吉林省松原高中2019届高三第一次模拟考试卷 理科数学(三) 含答案

2019届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学（三） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·攀枝花统考]已知集合{}12A x x =-<<，(){}30B x x x =->，则集合A B =（ ） A ．{}13x x -<< B ．{}23x x x <>或 C ．{}02x x << D ．{}03x x x <>或 2．[2018·铜仁一中]若复数1i 34i z +=-，则z =（ ） A ．25 B．5 CD ．225 3．[2018·青岛调研]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A ，E ，1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．[2018·鄂尔多斯期中]若3sin 5α=-，α是第三象限角，则sin 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） ABC． D．5．[2018·曲靖统测]7a x ⎛ ⎝的展开式中，3x 项的系数为14，则a =（ ） A ．2- B ．14 C ．2 D ．14- 6．[2018·赣州期中]已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()222:0C x y r r +=>上恰有两点M ，N ， 使得M AB △和NAB △的面积均为5，则r 的取值范围是（ ） A．( B ．()1,5 C ．()2,5 D．( 7．[2018·东北育才]已知函数()11ln f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．[2018·广安二中]已知随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，且()20.3P ζ<=，则()24P ζ<<的值等于（ ） A ．0.5 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 9．[2018·三湘名校]中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2263用算筹表示就是=||丄|||．执行如图所示程序框 图，若输人的1x =，2y =，则输出的S 用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 10．[2018·开封月考]已知空间四边形ABCD ，23BAC π∠=，AB AC ==，6BD CD ==， 且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．60π B ．36π C ．24π D ．12π 11．[2018·湖南湖北联考]过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A．( B．( C． D． 12．[2018·湛江一中]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()'xf x f x ＞，若()20f =，则不等式()0f x x ＞的解集为（ ） A ．{}2002x x x -<<<<或B ．{}22x x x <->或C ．{}202x x x -<<>或D ．{}22x x x <-<<或0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·廊坊联考]已知向量()7,16=a ，()5,16k -=-a b ，且⊥a b ，则k =__________．14．[2018·湖北七校联盟]若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为______________． 15．[2018·贵州质检]设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 22a b -=()2cos cos a B b A +，且ABC △的面积为25，则ABC △周长的最小值为__________．16．[2018·赤峰二中]抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB 的最大值 为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2018·长春实验中学]已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若12a +，3a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足0n S ≥成立的n 的最小值．18．（12分）[2018·开封月考]甲、乙两家外卖公司，其“骑手”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元．假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（1）求乙公司的“骑手”一日工资y （单位：元）与送餐单数()n n *∈N 的函数关系；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（i ）记乙公司的“骑手”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（ii ）小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．19．（12分）[2018·成都月考]如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形，在图①中，设平面BEF 与平面ABCD 相关交于直线l ．（1）求证：l ⊥面CDE ； （2）在图①中，线段DE 上是否存在点M ，使得直线MC 与平面BEF？ 若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）[2018·雅礼中学]已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于A ，B 两点，3AB =．（1）求椭圆E 的方程；（2）过圆22127x y +=上任意一点作圆的切线交椭圆E 于M ，N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）[2018·太原期中]已知函数()()21122ln 2f x ax a x x =+--，a ∈R ； （1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()32f x ≥在()0,1上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·江师附中]在直角坐标系xoy ，曲线1C的参数方程为cos sin x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）． 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:2sin 6C ρρθ=+．（1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）已知1C 与2C 的交于A ，B 两点，且AB 过极点，求线段AB 的长．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·肇庆统测]已知()31f x x x =++-，()22g x x mx =-+．（1）求不等式()4f x >的解集；（2）若对任意的1x ，2x ，()()12f x g x >恒成立，求m 的取值范围．2019届高三第一次模拟考试卷理科数学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由一元二次方程的解法化简集合，(){}{}3030B x x x x x =->=><或x ， ∵{}12A x x =-<<，∴{}23A B x x x =<>或，故选B ． 2．【答案】B 【解析】∵()()1i 34i 1i 17i 17i 34i 25252525z +++-+====-+-，∴z z =，故选B ． 3．【答案】C 【解析】取1DD 中点F ，连接AF ，1CF ．平面1AFC E 为截面．如下图：∴选C ． 4．【答案】D【解析】∵3sin 5α=-，α是第三象限角，∴4cos 5α==-，则34sin 455αααπ⎛⎫⎫+==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 5．【答案】C【解析】由展开式的公式得到3x项的系数为()57737C 1k k k k a x --⋅⋅-⋅，57363k k -=⇒=． 系数为()66767C 17142a a a -⋅⋅-==⇒=．故选C ． 6．【答案】B【解析】由题意可得5AB ==，根据M AB △和NAB △的面积均为5，可得两点M ，N 到直线的距离为2， 由于AB 的方程为34150x y ++=， 若圆上只有一个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB21r r =+⇒=， 若圆上只有三个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB25r r =-⇒=， ∴实数r 的取值范围是()1,5，故选B ． 7．【答案】A 【解析】∵()11ln f x x x =--，令()1ln g x x x =--，()11g x x '=-， 当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()f x 单调递减， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，则()f x 单调递增，且1x ≠，故选A ．8．【答案】D【解析】∵随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，∴其正态曲线关于直线3x =对称，如图： 又∵()20.3P ζ<=，由对称性得()40.3P ζ>=，从而有：()()24122120.30.4P P ζζ<<=-<=-⨯=，故选D ．9．【答案】C 【解析】第一次循环，i 1=，1x =，3y =；第二次循环，i 2=，2x =，8y =； 第三次循环，i 3=，14x =，126y =； 第四次循环，i 4=，1764S =，满足S xy =，推出循环，输出1764S =， ∵1764对应，故选C ． 10．【答案】A 【解析】由余弦定理得2112122362BC ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，∴6BC =． 由正弦定理得62sin120r =︒，∴r =ABC 的外接圆半径为设外接球的球心为O ，半径为R ，球心到底面的距离为h ，设三角形ABC 的外接圆圆心为E ，BC 的中点为F ，过点O 作OG DF ⊥，连接DO ，BE ，OE ． 在直角OBE △中，(222R h =+（1）， 在直角DOG △中，()22R h =+（2）， 解（1）（2）得h =R =．∴外接球的表面积为460ππ=．故选A ．11．【答案】C【解析】双曲线右焦点为)，过右焦点的直线为y kx =- 与双曲线方程联立消去y 可得到()()2222222222220b a k x a k a a k b k b -+-++=，由题意可知，当1k =时，此方程有两个不相等的异号实根，∴()2222220a a b b a +>-，得0a b <<，即1b a>； 当3k =时，此方程有两个不相等的同号实根，∴()2222291009a a b b a +<-，得03b a <<，3b a <；又e =．故选C ． 12．【答案】C【解析】令()()f xg x x =，∵0x >时，()()()2'0xf x f x g x x -'=>， ∴()g x 在()0.+∞递增， ∵()()f x f x -=，∴()()g x g x -=-，∴()g x 是奇函数，()g x 在(),0-∞递增，∵()()2202f g ==，∴2x <<0时，()0g x <，2x >时，()0g x >，根据函数的奇偶性，()()220g g -=-=，20x -<<时，()0g x >，2x <-时，()0g x <， 综上所述，不等式()0f x x ＞的解集为20x -<<或2x >．故选C ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】78- 【解析】由向量()7,16=a ，()5,16k -=-a b ，可得()2,k =b ，∵⊥a b ，则72160k ⋅=⨯+=a b ，即的78k =-． 14．【答案】20x y --=【解析】()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则0a =， ∴()32f x x x =-，()2'32f x x =-，∴()2'13121f =⨯-=， 又()11f =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为11y x +=-，即20x y --=．15．【答案】10+【解析】在ABC △中，由余弦定理可得：()2222222222cos cos 22a c b b c a a b a B b A a b ac bc ⎛⎫+-+--=+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 即222222222222a c b b c a a b a b c ac bc ⎛⎫+-+--=⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即222a b c =+，即2A π∠=， ∴三角形的面积为125502S bc bc ==⇒=， 则ABC △的周长为10l b c =++，当5b c ==时取得等号， ∴ABC △的周长最小值为10． 16．【答案】1【解析】设AF a =，BF b =，由抛物线定义，得AF AQ =，BF BP =，在梯形ABPQ 中，∴2MN AQ BP a b =+=+． 由余弦定理得，222222cos60AB a b ab a b ab =+︒+-=-，配方得()223AB a b ab +-=， 又∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()222231344a b a a a b b b ab --+=+++≥得到()12AB a b ≥+． ∴1MN AB ≤，即MN AB 的最大值为1．故答案为1．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）92n a n =-；（2）5．【解析】（1）∵12a +，3a ，4a 成等比数列，∴()()()2111426a a a -=+-，解得17a =，∴92n a n =-．（2）由题可知()()0121222275392n n S n -=++++-++++-()2212828112nn n n n n -=--=+---， 显然当4n ≤时，0n S <，5160S =>，又∵5n ≥时，n S 单调递增，故满足0n S ≥成立的n 的最小值为5． 18．【答案】（1）10045,617045,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N；（2）（i ）112元；（ii ）推荐小明去甲公司应聘． 【解析】（1）根据题意可知，乙公司每天的底薪100元，前45单无抽成，超出45单部分每单抽成6元，故日工资10045,617045,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ． （2）（i ）根据条形图，当送单数为42，44时，100X =，频率为200.2100=． 