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2020高中数学精讲精练 第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ⋂=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8或2___．【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=，{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，求集合B .分析：先化简集合A ，由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1）{12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=，R A C A R ⋃=， 可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.{0,2}【反馈演练】1．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ⋂=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+.（1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围；（3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，P Q P ⋃=，Q P ∴⊆.①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<．综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或． 综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞． （3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．第2课 命题及逻辑联结词【考点导读】1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->．其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则p ，否命题可表示为 p q ⌝⌝若则，逆否命题可表示为q p ⌝⌝若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．【范例解析】例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1） 平行四边形的对边相等；（2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+.分析：先将原命题改为“若p 则q ”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题；逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题；否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题；逆否命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p 和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p⌝时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假. （1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（3）p：方程210-+=的两实根的绝对值相等.x xx x-+=的两实根的符号相同，q：方程210分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程210-+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；x xp且q：方程210-+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；x x非p：方程210-+=的两实根的符号不同，真命题.x x点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()∃∈⌝”，特称命题“,()x M p x∃∈”的x M p xx M p x∀∈”的否定是“,()否定是“,()∀∈⌝” .x M p x解：⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（1）p⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（2）p⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（3）p（4）p ⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________.2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =；（2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >．解：（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题；否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题；（2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题；否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．若b M ∈，则a M ∉ 若a b ≤，则221a b ≤-第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件；若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件；若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件．若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件．（2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件．（3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的___必要不充分__条件．3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >．【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件；（2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件；（4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析：从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，反之不成立，若12x =，10y =，有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立，所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件.（2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2παβ==时，tan ,tan αβ均不存在；当tan tan αβ=时，取4πα=，54πβ=，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.【反馈演练】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件．2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件．3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则A B ⊆．若A =∅，则240a -<，即22a -<<；若A ≠∅，则240,a x ⎧-≥≤≤解得522a -≤≤-． 综上所述，522a -≤<．充分不必要。
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数 11 第 6 讲 §1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像与性质¤学习目标：①理解并掌握五点作图法；②理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇 偶性的意义； ③会求简单函数的定义域、 值域、 最小正周期和单调区间； ④掌握正弦函数 ( ) sin y A x w j =+ 的周期及求法¤知识要点：① 周期函数的定义:对 x M "Î ，都有 ( ) ( ) f x T f x += ，用公式计算 2 T p w =； ②正弦函数的对称轴方程为 , 2 x k k Z p p =+Î ，余弦函数的对称轴方程为 , x k k Z p =Î .¤例题精讲： 【例 1】作函数 2sin 31 4 y x p æö =++ ç÷ èø 的简图. 解： （1）列表 （2）描点连线，图如右.x 12 p - 12 p 3 12 p 5 12 p 7 12p 3 4 x p + 0 2 p p 3 2 p 2p y 1 3 1 1 1【例 2】求下列三角函数的周期：（1） sin 3 y x p æö =+ ç÷ èø ； （2） 3sin 25 x y p æö =+ ç÷ èø. 解： 方法一：（1） 令 3 z x p =+ ， 而 ( ) sin 2sin z z p += ， 即 ( ) 2 33 f x f x p p p éùæö ++=+ ç÷ êú ëûèø， 所以周期 2 T p = . （2）令 25 x z p æö =+ ç÷ èø ，则 ( ) ( ) 3sin 3sin 2 f x z z p ==+ =3sin 2 25 x p p æö ++ ç÷ èø 4 3sin 25 x p p + æö =+ ç÷ èø = ( ) 4 f x p + ，所以周期 T=4p .方法二：直接利用求周期的公式： 2 T p w =. （1） 2 2 1T p p == ；（2） 2 4 1 2T p p == . 【例 3】已知函数 2 cos sin 3,,62 y x x x p p éù =-+Î êú ëû ，求函数的最大值. 解： 222 117 cos sin 3sin sin 4sin 24 y x x x x x æö =-+=--+=-++ ç÷ èø ， 由于 ,62 x p p éù Î êú ëû ，则 1 sin 1 2 x ££ ，所以，当 1 sin 2 x = 时，函数取得最大值 13 4 . 点评：由同角三角函数关系式 22 cos 1sin x x =- ，把 y 化为sin x 的函数求解.【例 4】 若函数 cos y a b x =- 的最大值是 3 2 ，最小值是 1 2- ，求函数 4sin y a bx =- 的最大值与最小 值及周期.解： 1cos 1 x -££ Q ，当0 b > 时， cos b b x b -££ ，cos a b a b x a b \-£-£+ ， 1.5 0.5 a b a b += ì \í -=- î ，解得 0.5 1 a b = ì í = î， 2sin y x \=- ，同理可得当 0 b < 时， 1.5 0.5 a b a b -= ì í +=- î ，此时 0.5 1 a b = ì í =- î， ( ) 2sin 2sin y x x \=--= ，从而， sin y x =± ，此函数的最大值是 2，最小值是2，周期是2p .点评：本题须对b 进行讨论，若不讨论只能得前一个解，容易发生少解的情况.。
