2.2平面向量的线性运算( 第一课时)

2.2 平面向量的线性运算2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．课堂训练 一．选择题1．下列命题正确的是（ ） Ａ．若∥a b ，则a 与b 同向Ｂ．若∥a b ，则a 与b 同向或反向 Ｃ．若a =0，则a 与0共线Ｄ．若a 不为0，则a 与0不共线且3AC CB =-，设2．如图1所示，向量 ，，OAOBOC 的终点A B C ，，在一条直线上，=OA p ，= OB q ，= OC r ，则以下等式中成立的是（ ）Ａ．1322r p q =-+Ｂ．2r p q =-+baCBAa b C C -=A -AB =BＣ．3122r p q =- Ｄ．2r q p =-+3．如图2所示，在菱形ABCD 中，120DAB ∠= ，则以下说法错误的是（ ） Ａ．与AB 相等的向量只有一个（不含AB本身） Ｂ．与AB 的模相等的向量只有4个（不含AB本身） Ｃ．BD 的长度恰为DAＤ．CB 与DA不共线4．将1[2(28)4(42)]12+--a b a b 化简成最简式为（ ） Ａ．2a b - Ｂ．b a - Ｃ．a b - Ｄ．2b a -5．已知G 是ABC △的重心，如图1所示，则GA GB GC +-=（ ） Ａ．0 Ｂ．4GEＣ．4GDＤ．4GF6．若9AB = ，6AC = ，则BC的取值范围为（ ）Ａ．[315]，Ｂ．[39]， Ｃ．(315)，Ｄ．[69]，二．填空题7．已知非零向量1e 和2e 不共线，欲使t 12+e e 和1+e t 2e 共线， 则实数t 的值为 ．8．平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点．设AB = a ，AD = b ，则=MN （用a ，b 表示）．9．已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC AB ∠==，a ，AC = c ，BC =b ，则a bc ++= ．10．已知OA = a ，OB = b ，若12OA = ，5OB =，且90AOB ∠= ，则-=a b ． 11．在菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，1AB = ，则BC DC +=．12．在静水中划船速度是10米／分钟，水流速度10米／分钟，如果船从岸边径直沿垂直于水流方向行走，那么船实际行进速度应是 ．实际行进方向与水流方向的夹角为 ． 三．解答题13．两个非零向量12，e e 不共线．（1）若= AB 12e e +，BC = 1228e e +，CD =123()-e e ，求证：，，A B D 三点共线； （2）求实数k ，使k 12e e +与12+e k 2e 共线．14．一艘军舰从基地A 出发向东航行了200海里到达基地B ，然后又改变航向向东偏北60 航行了400海里到达C 岛，最后又改变航行，向西航行了200海里到达D 岛．（1）试作出向量AB BC CD，，；（2）求AD ．15．如图4，在ABC △中，在AC 上取点N ，使得13AN AC =，在AB 上取点M ，使得13AM AB =，在BN 的延长线上取点P ，使得12NP BN =，在CM 的延长线上取点Q ，使得12MQ CM =，用向量的方法证明P A Q ，，三点共线．16．一架飞机向北飞行300 km ，然后改变方向向西飞行400 km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成．17．已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，用向量a ，b 分别表示向量OC ，OD，DC ，BC ．18．飞机从甲地以北偏西15˚的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75˚的方向飞行1400km 到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？第19题．如图，13AM AB = ，13AN AC =．求证：13MN BC = ．同步提升一.选择题(每题5分)1.设b →是a →的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →的长度必相等 B .a bC .a →与b →一定不相等 D .a →是b →的相反向量2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →、b →、c →,则向量OD 等于( ) A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c + - D .a b c-- 3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC 0+= 4.+++等于( ) A . B . C .AC D .CA5.化简SP PS QP OP ++-的结果等于( )A 、B 、C 、D 、A AB OC = B AB ∥DEC AD BE =D AD FC =7.下列等式中,正确的个数是( )①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=- ④(a )a --= ⑤a (a )0+-=A .5B .4C .3D .28.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=|,那么△ABC 一定是( ).A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .钝角三角形9.在ABC ∆中,BC a =,CA b =,则AB 等于( )A .a b +B .(a b )-+C .a b -D .b a -10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+ ,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线. ()1A λμ+= ()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=二.填空题(每题5分)11.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA = ______,MB = ______,MC = ______,MD =______.12.已知向量a 和b 不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______13.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则AC = ______,DB = ______.14.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2=,且AD BC = 则四边形ABCD 的形状是______.三.解答题15.化简下列各式:(1)=++++______;(2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.（3）=-++-)()(______.16.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.(1)作出向量AB ,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DA17.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与、共线的向量; (2)与相等的向量.CDABNM18.在直角坐标系中,画出下列向量: (1)a 2= ,a的方向与x 轴正方向的夹角为 60,与y 轴正方向的夹角为 30;(2)a 4=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 30,与y 轴正方向的夹角为 120;(3)a=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 135,与y 轴正方向的夹角为 135.19.在ABC ∆所在平面上有一点P ,使得=++,试判断P 点的位置.20.如图所示,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 边中点,点N 在BD 上且BD BN 31=,求证:M 、N 、C 三点共线.2.2 平面向量的线性运算 课堂训练参考答案一．选择题 1~5 CADDD 6 A 二．填空题7．1± 8．1()2-a b 9．2 10．13 11．45三．解答题 第13题．（1）证明：=++= AD AB BC CD 1266+=e e 6AB， A B D ∴，，三点共线；（2）解： k 12+e e 与12e +k 2e 共线， ∴k 12+=e e λ（12e ＋k 2e ），(2)λ∴-k 1e ＋(1)k λ-2e =0，201k k k λλ-=⎧∴⇒=⎨-⎩，，第14题．解：（1）向量ABBC CD ，，如右图所示．（2）根据题意，易知AB 和CD 方向相反，故AB 与CD共线．又AB CD = ，∴在四边形ABCD 中，AB CD∥，四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴= ，400AD BC ∴==海里．第15题．证明：111()()222AP NP NA BN CN BN NC BC =-=-=+=，111()()222QA MA MQ BM CM BM MC BC =-=-=+= ，AP QA ∴= ，P A Q ∴，，三点共线．第16题．飞机飞行的路程是700 km ；两次位移的合成是向北偏西约53˚方向飞行500 km ．第17题．OC a =- ，OD b =- ，DC b a =- ，BC a b =--．第18题．丙地在甲地的北偏东45˚方向，距甲地1400km ．第19题．证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC = ，13AM AB = ，所以1133MN AC AB =- ()1133AC AB BC =-= ．同步提升参考答案 一.选择题(每题5分)1.C2. B3.C4.B5. B6.D7.C8.A9.B 10.D 二.填空题(每题5分)11.111(a b ),(a b ),(a b )222-+-+ ,1(b a )2-12.1 13.a b + ,a b- 14.等腰梯形三.解答题(每题10分)15.(1)0(2)AC （3）016.【解答】(1)如图,(2)∵-=,故四边形ABCD 为平行四边形, )m (15==DA BC17.【解答】与EF 共线的向量有AB 、; 与CO 共线的向量有CE ,CA ,OE ,OA ,; 与EA 相等的向量是18.【解答】19.【解答】 PA PB PC AB ++=()PA PA AB PC AB ∴+++=,故-=2A ∴、P 、C 三点共线,且P 是线段AC 的三分点中靠近A 的那一个20.【解答】提示:可以证明MC 3MN =CDABNM。

