2.4等比数列的概念与通项公式

2.4等比数列（基础）要点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0q ≠），即：1(0)n na q q a +=≠. 要点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项0n a ≠且0q ≠；“0n a ≠”是数列{}n a 成等比数列的必要非充分条件；④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列；不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据*1(0)n na q n N q a +=∈≠，.利用这种形式来判定. 要点二、等比中项如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么称数G 为a 与b 的等比中项.其中G =。

要点诠释：①只有当a 与b 同号即0ab >时，a 与b 才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比中项. 当a 与b 异号或有一个为零即0ab ≤时，a 与b 没有等比中项。

②任意两个实数a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项2a bc +=唯一. 但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项时，等比中项不唯一。

③当0ab >时，a 、G 、b 成等比数列⇔G ba G=2 ④2G ab =是a 、G 、b 成等比数列的必要不充分条件。

要点三、等比数列的通项公式首相为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=⋅（*1N 0n a q ∈⋅≠，）推导过程：（1）归纳法： 根据等比数列的定义1nn a q a -=可得1(2)n n a a q n -=≥： ∴21211a a q a q -==；23132111()a a q a q q a q a q -====； 234143111()a a q a q q a q a q -====；……111(2)n n n a a q a q n --===≥L当n=1时，上式也成立∴归纳得出：111(*n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，（2）累乘法： 根据等比数列的定义1nn a q a -=可得： 21a q a =，32a q a =，43aq a =，…，1n n a q a -=， 把以上1n -个等式的左边与右边分别相乘（累乘），并化简得：11n na q a -=，即11(2)n n a a q n -=≥又1a 也符合上式∴111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，.要点诠释：①通项公式由首项1a 和公比q 完全确定，首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了。

