main(){int n,i;double a[10],b[10],c[10],d[10];printf("Input n value:");/*表示n维向量*/scanf("%d",&n);printf("\n");printf("Now input the (a_i),i=1,2,…,%d: ",n-1);for(i=0;i<=n-2;i++)scanf("%lf",&a[i]);printf("Now input the (b_i),i=1,2,…,%d: ",n);for(i=0;i<=n-1;i++)scanf("%lf",&b[i]);printf("Now input the (c_i),i=1,2,…,%d: ",n-1);for(i=0;i<=n-2;i++)scanf("%lf",&c[i]);printf("Now input the (d_i),i=1,2,…,%d: ",n);for(i=0;i<=n-1;i++)scanf("%lf",&d[i]);ZhuiGanFa(a,b,c,d,n);}double ZhuiGanFa(double a[],double b[],double c[],double d[],int n) {int i;double t;if(fabs(b[0])<=fabs(c[0])||fabs(c[0])<=0||fabs(b[n-1])<fabs(a[n-2])||fabs(a[n-2])<=0)/*判断是否符合追赶法条件*/{printf("fail\n");return 0;}for(i=1;i<=n-2;i++){if(fabs(b[i])<(fabs(a[i])+fabs(c[i]))||a[i]*c[i]==0){printf("fail\n");return 0;}}c[0]=c[0]/b[0];d[0]=d[0]/b[0];for(i=1;i<=n-2;i++){t=b[i]-a[i-1]*c[i-1];c[i]=c[i]/t;d[i]=(d[i]-a[i-1]*d[i-1])/t;}d[n-1]=(d[n-1]-a[n-2]*d[n-2])/(b[n-1]-a[n-2]*c[n-2]);for(i=n-2;i>=0;i--)d[i]=d[i]-c[i]*d[i+1];printf("\n");for(i=0;i<=n-1;i++)printf("x(%d)=%f\n",i,d[i]);printf("\n");return 1;}运行结果1：运行结果2：。

实验二：Gauss列主元消去法程序1：Gauss列主元消去法A=input('请输入线性方程组的增广矩阵A=');n=length(A)-1;x=zeros(n,1);aa=zeros(n,1);for j=1:nfor i=1:(n+1)AA(j,i)=abs(A(j,i));endendfor k=1:(n-1)for i=k:naa(i-(k-1))=AA(i,k);endfor i=k:nif AA(i,k)==max(aa)breakendendif AA(i,k)==0breakfprintf('方程组系数矩阵奇异\n');elsefor j=k:(n+1)jh=A(i,j);A(i,j)=A(k,j);A(k,j)=jh;endendfenzi=A(k,k);for j=k:(n+1)A(k,j)=A(k,j)/fenzi;endfor p=(k+1):njj=A(p,k);for j=k:(n+1)A(p,j)=A(p,j)-jj*A(k,j);endendendif k==(n-1)x(n)=A(n,(n+1))/A(n,n);for i=(n-1):(-1):1he=0;for j=(i+1):nhe=he+A(i,j)*x(j);endx(i)=A(i,(n+1))-he;endendx用Gauss列主元消去法解方程组：1．请输入线性方程组的增广矩阵A=[1e-008,2,3,1;-1,3.172,4.623,2;-2,1.072,5. 643,3]x =-0.4653-0.07000.38002．请输入线性方程组的增广矩阵A=[4,-2,4,10;-2,17,10,3;-4,10,9,-7];x =2.94640.6071-0.14293．请输入线性方程组的增广矩阵A=[0.3e-020,1,0.7;1,1,0.9]x =0.20000.7000程序2：不选主元的高斯消去法A=input('请输入线性方程组的增广矩阵A=');n=length(A)-1;x=zeros(n,1);for k=1:(n-1)if A(k,k)==0breakfprintf('方程组不能用普通的高斯消去法解\n');elsefenzi=A(k,k);for j=k:(n+1)A(k,j)=A(k,j)/fenzi;endfor p=(k+1):njj=A(p,k);for j=k:(n+1)A(p,j)=A(p,j)-jj*A(k,j);endendx(n)=A(n,(n+1))/A(n,n);for i=(n-1):(-1):1he=0;for j=(i+1):nhe=he+A(i,j)*x(j);endx(i)=A(i,(n+1))-he;endendendx用不选主元的Gauss消去法解方程组：1．请输入线性方程组的增广矩阵A=[4,-2,4,10;-2,17,10,3;-4,10,9,-7];x =2.94640.6071-0.14292．请输入线性方程组的增广矩阵A=[1e-008,2,3,1;-1,3.172,4.623,2;-2,1.072,5. 643,3];x =-0.4653-0.07000.38003．请输入线性方程组的增广矩阵A=[0.3e-020,1,0.7;1,1,0.9]x =0.7000。

