(教案2)17.2一元二次方程的解法

教学课题§17．2 一元二次方程地解法（四）课时 24.因式分解法教学目标：知识与技能：1理解因式分解解一元二次方程地降次地实质；2熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程地方法。

过程与方法：通过因式分解法地学习，渗透转化地思想。

教学重点用因式分解法解一元二次方程教学难点正确理解AB=0A=0或B=0（A、B表示两个因式）教学方法启发引导、讲练结合教学过程一、复习1.因式分解：⑴4x2-9 =(2x+3)(2x-3) ⑵x2-3x-10 =(x-5)(x+2)⑶3x(x+2)-5(x+2)=(x+2)(3x-5) ⑷x2＋12x＋27=(x+3)(x+9)我们学习了一元二次方程地三种解法，配方法和公式法是一元二次方程常用地解法，但是，某些特殊地一元二次方程除了可以用这些方法求解外，还存在更简洁地特殊解法。

二、新知探究议一议：观察、分析下列一元二次方程地特点，有什么其他地方法能求解？（1）x2-3x=0 （2）21310y y说明：给学生足够地时间思考，探讨、交流。

师生点评，共同概括总结。

我们发现，这两个一元二次方程都是等号右边为零，左边地代数式都可以做因式分解地方程。

因而，可以根据“两个数地积为零”地条件来求方程地解。

想一想：“使两个数地积为零”地条件是什么？怎样用简洁地语言来叙述这个条件？怎样用这个条件来求方程地解？两个因式地积为零，那么这两个因式至少有一个为零。

即：A·B=0A=0或B=0（A、B表示两个因式）例：方程x2-3x=0可化为：又如：方程21310y y可化为：x(x-3)=0(y-1)[(y-1) +3]=0x=0或x-3=0(y-1)(y+2)=0x1=0，x2=3y-1=0或y+2=0y1= 1，y2=-2这就是说，对于某些等号一边为零，另一边地代数式可以作因式分解地方程，都可以用这种方法求解，这种方法叫做因式分解法。

例1．用因式分解法解下列方程⑴x2＋5x＋6=0 （2）3x(x+2)-5(x+2)=0（3）2353x x解：⑴(x＋2)(x＋3)=0 （3）（x-3）[(x-3)-5]=0x+2=0或x+3=0 (x-3)(x-8)=0x1=-2，x2=-3 x1=3，x2=8(2)（x+2)(3x-5)=0x+2=0或x-5=0x1=-2，x2=5小结：只有将一元二次方程化成两个因式乘机形式，且右侧为零，才满足因式分解地条件。

一元二次方程的解法数学教案
标题：一元二次方程的解法
I. 引言
- 介绍一元二次方程的概念和形式（ax²+bx+c=0）
- 阐述学习一元二次方程解法的重要性及其在实际生活中的应用。

II. 课程目标
- 学生能够掌握一元二次方程的三种解法：直接开平方、完全平方公式和韦达定理。

- 学生能灵活运用这些方法解决相关问题。

III. 教学过程
A. 直接开平方
- 讲解如何判断一个一元二次方程是否可以通过直接开平方求解
- 举例演示并让学生自己尝试解一些可以直接开平方的一元二次方程
B. 完全平方公式
- 解释什么是完全平方公式，并给出其一般形式
- 通过实例讲解如何将一元二次方程转化为完全平方的形式
- 让学生尝试用完全平方公式解一些一元二次方程
C. 韦达定理
- 介绍韦达定理的来源和意义
- 探索韦达定理与一元二次方程根的关系
- 演示如何利用韦达定理解一元二次方程，让学生模仿并练习
IV. 实践活动
- 设计一些实践活动，让学生在实践中巩固所学知识。