当送单数为46时，106X =，频率为300.3100=．当送单数为48时，118X =，频率为400.4100=． 当送单数为50时，130X =，频率为100.1100=． 故乙公司的“骑手”一日工资X 的分布列如表所示：数学期望()1000.21060.31180.41300.1112E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． （ii ）根据条形图，甲公司的“骑手”日平均送餐单数为：420.2440.4460.2480.1500.145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（单）， ∴甲公司的“骑手”日平均工资为：70451115+⨯=（元）由（i ）可知，乙公司的“骑手”日平均工资为112元，故推荐小明去甲公司应聘．19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M 的位置在线段DE 的23处． 【解析】（1）证明：由题意AD EF ∥，∵EF⊂面BEF ，AD ⊄面BEF ，∴AD ∥面BEF ． 又AD ⊂面ABCD ，面ABCD 面BEF l =，∴AD l ∥，由主视图可知AD CD ⊥，由侧视图可知DE AD ⊥， ∵CD AD D =，∴AD ⊥面CDE ．∴l ⊥面CDE ．（2）如图，建立空间直角坐标系D xyz -， 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()1,0,1F ，∴()1,0,0EF =，()0,1,1BF =-，设面BEF 的一个法向量(),,x y z =n ，则由0EF ⋅=n ，0BF ⋅=n，可得00x y z =⎧⎨-+=⎩，令1y =，则1z =，∴()0,1,1=n ， 设()0,0,M m ，则()0,2,MC m =-， ∴cos ,MC ==n 23m =或6m =（舍）， 即存在点M ，此时M 的位置在线段DE 的23处（靠近E 点）． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）0． 【解析】（1）∵离心率为12，则12c a =．∴2234b a=． ∵3AB =，∴223b a =．∴24a =，23b =．则椭圆E的标准方程为22143x y +=． （2）当切线斜率不存在时，取切线为x =代入椭圆方程是M，N，或M ，N ．∴120OM ON ⋅=⨯，同理，取切线为x =0OM ON ⋅=． 当切线斜率存在时，设切线y kx b =+，则d == ∴()227121b k =+． ①联立()222223484120143y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122212283441234kb x x k b x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩②③， ()()()()221212*********x x y y x x kx b kx b k x x x x kb b +=+++=++++， ④ 把①②③代入④得12120x x y y +=，∴0OM ON ⋅=．综合以上，OM ON ⋅为定值0．21．【答案】（1）见解析；（2）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【解析】（1）∵()()21122ln 2f x ax a x x =+--，0x >， ∴()()()()212212ax a x ax x f x x x +--+-'==， ①当0a ≥时，令()0f x '<，得02x <<；令()0f x '>，得2x >；②当0a <时，令()0f x '=，得1x a=-或2x =； （i ）当12a ->，即102a -<<时，令()0f x '<，得02x <<或1x a >-； 令()0f x '>，得12x a <<-； （ii ）当12a -=时，即12a =-时，则()0f x '<恒成立； （iii ）当12a -<时，即12a <-时，令()0f x '<，得10x a <<-或2x >； 令()0f x '>，得12x a -<<； 综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增； 当102a -<<时，()f x 在()0,2和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减，在12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增； 当12a =-时，()f x 在()0,+∞上递减； 当12a <-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞上递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增． （2）由（1）得①当12a ≥-时，()f x 在()0,1上递减，∴()331122f a =-≥，∴1123a -≤≤-； ②当12a <-时， （i ）当11a -≤，即1a ≤-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增， ∴()111322ln 2222f a a a a ⎛⎫-=-+-≥-≥ ⎪⎝⎭，∴1a ≤-符合题意； （ii ）当11a->，即112a -<<-时，()f x 在()0,1上递增， ∴()37311242f a =->>，∴112a -<<-符合题意； 综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1C为以)1C 为圆心，以a为半径的圆，221:cos 30C a ρθ-+-=； （2）AB =． 【解析】（1）∵曲线1C的参数方程为cos sin x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）． ∴1C的普通方程为(222x y a +=， ∴1C为以)1C 为圆心，以a 为半径的圆， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C的极坐标方程为22cos 30a ρθ-+-=． （2）解法一：∵曲线22:2sin 6C ρρθ=+．∴(2221:C x y a -+=，222:260C x y y +--=，二者相减得公共弦方程为2290y a -+-=，∵AB过极点，∴公共弦方程2290y a -+-=过原点， ∵0a >，∴3a =0y -=，则()20,1C到公共弦的距离为12d ==．∴AB == 解法二：∵0:AB θθ=，∴22cos 30a ρθ-+-=与22sin 6ρρθ=+为ρ的同解方程，∴3a =，3θπ=或43θπ=．∴12AB ρρ=-== 23．【答案】（1）{}31x x x <->或；（2）22m -<<． 【解析】（1）法一：不等式()4f x >，即314x x ++->． 可得1314x x x ≥⎧⎨++->⎩，或31314x x x -<<⎧⎨++->⎩或3314x x x ≤-⎧⎨--+-<⎩， 解得31x x <->或，∴不等式的解集{}31x x x <->或． 法二：()31314x x x x ++-≥+--=，当且仅当()()310x x +-≤即31x -≤≤时等号成立． ∴不等式的解集为{}31x x x <->或．（2）依题意可知()()min max f x g x ≥， 由（1）知()min 4f x =，()()2222g x x mx x m m =-+=--+， ∴()2max g x m =，由24m <的m 的取值范围是22m -<<．。

高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。

【详解】由题意，根据复数的运算，故选A 。

【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力. 2.已知集合，，则（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，利用一次不等式的解法化简集合，由并集的定义可得结果.【详解】因为集合，， 所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合. 3. （ ）A. B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二倍角的余弦公式结合诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式、特殊角的三角函数以及二倍角的余弦公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.4.双曲线的左焦点为，且的离心率为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，以及，求得的值，即可得到答案。

【详解】由题意，可得，又由，∴，又，故的方程为，故选C。

【点睛】本题考查双曲线的方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用是解答的关键，着重考查运算求解能力.5.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，令可得切线斜率，由点斜式可得切线方程，求得切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率，切线的方程为，即，在，轴上的截距分别为和-5，所以与坐标轴围成的三角形面积,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.6.设满足约束条件，则的最小值为（）A. 3B. -3C. -6D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，取得最小值，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。

吉林省吉林市2019届高三第一次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 计算：21ii -=( ) A . 1i + B .1i - C . 1i -+ D . 1i -- 【答案】C考点：复数的计算.2. 已知{1,2,3,5}{0,2,4,8}A B A C B C ⊆⊆==，，，，则 A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{4}D ．{2}【答案】D考点：集合的交集、子集运算.3. 已知条件 p : 22210x ax a -+->，条件 q : 2x >,且 q 是p 的充分而不必要条件，则 a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ． 3a ≤- 【答案】B 【解析】试题分析：∵条件p ：22210x ax a -+->，条件q ：x ＞2，且q 是p 的充分而不必要条件，∴q ⇒p ，p ⇒q ，即a ≤2且24410a a -+-≥解不等式组可得：a ≤1故选：B . 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4. 某程序图如右图所示，该程序运行后输出的结果是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C考点：程序框图.5. 已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为12，视图可以是，则该几何体的俯视图可以是( )A .B .C .D .【答案】A考点：简单空间图形的三视图． 6. 将函数() 2sin +36x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 的解析式为( )A . () 2sin +134x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．() 2sin 134x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A考点：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换．7. 已知等差数列{}n a 的公差为 2，若前 17 项和为 17S =34，则12a 的值为( )A .-10B .8C .4D .12【答案】B考点：1.等差数列的前n 项和；2.等差数列的通项公式．8. 在ABC ∆中，内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，若22, b c sin A C -=，则B =( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【解析】试题分析：∵ sin A C =，∴a =，∵22b c -=，∴cosB =2222a c b ac +-==B =30°，故选A . 考点：余弦定理的应用．9. 在8x ⎛⎝的二项展开式中，常数项为( ) A .1024 B .1324 C .1792 D .-1080【答案】C考点：二项式定理. 10. 已知双曲线()22221 0, 0x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线()22 0y px p =>的焦点的距离为 4,的焦距是且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (-2,- 1) ,则双曲线的焦距为( )A .BC .2D 【答案】A考点：1.双曲线的简单性质；2.直线与圆锥曲线的关系．11. ABC ∆中，120 , 2, 1BAC AB AC ∠=︒==,D 是边BC 上的一点（包括端点），则•AD BC 的取值范围是( )A. B . C .D.【答案】D 【解析】试题分析：∵D 是边BC 上的一点（包括端点），∴可设()101A D A B A C λλλ=+-≤≤,（）．∵∠BAC =120°，AB =2，AC =1，∴•21c o s 1201A B A C =⨯⨯︒=-．∴()[1]()ADBC AB AC AC AB λλ⋅=+-⋅- ()()22211AB AC AB AC λλλ=-⋅-+-214172λλλλ=----=-+（）．∵0≤λ≤1，∴（-7λ+2）∈．∴•AD BC 的取值范围是[52]-，．故选：D ． 考点：平面向量数量积的运算．12.对函数 f ( x ) ，若,, a b c R ∀∈， f ( a ), f (b ), f ( c ) 为一三角形的三边长，则称 f ( x ) 为“三角型函数”，已知函数()()2 >0 22xxm f x m +=+是“三角型函数”，则实数 m 的取值范围是( )A .B .C .D .【答案】A考点：函数的值．第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知x ，y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.【答案】6 【解析】考点：简单线性规划．14. 已知直线l ⊥平面α，直线 m ⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则 l ⊥ m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ,则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中正确命题序号是 .【答案】①③考点：平面的基本性质及推论．15. 若动直线 x =a 与函数() f x sin x cos x =和()2cos g x x =的图像分别交于 M ，N 两点, 则 M N 的最大值为 .