目 录第一节 三角函数 (2)第一课时：任意角的概念 .............................................................................................................................. 2 第二课时：任意角的三角函数 ...................................................................................................................... 6 第三课时：同角三角函数关系 .................................................................................................................... 10 第四课时：诱导公式 .................................................................................................................................... 12 第五课时：三角函数的图象 ........................................................................................................................ 17 第六课时：正余弦函数的性质及值域 ........................................................................................................ 19 第七课时：正切函数的性质 ........................................................................................................................ 22 第八课时：函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与性质 (24)第二节 三角恒等变换 (30)第九课时：两角和与差的正余弦公式 ........................................................................................................ 30 第十课时：简单的三角恒等变换 . (33)第三节 平面向量 (35)第十一课时：平面向量的基本概念 ............................................................................................................ 35 第十二课时：平面向量的基本定理 (40)第一节三角函数第一课时：任意角的概念一、课本知识梳理及理解1.在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？2.任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）3.象限角的定义（轴线角）3.1.能以同一条射线为始边作出下列角吗？210º-150º-660º3.2.上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.3.3.具有相同终边的角彼此之间有什么关系？3.3.1.你能写出与60º角的终边相同的角的集合吗？4.什么叫角度制？4.1.角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？4.2.什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？4.3.弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？4.4.角的集合与实数集R之间建立了一一对应对应关系。
姓名，年级：时间：一、不等式的基本性质及应用不等式的基本性质既是不等式知识的理论基础,也是求解与不等式有关问题的重要工具，比较不等式的大小、证明不等式和解不等式等问题的求解，都离不开不等式性质的正确应用．在应用不等式的基本性质解决问题时，以下几个方面需引起我们的注意：1．a－b>0⇔a〉b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a<b是作差比较法的理论依据,常常用来比较两个实数或两个整式之间的大小关系．具体步骤是：作差—-变形—-定号--判断．要注意作差比较法中第二步变形的技巧与彻底性，达到能够真正定号而作出判断的目的．有时也采用作商比较法加以此较：“若错误!〉1，当b〉0时，a>b;当b〈0时，a<b”，主要适用于一些不方便作差(如无理式)或作差时计算量比较大的情况．运用作商比较法，一定要注意分母的符号对结论的影响，以避免作出错误的判断．2．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的前提条件，否则将会出现一些不必要的错误．比如要考虑性质4(乘法单调性)中所乘的数或整式的正负情况．3．判断不等式是否成立，一般可以采用以下三种最基本的方法:第一是利用不等式的基本性质加以判断，第二是利用函数的单调性进行推理，第三是结合特殊值法对命题加以否定后再作出正确的判断．二、不等式的解法1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式首先要将所给不等式标准化，然后看对应的方程是否有实根，能求出两实根的（包括两相等的实根)求出根，并由此去想不等式对应的二次函数的图像，根据图像在x 轴上方和下方的部分，求出不等式的解集，这也是数形结合思想的一种体现．2．含参数不等式的解法对于含参数不等式的求解，要注意按参数的取值情况进行分类讨论，分类时要做到不重、不漏．三、基本不等式的应用1．a2＋b2≥2ab和ab≤错误!时，是利用不等式的意义、性质及比较法推出的，因此，凡是用这两个不等式解答的问题，也都是由不等式的意义、性质及比较法来解决．2．在运用基本不等式求最值时，必须具备三个条件：（1)在所求最值的代数式中，各变数均应是正数（如不是，则需进行变号转换）；(2）各变数的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值，如不是，则要进行拆项或分解，务必使不等式一边的和或积为常数;(3）各变数有相等的可能，即相等时，变量字母有实数解，且在定义域内,如无,则需拆项、分解以使其满足上述条件或改用其他方法．这就是我们通常所说的“一正、二定、三相等”，即：一要考虑定理使用的条件（两数都为正）;二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a＝b时，等号成立)．四、简单的线性规划问题解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域)上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作要尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解．值得指出的是，线性规划问题的核心就是数形结合的思想，通过挖掘问题的几何意义，借助直观图形使问题巧妙获解．抓住了这一思想，就抓住了解决线性规划问题的关键．利用这一思想,对一些非线性约束条件下有关最优解的问题，我们也可以通过尝试运用图解的方法使其获得解决．这样，我们的学习就能取得更大的收益．不等式性质的应用已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc〉a2,试比较a，b，c的大小．［解］法一：由a2－2ab＋c2＝0，得b＝错误!,a2＋c2＝2ab。
991.3三角函数的诱导公式考点一：诱导公式诱导公式（一）: tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k诱导公式（二）: tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）: tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=- 诱导公式（四）:sin(π－α)=sin α cos(π－α)=－cos α tan (π－α)=－tan α诱导公式(五): sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=-诱导公式（六）: sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 例1：将下列三角函数转化为锐角三角函数： ).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan)1(πππ-︒变式1：①求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ②求下列函数值：(1))1200sin(︒- (2))945cos(︒- (3)647cos π (4))317sin(π- (5)︒945tan (6))317cot(π-③求值:(1))643sin()1290cos(90sin π-︒-⋅︒; (2).945tan )1050sin()1020cos(1290cos )1200sin(︒+︒-⋅︒-+︒⋅︒-100考点二：利用诱导公式化简求值例2：化简求值：)629cos()945sin(-+︒-； 变式2：化简：①)660cos()690sin(330cos 420sin ︒-︒-+︒︒；②︒︒-610cos 290sin 21； ③︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21； ④︒-460sin 12；⑤))(6cos()3sin(z k k k ∈-++ππππ； ⑥为第三象限角）ααπαπ()cos()sin(21+--考点三：利用诱导公式求三角函数式的值例3：①设,)78tan(m =+πα求)722cos()720sin()713cos(3)715sin(πααππααπ+---++的值。
专题一：三角函数【知识脉络】：第一块：函数性质与图像形状定义函数性质图像平移伸缩定值奇单周对义偶调称域域性性期性教课目的：1、正弦、余弦、正切函数的性质，要点掌握[0,2 ] 上的函数的性质；2、定义域、值域，要点能求正切函数的定义域；3、能从图象上认识函数的各种性质，能用自己的语言把函数性质描绘清楚，能写出来。
4、理解平移与伸缩第二块：同角基本关系和引诱公式同角基本关系就掌握好三个公式：sin2cos21,tan sin,cos21cos 1 tan2特别需要说明的是：平方关系中的开方运算，易错！引诱公式的记忆方法很简单，联系两角和与差来记就行！如：333cos() cos cos sin sin sin222引诱公式的理解上，需从两角终边的地点关系来认识，如：tan() tan中波及两个角是和，它们的地点是对于原点对称，象限对应关系是一、三或二、四，因此正切符号相同，直接取等号。
其余近似。