数学实验题目5 相对Gauss 列主元消去法摘要由一般线性方程组在使用Gauss 消去法求解时，从求解过程中可以清楚地看到，若(1)0k kk a -=，必须施以行交换的手续，才能使消去过程继续下去。

有时既使(1)0k kk a -≠，但其绝对值很小，由于舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定现象。

因此，为使这种不稳定现象发生的可能性减至最小，在施行消去过程时每一步都要选主元素，即要寻找行r ，使(1)(1)||max ||k k rk ik i ka a -->=并将第r 行与第k 行交换，以使(1)k kka -的当前值（即(1)k ika -的数值）远大于0。

这种列主元消去法的主要步骤如下： 1．消元过程 对1,2,,1k n =-，做1º 选主元，记||max ||rk ik i ka a >=若0rk a =，说明方程组系数矩阵奇异，则停止计算，否则进行2º。

2º 交换A （增广矩阵）的,r k 两行元素,,1rj kja a j k n ↔=+3º 计算/ij ij ik kj kk a a a a a =-1,,i k n =+1,,1j k n =++2．回代过程 对,1,,2,1k n n =-，计算,11(/)nk k n kjj kk j k x a ax a +=-=-∑前言利用Gauss 列主元消去法、显式相对Gauss 列主元消去法、隐式相对Gauss 列主元消去法求解线性方程组程序设计流程是否否是开 始输入A （增广矩阵）1k = ||max ||rk ik i ka a >=rk a =1,,1,,1/ij ij ik kj kk i k n j k n a a a a a =+=++=-交换A 中,r k 两行1k n <-,11,1,,2,1()/nk k n kjj kkj k k n n x a ax a +=+=-=-∑输出x结 束 1k =问题1（1）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat1_1,b1_1)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat1_1,b1_1)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat1_1,b1_1)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 （2）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat1_2,b1_2)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat1_2,b1_2)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat1_2,b1_2)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 （3）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat1_3,b1_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat1_3,b1_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat1_3,b1_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 （4）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat1_4,b1_4)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat1_4,b1_4)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat1_4,b1_4)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000问题2（1）程序运行如下：= GaussSysSolve(Mat2_1,b2_1)x = 1.0915 0.2832 1.1463 -0.1008x = GaussExpSysSolve(Mat2_1,b2_1)x = 1.0915 0.2832 1.1463 -0.1008x = GaussIneSysSolve(Mat2_1,b2_1)x = 1.0915 0.2832 1.1463 -0.1008 （2）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat2_2,b2_2)x = 0.5162 0.4152 0.1100 1.0365x = GaussExpSysSolve(Mat2_2,b2_2)x = 0.5162 0.4152 0.1100 1.0365x = GaussIneSysSolve(Mat2_2,b2_2)x = 0.5162 0.4152 0.1100 1.0365 （3）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat2_3,b2_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat2_3,b2_3)x = 1 1 1x = GaussIneSysSolve(Mat2_3,b2_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000（4）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat2_4,b2_4)x = 1 1 1x = GaussExpSysSolve(Mat2_4,b2_4)x = 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat2_4,b2_4)x = 1 1 1使用的函数function x = GaussSysSolve(A, b)% GaussSysSolve 用Gauss消去法解线性方程组Ax = b%% Synopsis: x = GaussSysSolve(A, b)%% Input: A = 系数矩阵% b = 方程组右端%% Output: x = 线性系统的解向量[m,n] = size(A);b = b(:); %将b变为列向量if m ~= n %A必须为方阵error('Argument matrix A must be square!');elseif