2011年海淀区高三二模数学(文)试题及答案

参考答案第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA , ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O = ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A = 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，....................................10分由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠= ，所以120DOC ∠= . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t ty t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQt y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQt y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分。

2011年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分40分）1. 已知集合A ={x ∈R|0<x <3}，B ={x ∈R|x 2≥4}，则A ∩B =( )A {x|2<x <3}B {x|2≤x <3}C {x|x ≤−2或2≤x <3}D R2. 设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 23π，则（ ） A c <b <a B c <a <b C a <b <c D b <c <a3. 函数f(x)=x+1x 图象的对称中心为（ ）A (0, 0)B (0, 1)C (1, 0)D (1, 1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为（ ）A 25B 24C 23D 225. 从集合A ＝{−1, 1, 2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{−2, 1, 2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx +b 不经过第三象限的概率为（ ）A 29B 13C 49D 59 6. 在同一个坐标系中画出函数y =a x ，y =sinax 的部分图象，其中a >0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )A B CD7. 已知函数f(x)={x 2+ax +1，x ≥1ax 2+x +1，x <1则“−2≤a ≤0”是“f(x)在R 上单调递增”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要8. 若直线l 被圆C:x 2+y 2=2所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是（ ）A (x −1)2+y 2=1B x 22+y 2=1C y =x 2D x 2−y 2=1二、填空题（共6小题，每小题3分，满分30分）9. 计算21+i =________．10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为________．（用“>”连接）11. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P −ABC 的主视图与左视图的面积的比值为________．12. 已知函数f(x)=xe x ，则f′(x)=________；函数f(x)图象在点（0, f(0)）处的切线方程为________．13. 已知向量a →=(x, 2)，b →=(l, y)，其中x ，y ≥0．若a →⋅b →≤4，则y −x 的取值范围为________． 14. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ，△CPD 的面积为f(x)．则f(x)的定义域为________；f(x)的最大值为________．三、解答题（共6小题，满分80分）15. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tanB =12，tanC =13，且c =（1）求tan(B+C)；（2）求a的值．16. 数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2且S n=S n−1+2n(n≥2, n∈N∗)．（1）求S n；（2）是否存在等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a3，b3=a9？若存在，则求出数列{b n}的通项公式；若不存在，则说明理由．17. 如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB // DC，AD=CD=12AB，且O为AB中点．(I)求证：BC // 平面POD；(II)求证：AC⊥PD．18. 已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0, a∈R)（I）若a=1，求函数f(x)的极值和单调区间；（II）若在区间[1, e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1,32)，其离心率为12．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．20. 已知每项均是正整数的数列a1，a2，a3，…a100，其中等于i的项有k i个(i＝1, 2, 3…)，设b j＝k1+k2+...k j(j＝1, 2, 3…)，g(m)＝b1+b2+...b m−100m(m＝1, 2, 3…)．(Ⅰ)设数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，k5＝…＝k100＝0，求g(1)，g(2)，g(3)，g(4)；(II)若a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，比较g(m)，g(m+1)的大小；(Ⅲ)若a1+a2+...a100＝200，求函数g(m)的最小值．2011年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）答案1. B2. A3. B4. C5. A6. D8. B9. 1−i10. s 1>s 2>s 311. 112. (1+x)e x ,y =x13. [−4, 2]14. (2, 4),2√215. 解：（1）因为tanB =12，tanC =13，tan(B +C)=tanB+tanC 1−tanBtanC ， 代入得到，tan(B +C)=12+131−12×13=1；（2）因为A =180∘−B −C ，所以tanA =tan[180∘−(B +C)]=−tan(B +C)=−1，又0∘<A <180∘，所以A =135∘．因为tanC =13>0，且0∘<C <180∘， 所以sinC =√1010， 由a sinA =c sinC ，得a =√5．16. 解：（1）因为S n =S n−1+2n ，所以有S n −S n−1=2n 对n ≥2，n ∈N ∗成立即a n =2n 对n ≥2成立，又a 1=S 1=2⋅1，所以a n =2n 对n ∈N ∗成立所以a n+1−a n =2对n ∈N ∗成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n =a 1+a n 2⋅n =n 2+n ，n ∈N ∗（2）存在．由（1），a n =2n ，n ∈N ∗对成立所以有a 3=6，a 9=18，又a 1=2，所以由b 1=a 1，b 2=a 3，b 3=a 9，则b 2b 1=b3b 2=3 所以存在以b 1=2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n =2⋅3n−1．17.证明：(I)因为O 为AB 中点，所以BO =12AB ，又AB // CD，CD=12AB，所以有CD=BO，CD // BO，所以ODCB为平行四边形，所以BC // OD，又DO⊂平面POD，BC⊄平面POD，所以BC // 平面POD．(II)连接OC．因为CD=BO=AO，CD // AO，所以ADCO为平行四边形，又AD=CD，所以ADCO为菱形，所以AC⊥DO，因为正三角形PAB，O为AB中点，所以PO⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，所以PO⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，又PO∩DO=O，所以AC⊥平面POD．又PD⊂平面POD，所以AC⊥PD．18. 解：(I)因为f′(x)=−1x2+ax=ax−1x2，当a=1，f′(x)=x−1x2，令f′(x)=0，得x=1，又f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：f(x)的单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(0, 1)；（II）因为f′(x)=−1x2+ax=ax−1x2，且a≠0，令f′(x)=0，得到x=1a，若在区间[1, e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，其充要条件是f(x)在区间[1, e]上的最小值小于0即可．（1）当a<0时，f′(x)<0对x∈(0, +∞)成立，所以，f(x)在区间[1, e]上单调递减，故f(x)在区间[1, e]上的最小值为f(e)=1e +alne=1e+a，由1e +a<0，得a<−1e，即a∈(−∞,−1e)（2）当a>0时，①若e ≤1a ，则f ′(x)≤0对x ∈[1, e]成立， 所以f(x)在区间[1, e]上单调递减，所以，f(x)在区间[1, e]上的最小值为f(e)=1e +alne =1e +a >0， 显然，f(x)在区间[1, e]上的最小值小于0不成立②若1<1a <e ，即1>a >1e 时，则有所以f(x)在区间[1, e]上的最小值为f(1a )=a +aln 1a ，由f(1a )=a +aln 1a =a(1−lna)<0， 得1−lna <0，解得a >e ，即a ∈(e, +∞)舍去；当0<1a <1，即a >1，即有f(x)在[1, e]递增，可得f(1)取得最小值，且为1，f(1)>0，不成立．综上，由（1）（2）可知a <−1e 符合题意．19. 解：（1）由已知，e 2=a 2−b 2a 2=14， 所以3a 2=4b 2，①又点M(1,32)在椭圆C 上， 所以1a 2+94b 2=1，②由①②解之，得a 2=4，b 2=3．故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1． （2）当直线l 有斜率时，设y =kx +m 时， 则由{y =kx +mx 24+y 23=1.消去y 得，(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=48(3+4k 2−m 2)>0，③ 设A 、B 、P 点的坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)、(x 0, y 0)，则：x 0=x 1+x 2=−8km 3+4k 2，y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m3+4k 2， 由于点P 在椭圆C 上，所以x 024+y 023=1．从而16k 2m2(3+4k2)2+12m2(3+4k2)2=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．又点O到直线l的距离为：d=√1+k2=√34+k2√1+k2=√1−14(1+k2)≥√1−14=√32．当且仅当k=0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而P点为(−2, 0)，(2, 0)，直线l为x=±1，所以点O到直线l的距离为1，所以点O到直线l的距离最小值为√32．20. （I）∵ 数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，∴ b1＝40，b2＝70，b3＝90，b4＝100，∴ g(1)＝−60，g(2)＝−90，g(3)＝−100，g(4)＝−100；(II)∵ g(m+1)−g(m)＝b m+1−100，根据b j的含义，知b m+1≤100，∴ g(m+1)−g(m)≤0，即g(m)≥g(m+1)，当且仅当b m+1＝100时取等号；又∵ a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，∴ 当m≥50时，b m＝100，∴ g(1)>g(2)>...>g(49)＝g(50)＝g(51)＝…，即当1<m<49时，g(m)>g(m+1)，当m≥49时，有g(m)＝g(m+1)；(III)设M为{a1, a2, ...a100}中的最大值，由(II)知，g(m)的最小值为g(M)；则g(M)＝b1+b2+b3+...+b M−100M＝(b1−100)+(b2−100)+(b3−100)+...+(b M−1−100)＝(−k2−k3−...−k M)+(−k3−k4−...−k M)+(−k4−k5...−k M)+...+(−k M)＝−[k2+2k3+...+(M−1)k M]＝−(k1+2k2+3k3+...+Mk M)+(k1+k2+...+k M)＝−(a1+a2+a3+...+a100)+b M＝−(a1+a2+a3+...+a100)+100∵ a1+a2+a3+...+a100＝200，∴ g(M)＝−100，∴ g(m)最小值为−100．另由题易知M的最大值为101，∴ g(m)的最小值为g(101)＝−100．。