2. 4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1•通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2•掌握等比中项的概念并会应用. 3•掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.预冃案*自建迸习j 研读• M •営试新知提炼1.等比数列的定义(1) 从第2项起条件(2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数结论这个数列就叫做等比数列有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2•等比数列的通项公式门―1a n = aq 1.3. 等比中项若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab.■自我尝试‘1•判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.()(2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. ()⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. ()(4) 常数列一定为等比数列.()(5) 任何两个数都有等比中项. ()答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（）A. 6B. 3x 2n—13. 4与9的等比中项为()A . 6B . - 6=1,C . 2 x 3n —1 D . 6n答案：CA . 6B . - 6=1,C . i6D . 36 答案：C 11 14. 等比数列一10-而，一而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：105. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3,贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________1答案：1 4探究案讲练互普探究点一等比数列的通项公式H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n .(2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3,［解］(1)因为6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以a 1q 6= 8,②②3， 由①，得43= 4,从而q = - 4,而a 1q 3= 2,n — 1又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6.方祛归纳于是a 1 = q 3=M2' 2n -5所以 a n = a 1q n -1 = 2 3a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ①⑵因为25② 1由①，得q =P 从而a 1 = 32.等比数列通项公式的求法a i 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.关于 a i 和q的求法通常有以下两种方法：⑴根据已知条件，建立关于a i , q 的方程组，求出a i , q 后再求a n ，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求a i ,最后求a n ,这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.”i.在等比数列｛a n ｝中，(1) 已知 a i = 3, q = — 2，求 a 6； (2) 已知 a 3= 20, a 6 = i60，求 a n ； …9i 2十(3) 已知 a i = 8〉a n = 3, q = 3,求 n.解：⑴由等比数列的通项公式，得a 6= 3 X (— 2)6— i = — 96.⑵设等比数列的公比为 q ,a i q 2= 20,由已知可得a i q 5= i60,q= 2,解得a i = 5.所以 a n = a i q n — i = 5X 2n — i . ⑶由 a n = a i q n —i ,3，得 n = 4.探究点二等比数列的判定■- 在数列｛a n ｝中，若a n >0,且a n +i = 2a n + 3(n € N *).证明：数列｛a n + 3｝是等比数列.［证明］法一：因为a n >0, 所以 a n + 3>0.i 9得 3=8 Xn — i又因为a n+1= 2a n+ 3,a n +1 + 3 2a n+ 3+ 3 2 (a n + 3)所以= = =2.a n + 3 a n+ 3 a n + 3所以数列｛ a n+ 3｝是首项为a i + 3，公比为2的等比数列. 法二：因为a n>0, 所以a n+ 3>0.又因为a n+1= 2a n+ 3,所以a n+ 2= 4a n+ 9.所以(a n+ 2+ 3)(a n + 3) = (4a n+ 12)(a n+ 3)=(2a n+ 6)2=(a n+1+ 3)2.即a n+ 3, a n +1 + 3, a n+2+ 3 成等比数列，所以数列｛a n+ 3｝是等比数列.Rm貝*本例的条件不变，若a1 = 2,求数列｛a n｝的通项公式.解：由数列｛a n + 3｝是等比数列，当a1= 2 时，a1 + 3 = 5,所以数列｛a n+ 3｝是首项为5,公比q= 2的等比数列，所以a n+ 3 = 5 x 2n-1,即a n= 5 x —1—3.方注归期等比数列的三种判定方法(1)定义法探究点三等比中项及其应用方祛归抽已知等比数列中的相邻三项 a n — 1 , a n , a n + 1,则a n 是a n — 1与a n + 1的等比中项, a n -1 a n +1,运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程，同时等比中项常起到桥梁作用, 要认真感悟和领会."!" '||［3.