第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案

一元三次方程韦达定理及其应用刘海涛１ꎬ２(１.安徽省芜湖市第一中学ꎬ安徽芜湖２４１０００ꎻ２.新青年数学教师工作室ꎬ安徽芜湖２４１０００)摘㊀要:文章介绍了一元三次方程的韦达定理及其推导过程ꎬ并给出其在不同类型问题中的应用方法ꎬ以体现一元三次方程的重要性ꎬ最后给出笔者对于强基备考教学的思考.关键词:韦达定理ꎻ强基备考ꎻＳＯＬＯ分类理论中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－０００２－０４收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:刘海涛(１９８８－)ꎬ男ꎬ安徽省滁州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:安徽省芜湖市２０２２年度教育科学研究课题 基于ＳＯＬＯ理论的发展学生数学核心素养的实践研究 (项目编号:ＪＫ２２０１９)㊀㊀在教学中笔者发现ꎬ在高中数学联赛或一些高校的强基考试中ꎬ经常会出现对一元三次方程的韦达定理的考查ꎬ甚至在一些省㊁市的高考模拟卷中也偶有考查.但是学生对此知识点知之甚少(该定理不属于高中教材内容)ꎬ少部分学生虽知道该定理却不会应用ꎬ导致普遍对涉及该定理的问题望而生畏㊁望而却步ꎬ从而被动放弃ꎬ实在可惜.笔者通过梳理近些年的相关考题ꎬ在介绍一元三次方程的韦达定理的基础上ꎬ从该定理在不同问题上的应用予以分类ꎬ整理成文ꎬ以供读者学习㊁交流之用ꎬ以期抛砖引玉[１].１定理的介绍若关于ｘ的方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０(ａʂ０)有三个根ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬ则三根满足:ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝－ｂａꎬｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ１＝ｃａꎬｘ１ｘ２ｘ３＝－ｄａ.证明㊀由ａ(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)(ｘ－ｘ３)＝ａ[ｘ３－(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３)ｘ２＋(ｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ１)ｘ－ｘ１ｘ２ｘ３]ꎬ得－ａ(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３)＝ｂꎬａ(ｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ１)＝ｃꎬ－ａｘ１ｘ２ｘ３＝ｄꎬ化简得证.说明㊀该定理是在复数域内ꎬ即三个根(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)可为实数也可为虚数.２定理的应用２.１在三次方程中的直接应用例１㊀设ａꎬｂꎬｃ为方程ｘ３－３ｘ２－２ｘ＋１＝０的三个实根ꎬ则１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４＝.解析㊀由韦达定理得ａ＋ｂ＋ｃ＝３ꎬａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝－２ꎬａｂｃ＝－１ꎬ则１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４＝ａ４ｂ４＋ｂ４ｃ４＋ｃ４ａ４ａ４ｂ４ｃ４＝ａ４ｂ４＋ｂ４ｃ４＋ｃ４ａ４＝(ａ２ｂ２＋ｂ２ｃ２＋ｃ２ａ２)２－２(ａ４ｂ２ｃ２＋ａ２ｂ４ｃ２＋ａ２ｂ２ｃ４)＝[(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)２－２ａｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)]２－２ａ２ｂ２ｃ２[(ａ＋ｂ＋ｃ)２－２(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)]＝７４.所以１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４＝７４.评注㊀该题为２０２２年清华大学ＴＡＣＡ测试题ꎬ就是一元三次方程韦达定理的直接应用ꎬ如果考生熟悉定理ꎬ只要能够对目标式１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４进行合理配凑ꎬ即可轻松解题.２.２在函数问题中的应用２.２.１求函数的解析式例２㊀设αꎬβꎬγ为方程ｘ３－ｘ＋１＝０的三个实根ꎬ求一个三次项系数为１的三次函数ｆ(ｘ)ꎬ使方程ｆ(ｘ)＝０的三根分别为１＋α２ꎬ１＋β２ꎬ１＋γ２.解析㊀由韦达定理ꎬ得α＋β＋γ＝０ꎬαβ＋βγ＋γα＝－１ꎬαβγ＝－１ꎬ则α２＋β２＋γ２＝２ꎬ(αβ)２＋(βγ)２＋(γα)２＝１.不妨设ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃꎬ则ａ＝－[(１＋α２)＋(１＋β２)＋(１＋γ２)]＝－５ꎬｂ＝(１＋α２)(１＋β２)＋(１＋β２)(１＋γ２)＋(１＋γ２)(１＋α２)＝８ꎬｃ＝－(１＋α２)(１＋β２)(１＋γ２)＝－５.故ｆ(ｘ)＝ｘ３－５ｘ２＋８ｘ－５.评注㊀该题为２０２１年天津大学强基考题ꎬ该题实为考查一元三次方程韦达定理的正向㊁逆向使用.２.２.２研究三次函数零点的关系例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－３)２ꎬ若存在ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)＝ｆ(ｃ)ꎬａ<ｂ<ｃꎬ则(㊀㊀).Ａ.１<ａ<２㊀㊀㊀Ｂ.ａ＋ｂ＋ｃ＝６Ｃ.ａ＋ｂ>２Ｄ.ａｂｃɪ(０ꎬ４)解析㊀求导得ｆᶄ(ｘ)＝３(ｘ－１)(ｘ－３).易知ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ１)和(３ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ在(１ꎬ３)上单调递减ꎬ极小值ｆ(３)＝０ꎬ极大值ｆ(１)＝４.㊀设ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)＝ｆ(ｃ)＝ｋꎬ易知ｋɪ(０ꎬ４)ꎬａɪ(０ꎬ１)ꎬｂɪ(１ꎬ３)ꎬ不难判断出函数ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ３)上属于极值点左移ꎬ有ａ＋ｂ>２.由ｆ(ｘ)＝ｋ得方程ｘ３－６ｘ２＋９ｘ－ｋ＝０ꎬ其中ａꎬｂ.ｃ为该方程三个根.由韦达定理得ａ＋ｂ＋ｃ＝６ꎬａｂｃ＝ｋɪ(０ꎬ４).故选ＢＣＤ.评注㊀该题为２０２３年深圳市一模考题的１１题ꎬ网上有深圳市老师反映该题得分率较低ꎬ多数学生不知道如何判断ＢꎬＤ两选项的正确与否ꎬ少部分学生答对也是靠对函数图象的直观性做出的猜测.事实上ꎬ若考生考前了解过一元三次方程的韦达定理ꎬ则可较为快速㊁准确地解出该题.２.２.３求函数的最小值例４㊀实数ａꎬｂ使得方程ｘ３－ａｘ２＋ｂｘ－ａ＝０有三个正实根ꎬ求２ａ３－３ａｂ＋３ａｂ＋１的最小值.解析㊀设方程ｘ３－ａｘ２＋ｂｘ－ａ＝０的三个正实根分别为αꎬβꎬγꎬ则α＋β＋γ＝αβγ＝ａꎬαβ＋βγ＋γα＝ｂ.由三元均值不等式ꎬ得１３(α＋β＋γ)ȡ３αβγ.则ａ３ȡ３ａꎬ即ａȡ３３.由(α＋β＋γ)２ȡ３(αβ＋βγ＋γα)ꎬ得ａ２ȡ３ｂ.于是２ａ３－３ａｂ＋３ａｂ＋１＝ａ(２ａ２－３ｂ)＋３ａｂ＋１ȡａ ａ２＋３ａａ２/３＋１＝３ａȡ９３ꎬ当且仅当ａ＝３３ｂ＝９{时ꎬ即方程三根均为３时等号成立.故２ａ３－３ａｂ＋３ａｂ＋１的最小值为９３.评注㊀该题为２０２０年第十届中国东南地区数学奥林匹克考试第１天的第１题.作为一项重大竞赛考题ꎬ该题的难度偏小ꎬ主要考查一元三次方程的韦达定理和两个三元不等式ꎬ是一个可以轻松 拿分 的数学竞赛考题.２.３在三角函数求值中的应用例５㊀求下列三式的值:(１)ｃｏｓ４０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓʎ１６０ʎꎻ(２)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ＋ｃｏｓ１６０ʎ ｃｏｓ４０ʎꎻ(３)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ.解析㊀观察三式的结构不难联想到一元三次方程韦达定理ꎬ故考虑构造一元三次方程ꎬ使ｃｏｓ４０ʎꎬｃｏｓ８０ʎꎬｃｏｓ１６０ʎ为该方程的三根ꎬ又注意到ｃｏｓ(３ˑ４０ʎ)＝ｃｏｓ(３ˑ８０ʎ)＝ｃｏｓ(３ˑ１６０ʎ)＝－１２ꎬ结合三倍角的余弦公式ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ３θ－３ｃｏｓθꎬ得到方程４ｘ３－３ｘ＋１２＝０的三根分别为ｃｏｓ４０ʎꎬｃｏｓ８０ʎꎬｃｏｓ１６０ʎ.于是得到(１)ｃｏｓ４０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓ１６０ʎ＝０ꎻ(２)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ＋ｃｏｓ１６０ʎ ｃｏｓ４０ʎ＝－３４ꎻ(３)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ＝－１８.评注㊀该题为华东师范大学出版社出版的«数学奥林匹克小丛书»上的一道题ꎬ解答该题的关键在于数系一元三次方程的韦达定理的三式结构特征ꎬ以及三倍角余弦公式.２.４在数论问题中的应用例６㊀已知ａꎬｂꎬｃɪＺꎬ且ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬ求证:２(ａ４＋ｂ４＋ｃ４)是一个完全平方数.证明㊀构造方程ｘ３＋ｍｘ２＋ｎｘ＋ｋ＝０(ｍꎬｎꎬｋɪＺ)ꎬ其中ａꎬｂꎬｃ是该方程的三个整数根ꎬ由韦达定理得ｍ＝０ꎬｎ＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａꎬｋ＝－ａｂｃ.由方程得ａ３＝－(ｎａ＋ｋ)ꎬｂ３＝－(ｎｂ＋ｋ)ꎬｃ３＝－(ｎｃ＋ｋ).所以２(ａ４＋ｂ４＋ｃ４)＝－２ｎ(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)－２ｋ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝－２ｎ[(ａ＋ｂ＋ｃ)２－２(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)]＝(２ｎ)２ꎬ是一个完全平方数.评注㊀该题对高中数学竞赛生来说ꎬ是一道很平常的数论练习题ꎬ方法也有很多ꎬ但是利用一元三次方程(这里是整数域下的三次方程)的韦达定理解题ꎬ能起到事半功倍的效果ꎬ给人耳目一新的感觉[２].２.５在复数问题中的应用例７㊀已知三个复数ａꎬｂꎬｃ的模均为１ꎬ且ａ＋ｂ＋ｃ＝１ꎬａｂｃ＝１ꎬ求ａꎬｂꎬｃ.解析㊀由ａ＋ｂ＋ｃ＝１ɪＺꎬ得ａ－＋ｂ－＋ｃ－＝１.又由题得ａａ－＝ｂｂ－＝ｃｃ－＝１ꎬ则１ａ＋１ｂ＋１ｃ＝ａ－＋ｂ－＋ｃ－＝１.即ａｂ＋ｂｃ＋ｃａａｂｃ＝１.所以ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝ａｂｃ＝１.由此可得ａꎬｂꎬｃ为方程ｘ３－ｘ２＋ｘ－１＝０的三个根ꎬ因式分解方程可得(ｘ－１)(ｘ２＋１)＝０.故{ａꎬｂꎬｃ}＝{１ꎬｉꎬ－ｉ}.２.６在不等式问题中的应用例８㊀设ａꎬｂꎬｃ是实数ꎬ方程ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０有三个正根ꎬ证明:２ａ３＋９ｃɤ７ａｂꎬ并且等号成立当且仅当这３个正根相等.证明㊀设题中方程的三个正根分别为αꎬβꎬγꎬ由韦达定理ꎬ得α＋β＋γ＝－ａꎬαβ＋βγ＋γα＝ｂꎬαβγ＝－ｃ.２ａ３＋９ｃ－７ａｂ＝－２(α＋β＋γ)３－９αβγ＋７(α＋β＋γ)(αβ＋βγ＋γα)＝(α＋β＋γ)[７(αβ＋βγ＋γα)－２(α＋β＋γ)２]－９αβγ＝(α＋β＋γ)[３(αβ＋βγ＋γα)－２(α２＋β２＋γ２)]－９αβγ＝(α２β＋αβ２＋β２γ＋βγ２＋γ２α＋γα２)－２(α３＋β３＋γ３)＝－(α３＋β３－α２β－αβ２)－(β３＋γ３－β２γ－βγ２)－(γ３＋α３－γ２α－γα２)＝－(α＋β)(α－β)２－(β＋γ)(β－γ)２－(γ＋α)(γ－α)２ɤ０ꎬ当且仅当α＝β＝γ时取等号ꎬ故得证.评注㊀该题是２０１４年北京大学夏令营考题ꎬ利用韦达定理将２ａ３＋９ｃ－７ａｂ转化为关于三正根αꎬβꎬγ的表达式ꎬ代数化简即可得证.２.７在立体几何中的应用例９㊀已知长方体的体积为１ꎬ长㊁宽㊁高之和为ｋꎬ表面积为２ｋꎬ求实数ｋ的取值范围.解析㊀设该长方体的长㊁宽㊁高分别为ａꎬｂꎬｃꎬ则ａ＋ｂ＋ｃ＝ｋꎬａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝ｋꎬａｂｃ＝１ꎬ则可将ａꎬｂꎬｃ视作方程ｘ３－ｋｘ２＋ｋｘ－１＝０的三根.又该方程可因式分解为(ｘ－１)[ｘ２－(ｋ－１)ｘ＋１]＝０ꎬ不妨设ａ＝１ꎬ则ｂꎬｃ是方程ｘ２－(ｋ－１)ｘ＋１的两根.于是ә＝(ｋ－１)２－４ȡ０ꎬｂ＋ｃ＝ｋ－１>０ꎬｂｃ＝１>０ꎬìîíïïïï解得ｋȡ３.评注㊀题中三个条件恰好得到一元三次方程的韦达定理式的三个结构式ꎬ自然将长㊁宽㊁高作为一元三次方程的三根ꎬ借助三次方程解题.２.８在三角形中的应用例１０㊀已知әＡＢＣ的三边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ周长为２ꎬ求证:ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ<２.证明㊀由题知ａ＋ｂ＋ｃ>２ｃꎬ易得０<ｃ<１ꎬ同理０<ａꎬｂ<１.不等式ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ<２等价于ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ<ａ＋ｂ＋ｃꎬ化简得ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ>１＋ａｂｃ.设ｆ(ｘ)＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ)ꎬ化简得ｆ(ｘ)＝ｘ３－２ｘ２＋(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)ｘ－ａｂｃ.问题等价于证明ｆ(１)>０.而由ａꎬｂꎬｃɪ(０ꎬ１)ꎬ得证ｆ(１)＝(１－ａ)(１－ｂ)(１－ｃ)>０.评注㊀对于ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ>１＋ａｂｃ的证明ꎬ解法多样ꎬ但是利用一元三次方程的韦达定理解题却是最简便的.３结束语一元三次方程的韦达定理虽没有出现在教材中ꎬ也不属于高中数学的知识点ꎬ但是通过文中的推导ꎬ我们不难发现ꎬ对于高中生而言该定理的理解完全不成问题ꎬ可以作为一种新定义题来命制题目ꎬ来考查学生的逻辑推理㊁数学运算等数学能力.基于此ꎬ笔者认为ꎬ在日常的教学中ꎬ广大一线教师可以考虑介绍一些介于高中与大学之间的数学知识ꎬ尤其是从数学逻辑推理的角度予以介绍ꎬ并给出证明过程ꎬ并辅之适量的习题以供训练ꎬ这样ꎬ学生的数学思维能力和知识储备都将得到大幅提升ꎬ高考中的优势自然明显ꎬ将来的数学学习也必将顺利.在介绍教材之外的知识点时ꎬ更重要的是让学生亲历知识的生成过程ꎬ知道概念的由来㊁定理的具体推导ꎬ从而掌握其中蕴含的数学思想方法[３]ꎬ这样ꎬ在遇到一道陌生问题时ꎬ学生才具有分析问题㊁解决问题的能力ꎬ考试自然能取得理想的成绩[４].参考文献:[１]刘海涛.例谈 定比点差法 在解析几何问题中的应用[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０２１(０７):２５－２７.[２]刘海涛.例析构造对偶式在解题中的应用[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２１(０４):１４－１７.[３]刘海涛.类比知识的抽象过程ꎬ寻找解题的最佳途径[Ｊ].中小学数学(高中版)ꎬ２０２２(０３):５１－５４.[４]刘海涛.例析与高斯函数有关问题的常考题型与备考建议[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０１):２７－３１.[责任编辑:李㊀璟]。

