2020年春湘教版九年级数学下册作业课件 2.1 圆的对称性

分类讨论：点在圆内和点在圆外
4 课堂小结
定义
平面内到一定点的距离等于定 长的所有点组成的图形
平面内一动点绕一定点旋转一 周所形成的图形
有关 概念
弦(直径)
直径是圆中 最长的弦
劣弧
弧
半圆
优弧
等圆、等弧
半圆是特 殊的弧
点与圆的位置关系
位置关系数量化
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r d=r d<r
圆的对称性
(
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，
弧用符号“⌒”表示.
以A、B为端点的弧记作 AB ，
读作“圆弧AB”或“弧AB”．
A
➢半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
➢劣弧与优弧
A
小于半圆的弧叫做劣弧. 如图中的CD
C
大于半圆的弧叫做优弧. 如图中的CAD、CAB
B
∴点E在⊙B外．
当d＝r时，点在圆上；
当d<r时，点在圆内．
知识点❸
4.观察下列图形：
请问以上三个图形中是轴对称图形的有_①__②__③_，是中心对称图 形的有__①__③__(分别用以上三个图形的代号填空)．
5、一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则
这个圆的半径是 7cm或3cm .
dP r
d
r
P
Pd r
点P在⊙O内
d ＜ r 点P在⊙O上 d = r 点P在⊙O外
位置关系
数形结合
数量关系
d＞ r
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为 8cm、 10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：

4、圆的对称性： 1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的 半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合， 观察这两个圆是否重合？
能够重合的两个 圆叫作相等的圆， 或等圆
现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持 不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸 上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？
这体现圆具有什么样的性质？
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转 任意角度，都能与自身重合. 特别地，圆 是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
2.在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直
径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？
这体现圆具有什么样的性质？
C
圆是轴对称图形，任意一条直径
所在的直线都是它的对称轴
正确
错 正确
2、自行车的车轮是圆形，为什么？
车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等都做成圆形的数学道理．
3、已知⊙O的半径是5cm，线段OA=6cm，则A点在⊙O 外 。
4、已知Rt∆ABC，∠C=90º，BC=3cm，AB=5cm， 以C为圆心，4cm长为半径作⊙C，则顶点A在圆 上 。
A
·
试求点O到弦AC的距离及AC的长。
·O
A DB
B
8、如图，一水平放置的圆形水管内水面 的宽度是16分米，水的最大深度是4分米， 求水管的直径。
A
O·D B
C
1、圆的概念是什么？ 到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，叫做圆。 2、圆对称性：
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆是轴对称图形，对称轴是圆的任意一条直径。
M·
O·

●M ●O
挑战自我 做一做
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于 E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝， 求弦AB的长。
A
F
D
OEC
B
反思小结：
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中 点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于 直径所在的直线对称。
n大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒DB
(用三个字母).
B
n 连接圆上任意两点间的线段叫做弦
(如弦AB).
A
●O
n 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
C
D
探求不断
如图,CD是直径, AB弦, CD⊥AB,垂足为M 。
你能发现图中有哪些等量关系？
请你说说它们相等的理由。
C
AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
n 布置作业：
3、思考题
。O
C
E1
F
A
已知：在以O点为圆心
的两个同心圆中。大
圆的弦CD交小圆于E、
F，OE、OF的延长线
交大圆于AB。
D B
求证：A⌒C=B⌒D.
3、思考题
。O
A
C
D
E
已知：在以O点为圆心 的两个同心圆中。大 圆的弦AB交小圆于C、 D.
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的
两条弧.
C
∵ CD是直径,
A M└
B
CD⊥AB,

夯实基础
*9.【2020·常州】如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上 的动点(C不与A，B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M 是 BC 的 中 点 ． 若 ⊙ O 的 半 径 是 3 ， 则 MH 的 最 大 值 是 () A．3 B．4 C．5 D．6
夯实基础
【点拨】∵CH⊥AB，垂足为 H， ∴∠CHB＝90°. ∵点 M 是 BC 的中点，∴MH＝12BC. ∵BC 的最大值是直径的长，⊙O 的半径是 3， ∴MH 的最大值为 3. 【答案】A
夯实基础
当 BP 在 ∠ ABC 外 部 时 ， 即 BP′ 的 位 置 ， 同 理 可 得 ∠ABP′＝40°， ∴∠P′BC＝∠ABC＋∠ABP′＝110°. 综上，∠PBC＝30°或∠PBC＝110°. 本题易考虑不周全而漏解． 【答案】30°或110°
整合方法
13．如图，A，B，C都是⊙O上的点，且点A，O，B在同 一条直线上，连接OC，AC.
夯实基础
12．【中考·绍兴】等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点 P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则 ∠PBC的度数为________．
夯实基础
【点拨】如图，当BP在∠ABC内部时，连接AP. ∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝70°. ∵BP＝BA＝AC，AP＝BC，BA＝AB， ∴△BAP≌△ABC(SSS)， ∴∠ABP＝∠BAC＝40°. ∴∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°.
夯实基础
*2. 【 2020·黔 东 南 州 】 如 图 ， AB 是 半 圆 O 的 直 径 ， AC ＝ AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE 的长为________．
夯实基础
【点拨】∵AC＝AD，∠CAD＝30°， ∴∠ACD＝∠ADC＝75°. ∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠CAD＝30°. ∴∠OCD＝45°，即△ OCE 是等腰直角三角形． 在等腰直角三角形 OCE 中，OC＝2，∴OE＝ 2. 【答案】 2

