沈阳市高二下学期期中数学试卷(理科)B卷(模拟)

辽宁省沈阳市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）要从4名女生和2名男生中选出3名学生组成课外学习小组，则是按分层抽样组成的课外学习小组的概率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·长春期末) 等于（）A . 0B . 10C . -10D . -403. （2分） (2017高二下·故城期中) 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中有的盒子可能没有放球，则总的方法共有（）A . 81种B . 64种C . 36种D . 18种4. （2分） (2018高二上·吉林期末) 在的展开式中，含项的系数为（）C . 15D . 105. （2分）(2014·辽宁理) 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A . 144B . 120C . 72D . 246. （2分） (2018高三上·长春期中) 设随机变量服从正态分布，若，则的值为（）A .B .C . 5D . 37. （2分）(2017·聊城模拟) 某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：分数段[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）人数1366211若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为（）A . 70分B . 75分8. （2分） (2016高二下·清流期中) 设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是（）A . 50，B . 60，C . 50，D . 60，9. （2分） (2016高二下·南阳期末) 已知X～N（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，则 dx=（）A . 0.043B . 0.0215C . 0.3413D . 0.477210. （2分）掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具，设事件A为“点数之和恰好为6”，则A所基本事件个数为（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个11. （2分）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P（N|M）=（）A .B .C .D .12. （2分）离散型随机变量X的分布列为P（X=k）=pkq1﹣k（k=0，1，p+q=1），则EX与DX依次为（）A . 0和1B . p和p2C . p和1﹣pD . p和p（1﹣p）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有________种．14. （1分）的展开式中的系数是________ （用数字作答）。

沈阳二中2022—2022学年度下学期期中考试高二（13届）数学（理）试题说明：1测试时间：120分钟 总分：150分2客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷 （满分60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1可导函数在闭区间的最大值必在（ ）取得A ．极值点B ．导数为零的点C ．极值点或区间端点D ．区间端点2．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，使a ⊥b 成立的与使//a b 成立的分别为（ ）A ．10,63- B ．-10,63-6 C ．-6,10,63- D ．6,-10,63- 3 设f 在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则错误!f d 是错误!ξi 错误!ξi ·错误! 错误!ξi ·ξi 错误!ξi ·ξi ＋1－ξi 4．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC 的值是（ ）A ．21B ．22C ．－21D ．05 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<< 6下列命题中，真命题是（ ）A ．若直线m 、n 都平行于，则n m //B ．设βα--l 是直二面角，若直线,l m ⊥则β⊥mC ．若m 、n 在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且n m ⊥，则α⊂n 或D ．若直线m 、n 是异面直线，α//m ，则n 与相交7 已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．21<<-aB ．63<<-aC ．63>-<a a 或D ．21>-<a a 或 )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形9 已知函数在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+ 10111 10．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =O QA QB ⋅131(,,)243123(,,)234448(,,)333447(,,)333)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a )0,21(-)1,41[)1,43[),49(+∞)49,1(111C B A ABC -3231=AA BC BD =BAD B --13π6π65π32π1=-⎰BD xAB yAC zAS ++f(x)=ln(3x)+8x 0-(1)lim x f x f x→=（12）-⊂⊂2()(1)x f x e ax x =++a[0,]f(cos )f(sin )22πθθθ∈-<时，{}123，，e e e 12323OP =-+e e e 1232OA =+-e e e 12332OB =-++e e e 123OC =+-e e e P A B C ，，，{}OAOBOC ，，OP a ∈R233)(x ax x f -=2=x )(x f y =a ()()x g x e f x =[02]，a 111ABC A B C -90ACB ∠=2AB =1BC =1AA D 1CC 1C 1C ⊥11AB C 11B AB C --321(0)()31(0)x x mx x f x e x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩π2arccos3'2()[(21)2]x f x e ax a x =+++'(1)0f =a'2()(2)x f x e x x =--+'()021f x x >-<<令得-21（，）(,1),(1,)-∞-+∞(1)f e =(0)1f =[0,1]∈ DC12()()12f x f x e -≤-<[0,]2πθ∈cos ,sin θθ(cos )(sin )2f f θθ-<x y z，，OP xOA yOB zOC=++1x y z ++=123123123123(2)(32)(x y z -+=+-+-++++e e e e e e e e e e x y z ，，322123x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=-⎨⎪-+-=⎩，，，17530x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，1x y z ++=OA OB OC m n ，OA mOB nOC=+{}OAOBOC ，，OA =a OB =b OC =c 1232+-=e e e a 12332-++=e e e b 123+-=e e e c12234=--5⎧⎪=-⎨⎪=--7⎩，，e a b c e a c e a b c.17530OP OA OB OC=--2()363(2)f x ax x x ax '=-=-2x =()y f x =(2)0f '=6(22)0a -=1a =1a =2x =()y f x =1a ='322()(336)x g x e ax x ax x =-+-0x e >(0,2]x ∀∈3223360ax x ax x -+-≤2322363633x x x a x x x x++≤=++(0,2]x ∈236()3x h x x x+=+(0,2]x ∈22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++()h x 0,2]（()h x 6(2)5h =65a ≤a 6(,]5-∞90ACB ∠=BC AC ⊥111ABC A B C -1BC CC ⊥1AC CC C =BC ⊥11ACC A 1A D ⊂11ACC A 1BC A D ⊥11BC B C 111B C A D ⊥1Rt ACC ∆11tan 2AC AC C CC ∠===11Rt DC A ∆11111tan 2DC DAC AC ∠===111AC C DAC ∠=∠111CAC C DA ∠=∠1Rt ACC ∆11Rt DC A ∆1111C C ACDC AC ====1Rt ACC ∆11Rt DC A ∆111AC C DAC ∠=∠111CAC C DA ∠=∠1190AC C CAC ∠+∠=11190AC C C DA ∠+∠=11A D AC ⊥1111B C AC C =1A D ⊥11AB C 1C 1AB H 1ABB 1GH AB ⊥1BB G 1GC1C HG ∠11B AB C --11Rt AB C∆1111110AC B C C H AB ⋅===1B H =1Rt B HG ∆1Rt B BA ∆1111B H B G GH AB B B B A ==GH=1B G =11Rt B C G∆16C G =1C HG∆2221111cos 2C H GH C G C HG C H GH +-∠==⋅11B AB C --6-90ACB ∠=BC AC⊥111ABC A B C -1BC CC ⊥1AC CC C =BC ⊥11ACC A C CB 1CC CA x y z ()0,0,0C ()1,0,0B (A ()1C ()1B (1A D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10,A D ⎛= ⎝()111,0,0B C =-(11,AB =1110A D BC =110AD AB =111A D BC ⊥11A D AB ⊥111A D B C ⊥11A D AB ⊥1111B C AB B =1A D ⊥11AB C (),,x y z =n 1ABB 110,0.AB BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn 0,0.x ⎧+=⎪=1z =)=n 1ABB 10,A D ⎛= ⎝11AB C 1,AD <n >11B ABC --()1110,3,0,1cos ,=2AD AD AD ⎛ ⎝==⋅n <n >n11B ABC --6-2()2f x x mx '=+ = 0，f ′ = 2≥0, f =313x 在–∞，0]上单调递增，且f =3103x ≤． 又f 0 = 0，∴f 在R 上是增函数，无极植；②若m 2m 0，则f =3213x mx+在–∞，0单调递增，同①可知f 在R 上也是增函数，无极值； ………………………………………………4分③若m >0，f 在–∞，–2m ]上单调递增，在–2m ，0单调递减，又f 在0, ∞上递增，故f 有极小值f 0 = 0，f 有极大值34(2)3f m m-=． 6分（2）当 >0时，先比较e – 1与n 1的大小， 设h = e – 1–n 1 >0h ′ =11xe x ->+恒成立 ∴h 在0，∞是增函数，h >h 0 = 0 ∴e – 1–n 1 >0即e – 1>n 1 也就是f >g ，0x ∀>成立．故当1 – 2>0时，f 1 – 2> g 1 – 2………………………………………………10分 再比较1212()ln(1)g x x x x -=-+与g 1 –g 2 = n 1 1 –n 2 1的大小．1212()[()()]g x x g x g x ---=1212ln(1)ln(1)ln(1)x x x x -+-+++=12221211(1)(1)()ln ln(1]011x x x x x x x x -++-=+>++ ∴g 1 – 2 > g 1 –g 2∴f 1 – 2> g 1 – 2 > g 1 –g 2 ．………………………………………………12分22．解： 1方法一:作AH ⊥面于,连,AB BD HB BD ⊥⇒⊥3,1AD BD ==AB BC AC BD DC ∴===∴⊥又BD CD =,则BHCD 是正方形则..DH BC AD BC ⊥∴⊥方法二:取的中点,连、, 则有,.AO BC DO BC ⊥⊥,.BC AOD BC AD ∴⊥∴⊥面2作BM AC ⊥于,作MN AC ⊥交于,则BMN ∠就是二面角B AC D --的平面角AB AC BC ===是的中点,且∥则111,,22222BM MN CD BN AD =====由余弦定理得222cos arccos 233BM MN BN BMN BMN BM MN +-∠==∴∠=⋅3设为所求的点,作EF CH ⊥于,连则∥,EF BCD EDF ⊥∠面就是与面所成的角,则30EDF ∠=︒设EF x =,易得1,,AH HC CF x FD ====则tan EF EDF FD ∴∠===解得 1.2x CE ===则 故线段上存在点,且1CE =时,与面成角解法二:（1）作AH ⊥面于,连、、,则四边形BHCD 是正方形,且1AH =, 以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图, 则(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1).B C A(1,1,0),(1,1,1),0,.BC DA BC DA BC AD =-=∴⋅=⊥则2设平面的法向量为1(,,),n x y z = 则由1n BC ⊥知:10n BC x y ⋅=-+=; 同理由1n CA ⊥知:10.n CA x z ⋅=+= 可取1(1,1,1).n =-同理,可求得平面ACD 的一个法向量为2(1,0,1).n =-由图可以看出,三面角B AC D --的大小应等于则1212133n n n n ⋅+===,即所求二面角的大小是arccos 33设(,,)E x y z 是线段上一点,则0,1,x z y ==> 平面的一个法向量为(0,0,1),(,1,),n DE x x == 要使与面成角,由图可知与的夹角为, 所以1cos ,cos60.21DE n DEn DE n⋅===︒=+<>则2x =解得,2x =,则 1.CE == 故线段上存在点,且1CE =,时与面成角。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.（3-i）2=（）A. -8-6iB. 8+6iC. 8-6iD. -8+6i2.复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A. -1B. -2C. -iD. -2i3.下列求导计算正确的是（）A. B.C. D. （x sinx）′=cos x4.记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（）A. 由a•b∈R，类比得x•y∈IB. 由a2≥0，类比得x2≥0C. 由（a+b）2=a2+2ab+b2，类比得（x+y）2=x2+2xy+y2D. 由a+b＞0⇒a＞-b，类比得x+y＞0⇒x＞-y5.下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若z∈C，且|z+2-2i|=1，则|z-2-2i|的最小值是3．A. ①②③④B. ②③④C. ①②④⑤D. ①②⑤6.设曲线y=在点（1，0）处的切线与直线x-ay+1=0垂直，则a=（）A. -B.C. -2D. 27.某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A. 72B. 84C. 96D. 1208.用数学归纳法证明“42n-1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n=k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A. 16（42k-1+3k+1）-13×3k+1B. 4×42k+9×3kC. （42k-1+3k+1）+15×42k-1+2×3k+1D. 3（42k-1+3k+1）-13×42k-19.（2x2-x+1）8的展开式中x5的系数是（）A. 1288B. 1280C. -1288D. -128010.某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）A. B. C. D.11.函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f'（x）+f（x）＞0，则不等式的解集为（）A. {x|x＞-2015}B. {x|x＜-2015}C. {x|-2018＜x＜0}D. {x|-2018＜x＜-2015}12.若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.二项式（x-）6展开式中的常数项为______．14.将数列{3n-1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是______．15.定积分（-x）dx等于______．16.已知函数f（x）=（x+a）2+（e x+）2，若存在x0，使得f（x0），则实数a的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共68.0分）17.已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）设复数z1=，求|z1|；（2）设复数z2=，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18.（1）用分析法证明：-2＞-；（2）用反证法证明：，，不能为同一等差数列中的三项．19.已知数列{a n}满足：na n+1=（n+2）（a n-1），且a1=6．（1）求a2，a3，a4的值，并猜想{a n}的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想．20.已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、b∈R，a＞b＞e，（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．21.（1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B=272，求展开式中的x项的系数．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？22.设函数．（Ⅰ）求函数单调递减区间；（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）+g（x）（a≤0）的极小值不小于，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：（3-i）2=9-6i+i2=8-6i．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数z的虚部为-1．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：A选项应为，C选项应为2x ln2，D选项应为sin x+x cosx．故选：B．由导数公式知A，C，D，错误，B正确．本题考查导数公式的应用，属于简单题．4.【答案】C【解析】解：A：由a•b∈R，不能类比得x•y∈I，如x=y=i，则xy=-1∉I，故A不正确；B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x=i，则x2＜0，故B不正确；C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故C正确；D：若x，y∈I，当x=1+i，y=-i时，x+y＞0，但x，y是两个虚数，不能比较大小．故D 错误故4个结论中，C是正确的．故选：C．在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．5.【答案】D【解析】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；分析法是一种直接证明法，故④错误；|z+2-2i|=1表示复平面上的点到（-2，2）的距离为1的圆，|z-2-2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2-（-2）|-1=3，故⑤正确故选：D．本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对①②③个命题逐一判断；分析法是一种直接证明法；考虑|Z+2-2i|=1的几何意义，表示以（-2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z-2-2i|的最小值，就是圆上的点到（2，2）距离的最小值，转化为圆心到（2，2）距离与半径的差，即可得到答案．判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义，以及两条直线垂直的等价条件，关键是对函数正确求导，属于基础题．根据求导公式和法则求出导数，再由导数的几何意义和切线斜率列出方程，求出a的值．【解答】解：由题意得，=（x＞0），∵在点（1，0）处的切线与直线x-ay+1=0垂直，∴=-a，解得a=，故选：A．7.【答案】B【解析】解：按照第一个节目分两类：①第一个节目排A，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有A A=48种；②第一个节目排B，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有48种，其中A排最后一个节目的有A A=12，故共有48-12=36种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有48+36=84种．故选：B．按照第一个节目分两类：①排A，②排B．在每类中再用捆绑法将C，D捆在一起当一个元素与其它元素一起作全排列，再减去最后一个节目排A的．最后两类相加．本题考查了排列及简单计数原理，分类法，属中档题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查的数学归纳法的步骤，为了使用已知结论对42k+1+3k+2进行论证，在分解的过程中一定要分析出含42k-1+3k+1的情况．数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．【解答】解：假设n=k时命题成立．即：42k-1+3k+1被13整除．当n=k+1时，42k+1+3k+2=16×42k-1+3×3k+1=16（42k-1+3k+1）-13×3k+1．故选：A．9.【答案】C【解析】解：x5可能是（-x）5，（2x2）（-x）3，（2x2）2（-x），（-x）5表示在8个式子中5个选（-x），其余3个选出1，系数为（-1）5•13=-56；（2x2）（-x）3表示在8个式子中1个选2x2，其余7个中3个选（-x），其余选1，系数为•2•（-1）3•14=-560；（2x2）2（-x）表示在8个式子中2个选2x2，其余6个中一个选（-x），其余选1，系数为•22•（-1）•15=-672，所以将（2x2-x+1）8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是-56-560-672=-1288．故选：C．将（2x2-x+1）8变成8个相同的式子相乘，再根据分类计数原理和分布计数原理可得．本题考查了二项式定理，属中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有，故选：A．先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法．本题考查排列组合知识，考查平均分组问题，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，设g（x）=x2f（x），（x＞0），则导数g′（x）=（x2）′f（x）+x2f′（x）=x2f′（x）+2xf（x）；函数f（x）在区间（0，+∞）上，满足f'（x）+f（x）＞0，则有x2f′（x）+2xf（x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；⇒（x+2018）2fx+2018）＜32f（3）⇒g（2018）＜g（3），则有0＜x+2018＜3，解可得：-2018＜x＜-2015；即不等式的解集为{x|-2018＜x＜-2015}；故选：D．根据题意，构造函数g（x）=x2f（x），（x＞0），对其求导可得g′（x）=x2f′（x）+2xf（x）；分析可得g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；进而可以将不等式变形可得⇒g（2018）＜g（3），结合函数的单调性分析可得0＜x+2018＜3，解可得x的范围，即可得答案．本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造函数g（x）并分析函数的单调性．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．f′（x）=3ax2+4x+1，x∈（1，2）．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：f′（x）=3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a=0时，f′（x）=4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．a≠0时，△=16-12a．由△≤0，解得，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a＜（a≠0），由f′（x）=0，解得x1=，x2=．当时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）=ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f′（x1）=0，∴1＜＜2，a＜0．解得：＜a＜-．综上可得：＜a＜-．故选C．13.【答案】60【解析】【分析】本题主要考查求二项展开式中的特定项，属于基础题．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=C6r•x6-r•（-）r=（-2）r•C6r•x6-3r，令6-3r=0，求得r=2，展开式中常数项为（-2）2•=60．故答案为：60．14.【答案】34950【解析】【分析】本题考查了进行简单的合情推理，解答的关键是对题意的理解，训练了等差数列的前n项和的求法，是中档题．由分组规则可知，前99组中的数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的求和公式得到前99组的最后一个数的项数，则第100组中的第一个数可求．【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+…+99==4950个数，则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即34950．故答案为：34950．15.【答案】【解析】解：（-x）dx=dx-xdx=dx-=dx-，由y=，则函数y=表示以（1，0）为圆心，半径r=1的圆的，∴dx=，∴dx-=，故答案为：．根据积分的几何意义和积分公式进行计算即可得到结论．本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，对于不好求出的积分，要转化为求对应图形的面积．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=e x得，y′=e x=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0），则f（x0）=，然后求解a即可．【解答】解：函数f（x）=（x+a）2+（e x+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（-a，-）之间距离的平方，动点M在函数y=e x的图象上，N在直线y=x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=e x得，y′=e x=，解得x=-1，所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由K MN==-e，解得a=．故答案为：．17.【答案】解：∵z=1+mi，∴=1-mi．∴•（3+i）=（1-mi）（3+i）=（3+m）+（1-3m）i．又∵•（3+i）为纯虚数，∴，解得m=-3．∴z=1-3i．（1）z1==--i，∴|z1|=；（2）∵z=1-3i，∴z2==，又∵复数z2所对应的点在第一象限，∴，解得：a＞．【解析】由已知列式求出m值．（1）把m值代入z1=，直接利用复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2=，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是中档题．18.【答案】证明：（1）要证明-2＞-；只要证+＞+2，只要证（+）2＞（+2）2，只要证13+2＞13+2，只要证＞即证42＞40．而42＞40显然成立，故原不等式成立；（2）证明：假设，，为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足=+md，①=+nd，②①×n-②×m得：n-m=（n-m），两边平方得：3n2+5m2-2mn=2（n-m）2，左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数，所以，假设不正确．故，，不能为同一等差数列中的三项.【解析】本题主要考查用分析法证明不等式，以及反证法，熟练掌握反证法的适用范围及证明步骤是解答的关键，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．（1）利用分析法，寻找使不等式成立的充分条件．（2）假设，，为同一等差数列的三项，进而根据等差数列的定义，分析出矛盾，进而得到原结论成立．19.【答案】解：（1）由递推公式可得a2=15，a3=28，a4=45，可猜想a n=（n+1）（2n+1）=2n2+3n+1．（2）下面用数学归纳法证明猜想成立．①当n=1时，猜想显然成立；②假设n=k（k≥1，k∈N+）时猜想成立，即，则n=k+1时，由ka k+1=（k+2）（a k-1）可得==（k+2）（2k+3）=2（k+1）2+3（k+1）+1，即：当n=k+1时，猜想也成立，由①②可知，当n∈N+时，a n=2n2+3n+1．【解析】（1）利用数列递推式，代入计算可得结论，猜想a n的表达式，（2）运用数学归纳法证明．注意两个步骤缺一不可，特别必须运用假设证明n=k+1，也成立．本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】（1）解：，∴∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．当0＜x＜e时，，∴函数在（0，e）上是单调递增．∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是．…（6分）（2）证明：∵b a＞0，a b＞0∴要证：b a＞a b只要证：a ln b＞b ln a只要证．（∵a＞b＞e）由（1）得函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有即．∴b a＞a b…（12分）【解析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（2）要证：b a＞a b只要证：a ln b＞b ln a，只要证，由（1）得函数在上是单调递减，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．21.【答案】解：（1）二项式展开式中的各项系数之和为A=（3+1）n=4n，各项的二项式系数之和为B=2n，若A+B=4n+2n=272，∴2n=16，求得n=4，故展开式中的x 项为•=108x，故展开式中的x项的系数为108．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，即++=1+n +=79，求得n=12，故=的展开的通项公式为T r+1=•22r-12•x r，令，求得≤r ≤，∵r为整数，∴r=10，故展开式系数最大的项为第11项，即T11=•28•x10=16896x10．【解析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的x项的系数．（2）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式系数最大的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由题可知，所以由F'（x）＜0，解得或．综上所述，F（x ）的递减区间为和．（Ⅱ）由题可知，所以．（1）当a=0时，，则G（x）在（-∞，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以G（x）在R上没有极小值，故舍去；（2）当a＜0时，，由G'（x）=0得，由于a＜0，所以，因此函数G（x）在（-∞，1）为增函数，在为减函数，在为增函数，所以G（x）极小值=即．令，则上述不等式可化为．上述不等式①第11页，共12页设，则，故h（t）在（1，+∞）为增函数．又h（2）=0，所以不等式①的解为t≥2，因此，所以，解得-1≤a＜0．综上所述a∈[-1，0）．【解析】（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性即可；（Ⅱ）运用函数的极值可解决此问题．本题考查利用函数的导数判断函数的单调性和函数极值．第12页，共12页。