m ~= length(b) %b的长度应与A维度相同error('The dimentions of A and b do not agree!');endAb = [A b]; %构造增广矩阵for i = 1:n[amax, imax] = max(Ab(i:n, i)); %选择主元if amax == 0 %主元为0,矩阵奇异error('Tne Linear System is singular!');elseif i ~= imax+i-1 %主元行数与i不同时，交换这两行Ab([i imax+i-1],:) = Ab([imax+i-1 i], :);endfor j = i+1:n %向下消元Ab(j,:) = Ab(j,:) - Ab(i,:) * Ab(j,i)/amax;endendx = zeros(n,1);x(n) = Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for k = n-1:-1:1 %计算x x(k) = ( Ab(k,n+1) - Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n) ) / Ab(k,k);endfunction x = GaussExpSysSolve(A, b)% GaussExpSysSolve 用显式Gauss列主元消去法解线性方程组Ax = b%% Synopsis: x = GaussExpSysSolve(A, b)%% Input: A = 系数矩阵% b = 方程组右端%% Output: x = 线性系统的解向量[m,n] = size(A);b = b(:); %将b变为列向量if m ~= n %A必须为方阵error('Argument matrix A must be square!');elseif m ~= length(b) %b的长度应与A维度相同error('The dimentions of A and b do not agree!');endAb = [A b]; %构造增广矩阵for i = 1:n %显式平衡技术s = max(Ab(i,1:n));Ab(i,:) = Ab(i,:)/s;endfor i = 1:n[amax, imax] = max(Ab(i:n, i)); %选择主元if amax == 0 %主元为0,矩阵奇异error('Tne Linear System is singular!');elseif i ~= imax+i-1 %主元行数与i不同时，交换这两行Ab([i imax+i-1],:) = Ab([imax+i-1 i], :);endfor j = i+1:n %向下消元Ab(j,:) = Ab(j,:) - Ab(i,:) * Ab(j,i)/amax;endendx = zeros(n,1);x(n) = Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for k = n-1:-1:1 %计算xx(k) = ( Ab(k,n+1) - Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n) ) / Ab(k,k);endfunction [x,det] = GaussIneSysSolve(A, b)% GaussIneSysSolve 用隐式Gauss列主元消去法解线性方程组Ax = b%% Synopsis: x = GaussIneSysSolve(A, b)%% Input: A = 系数矩阵% b = 方程组右端%% Output: x = 线性系统的解向量% det = 系数矩阵行列式的值[m,n] = size(A);b = b(:); %将b变为列向量if m ~= n %A必须为方阵error('Argument matrix A must be square!');elseif m ~= length(b) %b的长度应与A维度相同error('The dimentions of A and b do not agree!');endAb = [A b]; %构造增广矩阵det = 1; %初始化系数矩阵行列式为1for i = 1:n %隐式平衡技术s(i) = max(abs(Ab(i,1:n)));if s(i) == 0error('Tne Linear System is singular!'); %系数矩阵某行全为0时，矩阵奇异endends = s(:);for k = 1:n-1[c, kmax] = max(abs(Ab(k:n, k)./s(k:n))); %选择主元if c == 0 %主元为0,矩阵奇异det = 0;error('Tne Linear System is singular! det(A) = 0');elseif k ~= kmax+k-1 %主元行数与k不同时，交换这两行s([k kmax+k-1]) = s([kmax+k-1 k]);Ab([k kmax+k-1],:) = Ab([kmax+k-1 k], :);det = -det;endfor j = k+1:n %向下消元Ab(j,:) = Ab(j,:) - Ab(k,:) * Ab(j,k)/Ab(k,k);enddet = Ab(k,k)*det;endif Ab(n,n) == 0det = 0;error('Tne Linear System is singular!'); %最后一行唯一非0元素为0时，矩阵奇异endx = zeros(n,1);x(n) = Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for k = n-1:-1:1 %计算x x(k) = ( Ab(k,n+1) - Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n) ) / Ab(k,k);enddet = Ab(n,n)*det;思考题（1）在各主元不是非常小的时候，三种方法结果一致（2）隐式平衡列选主元法最好，应为当主元很小时，普通的Gauss消元法会产生很大误差；显式平衡列选主元法每一行除以其绝对值最大元素时会引入额外的舍入误差。

2011-2012（1）专业课程实践论文Gauss完全主元消去法韩璐，0718180109，R数学07-1一、算法理论设方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nnnj n n i ni j i i i nj n j b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a B111111111212122222211111211。