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D C B D二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分 所以1101,19a a == ……………………4分 所以2d =所以 21n a n =- ……………………6分（II ）因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以 27n a n =- ……………………10分所以247n n S a n n +=--所以2472n n n -->，即2670n n -->9． 1i -+10．乙 11. 16-或 16 12．22 13．1π2π;(,)233- 14．1;02k <≤所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，2AD =， 根据正弦定理有sin45sin30CD AD = ……………………4分 所以2CD = ……………………6分 （II ）所以4BD = ……………………7分 又在ABD ∆中，75ADB ∠=，62sin75sin(4530)4+=+=……………………9分 所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅=+ ……………………12分 所以333322ABC ABD S S ∆∆+== ……………………13分 同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD = 而 62sin105sin(4560)4+=+= ……………………8分 所以31AC =+ ……………………10分 又4BD =，6BC = ……………………11分 所以1333sin3022ABC S AC BC ∆+=⋅⋅= ……………………13分 17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分 同理//OF AD又,OE OF O PA AD A ==所以平面//OEF 平面PDA …………………6分 （II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ …………………7分 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………8分 又OF PO O =所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC =…………………12分 同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x x x== …………………2分 若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行， 所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = …………………4分 （II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f x g x ≥+记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0 221'()a x a F x x x x-=-= …………………6分 则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表： x(0,)a a (,)a +∞ '()F x - 0 +()F x 极大值…………………8分 当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥ 所以e a ≥ …………………10分 当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ， ()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得e a ≥ 所以e e a ≤< ………………12分 综上，e a ≤ ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为60 的菱形的四个顶点,所以3,1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x += 所以 123||31x k =+，则2222333||13131k AO k k k +=+=++ ………………8分设AB 的垂直平分线为1y x k=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 则2299||(1)k PO k +=- ………………10分 因为PAB ∆为等边三角形， 所以应有||3||PO AO = 代入得到22229933|3(1)31k k k k ++=-+，解得0k =（舍），1k =-……………13分 此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行 法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列 法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列 （写出一种即可）…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则 22221212a a a a a a a a ----- 则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1a a ==.…………………6分② 如果操作第一行 22221212a a a a a a a a ----- 则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a解得1a = …………………9分综上1a =…………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||m nij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。

海淀区2011年高三年级第一学期文科数学期末练习第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240的值为A ．12-B ． 12C ．32-D ．322. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆 5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为A ．12B ．6C ． 4D ．27. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈，01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥车速O40506070800.0100.0350.030a频率组距正视图左视图俯视图222112218. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）开始0;0S n ==n i<21n S S =++是否1n n =+S输出结束i 输入设函数13()sin cos 22f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且32a b =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）围棋社戏剧社书法社学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O ，侧棱1AA ⊥BD,点F高中 45 30 a初中151020为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为23，求P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n = *()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.答案及评分参考第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CAACBDBD第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 ,3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分 32s i n 32b b B ∴=, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O = ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A = 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，x(1,)a a(,2)a()f x ' － 0 ＋ ()f x极小由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分....................................10分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242(23)t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠= ，所以120DOC ∠= . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P . ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分。

海淀区高三年级第二学期期末练习文科综合能力测试 2011.5选择题 (共140分）本部分共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

2011年3月29日5时20分（西五区时间），美国“信使号”水星探测器向地球发回第一组高清晰的水星图像，为人类进一步了解和研究水星提供了珍贵资料。

结合下表回答第1题。

1．下列叙述正确的是①水星自转的角速度和线速度均比地球大②水星表面始终昼夜等长③水星的体积和质量小，无法吸引住大气④照片发回时，北京时间为3月29日18时20分A．①② B．②③C．③④D．①④图1为“某年4月17日02时—20日02时我国西北某地气象要素变化示意图”，读图回答2、3题。

2.根据图1中各气象要素的变化得知，该天气系统与其可能带来的天气现象的正确组合是A ．反气旋、冻雨天气 B.气旋、大雾天气C. 冷锋、暴雨天气D.冷锋、大风沙暴天气3.此次天气过程对当地产生的影响可能是A.农牧业设施受到了损坏B.附近山区易出现泥石流C.大气环境质量明显改善D.缓解绿洲农业供水紧张2011年3月11日日本近海发生9.0级强烈地震，并引发海啸，随后福岛核电站发生爆炸，核污染物质被排入海洋。

读图2，回答第4、5题。

4.根据世界洋流分布规律，排入海洋的污染物可能A ．沿北大西洋暖流污染美国西部B ．沿洋流影响到加拿大西部C ．沿我国东部沿岸暖流向南扩散D ．沿大洋西侧洋流影响俄罗斯东部5. 地震发生后，Esri 公司发布了专题地图，公众可通过互联网或智能手机查阅与本次地震及核电站泄露的相关内容。

Esri 公司提供的此项服务主要基于A ．RS 技术B ．GPS 技术C ．GIS 技术D ．数字地球 图3为“某地垂直自然带谱示意图”，回答第6、7题。

6．垂直自然带谱反映了A ．该山地可能位于云贵高原B ．经度地带性规律C ．甲坡的水热状况优于乙坡D ．水分差异导致植被类型不同7．乙坡山麓地带的气候类型是A ．温带海洋性气候B ．亚热带季风气候C ．地中海气候D ．温带季风气候图4为“1978～2000年中国县级年均水灾频次图”，回答第8、9题。