【答案】12+ 【解析】试题分析：211122222fx sinxcosx sin x g x cos x cos x ====+（），（），所以||AB f x g x =-（）（）111|22|222sin x cos x =-+（）|2|242sin x π=--（）则214sin x π-=-（）时，AB 的最大值为：12．故答案为：12. 考点：1.二倍角的余弦；2.二倍角的正弦；3.三角函数的最值． 16. 若数列{}n a 满足()*1112, 1n n na a a n N a ++===∈-，则该数列的前 2014 项的乘积123201...a a a a = .【答案】-6考点：数列递推式．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）已知ABC ∆中， a,b, c 为角 A,B,C 所对的边，3cos cos +cos b A c A a C = ． （Ⅰ）求 cos A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3a =，求 b ， c 的长． 【答案】（Ⅰ）13;（Ⅱ）2,3b c ==或3,2b c ==.考点：正弦定理． 18．（本小题满分 12 分）已知数列 {}n a 是公差大于零的等差数列，数列{}n b 为等比数列，且112233 1,2,1,13a b b a a b ==-=+= （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列 {}n c 前 n 项和 n T .【答案】（Ⅰ）21(*),2(*)n n n a n n N b n N =-∈=∈;（Ⅱ）16(23)2n n ++-⨯.341131112222(21)22(12)2(21)2126(23)2n n n n n n n n ++-++=-----+-⨯-=--+-⨯-=+-⨯---------------------------------12分.考点：1.数列的求和；2.等差数列的性质．19．（本小题满分 12 分）一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的 40 名学生的成绩分组：第 1 组[75,80) ，第 2 组 [80,85) ，第 3 组[85, 90) ，第 4 组 [90, 95) ，第 5 组[95,100) ，得到频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）分别求成绩在第 4，5 组的人数；（Ⅱ）若该经理决定在笔试成绩较高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲和乙同时进入面试的概率；②若经理决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官D 的面试，设第 4 组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）8人，4人;（Ⅱ）①122，②23.考点：1.频率分布直方图；2.离散型随机变量及其分布列；3.离散型随机变量的期望与方差．20．（本小题满分 12 分）一个多面体的直观图及三视图如图所示,其中 M , N分别是AF、BC 的中点，（Ⅰ）求证：MN // 平面CDEF；（Ⅱ）求二面角A-CF-B的余弦值；【答案】（Ⅰ）详见解析;二面角A-CF-B的余弦值．试题解析：解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB =BC =BF =4,DE =CF=90CBF ∠=︒,连结BE , M 在BE 上，连结CEEM =BM ,CN =BN , 所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面,所以//MN 平面CDEF ------5分（II ）方法一：作BQ ⊥CF 于Q ，连结AQ ，面BFC ⊥面ABFE ，面ABFE ∩面BFC =BF ，AB ⊂面ABFE ，AB ⊥BF ，∴AB ⊥面BCF ，CF ⊂面BCF ，∴AB ⊥CF ，BQ ⊥CF ，AB ∩BQ =B ，∴CF ⊥面ABQ ，AQ ⊂面ABQ ，AQ ⊥CF ，∴∠AQB 为所求的二面角的平面角，（8分）在Rt △ABQ 中，tan ∠AQB=AB BQ ==--------------------------------------9分 ∴cos ∠AQB∴二面角A -CF -B的余弦值为．-------------------------------------------------------12分 （II ）方法二：以EA ,AB ,AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，x yz A B CD E F所以(0,0,0),(0,4,0),(0,4,4),(4,4,0)A B C F -面CBF 法向量为(0,1,0)n =(0,4,4),(4,0,4)CA CF =--=-- -----------------8分设面ACF 法向量为(,,)m x y z =，(,,)(0,4,4)0440(,,)(4,0,4)0440m CA x y z y z x y z x z m CF⎧⊥⋅--=--=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅--=--=⊥⎩⎩⎪⎩ 取1z =-，所以1,1,(1,1,1)x y m ===-设二面角A CF B --为θ，cos ||||m n m n θ⋅===分. 考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面平行的判定．21．（本小题满分 12 分）已知椭圆E ：()22221 0, 0xy ab a b +=>>的离心率 e =1)2P （Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y =-x +m ，使直线与椭圆交于 A , B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求m 值，若不存在说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=;（Ⅱ）m =考点：直线与圆锥曲线的综合问题．22．（本小题满分 12 分）已知函数()() = f x ax ln x a R +∈.（Ⅰ）若a =2，求曲线y =f ( x )在x =1处的切线方程；（Ⅱ）求 f (x ) 的单调区间；（III ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20, 1x ∈，使得12()()f x g x <，求 a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）310x y --=;（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a -+∞；（III ）31a e <-.考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数求闭区间上函数的最值．。

吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知全集U R =，集合{|11}A x x x =<->或，则U A =ðA ． (,1)(1,)-∞-+∞B ． (,1][1,)-∞-+∞C ． (1,1)-D ． [1,1]-2. 若3sin(),25παα-=-为第二象限角，则tan α=A. 43-B. 43C. 34-D. 343. 在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点，则()()0f a f b <B. 若1a b +=，则3是3a 与3b 的等比中项C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,m e e =-1236n e e =-，则m ∥nD. 已知角α终边经过点(3,4)-，则4cos 5α=-4. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =A. 12AB AD -+ B. 12AB AD -C. 12AB AD +D. 12AB AD -5. 已知21tan(),tan()544παββ+=-=, 则tan()4πα+的值为A ． 16B ． 2213C ． 322D ．13186. 在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量,a b 的大小与方向如图所示，则向量,a b 所成角的余弦值是A.2B.C. 15D.6137. 若公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且52,9,a a 成等差数列，则20S =A. 2121-B.2021-C. 1921-D. 2221-8. 函数ln ||()x f x=的图象大致是 A.B. C.D.9. 已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1494S a S +=，给出下列四个结论：①70a =；②140S =；③58S S =；④7S 最小. 其中一定正确的结论是A. ①③B. ①③④C. ②③④D. ①② 10. 若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数a =A. 12e- B. 122e-C.12eD.122e11. 将函数2()2cos ()16f x x ππ=+-的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为A.13B.23C.76D.5612. 已知等边ABC ∆的边长为2，则|23|AB BC CA ++=A.B.C. D. 12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林吉林2019高三上开学摸底考试-数学（理）数 学〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

第一卷〔选择题 共60分〕【一】选择题：本大题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1、设全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,那么()UA B ð=A 、{4,5}B 、{2,3}C 、{1}D 、{1,2}2、抛物线24y x =的准线方程为 A. 2x =B. 2x =-C. 1x =D. 1x =-3. 复数i 212i-=+A. iB. i -C.43i 55--D.43i 55-+ 4. 在等差数列{}n a 中，351028a a a ++=，那么此数列的前13项的和等于A. 8B. 13C. 16D. 265. 假设m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，那么以下结论正确的选项是A. 假设m 、n 都平行于平面α，那么m 、n 一定不是相交直线；B. 假设m 、n 都垂直于平面α，那么m 、n 一定是平行直线；C. α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，假设m ⊥α，那么n ⊥β；D. m 、n 在平面α内的射影互相垂直，那么m 、n 互相垂直. 6. 如图，该程序运行后输出的结果为 A 、15 B 、21 C 、28 D 、36 7. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程为 A. 320x y --= B. 2C. 320x y --=D. 230x y --=,"1"x R x ∈>则是“2x >”的必要不充分条件;(3)假设,[0,2]a b ∈，那么不等式2214a b +<成立的概率是16π.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.39.(12)n x +的展开式中3x 的系数等于2x 的系数的4倍，那么n 等于 A 、7 B 、8 C 、9D 、1010.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，那么以下判断错误的选项是．．．．．． A 、DB 1⊥平面ACD 1 B 、BC 1∥平面ACD 1 C 、BC 1⊥DB 1D 、三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关11.函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如下图，EFG ∆是边长为2的等边三角形，那么(1)f 的 值为 A、2-B、2-CD、12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+=成立〔其中C 为常数〕，那么称函数()y f x =在D 上的“算术均值”为C ，那么以下函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是A 、2y x =B 、4sin y x =C 、ln y x =D 、2x y =第二卷〔非选择题共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置、 13、假设一个几何体的三视图如右，那么这个几何体的表面积为14.f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞,0]上是减函数，那么 不等式f(x)≤f(3)的解集是 15.向量(1,2),(4,),a x b y =-=且,a b ⊥那么93x y+的最小值为16.当对数函数log (01)ay x a a =>≠且的图象至少经过区域(,)80(,)30x y M x y x y x y R y ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭内的一个点时，实数a 的取值范围是【三】解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、〔本小题总分值10分〕设锐角△ABC 的三内角A B C 、、的对边长分别为a 、b 、c ，b 是a 、c 的等比中项，且3sin sin 4A C =. (1)求角B 的大小；(2)假设[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域. 18、〔本小题总分值12分〕设{}n a 是一个公差为2的等差数列，124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}nb 满足2n n a b n =，设{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .19、〔本小题总分值12分〕一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。