(1)如果一1, a , b , c,— 9 成等比数列，那么()a n + 1—=q(q 为常数且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列. a n (2)等比中项法a n +1 = a n a n + 2(n € N *且a n 丸)等价于｛a n ｝是等比数列. (3)通项公式法a n = a 1q n —1(a 1^0且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列.1”2.已知数列｛a n ｝是首项为2，公差为一1的等差数列，令b n = 1，求证数列｛b n ｝是等比数列，并求其通项公式.解：由已知得，a n = 2+ (n — 1)x (— 1) = 3— n ,1 3-( n + 1)b n + 1 2 故 = ~b n 1 3—n23 — ( n + 1) — 3+ n所以数列｛ b n ｝是等比数列. 因为b 1= 114,所以 b n =X 2n —1 = 2n ― 3［解］由题意知 3 b 2, b ，243, c 这五个数成等比数列，求 32a ,b ,c 的值.23b2= — 2243 X—亦 3ab = — 2 27 27所以b = ±8•当b =—时，2 10243 3 初/曰bc =—五=—2 ，解得 c =3 6 =2 ，2，解得2 a =3 ；27 2同理，当 b =— "8■时，a =— 3, 3 c =—2综上所述，a , b , c 的值分别为2 27 3, 8 ,2 — 27 3, —8，A . b = 3, ac = 9 B. b =— 3, ac = 9 C. b = 3, ac =— 9 D. b =— 3, ac =— 9⑵已知等比数列｛a n ｝的前三项依次为 a — 1, a +1, a + 4,贝U a n = _________解析：(1)因为 b 2= (— 1)x (— 9) = 9, 且b 与首项—1同号， 所以b =— 3，且a , c 必同号. 所以 ac = b 2= 9.⑵由已知可得(a + 1)2= (a — 1)(a + 4), 解得 a = 5,所以 a 1= 4, a 2= 6,所以a n = 4 x 31. 等比数列定义的再认识(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数， 是具有任意性的，但须注意是从“第2项”⑵从“第2项”起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是“同一个”.(3)对于公比q ,要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒，q 不为零.⑷各项不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列. 2. 等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ,可以确定一个等比数列.⑵在公式a n = a 1q n 1中有a n , a 1, q , n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.⑶等比数列｛a n ｝的通项公式的推导所以a 2a 12'答案：(1)B3 n — 1(2)4 x 3起.法一：（迭代法） 根据等比数列的定义，有2n — 2 n —1a n = a n -i q = a n — 2q 2=^= a 2q 2= a i q 1 法二：（累乘法） 根据等比数列的定义，可以得到把以上n -1个等式左右两边分别相乘，得 a 2 a 3 a 4 a i a 2 a 3即 an = q n —1, a i 所以 a n = a 1q n -1.3. 等比中项的理解（1） 当a , b 同号时，a , b 的等比中项有两个；当 a , b 异号时，没有等比中项.（2） 在一个等比数列中， 从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后 一项的等比中项.（3） “a , G , b 成等比数列”等价于“ G 2= ab ”（a , b 均不为0），可以用它来判断或证明 三数是否成等比数列.当堂检测 ♦1•数列｛a n ｝的通项公式是a n = 5x 3n ，则此数列是（ ）A •公比为3的等比数列B •公比为5的等比数列C .首项为5的等比数列D .公差为3的等差数列 解析：选A.因为a n = 5x 3n , 所以 a n -1= 5x 3n -1（n 》2）, 所以当n > 2时，—匹=3.a n - 1由等比数列的定义知，｛a n ｝是公比为3的等比数列. 2.在首项a 1= 1，公比q = 2的等比数列｛a n ｝中，当a n = 64时，序号n 等于（）a 2 ar q ， a 3 a 4 ar q ，aT q ，a na n -1q ,a n a n -1n -1A. 4B. 5C. 6解析：选 D.因为a n= a i q—1,所以 1 x 2n-1= 64,即1= 26，得 n— 1 = 6,解得n = 7.3. (2015高考广东卷)若三个正数a, b, c成等比数列，其中a = 5+ 2丁6, c= 5—2.6,则b= ________ .解析：因为a, b, c成等比数列，所以b2= a c= (5 + 2 '6) (5 — 2 .：6)= 1.又b>0,所以b= 1.答案：14•求下列各等比数列的通项公式：(1) a1 = —2, a3= —8;(2) a1 = 5，且2a n+1 = —3a n.解：(1)因为a3= a1q2,所以q2= 4,所以q= ±2.当q = 2 时，a n= (—2) x 2n—1= —2n;当q = — 2 时，a n= ( —2)x (—2)n—1= (—2)n.a n+1 3(2)因为q= "a^ =—2，又a1 = 5,3 n—1 所以a n= 5 x — 2.应用案巩固提升丄［A 基础达标］1. 若｛a n｝为等比数列，且2a4= a6 —a5，则公比是()A. 0 B . 1 或一2D . —1或一2解析：选 C.由已知得2a1q3= a1q5—ag4,得2= q2—q,所以q=—1或q = 2.2. 在等比数列｛a n｝中，a n>0，且a i+ a2= 1, a3+ a4= 9，贝U a4+ a5 的值为()A. 16B. 27C. 36D. 81解析：选 B.