2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答2020年6月 27日 8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______．解：令x =y =0得f(0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4． 平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0． 所以f (1)=f (−1)=2．因为)32)(31(4)32()31()32(31)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f1118=3()4()()3339f ， 所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f所以.9894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BMAK BL+的值等于______． 解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)．另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以2AM y y AK x xy===5−4cos α． 类似地对于△BCM ，得到54cos .BMBLα=+ 因此，10.AM BMAK BL+= CBD ANLK ayαMx3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344， 可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24． 即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0． 当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24．由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立．于是abcd =2060或2061．所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12SS =______．解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S ADS OD==．5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．证明：见右图：AKLB ，BMNC ，ACPQ 都是正方形，对应的面积为S 1、S 2和S 3．设,,βα=∠=∠ABC BAC .γ=∠ACB因为,,,321S AC S BC S AB === 则根据余弦定理，有αcos 232321S S S S S -+= βcos 231312S S S S S -+=γcos 221213S S S S S -+=由此，.cos 2cos 2cos 2321213132S S S S S S S S S ++=++γβα ①又因为 ,180,180,180γβα-=∠-=∠-=∠ NCP LBM QAK 以及,,,465S NP S LM S QK === 则有αcos 231315S S S S S ++= ②βcos 221216S S S S S ++= ③γcos 232324S S S S S ++= ④由等式①～④得 S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．解：存在. 例证如下：因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数122020,,,p p p ，构造2020个两两不同的数：1220202iip p p x p，i =1, 2, 3, …, 2020．易知，因为122020,,,x x x 的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任意两个数的乘积12202012202022i ii jp p p p p p x x p p2222222222122020121111202022ii j ji jp p p p p p p p p p p p ． 这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．ABCMI 1 I 2 • • D FE 四、（满分15分）如图，已知D 为等腰△ABC 底边BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆，M 为BC 的 中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．证明： （1）当D 与M 重合时，显然有 ∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．（2）当D 不与M 重合时，不妨设BD ＞DC ， 过I 1作I 1E ⊥BC 于点E ，过I 2作I 2F ⊥BC 于点F ，连结I 1D ，I 2D ，I 1I 2．因为⊙I 1为△ABD 的内切圆，⊙I 2为△ACD 的内切圆，所以2AB BD AD BE +-=，2DC AD ACDF +-=所以，EM =BM −BE=22BC AB BD AD +--()2BC BD AD AB -+-=.2DF ACAD DC =-+= 进而有 ED=MF ．因为I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的 内心，易知∠I 1DI 2=90°． 由勾股定理得 I 1D 2+I 2D 2=I 1I 22．(*)在Rt △I 1DE 与Rt △DI 2F 中，由勾股定理得I 1E 2+ED 2=I 1D 2，I 2F 2+DF 2=I 2D 2，代入(*)式，得(I 1E 2+ED 2)+(I 2F 2+DF 2)= I 1I 22．注意EM=DF ，ED=MF 代换得(I 1E 2+MF 2)+(I 2F 2+EM 2)= I 1I 22．即 (I 1E 2+EM 2)+(I 2F 2+MF 2)= I 1I 22． 所以 I 1M 2+I 2M 2=I 1I 22．根据勾股定理的逆定理，有△I 1MI 2为直角三角形，∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}划分为两个子集A ={a , b , c , d , e }和B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．解：（1）集合I 共有2个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．理由简述如下：1° 由易知，a =1，所以a ∈A ．ABCD MI 1 I 2• •2° 由0∉ I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=A ∪B ，而5×2=10，所以5∈A ． 3° 试验知，a , b , c , d , e 均不能等于9，所以9∈B ，进而有8∈A ．4° 因为数wxyz abcde 和的9个数字和恰为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，可判知+abcde wxyz 是9的倍数，即+abcde wxyz ≡0(mod9)．又2wxyz abcde ，所以3wxyz ≡0(mod9)．于是wxyz ≡0(mod3)．所以)(wxyz S 是3的倍数，进而推得)(abcde S 也是3的倍数．5° 同样试验可判定7∈B ．此时分配剩下的4个元素：2, 3, 4, 6．由于A 中的1+5+8=14，被3除余2，所以从2, 3, 4, 6中选出的两个数之和被3除余1．于是只能选3, 4或4, 6属于A ，对应剩下的2, 6或2, 3归属于B ．因此，找到集合I 的两个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}． （2）集合I 的“两倍型2分划”满足的不同的2wxyz abcde 共12个．1° 当B={2, 6, 7, 9}时，得到6个不同的式子：6729×2=13458， 6792×2=13584， 6927×2=13854, 7269×2=14538， 7692×2=15384， 9267×2=18534． 2° 当B={2, 3, 7, 9}时，得到6个不同的式子：7293×2=14586， 7329×2=14658， 7923×2=15846， 7932×2=15864， 9273×2=18546， 9327×2=18654．。