首先在A 中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如0max 1111≠=≤≤≤≤ij nj n i j i a a ，然后交换B 的第1行与第1i 行，经第一次消元计算得()()()()22,,b A b A →。

重复上述过程，已完成第1-k 步的选主元素，交换两行及交换两列，消元计算，),(b A 约化为()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n nnnkk knkk nn kkb a a b a a b a a b a a a b A2222111211,， 其中()k A 元素仍记作ij a ，()k b 元素仍记作()1,,2,1-=n k b i 。

第k 步选主元素（在()k A 右下角方框内选），即确定k i ，k j 使0max ≠=≤≤≤≤ij nj k ni k j i a a k k 。

交换()()()k k b A ,第k 行与k j 行元素交换()()k A 第k 列与k j 列元素，将k k j i a 调到()k k ,位置，再进行消元计算，最后将原方程化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n nn n n b b b y y y a a a a a a 212122211211，其中1y ，2y ，…，n y 的次序为未知数1x ，2x ，…，n x 调换后的次序。

回代求解得()⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑+=1,2,11 n i a y a b y a b y iin i j i ij i i nn n n 完全主元消去法，其步骤如下：设b Ax =。

问题提出：采用高斯列主元消去法解线性方程组。

算法（公式）推导：高斯顺序消去法有一个最大的缺点就是一旦对角元素为0，就进行不下去了，为了解决这个问题就有了高斯主元消去法。

如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，先选取a ri ()n r i ≤≤中（即第i 列）绝对值最大的元素，设为第j 行的元素aji ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii kj a a （k 代表行号），依次进行消元，这样得到的算法叫高斯按列主元消去法。

高斯按列主元消去法的算法步骤介绍如下:1. 将方程组写成以下的增广矩阵的形式： 432144434241343332312423222114131211b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a 2. 对k=1，2，3，…..，n-1,令∑==nk s sk pk a a max ，交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1,K+2,……..,n,计算*km jkjm jm kk a a a a a =-（m=k,k+1,....n)kk jk k j j a a b b b *-=算法结束。

3. 在MATLABE 中编程实现的高斯按列主元消去法函数为：GaussXQLineMain功能：高斯按列主元消去法求线性方程组Ax=b 的解调用格式：[x,XA]=GaussXQLineMain(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；B：线性方程组中的常数向量；x：线性方程组的解：XA：消元后的系数矩阵（可选的输出参数）。

高斯列主元消去法用MATLAB实现如下所示：4.其中用到上三角矩阵求解函数：在MATLABE中编程实现的上三角系数矩阵求解函数为：SolveUPTriangle 功能：求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解调用格式：x=SolveUpTriangel(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；b ：线性方程组中的常数向量； X ：线性方程组的解；上三角系数矩阵求解函数用MATLAB 实现如下所示：高斯按列主元消去法解线性方程组应用实例：用高斯按列主元消去法求解下列线性方程组的解。

列选主元高斯消去法
列选主元高斯消去法是一种常用的线性方程组求解方法，在求解大规模线性方程组时具有较高的数值稳定性和计算效率。

该方法的基本思想是，通过选取主元来消除非主元系数的影响，以减小计算误差。

具体步骤如下：
1. 首先将线性方程组的系数矩阵进行列选主元，即对每一列选取绝对值最大的元素所在的行，然后将该行与第一行交换位置。

2. 对于第一列，将选取的主元所在行除以主元的值，使主元变为1。

3. 利用第一行的主元，通过消去操作将其他行的第一列元素变为零。

具体操作是，对于每一行，将该行与第一行乘以适当的倍数后相减，使得第一列元素为零。

4. 重复以上步骤，对第二列以及其后的列重复进行列选主元和消去操作，直到系数矩阵变成上三角矩阵。

5. 根据上三角矩阵进行回代求解，从最后一行开始，依次代入已求解的变量值，计算出未知数的值。

需要注意的是，在进行列选主元时，要注意避免主元为零或接近零的情况，以免造成计算错误或数值不稳定性。

列选主元高斯消去法可以有效地提高线性方程组的求解精度和计算效率，特别适用于存在较大数值差异或特殊矩阵结构的情况。

然而，在某些情况下，该方法可能会导致数值不稳定性或计算量较大，因此在实际应用中需综合考虑问题的特点和求解需求，选择合适的方法。