辽宁省沈阳市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·丰台期中) 命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为（）A . 对任意a∈R，都有a2＜0B . 存在a∈R，使得a2＜0C . 存在a∈R，使得a2≥0D . 存在a∉R，使得a2＜02. （2分）(2017·宝山模拟) 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A . 80B . 96C . 108D . 1103. （2分） (2020高三上·安徽月考) 某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况.河流水位表（1）第日第1日第2日第3日第4日第5日第6日第7日水位（米） 3.5 3.7 3.8 3.9 4.3 4.4 4.8而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.水位预警分级表（2）水位水位分类设防水位警戒水位保证水位预警颜色黄色橙色红色现已根据上表得到水位的回归直线方程为，据上表估计（）.A . 第8日将要启动洪水橙色预警B . 第10日将要启动洪水红色预警C . 第11日将要启动洪水红色预警D . 第12日将要启动洪水红色预警4. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P （ξ≥1）等于（）A . 0.1B . 0.2C . 0.3D . 0.45. （2分）(2018·河北模拟) 已知关于的不等式对任意的恒成立，若的取值范围为区间，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）若两个分类变量x和y的列联表为：y1y2合计x1104555x2203050合计3075105则x与y之间有关系的可能性为（）A . 0.1%B . 99.9%C . 97.5%D . 0.25%7. （2分） (2017高三上·韶关期末) 执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A .B .C .D .8. （2分）正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DD1的中点，则AA1与平面AEF所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·宜宾模拟) 在2016年巴西里约奥运会期间，6名游泳队员从左至右排成一排合影留念，最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（）A . 216B . 108C . 432D . 12010. （2分）设函数f（x）=x（x+k）（x+2k），且f′（0）=8，则k=（）A . 2B . ﹣2C . ±2D . ±111. （2分）展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（）A . 330B . 462C . 680D . 79012. （2分）(2018·龙泉驿模拟) 若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2020高二下·吉林期中) 袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是________.14. （1分） (2018高二下·湖南期末) 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.15. （2分） (2020高三上·浙江月考) 在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？因为甲输掉后两局的可能性只有，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为，即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足，则 ________；若，则 ________.16. （1分）给出下列命题；①设[x]表示不超过x的最大整数，则[log21]+[og22]+[log23]+…+[log2127]+[log2128]=649；②定义在R上的函数f（x），函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于y轴对称；③函数f（x）=的对称中心为（﹣，﹣）；④定义：若任意x∈A，总有a﹣x∈A（A≠∅），就称集合A为a的“闭集”，已知A⊆{1，2，3，4，5，6} 且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有7个．其中正确的命题序号是________三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1≥1且x﹣3≤0}，B={x|a≤x≤a+2，a∈R}．（1）当a=1时，求A∩B；（2）当集合A，B满足B⊆A时，求实数a取值范围．18. （5分）(2019·江西模拟) 为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于分者为“成绩优秀”）分数甲班频数乙班频数（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优秀成绩不优秀总计（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为，求的分布列和期望．参考公式：，其中．临界值表19. （10分）(2018·泉州模拟) 已知函数 .（1）设，若曲线在处的切线很过定点，求的坐标；（2）设为的导函数，当时，，求的取值范围.20. （5分）(2017·怀化模拟) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠ADC=120°，AB=2CD=2，平面D1DCC1垂直平面ABCD，D1C⊥AB，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：D1M∥面B1BCC1；（Ⅱ）若DD1=2，求平面C1D1M和平面ABCD所成的锐角的余弦值．21. （5分）(2017·泰安模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，又l与直线y= x分别交于A、B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2（O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．22. （5分）(2017·成武模拟) 解答题（Ⅰ）讨论函数f（x）= ex的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）ex+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）= （x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共35分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。