第三块：三角变换和差公式：cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sintan()tan tan1tan tan sin 22sin costan()tan tan cos 2cos2sin 22cos 211 2sin 2 1tan tan2tantan21 tan2注意：（ 1）、倍半关系是相对的，如： sin2sin cos， sin 42sin 2 cos2，22cos2cos2112sin 2cos22sin2等，依据题目的需要来确立倍角仍是半222角；（ 2）几个常用的变式：1sin 2(sin cos)2 ,1cos2 2 cos2,1cos 2 2 sin 2tan sin1cos1cos sin2a, 的范围依据需要来确立a cosxb sin x a2b2 sin( x) ，此中 tanb或 a cosx b sin x a2b2 cos(x) ，此中 tan b ，的范围依据需要来确立acos( x4)2(cos x sin x), sin( x4)2(sin x cos x) 22【题型示例】：第一部份“三角函数的图象与性质”熟记定义、定义域、三角值的符号1、若角的终边过点P(2 a,3 a)( a 0) ，则以下不等式正确的选项是（）A 、sin tan0B 、sin cos0C、cos tan0 D 、sin cos02、若角终边上有一点 P(sin 30 ,cos30) ，则为（此中 k Z ）A 、2kB 、2k C、6k D、k6333、若sin cos0,cos tan0 ，则位于2A 、一、三象限B、二、四象限C、一、二象限D、三、四象限4终边上一点P(x,2)，且cos2x，则 x=、已知角45、函数y tan(2x4) 的定义域为单一性：求单一区间是要点，三角的单一区间的求法是比较特别的，掌握好例题所示的方法；另一类题型为比较大小，但都比较简单。
第1讲任意角、弧度制第2讲任意角的三角函数第3讲同角三角函数的基本关系式第4讲三角函数的诱导公式第5讲正弦函数的图象与性质第6讲余弦函数与正切函数的图象与性质第7讲已知三角函数值求角第8讲函数y=Asin（ωx φ）的图像第9讲《三角函数》全章复习与巩固第10讲向量的概念及表示第11讲向量的线性运算第12讲向量的坐标表示第13讲向量的数量积第14讲向量应用第15讲《平面向量》全章复习与巩固第16讲两角和与差的余弦第17讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式第18讲二倍角的正弦、余弦、正切公式第19讲简单的三角恒等变换第20讲《三角恒等变换》全章复习与巩固第一讲：任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。
2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。
【要点梳理】要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角α是第一象限角，所以()1|222k k k Z απαππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭α是第二象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα222|α是第三象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα2322|α是第四象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα22232|要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算︒1rad=180π⎛ ⎝3要点诠释：(1)(2)角α例1⑤小于180【解析】②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确。
精讲精练《新课标高中数学精讲精练》丛书主编 徐山洪编 委 谢柏芳 刘玉泉 谭玉石王庚儿 李剑夫 廖文胜马荣林 邓世疆 赵朝贤陈新权 刘会金 陈远刚李德明 王振芳 黄全顺王福山 饶乘凤 关丽琼潘泽学 匡唐松 宾业河谢凤仙 余扩益 高建彪张天良 谢小毛 谢吉权张梅玲 程松 欧阳文君饶胜文 周志明 李志敏本册主编 高建彪校 审 李 纲（第一章）李伟东（第二章）刘华山（第三章）质量监督 076086853660意见信箱 zssxzb@信息反馈 /nh 美术编辑 陆镜平开 本 890mm×1 240mm 16 开 印 张 4.5字 数 60 000印 数 4 001～5 000 册版 次 2008 年 8月第 3 版印 次 2008 年 8月第 3 次印刷 本册成本 6.8 元新课标高中数学精讲精练人教A 版必修①目 录1 §1.1.1 集合的含义与表示 (01)2 §1.1.2 集合间的基本关系 (03)3 §1.1.3 集合的基本运算（一） (05)4 §1.1.3 集合的基本运算（二） (07)5 §1.2.1 函数的概念 (09)6 §1.2.2 函数的表示法 (11)7 §1.3.1 函数的单调性 (13)8 §1.3.1 函数最大（小）值 (15)9 §1.3.2 函数的奇偶性 (17)10 第一章 集合与函数概念 复习 (19)11 §2.1.1 指数与指数幂的运算 (21)12 §2.1.2 指数函数及其性质（一） (23)13 §2.1.2 指数函数及其性质（二） (25)14 §2.2.1 对数与对数运算（一） (27)15 §2.2.1 对数与对数运算（二） (29)16 §2.2.2 对数函数及其性质（一） (31)17 §2.2.2 对数函数及其性质（二） (33)18 §2.3 幂函数 (35)19 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习 (37)20 §3.1.1 方程的根与函数的零点 (39)21 §3.1.2 用二分法求方程的近似解 (41)22 §3.2.1 几类不同增长的函数模型（一） (43)23 §3.2.1 几类不同增长的函数模型（二） (45)24 §3.2.2 函数模型的应用举例（一） (47)25 §3.2.2 函数模型的应用举例（二） (49)26 §3.2.2 函数模型的应用举例（三） (51)27 第三章 函数的应用 复习 (53)第 1～27 练 答案 …………………………（55～65）《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲 第一章 集合与函数概念 1第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形 式为 123 {,,,,}n a a a a ××× ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表 示，基本形式为{|() x A P x Î }，既要关注代表元素x ，也要把握其属性 () P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母 ,,, A B C ×××表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集 * N 或 N + ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于 （belong to ） 与不属于 （not belong to ）， 分别用符号Î、 Ï表示， 例如3 N Î ， 2 N -Ï .¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程 2 (23)0 x x x --= 的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为： 2 {|(23)0} x R x x x Î--= ；用列举法表示为{0,1,3} - .（2）用描述法表示为：{|27} x Z x Î<< ；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知 {|32,} A x x k k Z ==+Î ， {|61,} B x x m m Z ==-Î ，则有：17 A ； －5 A ； 17 B .解：由3217 k += ，解得 5 k Z =Î ，所以17 A Î ；由325 k +=- ，解得 7 3k Z =Ï ，所以 5 A -Ï ； 由6117 m -= ，解得 3 m Z =Î ，所以17 B Î .【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）（1）一次函数 3 y x =+ 与 26 y x =-+ 的图象的交点组成的集合；（2）二次函数 2 4 y x =- 的函数值组成的集合；（3）反比例函数 2 y x= 的自变量的值组成的集合. 解：（1） 3 {(,)|}{(1,4)} 26 y x x y y x =+ ì = í =-+ î. （2） 2 {|4}{|4} y y x y y =-=³- .（3） 2 {|}{|0} x y x x x==¹ . 点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例 4】已知集合 2 {|1} 2x a A a x + == - 有唯一实数解 ，试用列举法表示集合A ． 解：化方程 2 1 2x a x + = - 为： 2 (2)0 x x a --+= ．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是 2 ± ：由 △=0，得 9 4 a =- ，此时的解为 1 2x = ，合． ⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 - ：将 2 x = 代入得 2 a =- ，此时另一解 12 x =- ，合． ⑶方程有一解为 2 - ，而另一解不是 2 ：将 2 x =- 代入得 2 a = ，此时另一解为 21 x =+ ，合．综上可知， 9 {,2,2} 4A =-- ． 点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分2第 1 练 §1.1.1 集合的含义与表示※基础达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程 2 10 x -= 的实数解D. 周长为10cm 的三角形2．方程组 {23 211 x y x y -= += 的解集是（ ）. A . { } 51 ， B. { } 15 ， C. ( ) { } 51 ， D. ( ) { } 15 ，3．给出下列关系：① 1 2R Î ； ② 2 Q Î ；③ * 3 N Î ；④0 Z Î . 其中正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3） 方程 2 (1)(2)0 x x --= 的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45} x x << 是有限集. 其中正确的说法 是（ ）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对5．下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是（ ）.A. {} M p = , {3.14159} N =B. {2,3} M = , {(2,3)}N = C. {|11,} M x x x N =-<£Î , {1} N = D. {1,3,} M p = , {,1,|3|}N p =- 6．已知实数 2 a = ，集合 {|13} B x x =-<< ，则a 与B 的关系是 .7．已知x R Î ，则集合 2 {3,,2} x x x - 中元素x 所应满足的条件为. ※能力提高8．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数 2 23 y x x =-+ 的函数值组成的集合； （2）函数 23 2 y x = - 的自变量的值组成的集合. 9．已知集合4 {|} 3A x N Z x =ÎÎ - ，试用列举法表示集合A . ※探究创新10．给出下列集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠3}； ② { { 12 (,) 13 x x x y y y ìü ¹¹ íý ¹¹- îþ且 ③ { {12 (,) 13 x x x y y y ìü ¹¹ íý ¹¹- îþ或 ； ④{(x ，y )|[(x 1) 2 +(y 1) 2 ]·[(x 2) 2 +(y +3) 2 ]≠0}． 