例如，设计一些一元二次方程题目，让学生选择合适的方法进行解答。

V. 课堂小结
- 回顾本节课的主要知识点
- 对学生的课堂表现进行评价，指出他们的优点和需要改进的地方
VI. 课后作业
- 设计一些课后习题，让学生在家独立完成，进一步巩固所学知识。

VII. 教学反思
- 分析学生的学习效果，评估教学方法的有效性
- 思考如何改进教学方法以提高教学效果。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《17.2.1一元二次方程的解法-配方法》教案教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？学生活动：例1．按以上的方程完成x 2-36x +70=0的解题．可以验证x 1≈34，x 2≈2都是原方程的根，但x ≈34不合题意，所以道路的宽应为2． 例2．解下列关于x 的方程（1）x 2+2x -35=0 （2）2x 2-4x -1=0三、应用拓展如图，在R t △ACB 中，∠C =90°，AC =8m ，CB =6m ，点P 、Q 同时由A ，B •两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m /s ，•几秒后△PCQ •的面积为R t △ACB 面积的一半．C AQ P四、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．。

17.2（2）一元二次方程的解法一、填空1. 把下列多项式分解因式：(1)x 2＋5x ＋6＝__________，(2)x 2－5x ＋6＝__________，(3)x 2－5x －6＝__________，(4)x 2＋5x －6＝__________.2. 方程x 2＝2x 的根是__________．3. 方程(x －2)(2x －3)＝0的根是__________．4. 方程(x －5)2＝0的根是__________．5. 方程x 2－x －42＝0的根是__________．6. 已知3x 2y 2－xy －2＝0，则x 与y 之积等于__________．7. 写出一个以1、－2为根的一元二次方程__________．8. 关于x 的一元二次方程(m ＋2)x 2＋x －m 2－5m －6＝0有一个根为0，则m ＝______.9．方程230x -=的解是 。

10．方程2210x x -+=的解是 。

11．若代数式(2)(1)x x -+的值为0，则x = 。

12．方程2(3)128(3)x x -+=-的实数根是 。

二、解答题13．解方程：2(1)0x = (2)3(23)1x x -=(3)3(2)5(2)y y y +=+ 22(4)(32)4(2)x x -=-2(5)(1(1x x -= 2(6)(21)3(21)20x x ++++=（7）－x 2＋2x ＋3＝0 （8）(x －3)2－3(3－x )－4＝0（9）. (x －6)x －2x ＋12＝0 （10）3x 2－2x ＝2x 2＋3x14．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092=+-x x 的一个根，求这个三角形的周长。

15．已知x 、y 为实数，且(x 2＋y 2)(x 2＋y 2＋2)＝3，求x 2＋y 2的值．三、提高题：16．已知22320a ab b +-=，求代数式22a b a b b a ab +--的值17.2（2）一元二次方程的解法一、1.（1）（x+2）（x+3）（2）（x-2）（x-3）（3）（x+1）（x-6）（4）（x-1）（x+6）2.=0 =23.==4.==55.=—6 =76. 1或者－7.（x—1）（x+2）=0 8.—3 9.=0=10.==1 11.2或—1 12.=9 =5二、13．（1）=0 =（2）121 3x x==（3）== －2（4）=—2 =（5）=0 =—3—2（6）=—1 =（7）=—1 =（8）=4 =（9）=2 =（10）=0 =+214.18 15. 1三、16.2或者—3。

一元二次方程的解法教案教案标题：一元二次方程的解法教案目标：1. 学生能够理解一元二次方程的定义和基本性质。

2. 学生能够掌握一元二次方程的解法。

3. 学生能够应用一元二次方程解决实际问题。

教学重点：1. 一元二次方程的定义和基本性质。

2. 一元二次方程的解法。

3. 实际问题中一元二次方程的应用。

教学难点：1. 解一元二次方程时的步骤和技巧。

2. 实际问题中如何建立一元二次方程。

教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、示例题目、实际问题案例。

2. 学生准备：课本、笔记本、写字工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问引导学生回顾一元一次方程的解法，复习方程的基本概念和解题方法。

2. 教师提出问题：你们知道一元二次方程是什么吗？它有什么特点？二、讲解一元二次方程的定义和基本性质（10分钟）1. 教师用简明的语言解释一元二次方程的定义，并给出示例方程。

