4静态场边值问题解法
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电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
第四章 静态场边值问题的解法
nπ nπ Fn ' sin( x) sh( y ) a a n 1
上 页 下 页
π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
上 页 下 页
返 回
由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
上 页 下 页
若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
返 回 上 页 下 页
例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
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π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
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返 回
由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
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若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
返 回 上 页 下 页
例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
边值问题
第二节 镜像法
1、导体与介质间边界的镜象法 、
1、导体与介质间边界的镜像法 、
是求解静态场的一种有效且直观的方法。 镜像法 是求解静态场的一种有效且直观的方法。 适用于求解某些涉及平面边界或圆形边界的边值问题。 适用于求解某些涉及平面边界或圆形边界的边值问题。 在两种不同媒质的边界外， 基本思想 在两种不同媒质的边界外，用虚设的场源 (电荷或电流)来代替边界上实际分布的感应电荷(或束缚电荷) 电荷或电流)来代替边界上实际分布的感应电荷(或束缚电荷) 或磁化电流对场的作用。镜像的个数、 或磁化电流对场的作用。镜像的个数、大小和位置由边界条件 确定。这样，可以撤去边界面，并将场源所在区域的媒质扩展 确定。这样，可以撤去边界面， 到整个空间，待求场则由场源及其镜象共同确定。 到整个空间，待求场则由场源及其镜象共同确定。 是以场源的镜像代替边界面上电荷或电流的作用， 实质 是以场源的镜像代替边界面上电荷或电流的作用， 将实际 上非均匀媒质的问题简化为均匀媒质来处理。 上非均匀媒质的问题简化为均匀媒质来处理。
注意： ，这是因为Q所发出的电力线并不全部 终止与导体球上，有一部分将终止于无穷远处之故。 Q受到导体球的作用力
如果导体不接地，原来又不带电，则其表面电势不 为零，而球面上的净感应电荷为零。
不接地金属球的镜像
设想导体球接地,且在中心放置点电荷
不破坏导体球面为等势面的条件
不接地金属球的镜像
任一点场强
边 值 问 题 基 本 解 法
实验法
实测法 模拟法 解析法 直接积分法 分离变量法 镜像法 格林函数法 复变变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法
计算法
数值法
3、唯一性定理
解决边值问题的理论基础 内容：对于任一静态场(也包括准静态场)，满足一定边 内容 界条件的拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，即在 区域V内给定自由电荷(或电流)分布，在V的边界S上给 定电势 或其法向导数 或者矢势A或 )的 值，则V内的场便被唯一地确定。 表明泊松方程(拉普拉斯方程)的解在什么条件 具有 唯一性.
静态场边值问题的解法.ppt
R
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
静态场及其边值问题求解方法
式(５ －２７). 取“ － ” 是为了与电磁学讨论一致. 表示电场指向电
位减小最快的方向.
• 在均匀介质中. 对Ｅ ＝ － ∇φ 两边取散度. 再利用本构关系Ｄ ＝ εＥ.
得一泊松方程
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５.１
静态场的基本方程
• (二) 引入电位的意义
• １.引入电位函数的优越性
• 将求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题. 由于标量微积分比矢
量微积分简单. 从而简化电场的求解. 在某些情况下. 直接求解电场强
度很困难. 但求解电位函数则相对简单. 因此可通过先求电位函数. 再
由关系式(５ －２７) 得到电场解. 这是一种常用的电磁场间接求解法.
• ２.电位与电位差
• 空间某点电位无物理意义. 两点间电位差才有意义.电位差是电场空间
中不同位置点电位的变化量.
＝ ∇ × Ａ. 代入∇ × Ｈ ＝ Ｊ. 有
• 而∇ × (∇ × Ａ) ＝ ∇(∇·Ａ) － ∇２Ａ. 考虑到Ａ 满足规范条件∇·Ａ ＝
０ 有－ ∇２Ａ ＝ μＪ.得到
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５.１
静态场的基本方程
• 5.1.7 磁标位
• (一) 磁标位的引入
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５.１
静态场的基本方程
何情况. 微分形式适用于同一种介质的情形. 并且在边界附近需要根据
积分形式推出其边值关系.
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５.１
静态场的基本方程
• 注意: 积分形式和微分形式的区别在于微分是对场点. 积分是对源点.
积分对总体、宏观. 微分对局部、对点.
• 5.1.2 静电场基本方程
• 静电场是位置固定、带电量不随时间变化的电荷激发的电场. 是电磁
位减小最快的方向.
• 在均匀介质中. 对Ｅ ＝ － ∇φ 两边取散度. 再利用本构关系Ｄ ＝ εＥ.