其中不能表示“在直角坐标系 xOy 平面内，除去点（1，1） ， （2，3）之外的所有点的集合”的序号 有 .《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲 第一章 集合与函数概念 3A B BA AB A B A ． B ．C ．D ． 第 2 讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集 的含义；能利用V enn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包 含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B Í （或B A Ê ），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B Í ），且集合B 是集合A 的子集（B A Ê ），即集合A 与集合B 的元 素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B = .3. 如果集合A B Í ，但存在元素x B Î ，且x A Ï ，则称集合 A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作 A ¹Ì B （或B ¹ É A ）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作Æ，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A Í ；若A B Í ，B C Í ，则A C Í ；若A B A = I ，则A B Í ；若A B A = U ，则B A Í .¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空： （1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）Æ 2 {|20} x R x Î+= ； 0 {0}； Æ{0}； N {0}. 解：（1） ， ；（2）=， ∈， ， .【例2】 设集合 1 ,,} 22 {|,{| n n x n n A x x B x =Î=+Î == Z}Z ， 则下列图形能表示A 与B 关系的是 （ ） . 解：简单列举两个集合的一些元素， 3113 {,1,,0,,1,,} 2222 A =×××---××× ， 3113 {,,,,,} 2222B =×××--××× ， 易知B ¹Ì A ，故答案选A ． 另解：由 21 ,} 2{| n x n B x + =Î = Z ，易知B ¹ Ì A ，故答案选A ． 【例3】若集合 { }{ } 2 |60,|10 M x x x N x ax =+-==-= ，且N M Í ，求实数a 的值.解：由 2 6023 x x x +-=Þ=- 或 ，因此， { } 2,3 M =- .（i ）若 0 a = 时，得N =Æ ，此时，N M Í ；（ii ）若 0 a ¹ 时，得 1{} N a = . 若N M Í ,满足 11 23 a a ==- 或 ，解得 11 23a a ==- 或 . 故所求实数a 的值为0或 1 2 或 1 3- . 点评：在考察“A B Í ”这一关系时，不要忘记“Æ” ，因为A =Æ时存在A B Í . 从而需要分情况讨 论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2 }. 若A =B ，求实数x 的值.解：若 2 2 a b ax a b ax += ì í += îÞa +ax 2 2ax =0, 所以a (x 1) 2 =0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去. 若 22 a b ax a b ax ì += í += îÞ2ax 2 ax a =0. 因为a ≠0，所以2x 2 x 1=0, 即(x 1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有 1 2x =- . 经检验，此时A =B 成立. 综上所述 1 2x =- . 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分4第 2 练 §1.1.2 集合间的基本关系※基础达标1．已知集合 { } { } 3,,6, A x x k k Z B x x k k Z ==Î==Î , 则A 与B 之间最适合的关系是（）. A.A B Í B. A B Ê C.A ¹ Ì B D.A ¹ É B2．设集合 { } |12 M x x =-£< ， { } |0 N x x k =-£ ，若M N Í ，则k 的取值范围是（ ）.A ． 2 k £B ． 1 k ³-C ． 1k >- D ． 2 k ³ 3．若 2 {,0,1}{,,0} a a b -= ，则 20072007 a b + 的值为（ ）.A. 0B. 1C. 1 -D. 24．已知集合M ={x |x = 2 k + 1 4 ,k ∈Z },N ={x |x = 4 k + 1 2,k ∈Z }. 若x 0∈M ，则x 0 与N 的关系是（ ）.A.x 0∈NB.x 0ÏNC.x 0∈N 或x 0ÏND.不能确定5．已知集合P ={x |x 2 =1}，集合Q ={x |ax =1}，若Q ÍP ，那么a 的值是（ ）.A. 1B. －1C. 1或－1D. 0，1或－16．已知集合 { } ,,, A a b c = ，则集合A 的真子集的个数是 . 7．当 2 {1,,}{0,,} b a a a b a=+ 时，a =_________，b =_________. ※能力提高8．已知A ={2,3}，M ={2,5, 2 35 a a -+ }，N ={1,3, 2 610 a a -+ }，A ÍM ，且A ÍN ，求实数a 的值.9．已知集合 { } 25 A x x =-££ ， { } 121 B x m x m =+££- .若B A Í ，求实数m 的取值范围.※探究创新10．集合 S ={0，1，2，3，4，5}，A 是 S 的一个子集，当 x ∈A 时，若有 x 1ÏA 且 x +1ÏA ，则称 x 为 A 的一个“孤立元素” ，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲 第一章 集合与函数概念 5第 3 讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一 个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 V enn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽 象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到 掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集 交集 补集概念 由所有属于集合 A 或属于集 合 B 的元素所组成的集合， 称为集合 A 与 B 的并集 （union set ） 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，称为 集合 A 与 B 的交集 （intersection set ） 对于集合A,由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集 合，称为集合 A 相对于全集 U的补集（complementary set ）记号 A B U （读作“A 并B ” ） A B I （读作“A 交B ” ） U A ð （读作“A 的补集”） 符号{|,} A B x x A x B =ÎÎ U 或 {|,} A B x x A x B =ÎÎ I 且 {|,} U A x x U x A =ÎÏ 且 ð 图形表示 ¤例题精讲：【例1】设集合 ,{|15},{|39},,() U U R A x x B x x A B A B ==-££=<< I U 求 ð .解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示：{|35} A B x x =<£ I ， (){|1,9} U C A B x x x =<-³ U 或 ， 【例2】设 {|||6} A x Z x =Σ ， { } { } 1,2,3,3,4,5,6 B C == ，求：（1） () A B C I I ； （2） () A A B C I U ð .解： { } 6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6 A =------ Q .（1）又 { } 3 B C = Q I ，∴ () A B C = I I { } 3 ；（2）又 { } 1,2,3,4,5,6 B C = Q U ，得 { } ()6,5,4,3,2,1,0 A C B C =------ U .∴ () A A C B C I U { } 6,5,4,3,2,1,0 =------ . 【例3】已知集合 {|24} A x x =-<< ， {|} B x x m =£ ，且A B A = I ，求实数m 的取值范围.解：由A B A = I ，可得A B Í .在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知， 4 m ³ . 点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集 * {|10,} U x x x N =<Î 且 ， {2,4,5,8} A = ， {1,3,5,8} B = ，求 () U C A B U ， () U C A B I ， ()() U U C A C B I ， ()() U U C A C B U ，并比较它们的关系.解：由 {1,2,3,4,5,8} A B = U ，则 (){6,7,9} U C A B = U .由 {5,8} A B = I ，则 (){1,2,3,4,6,7,9}U C A B = I 由 {1,3,6,7,9} U C A = ， {2,4,6,7,9} U C B = ，则()(){6,7,9} U U C A C B = I ，()(){1,2,3,4,6,7,9} U U C A C B = U .由计算结果可以知道，()()() U U U C A C B C A B = U I ，()()() U U U C A C B C A B = I U .另解：作出V enn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 V enn 图研究()()() U U U C A C B C A B = U I 与()()() U U U C A C B C A B = I U ，在理解的基础记住 此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.U A2 4 m x B AA BB A I 1 3 59 x《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分6第 3 练 §1.1.3 集合的基本运算（一）※基础达标1．已知全集 { } 1,2,3,4,5,6,7 U = , { } 2,4,5 A = ，则 U A = ð （）. A. Æ B. { }2,4,6 C. { } 1,3,6,7 D. { } 1,3,5,7 2．若 {|02},{|12} A x x B x x =<<=£< ，则A B = U （ ）. A. {|2}x x < B. {|1} x x ³ C. {|12} x x £< D. {|02}x x << 3．右图中阴影部分表示的集合是（ ）.A. U A B I ðB. U A BI ð C. ( )U A B I ð D. ( ) U A B U ð 4．若 { } { } 0,1,2,3,|3, A B x x a a A ===Î ，则A B = I （ ）.A. { } 1,2B. { }0,1 C. { } 0,3 D. { } 3 5．