2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z=（b∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z是（）A． i B．﹣i C．﹣i D．i2．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）3．设n是自然数，f（n）=1+++…+，经计算可得，f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞．观察上述结果，可得出的一般结论是（）A．f（2n）＞B．f（n2）≥C．f（2n）≥D．4．由曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积为（）A． B． C．1 D．5．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1） D．2（2k+3）6．函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）A．（，e） B．（0，） C．（﹣∞，） D．（，+∞）7．已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（）A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．208．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（）A． B．C． D．9．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）10．已知函数f（x）=sinx﹣x，x∈R，则f（）、f（1）、f（）的大小关系（）A．f（）＞f（1）＞f（） B．f（）＞f（1）＞f（） C．f（1）＞f （）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（1）11．设函数y=f n（x）在（0，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）=，取函数f（x）=，恒有f K（x）=f（x），则（）A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为2 D．K的最小值为212．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（，2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．已知复数z=，则|z|= ．14．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）= ．15．定积分（2+）dx= ．16．若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．（1）已知：a＞0，求证：﹣＞﹣（2）设x，y都是正数，且x+y＞2，试用反证法证明：＜2和＜2中至少有一个成立．18．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2（1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．19．已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）取得的极值﹣3（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x＞0，不等式f（x）+2m2﹣m≥0恒成立，求实数m的取值范围．20．当n∈N*时，，T n=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．21．已知函数f（x）=（x2﹣2ax+2）e x．（1）函数f（x）在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，求a，b的值；（2）当a＞0时，若曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z=（b∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z是（）A． i B．﹣i C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的乘法运算法则，化简复数为a+bi的形式，利用虚部为0，实部为0，求出复数z．【解答】解：复数z===，复数z=（b∈R，i是虚数单位）是纯虚数，2+b=0，2b﹣1≠0，解得，b=﹣2．∴z=﹣i．故选：C．2．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故选C．3．设n是自然数，f（n）=1+++…+，经计算可得，f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞．观察上述结果，可得出的一般结论是（）A．f（2n）＞B．f（n2）≥C．f（2n）≥D．【考点】归纳推理．【分析】已知的式子可化为f（22）＞，f（23）＞，f（24）＞，f（25）＞，由此规律可得f（2n）＞【解答】解：∵f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞．∴f（22）＞，f（23）＞，f（24）＞，f（25）＞，以此类推，可得f（2n）＞．（n＞1）∵f（2）=∴f（2n）≥．故选：C．4．由曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积为（）A． B． C．1 D．【考点】定积分．【分析】把曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积转化为定积分，求定积分得答案．【解答】解：由题意可知，曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积==．故选：A．5．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1） D．2（2k+3）【考点】数学归纳法．【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．6．函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）A．（，e） B．（0，） C．（﹣∞，） D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．【解答】解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故选：B．7．已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（）A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．20【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=2ln3x+8x，∴f′（x）=+8，∴f′（1）=10．∴=2=2f′（1）=20．故选：D．8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（）A． B．C． D．【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．9．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，故选C10．已知函数f（x）=sinx﹣x，x∈R，则f（）、f（1）、f（）的大小关系（）A．f（）＞f（1）＞f（） B．f（）＞f（1）＞f（） C．f（1）＞f （）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【分析】已知函数f（x）=sinx﹣x，求其导数，利用导数研究函数f（x）的单调性，再比较f（）、f（1）、f（）的大小关系，即可解决问题．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣x∴f′（x）=cosx﹣1≤0，故函数f（x）在R是单调减函数，又﹣＜1＜，∴f（）＞f（1）＞f（）故选A．11．设函数y=f n（x）在（0，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）=，取函数f（x）=，恒有f K（x）=f（x），则（）A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为2 D．K的最小值为2【考点】函数恒成立问题．【分析】由已知条件可得k≥f（x）max，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．【解答】解：∵函数f K（x）=，∴等价为K≥f（x）max，∵f（x）=，∴f′（x）=，设g（x）=，则g（x）在（0，+∞）单调递减，且g（1）=0，令f′（x）=0，即，解出x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=．故当k≥时，恒有f k（x）=f（x）因此K的最小值为．故选：B．12．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（，2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到：[xf（x）]′＜0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组求的结果．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），所以：f（﹣x）=﹣f（x）设f（x）的导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），则：xf′（x）+f（x）＜0即：[xf（x）]′＜0所以：函数F（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数．由于f（x）为奇函数，令F（x）=xf（x），则：F（x）为偶函数．所以函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．则：满足F（3）＞F（2x﹣1）满足的条件是：解得：所以x的范围是：（）故选：A二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．已知复数z=，则|z|= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数z=，再求其模即可．【解答】解：由复数z=化简得z===，∴|z|=．故答案为．14．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）= ﹣2 ．【考点】导数的运算．【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值，确定出函数f（x）的解析式，把x=1代入f（x）解析式，即可求出f（1）的值．【解答】解：求导得：f′（x）=2f′（1）+，令x=1，得到f′（1）=2f′（1）+1，解得：f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣2x+lnx，则f（1）=﹣2+ln1=﹣2．故答案为﹣2．15．定积分（2+）dx= ．【考点】定积分．【分析】根据积分的法则，（2+）dx=+，分步计算，令y=，问题得以解决．【解答】解：（2+）dx=+=+=2+，令y=，得x2+y2=1（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，，表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，故==，∴（2+）dx=．故答案为；．16．若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x﹣•=；从而可得∈（a﹣1，a+1）；从而求得．【解答】解：f（x）=x2﹣lnx+1的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣•=；∵函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，∴f′（x）=2x﹣•=在区间（a﹣1，a+1）上有零点，而f′（x）=2x﹣•=的零点为；故∈（a﹣1，a+1）；故a﹣1＜＜a+1；解得，＜a＜；又∵a﹣1≥0，∴a≥1；故答案为：．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．（1）已知：a＞0，求证：﹣＞﹣（2）设x，y都是正数，且x+y＞2，试用反证法证明：＜2和＜2中至少有一个成立．【考点】反证法与放缩法；综合法与分析法(选修）．【分析】（1）根据不等式的特点，利用分析法证明；（2）结合题目结论，采用反证法证明．【解答】（1）（分析法）要证原不等式成立，只需证即证只要证（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3）即证 20＞18∵上式显然成立，∴原不等式成立．（2）假设和都不成立，即，．又∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x两式相加得到 2+（x+y）≥2（x+y），∴x+y≤2．与已知x+y＞2矛盾，所以假设不成立，即和中至少有一个成立．18．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2（1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．【考点】函数与方程的综合运用；定积分．【分析】（1）用待定系数法设出解析式，据△=0，和f′（x）=2x+2确定结果．（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数．【解答】解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f'（x）=2x+2．∴可设f（x）=x2+2x+c．又∵方程f（x）=0有两个相等实根，∴△=4﹣4c=0⇒c=1，∴f（x）=x2+2x+1（2）∵函数f（x）=x2+2x+1与函数y=﹣x2﹣4x+1的图象交于点（0，1），（﹣3，4），∴两函数图象所围成的图形的面积为=．19．已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）取得的极值﹣3（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x＞0，不等式f（x）+2m2﹣m≥0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，求出a，b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，求出f（x）的最小值，从而求出m 的范围即可．【解答】解：（1）由f′（x）=3ax2+2bx，…当x=1时，f（x）的极值为﹣3，∴，解得：，∴f（x）=6x3﹣9x2…∴f′（x）=18x2﹣18x，由f′（x）＞0得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）…（2）f（x）+2m2﹣m≥0对任意x＞0恒成立，即f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，即．…由（1）知当x=1，f min（x）=f（1）=﹣3…∴﹣3≥m﹣2m2，即2m2﹣c﹣3≥0，∴m≤﹣1或…20．当n∈N*时，，T n=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；（Ⅱ）利用（1）的结果，直接猜想S n=T n，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，S k=T k，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．【解答】解：（Ⅰ）∵当n∈N*时，，T n=+++…+．∴S1=1﹣=，S2=1﹣+﹣=，T1==，T2=+=（Ⅱ）猜想：S n=T n（n∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（n∈N*）下面用数学归纳法证明：①当n=1时，已证S1=T1②假设n=k时，S k=T k（k≥1，k∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+则：S k+1=S k+﹣=T k+﹣=+++…++﹣=++…+++（﹣）=++…++=T k+1，由①，②可知，对任意n∈N*，S n=T n都成立．21．已知函数f（x）=（x2﹣2ax+2）e x．（1）函数f（x）在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，求a，b的值；（2）当a＞0时，若曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）切点在曲线上，求得b=﹣2，对函数求导，利用导数的几何意义，得出f'（0）=﹣2，从而求得a=2；（2）曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，等价于其导数等于k有三个解，结合函数图象的走向，从而确定出其范围应该介于极小值和极大值之间即可．【解答】解：（1）f（x）=（x2﹣2ax+2）e x，f（0）=2e0=2，2+b=0，得b=﹣2，f′（x）=（x2﹣2ax+2+2x﹣2a）e x=[x2+（2﹣2a）x+2﹣2a]e x，f′（0）=2﹣2a=﹣2，求得a=2，∴a=2，b=﹣2．（2）f′（x）=[x2+（2﹣2a）x+2﹣2a]e x，令h（x）=f（x），依题知存在k使h（x）=k有三个不同的实数根，h′（x）=（x2﹣2ax+2+2x﹣2a+2x﹣2a+4）e x=[x2+（4﹣2a）x+4﹣4a]e x，令h′（x）=[x2+（4﹣2a）x+4﹣4a]e x=0，求得x1=﹣2，x2=2a﹣2，由a＞0知x1＜x2，则f′（x）在（﹣∞，﹣2），（2a﹣2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2a﹣2）上单调递减．当x→﹣∞时，f'（x）→0，当x→+∞时，f'（x）→+∞，∴f′（x）的极大值为f'（﹣2）=e﹣2（2a+2），f′（x）的极小值为f'（2a﹣2）=e2a﹣2（2﹣2a），所以此时e2a﹣2（2﹣2a）＜k＜e﹣2（2a+2）．22．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．通过考察f′（x）的正负值区间判断单调区间，得出极值点情况．（Ⅱ）a=1，f（x）≥bx﹣2恒成立，即（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b≤，令g（x）=，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e2）上为减函数，g（x）＞g（y），＞，整理得＞，考虑将1﹣lnx除到右边，为此分1﹣lnx正负分类求解．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．（Ⅰ）当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数在（0，+∞）单调递减，∴在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，f′（x）＜0得x＜．f′（x）=0得x=．∴在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即在x=处有极小值．∴当a≤0时在（0，+∞）上没有极值点，当a＞0时，在（0，+∞）上有一个极值点．（Ⅱ）∵函数在x=处取得极值，∴a=1，f（x）=x﹣1﹣lnx，∵f（x）≥bx﹣2，移项得（1﹣b）x≥lnx﹣1，再将b分离得出，b≤，令g （x）=，则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0，∴g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣，所以b≤1﹣．（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e时，有g（x）＞g（y），＞，整理得＞①当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得，当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得。

沈阳二中2012——2013学年度下学期期中考试高二（14届）数学（理）试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 （60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。

在每小题列出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

1.将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T 发生的概率为.A12 .B 15 .C 25 .D 352.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋2≤0，那么下列结论正确的是A ．¬p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋2>0 B ．¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 C ．¬p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋2≥0 D ．¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≥03.采取简单随机抽样，从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体a 前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为.A 12 .B 13 .C 15 .D 164.若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10恒成立，则a 9＝A ．－10B ．10C ．－9D ．95.如图所示，已知矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，PA ABCD ⊥平面，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ QD ⊥，则a =.A 1 .B 2 .C 3 .D 46.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为 A ．0.27, 78 B ．0.27, 83C ．2.7, 78D ．2.7, 837.甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是___________.A 0.216 .B 0.36 .C 0.432 .D 0.6488.二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB 。

沈阳市高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，函数的定义域为集合B，则=（）A .B .C .D .2. （2分）命题p：∃x0∈N，x02＜1，则￢p是（）A . ∃x0∈N，x02≥1B . ∃x0∈N，x02＞1C . ∀x∈N，x2＞1D . ∀x∈N，x2≥13. （2分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . “至少有一个黑球”与“都是黑球”B . “至少有一个黑球”与“都是红球”C . “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D . “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”4. （2分）若l1：x+（1+m）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+8=0是两条平行直线，则m的值为（）A . 1或﹣2B . 1C . ﹣2D . 不存在5. （2分） (2017高二上·荆门期末) 已知变量x服从正态分布N（4，σ2），且P（x＞2）=0.6，则P（x＞6）=（）A . 0.4B . 0.3C . 0.2D . 0.16. （2分）(2017·云南模拟) 在△ABC中，CB=5，AD⊥BC交BC于点D，若CD=2时，则 =（）A . 5B . 2C . 10D . 157. （2分）(2016·北区模拟) 已知实数x，y满足条件，则z=3x+2y的取值范围是（）A . （﹣∞，10]B . [5，10]C . [8，+∞）D . [8，10]8. （2分）直线l：x=my+2与圆M：x2+2x+y2+2y=0相切，则m的值为（）A . 1或﹣6B . 1或﹣7C . ﹣1或7D . 1或﹣9. （2分） (2016高二上·梅里斯达斡尔族期中) 方程mx2﹣my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（）A . 焦点在x轴上的椭圆B . 焦点在x轴上的双曲线C . 焦点在y轴上的椭圆D . 焦点在y轴上的双曲线10. （2分）在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于（）A . 15B . 12C . 9D . 611. （2分） (2017高二下·寿光期中) 若（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6 ，则a0+a1+a3+a5=（）A . 364B . 365C . 728D . 73012. （2分）(2017·北京) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A . 3B . 2C . 2D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·福州期中) 如果执行如图的程序框图，那么输出的值是________14. （1分） (2018高二下·晋江期末) 任取两个小于1的正数x、y ，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．15. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有________种．16. （1分） (2016高一上·如东期中) 函数有一零点所在的区间为（n0 ， n0+1）（），则n0=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·汕头期末) 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．附：相关系数公式，参考数据，．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．18. （10分） (2017高三上·重庆期中) 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，满足tanA= ．（1）若A ，求角A；（2）若a ，试判断△ABC的形状．19. （5分） (2017高二上·莆田月考) 设为中的对边.求证：成等差数列的充要条件是： .20. （15分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．21. （5分） (2018高二上·哈尔滨月考) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．22. （15分） (2016高二下·韶关期末) 已知椭圆Γ： + =1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点：（1）求椭圆Г的方程：（2）设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证： + 为定值：（3）设点C在Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD距离为常数d（0＜d＜2），求动点D的轨迹方程：参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、22-3、。