12019届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·陕西四校联考]已知复数312iz =-（i 是虚数单位），则z 的实部为（ ） A ．35-B ．35C ．15-D ．152．[2018·广西摸底]已知集合{}24A x x x =≤，{}340B x x =->，则A B =（ ）A ．(],0-∞B ．40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(),0-∞3．[2018·资阳一诊]空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4．[2018·长春质监]已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a =（ ） A ．3-B ．5-C ．3D ．55．[2018·曲靖一中]曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为（ ）A B ．2 C ．4 D ．86．[2018·衡水中学]如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB -B ．2133AD AB +C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +7．[2018·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．438．[2018·黑龙江模拟]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83B ．52C ．3D ．29．[2018·玉林预测]已知函数()y f x =的周期为2，当[]0,2x ∈时，()()21f x x =-，如果()()5log 1g x f x x =--，则函数()g x 的所有零点之和为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．10此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号210．[2018·南宁质检]在平面区域4000y x y x ⎧⎪⎨⎪>-≤>⎩+内随机取一点(),a b ，则函数()241f x ax bx =-+在区间[)1,∞+上是增函数的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2311．[2018·娄底月考]已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．7312．[2018·四川一诊]如图，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，1AC =，()0BC x x =>，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C ．()0,2D．(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·三湘名校]已知：x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为________．14．[2018·拉萨中学]若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式____________．15．[2018·淄博期末]有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为_______．16．[2018·三湘名校]函数()sin22cos f x x x =+在区间[]0,π上的值域为________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018·衡水中学]如图，在ABC △中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长； （2）若AC =，求cos ACP ∠的值．18．（12分）[2018·天水一中]第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（1）若讲每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望． 附表及公式：3()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（12分）[2018·陕西四校联考]如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BE B --的余弦值．20．（12分）[2018·南昌期末]已知椭圆C 中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过⎛ ⎝⎭，直线l 与椭圆交于A ，B 两点（A ，B 两点不是左右顶点），若直线l 的斜率为12时，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l 是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．421．（12分）[2018·长春实验中学]已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·齐鲁名校]在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C的参数方程分别为()12cos n :i x C y θθθ⎧⎪⎨⎪⎩=为参数，()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数．（1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PA PB +的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·陕西四校联考]已知函数()2f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019届高三第一次模拟考试卷理科数学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】∵()()()312i 336i 12i 12i 12i 55z +===+--+，∴z 的实部为35，故应选B ． 2．【答案】C【解析】∵集合{}{}2404A x x x x x =≤=≤≤，{}43403B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，∴444,433AB x x ⎧⎫⎛⎤=<≤=⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，故选C ．3．【答案】C【解析】对A ，因为第10天与第11天AQI 指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确； 对B ，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确； 对C ，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误； 对D ，由图知，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，所以正确，故选C ． 4．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，()42352S a a ==+，95209S a ==，5209a =，2355252a a a d +==-，联立两式得到718d =，75+23a a d ==，故答案为C ． 5．【答案】B【解析】由()ln 2y f x a x ==-，得()af x x'=，∴()1f a '=， 又()12f =-，∴曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线方程为()21y a x +=-， 令0x =，得2y a =--；令0y =，得21x a=+． ∴切线与坐标轴围成的三角形面积为()()12122121422S a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =，故选B ． 6．【答案】C【解析】()11213333ED EA AD AC AD ADAB AD AD AB =+=-+=-++=-．故选C ．7．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积112122323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，故选B ．8．【答案】A【解析】设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足为N ，3FP FQ =，23NQ MF∴=，又4MF p ==，83NQ ∴=，NQ QF =，83QF ∴=．故选A ．9．【答案】A【解析】函数的零点满足()5log 1f x x =-，在同一个平面直角坐标系中绘制函数()f x 和函数5log 1y x=-的图象， 观察可得4对交点的横坐标关于直线1x =对称，据此可得函数()g x 的所有零点之和为248⨯=．本题选择A 选项．10．【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的AOB △的内部及边界AB (不包括边界OA ，OB )，则14482AOB S =⨯⨯=△，函数()241f x ax bx =-+在区间[)1,+∞上是增函数，则应满足0a >且412bx a =≤，即02a a b >≥⎧⎨⎩， 可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC ，BC ，不包括边界OB )，由240a b a b =+-=⎧⎨⎩，解得83a =，43b =，所以1484233COB S =⨯⨯=△，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率81383P ==，故选B ．11．【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF = ②， 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值，当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ．解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -=①，又124PF PF =②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．12．【答案】D【解析】由题意得，AD CD BD ===BC x =，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==，翻折后，在图2中，此时CB AD ⊥．∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，DE BC ⊥， 又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==，∴AE =AD =在ADE △12+>12<+0x >；由①②③可得0x <<．如图3，翻折后，当1B CD △与ACD △在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠，又190CBD BCD B CD ∠+∠+∠=︒，∴130CBD BCD B CD ∠=∠=∠=︒， ∴60A ∠=︒，tan 60BC AC =︒，此时1x =， 综上，x的取值范围为(．故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】32【解析】画出约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的可行域，如图，由10210x y y --=+≥⎧⎨⎩，可得1212x y ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩， 将2z x y =-变形为2y x z =-，平移直线2y x z =-，由图可知当直2y x z =-经过点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线在y 轴上的截距最大，则2z x y =-有最小值，最小值为1132222z =⨯+=，故答案为32．14．【答案】()12n n a -=-【解析】由题意，当1n =时，1112133a S a ==+，解得11a =，当2n ≥时，111212122333333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即12n n a a -=-，所以12n n aa -=-，所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q =-的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为()12n n a -=-．15．【答案】84【解析】四个球分为两组有两种分法，()2,2，()3,1，若两组每组有两个球，不同的分法有2422C 3A =种，恰有两个盒子不放球的不同放法是243A 36⨯=种，若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有34C 4=种恰有两个盒子不放球的不同放法是244A 48⨯=种，综上恰有两个盒子不放球的不同放法是364884+=种，即答案为84．16．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】()()()()2'2cos22sin 22sin sin 122sin 1sin 1f x x x x x x x =-=-+-=--+，当5π0,,π66πx ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()'0f x >；可得()sin 22cos f x x x =+的增区间为0,π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，5π,π6⎛⎫⎪⎝⎭；当5π,66πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，可得()sin 22cos f x x x =+的减区间为π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭，π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02f =，()2πf =-， ()f x ⎡∴∈⎢⎣⎦，故答案为⎡⎢⎣⎦．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2BP =；（2）3cos 5ACP ∠=．【解析】（1）由已知，得120APB ∠=︒，又AB =4AP BP +=， 在ABP △中，由余弦定理，得(()()222424cos120BP BP BP BP =+--⨯⨯-︒，整理得2440BP BP -+=．解得2BP =． （2）由（1）知，2AP =，所以在ACP △中，由正弦定理．得sin60sin AC APACP =︒∠，解得4sin 25ACP ∠==． 因为2<，所以AP AC <，从而ACP APC ∠<∠，即ACP ∠是锐角， 所以3cos 5ACP ∠．18．【答案】（1）见解析；（2）分布列见解析，()23E ξ=． 【解析】（1）由题意得下表：2k 的观测值为()21201200600242706705060607-=>⨯⨯⨯．． 所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0，1，2．且()2426C 620C 155P ξ====，()114226C C 81C 15P ξ===，()2226C 12C 15P ξ===， 所以ξ的分布列为()28110201251515153E ξ=⨯+⨯+⨯==．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AA C C ⊥平面ABC ，∴BD ⊥平面11AA C C ，∴BD AE ⊥． 又∵在正方形11AA C C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，易证得∴1A AD ACE △≌△， ∴1A DA AEC ∠=∠，∵90AEC CAE ∠+∠=︒，∴190A DA CAE ∠+∠=︒，即1A D AE ⊥． 