设集合 {|12} M x x =-£< , {|0} N x x k =-£ ，若M N f ¹ I ，则k 的取值范围是（ ）.A ． 2 k £B ． 1 k ³-C ． 1k - > D ． 12 k -<£ 6．设全集 * {|8} U x N x =Î< ， {1,3,5,7} A = ， {2,4,5} B = ,则 () U C A B U = .7．已知集合 {(,)|2},{(,)|4} M x y x y N x y x y =+==-= ，那么集合M N I = .※能力提高8．设全集 * {|010,} U x x x N =<<Î ，若 {3} A B = I ， {1,5,7} U A B = I ð ， {9} U U A B = I ðð ，求集合A 、B . 9．设U R = ， {|24} A x x =-£< ， {|8237} B x x x =-³- ，求 () U A BU ð 、()() U U A B I ðð . ※探究创新10．设集合 {|(4)()0,} A x x x a a R =--=Î ， {|(1)(4)0} B x x x =--= .（1）求A B U ，A B I ；（2）若A B Í ，求实数a 的值；（3）若 5 a = ，则A B U 的真子集共有 个, 集合 P 满足条件() A B I ¹ Ì P ¹Ì () A B U ，写出所有可 能的集合P .《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲 第一章 集合与函数概念 7第 4 讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中 的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的V enn 图有四个区域， 分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过V enn 图理解和掌握 各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质： ()()() U U U C A B C A C B = I U , ()()() U U U C A B C A C B = U I .2. 集合元素个数公式： ()()()() n A B n A n B n A B =+- U I .3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合 { } { } 2 4,21,,9,5,1 A a a B a a =--=-- ，若 { } 9 A B = I ，求实数a 的值.解：由于 { }{ } 2 4,21,,9,5,1 A a a B a a =--=-- ，且 { } 9 A B = I ，则有：当219 a - ＝ 时，解得 5 a ＝ ，此时 ={4, 9, 25}={9, 0, 4} A B －， － ，不合题意，故舍去； 当 2 9 a ＝ 时，解得 33 a ＝ 或－ .3 ={4,5,9} ={9,2,2} a A B ＝ 时， － ， － － ， 不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4} a A B ＝－ ， － － ， ， － ，合题意.所以， 3 a ＝－ .【例2】设集合 {|(3)()0,} A x x x a a R =--=Î ， {|(4)(1)0} B x x x =--= ，求A B U , A B I .（教材P 14 B 组题2）解： {1,4} B = .当 3 a = 时， {3} A = ，则 {1,3,4} A B = U ， A B =Æ I ；当 1 a = 时， {1,3} A = ，则 {1,3,4} A B = U ， {1} A B = I ；当 4 a = 时， {3,4} A = ，则 {1,3,4} A B = U ， {4} A B = I ；当 3 a ¹ 且 1 a ¹ 且 4 a ¹ 时， {3,} A a = ，则 {1,3,4,} A B a = U ，A B =Æ I .点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质 和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x | 2 40 x x += }， B ={x | 22 2(1)10 x a x a +++-= ，a R Î }，若A I B =B ，求实数a的值．解：先化简集合A ={4,0} - . 由A I B =B ，则B ÍA ，可知集合B 可为Æ，或为{0}，或{－4}，或{4,0} - .(i )若B =Æ，则 22 4(1)4(1)0 a a D =+--< ，解得a ＜ 1 - ；(ii )若0ÎB ，代入得 2 a 1 - =0Þ a =1或a = 1 - ，当a =1时，B =A ，符合题意；当a = 1 - 时，B ={0}ÍA ，也符合题意．(iii )若－4ÎB ，代入得 2 870 a a -+= Þ a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤ 1 - ．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之 间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时， 特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =Æ的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审 视问题.【例 4】对集合 A 与 B ，若定义 {|,} A B x x A x B -=ÎÏ 且 ，当集合 * {|8,} A x x x N =£Î ，集合 {|(2)(5)(6)0} B x x x x x =---= 时，有A B - = . （由教材 P 12 补集定义“集合 A 相对于全集 U 的补 集为 {|,} U C A x x x A =ÎÏ U 且 ”而拓展）解：根据题意可知， {1,2,3,4,5,6,7,8} A = ， {0,2,5,6}B = 由定义 {|,} A B x x A x B -=ÎÏ 且 ，则{1,3,4,7,8} A B -= .点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这 里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B - 也相当于 () U A C B I .《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分8 第 4 练 §1.1.3 集合的基本运算（二）※基础达标1．已知集合A = { } 1,2,4 ,B ={ } 8 x x 是 的正约数, 则A 与B 的关系是（ ）. A. A =B B. A ¹Ì B C. A ¹ É B D. A ∪B =Æ 2． 已知 ,, a b c 为非零实数, 代数式 ||||||||a b c abc a b c abc +++ 的值所组成的集合为M , 则下列判断正确的是 （ ） . A. 0 M Ï B. 4 M -Ï C. 2 M Î D. 4 MÎ 3． （08年湖南卷.文1）已知 { } 2,3,4,5,6,7 U = ， { } 3,4,5,7 M = ， { } 2,4,5,6 N = ，则（ ）.A ． { } 4,6 M N = I B.M N U = U C ．() u C N M U = U D. () u C M N N= I 4．定义集合A 、B 的一种运算： 1212 {,,} A B x x x x x A x B *==+ÎÎ 其中 ，若 {1,2,3} A = ， {1,2} B = ，则 A B * 中的所有元素数字之和为（ ）.A ．9 B. 14 C. 18 D. 215．设全集 U 是实数集 R ， { }2 |4 M x x => 与 { } |31 N x x x =³< 或 都是 U的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）.A. { } |21 x x -£<B. { }|22 x x -££ C. { } |12 x x <£ D. { }|2 x x < 6．已知集合 {11} A x x =-££ ， {} B x x a => ，且满足A B f = I ，则实数a 的取值范围是 . 7．经统计知，某村有电话的家庭有 35 家，有农用三轮车的家庭有 65 家，既有电话又有农用三轮车的家 庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 .※能力提高8．已知集合 2 {|0} A x x px q =++= ， 2 {|20} B x x px q =--= ，且 {1} A B =- I ，求A B U ．9．已知集合U = 2 {2,3,23} a a +- ，A ={|a +1|，2}， U C A ={a +3}，求实数a 的值.※探究创新10．（1）给定集合A 、B ，定义A ※B ={x |x =m n ，m ∈A ，n ∈B }．若A ={4，5，6}，B ={1，2，3}，则集合 A ※B 中的所有元素之和为 （ ）A ．15B ．14C ．29D ．14（2）设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 、B 的运算：A *B ={x |x ∈A ，或x ∈B ,且x ÏA ∩B }， 则(A *B )*A 等于（ ）A ．AB ．BC ．() U A Bð ∩ D ． () U A Bð ∪ （3）已知集合A ={x | 2 x n ¹ 且 3 x n ¹ ，n ÎN ，x ÎN* ，x ≤100}，试求出集合A 的元素之和.¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学 习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些 简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应， 那么就称 f ： A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 （function ）， 记作 y = () f x ，x A Î ．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与 x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的 集合{()|} f x x A Î 叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,) a b ， {x |a <x ≤b }＝(,] a b ，都叫半开半闭区间. 符号： “∞”读“无穷大” ； “－∞”读“负无穷大” ； “+∞”读“正无穷大”. 则 {|}(,) x x a a >=+¥ ，{|}[,) x x a a ³=+¥ ，{|}(,) x x b b <=-¥ ，{|}(,] x x b b £=-¥ ， (,) R =-¥+¥ .3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才 是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1） 1 21 y x =+- ；（2） 3 312x y x - = -- .解：（1）由 210 x +-¹ ，解得 1 x ¹- 且 3 x ¹- ， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,) -¥----+¥ U U .（2）由 3 30120 x x -³ ì ï í --¹ ï î ，解得 3 x ³ 且 9 x ¹ ，所以原函数定义域为[3,9)(9,) +¥ U .