辽宁省2020年高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·吉林模拟) 复数的实部为a，虚部为b，则（）A . -3B . -2C . 2D . 32. （2分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A . 假设至少有一个钝角B . 假设没有一个钝角C . 假设至少有两个钝角D . 假设没有一个钝角或至少有两个钝角3. （2分）(2017·临翔模拟) （1﹣2x）3的展开式中所有的二项式系数和为a，函数y=mx﹣2+1（m＞0且m≠1）经过的定点的纵坐标为b，则的展开式中x6y2的系数为（）A . 320B . 446C . 482D . 2484. （2分） (2017高二上·定州期末) 曲线在点处的切线方程为（）A .B .C .D .5. （2分）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有（）A . 14种B . 28种C . 32种D . 48种6. （2分）(2017·荆州模拟) 已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则﹣z2的共轭复数是（）A . 1﹣3iB . 1+3iC . ﹣1+3iD . ﹣1﹣3i7. （2分） (2019高二下·濮阳月考) 德国数学家科拉茨年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘加（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 .对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第项为（注：可以多次出现），则的所有不同值的个数为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高二下·唐山期中) 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是（）A . 函数有极大值和极小值B . 函数有极大值和极小值C . 函数有极大值和极小值D . 函数有极大值和极小值9. （2分） (2015高二下·铜陵期中) 设F1 ， F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（）A . 0B . 1C . 2D . 410. （2分）(2018高二下·大连期末) 已知，若，则的值为（）A .B .C .D .11. （2分）已知直线，平面.则“”是“直线，”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 已知关于的不等式存在唯一的整数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·上海期中) 已知复数z1 ， z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|= ，则|z1+z2|等于________．14. （1分）设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．15. （1分）将6位学生志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，去四个不同的田径场地服务，不同的服务方案有________种（用数字作答）．16. （1分） (2016高二下·东莞期中) 观察下列式子：1+ ＜，1+ + ＜，1+ + +＜，…，则可归纳出________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．18. （10分）(2019·贵州模拟) 已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围.19. （10分） (2019高二下·温州月考) 如图所示，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是的中点．（1）证明：平面；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的正切值．20. （10分） (2020高二下·吉林期中) 已知数列前n项和为， .（1）计算，并猜想；（2）证明你的结论.21. （10分） (2015高二下·铜陵期中) 已知椭圆C： =1的离心率为，焦距为2，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，请说明理由．22. （10分） (2020高二下·石家庄期中) 已知函数， .（1）讨论的单调性；（2）若函数在上恒小于，求a的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟；分数：150分试卷说明：试卷共二部分：第一部分：选择题型（1-11题58分）第二部分：非选择题型（12-19题92分）第I 卷（选择题共58分）一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 记等差数列的前n 项和为，则（）A. 98B. 112C. 126D. 1402. 已知公比为的等比数列的前项和，，且，则（ ）A. 48B. 32C. 16D. 83. 已知函数的导函数为，且，则（ ）A.B.C. D. 4. 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 6. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）AB..{}n a 7310,6,13n S a a a +==14S =q {}n a n 2nn S c q =+⋅*n ∈N 314S =4a =()f x ()f x '()π2sin 3f x xf x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭'1212-321()3f x x ax x =-+[)2,+∞a (),1-∞(],1-∞-5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦()21ln 2f x x x a x =-+a 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦21πsin()4()2x x f x ++=()f x '()f x ()f x 'C. D.7. 某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）A.B.C.D.8. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）附：若：，则，，．A. 0.0027B. 0.5C. 0.8414D. 0.9773二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 下列结论正确的是（ ）A. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95B. 已知随机变量，若，则C. 在列联表中，若每个数据a ，b ，c ，d 均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍D. 分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数．“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A ，B 互为独立事件10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 在定义域上是增函数B.的值域为2925815715()~,B n p ξ5np >()15n p ->ξηξη()2~,Nημσ()0.6827P μσημσ-<<+≈()220.9545P μσημσ-<<+≈()330.9973P μσημσ-<<+≈()11,x y 0.951y x =+(3,4)N ξ:21ξη=+()1D η=22⨯2χA =B =()2ln 11f x x x =---()f x ()f x RC. D. 若，，，则11. 如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）A. B. （）C.D. 数列的前100项和为第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知数列的前n 项和，则____________．13. 某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x （单位：）与水生植物的株数y （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x 与y 的关系，设，x 与z 的数据如表格所示：x 3467z22.54.57得到x 与z 线性回归方程，则___________.14. 设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．的()()20232024log 2024log 20231f f +=()e 1e 1b b f a b +=--()0,1a ∈()0,b ∈+∞e 1b a =n n a n n S 656S =11n n n a a -=--2n ≥12311112na a a a +++⋅⋅⋅+<()21cos nn n a π⎧⎫+⎨⎬⎩⎭200101-{}n a 223n S n n =++5678a a a a +++=2dm e (0)kx y c c =>ln z y =1.2zx a =+$$c =(),0ln ,0x a x f x x x -≤⎧=⎨>⎩12x x <()()12f x f x =21x x -1e a15. 已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）求过点且与曲线相切的切线方程．16. 已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求.17. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．（1）请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．上课转笔上课不转笔合计合格25优秀10合10032()3f x ax bx x =+-1x =±,a b (0,16)A ()y f x ={}n a n n S N n +∈{}n b 13a =11b =2210b S +=5232a b a -={}n a {}n b 2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数{}n c n n T 2n T计（2）现采取分层抽样方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为，求的分布列和数学期望．（3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为，求的期望和方差．附：，其中．0.0500.01000013.8416.63510.82818. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时（为大于0的常数），求的最大值；（3）若当时，不等式恒成立，求取值范围．19. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.的.的X X Y Y ()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()2P kχ≥k()21ln 2f x x x =-+()f x [],1x t t ∈+t ()f x 21112x x ≤<≤()()()1212f x f x k x x -<-k X X ()*n n ∈Nn ()*,k k k n ∈≤N k P 1()nk k P n P ==∑()13P n <沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案第I卷（选择题共58分）一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ACD第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】56【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】1四、解答题：本题共5小题，共77分．【15题答案】【答案】（1）；（2）．【16题答案】【答案】（1），； （2）.【17题答案】【答案】（1）列联表略，能在犯错概率不超过0.01的条件下认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关； （2）分布列略，数学期望为； （3）期望为：，方差为：.【18题答案】【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）答案略 （3）【19题答案】【答案】（1）分布列略， （2）证明略2e -21e 1,0a b ==9160x y -+=21n a n =+12n n b -=2n T 21121321n n ++=-+729 4.95()0,1()1,+∞3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4918。