六、数列1、（2011昌平二模理6）. 已知等差数列{}n a 的公差为3，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（D ）A ．9B ．3C ． -3D ．-92、（2011东城二模理5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ D ）（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 3、（2011顺义二模理4）.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于（D ）A 21+B 21-C 223+D 223-4、（2011西城二模理7）．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k （ B ）（A ）有3个（B ）有2个（C ）有1个（D ）不存在 5、（2011西城二模理14）.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_120____； ②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是__(21,2),k k k -∈*N ___. 6、（2011昌平二模文3）数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足13n n a a +=+，且38a =，则10S 等于（ A ）A ．155B ． 160C ．172D ．240 7、（2011丰台二模文4）已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a =(C) (A) 12-(B) 23-(C)35(D)528、（2011顺义二模文4）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则7698a a a a ++等于(C)A 21+B 21-C 223+D 223- 9、1(2011朝阳二模理12)已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a =43 ；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a = 221n n - 2、（2011海淀二模理13）已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) .3、（2011东城二模文14）已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，那么a = 2 ；若对于任意的*N n ∈，总存在*N m ∈，使得 3n m b a =+成立，则n a = 5n-34、（2011海淀二模文13）已知数列}{n a 满足，11=a 且)(1n n n a a n a -=+（*n ∈N ），则2a ；n a =__n_.5、（2011西城二模文9） 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为__3___.6、（2011西城二模文14）数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n = ，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<；③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0i a <.其中正确的命题是__①③____.（写出所有正确命题的序号） 解答1（2011昌平二模理20）. (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足125a =，且对任意n *∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+． (Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(Ⅱ）试问数列{}n a 中()1k k a a k *+⋅∈N 是否仍是{}n a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由． （Ⅲ）令21(5),3n nb a =+证明：对任意2*,2n b n n N b ∈>都有不等式成立.解: （Ⅰ）111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， ……1分所以11132n n a a +-=， ……. 2分 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列． ……3分 （II ）由（Ⅰ）可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=，所以232n a n =+．…… 4分 ()122243231292110k k a a k k k k +⋅=⋅=+++++ …….5分22921622k k =+++22372322k k =++⋅+． …… 7分因为()2213723122k k k k k k +++=+++， …… 8分当k *∈N 时，()12k k +一定是正整数，所以23722k k ++是正整数．(也可以从k 的奇偶性来分析)所以1k k a a +⋅是数列{}n a 中的项，是第23722k k ++项． …… 9分(Ⅲ)证明：由（2）知：232n a n =+，21232(5)(5)4332n n n b n a +=+=+=+…..10分下面用数学归纳法证明：422(4)n n +>+对任意*n N ∈都成立。