由a3+ a4= q2(a1 + a2)= 9,所以q2= 9,又a n>0,所以q= 3.a4+ a5= q(a3 +a4）= 3X 9 = 27.3. 彳，是等比数列4,2, 4, 2 2,…的（）A .第10项B .第11项C.第12项 D .第13项解析：选B.由题意可知q=痣二乎，令¥= 4返x普，所以土= 32=扌210，故n— 1 = 10,即n= 11.4. 在数列｛a n｝中，a1= 1,点（a n, a n+1）在直线y= 2x上，贝U a4的值为（）A . 7B . 8C. 9D. 16解析：选B.因为点（a n, a n+1）在直线y= 2x上,所以a n+1= 2a n.因为a1= 1丰0,所以a n丸,所以｛a n｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以a4= 1 x 23= 8.5. 一个数分别加上20, 50, 100后得到的三个数成等比数列，其公比为（）5 4A・3 %3 1CQ DQ解析：选A.设这个数为x,则(50+ x)2= (20 + x) (100 + x).解得x= 25,所以这三个数为45, 75, 125,75 5公比q为45= 36.右一1, 2, a, b成等比数列，则a + b=解析：根据题意有=身=b，解得a=—4, b= 8,—1 2 a所以a+ b= (-4) + 8 = 4.答案：47•下面各数列一定是等比数列的是(填序号).①一1, —2, —4, —8;② 1 , 2, 3, 4;1111③x, x, x, x；④a,評評尹解析：根据等比数列的定义，①④是等比数列，②不是等比数列，③中x可能为0,故③不一定是等比数列.答案：①④1 r,&在等比数列｛a n｝中，若a4= 27, q= —3，贝卩a6= ,a n =1解析：因为a4= a1q3= a1 —3 = 27,所以a1= —36,所以a6= a1q5= —36x=36x 3 = 3,n- 11a n=—36X—1= (—1)n37—n答案：3 (—1)n37 —n16 a3=—4，且公比为正数.9.已知数列｛a n｝为等比数列，首项a1=—9,(1)写出此等比数列的通项公式a n;⑵—20丁是否为｛a n｝中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.解：(1)设公比为q(q>0),由a3= a i q2,得一4 =—£q2,3解得q=3,16 3 n—1所以a n=—— X 2 .n —1人16、/ 3 1 81⑵令—-X 2 = —204= —7,3 n—1819 3 6得2 =乎X 16= 3，解得n = 7.1故—204是｛a n｝中的第7项.10.已知数列｛a n｝的前n项和为S n,对一切正整数n,点(n, S n)都在函数f(x)= 2x+ 2—4的图象上.求证：数列｛a n｝是等比数列.证明：由题意得S n = 2n+ 2—4,4, n=1,S1, n = 1, 所以a n=S n—S n—1, n》22n+ 1, n》2.又a i= 4 也符合a n= zZln G N*, n》2),所以a n= 2n+ 1(n € N ),a n +1 2n+ 2因为百=产=2，所以数列｛a n｝是等比数列.[B 能力提升]1. 已知数列｛a n｝，下列选项正确的是()A .若a2= 4n, n € N*，则｛a n｝为等比数列B. 若a n a n+2= a n+1, n € N*，则｛a n｝为等比数列C. 若a m a n= 2m n, m, n €N*，则｛a n｝为等比数列D .若a n a n+ 3= a n+ 1a n+ 2, n€ N*，则｛ a n｝为等比数列解析：选C•由a2= 4n知|a n| = 2n，则数列｛a n｝不一定是等比数列；对于 B , D选项，满足条件的数列中可以存在为零的项，所以数列｛a n｝不一定是等比数列；对于C选项，由a m a na n + 1=2m+n知，a m a n+ 1= 2m+ n+ S两式相除得石 =2(n € N ),故数列｛a n｝是等比数列.故选C.12. ___________________________________________________________________ 已知等比数列｛a n｝中，a i= 1,且a i, 2玄3, 2a2成等比数列，则a n = _____________________ 解析：设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a2= q, a3 = q2.1因为a i, §a3, 2a2成等比数列，1所以4q4= 2q,解得q= 2,所以an= 2n—I答案：2n_13. 已知数列｛a n｝的前n项和S n= 2a n + 1.(1)求证：｛a n｝是等比数列，并求出其通项公式；⑵设b n= a n+ 1+ 2a n,求证：数列｛b n｝是等比数列.解：(1)因为S= 2a n+ 1,所以S n+1= 2a n+1+ 1,S n + 1 —S n = a n+ 1 = (2a n + 1 + 1) —(2a n+ 1) = 2a n+ 1 —2a n,所以a n+ 1 = 2a n①，由已知及①式可知a n M O.a n+1所以由丁 = 2，知｛a n｝是等比数列.a n由a1= S1= 2a1 + 1,得a1=—1，所以a n = —2n—1.⑵证明：由(1)知，a n= —2n—1,所以b n= a n+1+ 2a n=—2n—2X 2n—1=—2X 2n=—2n +1= —4X 2n —1.所以数列｛b n｝是等比数列.4. (选做题)已知等比数列｛a n｝中，a1 = 1,公比为q,且b n= a n+1—a n.(1)判断数列｛b n｝是否为等比数列？说明理由；⑵求数列｛b n｝的通项公式.解：⑴因为等比数列｛a n｝中，a i= 1, 公比为q，所以a n = 1 x q n—1= q n一1, 若q = 1 ,贝y a n=1 , b n = a n+ 1 —a n= 0,所以数列｛b n｝是各项均为0的常数列,不是等比数列.若q丰1,由于b n+ 1a n+2—a n+1 q n+1—q nb n - =a n+1—a n = q n—q n-1q n(q —1)=q,q n —1(q —1)所以数列｛ b n｝是首项为b1= a2—a1= q —1，公比为q的等比数列.⑵由(1)可知，当q = 1时，b n= 0；当q 工 1 时，b n= (q —1)q n—1。