现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸 板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转 后，白纸上的圆是否仍然与硬圆具有什么样的性质？
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任 意角度，都能与自身重合.特别地，圆是中 心对称图形，圆心是它的对称中心.
2、在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条 直径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？
OA < r， OB = r， OC > r.
与圆有关的概念 弦
B O
连接圆上任意两点的线段 （如图AC）叫做弦，
·
C
经过圆心的弦（如图中 的AB）叫做直径．
A
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B 为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧 AB”。 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一 条弧都叫做半圆。
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
· O A
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
问 题 探 究
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 点A在圆内，
A
点B在圆上， 点C在圆外.
· r
O B
C
问题２：设⊙O半径为 r , 说出来点A，点B， 点C与圆心O 的距离与半径的关系：
B O
·
C
A
劣弧与优弧 小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中 的 ABC ）叫做优弧。
B
O
·
C
A
做一 做
1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆 ，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使 两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？

B
A
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 弧AB 记作 AB⌒
大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧
优弧DAB 记作优弧D ⌒AB
C
O
D 连接圆上任意两点的线段叫做弦
弦AB 弦CD
经过圆心的弦叫做直径
注意：
直径是弦，但弦不一定是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半圆既不是劣弧，也不是优弧
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
1、如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为M， C
1、图中相等的线段有 ； A
2、相等的劣弧有 ；
M B
3、若A⌒B = 10，则⌒AM =
，
O
BC =⌒5，B⌒D = 18，
则AC = ，AD = 。 D
例1、 如图，AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB 于
点C，OA = 5，AB = 8。求OC的长。
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例1、 如图，AB是⊙O的一条弦，
OC⊥AB于点C，OA = 5，AB =
8。求OC的长。
A
O
C
B
隔开8行左右
例2、如图，AB是⊙O的一条弦，
点C为弦AB的中点，OC = 3，AB
= 8，求OA的长。
O
A
C
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 1、如图，在⊙O中，直径CD平分弦AB
C
1、图中是直角的有 ；
A
M B
2、相等⌒的劣弧有 ；
O
3、若⌒CB = 10，则⌒AC =
，
D

圆的两种 定义
弦 直径
弧 优弧 劣弧 等弧
等圆
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
特别地，将圆绕圆心旋转 180°时能与自身重合，所以，
在纸上任画一个⊙O， 并剪下来. 将⊙O
C
沿任意一条直径（例如直径CD） 对折，
你发现了什么？
O
D
C
圆是轴对称图形， 任意一条直径 O
所在的直线都是圆的对称轴.
D
为什么通常要把车轮设计成圆形？ 请说说理由.
1. 下面的说法对吗？ 如不对， 请说明理由. （1） 直径是弦； （2） 弦是直径； （3） 半径相等的两个圆是等圆； （4） 圆既是中心对称图形， 又是轴对称图形.
A
r
d d P Pd
P
O
连接圆上任意两点的线段叫作弦， 经过圆心的弦叫作直径. 线段 AB， CD 是⊙O 的弦， 弦 AB 经过圆心 O， 因此线段 AB 是 ⊙O 的直径.
圆上任意两点间的部分叫作圆弧， 简称弧，弧用符号“ ”表示．
⊙O 上两点A， B 间小于半圆的 部分叫作劣弧， 记作 ；
⊙O 上两点A， B 间大于半圆的 部分叫作优弧， 记作 .
M O
A
B
1. 在一块硬纸板和一张薄的白纸上分别画一个圆，使它们的半 径相等，把白纸放在硬纸板上面， 使两个圆的圆心重合，观察 这两个圆是否重合.

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月30日星期五2021/7/302021/7/302021/7/30
3．(4 分)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，BC ＝4，如果以点 A 为圆心，AC 为半径作⊙A，那么斜边中点 D 与⊙A 的位置关系是( A )
A．点 D 在⊙A 外部 B．点 D 在⊙A 上 C．点 D 在⊙A 内部 D．无法确定 4．(4 分)已知点 P 到⊙O 上的点的最短距离为 3 cm，最 长距离为 5 cm，则⊙O 的半径为__1_cm 或 4_cm__． 5．(4 分)P 是⊙O 内一点，它到圆周上最近的距离是 4 cm， 最远的距离是 10 cm，则这个圆的半径是__7__cm.
16．(10 分)如图，AB，CD 为⊙O 的两条直径，E，F 分 别是 OA，OB 的中点，求证：四边形 CEDF 是平行四边形．
解：∵OA＝OB，E，F 分别是 OA，OB 中点，∴OE＝ OF，又 OC＝OD，运用】 17．(10 分)如图，CD 是经过圆心的一条直线，∠EOD＝ 81°，A 在直线 CD 上，连接 AE 交⊙O 于 B，且 AB＝OD. 求∠A 的度数．
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
12．边长为 1 cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖，
则
r
的最小值是__
2 2
__cm.
13．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，已知 ∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝__40°__．