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文） 2015.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数2i (1i)-对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） （A ）10,2x x x ∀>+< （B ）10,2x x x ∀≤+< （C ）10,2x x x∃≤+< （D ）10,2x x x∃>+< （3）圆22:4230C x y x y ++-+=的圆心坐标及半径分别是（ ） （A）(-（B）（C ）(2,1),2- （D ）(2,1),2-（4）右图表示的是求首项为41-，公差为2的等差数列{}n a 前n 项和的最小值的程序框图.则①处可填写（ ）（A ）0S > （B ）0S < （C ）0a >（D ）0a =（5）已知点(,)(0)A a a a ≠，(1,0)B ，O 为坐标原点.若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ） （A ）11(,)22-（B ）(,)22a a -（C ）(,)22a a（D ）11(,)22（6）在ABC ∆中，若3,3a c A π==∠=，则b =（ ） （A ）4（B ）6（C）（D（7）设320.30.2,log 0.3,log 2a b c ===，则（ ）（A ）b a c << （B ）b c a <<（C ）c b a << （D ）a b c <<（8）已知不等式组4,2,2x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，点(0,0),(1,0)O A .若点M 是D 上的动点，则OA OMOM⋅uu r uuu r uuu r 的最小值是（ ）（A（B（C（D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2011年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在复平面上，复数z=2−i对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2.已知全集U=R，集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A {1}B {0, 1}C {1, 2}D {0, 1, 2}3. 函数f(x)=log2x−1x的零点所在区间是( )A (0,12) B (12，1) C (1, 2) D (2, 3)4. 若函数y=sin(x+π3)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A y=sin(12x+π6) B y=sin(12x+π3) C y=sin(2x+2π3) D y=sin(2x+π3)5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛的得分情况的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（）A 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6. 圆x2+y2−4x+2=0与直线l相切于点A(3, 1)，则直线l的方程为()A 2x−y−5=0B x−2y−1=0C x−y−2=0D x+y−4=07. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有（）A 0条B 1条C 2条D 3条8. 若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2．给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a1a2>b1b2；③a12−a22=b12−b22；④a1−a2<b1−b2．其中，所有正确结论的序号是（）A ②③④B ①③④C ①②④D ①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 双曲线C:x22−y22=1的渐近线方程为________；若双曲线C的右焦点和抛物线y2=2px的焦点相同，则抛物线的准线方程为________．10. 点P(x, y)在不等式组{y≤2xy≥−xx≤2表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为________．11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．12. 已知△ABC的面积S=√3，∠A=π3，则AB→⋅AC→=________．13. 已知数列{a n}满足a1=1，且a n=n(a n+1−a n)(n∈N∗)，则a2=________；a n=________．14. 已知函数f′(x)、g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示：①若f(1)=1，则f(−1)=________；②设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ(−1)，ℎ(0)，ℎ(1)的大小关系为________．（用“<”连接）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x．（1）求f(π4)的值；（2）若x ∈[0,π2]，求f(x)的最大值及相应的x 值． 16. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，且D ，E ，F 分别为BC ，BB 1，AA 1的中点．（1） 求证：平面B 1FC // 平面EAD ；（2）求证：BC 1⊥平面EAD ．17. 某学校餐厅新推出A 、B 、C 、D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下．为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（1）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率．18. 已知函数f(x)=13x 3−ax 2+bx ．(a, b ∈R)(I)若f ′(0)=f ′(2)=1，求函数f(x)的解析式；(II)若b =a +2，且f(x)在区间(0, 1)上单调递增，求实数a 的取值范围．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)两个焦点之间的距离为2，且其离心率为√22． （1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满 足BA →⋅BF →=2，求△ABF 外接圆的方程．20. 对于数列A:a 1，a 2，…，a n ，若满足a i ∈{0, 1}(i =1, 2, 3,…,n)，则称数列A 为“0−1数列”．定义变换T ，T 将“0−1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A:1，0，1，则T(A)：0，1，1，0，0，1．设A 0是“0−1数列”，令A k =T(A k−1)，k =1，2，3，…（1） 若数列A 2:1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．求数列A 1，A 0；（2） 若数列A 0共有10项，则数列A 2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；（3）若A 0为0，1，记数列A k 中连续两项都是0的数对个数为l k ，k =1，2，3，…求l k 关于k 的表达式．2011年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. A3. C4. B5. D6. D7. B8. B9. y =±x ,x =−2√210. 611. π+112. 213. 2,n14. 1,ℎ(0)<ℎ(1)<ℎ(−1)15. 解：（1）∵ f(x)=sinxcosx +sin 2x ，∴ f(π4)=sin π4cos π4+sin 2π4，…=(√22)2+(√22)2 …=1．…（2）f(x)=sinxcosx +sin 2x =12sin2x +1−cos2x 2，… =12(sin2x −cos2x)+12=√22sin(2x −π4)+12，… 由x ∈[0,π2]得2x −π4∈[−π4,3π4]，… 所以，当2x −π4=π2，即x =38π时，f(x)取到最大值为√2+12．…16. 证明：（1）由已知可得AF // B1E，AF=B1E，∴ 四边形AFB1E是平行四边形，∴ AE // FB1，…∵ AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴ AE // 平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴ DE // B1C，…∵ ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ ED // 平面B1FC；…∵ AE∩DE=E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴ 平面B1FC // 平面EAD．…（2）∵ 三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴ C1C⊥面ABC，又∵ AD⊂面ABC，∴ C1C⊥AD．…又∵ 直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴ △ABC是正三角形，∴ BC⊥AD，…而C1C∩BC=C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴ AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵ 四边形BCC1B1是菱形，∴ BC1⊥B1C，…而DE // B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE=D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…17. 若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是0.1．（2）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5．其中不满意的人数分别为1，1，0，2个．…记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d．…设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”…从填写不满意的学生中选出2人，共有(a, b)，(a, c)，(a, d)，(b, c)，(b, d)，(c, d)6个基本事件，…而事件N有(a, c)，(a, d)，(b, c)，(b, d)，(c, d)5个基本事件，…．…则P(N)=56．答：这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率是5618. 解：(I)因为f′(x)=x2−2ax+b，由f ′(0)=f ′(2)=1即{b =14−4a +b =1得{a =1b =1， 所以f(x)的解析式为f(x)=13x 3−x 2+x ． (II)若b =a +2，则f ′(x)=x 2−2ax +a +2，△=4a 2−4(a +2)，(1)当△≤0，即−1≤a ≤2时，f ′(x)≥0恒成立，那么f(x)在R 上单调递增， 所以，当−1≤a ≤2时，f(x)在区间(0, 1)上单调递增；(2)当△>0，即a >2或a <−1时，因为f ′(x)=x 2−2ax +a +2的对称轴方程为x =a要使函数f(x)在区间(0, 1)上单调递增，需{a <−1f′(0)≥0或{a >2f′(1)≥0解得−2≤a <−1或2<a ≤3．综上：当a ∈[−2, 3]时，函数f(x)在区间(0, 1)上单调递增．19. 解：（1）由题意可得：2c =2,e =c a =√22，… ∴ c =1,a =√2，∴ b =√a 2−c 2=1，…所以椭圆C 的标准方程是 x 22+y 2=1．…（2）由已知可得B(0, 1)，F(1, 0)，…设A(x 0, y 0)，则BA →=(x 0,y 0−1)，BF →=(1,−1)，∵ BA →⋅BF →=2，∴ x 0−(y 0−1)=2，即x 0=1+y 0，…代入x 022+y 02=1， 得：{x 0=0y 0=−1或{x 0=43y 0=13， 即A(0, −1)或A(43，13)．…当A 为(0, −1)时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF 的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x 2+y 2=1； …当A 为(43，13)时，k BF =−1，k AF =1， 所以△ABF 是直角三角形，其外接圆是以线段BA 为直径的圆．