得一泊松方程
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５.１
静态场的基本方程
• (二) 引入电位的意义
• １.引入电位函数的优越性
• 将求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题. 由于标量微积分比矢
量微积分简单. 从而简化电场的求解. 在某些情况下. 直接求解电场强
度很困难. 但求解电位函数则相对简单. 因此可通过先求电位函数. 再
由关系式(５ －２７) 得到电场解. 这是一种常用的电磁场间接求解法.
• ２.电位与电位差
• 空间某点电位无物理意义. 两点间电位差才有意义.电位差是电场空间
中不同位置点电位的变化量.
＝ ∇ × Ａ. 代入∇ × Ｈ ＝ Ｊ. 有
• 而∇ × (∇ × Ａ) ＝ ∇(∇·Ａ) － ∇２Ａ. 考虑到Ａ 满足规范条件∇·Ａ ＝
０ 有－ ∇２Ａ ＝ μＪ.得到
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５.１
静态场的基本方程
• 5.1.7 磁标位
• (一) 磁标位的引入
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５.１
静态场的基本方程
何情况. 微分形式适用于同一种介质的情形. 并且在边界附近需要根据
积分形式推出其边值关系.
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５.１
静态场的基本方程
• 注意: 积分形式和微分形式的区别在于微分是对场点. 积分是对源点.
积分对总体、宏观. 微分对局部、对点.
• 5.1.2 静电场基本方程
• 静电场是位置固定、带电量不随时间变化的电荷激发的电场. 是电磁
4-静态场的解
V
S
F dS
S
F ndS
令 F , 由矢量恒等式:
( A) A + A
得:
P8(1-21) (4-2)
F ( ) 2
2
式左 FdV ( )dV
(r ) 2 2
V ( )dV S n dS
2
由于▽ 2φ =0，所以有:
第4章 静态场的解
V
dV
2
S
dS n
在 S上φ =0，因而上式右边为零，因而有
结论:
V
dV 0
2
▲因为|▽φ|2=0，所以必有▽φ ▲又因为在S面上φ
由边界条件：Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
qh S 0 Ez 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h )
导体表面总的感应电荷：
qh dxdy qin S dS q 2 2 2 3 / 2 2 ( x y h )
第4章 静态场的解
4.1 边值问题的分类
◆第一类边值问题：
已知整个边界上的位函数值； 又称为“狄利赫利”边界条件
S f1 ( S )
◆
第二类边值问题： 已知边界上每一点位函数的法向导数， （即电荷的面密度σ或电力线）；
n f2 (S )
S
又称为“诺伊曼”边界条件 同
时知道另一部分边界上每一点的电位法向导数。
其中
2 2 2 1/2 r [ x y ( z h ) ] ; 1
r2 [ x 2 y 2 ( z h) 2 ]1/2
S
F dS
S
F ndS
令 F , 由矢量恒等式:
( A) A + A
得:
P8(1-21) (4-2)
F ( ) 2
2
式左 FdV ( )dV
(r ) 2 2
V ( )dV S n dS
2
由于▽ 2φ =0，所以有:
第4章 静态场的解
V
dV
2
S
dS n
在 S上φ =0，因而上式右边为零，因而有
结论:
V
dV 0
2
▲因为|▽φ|2=0，所以必有▽φ ▲又因为在S面上φ
由边界条件：Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
qh S 0 Ez 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h )
导体表面总的感应电荷：
qh dxdy qin S dS q 2 2 2 3 / 2 2 ( x y h )
第4章 静态场的解
4.1 边值问题的分类
◆第一类边值问题：
已知整个边界上的位函数值； 又称为“狄利赫利”边界条件
S f1 ( S )
◆
第二类边值问题： 已知边界上每一点位函数的法向导数， （即电荷的面密度σ或电力线）；
n f2 (S )
S
又称为“诺伊曼”边界条件 同
时知道另一部分边界上每一点的电位法向导数。
其中
2 2 2 1/2 r [ x y ( z h ) ] ; 1
r2 [ x 2 y 2 ( z h) 2 ]1/2
静态电磁场及其边值问题的解
E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )
C
C
p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故 等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对 的曲线) ，而
dr Er
rd
E
r sind
E
dr
2 cos
rd sin
dr r
2d (sin sin
)
r
C2 sin2
第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1
设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )
p cos 4 0r 2
p er
4 0r 2
p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
静态场的边值问题
a
xsh
n
a
b
U (x) U0
( x, b)
U0
n1
Dn
sin
n
a
xsh
n
a
b
因上式右边为三角函数级数,要确定 Dn ,
其左边也应展开成三角函数级数,亦称
傅里叶级数,再比较其系数即可确定 Dn .