等比数列的定义和通项公式一、等比数列的定义和通项公式1.等比序列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。

（1）等比序列中的任何项都不是0，公共比率为$Q≠ 0 $.（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。

2.等比序列的通项公式（1）通项公式如果比例序列${a_n}$的第一项是$a_1$，公共比率是$q$，那么这个比例序列的一般项公式是$a_n=a_1q^{n-1}（a_1，q≠0)$。

在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。

注：通过$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，您可以启动$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$所以有：①在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。

② $a在已知的比例序列${a_n}${M$和$a_n$中，可以使用$\frac{a_n}{a_M}=q^{n-M}$来找到公共比率。

（2）等比数列中项的正负对于比例序列${a_n}$，如果$Q<0$，则${a_n}$中正负项之间的间隔，如序列1、-2、4、-8、16、$\cdots$；如果$Q>0$，则序列${a_n}$中的所有项都具有相同的编号。

总之，等比序列的奇数项必须有相同的符号，偶数项也必须有相同的符号。

3、等比中项如果插入一个数字$g（g≠ 0）$在$a$和$B$之间，因此$a$，$g$，$B$处于等比序列中，$g$被称为$a$和$B$等比的中间。

⽰范教案（等⽐数列概念及通项公式）2.4等⽐数列2.4.1等⽐数列的概念及通项公式从容说课本节内容先由师⽣共同分析⽇常⽣活中的实际问题来引出等⽐数列的概念，再由教师引导学⽣与等差数列类⽐探索等⽐数列的通项公式，并将等⽐数列的通项公式与指数函数进⾏联系，体会等⽐数列与指数函数的关系，既让学⽣感受到等⽐数列是现实⽣活中⼤量存在的数列模型，也让学⽣经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利⽤信息和多媒体技术，给学⽣以较多的感受，激发学⽣学习的积极性和思维的主动性.准备丰富的阅读材料，为学⽣提供⾃主学习的可能，进⽽达到更好的理解和巩固课堂所学知识的⽬的.教学重点1.等⽐数列的概念;2.等⽐数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等⽐关系;2.等⽐数列与指数函数的关系.教具准备多媒体课件、投影胶⽚、投影仪等三维⽬标⼀、知识与技能1.了解现实⽣活中存在着⼀类特殊的数列;2.理解等⽐数列的概念，探索并掌握等⽐数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等⽐关系，并能⽤有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等⽐数列与指数函数的关系.⼆、过程与⽅法1.采⽤观察、思考、类⽐、归纳、探究、得出结论的⽅法进⾏教学;2.发挥学⽣的主体作⽤，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学⽣学习的积极性.三、情感态度与价值观1.通过⽣活中的⼤量实例，⿎励学⽣积极思考，激发学⽣对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学⽣的类⽐、归纳的能⼒;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际⽣活的密切联系，激发学⽣学习的兴趣.教学过程导⼊新课师现实⽣活中，有许多成倍增长的实例.如，将⼀张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，⼿中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例⼦吗？⽣⼀粒种⼦繁殖出第⼆代120粒种⼦，⽤第⼆代的120粒种⼦可以繁殖出第三代120×120粒种⼦，⽤第三代的120×120粒种⼦可以繁殖出第四代120×120×120粒种⼦，…师⾮常好的⼀个例⼦！现实⽣活中，我们会遇到许多这类的事例.教师出⽰多媒体课件⼀：某种细胞分裂的模型.师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成⼀个数列，你能写出这个数列吗？⽣通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从⽽得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下⾯的数列：1，2，4，8，…①教师出⽰投影胶⽚1：“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭.”师这是《庄⼦·天下篇》中的⼀个论述，能解释这个论述的含义吗？⽣思考、讨论，⽤现代语⾔叙述.师 (⽤现代语⾔叙述后)如果把“⼀尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，21，41，81，161，… ②教师出⽰投影胶⽚2：计算机病毒传播问题.⼀种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进⾏传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第⼀轮，邮件接收者发送病毒称为第⼆轮，依此类推.假设每⼀轮每⼀台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成⼀个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每⼀轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学⽣发现“病毒制造者发送病毒称为第⼀轮”“每⼀轮感染20台计算机”中蕴涵的等⽐关系.⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，20，202，203，204，… ③教师出⽰多媒体课件⼆：银⾏存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现⾏定期储蓄中的⼀种⽀付利息的⽅式，即把前⼀期的利息和本⾦加在⼀起算作本⾦，再计算下⼀期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现⾏定期储蓄中的⾃动转存业务实际上就是按复利⽀付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本⾦×(1+本⾦)n ，这⾥n 为存期.⽣列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师⽣合作讨论得出“时间”“年初本⾦”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下⾯数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上⾯的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学⽣类⽐等差关系和等差数列的概念，发现等⽐关系.引⼊课题：板书课题 2.4等⽐数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］师从上⾯的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等⽐关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等⽐数列，那么你能给等⽐数列下⼀个什么样的定义呢？⽣回忆等差数列的定义，并进⾏类⽐，说出：⼀般地，如果把⼀个数列，从第2项起，每⼀项与它前⼀项的⽐等于同⼀个常数，那么这个数列叫做等⽐数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等⽐数列( geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等⽐数列的英⽂缩写记作G .P.(Geometric Progressio n ).我们今后也常⽤G.P.这个缩写表⽰等⽐数列.定义中的这个常数叫做等⽐数列的公⽐(commo n r a tio)，公⽐通常⽤字母q 表⽰(q≠0). 请同学们想⼀想，为什么q≠0呢？⽣独⽴思考、合作交流、⾃主探究.师假设q=0，数列的第⼆项就应该是0，那么作第⼀项后⾯的任⼀项与它的前⼀项的⽐时就出现什么了呢？