由线段BA 的中点(23，23)以及|BA|=2√53可得△ABF 的外接圆的方程为(x −23)2+(y −23)2=59．…综上所述，△ABF 的外接圆的方程为x 2+y 2=1或(x −23)2+(y −23)2=59．20. 解：（1）由变换T 的定义可得A 1:0，1，1，0，0，1...A 0:1，0，1…（2） 数列A 0中连续两项相等的数对至少有10对 …证明：对于任意一个“0−1数列”A 0，A 0中每一个1在A 2中对应连续四项1，0，0，1，在A 0中每一个0在A 2中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0−1数列”A 0中的每一个项在A 2中都会对应一个连续相等的数对， 所以A 2中至少有10对连续相等的数对．…（3） 设A k 中有b k 个01数对，A k+1中的00数对只能由A k 中的01数对得到，所以l k+1=b k ，A k+1中的01数对有两个产生途径：①由A k 中的1得到； ②由A k 中00得到， 由变换T 的定义及A 0:0，1可得A k 中0和1的个数总相等，且共有2k+1个， 所以b k+1=l k +2k ，所以l k+2=l k +2k ，由A 0:0，1可得A 1:1，0，0，1，A 2:0，1，1，0，1，0，0，1所以l 1=1，l 2=1，当k ≥3时，若k 为偶数，l k =l k−2+2k−2，l k−2=l k−4+2k−4，…l 4=l 2+22． 上述各式相加可得l k =1+22+24+⋯+2k−2=1(1−4k 2)1−4=13(2k −1)， 经检验，k =2时，也满足l k =13(2k −1)．若k 为奇数，l k =l k−2+2k−2l k−2=l k−4+2k−4...l 3=l 1+2．上述各式相加可得l k =1+2+23+⋯+2k−2=1+2(1−4k−12)1−4=13(2k +1)， 经检验，k =1时，也满足l k =13(2k +1)．所以l k ={13(2k +1)，k 为奇数13(2k −1)，k 为偶数．…。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(文科) 2010.11一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,3,5,7A =，{}1,3,5,6,7B =，则集合()U A B ⋂ð是（ ）A ． {2,4,6}B ． {1,3,5,7}C ． {2,4}D ．{2,5,6} 2. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是（ ） A ．12log y x = B ．1y x=C ．3y x =D ．x y tan =3．已知命题:0p x ∃≥，使23x =，则A ．:0p x ⌝∀<，使23x ≠B ．:0p x ⌝∀≥，使23x ≠C ．:0p x ⌝∃≥，使23x ≠D ．:0p x ⌝∃<，使23x ≠ 4．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω ＝（ ）A. 41 B.21 C.4πD.2π5.已知160sin ,3log ,222===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ． b a c <<D ． a b c <<6．已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（ ） A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直 B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线7. 已知321,,a a a 为一等差数列，321,,b b b 为一等比数列，且这6个数都为实数，则下面四个结论中正确的是（ ）①21a a <与32a a >可能同时成立； ②21b b <与32b b >可能同时成立； ③若021<+a a ，则032<+a a ； ④若021<⋅b b ，则032<⋅b bA ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 8．若存在负实数使得方程 112-=-x a x成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0(二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．已知角α的终边经过点)1,1(-, 则αsin 的值是____________.10. 在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知,47sin ,6,5===A c b 则==a A ______,cos __________.11．已知直线ex y =与函数xe xf =)(的图象相切，则切点坐标为 .12．在矩形A B C D 中，,12== 且点F E ,分别是边CD BC ,的中点，则=⋅+AC AF AE )(_________.13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.(1)(2)(3)给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是 ．14．设数列{}n a 的通项公式为*23,(),n a n n N =-∈ 数列}{m b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≤成立的所有n 中的最大值，则2b =____________，数列}{m b 的通项公式m b =________．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S .16. （本小题共13分）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（I ）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值； （II ）求函数)(x f 的单调增区间.17．（本小题共14分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=.（I ）求)1(-f 的值； （II ）求函数)(x f 的值域A ； （III ）设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．（本小题共13分）已知定义在区间]6,0[上的二次函数c bx ax x f ++=2)(满足0)6()0(==f f ，且最大值为9.过动点))(,(t f t P 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接O P （其中O 为坐标原点）. （I ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）记OAP ∆的面积为S ，求S 的最大值. 19．（本小题共14分）在数列}{n a 中，123...n n a a a a n a ++++=-（1,2,3...n =）． （I ）求123,,a a a 的值；（II ）设1-=n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列；（III ）设)(2n n b c n n -⋅= （1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有5t c n <，求正整数t 的最小值.20．（本小题共13分）对x R ∈，定义1, 0sgn()0, 01, 0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．（I ）求方程)sgn(132x x x =+-的根；（II ）求函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调区间； （III ）记点集()()(){}sgn 1sgn 1,10,0,0x y S x y xyx y --=⋅=>>，点集()(){}lg ,lg ,T x y x y S =∈，求点集T 围成的区域的面积．海淀区高三第一学期期中练习数 学 (文科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）分） （9）22 （10）3, 44（11） ),1(e （12）215 （13） ②③（14）2， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=是偶数是奇数m m m m b m,22,23也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-=+=)(2,1)(12,1**N k k m k N k k m k b m 三、解答题(本大题共6小题,共80分) （15）（本小题共13分）解：（I ）设等比数列}{n a 的公比为 q 2a 是1a 和13-a 的等差中项3312)1(2a a a a =-+=∴ ……………………………………….2分 223==∴a a q ………………………………………4分)(2*111N n qa a n n n ∈==∴--………………………………………6分 （II ）n n a nb +-=12)212()25()23()11(12-+-+++++++=∴n n n S . ……….8分)2221()]12(531[12-+++++-+++=n n ………..9分21212)12(1--+⋅-+=nn n ……….11分122-+=n n ....……13分 16．（本小题共13分） 解：（I ）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分）212sin 23+=x ..........5分由1)(=θf ，可得332sin =θ ............7分所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ............8分63= ............9分（II ）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ， ...........11分即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ........... 13分17．（本小题共14分）解：（I ） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数)1()1(f f =-∴ ...........1分又 0≥x 时，xx f )21()(=21)1(=∴f ...........2分 21)1(=-f ...........3分（II ）由函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，可得函数)(x f 的值域A 即为0≥x 时，)(x f 的取值范围. ..........5分当0≥x 时，1)21(0≤<x...........7分故函数)(x f 的值域A =]1,0( ...........8分 （III ）a x a x x g +-+-=)1()(2∴定义域}0)1({2≥+-+-=a x a x x B ...........9分 方法一 ：由0)1(2≥+-+-a x a x 得0)1(2≤---a x a x ，即 0)1)((≤+-x a x ...........11分 B A ⊆],,1[a B -=∴且1≥a ...........13分 ∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分 方法二：设a x a x x h ---=)1()(2B A ⊆当且仅当⎩⎨⎧≤≤0)1(0)0(h h ...........11分 即⎩⎨⎧≤---≤-0)1(10a a a ...........13分∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分18．（本小题共13分）解：（I ）由已知可得函数()f x 的对称轴为3=x ，顶点为)9,3( ..........2分 方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2a b ac a bf 得0,6,1==-=c b a ...........5分 得2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分方法二：设9)3()(2+-=x a x f ...........4分由0)0(=f ，得1-=a ...........5分2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S ...........8分)4(23236)('2t t tt t S -=-= ...........9分列表 ...........11分由上表可得4t =时，三角形面积取得最大值. 即2m ax 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=. ...........13分19．