(n 1,2,3)
(５-２-２７)
(x) 0
2019/7/3
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2019/7/3
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
ay
ky2
n
a
0
(
n
a
)
2
(
ja
y
)
(n 1,2,3)
2
１３ (５-２-２５)
故
g( y)
n
Bn sh
n1
a
y
(n 1,2,3)
c. (x, y) f (x) g(y)
(５-２-２６)
(x, y)
n
AnBn sin
n1
a
xsh n
将 (５-２-３１) 代入 (５-２-３０) ，并整理得：
1 d (r df ) n2 1 d 2h 0 rf dr dr r 2 h dz2
(５-２-３２)
xsh
n
a
b
U (x) U0
( x, b)
U0
n1
Dn
sin
n
a
xsh
n
a
b
因上式右边为三角函数级数,要确定 Dn ,
其左边也应展开成三角函数级数,亦称
傅里叶级数,再比较其系数即可确定 Dn .
(n 1,2,3)
(５-２-２７)
(x) 0
2019/7/3
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2019/7/3
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
ay
ky2
n
a
0
(
n
a
)
2
(
ja
y
)
(n 1,2,3)
2
１３ (５-２-２５)
故
g( y)
n
Bn sh
n1
a
y
(n 1,2,3)
c. (x, y) f (x) g(y)
(５-２-２６)
(x, y)
n
AnBn sin
n1
a
xsh n
将 (５-２-３１) 代入 (５-２-３０) ，并整理得：
1 d (r df ) n2 1 d 2h 0 rf dr dr r 2 h dz2
(５-２-３２)
第4章静态场边值问题的解法精品PPT课件
X (x) a 1sikxn x a 2co kxxs
或
X (x) b 1 ejx k x b 2 ejx k x
当 2 0 时，令 k x ，则
X (x)c 1 sh kxx c2 ch kxx
或
X(x)d1ekxxd2ekxx
例 1 横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽
相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为
n1,3,
nsh1 nabshnaysinnax
分离变量法的求解步骤
建立正确的坐标系, 确定变量的个数 写出方程的通解 利用自然边界条件化简通解 利用电磁边界条件建立确定系数的方程并解方程, 求出待定系数
4.4 圆柱坐标系中的分离变量法
圆柱坐标系中的分离变量法
2 0
1 rrrrr1222 z22 0
V
S
S
令 F
F 2
V
2 d V e n d S d S
S
S n
这就是格林第一定理（第一恒等式）
把 和 交换位置
V 2 d V S nd S
V 2 2d V S n n d S S d S
这就是格林第二定理（第二恒等式）
二、唯一性定理
的值唯,则一泊性松定方理程:或在拉场普域拉V的斯边方界程面在S场上域给V定内电的位解 唯或一
n
.
说明:若对同一面积,同时给定 或 的值,则不存在
唯一解.
n
唯一性定理的意义
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件.
为静态场边值问题求解方法提供了理论根据,为结果 正确性提供了判据.
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的 理论根据
YZdd2X 2xXZ dd2Y2yXYdd2Z 2z0
或
X (x) b 1 ejx k x b 2 ejx k x
当 2 0 时，令 k x ，则
X (x)c 1 sh kxx c2 ch kxx
或
X(x)d1ekxxd2ekxx
例 1 横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽
相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为
n1,3,
nsh1 nabshnaysinnax
分离变量法的求解步骤
建立正确的坐标系, 确定变量的个数 写出方程的通解 利用自然边界条件化简通解 利用电磁边界条件建立确定系数的方程并解方程, 求出待定系数
4.4 圆柱坐标系中的分离变量法
圆柱坐标系中的分离变量法
2 0
1 rrrrr1222 z22 0
V
S
S
令 F
F 2
V
2 d V e n d S d S
S
S n
这就是格林第一定理（第一恒等式）
把 和 交换位置
V 2 d V S nd S
V 2 2d V S n n d S S d S
这就是格林第二定理（第二恒等式）
二、唯一性定理
的值唯,则一泊性松定方理程:或在拉场普域拉V的斯边方界程面在S场上域给V定内电的位解 唯或一
n
.
说明:若对同一面积,同时给定 或 的值,则不存在
唯一解.
n
唯一性定理的意义
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件.
为静态场边值问题求解方法提供了理论根据,为结果 正确性提供了判据.