又1A DBD D =，∴AE ⊥平面1A BD ．（2）取11AC 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()1,1,0E -，(B，(1B，(DB =，()1,1,0DE =-，()12,0,0BB =，(1EB =，设平面DBE 的一个法向量为(),,x y z =m，则0000DB x y DE ⎧⋅==⇒-=⎪⋅⎪⎨⎪=⎩⎩m m ， 令1x =，则()1,1,0=m ，设平面1BB E 的一个法向量为(),,a b c =n，则1120000a BB a b EB ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨+=⎪⋅=⎩⎪⎨⎪⎩n n ，令c =，则(0,=-n ，设二面角1D BE B --的平面角为θ，观察可知θ为钝角，cos ,⋅〈〉==m n m n m n∴cos θ=，故二面角1D BE B --的余弦值为． 20．【答案】（1）椭圆C 的方程：2214x y +=；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，由题意直线l 的斜率为12，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上，得121212y y x x -=-，121212y y x x +=-+， 再根据22112222222211x y a b x y ab ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，作差变形得2221222212y y b x x a -=--，所以224a b =，又因为椭圆过⎛ ⎝⎭得到2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由题意可得椭圆右顶点()22,0A ，220AA BA ⊥=，①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为0x x =，此时要使以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的02x =-解得065x =或02x =（舍）此时直线l 为65x =． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，则有()121212420x x x x y y +-++=， 化简得()()()2212121240k x x kb x x b ++-+++= ①联立直线和椭圆方程2214y kx b x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，得()222418440k x kbx b +++-=， 22140Δk b =+->，()122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+ ②把②代入①得()()2222244812404141b kbk kb b k k --++-++=++，即()222222222244448164164k b k b k b kb k b k b -+--+=-+++22121650k kb b ++=，得12k b =-或56k b =-此时直线l 过6,05⎛⎫⎪⎝⎭或()2,0（舍）综上所述直线l 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）当0a ≤时，在()0,+∞上，()f x 是减函数；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，是减函数；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，是增函数；（2）[)1,+∞．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，又()()()()()2221211122ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--='=，当0a ≤时，在()0,+∞上，()0f x '<，()f x 是减函数； 当0a >时，由()0f x '=得：1x a=或12x =-（舍）．所以在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 是减函数；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 是增函数． （2）对任意0x >，都有()0f x ≥成立，即在()0,+∞上，()min 0f x ≥． 由（1）知：当0a ≤时，在()0,+∞上()f x 是减函数， 又()1220f a =-<，不合题意， 当0a >时，当1x a=时，()f x 取得极小值也是最小值， 所以()min111ln f x f a a a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，令()()111ln 0u a f a a a a ⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭，所以()211u a a a '=+，在()0,+∞上，()0u a '>，()u a 是增函数，又()10u =， 所以要使得()min 0f x ≥，即()0u a ≥，即1a ≥， 故a 的取值范围为[)1,+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）见解析；（2）[]3,4．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为22143x y +=，当π,π2k k θ≠+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为tan tan y x θθ=-，当π,π2k k θ=+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为1x =（或sin cos sin 0x y θθθ--=）． （2）将()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数代入221:143x y C +=，化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+， 则()2236cos 36sin 31440Δθθ=++=>恒成立，1212212sin 3PA PB t t t t θ∴+=+=-==+，[]2sin 0,1θ∈，[]3,4PA PB ∴+∈．23．【答案】（1）{}|2 1 x x -≤≤；（2）[]5,1-． 【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++， ①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，所以21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x =， 综上所述，不等式的解集为{}|2 1 x x -≤≤．（2）因为()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 因为0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，所以只需23a +≤， 解得51a -≤≤，所以a 的取值范围为[]5,1-．。

吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试高三数学考试（理科）第Ⅰ卷一、选择题：1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x∈N ｜lnx ＜x ＜1），则A∩B＝ A ．{0，1} B ．{1，2} C ．{0，1，2} D ．{0，1，2，3} 2．设复数z 满足2z ii i-=-，则|z|＝ A ．1 B 5．3 D 103．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点2,6)，则该双曲线的离心率为A ．2B 2C ．3D 34．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n ＝ A ．12 B ．16 C ．24 D ．325．在△ABC 中，若点D 满足3BD DC =u u u r u u u r ，点E 为AC 的中点，则ED =u u u rA ．5163AC AB +u u u r u u u r B ．1144AB AC +u u u r u u u r C ．3144AC AB -u u u r u u u rD ．5163AC AB -u u ur u u u r6．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B ＝A ．4B ．13C ．40D ．41 7．将函数f （x ）＝sinx 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝f （x ）g （x ）的最大值为 A ．22+ B ．22- C ．1 D ．128．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 3333 D 43 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，(2sin 3)3cos a B C c A =，点D 是边BC 的中点，且13AD =，则△ABC 的面积为 A 3 B 33或2333310．函数f （x ）＝xsin2x ＋cosx 的大致图象有可能是A．B．C．D．11．已知四棱锥S—ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠DAB＝π，SA＝2，26 BC二面角S—BC—A的大小为π3．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A ．42πB ．4π C ．8π D ．16π12．已知函数f （x ）＝ex －e －x，若对任意的x∈（0，＋∞），f （x ）＞mx 恒成立，则m 的取值范围为A ．（－∞，1）B ．（－∞，1]C ．（－∞，2）D ．（－∞，2]第Ⅱ卷二、填空题：13．二项式51()x x-的展开式中x －2的系数是________．14．设x ，y 满足约束条件240,10,210,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪++⎩≤≤≥，则23y z x +=+的最大值是________．15．已知sin10°－mcos10°＝2cos140°，则m ＝________．16．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意不同的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P （x 0，0），则x 0的取值范围是________．（用p 表示） 三、解答题： （一）必考题：17．已知数列{a n }为等差数列，a 7－a 2＝10，a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{b n }的前n 项和为S n ，若225n S =，求n 的值． 18．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，E 是线段D 1O 的上一点．（1）若E 为D 1O 的中点，求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值；（2）能否存在点E 使得平面CDE 上平面CD 1O ，若能，请指出点E 的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19．随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i （单位：人）与时间t i （单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式()()nniii it t y y t y nt yr ---==∑∑75.47≈．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20．顺次连接椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0为 （1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为12-（O 为坐标原点），线段OA 上有一点M 满足||2||3OM OA =，连接BM 并延长椭圆C 于点N ，求||||BM BN 的值．21．已知函数f （x ）＝x 2－2x ＋2alnx ，若函数f （x ）在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：123()()ln 202f x f x +++>． （二）选考题：22．在直角坐标系xOy 中，曲线1(1sin ),:cos x a t C y a t=+⎧⎨=⎩（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2π:6C θ=（ρ∈R ）． （1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y =，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN的面积为a 的值．23．已知函数f （x ）＝|4x －1|－|x ＋2|． （1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）＋5|x ＋2|＜a 2－8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（理科）1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．A 11．C 12．D 13．－10 14．5 15． 16．（p ，＋∞） 17．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，因为a 7－a 2＝10， 所以5d ＝10，解得d ＝2．因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以26121a a a =，即（a 1＋5×2）2＝a 1（a 1＋20×2），解得a 1＝5． 所以a n ＝2n ＋3． （2）由（1）知111(23)(25)n n n b a a n n +==++， 所以111()22325n b n n =-++，所以1111111 [()()()]2577923255(25)nnSn n n=-+-++-=+++L，由25(25)25nn=+，得n＝10．18．解：不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．（1）因为点E是D1O的中点，所以点E的坐标为11(,,1)22．所以1(1,1,2)OD=--u u u u r，11(,,1)22DE=u u u r，(0,2,0)DC=u u u r．设(,,)p x y z=u r是平面CDE的法向量，则0,0,p DEp DC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r即110,2220.x y zy⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取x＝2，则z＝－1，所以平面CDE的一个法向量为(2,0,1)p=-u r．