课题：平面向量的线性运算（一）一、教学目标：（1）掌握向量加、减法的运算法则，并理解其几何意义；（2）会用平行四边形法则和三角形法则作两个向量的和向量、差向量，培养数形结合的能力；（3）通过将向量运算与实数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

二、教学重点、难点：（1）重点：向量加法的运算（三角形法则、平行四边形法则）、向量的减法运算及其几何意义。

（2）难点：对向量加法法则和减法的定义的理解，特别是向量减法的定义的理解。

三、教学方法：问题式教学、小组合作、自主探究． 四、教学过程： （一）课题引入以前由于大陆和台湾没有直航，因此从上海到台北乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移的结果是什么呢？（二）新知探究阅读教材第80页并思考力F 对橡皮条产生的效果与力F 1 和 F 2共同作用产生的效果相同吗？合力F 与F 1 ,F 2 有怎样的关系呢？改变力F 1 和 F 2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F 与F 1 ,F 2之间的关系吗？ 1. 向量的加法：【问题1】向量加法的运算法则：【问题2】三角形法则和平行四边形法则的几何意义:台北上海香港【问题3】用三角形法则和平行四边形法则作图求和向量时应注意什么？【问题4】类比实数的加法交换律和结合律，思考对于任意向量 a ，b 的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探究？【问题5】若a 与b共线，如何作出 + a b ？2. 向量的减法：【问题1】相反向量的定义：【问题2】向量减法的定义及运算法则：【问题3】 向量减法的几何意义：【问题4】若a 与b共线，如何作出 - a b ？【问题5】 ||a 、 ||b 、 +||a b 、 -||a b 之间有何联系？【问题6】向量减法的三角形法则与向量加法的三角形法则有何异同？（三）典型例题O Aaaab b b例1．已知向量、，求作向量+. ba解:1.三角形法则（首尾相接，首指向尾为和）如图，在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=。