2. 教师讲解一元二次方程的基本性质，包括二次项系数、一次项系数和常数项的含义。

三、讲解一元二次方程的解法（15分钟）1. 教师详细讲解解一元二次方程的步骤和技巧，包括移项、配方、因式分解和求根公式等方法。

2. 教师通过示例方程的解题过程，引导学生理解和掌握解一元二次方程的方法。

四、练习解一元二次方程（15分钟）1. 教师布置一些练习题，要求学生独立解题，并在黑板上进行讲解。

2. 教师提供不同难度的题目，逐步提高学生的解题能力。

五、应用一元二次方程解决实际问题（15分钟）1. 教师给出一些实际问题案例，要求学生分析问题并建立相应的一元二次方程。

2. 学生独立解题，并与同学交流思路和解法。

六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调一元二次方程解法的重要性和应用价值。

2. 教师提供相关拓展资料，鼓励学生进一步学习和探究一元二次方程的相关知识。

教学反思：本节课通过讲解一元二次方程的定义、基本性质和解法，以及应用实际问题进行练习，能够帮助学生掌握一元二次方程的解题方法和应用能力。

九年级数学上一元二次方程的解法教案(优秀5篇)数学《一元二次方程》教案设计篇一教学目标1、了解整式方程和一元二次方程的概念；2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：1、教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。

方程，只有当时，才叫做一元二次方程。

如果且，它就是一元二次方程了。

解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( ），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。

（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。

如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。

如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

初三上册数学教学工作计划篇二【学习目标】1、了解整式方程和一元二次方程的概念。

2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

【重点、难点】重点:一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点:对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定【学习过程】一、知识回顾1、什么是整式方程？_什么是-元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程:它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。

沪教版数学八年级上册17.2《一元二次方程的解法》（第1课时）教学设计一. 教材分析《一元二次方程的解法》是沪教版数学八年级上册第17.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的概念等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法。

这部分内容是解决实际问题的重要工具，也是进一步学习代数的基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于一元二次方程的解法可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过自主学习、合作交流等方式，理解和掌握一元二次方程的解法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，能够运用公式法和因式分解法解一元二次方程。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方式，培养学生的解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。

2.难点：理解和掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，理解和掌握一元二次方程的解法。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程的案例，用于引导学生进行解法的实践。

2.准备PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）呈现一元二次方程的案例，引导学生进行解法的实践。

首先，引导学生运用已知的知识尝试解方程，然后引导学生发现解方程的规律，从而引出一元二次方程的解法。

3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，每组选定一个一元二次方程，运用所学的方法进行解法。

教师在这个过程中给予适当的引导和指导。

4.巩固（10分钟）通过PPT展示一些典型的一元二次方程，让学生进行解法练习。

教师在这个过程中及时给予反馈和纠正。

一元二次方程的解教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法教学目标【知识与技能】1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程.2.学会用直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程.3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.【教学重点】运用配方法解一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为形如（x+n）2=d(d≥0)的过程.教学过程一、情景导入，初步认知1.根据完全平方公式填空：（1）x2＋6x＋9＝( )2（2）x2－8x＋16＝( )2（3）x2＋10x＋( )2＝( )2（4）x2－3x＋( )2＝( )22.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？3.你会解方程x 2＋6x －16＝0吗?你会将它变成(x ＋m)2＝n （n 为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x 2＋1＝3x 呢？【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 1.解方程：x 2-2500=0.问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? 把方程写成x 2=2500这表明x 是2500的平方根，根据平方根的意义，得因此，原方程的解为x 1=50,x 2=-50【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根. 2.解方程（2x+1）2=2 解：根据平方根的有意义，得或 因此，原方程的根为x 1=2,x 2=-23.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？ 【归纳结论】对于形如（x+n ）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解.直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n ）2=d (d≥0)，然后直接开平方得和.4.解方程x 2+4x=12我们已知，如果把方程x 2+4x=12写成（x+n ）2=d 的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n ）2的形式呢？我们学过完全平方式，你能否将左边x 2+4x 添上一项使它成为一个完全平方式.请相互交流.写出解题过程.【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.5.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流.试着写出解题过程.6.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式.三、运用新知，深化理解1.见教材P33例3、P34例4.2.列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导.）（1）x2-10x+24=0；（2）(2x-1)(x+3)=5；（3）3x2-6x+4=0.解：（1）移项，得x2-10x=-24配方，得x2-10x+25=-24+25，由此可得(x-5)2=1，x-5=±1，∴x1=6，x2=4.（2）整理，得2x2+5x-8=0.移项，得2x2+5x=8二次项系数化为1得x2+5/2x=4，配方，得x2+5/2x+(5/4)2=4+(5/4)2(x+5/4)2=89/16，由此可得，x1，x2.（3）移项，得3x2-6x=-4二次项系数化为1，得x2-2x=-4/3，配方，得x2-2x+12=-4/3+12,(x-1)2=-1/3因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.3.解方程x2-8x+1=0分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式.解：x2-8x+1=0移项得：x2-8x=-1配方得：x2-8x+16=-1+16即(x-4)2=15两边开平方得：x-∴x1x2=44.用配方法将下列各式化为a(x+h)2+k的形式.(1)-3x2-6x+1；(2)2/3y2+1/3y+2；(3)0.4x2-0.8x-1.解：(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-1/3)=-3(x2+2x+12-12-1/3)=-3［(x+1)2-4/3］=-3(x+1)2+4(2)2/3y2+1/3y－2=2/3(y2+1/2y－3)=2/3［y2+1/2y+(1/4)2－(1/4)2－3］=2/3［(y+1/4)2－49/16］=2/3(y+1/4)2－49/24.(3)0.4x2-0.8x-1=0.4(x2-2x-2.5)=0.4［(x2-2x+12)-12-2.5］=0.4(x-1)2-1.4【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第1、2、3题.教学反思在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动.同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