⽣分母为0了.师对了，问题就出在这⾥了，所以，必须q≠0.师那么，等⽐数列的⾸项能不能为0呢？⽣等⽐数列的⾸项不能为0.师是的，等⽐数列的⾸项和公⽐都不能为0，等⽐数列中的任⼀项都不会是0. ［合作探究］师类⽐等差中项的概念，请同学们⾃⼰给出等⽐中项的概念.⽣如果在a 与b 中间插⼊⼀个数G ，使a 、G 、b 成等⽐数列，那么G 叫做a 、b 的等⽐中项.师想⼀想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能⽤a 、b 表⽰G 吗？⽣⼀起探究,a 、b 是同号的Gb a G ，G=±ab ，G 2=ab . 师观察学⽣所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列⼀样，等⽐数列也具有⼀定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任⼀项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等⽐数列来说，有什么类似的性质呢？⽣独⽴探究，得出：等⽐数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.［合作探究］探究：(1)⼀个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等⽐数列呢？(2)写出两个⾸项为1的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？写出两个公⽐为2的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？(3)任⼀项a n 及公⽐q 相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等⽐数列相同，需要什么条件？师引导学⽣探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学⽣回答.⽣探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列⼜是等⽐数列的数列是存在的，每⼀个⾮零常数列都是公差为0，公⽐为1的既是等差数列⼜是等⽐数列的数列.概括学⽣对(2)(3)(4)的解答.(2)中，⾸项为1，⽽公⽐不同的等⽐数列是不会相同的；公⽐为2，⽽⾸项不同的等⽐数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任⼀对应项与公⽐都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“⾸项和公⽐都相同”.(探究的⽬的是为了说明⾸项和公⽐是决定⼀个等⽐数列的必要条件；为等⽐数列的通项公式的推导做准备)［合作探究］师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等⽐数列的通项公式吗？⽣推导等⽐数列的通项公式.［⽅法引导］师让学⽣与等差数列的推导过程类⽐，并引导学⽣采⽤不完全归纳法得出等⽐数列的通项公式.具体的，设等⽐数列{a n }⾸项为a 1，公⽐为q ，根据等⽐数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1，即a n =a 1q n -1.师根据等⽐数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进⽽有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1.亦得a n =a 1q n -1.师观察⼀下上式，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？⽣把a n 看成a n q 0，那么，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数的和都是n .师⾮常正确，这⾥不仅给出了⼀个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从⽽得出通项公式的过程，⽽且其中还蕴含了等⽐数列的基本性质，在后⾯我们研究等⽐数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师请同学们围绕根据等⽐数列的定义写出的式⼦q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上⾯的式⼦改写成q a a q a a q a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到⼀起(叠乘)，得到的结果是11-=n n q a a ,于是，得a n =a 1q n -1. 师这不⼜是⼀个推导等⽐数列通项公式的⽅法吗？师在上述⽅法中，前两种⽅法采⽤的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种⽅法没有涉及不完全归纳法，是⼀个完美的推导过程，不再需要证明.师让学⽣说出公式中⾸项a 1和公⽐q 的限制条件.⽣ a 1，q 都不能为0.［知识拓展］师前⾯实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那⾥是⽤什么⽅法解决问题的呢？教师出⽰多媒体课件三：前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本⾦为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存⼊本⾦1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是⽤函数的知识和⽅法解决问题的.⽣⽐较两种⽅法，思考它们的异同.［教师精讲］通过⽤不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等⽐数列和指数函数可以联系起来.(1)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你⼜发现了什么？⽣借助信息技术或⽤描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出⼆者之间的关系.师出⽰多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等⽐数列是特殊的指数函数，等⽐数列的图象是⼀些孤⽴的点.师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个⾓度类⽐等差数列与等⽐数列，并填充下列表格：【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过⼀年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？师从中能抽象出⼀个数列的模型，并且该数列具有等⽐关系.【例2】根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建⽴数列的递推公式，这个数列是等⽐数列吗？师将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，….可知a 1=1;a 2=a 1×21;a 3=a 2×21.于是，可得递推公式 ??==-)1(21,111＞n a a a n n . 由于211=-n n a a ，因此，这个数列是等⽐数列. ⽣算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.练习：1.⼀个等⽐数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.师启发、引导学⽣列⽅程求未知量.⽣探究、交流、列式、求解.2.课本第59页练习第1、2题.课堂⼩结本节学习了如下内容：1.等⽐数列的定义.2.等⽐数列的通项公式.3.等⽐数列与指数函数的联系.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第1、2题.板书设计。

§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。

而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。

所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且 【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？ 等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。