北京第十中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，且满足．若点O是△ABC外一点，，，平面四边形OACB面积的最大值是（）．A. B. C. 3 D.参考答案：A由，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，∴sin（A+B）=sinA，∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．∴C=A，又b=c，∴△ABC是等边三角形，设该三角形的边长为a，则：a2=12+22﹣2×2×cosθ．则S OACB=×1×2sinθ+a2=sinθ+（12+22﹣2×2cosθ）=2sin（θ﹣）+，当θ=时，S OACB取得最大值．故选：B．点睛：四边形的面积往往转化为两个三角形面积之和，从而所求问题转化为三角函数的有界性问题，结合条件易得结果.2. 已知各项均为正数的等比数列{a n}满足，若存在两项使得，则的最小值为（）A．B． C. D．9参考答案：A由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴=当且仅当即m=2,n=4时，等号成立．故的最小值等于.故选A．3. 设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是A. {1,3,4}B.{2,4}C.{4,5}D.{4}参考答案：D略4. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．y=sin（4x+）B．y=sin（4x+）C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】首先根据函数的图象确定确定A，ω，?的值，进一步利用函数图象的平移变换求出结果．【解答】解：根据函数的图象：A=1，则：T=π利用解得：?=k（k∈Z）由于|?|＜所以：?=求得：f（x）=将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵标不变）g（x）=故选：A5. 设是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则,,的大小顺序是( ) A. B.C. D.参考答案：D6. 若，，则（）A． B． C． D．参考答案：A略7. 已知集合，把满足以下条件：若，则的集合A成为好集，则含有至少4个偶数的好集A的个数为( )A.7B.8C.9D.10参考答案：B8. 已知函数f（x）=，则f[f（0）]等于（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】函数的值．【分析】先求出f（0）=20=1，从而f[f（0）]=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=20=1，f[f（0）]=f（1）=﹣1+3=2．故选：B．9. 若函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,下列关于函数的说法中,不正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数的单调递增区间为D.函数是奇函数参考答案：C10. 设函数，用二分法求方程在区间内的近似解的过程中得到，则方程至少有一个根落在（）A． B． C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. sin75°=______．参考答案：试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.考点：两角和的正弦12. 某工厂的产值连续三年增长，已知年平均增长率为p，若这三年的增长率分别为x1，x2，x3，则x1 + x2 + x3的最小值是。

北京市数学应用竞赛答案北京二中高二班王震一、解：结论：能理由：由题意，对于虫子的第n次爬行，有绳长=n；虫子爬行的距离=1∴此时虫子爬行距离占绳长的11，记作 nn设数列{}的前n项和为Sn若满足当n取某一有限实数使得Sn=1时，则可以证明虫子能够爬到绳子的另一端n2i i1∴Sn n∵Sn∴ Snn1(3i)∴ Sn由3i得：满足存在某一个小于2即小虫能爬到绳子的另一端二、解：已知2(x a1)2(y b1)2(z c1)2r1(1)2(x a2)2(y b2)2(z c2)2r2(2)(x a)(y b)(z c)r(3)-利用平方差公式得(2x a1a2)(a2a1)(2y b1b2)(b2b1)(r1r2)(r1r2)又因为a1a2b1b2r1r2都是已知量故方程可以写成的n能够使得Sn 1A1x B1y C1z D10同理运算-；-并化简得A1x B1y C1z D10A2x B2y C2z D20A3x B3y C3z D30其中 A 1 B 1 C 1 D 1 C 3 D 3 都是已知量此时相当于解三元一次方程组，利用降次规避了需要大运算量的“平方”“开放”运算，使得这种三元二次方程组求解步骤变得很简单北京二中高二班王震三、解：对于一个不规则凸n边形而言，其对角线个数为n(n1)2nn23n22以其中任意一条对角线为半径作圆有以下两种结果：ⅰ该圆与多边形有两个或两个以上交点ⅱ该圆与多边形仅一个焦点由于题目中“北京城市副中心”几何图形过于复杂，故选取几个重要的顶点构造相对简单的多边形作为研究对象，如下图，即多边形目测后易得：只有选取AE或AF为半径的圆才有可能满足条件ⅱ比例尺1：x如上图，发现其中AE满足条件ⅱ，故AE为“北京城市副中心”的直径，粗度量之并代入比例尺，得AE实际长度为10x为求出x的大小，如下图在“北京城市副中心”几何图形上构造由小正方形组成的网格，大致数出被占全的正方形有13个，被占面积大于一半的正方形有5个，被占面积小于一半的正方形有2个结果记18个，经计算得出“北京城市副中心”纸面面积为²，已知实际面积约为km²6则有x代入数据得AE≈17km，即“北京城市副中心”直径约为17km 410410北京二中高二班王震四、解：通过计算器的统计运算可得：一月早晨空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 晚上空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 二月早晨空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 晚上空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 三月早晨空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 晚上空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 四月早晨空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 晚上空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 五月早晨空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 晚上空气质量指标数据平均值x=43；标准差s= 六月早晨空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 晚上空气质量指标数据平均值x=；标准差s= 做出下表进行分析：一月二月三月四月五月早晨43 晚上XX年1月到6月空气质量指数平均值早晨晚上一月二月三月。

北京第十中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数（其中)的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度参考答案：B2. 则等于（A）（B）（C）（D）参考答案：D略3. 设集合，则使M∩N＝N成立的的值是（）A．1 B．0 C．－1 D．1或－1参考答案：C 4. 已知定义域为R的函数满足，当时，单调递增，如果且，则的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负参考答案：A因为函数满足，所以函数关于点对称，由，知异号。

不妨设，则由得，而，当时，函数单调递增，根据函数的单调性可知，，即，所以，选A.5. 设集合，集合，则等于（）A． B． C． D．参考答案：C考点：1、集合的交、补运算；2、一元二次不等式．6. 若的展开式中常数项为270，则实数a=A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：C【分析】求出中的系数为270，进而求得a值.【详解】设，∴2r-5= -1，即r=2，∴，∴a=3故选C.【点睛】本题主要考查了二项式系数的求法，属于简单题.7. 为了得到函数的图像，只要把函数的图像上所有的点（）（A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；（B）横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；（C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变；（D）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.参考答案：B8. 已知函数的部分图像如图，则（）A．B．C．D．参考答案：C根据图像，解得，把点的坐标代入，得，结合得，故，，函数的最小正周期是，在一个周期内的各个函数值之和为，，。

9. 已知集合A={x||2x+1|＞3}，集合，则A∩（?R B）=( )A．（1，2）B．（1，2] C．（1，+∞）D．参考答案：B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：2x+1＞3或2x+1＜﹣3，解得：x＞1或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），由B中y=，得到≥0，即或，解得：x＞2或x≤﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），∵全集为R，∴?R B=（﹣1，2]，则A∩（?R B）=（1，2]．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10. 已知函数f（x）、g（x）：A．2 B．1 C．3 D．0参考答案：A【考点】3T：函数的值．【分析】由函数f（x）、g（x）对应的函数值表先求出g（2）=0，从而f（g（2））=f（0），由此能求出结果．【解答】解：由函数f（x）、g（x）对应的函数值表知：g（2）=0，f（g（2））=f（0）=2．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. (选修几何证明选讲）如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、,则 .参考答案：略12. 已知sin+cos =,求的值.参考答案：略13. 直线l：（t为参数），圆C：ρ=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为，则实数a的值为．参考答案：0或2【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题．【分析】化直线的参数方程为普通方程，化圆的极坐标方程为一般方程，由直线l被圆C截得的弦长为转化为圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式求解实数a的值．【解答】解：直线l：，由②得，，代入①得直线l的方程为x+2y+（2﹣a）=0，由ρ=2，得=2cosθ﹣2sinθ．ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，所以圆的方程为x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2，所以圆心为（1，﹣1），半径．若直线l被圆C截得的弦长为，则圆心到直线的距离，又，即|1﹣a|=1，解得a=0或a=2．故答案为0或2．【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标和直角坐标的互化，训练了点到直线的距离公式，是中档题．14. 若M是抛物线y2=4x上一点，且在x轴上方，F是抛物线的焦点，直线FM的倾斜角为60°，则|FM|= ．参考答案：4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由直线倾斜角求出斜率，写出直线方程，和抛物线方程联立求得M的坐标，再由抛物线焦半径公式得答案．解答：解：如图，由抛物线y2=4x，得F（1，0），∵直线FM的倾斜角为60°，∴，则直线FM的方程为y=，联立，即3x2﹣10x+3=0，解得（舍）或x2=3．∴|FM|=3+1=4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．15. 函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________最大值为________．参考答案：16. 已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.参考答案：略17. 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则面积的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：C三、解答题：本大题共5小题，共72分。

北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案
参考答案：
四、解要估算2000年18岁的人口数．由于2000年的统计资料我们还不能按集到，我们根据以往的统计数据进行推算．即根据2Q00年以前，如 1999年、1998年、…、1990年、…、等年份的数据进行推
算。

这里给出两种估算方法．一种是用年总人口数除以平均寿命，再根据人口分布情况进行调节，从而推算出18岁的人口数。

另一种我们以1998年的人口统计数据为依据，即根据1998年16岁的人口数来估算2000年18岁的人口数． 1998年中国人口统计年鉴中全国分年龄、性别的人口数表显示：1998年全国16岁人口总数为22010千人．全国分年龄、性别的死亡人口状况表显示：1998年16岁到17岁、17岁到18岁人口的死亡率分别为1.21％，1.16％。

假设每年的死亡率是个常数，则我们可以做如下的估算：
1999年17岁的人口数等于1998年16岁的人口数减去这些人成长到17岁的过程中死亡的人数．这些死亡人数由1998年16岁的人口数乘以17岁的死亡率得到．
即22010-22010×I．21％=21983（千人）．
2000年18岁的人口数等于1999年17岁的人口数减去这些人成长到18岁的过程中死亡的人数。