【例2】求下列函数的定义域与值域：（1） 3254 x y x+ =- ； （2） 2 2 y x x =-++ . 解：（1）要使函数有意义，则540 x -¹ ，解得 5 4 x ¹ . 所以原函数的定义域是 5{|}4x x ¹ .32112813(45)2332333 0 5445445445444 x x x y x x x x ++-+ ==´=´=-+¹-+=- ---- ，所以值域为 3 {|}4y y ¹- .（2） 22 19 2()24 y x x x =-++=--+ . 所以原函数的定义域是R ，值域是 9(,]4-¥ .【例3】已知函数 1 () 1 xf x x- = + . 求：（1） (2) f 的值； （2） () f x 的表达式解：（1）由 1 2 1 x x - = + ，解得 1 3 x =- ，所以 1(2) 3 f =- .（2）设 1 1 x t x - = + ，解得 1 1 t x t - = + ，所以 1 () 1 t f t t - = + ，即 1 () 1 xf x x- = + .点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需 要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数 2 2(), 1 xf x x R x =Î + .（1）求 1 ()() f x f x + 的值；（2）计算： 111(1)(2)(3)(4)()()() 234f f f f f f f ++++++ .解：（1）由 222 2 2222 21111 ()()1 1 1111 1 x x x x f x f x x x x x x+ +=+=+== ++++ + .（2）原式 11117(1)((2)())((3)())((4)())3 23422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.※基础达标1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. 1, xy y x== B. 211,1y x x y x =-+=- g C. 3 3, y x y x== D. 2||,()y x y x == 2．函数 21 232xy x x - =-- 的定义域为（ ）.A. (,1]-¥ B. (,2]-¥ C. 11 (,)(,1] 22 -¥-- I D. 11(,)(,1]22-¥-- U 3．集合 { } 22 M x x =-££ ， { } 02 N y y =££ ，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（）.4．下列四个图象中，不是函数图象的是（）.5．已知函数 () f x 的定义域为[1,2) - ，则 (1) f x - 的定义域为（）.A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 6．已知 () f x ＝ 2 x ＋x ＋1，则 (2) f ＝______；f ［ (2) f ］＝______．7．已知 2 (21)2 f x x x +=- ，则 (3) f = .※能力提高 8．（1）求函数 2 1xy x - =- 的定义域； （2）求函数 2113 x y x+ =- 的定义域与值域. 9．已知 2 () f x ax bx c =++ ， (0)0 f = ，且 (1)()1 f x f x x +=++ ，试求 () f x 的表达式.※探究创新10．已知函数 () f x ， () g x 同时满足： ()()()()() g x y g x g y f x f y -=+ ； (1)1 f -=- ， (0)0 f = ， (1)1 f = ， 求 (0),(1),(2) g g g 的值.xy 0 2 2xy 0 2 22xy 0 2 2 2xy 02 2 2A.B.C . D.x Oyxxxyyy OOOA.B.C.D.¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数； 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量 可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表 格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元 素 x ，在集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 : f A B ® 为从集合A 到集合B 的一个映射 （mapping ）．记作“ : f A B ® ”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正 方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的 定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为 2 a x － ，所以体积为V ＝ 2(2) x a x － . 又由 20 a x > － ，解得 2a x < .所以，体积V 以x 为自变量的函数式是 2(2) V x a x = － ，定义域为{|0}2a x x << .【例2】已知f (x )= 3 3 33 22 x x x x - ì ++ ï í + ï î (,1) (1,) x x Î-¥Î+¥ ，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1) Î-¥ ， ∴ f (0)= 3 2 . 又 ∵32 >1，∴ f ( 3 2 )=( 3 2 ) 3 +( 3 2 ) 3=2+ 1 2 = 5 2 ，即f [f (0)]= 5 2.【例3】画出下列函数的图象：（1） |2| y x =- ； （教材P 26 练习题3） （2） |1||24| y x x =-++ .解：（1）由绝对值的概念，有 2,2 |2| 2,2 x x y x x x -³ ì =-= í -< î. 所以，函数 |2| y x =- 的图象如右图所示.（2） 33,1 |1||24|5,21 33,2 x x y x x x x x x +> ì ï=-++=+-££ í ï --<- î，所以，函数 |1||24| y x x =-++ 的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定 义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】 函数 ()[] f x x = 的函数值表示不超过x 的最大整数， 例如[ 3.5]4 -=- ，[2.1]2 = ， 当 ( 2.5,3] x Î- 时， 写出 () f x 的解析式，并作出函数的图象.解： 3, 2.52 2,21 1,10 ()0,01 1,12 2,23 3,3 x x x f x x x x x --<<- ìï--£<- ï --£< ï=£<íï £<ï £< ï= î. 函数图象如右： 点评： 解题关键是理解符号[ ] m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.※基础达标1．函数f (x )= 2 (1) x x x ìí + î,0 ,0 x x ³ < ，则 (2) f - =（ ）.A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的 路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.3．已知函数 () f x 满足 ()()() f ab f a f b =+ ，且 (2) f p = ， (3) f q = ，那么 (12) f 等于（）.A. p q +B. 2p q +C. 2 p q +D. 2 p q + 4．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）.A. f ：x →y ＝ 1 2 xB. f ：x →y ＝ 1 3 xC. f ：x →y ＝ 1 4 xD. f ：x →y ＝ 16x5． 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由 [ ] 3.71,(04) () 1.06(0.52),(4) m f m m m <£ ì ï= í +> ï îg 给出， 其中[ ] m 是不超过m 的最大整数，如：[ ] 3.743 = ，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ ）.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D. 7.956．已知函数 ( ) , mf x x x=+ 且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为 .7． 2 4,02(),(2) 2,2 x x f x f x x ì -££ == í > î已知函数 则 ；若 00 ()8, f x x ==则 .※能力提高8．画出下列函数的图象：（1） 2 2||3 y x x =-++ ； （2） 2 |23| y x x =-++ .9．设二次函数 () f x 满足 (2)(2) f x f x +=- 且 () f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求 () f x 的 解析式※探究创新 10．（1）设集合 {,,} A a b c = ， {0,1} B = . 试问：从A 到B 的映射共有几个？（2）集合A 有元素m 个，集合B 有元素n 个，试问：从A 到B 的映射共有几个？Od tOd tOd tOdtA. B. C. D.¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理 解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数 y =f (x )的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个 区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就 说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可 定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一 区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上， 增函数的图象是从左向右是上升的（如右图 1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1 、x 2 ∈给定区间，且x 1 <x 2 ；→计算f (x 1 )－f (x 2 ) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数 2 () 1xf x x =- 在区间（0，1）上的单调性. 解：任取 12 , x x ∈(0,1)，且 12 x x < . 则 1221 121212 222() ()() 11(1)(1)x x x x f x f x x x x x - -=-= ---- . 由于 12 01 x x <<< ， 1 10 x -< ， 2 10 x -< ， 21 0 x x -> ，故 12 ()()0 f x f x -> ，即 12 ()() f x f x > .所以，函数 2 () 1xf x x =- 在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数 2 ()(0) f x ax bx c a =++< 的单调区间及单调性. 解：设任意 12 , x x R Î ，且 12 x x < . 则22 121122 ()()()() f x f x ax bx c ax bx c -=++-++ 22 1212 ()() a x x b x x =-+- 1212 ()[()] x x a x x b=-++ . 