2023-2024学年辽宁省沈阳市东北高二下学期期中数学模拟试题一、单选题1．已知函数()f x 在=1x -处可导，且()13f ¢-=-，则0(1)(1)lim 3x f f x x →---+∆⎛⎫= ⎪∆⎝⎭（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【正确答案】C【分析】根据导数的定义可得()()()011l 1im 3x f x f f x →'-+∆--⎛⎫=-⎪∆⎝⎭-=，再根据极限的性质计算可得.【详解】因为函数()f x 在=1x -处可导，且()13f ¢-=-，所以()()()011l 1im 3x f x f f x →'-+∆--⎛⎫=-⎪∆⎝⎭-=，所以()()()()()00111111lim lim 31333x x f f x f x f x x →→---+∆-+∆--⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎪∆∆⎝⎭⎝⎭.故选：C2．已知{}n a 为等比数列，37,a a 是方程2410x x ++=的两根，则5a =（）A ．1-B ．1C ．1±D ．2±【正确答案】A【分析】根据韦达定理判断3a 、7a 的正负，从而求出求出5a 的正负，并求出37a a ，根据2537a a a =即可求出5a ﹒【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为37,a a 是方程2410x x ++=的两根，所以3740a a +=-<，3710a a =>，所以30a <，70a <，又{}n a 为等比数列，所以3520a q a =<，53271a a a ==，则51a =-﹒3．根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为310，下雨的概率为1130，既刮东风又下雨的概率为415．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（）A ．1128B ．911C ．425D ．89【正确答案】D【分析】设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，得到()P A ，()P AB ，结合()(|)()P AB P B A P A =，即可求解．【详解】由题意，设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，则3()10P A =，11()30P B =，4()15P AB =，所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815(|)3()910P AB P B A P A ===．故选：D ．4．已知数列sin 2n n a n π=⋅，则123100a a a a ++++=L （）A ．-48B ．-50C ．-52D ．-49【正确答案】B【分析】通过计算前几项可知43424342n n n n a a a a ---+++=-，进而计算可得结论．【详解】解： sin2n n a n π=⋅，1sin12a π=∴=，222sin02a π=⋅=，333sin 32a π=⋅=-，444sin 02a π=⋅=，555sin 52a π=⋅=，60a =，77a =-，80a =，⋯()()()4343343sin 43sin 24322n n a n n n n πππ--⎛⎫∴=-=--=- ⎪⎝⎭，()*n N ∈()()()()424242sin42sin 202n n a n n n πππ--=-=--=，()*n N ∈()()()414141sin 41sin 24122n n a n n n n πππ--⎛⎫=-=--=-+ ⎪⎝⎭，()*n N ∈444sin4sin 202n n a n n n ππ===，()n N ∈43424142n n n n a a a a ---∴+++=-，12310022550a a a a ∴+++⋯+=-⨯=-，本题考查数列的通项及前n 项和，找出规律是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A ．14πB ．18πC ．30πD ．44π【正确答案】D【分析】确定每段圆弧的中心角是2π3，第n 段圆弧的半径为n ，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前n 项和公式计算．【详解】由题意每段圆弧的中心角都是2π3，第n 段圆弧的半径为n ，弧长记为n a ，则2π3n a n =⋅，所以112π(1211)44π3S =+++= ．故选：D ．6．若123401x x x x <<<<<，则（）A ．1212e e ln ln x xx x --<B ．1212e e ln ln x xx x -->C ．3434e e x xx x <D ．3434e e x xx x >【正确答案】D【分析】由选项AB 构造函数()e ln x f x x =-，利用导数研究函数()f x 的性质，结合图形可知无法判断1()f x 与2()f x 的大小；由选项CD 构造函数e ()=xg x x，利用导数讨论函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由选项AB 可知，构造函数()e ln x f x x =-，则1()e xf x x'=-(0)x >，作出函数e x y =和1y x =在(0,)+∞上的图象，如图，由图象知函数()f x '在（0,1）上有一个零点0x ，则当0(0,)x x ∈时，()0,()'<f x f x 单调递减，当0(,1)x x ∈时，()0,()'>f x f x 单调递增，而1201x x <<<，所以无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故AB 错误；由选项CD 可知，构造函数e ()=x g x x ，得e )(1)(x g x x x'=-，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，有34()()g x g x <，即3434e e x x x x <，所以3434e e x xx x >，故D 正确.故选：D ．7．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y 与年份代码x 的关系可以用模型21e c xy c =（其中e 为自然对数的底数）拟合，设ln z y =，得到数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y /千万元7.4112036.666.7ln z y=22.433.64由上表可得经验回归方程0.52z x a =+，则2025年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为（）A ． 5.08e B ． 5.6e C ． 6.12e D ． 6.5e 【正确答案】B【分析】根据a z bx =- 可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年z 的预测值，代入ln z y =即可得解.【详解】因为3,3x z ==，所以0.52330.52 1.44a z x =-=-⨯=，即经验回归方程0.52 1.44z x =+，当8x =时，0.528 1.44 5.6z =⨯+=，所以 5.6e e z y ==，即2025年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为 5.6e ，故选：B8．若23e (5)2ln 1x x k x x +++≥在()0,∞+恒成立，则k 的取值范围为（）A ．1k ≥-B ．2k ≥-C ．2k ≤-D ．1k ≤-【正确答案】C【分析】由参数分离法，转为研究23052n e 1,l x k x x x x x≤-->-恒成立，结合二阶导数法求不等式右侧的最小值，其中最值点通过构造函数结合单调性求得.【详解】2323e e (5)2ln 1,0,052ln 1x xx x k x x x x k x xx +++>⇒---≥≤>.令()23520ln e 1,x x g x x x x x -=->-，则()()232132ln ,1e 0x x x x x g x x ++-'=>.令()()23132ln 1,e 0xh x x x x x ++=->，设()()231e 3xu x x x =+，120x x <<，则()()()()()()2221333322222211112211e e e 131331e 13x x x x u x x x x x x x x x u x +>+=+>>+=，∴()()231e 3xu x x x =+在()0,∞+单调递增，故()h x 在()0,∞+单调递增，又()31014e h =->，32e22333131320e 111e e e e e e e h ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎛⎫= ⎪<+-=-< ⎭⎝⎝⎪⎝⎭⎭，∴01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()00h x =，则()()()00,,0,x x g x g x ¢Î<单调递减，()()()0,,0,x x g x g x ∞'∈+>单调递增，∴()()0320000min5l e 2n 1x x x g x g x x x ---==.∵()()000000033220012ln 132ln 1e 013e x xx h x x x x x x -++-=Þ+==，令()000032000000032ln ln 12ln e 12ln 1313x x x t x x t x x t x +=⎧-==⇒⎨-=++⎩，两式相加得()0000ln 13310t x t x ++--=，令()()00ln 1331v t t x t x =++--，则()v t 在()0,∞+单调递增，又()10v =，∴01t =.∴()03200000000e12ln 13132ln 31,x x t x x t x x x =-=+=-=⇒+=，∴()()000min 015312x x g x g x x -+===--，故2k ≤-.故选：C 方法点睛：（1）函数不等式恒成立问题一般可由参数分离法，转化为求函数的最值问题；（2）指对数复杂函数最值一般采用导数法求得，其中结合零点存在定理设出最值点，可得最值点的导函数方程，从而化简求值.二、多选题9．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（）A ．若12a =，11n n a a n +=++，则20211a =B ．若11a =，12n n n a a +=，则1052a =C ．若132nn S =+，则数列{}n a 是等比数列D ．若已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和11S =，，84884S S -=，则621a =【正确答案】ABD【分析】直接利用叠加法可判断选项A ；利用累乘法可判断B 项；利用n S 与n a 的关系罗列{}n a 前三项即可根据等比数列定义判断C 项；利用等差数列的前n 项和公式的性质计算即可判断D 项.【详解】选项A.由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ 20191822211=+++++= ，故A 正确.选项B.由12nn n a a +=，则12nn n a a +=，累乘可得()1121212...2n nn n n n a a a a a a -⋅---⋅=，故()110252,2n n na a -=∴=，故B 正确；选项C.由12n n S =3+，可得当1n =时，11722a =+=3当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误.选项D.由等差数列前n 项和公式可得()()1122n n n a a na a S n n +⋅+=÷=，设公差为d ,则()()18148844288422a a a a S a a S d +-+--====，所以61521a a d =+=，故D 正确.故选：ABD10．在平面直角坐标系xOy 的第一象限内随机取一个整数点()()(),,1,2,3,,x y x y n n *=∈N L ，若用随机变量Y 表示从这2n 个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，(),P X x Y b ==表示X x =，Y b =同时发生的概率，则（）A ．当3n =时，()1323P Y X ===B ．当4n =时，()1816P X Y +==C ．当4n =时，Y 的均值为5D ．当n k =（2k ≥且k *∈N ）时，()21,2P X k Y k k ===【正确答案】ACD【分析】利用条件概率公式可判断A 选项；列举出满足8X Y +=的点的坐标，利用古典概率公式可判断B 选项；利用离散型随机变量的期望公式可判断C 选项；列举出满足X k =，2Y k =的点的坐标，利用古典概型的概率公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当3n =时，整数点共9个，则()123P X ==，由23X x Y x y ==⎧⎨=+=⎩得21x y =⎧⎨=⎩，即满足2X =，3Y =的点的坐标为()2,1，所以，()()()2,311323293P X Y P Y X P X =====⨯==，A 对；对于B 选项，当4n =时，整数点共16个，满足28X Y x y +=+=的整数点为()2,4，()3,2，则()218168P X Y +===，B 错；对于C 选项，当4n =时，Y 的分布列如下表所示：Y 的可能取值有2、3、4、5、6、7、8，满足2Y x y =+=的点为()1,1，则()1216P Y ==，满足3Y x y =+=的点为()1,2、()2,1，则()213168P Y ===，满足4Y x y =+=的点为()1,3、()2,2、()3,1，则()3416P Y ==，满足5Y x y =+=的点为()1,4、()2,3、()3,2、()4,1，则()4516P Y ==，满足6Y x y =+=的点为()2,4、()3,3、()4,2，则()3616P Y ==，满足7Y x y =+=的点为()3,4、()4,3，则()217168P Y ===，满足8Y x y =+=的点为()4,4，则()1816P Y ==，故当4n =时，()113431123456785168161616816E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，C 对；对于D 选项，满足2X x k Y x y k==⎧⎨=+=⎩的解为x k y k =⎧⎨=⎩，则()21,2P X k Y k k ===，D 对.故选：ACD.11．已知当0x >时，111ln(11x x x<+<+，则（）A ．19109e 98<<B ．11ln 91ln1029<+++< C ．910(9!e<D ．019222999019C C C ()()()e999+++< 【正确答案】ACD【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断A ；赋值求和判断CD ；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数的性质推理判断D 作答.【详解】因为111ln(11x x x <+<+，令8x =，1119ln(1)ln 18988=<+=+，则199e 8<，令9x =，1101ln(1)ln 999+=<，则1910e 9<，A 正确；因为111ln(1)ln x x x x ++=<，则2ln 11<，31ln 22<，…，101ln 99<，以上各式相加有11ln10129<+++ ，B 错误；由111ln(1)lnx x x x++=<得，ln(1)ln 10x x x x +--<，即ln(1)(1)ln 1ln x x x x x +---<，于是ln 21ln1-<，2ln 3ln 21ln 2--<，3ln 42ln 31ln 3--<，…，9ln108-ln 91ln 9-<，以上各式相加有9ln109ln 9!-<，即99ln109991010e()9!e e-==<，C 正确；由11ln(1)x x +<得，1(1)e x x +<，因此0199999019C C C 1(1)e 9999+++=+< ，设*,,N k n k n ∈≤，C (1)(2)(1)1!k n k kn n n n k n n k ---+=≤⋅ ，则2C C (k k n n k k n n ≤，所以019019222999999019019C C C C C C ()()()e 999999+++<+++< ，D 正确．故选：ACD关键点睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，再综合利用相关数学知识及方法是解决问题的关键.12．已知函数()()221e x f x x ax bx b =---+，,a b R ∈.（）A ．若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为220x y --=，且过点()1,e 2-，则1a =-，2b =B ．当a b =且10ea <<时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增C ．当a b =时，若函数()f x 有三个零点，则()e,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭D ．当0a =时，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则2335,13e ,e 2e 2b ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【正确答案】BCD【分析】A 选项，由导数几何意义结合题意可知()()1e 202f f ⎧=-='⎪⎨⎪⎩，即可判断选项正误；B 选项，利用导数知识结合10ea <<可得()f x 的单调区间，即可判断选项正误；C 选项，()f x 有三个零点等价于直线y a =与函数()2211exx y x x -=+-图象有3个交点，利用函数研究()()2211exx g x x x -=+-单调性，极值情况，即可判断选项正误；D 选项，由题可得，存在唯一整数0x ，使()()21e xh x x =-图象在直线()()1n x a x =-下方.，利用导数研究()()21e xh x x =-单调性，极值情况，可得其大致图象，后利用切线知识结合()(),h x n x 图象可确定0x 及相关不等式，即可判断选项正误.【详解】A 选项，()()21e 2xf x x ax b '=+--，由题()1e e 2f a =-=-，()012f b '=-=，则2a =，1b =-，故A 错误；B 选项，当a b =时，()()221e x f x x ax ax a =---+，()()()()21e 221e x x f x x ax a x a '=+--=+-.因10e a <<，则112ln a <-<-.()0ln f x x a '>⇒<或()12x f x >-⇒在()12,ln ,,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()f x 在()0,∞+上单调递增，故B 正确；C 选项，当a b =时，令()()221e 0x f x x ax ax a =---+=，注意到当210x x +-=时，()0f x ≠，则()2211exx a x x -=+-，则函数()f x 有三个零点，相当于直线y a =与函数()2211e xx y x x -=+-图象有三个交点.令()()2211e x x g x x x -=+-，其中x ≠()()()()222111e xx x x g x xx +-'=+-.令()1002g x x '>⇒-<<或()1x g x >⇒在()1012,,,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；()0g x x '<⇒<12x <<-或102x -+<<或()112x g x -+<<⇒在111102222,,,,⎛⎛⎫⎛-----+-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()0,,,x g x x g x →-∞→→+∞→+∞，则可得()g x大致图象如下，则由图可得，当()e,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，直线y a =与函数()2211e x x y x x -=+-图象有三个交点，即此时函数()f x 有三个零点，故C正确；D 选项，由题可得，()()000211e xx a x -<-，即存在唯一整数0x ，使()()21e xh x x =-图象在直线()()1n x a x =-下方.则()()21e xh x x '=+，()()110022,h x x h x x ''>⇒>-<⇒<-，得()h x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又()()0,,,x h x x h x →-∞→→+∞→+∞，()()1n x a x =-过定点()1,0，可在同一坐标系下做出()h x 与()n x 图象.又设()h x 过()1,0点切线方程的切点为()()11,x h x ，则切线方程为：()()()111y h x x x h x '=-+，因其过()1,0，则()()()()1211111101320e x h x x h x x x x '=-+=-⇒=或32，又注意到()()11h n >结合两函数图象，可知00x =或2.当00x =时，如图1，需满足()()()()0031112e h n a h n ⎧<⎪⇒≤<⎨-≥-⎪⎩；当02x =时，如图2，需满足()()()()22225e 3e 332h n a h n ⎧<⎪⇒<≤⎨≥⎪⎩；综上：2335,13e ,e 2e 2a b ⎡⎫⎛⎤=∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ ，故D 正确.故选：BCD关键点睛：对于选填题，为便于快速找到答案，常使用数形结合思想，用直观的图象解决函数零点与函数不等式成立问题，而做出图象的关键就是利用导数知识研究函数的单调性，极值.三、填空题13．已知两个离散型随机变量,ξη，满足31,ηξξ=+的分布列如下：ξ012P a b16当()23E ξ=时，()D η=______________________.【正确答案】5【分析】根据分步列中概率之和为1以及期望的公式即可求解11,23a b ==，由方差的公式以及性质即可求解.【详解】由题意可知：116a b +=+，且()1233E b ξ=+=，解得11,23a b ==，所以()2221211115122333639D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()5319959D D D ηξξ=+==⨯=,故514．某附属中学有四个学院：步青学院，家祯学院，希德学院，望道学院；共474人，这四个学院的学生人数依次分别为1234,,,a a a a ，若123,,a a a 构成公差为12的等差数列，134,,a a a 构成等比数列，则步青学院的人数为______.【正确答案】96【分析】利用等差数列和等比数列的定义和性质列方程组求解即可.【详解】由123,,a a a 构成公差为12的等差数列可得311224a a d a =+=+，由134,,a a a 构成等比数列可得223114(24)a a a a =+=①，又因为1234141433336474a a a a a d a a a +++=++=++=②，联立①②解得196a =或32（舍去）.故9615．课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n 次投篮进球为首次连续进球，则该同学得12n -分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为23，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为___________.【正确答案】8729【分析】确定甲第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，计算得到概率.【详解】甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮，则第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，所以所求概率为12112813333729233⨯⨯⨯⨯⨯⨯=.故872916．已知()f x '是函数()f x 的导函数，在定义域(0,)+∞内满足()()e 0x xf x xf x '--=，且(1)2e f =，若1e11e 2f a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】1e ,22(e 1)⎛⎤⎥-⎝⎦【分析】由()()e 0xxf x xf x '--=，得()1e x f x x'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用()12e f =，可求得()()e ln 2x f x x =+，利用导数证明()f x 在()0,∞+上递增，1e11e 2f a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭等价于1112e f f a ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由单调性可得结果.【详解】由()()e 0xxf x xf x '--=，得()1e xf x x'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()ln e xf x x c ∴=+，令2e1,02e x c c ==+⇒=，()ln 2e xf x x ∴=+，()()e ln 2x f x x =+，()1e ln 2x f x x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭，令()()221111ln 2,x g x x g x x x x x-'=++=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，()()min 130g x g ∴==>，()()0,f x f x '∴>在()0,∞+上递增，()11e e 1e 12e ef ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，1e 111e 2e f f a ⎛⎫⎛⎫∴-≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11021112ea a ⎧->⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得()1e 22e 1a <≤-，即实数a 的取值范围是()1e ,22e 1⎛⎤⎥ -⎥⎝⎦.故答案为:()1e ,22e 1⎛⎤⎥ -⎥⎝⎦.利用导数研究抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x =e ，()()0f x f x '+<构造()()e x g x f x =，()()xf x f x '<构造()()f xg x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等.四、解答题17．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，当2n ≥时，n α=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足11b =，且112n n n n b b a -+-=⋅，求数列{}n b 的通项公式．【正确答案】(1)21n a n =-(2)()12524n n b n -=-⋅+【分析】（1）根据1n n n a S S -=-结合题意可得1=为首项，1为公差的等差数列，进而可得{}n a 的通项公式；（2）根据累加法与错位相减法求解即可.【详解】（1）由n a1n n S S --=+因为0n S >1=，所以1=为首项，11(1)n n =+-=，所以，当2n ≥时，121n a n n n ==+-=-，当1n =时，11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．（2）由1112(21)2n n n n n b b a n --+-=⋅=-⋅知：当2n ≥时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++- ，01211232(23)2n n -=+⨯+⨯++-⋅ ①，则121221232(23)2n n b n -=+⨯+⨯++-⋅ ②，由-①②得：2122112(21)2(222)(23)22(23)221n n n n n b n n ----⨯--=+++--⋅=⨯--⋅- ，化简得：1(25)24(2)n n b n n -=-⋅+≥，当1n =时，11b =也满足上式，所以数列{}n b 的通项公式为1(25)24n n b n -=-⋅+．18．在数列{}n a 中，1111n n n n a a a a ++-+=，且3151136a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()211n n n n a b a a =-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1021m T =，求正整数m 的值.【正确答案】(1)12n a n=(2)10m =【分析】（1）由已知得1112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且公差2d =．又得112a =，从而12n n a =，即可得12n a n=；（2）由题可知()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，用裂项相消法求得21nn T n =+，结合1021m T =即可得解.【详解】（1）由1111n n n n a a a a ++-+=，得11111n n a a +-=+，即1112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且公差2d =．又因为3151136a a +=，所以121636d a +=，解得112a =，所以()()11112122n n d n n a a =+-=+-⨯=，即12n a n=．（2）由题可知()()()()21111111212122121111nn n n n n a b a a n n n n a a ⎛⎫====- ⎪-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1211111111121323522121n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．由1021m T =，得102121m m =+，解得10m =．19．根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：月份x 12345不戴头盔人数y120100907565(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡1510不伤亡2550参考数据和公式：511215i ii x y ==∑，121ˆ,ni i i nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++()2P k χ≥0.100.050.010.005k 2.7063.8416.6357.879【正确答案】(1)ˆ13.5130.5yx =-+；(2)有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关【分析】（1）先求得ˆˆ,ba ，进而求得不戴头盔人数y 与月份x 之间的回归直线方程；（2）求得2χ的值并与3.841进行大小比较进而得到是否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【详解】（1）由题意知，1234535x ++++==，120100907565905y ++++==，5152221512155390ˆ13.555535iii ii x yxybxx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆˆ9013.53130.5a y bx =-=+⨯=所以，回归直线方程为ˆ13.5130.5yx =-+（2）22100(15502510)4012560756 3.84χ⨯⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关20．某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为()01p p <<，且生产或调试每件产品是否合格互不影响．(1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率；(2)若X 表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X 的数学期望()E X ．【正确答案】(1)()9109p p -(2)91020101010p p p --+【分析】（1）根据题意可得()10,B p ξ ，结合二项分步分析运算；（2）根据期望公式结合()E X 与()E ξ之间的关系分析运算.【详解】（1）设甲生产10件产品中合格品的件数为ξ，则()10,B p ξ ，则()()()()1099910109C 1109P P p p pp p ξξ=+==+-=-，所以甲只生产10件产品即结束考核的概率()9109P p p =-.（2）由（1）可知：()()910109P X p p ==-，()10E p ξ=，可得随机变量20ξ-的期望()()()()10202020k E E k P k ξξξ=-=-=-⋅=⎡⎤⎣⎦∑，故()()1002020k k P k np ξ=-⋅==-⎡⎤⎣⎦∑，由题意可得：()*101020,08,X ξξξξ=+-=-≤≤∈N ，或10X =，则()()()()891200019k p E X k P p k ξ=⎡⎤=-⋅=+⎣⎦-∑()()()()()91012010119101009k p k P k P p P ξξξ==-⎡⎤⎡⎤-⋅=+=+=⎣-⎦⎣⎦∑()()9190201010119119100p p p p p p ⎡⎤=-+⨯-+-⎣-⎦91020101010p p p =--+，故随机变量X 的数学期望()91020101010E X p p p =--+.21．已知函数2()2f x x x k =+-，32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠是R 上的奇函数，当1x =时，()g x 取得极值2-．(1)求函数()g x 的单调区间和极大值；(2)若对任意[]13,x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围；(3)若对任意[]11,3x ∈-，[]21,3x ∈-，都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)()g x 的单调减区间为(1,1)-，单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；极大值为2(2)[)8,+∞(3)[)23,∞+【分析】（1）由()g x 是R 上的奇函数求出,b d ，当1x =时，()g x 取得极值2-，求出,a c ，利用导数求()g x 的单调区间和极大值；（2）对任意[]13,x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，等价于2324k x x x ≥+-在[]13,x ∈-时恒成立，构造新函数，利用导数求区间内的最大值即可；（3）依题意有()f x 在区间[]1,3-上的最大值都小于或等于()g x 的最小值，利用函数单调性和二次函数的性质，分别求()f x 在区间[]1,3-上的最大值和()g x 在区间[]1,3-上的最小值即可.【详解】（1）32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠ 是R 上的奇函数，()()g x g x ∴-=-，即()()()()3232a x b x c x d ax bx cx d -+-+-+=-+++，得20bx d +=恒成立，可得0b d ==，即3()(0)g x ax cx a =+≠，2()3g x ax c '=+又当1x =时，()g x 取得极值2-，∴()()13012g a c g a c ⎧=+=⎪⎨=+=-'⎪⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩，故函数3()3g x x x =-，导函数()233g x x ='-，令2330x -=解得1x =±，当(,1)x ∈-∞-或(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，当(1,1)x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为(1,1)-，故当=1x -时，()g x 取到极大值(1)2g -=（2）23()()24f x g x x x k x -=+--，对任意[]13,x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，只需2324k x x x ≥+-在[]13,x ∈-时恒成立，构造函数23()24F x x x x =+-，[]13,x ∈-，则有()2344F x x x '=-++，令()0F x '=可得2x =或23x =-，当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 单调递减当2,23x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '>，()F x 单调递增，当(2,3)x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当2x =时，()F x 取到极大值()28F =，又(1)1F -=-，故()F x 的最大值为8，故实数k 的取值范围为：[)8,+∞；（3）若对任意[]11,3x ∈-，[]21,3x ∈-，都有12()()f x g x ≤成立，即()f x 在区间[]1,3-上的最大值都小于或等于()g x 的最小值，由（1）可知：当[)1,1x ∈-时，()g x 单调递减，当(]1,3x ∈时，()g x 单调递增，故当1x =时，函数()g x 取到极小值，也是该区间的最小值()12g =-，而2()2f x x x k =+-为开口向上的抛物线，对称轴为14x =-，故当3x =时取最大值()321f k =-，由212k -≤-，解得23k ≥故实数k 的取值范围为：[)23,∞+22．已知函数()1e ln xf x m x -=-，R m ∈.(1)当1m ≥时，讨论方程()10f x -=解的个数；(2)当e m =时，()()2e ln 2tx g xf x x +=+-有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若2ee 2t <<，证明：（i ）1223x x <+<；（ii ）()()1220g x g x +<.【正确答案】(1)答案见解析；(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（1）方法1，由()10f x -=，可得1ln 1e x x m -+=，后令()1ln 1e x x h x -+=，利用导数知识可得其值域即可知()10f x -=解的情况；方法2，()()11e ln 1x h x f x m x -=-=--，利用导数知识可知1m =时，()h x 的单调性与零点情况，又利用1e ln 10x x ---≥可知当1m >时，()0h x >，即可得()10f x -=解的情况；（2）（i ）由题可得()e x n x t x ==，由2e e 2t <<结合()n x 单调性可得123x x +<，后通过构造()()21ln 1x q x x x -=-+可证122x x +>；（ii ）由（i ）可知()()112112132e 1e e 22x x x g x g x x -⎛⎫+<-+- ⎪⎝⎭，后说明()231e e e 022x xx M x x -⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，(]0,1x ∈即可证明结论.【详解】（1）方法一： ()11e ln 10x f x m x --=--=，∴1ln 1e x x m -+=.设()1ln 1ex x h x -+=，则()111ln e x xx h x ---'=.设()11ln x x x ϕ=--，则()2110x x xϕ'=--<，∴()x ϕ单调递减. ()10ϕ=，∴当01x <<时，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 单调递减.∴()()max 11h x h ==，∴当1m =时，方程有一解，当1m >时，方程无解；方法二：设()()11e ln 1x h x f x m x -=-=--，则()11e x h x m x-'=-.设()()11e0x x m x x -=->ϕ，则()121e 0x x m x-'=+>ϕ.∴()x ϕ单调递增当1m =时，()11x x e xϕ-=-，()10ϕ=∴当01x <<时，()0x ϕ<，()h x 单调递减；当1x >时，()0x ϕ>，()h x 单调递增.∴()()min 110h x h m ==-=，∴方程()10f x -=有一解.当1m >时，()11e ln 1e ln 1x x h x m x x --=-->--.令()()1111e ln e x x m x x m x x --'=--⇒=-,令()()112110e e x x n x n x x x--'=-⇒=+>，则()n x 在()0,∞+上单调递增，又()10n =，则()()()010,x n x m x ∈⇒<⇒在()0,1上单调递减，()()()10,x n x m x ∈+∞⇒>⇒在()1,+∞上单调递增，则()()1=0m x m ≥.即()11e ln 1e ln 10x x h x m x x --=-->--≥，∴()0h x =无解，即方程()10f x -=无解.综上，当1m =时，方程有一解，当1m >时，方程无解．（2）（i ）当e m =时，()()2e e 022x t g x x x =-->，则()e x g x tx '=-，∴1x ，2x 是方程e 0x tx -=的两根.设()e xr x t x ==，则()()2e 1x x r x x -'=，令()0r x '=，解得1x =，∴()r x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.()1e r =，()2e 22r =，∴当2e e,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101x <<，212x <<，∴123x x +<.由12111222ln ln e ln ln e x x x t x tx x t x tx =+⎧=⎧⇒⇒⎨⎨=+=⎩⎩221211ln ln ln x x x x x x -=-=.令211x p x =>，∴1ln 1p x p =-，2ln 1p p x p =-，∴12ln ln 1ln 111p p p p x x p p p p ++=+=---.∴122x x +>等价于()21ln 1p p p ->+.设()()21ln 1x q x x x -=-+，[)1,x ∞∈+，则()()()()222114011x q x x x x x -'=-=≥++，∴()q x 单调递增，∴()()10q x q ≥=，∴()0q p >，即()21ln 1p p p ->+，∴122x x +>，综上，1223x x <+<；（ii ）由（i ）知，11e x tx =，22e x tx =.∴()()12221212e 2e 2e e 22x x t g x g x x tx +=--+--1222123e 2e e 22x x t x tx =-+--1122123e e 2e e e 22x x x x x x =-+--()12123e 1e 2e 22x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭.由（i ）知，12122x x <-<<，设()()2e x s x x =-，()1,2x ∈，则()()1e 0x s x x =-<'.∴()s x 单调递减，∴()()212s x s x <-，即()212212e e x x x x --<.∴()()112112132e 1e e 22x x x g x g x x -⎛⎫+<-+- ⎪⎝⎭.设()231e e e 22x x x M x x -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，(]0,1x ∈，则()()()211e 1e 2x x M x x x -'=-+-()211e e 02x x x -⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭.∴()M x 单调递增，又()10M =，∴当()0,1x ∈时，()0M x <.∴()10M x <，∴()()1220g x g x +<，即命题得证.关键点睛：本题涉及讨论函数零点及极值点偏移问题.对于零点问题，常利用分离参数法和研究函数单调性解决，还可以利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题；对于极值点偏移问题，关键是将多变量转变为单变量，常利用引入参数或不等关系构造新函数证明结论.。