这些死亡人数由1999年17岁的人口数乘以18岁的死亡率得到．
即21983-21983×1.16％o=21957（千人）．
2000年18岁的人口数为21957千人．
注：从不同的资料中收集到的数据差异可能很大．只要说清楚资料的来源，并且数据处理方式合理，就可以认为答案正确，得满分．如果自己假设一些数据作为资料来源，最多给5分；若仅是数据处理方式不当，可以给7分。

2005-09-26。

10届全国高中数学联赛试题及答案2010年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分，共64分，）1.函数的值域是.2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.4.已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.5.函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.7.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则.8.方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是.二、解答题（本题满分56分）9.（16分）已知函数，当时，试求的最大值.10.（20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.11.（20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.解答1.提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2.提示：令，则原函数化为，即.由，及知即.（1）当时（1）总成立；对；对.从而可知.3.9800提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.4.提示：设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.从而有对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从而，求得，.5.提示：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以；当时，，所以.综上在上的最小值为.6.提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.7.提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则由此可设，所以，即.所以.解法二：如图，.设与交于点则.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即.又..8.336675提示：首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数解的个数显然为1；（2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设两两均不相等的正整数解为.易知，所以，即.从而满足的正整数解的个数为.9.解法一：由得.所以，所以.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.解法二：.设，则当时，.设，则..容易知道当时，.从而当时，即，从而,，由知.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.10.解法一：设线段的中点为，则，.线段的垂直平分线的方程是.（1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.由（1）知直线的方程为，即.（2）（2）代入得，即.（3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,..定点到线段的距离..当且仅当，即,或时等号成立.所以，面积的最大值为.解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.设，则的绝对值，所以,当且仅当且，即,或时等号成立.所以，面积的最大值是.11.令，则，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根.所以，.故数列是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的.不妨设，则，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加试1.（40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC 交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．2.（40分）设k是给定的正整数，．记，．证明：存在正整数m，使得为一个整数．这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，．3.（50分）给定整数，设正实数满足，记．求证：．4.（50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解答1.用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．因为P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O），同理，所以，故⊥．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是．①由梅内劳斯（Menelaus）定理，得，②．③由①，②，③可得，所以，故△DMN∽△DCB，于是，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而四点共圆.注1：“P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得，④则P，E，F，A四点共圆，故，从而E，C，F，K四点共圆，于是，⑤⑤-④，得P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）．注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．2.记表示正整数n所含的2的幂次．则当时，为整数．下面我们对用数学归纳法．当时，k为奇数，为偶数，此时为整数．假设命题对成立．对于，设k的二进制表示具有形式，这里，或者1，．于是，①这里.显然中所含的2的幂次为．故由归纳假设知，经过f的v次迭代得到整数，由①知，是一个整数，这就完成了归纳证明．3.由知，对，有．注意到当时，有，于是对，有，故．4.对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c．于是对于给定的点上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点上的设置．为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a 和b的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a的边有条，标有b的边有条，．选取条边标记a的有种方法，在余下的边中取出条边标记b的有种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为．①这里我们约定．当n为奇数时，此时．②代入①式中，得．当n为偶数时，若，则②式仍然成立；若，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有种；当n为偶数时有种．。