若 0 a < ，当 12 2 b x x a <£- 时，有 12 0 x x -< ， 12 bx x a+<- ，即 12 ()0 a x x b ++> ，从而 12 ()()0 f x f x -< ， 即 12()() f x f x < ，所以 () f x 在(,] 2 b a -¥- 上单调递增. 同理可得 () f x 在[,) 2 ba-+¥ 上单调递减. 【例3】求下列函数的单调区间： （1） |1||24| y x x =-++ ；（2） 2 2||3 y x x =-++ .解：（1） 33,1 |1||24|5,21 33,2 x x y x x x x x x +> ìï=-++=+-££ í ï --<- î，其图象如右.由图可知，函数在[2,) -+¥ 上是增函数，在(,2] -¥- 上是减函数.（2） 2 22 23,0 2||3 23,0 x x x y x x x x x ì-++³ ï =-++= í --+< ï î，其图象如右.由图可知，函数在(,1] -¥- 、[0,1]上是增函数，在[1,0] - 、[1,) +¥ 上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也 可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到 (||) f x 的图象. 由图象 研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知 31() 2 x f x x + = + ，指出 () f x 的单调区间.解：∵ 3(2)55()3 22 x f x x x +-- ==+ ++ ，∴ 把 5() g x x- = 的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到 () f x 的图象，如图所示.由图象得 () f x 在(,2) -¥- 单调递增，在(2,) -+¥上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 () f x a b ++ 平移变换规律.※基础达标1．函数 2 6 y x x =- 的减区间是（）.A . (,2] -¥ B. [2,)+¥ C. [3,) +¥ D. (,3]-¥ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（）.A. y =－x +1B. y = xC. y =x 2 －4x ＋5D. y =2x3．函数 ()||()(2) f x x g x x x ==- 和 的递增区间依次是（）.A. (,0],(,1] -¥-¥B. (,0],[1,) -¥+¥C. [0,),(,1] +¥-¥D. [0,),[1,) +¥+¥ 4．已知 () f x 是R 上的增函数，令 ()(1)3 F x f x =-+ ，则 () F x 是R 上的（ ）.A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减 5．二次函数 2 ()2 f x x ax b =++ 在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是（ ）.A. 2 a ³B. 2 b ³C. 4 a £-D. 4 b £- 6． 函数 () f x 的定义域为(,) a b ， 且对其内任意实数 12 , x x 均有： 1212 ()[()()]0 x x f x f x --> ， 则 () f x 在(,) a b 上是. （填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）7．已知函数f (x )=x 2 －2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f ( 3)之间的大小关系为 .※能力提高8．指出下列函数的单调区间及单调性：（1） 3() 1x f x x + = - ；（2） 2 |23|y x x =-++ 9．若 2 () f x x bx c =++ ，且 (1)0,(3)0 f f == . （1）求b 与c 的值；（2）试证明函数 () f x 在区间(2,) +¥ 上是增函数.※探究创新10．已知函数 () f x 的定义域为 R ，对任意实数m 、n 均有 ()()()1 f m n f m f n +=+- ，且 1()2 2f = ，又当 1 2 x >- 时，有 ()0 f x > . （1）求 1()2f - 的值； （2）求证： () f x 是单调递增函数.¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数 图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数 () y f x = 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有 () f x ≤M ； 存在x 0∈I ，使得 0 () f x =M . 那么，称M 是函数 () y f x = 的最大值（Maximum V alue ）. 仿照最大值定义，可 以给出最小值（Minimum V alue ）的定义.2. 配方法：研究二次函数 2(0) y ax bx c a =++¹ 的最大（小）值，先配方成 22 4 () 24 b ac b y a x a a- =++ 后，当 0 a > 时，函数取最小值为 2 4 4 ac b a - ；当 0 a < 时，函数取最大值 24 4 ac ba- .3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单 调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数 2 61 y x x = ++ 的最大值.解：配方为 2 6 13 ()24 y x = ++ ，由 2 133 ()244 x ++³ ，得 2 608 13 ()24x <£ ++ .所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售 出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价 1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定 为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10) x - 元，减少了10(10) x - g 件，所赚得的利润为 (8)[10010(10)] y x x =--- g g .即 22 10280160010(14)360 y x x x =-+-=--+ . 当 14 x = 时， max 360 y = .所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数 21 y x x =+- 的最小值.解：此函数的定义域为[ ) 1,+¥ ，且函数在定义域上是增函数，所以当 1 x = 时， min 2112 y =+-= ，函数的最小值为2.点评：形如 y ax b cx d =+±+ 的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令 1 x t -= ，则 0 t ³ ， 2 1 x t =+ ，所以 22 115222()48y t t t =++=++ ，在 0 t ³ 时是增函数，当0 t = 时， min 2 y = ，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1） 2 5332,[,] 22y x x x =--Î- ； （2） |1||2| y x x =+-- .解：（1）二次函数 2 32 y x x =-- 的对称轴为 2 bx a=- ，即 1 x =- .画出函数的图象，由图可知，当 1 x =- 时， max 4 y = ； 当 3 2 x = 时， min 94y =- .所以函数 2 53 32,[,] 22 y x x x =--Î- 的最大值为4,最小值为 94 - .（2） 3 (2) |1||2|21 (12) 3 (1) x y x x x x x ³ ì ï=+--=--<< í ï-£- î.作出函数的图象，由图可知， [3,3] y Î- . 所以函数的最大值为3, 最小值为3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝 对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.。
1．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________．2．在下列命题中，正确的序号是__________．①若|a |>|b |，则a >b ②若|a |＝|b |，则a ＝b③若a ＝b ，则a 与b 共线 ④若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．下列说法中正确的个数是__________．①零向量是没有方向的②零向量的长度为0③零向量与任一向量平行④零向量的方向是任意的⑤零向量只能与零向量共线4．下列4种说法，其中正确的个数是__________．①若两个非零向量共线，则它们的起点和终点共4个点在同一条直线上 ②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 ③与已知非零向量共线的单位向量是惟一的 ④四边形ABCD 是平行四边形能得出AB 与CD ，BC 与AD 分别共线的结论5．(1)若AB AD =，且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为__________． (2)已知四边形ABCD 中，12AB DC =，且A D B C =，则四边形ABCD 的形状是__________．6．设O 是正六边形ABCDEF 的中心，那么图中分别与向量OA ，OB ，CO 相等的向量有__________个．7．已知A ，B ，C 是直线l 上的顺次三点，指出AB ，AC ，BA ，CB ，BC 中，哪些是方向相同的向量？哪些互为相反向量？8. 如图，已知AD BC =，E ，F 分别是BC ，AD 上的点，且AB ＝BE ，CD ＝DF ，求证：EA CF =.9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002 km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？参考答案1.答案：圆2.答案：③解析：∵向量有大小与方向两要素，∴不能比较大小，①错；模相等，方向不一定相同，∴②错；不相等的向量可以共线，∴④错；相等向量必共线，∴③对．3.答案：3解析：由零向量的特点可知②③④正确．4.答案：1解析：只有④是正确的．5.答案：(1)菱形(2)等腰梯形=知，四边形ABCD的一组对边BA綊CD，∴为平行四边形．解析：(1)由BA CD=，即相邻两边长度相同，∴四边形为菱形．又AB AD(2)四边形ABCD满足一组对边平行且不等，∴为梯形．=，即两腰相等，∴为等腰梯形.又AD BC6.答案：2,2,3解析：由题图知，与OA相等的向量有CB，EF；与OB相等的向量有DC，FA；与CO相等的向量有OF，BA，DE.7.解：AB，AC与BC方向相同，BA与CB方向相同；AB与BA互为相反向量，CB与BC互为相反向量．=，8.证明：∵AD BC=.∴AD∥BC，AD BC∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝DC，又AB＝BE，DC＝DF，∴BE＝DF.∴AF＝AD－DF＝BC－BE＝EC.又AF∥EC，∴四边形AECF为平行四边形．∴AE綊CF..∴EA CF9.解：如图，A，B，C，D分别表示甲地，乙地，丙地，丁地，由题意知，△ABC是正三角形，∴AC＝2 000 km.又∵∠ACD＝45°，CD＝10002km，∴△ACD是直角三角形．∴AD＝10002km，∠CAD＝45°.∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地10002km.。