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的 理论根据
YZdd2X 2xXZ dd2Y2yXYdd2Z 2z0
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由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以 取一系列特定的值kn(n=1,2,3……），即：
[A ns in (k n x ) B nc o s (k n x )][C n s h (k n y ) D n c h (k n y )]
n 1 ,2 ,3 ,… …
由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解 的线性组合仍然是方程的解。
0
2 0
2 2 2
0 x2 y2 z2
很明显， 为x,y的函数。则可令
X(x)Y(y)
代入方程得
d2X(x)
d2Y(y)
Y(y) dx2 X(x) dy2 0
X1 (x)d2dX x2 (x)Y(1y)d2 dYy(2y)0
X1 (x)d2dX x2 (x)Y(1y)d2dYy(2y)
1 d 2 X ( x) 仅为x坐标函数 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy2
仅为y坐标函数
要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令
1
d2X(x) 1
d2Y(y)k2
X(x) dx2
Y(y) dy2
分离常数
X Y
1 (x) 1 (y)
d d
2X (x dx2
2Y ( y) dy2
) k2
k
2
d
2X (x) dx2
k
2
X
b
y0
U(0xa) (1) yb
x a
(A 0xB 0)(C 0yD 0)＋
[A nsin(knx)B ncos(knx)][C nsh(kny)D nch(kny)]
n=1
由条件（1） 由条件（2）
B A 00 0 0,,B kn n 0 na (n1,2,
第二节 直角坐标系中的分离变量法
问题：如图所示无限长金属导体 y
槽，其顶面电位为u，其余三面 接地，求导体槽内电位分布。 b
u
建立求解方程：
x a
导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即
2 0
0 (0yb)
x0
0 (0yb) xa
0 (0xa)
y0
U (0xa) yb
用分离变量法求解过程：
n1,3,5... n2,4,6...
a
所以，接地导体槽内部电位分布为
4 un=1, 3,...nsh(1nb)sin(nax)sh(nay) a
讨论：前面的结果是在以下假设条件下得到的
X1 (x)d2d X x2 (x)Y(1y)d2 d Y y(2y)k2
若假设为：
1 d2X(x) 1 d2Y(y)k2
当k 0时：
X (x ) A s in (k x ) B c o s (k x )
Y (y ) C s h (k y ) D c h (k y )
A ,B ,C ,D 待 定
[ A s i n ( k x ) B c o s ( k x ) ] [ C s h ( k y ) D c h ( k y ) ]
(x)
0
d
2Y ( y) dy2
k
2Y
(
y)
0
通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为 两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得 出原问题的解。
解常微分方程（k取值不同解形式不同）：
当k=0时：
X(x)A 0xB 0 Y(y)C 0yD 0
A 0,B 0,C 0,D 0待 定
X ( x ) Y ( y ) ( A 0 x B 0 ) ( C 0 y D 0 )
➢ 第一类边值问题：已知电位函数整个边界面上 的分布值。
f S
➢ 第二类边值问题：已知函数在整个边界面上的 法向导数。
f n S
➢ 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部 分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的 法向导数。
S1 f1
n
S2
f2
S S1 S2
二、唯一性定理
唯一性定理内容：在场域V的边界面S上给定电位
z
q
h
x
导体
等效问题： 要求：与原问题边界条件相同 原电荷：q:z=h 镜像电荷(等效电荷):-q->z=-h 取消导体边界面，z>0空间媒质 充满整个空间。
)
由条件（3） Dn 0
n = 1A 'nsin (n ax)sh (n ay) (A n ' A n C n)
由条件（4）
n n
u A'nsin(
n=1
a
x)sh(
b) a
将u在（0，a)区间展开为 s in ( n x ) 傅立叶级数
n a
Aufn'nna2=s1h0fa(nunfsnsininb()naaxxd)x0n4u
将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。
(A 0xB 0)(C 0yD 0)＋
[A nsin(knx)B ncos(knx)][C nsh(kny)D nch(kny)]
n=1
解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定。
2 0
0(0yb) (1 )
x 0
0(0yb ) (2 )
X(x) dx2
Y(y) dy2
(A 0xB 0)(C 0yD 0)＋
[A nsh(knx)B nch(knx)][C nsin(kny)D ncos(kny)]
n=1
第三节 镜像法
❖ 镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适当 位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上的感应 电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。
❖ 镜像法理论依据：唯一性定理。
❖ 等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处， 故称为镜像电荷。
❖ 镜像电荷位置选择原则： 1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。 2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。
一、平面接地导体边界
1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像
原问题： 无限大接地导体平面（z=0）, 点电荷q：z=h 求空间中电位分布。
第 4 章 静态场边值问题的解法
◇ 静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定 边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。
◇ 常用的方法
解析法 数值法
直接法 间接法
本章主要内容：
静电场的唯一性定理
直接求解法 分离变量法(直角坐标系下)
间接求解法 镜像法
第一节 唯一性定理
一、边值问题 ❖存在边界面的电磁问题。 ❖根据给定边界条件对边值问题分类：
或者 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 n
V内的解唯一。
说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不
存在唯一解。
n
唯一性定理的意义：
1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；
2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为 结果正确性提供了判据。
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 的理论依据。