2.2 平面向量的线性运算第1课时向量加法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C 点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同．②力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．2．归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝_.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a．平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线_就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[问题思考](1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．(3)式子＝0正确吗？[课前反思](1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律：．[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则．[思考2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示， (平行四边形法则)，(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.(2)如图ⓑ，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝a＋b.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．练一练1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．作＝a＋b＋c.[思考] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．讲一讲2．化简下列各式：解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB 的中点，化简下列三式：讲一讲3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[尝试解答] 如图所示，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有＝800＋800＝1 600 (km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 3 km处．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3．求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1 求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作题组2 向量加法运算4．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝aA．2 5 B．45C．12 D．66．根据图示填空．解析：由三角形法则知7．已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝c ，＝b ，则|a ＋b ＋c |为________．解析：|a ＋b ＋c |＝＝＝2 2.答案：22 8．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算： 解：(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以题组3 向量加法的应用 9．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析：如图所示，设＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则||＝8 2 km ，∠BAC ＝45°.答案：8 2 km 北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB ，就是雨滴下落的实际速度． 在Rt △OAC 中，||＝4，||＝433，∴∠AOC ＝30°. 故雨滴着地时的速度大小是833m/s ，方向与垂直方向成30°角向东.[能力提升综合练]1．设a ＝，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤解析：选C a ＝＝0，∴①③⑤是正确的．2．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，3．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则＝( )4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P P 在△ABC 的外部解析：选D ，根据平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外．答案：6．若P 为△ABC 的外心，且，则∠ACB ＝________． 解析：∵，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心，因此∠ACB ＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且||＝＝0，cos ∠DAB ＝12.求 又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， ∴∠ DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．8．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt△ACD中，＝|v水|＝10 m/min，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．第2课时向量减法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a＋(－a)＝0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b 吗？提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．2．归纳总结，核心必记(1)相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．①规定：零向量的相反向量仍是零向量；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．(2)向量的减法①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则_＝a －b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[问题思考](1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？提示：①长度相等；②方向相反．(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．[课前反思](1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：．讲一讲(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．练一练1．化简下列各式：[思考1] 已知两个非零向量a，b，如何作a－b?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．[思考2] a－b的几何意义是什么？名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．讲一讲2．(1)四边形ABCD中，若( )A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[尝试解答] (1)＝a＋c－b.(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.答案：(1)A求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．练一练2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.如图所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.讲一讲3．如图，解答下列各题：利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．练一练—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲1；(2)向量减法及其几何意义，见讲2；(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．课下能力提升(十五)[学业水平达标练]题组1 向量的减法运算1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )A．①② B．①③C．①③④ D．②③题组2 向量减法及其几何意义4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )解析：选B 由减法法则知B正确．A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝( )7．已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模．题组3 利用已知向量表示未知向量8．如图，向量，则向量可以表示为( ) A．a＋b－c B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c解析：选C ＝b－a＋c.故选C.9．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝a－b＋c.10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．解析：＝b－c.答案：b－c11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量[能力提升综合练]1．有下列不等式或等式：①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，一定不成立的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b ＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A．8 B．4 C．2 D．14．平面上有三点A，B，C，设若m，n 的长度恰好相等，则有( )A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C 由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．答案：6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|＝2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i＝1，2，3，则b1－b2＋b3＝________．解析：将a i顺时针旋转30°后得a i′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵b i与a i′同向，且|b i|＝2|a i|，∴b1－b2＋b3＝0.答案：07．设O是△ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．证明如下：∵，∴，∴，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．第3课时向量数乘运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 87～P 90的内容，回答下列问题．