沈阳市高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分） (2018高二下·雅安期中) 若复数为虚数单位，则的模为________ ．2. （1分）函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为2x﹣y﹣3=0，则f（2）+f'（2）=________．3. （1分） (2015高二下·椒江期中) 设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=________4. （1分） (2017·南通模拟) 复数z=（1+2i）2 ，其中i为虚数单位，则z的实部为________．5. （1分） (2017高二上·张家口期末) 定义在R上的连续函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）在R上的导函数f′（x）＜1，则不等式f（x）＜x+1的解集为________．6. （1分）已知函数f（x）是函数y=﹣的反函数，则函数f（x）图象上点x=﹣1处切线的方程为________．7. （1分）据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是y甲=ex和y乙=x2 ．显然，当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是________．8. （1分）(2017·静安模拟) 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过________小时方可驾车．（精确到小时）9. （1分） (2018高一下·金华期末) 若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为________．10. （1分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°．正确顺序的序号排列为________．11. （1分） (2016高二上·嘉定期中) 如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2 ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…、Pn…，记纸板Pn的面积为Sn ，则 =________．12. （1分） (2016高三上·成都期中) 若曲线y=1nx的一条切线与直线y=﹣x垂直，则该切线方程为________．13. （1分）(2017·佛山模拟) 所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22 ， 28=22+23+24 ，…，按此规律，8128可表示为________．14. （1分） (2017高二下·中山期末) 已知函数f（x）=x2+2x+a，g（x）=lnx﹣2x，如果存在，使得对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是________．二、解答题： (共6题；共50分)15. （15分）实数m分别取什么数值时？复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（1）与复数2﹣12i相等；（2）与复数12+16i互为共轭；（3）复数z在复平面内对应的点在第四象限．16. （5分）(2018·济南模拟) 已知函数(I)若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值；(Ⅱ)若函数不存在零点，求实数a的取值范围；17. （5分）已知正项数列{an}满足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2﹣an+1an ，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项积为Tn ，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有Tn＞．18. （10分）(2019·黑龙江模拟) 已知函数，记在点处的切线为 .（1）当时，求证：函数的图像（除切点外）均为切线的下方；（2）当时，求的最小值.19. （5分） (2017高三下·静海开学考) 已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（Ⅰ）求λ的最大值；（Ⅱ）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．20. （10分） (2017高二下·广安期末) 已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若f（x）﹣2a+1≥0对∀x∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题： (共6题；共50分)15-1、15-2、15-3、16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、。

辽宁省沈阳市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数的图像如图所示，则的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·都匀开学考) 函数f（x）= ﹣2的图像在点（1，﹣2）处的切线方程为（）A . x﹣y﹣3=0B . 2x+y=0C . x+y+1=0D . 2x﹣y﹣4=03. （2分） (2017高二上·枣强期末) 从4款甲型和5款乙型智能手机中任取3款，其中至少要甲乙型号各一款，则不同的取法共有（）A . 140种B . 80种4. （2分）新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习。