所以11222221230 cos,||||(1)(1)22(1)OD pOD pOD p⋅===-+-+⋅+-u u u u r u ru u u u r u ru u u u r u r所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为3015．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设1D E EOλ=u u u u r u u u r．显然(1,1,0)OC=-u u u r，1(1,1,2)OD=--u u u u r．设(,,)m x y z =u r 是平面CD 1O 的方向量，则10,0,m OC m OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r ，即0,20,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩． 取x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以平面CD 1O 的一个法向量为(1,1,1)m =u r．因为1D E EO λ=u u u u r u u u r ，所以点E 的坐标为2(,,)111λλλλλ+++．所以2(,,)111DE λλλλλ=+++u u u r ，(0,2,0)DC =u u u r ．设(,,)n x y z =r 是平面CDE 的法向量，则0,0,n DE n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即20,11120.x y z y λλλλλ⎧++=⎪+++⎨⎪=⎩． 取x ＝1，则2z λ=-，所以平面CDE 的一个法向量为(1,0,)2n λ=-r ．因为平面CDE⊥平面CD 1O ，所以m n ⊥u r r ，即0m n ⋅=u r r ，102λ-=，解得λ＝2．所以λ的值为2．即当1||2||D E EO =u u u u r u u u r 时，平面CDE⊥平面CD 1O ． 19．解：（1）由题知3t =，47y =，51852i ii t y==∑，=，=则()()nniii it t y y t y nt yr ---==∑∑1470.970.75150.94==≈≈>．故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A ，则03311()()28P A C ==，故所求概率为631()()64P P A P A =-=． ②若选择方案一，则需付款1000－100＝900（元），若选择方案二，设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000．33311(700)()28P X C ===；223113(800)()228P X C ==⨯=；123113(900)()228P X C ==⨯⨯=；03311(1000)()28P X C ===．所以1331()70080090010008508888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元），因为850＜900，所以选择方案二更划算． 20．解：（1）由题可知2ab =a 2＋b 2＝3，解得a =b ＝1．所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），||||BM BN λ=．N （x 3，y 3）， ∵23OM OA =u u u u r u u u r ，∴1122(,)33M x y ，∴121222(,)33BM x x y y =--u u u u r ，3232(,)BN x x y y =--u u u r ．又∵BM BN λ=u u u u r u u u r ，∴1212323222(,)(,)33x x y y x x y y λ--=--，即312213x x x λλλ-=+，312213y y y λλλ-=+．∵点N （x 3，y 3）在椭圆C 上，∴21221221()213()123x x y y λλλλλλ-+-++=，即22222121212122224(1)4(1)()()()192232x x x x y y y y λλλλλ--+++++=．（*） ∵A（x 1，y 1），B （x 2，y 2）在椭圆C 上，∴221112x y +=，①222212x y +=，② 又直线OA ，OB 斜率之积为12-，∴121212y y x x =-，即121202x x y y +=，③将①②③代入（*）得2224(1)19λλλ-+=，解得1318λ=．21．（1）解：因为函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2， 所以2'()220af x x x=-+=在（0，＋∞）上有两个根x 1，x 2，且x 1＜x 2， 即x 2－x ＋a ＝0在（0，＋∞）上有两个不相等的根x 1，x 2．所以140,0,a a ∆=->⎧⎨>⎩解得104a <<． （2）证明：由题可知x 1，x 2（0＜x 1＜x 2）是方程x 2－x ＋a ＝0的两个不等的实根，所以12121,,x x x x a +=⎧⎨=⎩其中104a <<．故2212111222()()22ln 22ln f x f x x x a x x x a x +=-++-+＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋2aln （x 1x 2） ＝2alna －2a －1，令g （a ）＝2alna －2a －1，其中104a <<．故g'（a ）＝21na ＜0， 所以g （a ）在1(0,)4上单调递减，则13()()ln 242g a g >=--，即123()()ln 202f x f x +++>．22．解：（1）消去参数t 得到C 1的普通方程：（x －a ）2＋y 2＝a 2． C 1是以（a ，0）为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ带入C 1的普通方程，得到C 1的极坐标方程ρ＝2acosθ． （2）C 3的极坐标方程5π3θ=（ρ∈R ）， 将π6θ=，5π3θ=代入ρ＝2cosθ，解得1ρ=，ρ2＝a ， 则△OMN的面积为21ππsin()263a ⨯⨯+==a ＝2． 23．解：（1）由题意可得33,21()51,2,4133,4x x f x x x x x ⎧⎪-+-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，当x≤－2时，－3x＋3＜8，得53x>-，无解；当124x-<<时，－5x－1＜8，得95x>-，即9154x-<<；当14x≥时，3x－3＜8，得113x<，即11143x<≤．所以不等式的解集为911 {|}53x x-<<．（2）f（x）＋5|x＋2|＝|4x－1|＋|4x＋8|≥9，则由题可得a2－8a＞9，解得a＜－1或a＞9．。

吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.已知全集，集合，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用补集的定义求解即可.【详解】已知全集，集合，则 .故选D.【点睛】本题考查补集的求法，属基础题.2.若为第二象限角，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式求得，再根据为第二象限角求出最后根据同角三角函数基本关系式可得.【详解】，又为第二象限角，则故选A.【点睛】本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属基础题.3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数在区间内有零点，则B. 若，则是与的等比中项C. 若是不共线的向量，且，则∥D. 已知角终边经过点，则【答案】C【解析】【分析】A.运用举反例判定；B.计算可知错误；C.由题可得故C正确；D. 计算可知错误.【详解】A. 因为函数f（x）在区间（a，b）内有零点，可取函数f（x）=x2-2x-3，x∈（-2，4），则f（-2）•f（4）＞0，所以错；B.若，即是是与的等比中项，故B错；C. 若是不共线的向量，且故∥，即C正确；D.已知角终边经过点，则，故D错误.【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时注意运用举反例这一重要数学方法，可快速解决．本题是一道基础题．4.已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】如图，过E作由向量加法的平行四边形法则可知故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.5.已知, 则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【详解】,则故选：C．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．6.在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量的大小与方向如图所示，则向量所成角的余弦值是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，则．故选B.【点睛】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.若公比为的等比数列的前项和为,且成等差数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列{a n}的首项为a1，由a2，9，a5成等差数列列式求得a1，再由等比数列的前n项和求解．【详解】设等比数列{a n}的首项为a1，由a2，9，a5成等差数列，且q=2，得2×9=2a1+16a1，即a1=1．故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．8.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】判断f（x）的奇偶性，及f（x）的函数值的符号即可得出答案．【详解】函数的定义域为，∵∴f（x）是奇函数，故f（x）的图象关于原点对称，当x＞0时，，∴当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于中档题．9.已知数列是等差数列，前项和为，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④最小. 其中一定正确的结论是A. ①③B. ①③④C. ②③④D. ①②【答案】A【解析】【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由，可得化为：a1+6d=0，即a7=0．再利用求和公式即可判断出结论．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵6，∴，化为：a1+6d=0，即a7=0．给出下列结论：①a7=0，正确；②，不正确；③，正确；④可能大于0，也可能小于0，因此不正确．其中正确结论是①③．故选A．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．．10.若直线是曲线的一条切线，则实数A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m，2lnm+1），则函数的导数，则切线斜率，则对应的切线方程为即且，即，则，则，故选：B．【点睛】本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．11.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，利用余弦函数图象的对称性和诱导公式，求得的最小值．【详解】由已知将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；再把所得的图象向右平移（＞0）个单位长度，可得的图象；根据所得函数的图象对应的函数为奇函数，则解得；令k=-1，可得的最小正值是．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换规律以及余弦函数的图象与对称性问题，是中档题．12.已知等边的边长为2，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知的条件利用两个向量的数量积的定义求出•=-2，同理可得•＝•=-2，从而求得所求式子的值．【详解】根据已知的条件利用两个向量的数量积的定义求出•=-2，同理可得•＝•=-2，则故选A.【点睛】本题考查利用向量的数量积求向量的模，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置.13.已知向量若，则_________ .【答案】【解析】【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得的坐标，进而由向量垂直与向量数量积的关系可得，即可得答案．【详解】已知向量，则若，则即.故答案为.【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算以及向量的坐标计算，关键掌握向量数量积的坐标计算公式．14.在中，角的对边分别为，若，，且，则__________．【答案】3【解析】所以根据正弦定理可得，故答案为.15.奇函数在上满足，且，则不等式的解集为__________ .【答案】【解析】【分析】由函数f（x）在（0，+∞）上满足，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；结合f（2）=0，函数f（x）为奇函数，可得函数的图象和性质，进而得到不等式的解集．【详解】：∵函数f（x）在（0，+∞）上满足，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；又由f（2）=0，函数f（x）为奇函数，故函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（-2）=0，故当x∈（-∞，-2）∪（0，2）时，f（x）＜0，当x∈（-2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0，∵故x∈（-2，0）∪（0，2），即答案为．【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．16.某工厂投资100万元开发新产品，第一年获利10万元，从第二年开始每年获利比上一年增加, 从第年开始，前年获利总和超过投入的100万元，则____ .（参考数据：，）【答案】7【解析】【分析】设经过年，获获利总和超过投入的100万元，即，解之即可.【详解】设经过年，获获利总和超过投入的100万元，即即即从第年开始，前年获利总和超过投入的100万元，【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列,点在直线上.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前20项和.【答案】(1)见解析(2)330【解析】【分析】（1）由已知：，作差，即可证明；（2）由（1）知：公差，当时，；当时，，所以，即可求出.【详解】解：（1）由已知：因为（）所以数列是公差为3的等差数列（2）由（1）知：公差，当时，；当时，所以=【点睛】本题考查等差数列的证明，及求等差数列的前和，属基础题.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式对函数的解析式进行化简整理，进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．（2）根据（1）中函数f（x）的解析式确定g（x）的解析式，利用两角和公式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得g（x）的最大值和最小值．