（本小题共14分） 解：（I ）由已知可得 111a a -=，得211=a ...........1分2212a a a -=+，得432=a ...........2分33213a a a a -=++，得873=a ...........3分（II ）由已知可得：n n a n S -= 2≥∴n 时，11)1(----=n n a n S2≥∴n 时，111--+-=-=n n n n n a a S S a ……….4分得21211+=-n n a a ..........5分2≥∴n 时，)1(212121111-=-=---n n n a a a ……….6分即2≥n 时，121-=n n b b ，021111≠-=-=a b ...........7分 ∴数列}{n b 是等比数列，且首项为21-，公比为21 ............8分（III ）由（II ）可得，nn b 21-= ...........9分∴nn n n n n n b c 2)(22-=-⋅= ...........10分∴121212)3(22)1()1(+++-=--+-+=-n nn n n n n n n n n c c ...........11分∴ >>=<<54321c c c c c∴n c 有最大值4343==c c ...........12分对任意*n N ∈，都有5t c n <，当且仅当543t <， ...........13分即415>t ，故正整数t 的最小值是4. ...........14分20． （本小题共13分）解：（I ）当0>x 时，1)sgn(=x ，解方程1132=+-x x ，得0=x （舍）或3=x当0=x 时，0)sgn(=x ，0不是方程0132=+-x x 的解 当0<x 时，1)sgn(-=x ，解方程1132-=+-x x ，得1=x （舍）或2=x （舍） 综上所述，3=x 是方程)sgn(132x x x =+-的根. ...........3分 （每一种情况答对即得1分）（II ）函数)(x f 的定义域是}0{>x x ...........4分 当2>x 时，x x x f ln )(-=，011)('>-=xx f 恒成立 ...........5分 当20<<x 时，)ln ()(x x x f --=，11)('-=xx f解0)('>x f 得10<<x ...........6分 解0)('<x f 得21<<x ...........7分 综上所述，函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调增区间是),2(),1,0(+∞，单调减区间是)2,1(. ...........8分（III ）设点(),P x y T ∈，则()10,10x yS ∈．于是有10)10()10()110sgn()110sgn(=⋅--yxy x ，得()()sgn 101sgn 1011xyx y ⋅-+⋅-=当0>x 时，x x xx x =-=->-)110sgn(,1)110sgn(,0110当0<x 时，x x xx x -=--=-<-)110sgn(,1)110sgn(,0110∴x x x=-)110sgn(同理，y y y=-)110sgn(∴}1),{(=+=y x y x T ...........11分点集T 2． ...........13分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2006年市海淀区期末练习二高三数学文科试卷(海淀区二模试卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合}5,2{},4,3,2{},5,4,3,2,1{===B A U ，则B ∪（）等于（） A ．{5}B ．{1，2，5}C ．{1，2，3，4，5}D ．2．等差数列{n a }的公差d<0，且8,124242=+=⋅a a a a ，则数列{n a }的通项公式是（） A ．)(22*N n n a n ∈-= B ．)(42*N n n a n ∈+=C ．)(122*N n n a n ∈+-=D ．)(102*N n n a n ∈+-=3．若函数xx f 2)(=+1的反函数是)(1x f-，则函数)(1x fy -=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．双曲线1922=-my x 的焦距是10，则实数m 的值为（）A ．－16B ．4C ．16D ．815．若α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是（） A ．,,//αβα⊥m 则β⊥m B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥βD ．α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n6．若0>>b a ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．a b b a 11+>+B ．11++>a b a bC ．ab b a 11->-D ．ba b a b a >++227．某科技小组有四名男生两名女生. 现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生 入选的不同选法种数为（）A ．36CB ．2512C CC ．14222412C C C C +D ．36A8．若0)1(),,0()(2=-∈>++=f R x a c bx ax x f ，则“a b 2-<”是“0)2(<f ”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9．不等式01>-xx的解集为. 10．将圆042:22=-++y x y x C 按向量a =（1，－2）平移后，得到圆C ′，则圆C ′的半径为，其圆心坐标为.11．在同一时间内，对同一地域，市、区两个气象台预报天气准确的概率分别为109、54， 两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一气象台预报准确的概率是. 12．如图，边长均为2的正方形ABCD 与正方形ABEF 构成60°的二面角D —AB —F ，则点D 到点F 的距离为，点D 到平面ABEF 的距离为. 13．若函数)2()2()(2+-++=a bx x a x f 的定义域为R ，则b a +3的值为.14．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”仿此，52的“分裂”中最大的数是，若)(*3N m m ∈的“分裂”中最小的数是21，则m 的值为. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）已知函数).(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+= （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）函数)(x f 的图象可由R x x y ∈=(sin 2）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得 到？16．（本小题共13分）已知函数m nx mx x f ()(23+=、0,≠∈m R n ），函数)(x f y =的图象在点（2，)2(f ）处的切线与x 轴平行.（1）用关于m 的代数式表示n ；（2）当m=1时，求函数)(x f 的单调区间.17．（本小题共14分）如图：三棱锥P —ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC=90°，PB=AB=AC=4，点E 是PA 的中点. （1）求证：AC ⊥平面PAB ； （2）求异面直线BE 与AC 的距离； （3）求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小.18．（本小题共13分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两定点A （1，0）、B （0，－1），动点P （y x ,）满足：)()1(R m OB m OA m OP ∈-+=.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 交于相异两点M 、N. 若以MN 为直径的圆经过原点，且双曲线C 的离心率等于3，求双曲线C 的方程.19．（本小题共13分）数列}{n a 的前n 项和为n n n ma m S N n S -+=∈)1(),(*对任意的*N n ∈都成立，其中m 为常数，且m<－1.（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）记数列}{n a 的公比为q ，设).(m f q =若数列}{n b 满足；*111,2)((,N n n b f b a b n n ∈≥==-）. 求证：数列}1{nb 是等差数列； （3）在（2）的条件下，设1+⋅=n n n b bc ，数列}{n c 的前n 项和为n T . 求证：.1<n T20．（本小题共14分）函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件： ①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x 、R y ∈，有yx f xy f )]([)(=； ③.1)31(>f （1）求)0(f 的值；（2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数；（3）若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+[参考答案]一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．}10|{<<x x 10．5（2分）（0，0）（3分） 11． 12．2（2分）3（3分） 13．－6 14．9（2分） 5（3分） 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（1）x x x x x f 2sin 32cos cos sin 322cos )(+=+=…………2分 R x x x x ∈+=+=)(62sin(2)2sin 232cos 21(2π）………………………………4分∴T=2)(,=最大值x f π…………………………………………………………6分 （2）先将R x x y ∈=(sin 2）的图象向左移6π个单位，得到)6sin(2π+=x y 的图象；再将)6sin(2π+=x y 的图象的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到)62sin(2π+=x y 的图象.…………………………13分或先将R x x y ∈=(sin 2）的图象的横坐标变为原来一半，纵坐标不变，得到函数x y 2sin 2=的图象；再将x y 2sin 2=的图象向左移12π个单位，得到)62sin(2π+=x y 的图象.………………………………13分 16．（共13分）解：（1）nx mx x f nxmx x f 23)()(223+='∴+= ………………2分由已知条件得：0)2(='f ∴3m+n=0 ………………4分∴n=－3m …………6分（2）若m=1，则n=－3……………………7分x x x f x x x f 63)(3)(223-='∴-=∴，令0)(>'x f ………………8分0<∴x 或.2>x ………………10分令20,0)(<<<'x x f 得………12分∴)(x f 的单调递增区间为（－∞，0），（2，+∞）∴)(x f 的单调递减区间为（0，2）.………………………………13分 17．（共14分）解法一：（1）∵三棱锥P —ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC=90° ∴PB ⊥AC ，BA ⊥AC ……………………4分∵PB ∩BA=B ∴AC ⊥平面PAB ………………4分 （2）∵PB=BA=4，点E 是PA 的中点∴BE ⊥EA ………………5分又∵EA ⊂平面PAB 由（1）知AC ⊥EA ………………6分∴EA 是异面直线BE 、AC 的公垂线段…………7分 ∵PB ⊥AB ∴△PBA 为直角三角形…………8分 ∴EA=21PA=21×42=22∴异面直线BE 与AC 的距离为22.………………9分 （3）取BC 中点D ，连结AD 、PD ∵AB=AC=4，∠BAC=90° ∴BC ⊥AD AD=22∵PB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ∴PB ⊥AD ∵PB ∩BC =B ∴AD ⊥平面PBC ………………11分∴PD 为PA 在平面PBC 内的射影∴∠APD 为PA 与平面PBC 所成角.…………………12分 在Rt △ADP 中，21sin ==APAD APD ……………………13分∴∠APD=30°………………14分∴PA 与平面PBC 所成角大小为30°. 