学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（）A . 18B . 15C . 12D . 95. （2分） (2017高二下·长春期中) 的值为（）A . 0B .C . 2D . 46. （2分）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A .B . 2C .D .7. （2分）(2018·南宁模拟) 展开式中，含项的系数为（）A .B .8. （2分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A . ﹣20B . ﹣10C . 10D . 209. （2分）(2016·安徽模拟) 二项式（﹣x）9的展开式中x3的系数是（）A . 84B . ﹣84C . 126D . ﹣12610. （2分）在，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个11. （2分）若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是（）A . 1<a<2B . 1<a<4C . 2<a<4D . a>4或a<112. （2分）函数，是单调函数，则b的取值范围（）A .B .C .D .二、填空 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·寿光期末) 展开式中的系数为________（用数字作答）．14. （1分）已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.15. （1分） (2017高一下·新余期末) 设函数y=f（x）在区间上[0，1]的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算出曲线y=f（x）及直线x=0，x﹣1=0，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数X1 ， X2 ， X3 ， XN和y1 ， y2 ， y3 ， yN ，由此得到N个点（xi ， yi）（i=1，2，3N，再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，3，N）的点数N1 ，那么由随机方法可以得到S的近似值为________．16. （1分） (2015高三上·石景山期末) 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________种．（用数字作答）三、解答题 (共5题；共35分)17. （10分） (2018高二下·甘肃期末) 3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（1）任何2名女生都不相邻，有多少种排法？（2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）18. （5分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）（1）若函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，且极小值为﹣2，求a，b的值．（2）若x∈[0，1]，函数f（x）在图象上任意一点的切线的斜率为k，求k≤1恒成立时a的取值范围．19. （10分） (2017高三下·武威开学考) 设函数f（x）= x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1（1）讨论f（x）的单调性；（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．20. （5分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 已知展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（Ⅰ）求n；（Ⅱ）求展开式中的项；（Ⅲ）求展开式系数最大项.21. （5分）已知函数，（1）求的单调区间（2）设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为 ,求证:对于任意的正实数 ,都有 ;参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共35分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、。

辽宁省沈阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题考试时间120分钟 试卷满分120分一．选择题（共12小题） 1．=-2)3(i （ ）A ．i 68--B ．i 68+C ．i 68-D ．i 68+- 2．复数iiz ++=13，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2- C ．i - D ．i 2- 3．下列求导计算正确的是（ ）A ．2'1ln )ln (x x x x -= B ．xe x 2'2log )(log =C ．2ln 12)2('x x = D ．x x x cos )sin ('=4．记I 为虚数集，设I y x R b a ∈∈、、,．则下列类比所得的结论正确的是（ ） A ．由R b a ∈⋅，类比得I y x ∈⋅ B ．由02≥a ，类比得02≥x C ．由2222)(b ab a b a ++=+，类比得2222)(y xy x y x ++=+ D ．由b a b a ->⇒>+0，类比得y x y x ->⇒>+0 5．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法； ⑤若C z ∈，且1|22|=-+i z ，则|22|i z --的最小值是3． A ．①③④ B ．②③④ C ．①②④⑤ D ．①②⑤6．设曲线1ln +=x xy 在点)0,1(处的切线与直线01=+-ay x 垂直，则=a （ ）A ．2- B ．2 C ．21- D ．217．某个班级组织元旦晚会，一共准备了F E D C B A 、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A 或B ，最后一个节目不能排A ，且D C 、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种A ．72B ．84C ．96D ．1208．用数学归纳法证明“)(34*112N n n n ∈++-能被13整除”的第二步中，当1+=k n 时为了使用归纳假设，对21234+++k k 变形正确的是（ ）A ．1112313)34(16++-⨯-+k k k B ．k k 39442⨯+⨯C ．11211232415)34(+-+-⨯+⨯++k k k k D ．12112413)34(3-+-⨯++k k k9．82)12(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）A ．-1288B ．1280C ．1288D ．﹣128010．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ） A ．5101050CC ⋅ B ．25101050C C ⋅ C ．225101050A C C ⋅⋅ D ．22545550A C C ⋅⋅ 11．函数)(x f 是定义在区间),0(+∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且满足0)(2)('>+x f xx f ，则不等式2018)3(33)2018()2018(+<++x f x f x 的解集为（ ） A ．}2015|{->x x B ．}2015|{-<x xC ．}02018|{<<-x xD ．}20152018|{-<<-x x12．若函数12)(23+++=x x ax x f 在)2,1(上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ） A ．43->a B ．35-<a C ．4335-<<-a D ．4335-≤≤-a 二．填空题（共4小题） 13．62)2(x x -的展开式中，常数项为 ． 14．将数列}3{1-n 按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是 ． 15．定积分⎰---12))1(1(dx x x 等于 ．16．已知函数22)()()(eae a x xf x+++=，若存在0x ，使得14)(20+≤e x f ，则实数a 的值为 ． 三．解答题（共6小题）17．（10分）已知复数mi z +=1（i 是虚数单位，R m ∈），且)3(i z +⋅为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数iim z -+=121，求||1z ； （2）设复数zi a z 20172-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．18．（12分）（1）用分析法证明：75226->-；（2）用反证法证明：532，，，不能为同一等差数列中的三项．19．（12分）已知数列}{n a 满足：)1)(2(1-+=+n n a n na ，且61=a ． （1）求432,,a a a 的值，并猜想}{n a 的通项公式； （2）试用数学归纳法证明上述猜想． 20．（12分）已知函数xxx f ln )(=． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）已知R b a ∈、，e b a >>（其中e 是自然对数的底数），求证：ba ab >．21．（12分）（1）设nx )13(31+展开式中的各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若272=+B A ，求展开式中的x 项的系数．（2）若nx )221(+展开式前三项的二项式系数和等于79，求nx )221(+的展开式中系数最大的项？22．（12分）设函数xx exx g e x a x f =+=)(,)1()(2． （Ⅰ）求函数)(2)(x g x x F +=单调递减区间； （Ⅱ）若函数)0)(()()(≤+=a x g x f x G 的极小值不小于23e -，求实数a 的取值范围．辽宁省沈阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题参考答案一．选择题（共12小题）1．（3﹣i）2＝（）A．﹣8﹣6i B．8+6i C．8﹣6i D．﹣8+6i【解答】解：（3﹣i）2＝9﹣6i+i2＝8﹣6i．故选：C．2．复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣i D．﹣2i【解答】解：∵＝，∴复数z的虚部为﹣1．故选：A．3．下列求导计算正确的是（）A．B．C．D．（x sin x）′＝cos x【解答】解：A选项应为，C选项应为2x ln2，D选项应为sin x+x cos x．故选：B．4．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（）A．由a•b∈R，类比得x•y∈IB．由a2≥0，类比得x2≥0C．由（a+b）2＝a2+2ab+b2，类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2D．由a+b＞0⇒a＞﹣b，类比得x+y＞0⇒x＞﹣y【解答】解：A：由a•b∈R，不能类比得x•y∈I，如x＝y＝i，则xy＝﹣1∉I，故A不正确；B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x＝i，则x2＜0，故B不正确；C：由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2．故C正确；D：若x，y∈I，当x＝1+i，y＝﹣i时，x+y＞0，但x，y是两个虚数，不能比较大小．故D错误故4个结论中，C是正确的．故选：C．5．下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若z∈C，且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3．A．①②③④B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；分析法是一种直接证明法，故④错误；|z+2﹣2i|＝1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1＝3，故⑤正确故选：D．6．设曲线y＝在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则a＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【解答】解：由题意得，＝（x＞0），∵在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，∴＝﹣a，解得a＝，故选：C．7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A 或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A．72 B．84 C．96 D．120【解答】解：．按照第一个节目分两类：①排A，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有A A＝48种；②排B，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有48种，其中A排最后一个节目的有A A＝12，故共有48﹣12＝36种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有48+36＝84种．故选：B．8．用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n＝k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣1【解答】解：假设n＝k时命题成立．即：42k﹣1+3k+1被13整除．当n＝k+1时，42k+1+3k+2＝16×42k﹣1+3×3k+1＝16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1．故选：A．9．（2x2﹣x+1）8的展开式中x5的系数是（）A．-1288 B．1280 C．1288 D．﹣1280【解答】解：x5可能是（﹣x）5，（2x2）（﹣x）3，（2x2）2（﹣x），（﹣x）5表示在8个式子中5个选（﹣x），其余3个选出1，系数为（﹣1）5•13＝﹣56；（2x2）（﹣x）3表示在8个式子中1个选2x2，其余7个中3个选（﹣x），其余选1，系数为•2•（﹣1）3•14＝﹣560；（2x2）2（﹣x）表示在8个式子中2个选2x2，其余6个中一个选（﹣x），其余选1，系数为•22•（﹣1）•15＝﹣672，所以将（2x2﹣x+1）8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是﹣56﹣560﹣672＝﹣1288．故选：A．10．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有，故选：A．11．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f'（x）+f（x）＞0，则不等式的解集为（）A．{x|x＞﹣2015} B．{x|x＜﹣2015}C．{x|﹣2018＜x＜0} D．{x|﹣2018＜x＜﹣2015}【解答】解：根据题意，设g（x）＝x2f（x），（x＞0），则导数g′（x）＝（x2）′f（x）+x2f′（x）＝x2f′（x）+2xf（x）；函数f（x）在区间（0，+∞）上，满足f'（x）+f（x）＞0，则有x2f′（x）+2xf（x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；⇒（x+2018）2fx+2018）＜32f（3）⇒g（2018）＜g（3），则有0＜x+2018＜3，解可得：﹣2018＜x＜﹣2015；即不等式的解集为{x|﹣2018＜x＜﹣2015}；故选：D．12．若函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（）A．a＞﹣B．a C．﹣D．【解答】解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．a≠0时，△＝16﹣12a．由△≤0，解得，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a＜（a≠0），由f′（x）＝0，解得x1＝，x2＝．当时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f′（x1）＝0，∴1＜＜2，a＜0．解得：＜a＜﹣．综上可得：＜a＜﹣．故选：C．二．填空题（共4小题）13．解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得常数项•4＝60，14．将数列{3n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是34950．【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+…+99＝＝4950个数，则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即34950．故答案为：34950．15．定积分（﹣x）dx等于．【解答】解：（﹣x）dx＝dx﹣xdx＝dx﹣＝dx﹣，由y＝，则函数y＝表示以（1，0）为圆心，半径r＝1的圆的，∴dx＝，∴dx﹣＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝（x+a）2+（e x+）2，若存在x0，使得f（x0），则实数a的值为．【解答】解：函数f（x）＝（x+a）2+（e x+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（﹣a，﹣）之间距离的平方，动点M在函数y＝e x的图象上，N在直线y＝x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y＝e x得，y′＝e x＝，解得x＝﹣1，所以曲线上点M（﹣1，）到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰好为垂足，由K MN＝＝﹣e，解得a＝．故答案为：．三．解答题（共6小题）17．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）设复数z1＝，求|z1|；（2）设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：∵z＝1+mi，∴＝1﹣mi．∴•（3+i）＝（1﹣mi）（3+i）＝（3+m）+（1﹣3m）i．又∵•（3+i）为纯虚数，∴，解得m＝﹣3．∴z＝1﹣3i．（1）z1＝＝﹣﹣i，∴|z1|＝；（2）∵z＝1﹣3i，∴z2＝＝，又∵复数z2所对应的点在第一象限，∴，解得：a＞．18．【解答】证明（1）要证明2；只要证2，只要证（）2＞（2）2，只要证13+213+2，只要证即证 42＞40．而 42＞40 显然成立，故原不等式成立（2）证明：假设，，为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足md①nd②①×n﹣②×m得：n m（n﹣m）两边平方得：3n2+5m2﹣2mn＝2（n﹣m）2左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数所以，假设不正确．故，，不能为同一等差数列中的三项19．已知数列{a n}满足：na n+1＝（n+2）（a n﹣1），且a1＝6．（1）求a2，a3，a4的值，并猜想{a n}的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想．解：（1）由递推公式可得a2＝15，a3＝28，a4＝45，可猜想a n＝（n+1）（2n+1）＝2n2+3n+1．（2）下面用数学归纳法证明猜想成立．①当n＝1时，猜想显然成立；②假设n＝k（k≥1，k∈N+）时猜想成立，即，则n＝k+1时，由ka k+1＝（k+2）（a k﹣1）可得＝＝（k+2）（2k+3）＝2（k+1）2+3（k+1）+1，即：当n＝k+1时，猜想也成立，由①②可知，当n∈N+时，a n＝2n2+3n+1．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．【解答】解：（1），∴∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．当0＜x＜e时，，∴函数在（0，e）上是单调递增．∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是．（2）证明：∵b a＞0，a b＞0∴要证：b a＞a b，只需证：alnb＞blna．只需证．（∵a＞b＞e）由（1）得函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有，即．得证．21．（1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B＝272，求展开式中的x项的系数．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？【解答】解：（1）二项式展开式中的各项系数之和为A＝（3+1）n＝4n，各项的二项式系数之和为B＝2n，若A+B＝4n+2n＝272，∴2n＝16，求得n＝4，故展开式中的x项为•＝108x，故展开式中的x项的系数为108．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，即++＝1+n+＝79，求得n ＝12，故＝的展开的通项公式为T r+1＝•22r﹣12•x r，令，求得≤r≤，∵r为整数，∴r＝10，故展开式系数最大的项为第11项，即T11＝•28•x10＝16896x10．22．设函数．（Ⅰ）求函数单调递减区间；（Ⅱ）若函数G（x）＝f（x）+g（x）（a≤0）的极小值不小于，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，所以由F'（x）＜0，解得或．综上所述，F（x）的递减区间为和．（Ⅱ）由题可知，所以．（1）当a＝0时，，则G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以G（x）在R上没有极小值，故舍去；（2）当a＜0时，，由G'（x）＝0得，由于a＜0，所以，因此函数G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在为减函数，在为增函数，所以G（x）极小值＝即．令，则上述不等式可化为．上述不等式①设，则，故h（t）在（1，+∞）为增函数．又h（2）＝0，所以不等式①的解为t≥2，因此，所以，解得﹣1≤a＜0．综上所述a∈[﹣1，0）．2018-2019下学年度高二期中数学考试试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（3﹣i）2＝（）A．﹣8﹣6i B．8+6i C．8﹣6i D．﹣8+6i【解答】解：（3﹣i）2＝9﹣6i+i2＝8﹣6i．故选：C．2．复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣i D．﹣2i【解答】解：∵＝，∴复数z的虚部为﹣1．故选：A．3．下列求导计算正确的是（）A．B．C．D．（x sin x）′＝cos x【解答】解：A选项应为，C选项应为2x ln2，D选项应为sin x+x cos x．故选：B．4．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（）A．由a•b∈R，类比得x•y∈IB．由a2≥0，类比得x2≥0C．由（a+b）2＝a2+2ab+b2，类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2D．由a+b＞0⇒a＞﹣b，类比得x+y＞0⇒x＞﹣y【解答】解：A：由a•b∈R，不能类比得x•y∈I，如x＝y＝i，则xy＝﹣1∉I，故A不正确；B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x＝i，则x2＜0，故B不正确；C：由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2．故C正确；D：若x，y∈I，当x＝1+i，y＝﹣i时，x+y＞0，但x，y是两个虚数，不能比较大小．故D错误故4个结论中，C是正确的．故选：C．5．下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若z∈C，且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3．A．①②③④B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；分析法是一种直接证明法，故④错误；|z+2﹣2i|＝1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1＝3，故⑤正确故选：D．6．设曲线y＝在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则a＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【解答】解：由题意得，＝（x＞0），∵在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，∴＝﹣a，解得a＝，故选：C．7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A 或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A．72 B．84 C．96 D．120【解答】解：．按照第一个节目分两类：①排A，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有A A＝48种；②排B，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有48种，其中A排最后一个节目的有A A＝12，故共有48﹣12＝36种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有48+36＝84种．故选：B．8．用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n＝k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣1【解答】解：假设n＝k时命题成立．即：42k﹣1+3k+1被13整除．当n＝k+1时，42k+1+3k+2＝16×42k﹣1+3×3k+1＝16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1．故选：A．9．（2x2﹣x+1）8的展开式中x5的系数是（）A．-1288 B．1280 C．1288 D．﹣1280【解答】解：x5可能是（﹣x）5，（2x2）（﹣x）3，（2x2）2（﹣x），（﹣x）5表示在8个式子中5个选（﹣x），其余3个选出1，系数为（﹣1）5•13＝﹣56；（2x2）（﹣x）3表示在8个式子中1个选2x2，其余7个中3个选（﹣x），其余选1，系数为•2•（﹣1）3•14＝﹣560；（2x2）2（﹣x）表示在8个式子中2个选2x2，其余6个中一个选（﹣x），其余选1，系数为•22•（﹣1）•15＝﹣672，所以将（2x2﹣x+1）8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是﹣56﹣560﹣672＝﹣1288．故选：A．10．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有，故选：A．11．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f'（x）+f（x）＞0，则不等式的解集为（）A．{x|x＞﹣2015} B．{x|x＜﹣2015}C．{x|﹣2018＜x＜0} D．{x|﹣2018＜x＜﹣2015}【解答】解：根据题意，设g（x）＝x2f（x），（x＞0），则导数g′（x）＝（x2）′f（x）+x2f′（x）＝x2f′（x）+2xf（x）；函数f（x）在区间（0，+∞）上，满足f'（x）+f（x）＞0，则有x2f′（x）+2xf（x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；⇒（x+2018）2fx+2018）＜32f（3）⇒g（2018）＜g（3），则有0＜x+2018＜3，解可得：﹣2018＜x＜﹣2015；即不等式的解集为{x|﹣2018＜x＜﹣2015}；故选：D．12．若函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（）A．a＞﹣B．a C．﹣D．【解答】解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．a≠0时，△＝16﹣12a．由△≤0，解得，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a＜（a≠0），由f′（x）＝0，解得x1＝，x2＝．当时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f′（x1）＝0，∴1＜＜2，a＜0．解得：＜a＜﹣．综上可得：＜a＜﹣．故选：C．二．填空题（共4小题）13．解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得常数项•4＝60，14．将数列{3n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是34950．【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+…+99＝＝4950个数，则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即34950．故答案为：34950．15．定积分（﹣x）dx等于．【解答】解：（﹣x）dx＝dx﹣xdx＝dx﹣＝dx﹣，由y＝，则函数y＝表示以（1，0）为圆心，半径r＝1的圆的，∴dx＝，∴dx﹣＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝（x+a）2+（e x+）2，若存在x0，使得f（x0），则实数a的值为．【解答】解：函数f（x）＝（x+a）2+（e x+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（﹣a，﹣）之间距离的平方，动点M在函数y＝e x的图象上，N在直线y＝x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y＝e x得，y′＝e x＝，解得x＝﹣1，所以曲线上点M（﹣1，）到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰好为垂足，由K MN＝＝﹣e，解得a＝．故答案为：．三．解答题（共6小题）17．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）设复数z1＝，求|z1|；（2）设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：∵z＝1+mi，∴＝1﹣mi．∴•（3+i）＝（1﹣mi）（3+i）＝（3+m）+（1﹣3m）i．又∵•（3+i）为纯虚数，∴，解得m＝﹣3．∴z＝1﹣3i．（1）z1＝＝﹣﹣i，∴|z1|＝；（2）∵z＝1﹣3i，∴z2＝＝，又∵复数z2所对应的点在第一象限，∴，解得：a＞．18．【解答】证明（1）要证明2；只要证2，只要证（）2＞（2）2，只要证13+213+2，只要证即证 42＞40．而 42＞40 显然成立，故原不等式成立（2）证明：假设，，为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足md①nd②①×n﹣②×m得：n m（n﹣m）两边平方得：3n2+5m2﹣2mn＝2（n﹣m）2左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数所以，假设不正确．故，，不能为同一等差数列中的三项19．已知数列{a n}满足：na n+1＝（n+2）（a n﹣1），且a1＝6．（1）求a2，a3，a4的值，并猜想{a n}的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想．解：（1）由递推公式可得a2＝15，a3＝28，a4＝45，可猜想a n＝（n+1）（2n+1）＝2n2+3n+1．（2）下面用数学归纳法证明猜想成立．①当n＝1时，猜想显然成立；②假设n＝k（k≥1，k∈N+）时猜想成立，即，则n＝k+1时，由ka k+1＝（k+2）（a k﹣1）可得＝＝（k+2）（2k+3）＝2（k+1）2+3（k+1）+1，即：当n＝k+1时，猜想也成立，由①②可知，当n∈N+时，a n＝2n2+3n+1．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．【解答】解：（1），∴∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．当0＜x＜e时，，∴函数在（0，e）上是单调递增．∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是．（2）证明：∵b a＞0，a b＞0∴要证：b a＞a b，只需证：alnb＞blna．只需证．（∵a＞b＞e）由（1）得函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有，即．得证．21．（1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B＝272，求展开式中的x项的系数．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？【解答】解：（1）二项式展开式中的各项系数之和为A＝（3+1）n＝4n，各项的二项式系数之和为B＝2n，若A+B＝4n+2n＝272，∴2n＝16，求得n＝4，故展开式中的x项为•＝108x，故展开式中的x项的系数为108．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，即++＝1+n+＝79，求得n ＝12，故＝的展开的通项公式为T r+1＝•22r﹣12•x r，令，求得≤r≤，∵r为整数，∴r＝10，故展开式系数最大的项为第11项，即T11＝•28•x10＝16896x10．22．设函数．（Ⅰ）求函数单调递减区间；（Ⅱ）若函数G（x）＝f（x）+g（x）（a≤0）的极小值不小于，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，所以由F'（x）＜0，解得或．综上所述，F（x）的递减区间为和．（Ⅱ）由题可知，所以．（1）当a＝0时，，则G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以G（x）在R上没有极小值，故舍去；（2）当a＜0时，，由G'（x）＝0得，由于a＜0，所以，因此函数G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在为减函数，在为增函数，所以G（x）极小值＝即．令，则上述不等式可化为．上述不等式①设，则，故h（t）在（1，+∞）为增函数．又h（2）＝0，所以不等式①的解为t≥2，因此，所以，解得﹣1≤a＜0．综上所述a∈[﹣1，0）．。