【详解】解：（1），所以函数的最小正周期为（2）因为，所以所以所以函数的最大值为，最小值为【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式的化简求值，以及三角函数的值域．考查了学生综合运用所学知识的能力．19.在中，角的对边分别为且.（1）若求的值；（2）若，且的面积，求和的值【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理计算即可得到所求值；（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC，运用正弦定理和三角形的面积公式可得a，b的方程组，解方程即可得到所求值．【详解】解：（1）由余弦定理由正弦定理得（2）由已知得：所以------①又所以------②由①②解得【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用当n>1时，即可得出．注意验证n=1时的情况.（2）由（1）知b n=（2n-1）a n，得．利用错位相减法即可得出．【详解】解：（1）当n=1时，当n≥2时，；两式相减得：，由题意知，所以所以是首项为1，公比为的等比数列，所以（2）由（1）得：------①------②①-②得：=所以【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的关系、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若对任意都有，求实数的取值范围.【答案】(1) ，(2)【解析】【分析】（1）把a=2代入，找出导函数为0的自变量，看在自变量左右两侧导函数的符号来求极值即可．（2）先根据导函数的解析式确定函数f（x）的单调性，然后根据a的不同范围进行讨论进而确定其答案．【详解】解：（1）当时，所以当时，，为增函数时，，为减函数时，，为增函数所以，（2）（）所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增所以函数在上的最大值是由题意得，解得：，因为, 所以此时的值不存在当时，，此时在上递增，在上递减所以函数在上的最大值是由题意得，解得：综上的取值范围是【点睛】本题涉及到利用导函数求极值．利用导函数求极值时，须先求导函数为0的根，再根据导函数为0的根左右两侧的符号来求极大值和极小值．22.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：当时，函数在区间上存在唯一的极小值点为，且.【答案】(1) 递增区间是，递减区间是，,(2)见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）f′（x）=2ax+a-e x-xe x，a＞1，x＜0．f″（x）=2（a-e x）-xe x＞0，可得函数f′（x）在（-∞，0）上单调递增，根据函数零点判定定理即可判断出结论f′（x）在内存在唯一零点．即可证明结论．【详解】解：（1）当时，时，；时，；时，所以的递增区间是，递减区间是，(2)设，则．因为，所以，.又因为所以，故在上为增函数．又因，，由零点存在性定理，存在唯一的，有．当时，，即在上为减函数，当时，，即在上为增函数，所以为函数的极小值点．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2019届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学（二） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·玉林摸底]()()3i i i 12--+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -2．[2018·云天化中学]已知集合(){},|2M x y x y =+=，(){},|4N x y x y =-=，则M N =（ ）A ．3x =，1y =-B ．()3,1- C ．{}3,1- D ．(){}3,1-3．[2018·浏阳六校联考]函数()2cos πxf x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．[2018·天水一中]设向量a ，b 满足2=a ，3=+=b a b ，则2+=a b （ ）5．[2018·沈阳期末]过点()2,2-且与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程是（ ） A ．22124y x -= B ．22142x y -= C ．22142y x -= D ．22124x y -= 6．[2018·浙江模拟]ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3C =，c =3b a =，则ABC △的面积为（ ） A 23- B 33 CD7．[2018·哈尔滨六中]《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图．若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ）A ．6?i >B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i > 8．[2018南靖一中·]“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（ ） A ．310 B ．25 C ．12 D ．35 9．[2018·哈师附中]直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 10．[2018·三湘名校]将函数()()co 2πs <f x x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π6个单位长度，所得函数图象关于π2x =对称，则ϕ=（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．5π12- B ．3π- C ．π3 D ．5π1211．[2018·哈师附中]已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()()23f x f x =+，当30x -<≤时，()()3log 1f x x =-，则()2018f =（ ）A ．67312- B ．67212- C ．67212 D ．6731212．[2018·哈师附中]已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭ B．⎫⎪⎪⎝⎭ C．⎛ ⎝⎭ D ．3⎛⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·陕西四校联考]已知函数()2ln 24f x x x x =+-，则函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为__________．14．[2018·奉贤区二模]已知实数x ，y 满足20102x y x y -⎧≤-≤+≥⎪⎨⎪⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是_______．15．[2018·湖北期中]已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=()sin αβ+=__________．16．[2018·张家界模拟]已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，ABC △是边长为43D 是线段AB 上一点，且3AD BD =．球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O 的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2018·朝阳期中]设{}()n a n ∈*N 是各项均为正数的等比数列，且23a =，4318a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若3log n n n b a a =+，求12n b b b +++．18．（12分）[2018·齐齐哈尔期末]已知从A 地去B 地有①或②两条公路可走，并且汽车走公路①堵车的概率为14，汽车走公路②堵车的概率为p ，若现在有两辆汽车走公路①，有一辆汽车走公路②，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响， （1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望．19．（12分）[2018·攀枝花一考]如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，60ABE∠=︒，G为BE的中点．（1）求证：AG⊥平面ADF；（2）若AB=，求二面角D CA G--的余弦值．20．（12分）[2018·衡阳八中]设椭圆()2222:10,0C a ba by x+=>>，离心率e=，短轴2b=，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为()0,1，（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为O，A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆上一点，且有OA OB⊥，当线段AB的中点在y轴上时，求直线AB的方程．21．（12分）[2018·河南名校联盟]已知函数()222ln f x x mx x ++=，m ∈R ．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()22e 3x f x x ≤+在()0,+∞上恒成立，求m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2018·日照联考]已知平面直角坐标系xOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ⋅⋅=>，l 直线与曲线C 相交于不同的两点M ，N ． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM MN =，求实数a 的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2018·仙桃中学]已知函数()21f x x a x =---． （1）当时2a =，求()30f x +≥的解集； （2）当[]1,3x ∈时，()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围．2019届高三第一次模拟考试卷理科数学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】()()()31i 2i 13i i13i i3i i i i --+-+⋅-+===----⋅，故选B ．2．【答案】D【解析】∵集合(){},|2M x y x y =+=，(){},|4N x y x y =-=，∴()()(){}23, , 3,141x y x M N x y x y x y y ⎧⎫⎧⎫+==⎧⎧⎪⎪⎪⎪===-⎨⎨⎬⎨⎨⎬-==-⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，故选D ．3．【答案】A【解析】由题意得函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，∵()()2cos πxf x f x x -==，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴可排除C ，D ．又当0x →时，(πcos 1)x →，20x →，∴()f x →+∞，所以可排除B ，故选A ．4．【答案】D【解析】∵向量a ，b 满足2=a ，3=+=b a b3，解得2⋅-a b =．则2+===a b D ．5．【答案】A【解析】设与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程为222x y λ-=，又因为该双曲线过点()2,2-，所以()222222λ=--=-，即2222x y -=-，即22124y x -=为所求双曲线方程．故选A ．6．【答案】B【解析】222cos 2a b c C ab +-=，即πcos 3=，12，227ab a b =+-，()22337a a a a ⋅=+-，解得1a =，即3b =，11333sin 1322ABC S ab C ==⨯⨯=△选B ．7．【答案】B 【解析】模拟程序的运行，可得0S =，1i =；执行循环体，290S =，2i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，300S =，3i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，310S =，4i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，320S =，5i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，330S =，6i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，340S =，7i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，350S =，8i =； 由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为350． 可得判断框中的条件为7?i >．故选B ． 8．【答案】D 【解析】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为10n =， 甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为 ()1.72,1.83，()1.72,2.28，()1.72,1.55，()1.83,2.28，()1.83,1.55，()2.28,1.55， 所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==，故选D ． 9．【答案】B 【解析】 因为几何体是直三棱柱，11BC B C ∥，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，连结1A C ，11AC AC O =，取BC 的中点H ，连结OH ，则直线1A B 与1AC 所成的角为AOH ∠． 设11AB AC AA ===，2BCAO AH OH === 三角形AOH 是正三角形，异面直线所成角为60︒．故选B ．【解析】函数()()co 2πs <f x x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π6后得到1cos 26πy x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为1cos 26πy x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象关于于π2x =对称，1π22π6πk ϕ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，解得3ππk ϕ=-，当0k =时，3πϕ=-，故选B ．11．【答案】B【解析】定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()()23f x f x =+，则()()132f x f x +=，则()()()()26721112018201520122222f f f f ====，又当30x -<≤时，()()3log 1f x x =-，()()()322log 121f f ∴=--=---=-⎡⎤⎣⎦，故()672120182f =-．