解法二：（1）同解法一…………………………4分 （2）同解法一……………………………9分 （3）过点A 作AD//PB ，则AD ⊥平面ABC 如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （－4，0，0），C （0，4，0），P （－4，0，4）………………10分)0,4,4(),4,4,4(=-=∴BC PC ………………11分设平面PBC 的法向量),,1(μλ=n⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=+=-+∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01044044400μλλμλBC n PC n ……………………12分n ∴=（1，－1，0）PA =（4，0，－4），设直线PA 与平面PBC 所成角为θsin θ=cos<PA ,n 21||||=⋅n PA n PA …………………………13分∴直线PA 与平面PBC 所成角的大小为30°………………14分 18．（共13分）解：（1）)1,0)(1()0,1(),()1(--+=∴-+=m m y x OB m OA m OP …………2分11=+∴⎩⎨⎧-==∴y x my m x 即点P 的轨迹方程为01=-+y x …………4分（2）由⎪⎩⎪⎨⎧-=+22221b y ax y x 得：22222222)(b a a x a x a b --+-=0∵点P 轨迹与双曲线C 交于相异两点M 、N 022≠-∴a b ， 且(*)0))((44222224>----=∆b a a a b a设),(),,(2211y x N y x M ，则222222122221,2ab b a a x x a b a x x -+-=--=+…………6分∵以MN 为直径的圆经过原点0=⋅∴ON OM 即：02121=+y y x x0)1)(1(2121=--+∴x x x x 即0)(22122222222=-+--+ab b a a a b a 即022222=--b a a b ①…………………8分222222233a b a b a e e =∴=+=∴= ②………………10分∴由①、②解得22,21==b a 符合（*）式∴双曲线C 的方程为12422=-y x ………………………………13分 19．（共13分）证明：（1）当n=1时，111==S a …………………………1分n n ma m S -+=)1( ①)2()1(11≥-+=∴--n ma m S n n ②……………2分①－②得：)2(1≥-=-n ma ma a n n n ……………………3分01,0,1,0)1(111≠+≠∴-<≠=+∴--m a m a ma a m n n n)2(11≥+=∴-n m ma a n n …………………………4分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比数1+m m 的等比数列.……………………4分（2）1)(11)(11111+====+=---n n n n b b b f b a b m mm f (7)分)2(11111111≥=-∴+=∴---n b b b b b n n n n n ……………………9分 ∴数列{nb 1}是首项为1，公差为1的等差数列.（3）由（2）得=nb 1n 则nb n 1=……10分)1(11+=⋅=+n n b b c n n n ……11分 111413131212111)1(1321211+-++-+-+-=+++⨯+⨯=n n n n T n ………………12分1111<+-=n …………………………13分 20．（共14分）解法一：（1）令2,0==y x ，得：2)]0([)0(f f =……………1分1)0(0)0(=∴>∴f f …………………………3分（2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,31,312211p x p x ==则21p p < 21)]31([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=-……………………4分)()()(,1)31(2121x f x f x f p p f ∴<∴<> 在R 上是单调增函数……10分（3）由（1）（2）知1)0()(=>f b f 1)(>b f b ab f bcb f a f )]([)()(=⋅=b cb f bc b f c f )]([)()(=⋅=………11分bc a bcb ab f b f b fc f a f +>+=+∴)]([2)]([)]([)()(而)(2)]([2)]([222222b f b f b f bb ac c a bb bc a =>∴==>++)(2)()(b f c f a f >+∴……14分解法二：（1）∵对任意x 、y ∈R ，有yx f xy f )]([)(=x f x f x f )]1([)1()(=⋅=∴………1分∴当0=x 时0)]1([)0(f f =……2分∵任意x ∈R ，0)(>x f …………3分1)0(=∴f ……………………4分（2）1)]31([)313()1(,1)31(3>=⨯=∴>f f f f …………………………6分x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数即)(x f 是R 上单调增函数；………10分（3）c a c a f f f c f a f +>+=+)]1([2)]1([)]1([)()(……………………11分而)(2)]1([2)]1([222222b f f f bb ac c a b c a =>∴==>++)(2)()(b f c f a f >+∴……………………14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学 （文科）2011.4选择题 （共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题 ,每题 5 分 ,共 40 分.在每题列出的四个选项中 ,选出切合题目要求的一项 .1、已知会合 Ax R 0 x 3 ， B xR x 2 4 ，则 A BA. x x2 或 2 x 3B.x 2 x 3C. x 2 x 32. 设 a 30.5, blog 3 2, ccos2，则3A. c b aB. c a bC. a b cD. bx 13．函数 f ( x) 图象的对称中心为xA ． (0,0)B.(0,1)C. (1,0)D.(1,1)4. 履行以下图的程序框图，若输入x 的值为 2，则输出的 x 值为A. 25B ． 24 C. 23 D ． 225.从会合 A { 1,1,2}中随机选用一个数记为k ，从会合 B { 2,1,2} 中随机选用一个数记为b ，则直线 ykx b 不经过第三象限的概率为2 1 C.4 5A ．B.9D.9396. 在 同 一 个 坐 标 系 中 画 出 函 数 y a x, y sin ax 的 部 分 图 象 ， 其 中a 0且a 1 ，则以下所给图象中可能正确的选项是yy11O12xO 1D. Rc a开始 输入 xn 1n ≤3否 输出 x 结束2n n 1x 2x 1是xAByy11O12xO12xC D7. 已知函数f ( x)x2ax1,x1,则“ 2 a 0 ”是“ f (x)在 R 上单一递加”的ax2x1,x1,A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8.若直线 l 被圆 C : x2y2 2 所截的弦长不小于2，则 l 与以下曲线必定有公共点的是A2y 21B．．x 2y21 C. y x2D．x2y21． ( x 1)2非选择题（共 110 分）二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每题 5 分,共 30 分 .把答案填在题中横线上.29. 计算__________________.1i10.为认识本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每个月平时花费额”的检查.他们将检查所获得的数据分别绘制成频次分布直方图（以下图），记甲、乙、丙所检查数据的标准差分别为s1， s2，s3, 则它们的大小关系为. （用“”连结）频次频次频次组距组距组距0.00080.00080.00080.00060.00060.00060.00040.00040.00040.00020.00020.0002O1000 1500 2000 2500 3000 3500 元O1000 1500 2000 2500 3000 3500 元O10001500 2000 2500 3000 3500 元甲乙丙11.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1 D1内一动点，则三棱锥P ABC 的主视图与左视图的面积的比值为_________.D1C1A1PB1[根源 :]DC左视A B主视12. 已知函数f ( x) xe x ，则 f ' (x) =________;函数 f ( x) 图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为_______13. 已知向量 a ( x,2), b (1,y) ，此中 x, y 0 .若 agb 4 ，则 y x 的取值范围为.14．如图， 线段 AB =8，点 C 在线段 AB 上，且 AC =2， P 为线段 CB 上一动点， 点 A 绕点 C 旋转后与点B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x ， △ CPD 的面积为 f (x) .则 f (x) 的定义域为 ________； f ( x) 的最大值为________.D ACP B三、解答题 : 本大题共 6 小题 ,共 80 分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .15. （本小题共 13 分）在 ABC 中，内角 A 、B 、 C 所对的边分别为1 ， tan C1a 、b 、c ，已知 tan B, 且23c 1 .[ 根源 :Z#xx #](Ⅰ ) 求 tan(B C ) ；(Ⅱ) 求 a 的值 .16. （本小题共 13 分）数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 12 且 S n S n 1 2n （ n 2 ， n N * ） . [根源 :]( I )求 S n ；( II ) 能否存在等比数列{ b n } 知足 b 1 a 1, b 2a 3，b 3 a 9 ？若存在， 则求出数列 { b n } 的通项公式；若不存在，则说明原因.17. （本小题共 13 分）如图：梯形 ABCD 和正△PAB 所在平面相互垂直，此中 AB//DC,ADCD1AB ，且 O 为 AB 中点.P2( I ) 求证： BC // 平面 POD ；OAB(II) 求证：AC PD .18. （本小题共14 分）已知函数 f (x)1a ln x ( a 0, a R) x（Ⅰ）若 a 1，求函数 f ( x) 的极值和单一区间；(II) 若在区间[1,e] 上起码存在一点 x0，使得 f ( x0 )0 建立，务实数 a 的取值范围.19.（本小题共 14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 经过点 M (1,3), 其离心率为1 . a2b2 1 ( a22（Ⅰ）求椭圆C的方程；( Ⅱ) 设直线l与椭圆C订交于 A、B 两点，以线段OA, OB为邻边作平行四边形OAPB，其中极点 P 在椭圆C上，O为坐标原点 . 求O到直线距离的l 最小值.20.（本小题共 13 分）已知每项均是正整数的数列a1, a2 ,a3 ,L ,a100，此中等于i 的项有k i个(i1,2,3L ) ，设 b j k1 k 2k j( j1,2,3L ) ，g(m) b1b2L b m 100m ( m1,2,3L ).（Ⅰ）设数列 k140, k230, k3 20,k4 10, k5...k1000 ，求 g(1), g(2), g(3), g(4) ；(II)若 a1 ,a2 , a3 ,L , a100中最大的项为50，比较 g(m), g(m1) 的大小；（Ⅲ）若 a1 a2La100200 ，求函数 g( m) 的最小值.[根源:][根源 : ][根源 : ]海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参照2011． 4（共 40 分） [ 根源 :]一、 （本大 共8 小 , 每小 5 分 , 共 40 分） [ 根源 :Z § xx § ]号 12 3 45 6 7 8答案CABC ADBB非（共 110 分）二、填空 （本大 共 6小 , 每小 5分 . 共 30分 . 有两空的 目，第一空3 分，第二空 2分）9.1 i10. s 1 > s 2 > s 3 11. 1 12.xy x13. [ 4,2]14.(1 x e ，，2 2)(2, 4) 三、解答 ( 本大 共 6 小 , 共 80 分)15. （共 13 分）解：（ I ）因 tan B1 ， tanC 1 , tan(B C ) tan B tan C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分231 tan B tan C1 1代入获得， tan(B C) 2 3 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分1 1 12 3（ II ）因 A180o B C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因此 tan A tan[180 o(B C )]tan( B C )1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 又 0oA180o ，因此 A 135o .