(1)已知非零向量a ，根据向量的加法，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你认为它们与a 有什么关系？提示：a ＋a ＋a ＝3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相同；(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相反．(2)λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向、长度之间有什么关系？ 提示：当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反，且λa 的长度是a 长度的|λ|倍．(3)若a ＝λb ，则a 与b 共线吗？提示：共线．2．归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反Ｗ. 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0．(2)向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．(3)共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．[问题思考](1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．[课前反思](1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：．[思考] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．讲一讲1．化简下列各式：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[尝试解答] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．练一练1．设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j . 讲一讲2.已知在▱ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若，试用e 1，e 2表示[尝试解答] ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴MN 綊12BD . 用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．练一练2.如图所示，四边形OADB 是以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示 [思考1] 如何证明向量a 与b 共线？名师指津：要证向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可．[思考2] 如何证明A ，B ，C 三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3．(1)已知e 1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x＋y的值．∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．练一练3．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N 三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴M，A，N三点共线．—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作▱ABCD，且则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1 向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．题组2 用已知向量表示未知向量A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p＝－12p ＋32q .4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且则t 的值为( )A.13B.23C.12D.535．如图所示，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则＝________．(用a ，b 表示)＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a ) 6．如图所示，已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别为K 、L，且＝e 1，＝e 2，试用e 1，e 2表示⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2. ②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2， 解得x ＝23(2e 2－e 1)，即＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1， 同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)， 即＝－43e 1＋23e 2.题组3 共线向量定理的应用7．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2； ④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－12b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．8．已知向量a ，b ，且＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：选A＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2，所以A ，B ，D 三点共线．9．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________．解析：由题设知k 22＝1－52k 3， 所以3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13. 答案：－2或1310．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，＝a ，＝b .(1)用a ，b 分别表示向量(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[能力提升综合练]2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a ，b 共线的是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④已知梯形ABCD ，其中A ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：选A 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；λa －μb ＝0，λa ＝μb ，故②可以；x ＝y ＝0，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析：选B 如图，在△ABC 中，以BM ，CM 为邻边作平行四边形MBDC ，依据平行四边形法则可得两向量有公共点M ，则A ，M ，D 三点共线，设BC ∩MD ＝E ，结合MD 是平行四边形MBDC 的对角线可知，AE 是△ABC 的中线，同理可证BM ，CM 也在△ABC 的中线上，即M 是△ABC 的重心．以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABFC ，依据向量加法的平行四边形法则可得4．如图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．③④到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，34＋13＞34＋14＝1，12＋13＝56＜1，34＋15＝1920＜1，故选A. 答案：236．已知两个不共线向量e 1，e 2，且＝e 1＋λe 2，＝3e 1＋4e 2，＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．又＝e 1＋λe 2，且A ，B ，D 三点共线，所以存在实数μ，即e 1＋λe 2＝μ(5e 1－3e 2)，又e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧5μ＝1，－3μ＝λ，则λ＝－35. 答案：－357．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设＝a ，＝b ，试用a ，b 分别表示解：∵ABCD 是平行四边形，BF ＝MC ＝14BC ， ∴FM ＝BC －BF －MC ＝12BC . ∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH . ∴FM 綊AH .∴四边形AHMF 也是平行四边形．8．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点， (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．。

平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。

2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。

教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。

2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。

3. 运用线性运算解决平面向量的问题。

教学难点：1. 点乘的概念和应用。

2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。

2. 学生准备：纸笔、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。

2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。

二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。

2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。

四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。

2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。

五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。

2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。

六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。

2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。

教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。

ABabbaa a O =−→−OBA B O B a abb=−→−OB a +b ABAa +b向量的线性运算（一）1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a →--→--OB =→--OA +→--AB a +b2.向量的加法法则（1）共线向量的加法：同向向量反向向量（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。