故选B ．12．【答案】B【解析】∵90OPA ∠=︒，∴点P 在以AO 为直径的圆上，∵()0,0O ，(),0A a ，∴以AO 为直径的圆方程为22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即220x y ax +-=，由22222210x ya b x y ax +=+-=⎧⎪⎨⎪⎩消去y ，得()2223220b a x a x a b -+-=．设(),P m n ，∵P 、A 是椭圆22221x y a b +=与220x y ax +-=两个不同的公共点，∴322a m a b a -+=-，2222a b ma a b =-，可得222ab m a b =-．∵由图形得0m a <<，∴2220ab a a b <<-，即222b a b <-，可得222a c c -<，得222a c <，∴a <，解得椭圆离心率c e a=>=，又∵()0,1e ∈，∴椭圆的离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭．本题选择B 选项．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】30x y --=【解析】∵()2ln 24f x x x x =+-，∴()144f x x +'=-，∴()11f '=， 又()12f =-，∴所求切线方程为()21y x --=-，即30x y --=．故答案为30x y --=． 14．【答案】4 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示： 由2u x y =+得122u y x =-+，平移直线122u y x =-+，由图象可知，当直线122u y x =-+经过点()2,1A 时，直线122u y x =-+的截距最大，此时u 最大，max 2214u =+⨯=．故答案为4． 15．【答案】1 【解析】sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=22sin cos 2sin cos 1αβαβ∴++=，22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=，相加得()22sin cos cos sin 4αβαβ++=， ()sin 1αβ∴+=．故答案为1． 16．【答案】100π 【解析】 将三棱锥P ABC -补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O C ，则14O C =，2216R x ∴=+，在三角形ABC 中，取AB 的中点为E ， 连接1O D ，1OE ，则11122O E O C ==，14DE AB =1O D ∴=， 在直角三角形1OO D 中，OD 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为r ，则最小截面圆的面积为2πr ，当截面过球心时，截面面积最大为2πR ，22ππ34πr R ∴+=，如图三，2227R r x =++，3r =联立以上三个方程得到，3x =，5R =， ∴球的表面积为4π25100π⨯=．故答案为100π．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）13n n a -=，n ∈*N ；（2）()13122nn n --+．【解析】（1）设{}n a 为首项为1a ，公比为q ，()0q >，则依题意，13211318a q a q a q ⎧=-=⎪⎨⎪⎩，解得11a =，3q =，所以{}n a 的通项公式为13n n a -=，n ∈*N ．（2）因为()13log 31n n n n b a a n -=+=+-，所以()()2112313330121n n b b b b n -++++=+++++++++-⎡⎤⎣⎦()()11133113222n n n n n n ----=+=+-．18．【答案】（1）13p =；（2）分布列见解析，()56E ξ=．【解析】（1）由已知条件得()2121337C 144416p p ⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅= ⎪⎝⎭，即31p =， ∴13p =，即走公路②堵车的概率为13．（2）由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()332304438P ξ==⋅⋅=，()7116P ξ==，()1211213112C 4434436P ξ==⋅⋅+⋅⋅⋅=，()1111344348P ξ==⋅⋅=，∴随机变量ξ的分布列为所以()3711501238166486E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，∴AD AB ⊥， ∵矩形ABCD 菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ， ∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥， ∵菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点．∴AG BE ⊥，即AG AF ⊥， ∵AD AF A =，∴AG ⊥平面ADF ． （2）由（1）可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设3AB BC =，则1BC =，32AG =，故()0,0,0A，3,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1D ，3,0,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则33,2AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1AD =，3,0,02AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量()1111,,x y z =n ， 则11111133020AC x y z AD z ⋅=-+=⋅⎧==⎪⎨⎪⎩n n，取1y =()1=n ， 设平面ACG 的法向量()2222,,x y z =n ， 则2222223302302AC x y z AG x ⋅=⎧⎪⎪⎨+=⋅=⎪=⎪⎩n n ，取22y =，得(2=n ， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212cos θ⋅===⋅n n n n 易知θ为钝角，∴二面角D CA G --的余弦值为7． 20．【答案】（1）2212010y x +=，24x y =；（2）8180y +-=． 【解析】（1）由2e 得2a c，又有b =222a b c =+，解得a = 所以椭圆方程为2212010y x +=， 由抛物线的焦点为()0,1得，抛物线焦点在y 轴，且12p =，抛物线的方程为24x y =． （2）由题意点A 位于第一象限，可知直线OA 的斜率一定存在且大于0， 设直线OA 方程为y kx =，0k >， 联立方程24y kx x y ==⎧⎨⎩得：24x kx =，可知点A 的横坐标4A x k =，即()24,4A k k ，因为OA OB ⊥，可设直线OB 方程为1y x k =-， 连立方程22112010y xk y x =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得2222012k x k =+，从而得x =若线段AB 的中点在y轴上，可知B x =B ⎛ ⎝，有4k =0k >，解得k ，从而得12A ⎫⎪⎭，()B ，直线AB的方程8180y +-=．21．【答案】（1）见解析；（2）(],e 1-∞+．【解析】（1）依题意，()0,x ∈+∞，()221'222x mx f x x m x x ++=++=⋅，若22m -≤≤，则210x mx ++≥，故()'0f x ≥，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 当22m m <->或时，令210x mx ++=，解得1x =224m m x -+-=若2m >0<0<，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；若2m <-，则当x ⎛∈ ⎝⎭时，()'0f x >，当24m m x -+-⎝⎭时，()'0f x <，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()'0f x >； 综上所述：当2m ≥-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2m <-时，函数()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减．（2）题中不等式等价于2222ln 2e 3x x mx x x ++≤+，即2e ln x x x mx -+≥， 因此2e ln x x x m x -+≥，设()2e ln x x x h x x -+=，则()()22e 1ln 1'x x xx h x x -++-=，()'10h ∴=， 当()0,1x ∈时，()2e 1ln 10x x x x -++-<，即()'0h x <，()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()2e 1ln 10x x x x -++->，即()'0h x >，()h x 单调递增； 因此1x =为()h x 的极小值点，即()()1e 1h x h ≥=+，故e 1m ≤+， 故实数m 的取值范围为(],e 1-∞+． 22．【答案】（1）l 直线方程：10x y --=，曲线C 方程：22y ax =；（2）14a =． 【解析】（1）∵1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为10x y --=． ∵sin tan 2a ρθθ=，∴22sin 2cos a ρθρθ=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为22y ax =． （2）∵22y ax =，∴0x ≥， 设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是1t ，()2120,0t t t >>，则1PM t =，2PN t =， ∵PM MN =，∴12PM PN =，∴212t t =， 将1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩，代入22y ax =，得)()22420t a t a -+++=， ∴)()121222242t t a t t a ⎧+=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，又∵212t t =，∴14a =． 23．【答案】（1）{}42x x -≤≤；（2）[]3,5a ∈-． 【解析】（1）当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-， ①122213x x x <-+-≥-⎧⎪⎨⎪⎩或②1222213x x x ≤<--+≥-⎧⎪⎨⎪⎩或③22213x x x ≥--+≥-⎧⎨⎩， 解①得：142x -≤<，解②得：122x ≤<，解③得：2x =， 综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤． （2）若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立， 即32122x a x x -≤+-=+，故2222x x a x --≤-≤+，232x a x ∴--≤≤+对[]1,3x ∈时成立，故[]3,5a ∈-．。

2019年吉林省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4}C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}2．若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣D．43．下列说法中正确的是（）A．命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“∃x°∈（0，+∞），2x°≤1”C．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2＜b2，则a＜b”D．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的必要而不充分条件4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m∥n，n⊥α⇒m⊥α5．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣16．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=4，AC=2，E，F为线段BC 的三等分点，则•=（）A． B．4 C． D．7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为（）A．2 B．1 C．D．48．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于（）A．3 B．9 C．27 D．819．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣1，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）∪（1，3）11．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足（+）•=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．512．已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．已知=dx，那么（x2﹣）n的展开式中的常数项为．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y=a1x+m与圆x2+（y﹣1）2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列（）的前100项的和为．16．关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线对称③y=f（x）的最大值是；④f（x）即是奇函数，又是周期函数．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．频数频率使用微信时间（单位：小时）（0，0.5] 3 0.05（0.5，1]x p（1，1.5]9 0.15（1.5，2]15 0.25（2，2.5]18 0.30（2.5，3]y q合计60 1.0019．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．20．（12分）已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，当P在M上运动时，求的最小值．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（Ⅱ）设l1与圆M的两个交点为A，B，求+的值．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m 成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。