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率高中数学-直线方程的几种形式精讲精练典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A 、B 、C 三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.∵k AB =1313-+=2，k AC =1415-+=2,∴k AB =k AC . ∴A、B 、C 三点共线.证法二:利用直线方程.设AB:y=kx+b ，则⎩⎨⎧+=+=-,33,1b k b k ∴⎩⎨⎧-==.3,2b k∴直线AB 的方程为y=2x-3.当x=4时，y=2×4-3=5，故点C(4，5)在AB 上.∴A、B 、C 三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a 的值等于_______________. 思路解析:因为k AB =220--a ，k BC =a --004，又因为三点A 、B 、C 共线，所以k AB =k BC ，即220--a =a--004，解得a=4.答案:4例2 设过定点A 的直线l 1的倾斜角为α.现将直线l 1绕点A 按逆时针方向旋转45°得到直线l 2,设直线l 2的倾斜角为β,请用α表示β的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°；当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°.黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练2 如图2-2-(1,2)-2，直线l 1的倾斜角α1=30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l 1的斜率k 1=tanα1=tan30°=33，∵l 2的倾斜角α2=90°+30°=120°， ∴l 2的斜率k 2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=3-.例3设直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=2m-6，若直线在x 轴上的截距是-3，试确定m 的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件. 解：令y=0，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-=---≠--)2(,33262)1(,03222m m m m m 由①式，得m≠3且m≠-1.由②式，得3m 2-4m-15=0，解得m=3或m=53-.因为m≠3，所以m=53-. 绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x 轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m 2-2m-3≠0的解是m≠3且m≠-1；而方程3m 2-4m-15=0的解是m=3或m=53-. 变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3A.若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B.若c ＞0，则a ＜0，b ＞0C.若c ＜0，则a ＞0，b ＜0D.若c ＜0，则a ＞0，b ＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=ba -＜0， ∴ab＞0.又∵直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a c -与b c -， ∴a c -＞0，b c -＞0.∴ac＜0，bc ＜0.若c ＞0，则a ＜0，b ＜0；若c ＜0，则a ＞0，b ＞0.选D.答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x 、y 轴上的截距.思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x 的取值即为直线在x 轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y 轴上的截距.解:令y=0,则x=21k -,于是直线在x 轴上的截距为21k -； 令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y 轴上的截距为131--k k ； 当k=31时,直线在y 轴上的截距不存在. 黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y 轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=31的情形而造成错解.事实上，当k=31时，分式131--k k 无意义，此时的直线在y 轴上的截距不存在. 变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________.思路解析：设直线在两轴上的截距均为a.若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5.答案:3x-2y=0或x+y=5问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P 1与P 2关于点M 对称，则点M 是P 1、P 2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P 1与P 2关于直线l 对称，则直线l 是线段P 1P 2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P 1、P 2的中点在直线l 上，且P 1P 2的连线与l 垂直，也就是说，P 1P 2的中点坐标满足直线l 的方程，且P 1P 2连线的斜率与直线l 的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称. 探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点P(x 0,y 0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x 0,2b-y 0);(2)点P(a,b)不在直线l ：Ax+By+C=0上，P 关于直线l 的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M(2,200y b x a ++)在l 上,PP′⊥l,所以由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-•--=++•++•,1)(,0220000B A a x b y C y b B x a A 可解出P′(x 0,y 0). (3)几种特殊对称：点(a,b)关于x 轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x 的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x 的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t 的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m 的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x 、y 以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗? 导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b 中，若b 为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k 为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的形式，再解方程组⎩⎨⎧==0),(,0),(21y x f y x f 求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k 为参数，b 为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y 轴(即x=0).经过定点M(x 0，y 0)的直线系y-y 0=k(x-x 0)(k 为参数)，它表示经过定点(x 0，y 0)的直线系，但不包括平行于y 轴的那一条(即x=x 0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k 为常数，b 为参数)，它表示斜率为k 的平行直线系.若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 平行的直线系为Ax+By+m=0(m 为参数,且m≠C).若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n 为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0(A 12+B 12≠0)与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0(A 22+B 22≠0)交点的直线系为m(A 1x+B 1y+C 1)+n(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中m 、n 为参数，m 2+n 2≠0).当m=1，n=0时，方程即为l 1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l 2的方程.上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。
高中数学指数式、对数式比较大小的问题--------太原市交通学校 郝志隆指数式、对数式这类比较大小的问题，在高考数学中常常可以和函数的单调性、奇偶性、周期性等性质甚至是和函数图像结合在一起来考察，知识点放到一起变成一道综合题时，难度就加大了很多，所以考察方式非常灵活，要顺利完成这样的題目，我们需要会应用函数的单调性，指数式对数式的化简变形，特殊值的变形应用，函数图象的运用，不等式性质的应用等等知识。
一般来说，常见的式子的比较大小有如下几种类型：一、同底数或者同指数的式子，直接应用指数函数、对数函数或是幂函数的单调性来解决。
比如：例1：已知，则三个数a ，b ，c 的大小关系是______A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【解答】解：因为底数3015<<，所以指数函数y=在R 单调递减，而﹣＜0＜3，故a ＞b ＞c ，故选：B ．二、利用特殊值0、1灵活变形进行比较，把数字初步分为小于0，0到1和大于1三大类例2：比较1201020192020120192020log log log2020a b c d ====、的大小【解答】解：102019202020201a =>=；即a>112201920191log (2020)log 20202b ==，所以22019201911log 2019log 201922b << 故得：112b <<；12202020202020111log 2019log 2019log 2020222c ==<=又2020log 10c >=所以，102c <<；1120192019log2020log10d =<= 所以d<0. ，因此a>1>b>1/2>c>0>d ，故a>b>c>d 。