三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：→--AB −→−+BC=→--AC ．平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→−AC 叫做a与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→−AC【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律：a +b =b +a（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→−CD c 则(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．例题：例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水aaab bba +ba +b ABC ABCD三角形法则平行四边形法则的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。

Ca +b b A a B 第一课时 2.2. 1 向量的加（减）法运算及其几何意义教学要求：掌握向量的加法与减法的意义与几何运算，会运用三角形法则、平行四边形法则进行向量的加（减）法运算教学重点：运用三角形法则、平行四边形法则运算 教学难点：向量加法、减法的几何意义 教学过程：一、复习准备：1. 如何定义相等向量和共线向量？ 2．如图：O 是正方形ABCD 的中心，①向量与相等吗？ ② 向量AO 与AC 是平行向量吗？ ③ 求AD ：AC 的值.3．回顾思考：力是向量，如何求、这两个力的合力呢？用什么方法？ 二、讲授新课：1. 教学向量的加（减）法运算：① 向量的加（减）法：求两向量和（差）的运算叫向量的加（减）法运算 ② 三角形法则：向量AB 与BC 相加时，AB 的终点B 作为BC 的起点，这时起点A 到终点C的向量AC 就是这两个向量的和向量，即AB BC AC +=. 这种求向量和的方法叫三角形法则. （AB AC CB -=） （注意：两个向量要“首尾”相接） ③平行四边形法则：由同一点A 为起点的两个已知向量b a,为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的向量就是向量b a,的和. 这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则，如右图：④讨论：三角形法则、平行四边形法则是否对所有向量b a,求和都适用？ （注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. ）⑤定义相反向量：与向量a 的长度相等、方向相反的向量叫做向量a 的相反向量，记作：a -规定零向量的相反向量仍是零向量. 注：向量a b -可以看成是()a b +- 2． 教学例题：① 课本90P 例1、95P 例3，96P 例4.（师生共同完成，注意两种法则的区别，然后变式——加变减、减变加） ② 练习：课本93页第1、2题.③ 讨论：a b -与a b +、a b +与a b +有何关系.④ 用三角形法则、平行四边形法则探讨向量的加减运算是否满足交换律、结合律. ⑤ 90P 例2. （向量的实际应用，师生共同完成；变式：若船行走的路线是垂直于河岸，求速度） 三、巩固练习： 1．如右图，画出a b -.2.如图，D 、E 、F 分别为三边的中点，试画出AB -BC 、BC AB +、DE DF + 3.作业：93页第1、2题.第2题ABEFA B第二课时 2.2. 3 向量数乘运算及其几何意义教学要求：理解向量的数乘运算及其几何意义，会进行向量的数乘运算. 教学重点：向量的数乘运算教学难点：向量的数乘运算的几何意义 教学过程：一、复习准备： 1. a b -与a b +、a b +与a b +有何关系？什么时候等号成立？ 2．如图：O 是正方形ABCD 的中心，求下列各式的值①+ ② AB - 3．a 为非零向量，试求a a a a ----和a a a a a ++++的值. 二、讲授新课：1. 教学向量的数乘运算：① 向量的数乘：求实数λ与向量a 的乘积的运算叫向量的数乘，记作：a λ 规定：(Ⅰ) a λ仍然是个向量 (Ⅱ)、a a λλ=(Ⅲ) 当0λ>时向量a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，向量a λ与a 的方向相反， 当0λ=时，0a λ=② 练习：a 为单位向量，试求3()a 、2a 、6a 、2(3())a 的值：变式：a 为非零向量. ③ 讨论验证下列等式：λ、μ为实数，a 、b 为向量.⑴ ()()a a λμλμ= ⑵ ()a a a λμλμ+=+ ⑶ ()a b a b λλλ+=+ （数乘运算满足交换律、结合律、分配律） 2、教学例题：① 例5：计算：⑴(3)4a -⨯ ⑵ 3()2()a b a b a +--- ⑶(23)2(32)a b c a b c +---+ （去括号，实数与实数运算后再与向量运算） ② 定理：向量a 与b 共线（0b ≠），当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=. ③ 出示例题6：（分析：三点可分共线与不共线两种情形，可以通过判断以这三点为端点的向 量是否共线来判断点是否共线）④ ⑤ 出示例题7. （先找出与a 、b ⑥ 练习：如图，试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．小结：向量的数乘运算;两向量(0)a a ≠与b 共线满足a b λ= 三、巩固练习1． 计算：（1）322(2)6(3)43a b c a b c +---+ （2）12()2()23a b a b a +--- 2． 已知向量，求作向量c ，使0a b c ++=,表示的有向线段能构成三角形吗？3．求证：M 是线段AB 的中点，对于任意一点O ，都有1()2om OA OB =+4．在三角形ABC 中，15AE AB =，EF ∥BC 交AC 于F 点，试用AB 、AC 表示BF .5．作业：课本第100页第4、5题.第三课时 2.2. 3 向量的相关概念及向量线性运算（练习）教学要求：掌握向量的相关概念，能熟练进行向量的线性运算. 教学重点：向量的线性运算，掌握向量运算的几何作图. 教学难点：向量的线性运算. 教学过程：一、相关概念：1. 回顾向量、零向量、单位向量、平行向量、、共线向量、相反向量相等向量是如何定义的. （是否是零向量、单位向量只需判断长度，要判断是否为相等向量、共线向量、相反向量则还要看方向）2．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.3．要判断两向量是否共线，只需证明a b λ=(0)a ≠. 4．回答下列问题：① 平行向量是否一定方向相同？ ② 不相等的向量一定不平行吗？③ 与零向量相等的向量必定是什么向量？ ④ 与任何向量都平行的向量是什么向量？⑤ 若两个向量在同一直线上，则这个向量一定是什么向量？⑥ 两个非零向量相等的充要条件是什么？⑦ 共线向量一定在同一条直线上吗？（向量是仅由其大小与方向确定，特别要注重方向）⑧ 指出右图出的平行向量、相等向量、共线向量、相反向量.5．求两向量的和、差我们一般用三角形法则和平行四边形法则.（注意，运用三角形法则时要注意两向量首尾相接，共线的两向量不适用） 二、教学例题：例1． 已知单位向量d c b a,,,（方向分别为：东、南、西、北）求作向量b a -、d c -. 变式：减变成加. （减法运算是加法运算的逆运算）例2． 计算：（1）322(2)6(3)43a b c a b c +---+ （2）12()2()23a b a b a +--- （向量的数乘运算满足交换律、结合律、分配律） 三、巩固练习：1．平行四边形ABCD 中，b a==,，试用a 、b 表示向量, 2．证明：b a b a b a +≤±≤-并说明什么时候取等号？（提示：用三角形法则画图证明）3．四边形ABCD 的两条对角线相交于点M （1）若12,AB e AD e ==，12.e e MA MB MD 用表示、、（2）若==.用a、b 表示、4. 如图，知三角形ABC 的两边AB 、AC 的中点分别为M 、N ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP=BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使MQ=CM. 试证明：P 、A 、Q 共线.。