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因 tan C1 ，且 0oC180o，因此 sin C10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分0 ，310ac 5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 [来由，得 asin Asin C源 :学§科§网 ]16. （共 13 分）解：（ I ）因 S n Sn 12n ，因此有S n S n 1 2n n 2 ， nN *建立 ⋯⋯⋯2 分即 a n 2n n 2建立，又 a 1 S 12 1 , 因此 a n2n nN *建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 因此 a n 1 a n 2 n N * 建立 ，因此 { a n } 是等差数列，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 因此有 S na 1annn 2 n ， nN *⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2（ II ）存在 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分[ 来源 :Z|xx|]由（ I ）， a n 2n ， n N * 建立因此有 a 36, a 9 18 ，又 a 12 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此由b 1 a 1, b 2 a 3， b 3 a 9 b 2b 3 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分，b 1b 2因此存在以 b 1 2 首 ，公比 3 的等比数列 {b n } ，其通 公式 b n23n 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分P17. （共 13 分）明 : (I) 因 O AB 中点，因此 BO1AB,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分21又 AB / /CD, CDAB ，AO2B因此有 CD BO,CD / /BO,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分D C因此 ODCB 平行四 形 ,因此 BC / /OD ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又 DO 平面 POD, BC 平面 POD,因此 BC//平面 POD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(II) 接 OC .P因 CD BO AO, CD / / AO, 因此 ADCO平行四 形，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又 ADCD ,因此 ADCO 菱形，OABDC因此AC DO ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因正三角形PAB , O AB 中点，因此 PO AB ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又因平面 ABCD平面 PAB ,平面 ABCD I 平面 PAB AB ，因此 PO平面 ABCD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分而 AC平面 ABCD ，因此 PO AC ，[根源:]又POI DO O ，因此 AC平面 POD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分又 PD平面 POD ，因此 AC PD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 [来源 : ]18. （共 14 分）解：（ I）因 f '( x)1a ax 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x2x x2当 a 1 ， f '( x)x1，x2令 f'( x)0 ，得x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又 f( x) 的定域(0,) ，f( x) ， f (x) 随x的化状况以下表：x(0,1)1(1,)f '( x)0f ( x)]极小Z所以 x 1 ， f ( x)的极小 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分f ( x) 的增区(1,) ，减区(0,1) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（ II）解法一：因 f '( x)1a ax10 ，x2x x2，且 a令 f '( x)0 ，获得 x 1，a若在区 (0, e] 上存在一点 x0，使得 f ( x0 )0 建立，其充要条件是 f (x) 在区 (0, e] 上的最小小于0 即可 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ 1）当 x10 ， f '( x)0 x(0,) 建立，0 ，即 aa因此， f ( x) 在区 (0, e] 上 减，故 f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 f (e)1 a ln e 1 a ，e由111) e a 0，得 a，即 a (, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分e1e e（ 2）当 x 0 ，即 a0 ，a① 若 e1， f '( x)0 x(0, e] 建立，因此f ( x) 在区 (0, e] 上 减，a11因此， f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 f ( e)a ln ea 0 ，e e然， f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 小于0 不建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分② 若 0 1 e ，即 a1， 有aex(0,11( 1)a, e)a af '( x)f ( x)]极小Z因此 f ( x) 在区 (0, e] 上的最小f ( 1) aa ln 1，aa由 f ( 1)a a ln1a(1 ln a) 0 ，aa得 1ln a，解得ae，即 a(e,) .13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分上，由 (1)（ 2）可知： a(, 1) U (e, ) 切合 意 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分e(0, e] 上存在一点 x 0 ，使得 f ( x 0 )0 1 a ln x 0 0 ，解法二：若在区建立，即x 0因 x 00 , 因此，只需 1 ax 0 ln x 0 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分令 g ( x) 1ax ln x ，只需 g(x) 1 ax ln x 在区 (0, e] 上的最小 小于0 即可因 g '(x)a ln x aa(ln x 1) ，令 g '( x)a(ln x1) 0，得 x 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分e（ 1）当 a 0 ：x1 1 (1, e] [ 来(0, )eee源 :]g '( x) [ 来源:学+科+ 网 ]g(x)Z极大][来源 :Z*xx*]因 x(0, 1) ， g( x)1 ax ln x 0 ，而 g(e) 1 ae ln e 1 ae ，e11只需 1 ae 0 ，得 a(⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分，即 a, )（2 ）当 aee：1x [:(0, ) [根源 :11e根源 学,e]#科#网]学+科+网e(eZ+X+X+K]g '( x)g(x)]极小Z因此，当x (0, e] ， g( x) 极小 即最小g( 1 ) 1 a 1 ln 11a ，e e ee由1a 0 ， 得ae ，即 a(e,).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分e131上，由 (1)（ 2）可知，有 a( ,) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分 [根源 : 学*) U (e,e科 * 网 Z*X*X*K]19. （共 14 分）解：（Ⅰ）由已知， e 2a 2b 2 1 ，因此 3a 2 4b 2，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分a 2431 9 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又点 M (1, ) 在 C 上，因此a 24b 2②2由①②解之，得 a 24, b 23 .故 C 的方程x 2y 2 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分43( Ⅱ ) 当直 l 有斜率 ，y kx m ，y kxm,由y 2x 2 1.43消 去 y 得 ， (34k 2 ) x 2 8kmx 4m 2 12 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 [ 来源 :]64k 2m 24(3 4k 2 )(4m 2 12) 48(3 4k 2m 2 ) 0 ，③ ⋯⋯⋯⋯7分A 、B 、 P 点的坐 分 (x 1, y 1 )、(x 2 , y 2 )、( x 0 , y 0 ) ， ：x 0 x 1x 28km 2 , yy 1 y 2k( x 1x 2 ) 2m6m 2 ⋯⋯⋯⋯8分3 4k3 4k ，因为点 P 在 C 上，因此x 02y 02 1 .⋯⋯⋯9 分43进而16k 2m 212m 21 ，化 得 4m 234k 2 ， 足③式 .(3 4k 2 )2(3 4k 2 )2⋯⋯⋯10 分又点 O 到直 l 的距离 ：| m | 3 k 21 1 34d1 k 212 )121 k 24(1 k 4[根源 :学| 科 | 网]⋯⋯⋯11分当且 当 k 0 等号建立⋯⋯⋯⋯12 分当直 l无斜率 ，由 称性知，点P 必定在 x 上，进而 P 点 (2,0),(2,0) ，直 l x1 ，因此点 O 到直 l 的距离1 ⋯⋯13 分因此点 O 到直 l 的距离最小3 ⋯⋯14 分220. （共 13 分）解:(I)因 数列 k 140, k 2 30, k 3 20, k 4 10 ，因此 b 1 40, b 2 70,b 3 90, b 4 100 ，因此 g (1)60, g(2)90, g(3)100, g(4)100 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(II)一方面， g(m 1) g( m) b m 1 100 ，北京市海淀区2011届高三模拟数学(文)试题及答案依据 b j的含知 b m 1100，故 g(m1)g( m) 0 ，即g( m)g (m1) ，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分当且当 b m 1100 取等号.因 a1, a2 ,a3,L, a100中最大的50，因此当m50必有b m100 ，因此 g (1) g(2)L g(49)g(50)g(51)L L即当 1m49 ，有g( m) g( m1) ；当 m49 ，有g (m)g(m1) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ III）Ma1 , a2 ,L ,a100中的最大 .由（ II ）能够知道，g( m) 的最小 g (M ) .下边算 g (M ) 的.g(M )b1 b2b3L b M100M( b1100)(b2 100) (b3100)L(b M 1 100)( k2k3 L k M ) ( k3k4 L k M ) ( k4 k5L k M ) L( k M )[ k22k3L( M 1)k M ]( k12k23k3 L Mk M ) ( k1k2L k M )( a1a2a3L a100)b M(a1a2a3L a100)100 ，∵ a1a2a3L a100200，∴ g (M )100 ，∴ g (m)最小100.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分明：其余正确解法按相步分.。