沈阳市高二下学期数学期末考试试卷（理科） B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·厦门模拟) （a+x）（1﹣x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为（）A . ﹣3B . 3C . ﹣5D . 52. （2分）①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是真命题”；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）(2017·莆田模拟) 一批产品次品率为4%，正品中一等品率为75%．现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为（）A . 0.75B . 0.71C . 0.72D . 0.34. （2分） 5个人排成一排，其中甲在中间的排法种数有（）A . 5B . 120C . 24D . 45. （2分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若m∥n ，m∥α ，则n∥αB . 若α⊥β ，m∥α ，则m⊥βC . 若α⊥β ，m⊥β ，则m∥αD . 若m⊥n ，m⊥α ，n⊥β ，则α⊥β6. （2分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（， 3），则该幂函数的解析式为（）A .B . y=C . y=D .7. （2分）(2017·郎溪模拟) 设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a＞b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为（）A . （﹣2，3）B . （﹣2，2）C . （1，2）D . （﹣1，1）8. （2分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴在y轴的右侧，其中，a、b、c∈{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}在这些二次函数中，记随机变量η=|a﹣b|的取值，则η的数学期望为（）A .B .C .D .9. （2分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：认为作业多认为作业不多合计喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总计262450则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系的把握大约为（）A . 99%B . 97.5%C . 95%D . 无充分依据10. （2分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现正面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P （B|A）=（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·弋阳期中) 函数f（x）=sinx（x∈[0，π]），在区间[0，π]上任取一点x0 ，则f（x0）≥ 的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）对于使f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若正数a，b∈R 且a+b=1，则的上确界为（）A .B .C .D . ﹣4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·邯郸模拟) 把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为________．14. （1分） (2016高二下·洛阳期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=________．15. （1分）(2016·德州模拟) （x2+x+1）（1﹣x）4展开式中x2的系数为________．16. （1分） (2017高二下·宜春期中) 用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有________个．三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分） (2016高二下·郑州期末) 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818. （10分） (2016高三上·呼和浩特期中) 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线I的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2，点P关于极点对称的点P'QUOTE pı的极坐标为（1）写出圆C的直角坐标方程及点P的极坐标；（2）设直线I与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．19. （10分） (2018高二上·延边月考) 选修4-5：不等式选讲设函数 .（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.20. （10分） (2016高二下·黄骅期中) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．21. （5分）(2017·绵阳模拟) 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用共享单车用户120不常使用共享单车用户80合计16040200（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．（参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050 0.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635其中，K2= ，n=a+b+c+d）22. （15分） (2016高一下·承德期中) 某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据x24568y3040605070回归方程为 =bx+a，其中b= ，a= ﹣b ．（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；（2）根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程 =bx+a；（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

辽宁省沈阳市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）(2020·海南模拟) 若复数的虚部小于0，，且，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·吉安期中) “a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2019·临沂模拟) 已知双曲线的一个焦点F(2，0)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线方程为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一下·三水月考) 已知，，，则向量的夹角为（）A .B .C .D .5. （2分）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A . 134石B . 169石C . 338石D . 1 365石6. （2分）在中，若，则的形状一定是（）A . 等边三角形B . 不含60°的等腰三角形C . 钝角三角形D . 直角三角形7. （2分） (2016高一下·湖南期中) 如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（）A . 11B . 9C . 12D . 108. （2分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°9. （2分）(2017·通化模拟) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值是（）A .B .C . 或D . 或10. （2分） (2019高二上·余姚期中) 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则 =（）A .B .C . 3D . 211. （2分）定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，为函数的导函数．已知函数的图象如图所示，两个正数满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分）(2018·滨海模拟) 已知曲线的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数），若直线与曲线相交于，两点，则 ________13. （1分） (2017高三上·常州开学考) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1与抛物线y2=﹣12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．14. （1分） (2018高一下·定远期末) 已知数列与满足，，，若，对一切恒成立，则实数的取值范围是________．15. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知等腰三角形底角正弦值为，则顶角的余弦值是________三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分）(2018·宝鸡模拟) 设是首项为，公比为的等比数列，为数列的前项和.（1）已知，且是的等差中项，求数列的通项公式；（2）当时，令，求证：数列是等差数列.17. （10分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD交于点G，M 为棱BB1上一点．（1）证明：EF∥平面 A1C1D；（2）当B1M：MB的值为多少时，D1M⊥平面 EFB1，证明之；（3）求点D到平面 EFB1的距离．18. （15分）从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率．（1） A={三个数字中不含1和5};（2） B={三个数字中含1或5}．19. （10分） (2017高二下·湖北期中) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），短轴长2，两焦点分别为F1 ，F2 ，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B点，点D为椭圆C上一点，四边形AOBD为矩形，求直线l的方程．20. （10分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分）（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．21. （10分）(2017·漳州模拟) 在直角坐标系xOy中，已知点P（2，0），曲线C的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）过点P且倾斜角为的直线l交曲线C于A，B两点，求|AB|．参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共65分) 16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、第11 页共11 页。