中等专业学校2023-2024-1教案AC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做，记作a ＋b ，即 AB ＋BC =AC 求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做Aaab中等专业学校2023-2024-1教案AD=BC，AB＋AD=AB＋BC=ACD CAC所表示的向AB与AD的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，AB表示船速，AC为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际行速度，22=+=22AD AB AC+125中等专业学校2023-2024-1教案+++=AB BC CD DE AE：判断下列各等式是否正确：AB BC CD DA ++=二．向量的减法：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做-(-a)=a ， ,a b ，如果a 是b 与另一个向量x 相加 ，即b x a +=；那么怎样求出x ?由作图得出：图b BC a +=；即：a b BC -=；图3：()a b AC +-=；即：a b AC -=. 向量的减法：在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. CBAbaa-b图1图2,,AB AD AC 表,BD DC,,a b c ；求作：a b c -+ a b c --提示：可以用减去一个向量等于加上这个向量 的相反向量来考虑作图D B A中等专业学校2023-2024-1教案。

第1课时 平面向量的概念及其线性运算吴兴昌编 文数组审1.考纲点击（1）了解向量的实际背景;（2）理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义; （3）理解向量的几何表示;（4）掌握向量加法.减法的运算,并理解其几何意义;（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义; （6）了解向量线性运算的性质及其几何意义. 2.热点提示（1）重点考查平面向量的有关概念.线性运算及其几何表示;（2）多以选择.填空的形式呈现,有时和其他知识相结合,在知识的交汇点处命题. 【考纲知识梳理】1.向量的有关概念及表示方法 （1）向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 零向量 记作0单位向量平行向量 0与任一向量平行或共线共线向量 相等向量相反向量0 的相反向量为0（2）向量的表示方法①字母表示法,如：,a AB等;②几何表示法：用一条有向线段表示向量.2.向量的线性运算 向量运算定义法则（或几何意义） 运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律： a b b a +=+ .（2）结合律：()()a b c a b c ++=++减法求a 与b的相反向量b -的和的运算叫做a 与b的差数乘求实数λ与向量a的积的运算注：式子2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+的几何意义为：平行四边形两条对角线的平方和等于它们四条边的平方和.3.向量(0)a a ≠与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ,使.b a λ= 注：用向量法证明三点 A..B.C 共线时,首先求出AB AC 、,然后证明AB AC λ=,即AB AC与共线即可.【热点难点精析】 (一）向量的有关概念 【例1】给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________．变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |＝|b |，则a >b；(2)若|a |＝|b |，则a 与b的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b的方向相同或相反；(6)若向量AB与向量CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等． （二）向量的线性运算【例2】 如图，以向量O A ＝a ，OB ＝b 为边作▱OADB ，BM ＝13BC ，C N ＝13CD，用a 、b 表示A N 、O N 、MN.变式训练2 △ABC 中，AD ＝23AB，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE于N .设AB ＝a ，A C ＝b ，用a 、b 表示向量AE 、BC 、D E 、D N 、AM、A N .（三）向量的共线问题【例3】设1e ，2e 是两个不共线向量，已知AB＝21e －82e ，C B ＝1e ＋32e ，CD ＝21e －2e. (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF＝31e －k 2e ，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．变式训练3 设两个非零向量a 与b不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b共线．。

平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，可以进行各种线性运算，包括加法、减法、数乘、内积和外积。

本文将详细介绍平面向量的线性运算。

一、平面向量的定义平面向量是平面上具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示，例如，向量AB用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。

平面向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

二、平面向量的加法设有平面向量→AB和→CD，它们的和向量为→AD=→AB+→CD。

向量的加法满足交换律，即→AB+→CD=→CD+→AB。

加法运算的几何解释是将向量→CD以→AB为起点进行平移，得到以A为起点，D为终点的向量→AD。

三、平面向量的减法设有平面向量→AB和→CD，它们的差向量为→AC=→AB-→CD。

向量的减法满足非交换律，即→AB-→CD≠→CD-→AB。

减法运算的几何解释是将向量→CD以→AB的起点为终点进行平移，得到以A为起点，C为终点的向量→AC。

四、平面向量的数乘对于平面向量→AB，实数k，k×→AB为平面向量的数乘。

数乘的结果是一个新的平面向量，它的长度为原向量的长度乘以数乘系数k，方向与原向量相同（当k>0时），或相反（当k<0时）。

五、平面向量的内积两个向量→AB和→CD的内积记作→AB·→CD，它等于向量→AB在→CD上的投影长度与→CD的模长之积，即|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD的夹角。

内积运算满足交换律，即→AB·→CD=→CD·→AB；和分配律，即(→AB+→CD)·→EF=→AB·→EF+→CD·→EF。

内积运算可以用来判断两个向量是否垂直，当且仅当向量的内积为0时，它们垂直。

六、平面向量的外积两个向量→AB和→CD的外积记作→AB×→CD，它是一个新的向量，它的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于所构成平行四边形的平面，并按右手法则确定。

课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、双基练习：1.教材习题改编 下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 四、[典例]考点一 平面向量的有关概念 例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二 平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。