北京2023～2024学年度第一学期10月阶段性测试高三数学试卷（答案在最后）班级__________姓名__________学号__________考生须知：1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟．2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．3．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回．一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．1.已知复数i1i z =-，则z =（）．A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先化简i 1i z =-得到1i22z =-+，再根据复数模的定义，即可求解.【详解】()()()i 1i i i 11i 1i 1i 1i 222z +-====-+--+，2z ==.故选：B2.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1}A =，(){3}U C A B = ，则集合B 可能是（）A.{4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3}【答案】C 【解析】【分析】根据集合的定义和运算规律求解即可.【详解】∵{1,2,3,4}U =，(){3}U C A B = ∴{1,2,4}A B ⋃=又∵{1}A =∴{2,4}B =故选：C.3.下列函数()f x 中，其图像上任意一点(),P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是（）．A.()3f x x= B.()f x =C.()e 1x f x =- D.()()ln 1f x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分别画出函数图像，结合计算，即可得到结果.【详解】当2x =时，38x =，2x =，3x x >，故A 错误；当14x =时，12=，14x =x >，故B 错误；当1x =时，e 1e 1x -=-，1x =，e 1xx ->，故C 错误；当10x -<<时，()0f x <，0x >，满足y x <，当0x ≥时，设()()ln 1g x x x =+-，则()11011x g x x x -=-=+'<+，则()g x 在()0,∞+上单调递减，则()()00g x g ≤=，满足y x ≤，故D 正确；故选：D.4.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A.53 B.23C.13D.59【答案】A 【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又25(0,),sin 1cos 3απαα∈∴=-= .故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5.已知0.53a =，3log 2b =，2tan 3c π=，则（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.a c b>>【答案】A【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 与0或1比较，分析即可得答案.【详解】由题意得0.50331a =>=，3330log 1log 2log 31=<<=，所以01b <<，又2tan3c π==，所以a b c >>.故选：A6.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+02ππ32π2πx3π56πsin()A x ωϕ+055-0根据这些数据，要得到函数sin y A x ω=的图象，需要将函数()f x 的图象（）A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位【答案】A 【解析】【分析】根据表格中的数据，列出关于ωϕ，的方程组，解方程组得出函数()f x 的解析式，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+图象的变换即可得出结果.【详解】由表中的数据可得5A =，325362ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26πωϕ==-，，所以()5sin(26f x x π=-，y =5sin 2x ，将()5sin(2)6f x x π=-=5sin[2()]12x π-图象向左平移12π单位后得到y =5sin 2x 的图象.7.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.()11f x --B.()11f x -+ C.()11f x +- D.()11f x ++【答案】B 【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数；对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.8.已知()sin f x x x =-，命题P ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（）A.P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B.P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C.P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D.P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，【答案】D 【解析】【分析】求导分析()sin f x x x =-的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可【详解】∵()sin f x x x =-，∴()cos 10f x x '=-≤∴()f x 是定义域上的减函数，∴()()00f x f <=∴命题P ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，是真命题；∴该命题的否定是()00002P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，，.故选：D.9.已知,R αβ∈，则“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）．①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；③甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．A.②④ B.①③C.①②D.③④【答案】A 【解析】【分析】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解.【详解】从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5，故①错误；同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多，所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故②正确.甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米，所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，故③错误；速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故④正确.故选：A二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．11.在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数为______．【答案】10-【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()5152155C 11C r r r r r rr r T x x x ---+=⋅⋅-⋅=-⋅，令521r -=-，可得3r =，故1x的系数为()3351C 10-=-.故答案为：10-12.已知角α，β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______．【答案】1-【解析】【分析】根据角α，β的终边关于原点O 对称得()()21Z k k βαπ=+-∈，即可得到()cos αβ-的值.【详解】 角α，β的终边关于原点O 对称，(21)(Z)k k βαπ∴=+-∈，()()()cos cos 121Z k k αβπ⎡⎤∴-=-=-∈⎣⎦.故答案为：1-.13.设函数1,0()2,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足()(1)1f x f x ++>的x 的取值范围是___________.【答案】()1,-+∞【解析】【分析】分1x ≤-、10-<≤x 和0x >三种情况解不等式即可求解.【详解】当10x +≤即1x ≤-时，()(1)1f x f x ++>即1(2)1x x +++>，可得1x >-，此时无解，当010x x ≤⎧⎨+>⎩即10-<≤x 时，()(1)1f x f x ++>即1121x x +++>，所以120x x ++>，令()12x g x x +=+，则()12x g x x +=+在(]1,0-上单调递增，()()10g x g >-=，所以120x x ++>恒成立，所以10-<≤x 符合题意，当010x x >⎧⎨+>⎩即0x >时，()(1)1f x f x ++>即1221x x ++>恒成立，所以0x >符合题意，综上所述：满足不等式的x 的取值范围是()1,-+∞，故答案为：()1,-+∞.14.若方程e 0x ax a -+=有根，则实数a 的取值范围是______．【答案】2e a ≥或a<0，【解析】【分析】构造函数()e 1xf x x =-，利用导数求解函数的单调性，进而结合函数图象即可得直线y a =与()f x 有交点时，2e a ≥或a<0.【详解】由e 0x ax a -+=得()e 1xa x =-，当1x =，方程显然无根，故1x ≠时，e 1xa x =-，令()e1xf x x =-，则()()()2e 12x xf x x '-=-，令()()()2e 201x xf x x -'=>-，则2x >，故()f x 在()2,+∞单调递增，在()1,2以及(),1-∞单调递减，故2x =时，()f x 取极小值()22e f =，而当1x <时，()e 01xf x x =<-，当x →+∞时，()f x →+∞，所以直线y a =与()f x 有交点时，2e a ≥或a<0，故答案为：2e a ≥或a<0，15.已知函数()f x 由下表给出：x1234()f x 0a 1a 2a 3a 4a 其中(0,1,2,3,4)k a k =等于在0a ，1a ，2a ，3a ，4a 中k 所出现的次数，则4a =__________；0123a a a a +++=__________．【答案】①.0②.5【解析】【分析】假设k ＝4出现次数大于等于1次，即4a 的值大于等于1，推出矛盾，由此得4a ＜1，4a ＝0，同理可得30a =，由此可得02a ≥，从而讨论可得02a =，于是可以得到1a ，2a ∈{1，2}，分类讨论即可得出答案.【详解】(0,1,2,3,4)k a k =等于在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中k 所出现的次数，则{}0,1,2,3,4k a ∈，若k ＝4在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中出现次数超过0次，不妨设出现1次，则4a ＝1.设0a ＝4，则k ＝0在“1a ，2a ，3a ”这3个数中出现4次，矛盾，同理k ＝4在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中出现过2、3、4次也不可能，即k ＝4不能出现，∴4a ＝0.同理，若k ＝3出现次数超过0次，不妨设k ＝3出现1次，即31a =，设0a ＝3，则k ＝0在“1a ，2a ”这2个数中出现3次，矛盾，故k ＝3不可能出现，∴30a =.∵30a =，4a ＝0，∴k ＝0在“0a ，1a ，2a ，30a =，40a =”中至少出现了2次，∴02a ≥.若0a ＝3或4，即k ＝3或k ＝4出现了1次，则3a 或4a 不为0，矛盾，∴02a =.∴02a =，30a =，40a =，∴1a ，2a ∈{1，2}，∴“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”仅有下列四种可能：①02a =，1a ＝1，2a ＝1，30a =，40a =，②02a =，1a ＝1，2a ＝2，30a =，40a =，③02a =，1a ＝2，2a ＝1，30a =，40a =，④02a =，1a ＝2，2a ＝2，30a =，40a =，其中：①中，k ＝1出现2次与1a ＝1矛盾，不可能；②满足题意；③k ＝2出现2次与2a ＝1矛盾；④中，k ＝2出现3次与2a ＝2矛盾；故仅有“02a =，1a ＝1，2a ＝2，30a =，40a =”满足题意，故0123a a a a +++=5.故答案为：0；5【点睛】本题关键是理清题意，在有限个数字中，从大到小讨论，将不满足题意的情形逐一排除，最后得到唯一满足题意的组合.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在答题纸相应位置．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，4AB =，点E 在线段AB 上，且34AE AB =.（1）求证：CE ⊥平面PBD ；（2）求二面角P CE A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）21【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质可得PD CE ⊥，利用相似三角形的判定与性质可得BD CE ⊥，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；(2)根据题意和线面垂直的性质可得,,AD CD PD 两两垂直，建立如图空间直角坐标系D xyz -，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面PCE 和平面ACE 的法向量，利用空间向量的数量积表示即可求出结果.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PD CE ⊥.因为4AB =，34AE AB =，所以3AE =，1BE =.所以2AB BCAD BE==.所以Rt Rt CBE BAD △∽△，所以BD CE ⊥.又因为PD CE ⊥，PD BD D ⋂=，所以CE ⊥平面PBD .【小问2详解】因为PD⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥.又因为ABCD 是矩形，AD CD ⊥，所以,,AD CD PD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,4,0C ，()002P ,,，()2,3,0E ，所以()0,4,2PC =-，()2,1,0CE =-.设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n CE n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,420.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则2y =，4z =.于是()1,2,4n =.因为PD ⊥平面ABCD ，取平面ACE 的法向量为()0,0,1m =.则cos ,21m n m n m n ⋅〈〉==.由图可知二面角P CE A --为锐角，所以二面角P CE A --的余弦值是21.17.已知函数()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++，其中π||2ϕ<．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使()f x 存在，并完成下列两个问题．（1）求ϕ的值；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若曲线()y f x =与直线y m =恰有一个公共点，求m 的取值范围．条件①：π16f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；条件②：π12-是()f x 的一个零点；条件③：π(0)3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析（2）{}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6ϕ=-，（2）由和差角公式以及辅助角公式化简()πsin(2)6f x x =+，由整体法即可代入求解.【小问1详解】选条件①：ππππ3sin cos 1si 63332f n ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭无意义，所以选条件①时()f x 不存在，故不能选①，选条件②．由题设πππ(sin()cos(01266f ϕ-=-++-=，所以πsin()6ϕ-=．因为ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，所以ππ63ϕ-=-．所以π6ϕ=-．选条件③，由题设2π2πsin cos0sin()cos 33ϕϕ+=++．整理得πsin()62ϕ-=-．以下同选条件②．【小问2详解】由（1）π()sin(2)cos 26f x x x =-+1πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为ππ63x -≤≤，所以ππ5π2666≤≤x -+．于是，当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值1；当且仅当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值12-．又π5π266x +=，即π3x =时，π5π1(sin362f ==．且当πππ2666x ≤≤-+时，()f x 单调递增，所以曲线()y f x =与直线y m =恰有一个公共点，则1122m ≤<-或1m =m 的取值范围是{}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭．18.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14，(]14,16，(]16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(]14,16内的学生人数为X ，求X 的分布列；（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“()20P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]10,12(单位：小时)内的概率，其中0,1,2,,20k = .当()20P k 最大时，写出k 的值.（只需写出结论）【答案】（1）0.10a =（2）分布列见解析（3）4k =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出a 的值．（2）由频率分布直方图求出这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（3）根据对立重复试验的概率公式得到方程组，解得k 的取值范围，即可得解．【小问1详解】解：由频率分布直方图得：2(0.020.030.050.050.150.050.040.01)1a ++++++++=，解得0.10a =．【小问2详解】解：由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为：5000.1050⨯=人，5000.0840⨯=人，5000.0210⨯=人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取：40104504010⨯=++人，现从这10人中随机抽取3人，则X 的可能取值为0，1，2，3，36310201(0)1206C P X C ====，1246310601(1)1202C C P X C ====，2146310363(2)12010C C P X C ====，3431041(3)12030C P X C ====，X ∴的分布列为：X0123P1612310130【小问3详解】解：由（1）可知(]10,12的概率0.120.2P =⨯=，所以()()20202020200.210.20.20.8kkk kk kP k C C --=-=依题意()()()()2020202011P k P k P k P k ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201121202020111920200.20.80.20.80.20.80.20.8k k k k k k kk k k k k C C C C -----++-⎧≥⎨≥⎩，即()2010.20.820110.80.21k k k k -+⎧⨯≥⎪⎪⎨-++⎪≥⨯⎪+⎩，解得162155k ≤≤，因为k 为非负整数，所以4k =即当20()P k 最大时，4k =．19.设函数()e a xf x x bx -=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（1）1,1a b ==；（2）函数()f x 在R 上单调递增.【解析】【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由（1）可得()()11e 1xf x x -'=-+，令1x t -=，得到函数()f x '的最小值，即可得到()min 110ef x =-+>'.【小问1详解】因为()ea xf x x bx -=+，则()()1e a x f x x b -'=-+，由题意可得，()()1211f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即1e 21a b b -⎧+=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可知，()1exf x x x -=+，()()11e 1x f x x -'=-+，令1x t -=，令()e 1t p t t =⋅+，所以()()1e tp t t ='+，当(),1t ∞∈--时，()0p t '<，则函数()p x 单调递减；当()1,t ∞∈-+时，()0p t '>，则函数()p x 单调递增；当1t =-时，函数()e 1tp t t =⋅+有极小值，即最小值，最小值为11e-+，则()min 110ef x =-+>'，则函数()f x 在R 上单调递增.20.已知函数()3211132a f x x x ax +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]0,1的最大值为1，求实数a 的取值范围；（3）若对任意1x ，()20,x ∈+∞，当12x x <时，不等式()()()()121222f x f x a x a x -<---恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值(0)1f =，极小值5(1)6f =；（2）(],0-∞（3）1a ≤-【解析】【分析】（1）求导，令导数等于0，结合单调性可求；（2）求导，得到()()()1f x x x a '=--，讨论a 与1的关系，利用导数，得出()f x 的最大值，进而求出a 的范围.（3）构造函数()()()2g x f x a x =+-，由()()12g x g x <可得到()g x 的单调性，进而可求得a 的范围.【小问1详解】当0a =，()3211132f x x x =-+，()2f x x x '=-，令()0f x '=，则0x =或1x =，则当(,0],[1,)x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，则当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以在0x =时，取得极大值(0)1f =；在1x =时，取得极小值5(1)6f =；【小问2详解】()()()1f x x x a '=--，令()0f x '=，得1x =或x a =.当0a ≤时，则[]0,1x ∈时，()0f x '≤，所以()f x 在[]0,1上单调递减，()max ()01;f x f ==成立当01a <<时，当()0,x a ∈时，()0f x ¢>；当(),1x a ∈时，()0f x '<.故()f x 在()0,a 上单调递增，在(),1a 上单调递减；()()max ()01f x f a f =>=，不合题意；当1a ≥时，则[]0,1x ∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[]0,1上单调递增，()()max ()101f x f f =>=，不合题意.综上，实数a 的取值范围是(],0-∞.【小问3详解】设()()()2g x f x a x =+-，根据题意有，120x x <<，12()()<g x g x ，故()g x 单调递增，则()32112132a g x x x x +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()g x 在()0,∞+上单调递增，则有0x >时，()0g x '≥恒成立.而()()212g x x a x =-++'，即()2120x a x -++≥恒成立，参变分离可得，则有21a x x+≤+，而2x x +≥x =时等号成立），所以min 2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即有1a ≤.21.已知数列{}n a ，记集合()(){}*1,,,1,N i i j T S i j S i j a a a i j j +==+++≤<∈ ．（1）对于数列{}n a ：1，2，3，4，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在,*∈i j N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的i ，j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为B ：1b ，2b ，…，m b ，…．若2024m b ≤，求m 的最大值．【答案】（1）{3T =，5，6，7，9，10}；（2）不存在，理由见解析（3）1003【解析】【分析】1）根据题意给出的集合T 新定义，即可得出答案；（2）使用假设法，假设存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =，进行计算检验，从而得出结论；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对(2222)(1)(2)(1)2j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意得123a a +=，1231236a a a ++=++=，1234123410a a a a +++=+++=，23235a a +=+=，2342349a a a ++=++=，34347a a +=+=，{3T ∴=，5，6，7，9，10}；【小问2详解】假设存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，i j ∴+与1j i -+奇偶性不同，又3i j +≥ ，12j i -+≥，1024∴有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾，故不存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =；【小问3详解】由题意得(2222)(1)(2)(1)2j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故*{2|N T n n =∈，2k n ≠，*N }k ∈，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，∴2024910032m =-=，故m 的最大值为1003．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

北京一零一中2024－2025学年度第一学期高三数学统考二（答案在最后）一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1,2A =-，集合1,0B y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭，则()A B ⋂=R ð（）A.{}1,0,1- B.{}1,0,1,2- C.{}0,1 D.(],1-∞【答案】A 【解析】【分析】计算集合B ,再计算结果，判断选项.【详解】由>0，则12y x x =+≥=，当且仅当1x x =，即=1取等号，则{}2B y y =<R ð，故(){}1,0,1A B ⋂=-R ð.故选：A2.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A.i -B.1-C.3i -D.3-【答案】D 【解析】【分析】由复数对应的点求出复数1z ，2z ，计算12z z ⋅，得复数12z z ⋅的虚部.【详解】在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则112z i =+，22z i =-+，得()()1212i 2i 43i z z ⋅=+-+=--，所以复数12z z ⋅的虚部为3-.故选：D3.若0a b <<，给出下列不等式：①221a b +>；②11a b ->-；③111ab a b>>．其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐一判断各个不等式即可.【详解】因为0a b <<，所以0a b >>，22a b >，故①221a b +>正确；因为0a b <<，所以0a b ->->，110a b -+>-+>，故②11a b ->-正确；因为0a b <<，所以110a b>>，又10ab >，故③111ab a b >>正确.故选：D4.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+02ππ32π2πx3π56πsin()A x ωϕ+055-0根据这些数据，要得到函数sin y A x ω=的图象，需要将函数()f x 的图象（）A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位【答案】A 【解析】【分析】根据表格中的数据，列出关于ωϕ，的方程组，解方程组得出函数()f x 的解析式，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+图象的变换即可得出结果.【详解】由表中的数据可得5A =，325362ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26πωϕ==-，，所以()5sin(26f x x π=-，y =5sin 2x ，将()5sin(2)6f x x π=-=5sin[2()]12x π-图象向左平移12π单位后得到y =5sin 2x 的图象.故选：A5.在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，2AB =，则BC DC += （）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据菱形的几何特征结合向量加法的法则，得BC DC AC +=，得到BC DC AC += ，利用余弦定理即可求解.【详解】在ABCD 中，连接AC ，根据菱形的几何性质有，有：对边互相平行，四条边均相等，所以//AB DC ，且=2AB DC =，所以AB DC = ，所以BC DC BC AB +=+，根据向量加法的三角形法则有，BC DC BC AB AB BC AC +=+=+=，所以BC DC AC += ；又因为//AD BC ，60DAB ∠=︒，所以120ABC ∠=︒，在ABC V ，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，由余弦定理有：2222cos ACAB BC AB BC ABC =+-∠，所以AC ==.故选：B6.在ΔA 中，“2a =,60B =︒”是“cos 7=A ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】在三角形中，根据正弦定理，分别求解cos A 的值，反之利用正弦定理求得sin B ，得到B ，再根据充分不必要条件的判定方法，即可求解.【详解】在ΔA 中，由正弦定理可得sin sin a b A B =，解得0sin sin 607a A B b ===，又由a b <，则060A <，所以27cos 7A ==，又由在ΔA 中，若cos 7=A ，则sin 7A =，由正弦定理sin sin 272b B A a ==⨯=，则0120B =或060，所以“02,60a b B ===”是“cos 7=A ”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中在三角形中合理使用正弦定理，及充分不必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数()()2f ,,,dx a b c d R ax bx c=∈++的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是A .0,0,0,0a b c d >> B.0,0,0,0a b c d C.0,0,0,0a b c d >> D.0,0,0,0a b c d >>【答案】B 【解析】【详解】由图象可知，1x ≠且5x ≠，20ax bx c ++≠ ，可知20ax bx c ++=的两根为1,5，由韦达定理得12126,5b c x x x x a a +=-=⋅==，,a b ∴异号，,a c 同号，又()00df c=< ，,c d ∴异号，只有选项B 符合题意，故选B.8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（）A.12%B.10%C.9%D.6%【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得9001e5kP P -⋅=，解得1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将12t =代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以9001e5kP P -⋅=，即91e ,5k -=所以1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为()4341230000011e e 0.58512%55k kP P P P P --⎛⎫⋅=⨯=⨯≈⨯≈ ⎪⎝⎭．故选：A.9.已知()()1241,2(0,1)2,2x a x a x f x a a ax -⎧-++≤=>≠⎨>⎩．若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.10,(1,2)2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,(1,2)4⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】通过对参数a 分类讨论，研究()f x 在(,2]-∞和(2,)+∞的单调性，再结合已知条件，即可求解.【详解】解：由题意，不妨令()(2)41g x a x a =-++，(,2]x ∈-∞；1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，①当01a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递减，易知1()2x h x a -=在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，又因为()f x 存在最小值，只需(2)(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤，又由01a <<，从而102a <≤；②当12a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，又因为()f x 存在最小值，故(2)(2)g h ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得，34a ≤，这与12a <<矛盾；③当2a =时，9,2()2,2x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，易知()f x 的值域为(4,)+∞，显然()f x 无最小值；④当2a >时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递增，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，从而()f x 无最小值.综上所述，实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：A.10.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++<<+，11a =，n S 是{}n a 的前n 项和．若2024m S =，则正整数m 的所有可能取值的个数为（）A.48B.50C.52D.54【答案】D 【解析】【分析】根据11n n a a ++<可得11n n a a +<-，由累加迭代法可得n a n >，进而可得()14046m m +<，由122n n a a +<+得252,3n n a n -<⨯≥，进而根据等比数列的求和可得406225m <，两种情况结合可得1063,m ≤≤进而可求解.【详解】由11n n a a ++<，得11n n a a +<-，由累加法，当2n ≥时，()()()112211111n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-+⋅⋅⋅+-+>++⋅⋅⋅+=，因此()121122m m m m S a a a m +=++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+=，即得()120242m m +>；所以()14048m m +<，当63m =时，()14032m m +=，故63m ≤；由122n n a a +<+，得()2221321122222222222,a a a a a a <+⇒<+<++=++所以()2233243112222222222a a a a <+<+++=++，以此类推，得1122212222252,3n n n n n n n a a n -----<++=+=⨯≥，因此()12212145222m m m S a a a -<++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+，即()2121220245552512m m ---<+⨯=⨯--，得1202925m ->；又892256,2512==，所以19m -≥，即10m ≥；综上可知，1063m ＃，故满足条件的正整数m 所有可能取值的个数为6310154-+=个.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用不等式1122n n n a a a ++<<+将数列的通项公式通过放缩法和累加法可求得n a n >且252,3n n a n -<⨯≥，再由2024m S =解不等式即可得出正整数m 的所有可能取值.二、填空题共5小题.11.若等边三角形ABC的边长为M 满足1263CM CB CA =+ ，则MA MB ⋅= ______.【答案】-2【解析】【详解】试题分析：以C 点为原点，以AC 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，可得(0,0),C A B，所以CB CA ==，所以121(,6322CM CB CA =+= ，所以1(,)22M，所以15,(,)2222MA MB =-=-，所以15•(,)(,22222MA MB =-⋅-=- .考点：向量的坐标运算.12.已知角α，β的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则α，β的一组取值可以是______．【答案】π3α=，π6β=（答案不唯一，符合()3ππk m α=++，()ππ+6k m β=-，(),Z k m ∈或()32ππk m α=++，()ππ6k m β=--，(),Z k m ∈即可）【解析】【分析】由条件角,αβ的终边关于直线y x =对称可得π2π2k αβ+=+()k ∈Z ，由1sin()2αβ-=可得π2π6m αβ-=+或5π2π6m αβ-=+，()m ∈Z ，解方程求α，β即可.【详解】因为角α，β的终边关于直线y x =对称，所以π2π2k αβ+=+，()k ∈Z ，又1sin()2αβ-=，所以π2π6m αβ-=+或5π2π6m αβ-=+，()m ∈Z ，所以()ππ3k m α=++，()ππ+6k m β=-，(),k m ∈Z 或()2ππ3k m α=++，()ππ6k m β=--，(),k m ∈Z 取0k =，0m =时，可得π3α=，π6β=或2π3α=，π6β=-所以α，β的一组取值可以是π3α=，π6β=.故答案为：π3α=，π6β=.13.在数列{}n a 中，112a =，11n n n a a a ++=，*n ∈N ，则2022a =______．【答案】2【解析】【分析】根据数列的递推公式，利用迭代法，发现规律，即数列{}n a 为周期数列，然后求出2022a 即可.【详解】由11n n n a a a ++=得，111n na a +=-，又由112a =得，21111a a =-=-，32112a a =-=，431112a a =-=，54111a a =-=-，由此可得数列{}n a 为周期数列，周期为3，又因为20223674=⨯，所以202232a a ==，故答案为：2.14.若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,63上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．【答案】[2,)+∞【解析】【详解】试题分析：因为函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--='=因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,63恒成立所以1sin a x≥因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x<<⇒<<所以a 的取值范围是[2,)+∞考点：1．恒成立问题；2．导函数的应用．15.设R a ∈,函数()2221f x ax x x ax =---+,若恰有两个零点，则a 的取值范围为_________．【答案】()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+【解析】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a 的取值范围．【详解】（1）当210x ax -+≥时，()0f x =⇔()()21210a x a x -+--=，即()()1110a x x --+=⎡⎤⎣⎦，若1a =时，=1x -，此时210x ax -+≥成立；若1a ≠时，11x a =-或=1x -，若方程有一根为=1x -，则110a ++≥，即2a ≥-且1a ≠；若方程有一根为11x a =-，则2111011a a a ⎛⎫-⨯+≥ ⎪--⎝⎭，解得：2a ≤且1a ≠；若111x a ==--时，0a =，此时110a ++≥成立．（2）当210x ax -+<时，()0f x =⇔()()21210a x a x +-++=，即()()1110a x x +--=⎡⎤⎣⎦，若1a =-时，1x =，显然210x ax -+<不成立；若1a ≠-时，1x =或11x a =+，若方程有一根为1x =，则110a -+<，即2a >；若方程有一根为11x a =+，则2111011a a a ⎛⎫-⨯+< ⎪++⎝⎭，解得：2a <-；若111x a ==+时，0a =，显然210x ax -+<不成立；综上，当2a <-时，零点为11a +，11a -；当20a -≤<时，零点为11a -，1-；当0a =时，只有一个零点1-；当01a <<时，零点为11a -，1-；当1a =时，只有一个零点1-；当12a <≤时，零点为11a -，1-；当2a >时，零点为1,1-．所以，当函数有两个零点时，0a ≠且1a ≠．故答案为：()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+．【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n N ∈，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足24b a =，37b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .条件①：13a =-；条件②：12n n a a +-=；条件③：24S =-.【答案】（1）25n a n =-；（2）()214312nn T n n =-+-【解析】【分析】（1）若选择①②作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差d ，代入公式即可求得答案；若选择②③作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差2=d ，根据124a a =-+，即可求得1a ，代入公式即可求得答案；（2）根据题干条件，结合（1）可求得2b ，3b 的值，代入公式，即可求导1b 、q ，进而可得n b ，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案.【详解】解：(不能选择①③作为已知条件)若选择①②作为已知条件.因为13a =-，12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以13a =-为首项，公差2=d 的等差数列.所以25n a n =-.若选择②③作为已知条件.因为12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，公差为2=d 的等差数列.因为24S =-，所以124a a =-+.所以124a d +=-，解得13a =-.所以25n a n =-.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，结合（1）可得243b a ==，379b a ==，所以323b q b ==，所以21313b b q ===.所以等比数列{}n b 的通项公式为1113n n n b b q --==.所以()1253.n n n a b n -+=-+所以()()()1122n n n T a b a b a b =++++++ ()()1212n n a a a b b b =+++++++ ()()()-11253331n n =+-++-++++-⎡⎤⎣⎦ ()32513213nn n ⨯-+--+-⎡⎤⎣⎦=()214312nn n =-+-.17.已知向量cos,12x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,cos 22x x n ⎫=⎪⎭ ，函数()1f x m n =⋅+ ．（1）求函数()f x 在[]0,π上的最值，并求此时x 的值；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向左平移π3个单位长度并向下平移12个单位长度，得到函数()g x 的图象．若在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，122A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2a =，4b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）最大值为32，此时2π3x =；最小值为0，此时0x =；（2【解析】【分析】（1）由向量的数量积及三角恒等变换得π1()sin(62f x x =-+，根据[]0,πx ∈，结合三角函数的性质求解即可；（2）由图象的平移及伸缩变化可得()cos 2g x x =，再由122A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得π3A =，由余弦定理可得4bc =，最后由三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】解：因为()1f x m n =⋅+2sin cos 1222x x x⋅-+=2sin sin 22x x +=1sin (1cos )22x x =+-11sin cos 222x x =-+π1sin()62x =-+，当[]0,πx ∈时，ππ5π,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ66x -=-，即0x =时，()f x 取最小值，为0；当ππ62x -=，即2π3x =时，()f x 取最大值，为32；所以()f x 在[]0,π上的最大值为32，此时2π3x =；最小值为0，此时0x =；【小问2详解】解：将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得π1sin(2)62y x =-+，再将π1sin(2)62y x =-+的图象向左平移π3个单位长度并向下平移12个单位长度，得ππ11πsin[2()sin(2cos 236222y x x x =+-+-=+=，所以()cos 2g x x =，又因为122A g ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1cos 2A =，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =，所以sin 2A =，又因为2a =，4b c +=，由余弦定义可得：2222cos a b c bc A=+-2()2cos 2b c bc A bc =+--，所以4162bc bc =--，解得4bc =，所以11sin 4222ABCS bc A ==⨯= .18.如图所示，已知ABC V 中，D 为AC 上一点，π,4,4A AB BD AD AB ∠===>．（1）求sin ADB ∠；（2）若sin 2sin BDC C ∠∠=，求DC 的长．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）在ABD △中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得cos ADB ∠．法1：由正弦定理、sin 2sin BDC C ∠∠=可得BC ，再由余弦定理可得DC ．法2：求出sin ∠C 及cos C ∠，再由两角差的正弦展开式求出sin DBC ∠，在BDC 中由正弦定理可得答案．【小问1详解】在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AB BDADB A=∠∠，所以sin ABADB A BD∠∠=，又因为π,4,4A AB BD ∠===，所以225sin25ADB ∠==；【小问2详解】因为AD AB >，所以ABD ADB ∠∠>，所以90ADB ∠<o ，由（1）结论，计算可得cos 5∠==ADB ，法1：由正弦定理可知sin sin BC BDBDC C∠∠=，又sin 2sin BDC C ∠∠=，所以2BC BD ==由余弦定理可得2222cos BC BD DC BD DC BDC ∠=+-⋅，化简整理得2300DC +-=，解得DC =法2：因为sin sin 5BDC ADB ∠∠==且sin 2sin BDC C ∠∠=，所以sin 5sin 25BDC C ∠∠==，由题意可得C ADB ∠<∠，所以cos 5C ∠=，所以()sin sin DBC ADB C ∠∠∠=-sin cos cos sin ADB C ADB C ∠∠∠∠=⋅-⋅355555=⨯-⨯=，在BDC 中，由正弦定理可得sin sin DC BDDBC C∠∠=，所以3sin 5sin 5DBC DC BD C ∠∠==19.已知函数2(2)()1x a a xf x x -+=+（0a ≥）.（I ）当1a =时，求()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]上的最小值.【答案】（I ）3490x y --=（II ）见解析【解析】【分析】（I ）根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得切线方程（Ⅱ）先求导函数零点，再根据零点与定义区间位置关系分类讨论，最后根据对应函数单调性确定最值【详解】解：（I ）当1a =时，23()1x x f x x -=+，2223()(1)x x f x x +-+'=，1x ≠-所以()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程为3(3)4y x =-，即3490x y --=（II ）1x ≠-，2222(2)[(2)]()()(1)(1)x x a a x a x a f x x x +-+++-=='++，①当0a =时，在(0,2]上导函数222()0(1)x xf x x +=>+'，所以()f x 在[0,2]上递增，可得()f x 的最小值为(0)0f =；②当02a <<时，导函数()f x '的符号如下表所示[0,)a a(,2]a ()f x '—＋()f x极小所以()f x 的最小值为222(2)()1a a a f a a a -+==-+；③当2a ≥时，在[0,2)上导函数()0f x '<，所以()f x 在[0,2]上递减，所以()f x 的最小值为242(2)244(2)3333a a f a a -+==--+【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题20.已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（1）求a 、b 的值；（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．【答案】（1）1a =，1b =（2）（-，0]【解析】【详解】（1）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,{1'(1),2f f ==-即1,{1,22b a b =-=-解得1a =，1b =．（2）由（1）知ln 1f ()1x x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--．考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x-++=．(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减．而(1)0h =故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-；当x（1，+）时，h （x ）<0，可得h （x ）>0从而当x>0,且x 1时，f （x ）-（+）>0，即f （x ）>+.（ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且2(1)21k x x k -++-，对称轴x=111k>-.当x （1，）时，（k-1）（x 2+1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，故当x （1，）时，h （x ）>0，可得h （x ）<0,与题设矛盾．（iii ）设k1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0,而h （1）=0，故当x（1，+）时，h （x ）>0，可得h （x ）<0,与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为（-，0]点评：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解．若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了．即以参数为分类标准，看是否符合题意．求的答案．此题用的便是后者．21.已知无穷数列{}n a 是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合{}**1,n n A k a k a n +=∈<<∈N N ∣．若对于集合A 中的元素k ，数列{}n a 中存在不相同的项12,,,m i i i a a a ，使得12m i i i a a a k +++= ，则称数列{}n a 具有性质()N k ，记集合{B k =∣数列{}n a 具有性质}()N k ．（1）若数列{}n a 的通项公式为21,4,6, 4.n n n a n n -≤⎧=⎨+>⎩写出集合A 与集合B ；（2）若集合A 与集合B 都是非空集合，且集合A 中的最小元素为t ，集合B 中的最小元素为s ，当3t ≥时，证明：t s =；（3）若{}n a 满足*12,N n n a a n +≥∈，证明：A B =．【答案】（1）{}2,4,6,8,9,10A =，{}4,6,8,9,10B =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）定义{}123,,,,,n C a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可知*A C =N ð，结合题中通项公式分析求解；（2）根据题意可知1,2,,1t C ⋅⋅⋅-∈，可得11t t =+-，即可分析证明；（3）由题意可知：121,2a a ==，可知集合,A B 在()12,a a 均不在元素，分类讨论集合,A B 是否为空集，结合题意利用数学归纳法分析证明.【小问1详解】定义{}123,,,,,n C a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，由题意可知*A C =N ð，若数列的通项公式为21,4,6, 4.n n n a n n -≤⎧=⎨+>⎩，可知{}1,3,5,7,11,12,13,C =⋅⋅⋅，所以{}*2,4,6,8,9,10A C ==N ð，因为2只能写成211=+，不合题意，即2∉B ；413=+，符合题意，即4B ∈；615=+，符合题意，即6B ∈；817=+，符合题意，即8B ∈；9135=++，符合题意，即9B ∈；1037=+，符合题意，即10B ∈；所以{}4,6,8,9,10B =.【小问2详解】因为3t ≥，由题意可知：1,2,,1t A ⋅⋅⋅-∉，且t s ≤，即1,2,,1t C ⋅⋅⋅-∈，因为11t t =+-，即存在不相同的项11,1K a a t ==-，使得1K a a t +=可知t B ∈，所以t s =.【小问3详解】因为*111,2,N n n a a a n +=≥∈，令1n =，可得2122a a ≤=，则22a =，即1,2C ∈，即集合,A B 在()12,a a 内均不存在元素，此时我们认为集合,A B 在()12,a a 内的元素相同；（i ）若集合A 是空集，则B 是空集，满足A B =；（ⅱ）若集合A 不是空集，集合A 中的最小元素为t ，可知3t ≥，由（2）可知：集合B 存在的最小元素为s ，且t s =，设存在*002,n n ≥∈N ，使得0012n n a t a +≤<<，可知集合,A B 在()01,n a a 内的元素相同,可知01,2,,n a A ⋅⋅⋅∉，则01,2,,n a C ⋅⋅⋅∈，因为0012n n a a +≤，即0001n n n a a a +-≤，则00011,2,,1,n n n a a a C +⋅⋅⋅--∈，可知()0000011,2,,1n n n n n a a a a a A +++⋅⋅⋅+--∈，且()0000011,2,,1n n n n n a a a a a B +++⋅⋅⋅+--∈，即集合,A B 在()001,n n a a +内的元素相同，可知集合,A B 在()011,n a +内的元素相同，现证对任意*0,n n n ≥∈N ，集合,A B 在()1,n n a a +内的元素相同，当0n n =，可知集合,A B 在()001,n n a a +内的元素相同，成立；假设0n L n =≥，集合,A B 在()1,L L a a +内的元素相同，可知集合,A B 在()11,L a +内的元素相同；对于1n L =+，因为212L L a a ++≤，则211L L L a a a +++-≤，若211L L a a ++=+，则()12,L L A a a ++⋂=∅，可知()12,L L B a a ++⋂=∅，可以认为集合,A B 在()12,L L a a ++内的元素相同；若12112L L L a a a ++++<≤，则()111211,2,,1L L L L L a a a a a A +++++++⋅⋅⋅+--∈，若211,2,,1L L a a ++⋅⋅⋅--存在元素M 不属于集合C ，则元素M 属于集合A ，且()11,L M a +∈，可知元素M 属于集合B ，即数列中存在不相同的项12,,,m i i i a a a ，使得12m i i i a a a M +++=L ，则1211m i i i L L M a a a a a ++=+++++L ，可知1L a M B ++∈，可知()111211,2,,1L L L L L a a a a a B +++++++⋅⋅⋅+--∈，即集合,A B 在()12,L L a a ++内的元素相同；综上所述：对任意*0,n n n ≥∈N ，集合,A B 在()1,n n a a +内的元素相同，所以集合,A B 在()11,n a +内的元素相同，结合n 的任意性，可知A B =；综上所述：A B =.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把新定义问题转化为已经学过的知识，常常利用数学归纳法分析证明.。

数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（）A.0B.1- C.0或1- D.0或1【答案】C 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论213-=-m 和33m -=-两种情况，求解m 并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，3M -∈ ，213m ∴-=-或33m -=-，当213-=-m 时，1m =-，此时{}3,4M =--；当33m -=-时，0m =，此时{}3,1M =--；所以1m =-或0.故选：C2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A.25n a n =- B. 310n a n =- C.228n S n n=- D.2122n S n n =-【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3.已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.b c a<<【答案】B 【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知，()1.50.30,1a =∈， 1.5log 0.30b =<，0.31.51>，所以b a c <<.故选：B4.设()()1i 21i z -=+，则z =（）A.B.1C.D.2【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出()21i 2i 1iz +==-，求出模长.【详解】()()22221i 21i 12i i 2i 1i1i z ++===++=--，故2z =.故选：D5.下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（）A.y =B.21y x =C.lg y x= D.332x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．【详解】选项A ，y =(0,)+∞上的增函数，错误；选项B ，21y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的减函数，错误；选项C ，lg y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的增函数，正确；选项D ，332x xy --=是奇函数，是区间(0,)+∞上的增函数，错误；故选：C6.已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（）A.6- B.5- C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】由向量坐标的运算求出向量c的坐标，再根据,,a c b c = ，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数t 的值．【详解】由()3,4a = ，()1,0b = ，则()3,4c a tb t =+=+，又,,a c b c = ，则cos ,cos ,a c b c =，则a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅ ，即a b a b c c⋅⋅=，31t+=，解得5t =，故选：C.7.函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（）A.若0a b +=，则()f x 为奇函数B.若π2a b +=，则()f x 为偶函数C.若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D.若πa b -=，则()f x 为奇函数【答案】B 【解析】【分析】根据选项中,a b 的关系，代入()f x 的解析式，对AD 用特值说明()f x 不是奇函数，对BC 用奇偶性的定义验证即可.【详解】()f x 的定义域为R ，对A ：若0a b +=，()()()cos sin f x x a x a =++-，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f a a =-=不恒成立，故()f x 不是奇函数；对B ：若π2a b +=，()()()()πcos sin cos cos 2f x x a x a x a x a ⎛⎫=+++-=++- ⎪⎝⎭，()()()()()cos cos cos cos ()f x x a x a x a x a f x -=-++--=-++=，故()f x 为偶函数，B 正确；对C ：若π2b a -=，()()()πcos sin 2cos 2f x x a x a x a ⎛⎫=++++=+ ⎪⎝⎭，()()2cos ()f x x a f x -=-+≠，故()f x 不是偶函数，故C 错误；对D ：若πa b -=，()()()()()cos πsin cos sin f x x b x b x b x b =++++=-+++，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f b b =-+=不恒成立，故()f x 不是奇函数；故选：B8.已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),1∞-- B.(],1-∞- C.(),2-∞- D.(],2-∞-【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数的定义证明()f x 为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得m 的取值范围.【详解】当0x <时，0x ->，()f x =()()f x f x -==-，当0x >时，0x -<，()f x =()()f x f x -==-，当0x =时，()00f =，所以对任意的R x ∈，()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，又当0x >时，()f x =为单调递减函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递减函数，所以不等式()()20f x m f x ++>可化为()()2f x m f x +>-，所以2x m x +<-，所以x m <-，由已知对任意的1x ≤有x m <-恒成立，所以1m <-，即1m <-，故m 的取值范围是(),1∞--.故选：A.9.已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b -的最小值是A.1B.1+ C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】先确定向量a、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离23211.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（）A.(1,)-+∞ B.(1,0]- C.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即得1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩方程20x x k --=的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即可得到1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩，20x x k --=的两个不同非负实根，所以1400k k ∆=+>⎧⎪=-≥，解得104k -<≤．故选：D ．【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由三角函数定义得到1cos 2α=，再由诱导公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1cos 2α=，由诱导公式得1cos 2πsin 2αα⎛⎫= ⎪⎭=+⎝.故答案为：1212.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．【答案】63-【解析】【分析】首先根据题中所给的21nn S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.【详解】根据21nn S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.13.若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______【答案】1a <【解析】【分析】写出全称量词命题的否定，2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，分0a =，0a <和0a >三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，当0a =时，不等式为20x <，有解，满足要求，当0a ≠时，若0a <，此时220ax x a ++<必有解，满足要求，若0a >，则2440a ∆=->，解得01a <<，综上，a 的取值范围为1a <.故答案为：1a <14.若函数()()cos sin 0f x A x x A =->的最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______【答案】①.②.π,03⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据辅助角公式对函数()f x 进行化简，再根据最大值求出A ，最后利用余弦型函数求出对称中心.【详解】由()cos sin f x A x x x ϕ=-=+（），其中1tan Aϕ=，又函数()f x 的最大值为2，则2=，又0A >，则A =，3tan 3ϕ=，不妨取π6ϕ=，故()π2cos 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()f x 的对称中心满足πππ62x k +=+，k ∈Z ，解得ππ3x k =+，k ∈Z ，即()f x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z ，则()f x 的一个对称中心可为：π,03⎛⎫⎪⎝⎭，π,03⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）15.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（∈0,+∞）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】①.①②④②.0a ＞或 a e ≤-．【解析】【分析】（1）令12x x -=，由0∆=，可判断；由sin x =1x 有解，可判断是否具有性质P ；令1+x x =1x，此方程无解，由此可判断；由()1ln 1,x xy y =+=两图象在()1，-+∞有交点可判断；（2）问题转化为方程 1ln x x a=有根，令()ln g x x x =，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数a 的取值范围．【详解】解：（1）在 0x ≠时，()1f x x=有解，即函数具有性质P ，令12x x-=，即2210x -+-=，∵880∆=-=，故方程有一个非0实根，故()2f x x =-+具有性质P ；()()sin ]02[f x x x π=∈，的图象与1y x=有交点，故sin x =1x 有解，故()()sin ]02[f x x x π=∈，具有性质P ；令1+x x =1x ，此方程无解，故()1f x x x=+，（∈0,+∞）不具有性质P ；令()1ln 1x x +=，则由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点，所以()1ln 1x x+=有根，所以()()ln 1f x x =+具有性质P ；综上所述，具有性质P 的函数有：①②④；（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程 1ln x x a=有根，令()ln g x x x =，则()'ln +1g x x =，令()'ln +10g x x ==，解得1=x e，当11x e -<<时，()'0g x <，所以()g x 在11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，当1>x e 时，()'>0g x ，所以()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()1111ln g x g e e e e⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，所以()ln g x x x =的值域[1e-，+∞），∴11a e ≥-，解之可得：0a ＞或 a e ≤-．故答案为：①②④；0a ＞或 a e ≤-．【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC V 中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．【答案】（1）选②或③，4B π=；（2）ABC V 的面积为1.【解析】【分析】（1）选①，利用三边关系可判断ABC V 不存在；选②：利用余弦定理可求得角B 的值；选③：利用正弦定理可求得tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理可求得c 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积．【小问1详解】解：因为sin A B =，b =，则2a ==.选①：因为4c =，则a b c +<，则ABC V 不存在；选②：因为222b a c -=，则222a c b +-=，由余弦定理可得2222cos 22a cb B ac +-==，()0,B π∈ ，则4B π=；选③：cos sin a B b A = ，则sin cos sin sin A B A B =，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，sin cos 0B B =>，故tan 1B =，从而4B π=.【小问2详解】解：因为4B π=，2a =，b =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即220c -+=，解得c =，因此，112sin 21222ABC S ac B ==⨯⨯=△.17.已知n S 是等差数列的前n 项和，51120S a ==，数列是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列和的通项公式；（2）设nn nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.【答案】（1）22n a n =-，2nn b =（2）3或4【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项及前n 项和公式求出首项与公差，即可求出数列的通项公式，再求出数列的首项与公比，即可得的通项公式；（2）先求出{}n c 的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【小问1详解】设等差数列的公差为d ，则511115452021020S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得10,2a d ==，所以22n a n =-，设等比数列的公比为()1q q >，则()2251131112b q b q b q b q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以2n n b =；【小问2详解】由（1）得()()2212n n nS n n -==-，则()12n n nn n n S c b -==，()()2111113222n n n n n n n n n n n c c ++++---=-=，当1,2n =时，11230,n n c c c c c +-><<，当3n =时，1340,n n c c c c +-==，当4n ≥时，1450,n n n c c c c c +->> ，所以当3n =或4时，n c 取得最大值.18.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π3313()6cos sin 6cos sin cos 62222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()231cos 231π3sin cos 3cos 2332cos 23sin 22222226x f x x x x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-+=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î，则ππππ,Z 63k x k k -+＃+，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a ≤≤，得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3．19.1.已知函数()21ex ax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.【答案】（1）当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出导数，然后通过对a 分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在()0,1上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明【小问1详解】()()()()221212e e x x ax a x ax x f x -+-+-+-'==，当0a =时，()()2e x x f x --'=，由()0f x '>得：2x <，由()0f x '<，得：2x >，故此时()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-当0a >时，令()()()120g x ax x =-+-=得：=−1<0或2x =由()0g x >得：12x a -<<，此时()0f x '>由()0g x <得：1x a <-或2x >，此时()0f x '<故此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上：当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知，当0a >时，()f x 的单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()1,20,1a ⎛-⊂⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,1上单调递增，又()010f =-<，()10ea f =>所以()()010f f ⋅<，由零点存在性定理可得：：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点20.已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由.【答案】（1）y x=-（2）()max sin12ef x =-（3）2-，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在0x =处的导数，即切线斜率，求出(0)f ，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[1,1]-上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为sin e x x a x <-在R x ∈上恒成立.构造函数()sin e xx x x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】因为()e sin 2x f x x x =-，所以()()e sin cos 2x f x x x =+-'，则(0)1f '=-，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.【小问2详解】令()()()esin cos 2x g x f x x x +'==-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，()()1e sin1cos120g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121ef -=->，所以()()max sin112e f x f =-=-.【小问3详解】满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e xf x x a +>恒成立等价于sin e x x a x <-恒成立.令()sin e x x x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx -≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，()1ex x h x '-=，()h x '与()h x 的情况如下：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0+()h x 1e -所以()()min 11eh x h ==-，当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以()ϕx 的最小值小于1-且大于2-.所以a 的最大整数值为2-.21.已知数列记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N（1）对于数列：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{}3,5,6T =；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【解析】【分析】（1）根据题目给出的集合T 的定义求解即可；（2）假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意可得123a a +=，1236a a a ++=，235a a +=，所以{}3,5,6T =.【小问2详解】假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =成立.【小问3详解】由题意得()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故{}**2,2,k T n n n k =∈≠∈N N ，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2020910012m ∴=-=，故m 的最大值为1001．【点睛】关键点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。