17.2 一元二次方程及其解法（一）教案【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定例题1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得， 所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以 ． 其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例题2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为． 举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）例题3. 若0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解， ∴2280m m +-=∴24m m ==-或①当20m -≠∴4m =-∴原方程为：2630x x -+= 2490b ac =-=>∴此方程有两个不相等的根．2630x x -+=()3210x x --=解得：00.5x =或②当2m =∴30x =∴0x =【总结】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．类型四、用直接开平方法解一元二次方程例题4.解方程（1）3x2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64，所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．类型五、因式分解法解一元二次方程例题5．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【总结】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．例题6．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式.用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】()()()21 85860;x x +-++= （2）3(21)42x x x +=+ 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=.。

一元二次方程的解法教案一、引言二次方程是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题和推导数学理论中具有广泛的应用。

本教案将介绍一元二次方程的解法，帮助学生理解和掌握解二次方程的方法。

二、一元二次方程的定义一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0（其中a、b、c为实数且a ≠ 0）的方程。

三、一元二次方程的解法1. 完全平方公式一元二次方程可以通过完全平方公式求解，该公式为x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)。

具体步骤如下：a) 计算判别式Δ = b² - 4ac。

b) 如果Δ大于0，则方程有两个不相等的实数根；如果Δ等于0，则方程有一个实数根；如果Δ小于0，则方程无解。

c) 根据完全平方公式，带入求解公式x = (-b ± √Δ) / (2a)中，计算得到解。

2. 因式分解法对于一些简单的一元二次方程，可以通过因式分解的方法求解。

具体步骤如下：a) 将一元二次方程表示为两个一次因式相乘的形式，即ax² + bx + c = (px + q)(rx + s)。

b) 根据等式两边对应项相等的原则，列出方程组并求解，得到一次因式的值。

c) 根据一次因式的值，解出原方程的解。

3. 完全平方方法对于一些特殊的一元二次方程，可以通过完全平方方法求解。

具体步骤如下：a) 将一元二次方程利用配方法变形为(a ± b)² = c的形式。

b) 根据(a ± b)² = c的性质，解出a ± b，并利用负数的性质得到原方程的解。

四、例题演练1. 求解方程x² - 3x - 4 = 0。

a) 计算判别式Δ = (-3)² - 4*1*(-4) = 25。

b) Δ大于0，方程有两个不相等的实数根。

利用完全平方公式x = (-(-3) ± √25) / (2*1)，得到x₁ = 4、x₂ = -1。

17.2 一元二次方程的解法第1课时直接开平方法【知识与技能】认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解.【过程与方法】培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.【情感态度】通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知. 【教学重点】用直接开平方法解一元二次方程.【教学难点】（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法;（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解.一、创设情境，导入新课1.口答题：4 的平方根是，81的平方根是， 81的算术平方根是 .2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?学生回答：（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（2）平方根有下列性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；②零的平方根是零；③负数没有平方根.【教学说明】 以上问题让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.二、合作探究，探索新知1.教师设问：如何求出适合等式x 2＝4的x 的值呢?学生思考，尝试解答2.根据平方根的定义，由x 2＝4可知，x 就是4的平方根，因此x 的值为2和－2 即根据平方根的定义，得x 2＝4,x ＝±2即此一元二次方程的解为： x 1＝2，x 2 ＝-23.小结：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.【教学说明】根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法.4.提问：怎样解方程(x+1)2=256?让学生说出解法，教师板书.解:直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x 1＝15，x 2＝－175.教师小结：对于形如x 2=a （a ≥0)或（x+h ）2=a(a ≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解.解一元二次方程的基本思想是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程.【教学说明】 这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆.三、示例讲解，掌握新知例1 解下列方程：（1）x 2＝2； （2）4x 2－1＝0.【分析】第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再将两边同时除以4化为x 2＝a 的形式，再用直接开平方法解之.【教学说明】形如方程ax 2-k=0(a k ≥0)可变形为x 2=a k (ak ≥0)的形式，即方程左边是关于x 的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程.例2 解下列方程：（1）（x ＋1）2＝2;（2）（x －1）2－4 ＝0;（3）12（3－x ）2－3 ＝0.【分析】 第1小题中只要将（x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样的解法；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样去解即可.【教学说明】（1）解形如（x+h ）2=k(k ≥0)的方程时，可把（x+h ）看成整体，然后直接开平方；（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数；（3）如果变形后形如（x+h ）2=k 中的k 是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根；（4）如果变形后形如(x+h)2=k 中的k ＝0这时可得方程两根相等.四、练习反馈，巩固提高1.若8x 2-16=0，则x 的值是 .2.如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是 .3.如果a 、b 为实数，满足43 a +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是 .4.用直接开平方法解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）4x2-16＝0;（4）（x＋2）2－16＝0【答案】1.±2 2.9或-3 3.-8【教学说明】学生易错的是开方时应该是两种情况，学生可能只写一种，所以教师要进行强调.第2题应该先两边除以2，再进行开方求解.五、师生互动，课堂小结1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）.2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用.两边开平方实际上是二次方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化，由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径.3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解.【教学说明】教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结，为后面的学习奠定基础.完成同步练习册中本课时的练习.一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元”、“转化”等重要的数学思想方法.因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.。

17.2 .1 配方法课题17.2 一元二次方程的解法—配方法教学目标1．巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；2．会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。

教学设想1．教学的重点是用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。

2．当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节教学的难点。

教学程序与策略一、认识解方程提问，板演 (观察学生怎么解决)。

为以后认识一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系（思考与领悟）做铺垫。

1.开平方法：形如。

2.①先把移项得；②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得，即，当时，就可以通过开平方法求出方程的根。

二、新课教学1.引例（当a=1时）解方程.观察与思考，小组讨论：领悟配方法解方程的数学思想。

2.例1 用配方法解下列一元二次方程（1）；（2）。

（补充）例用配方法解方程2x2＋12x+9=0。

引导学生总结用配方法解一元二次方程的步骤。

课堂练习（课件展示）3．课本课内练习1、2学生完成解题后出示答案。

4．增加二次项系数为小数与分数的方程：用配方法解下列方程：（1）；（2）。

三、课堂小结问：这一节课学习了什么？四、布置作业习题17.2第1、2、3题教后反思录17.2.2 公式法知识与技能目标1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力．过程与方法目标1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点．情感态度与价值观1.通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；2.培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．重点和难点重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程；难点：对一元二次方程的一般式进行配方，推导一元二次方程求根公式．教具准备多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问题思考如何用配方法解下列方程？二、探究归纳，讲解新课让学生独立解决问题，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？用配方法解一元二次方程的步骤：(1)化二次项系数为1；(2)移项；(3)配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）开方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．让学生仿照问题(1)，讨论尝试求解问题(2)；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？指出当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程．探索我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．因为a≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a，得，移项，得，配方，得，即．因为a≠0，所以4a2＞0，当b2-4ac≥0时，得，即．所以，即．上面的式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．从上面的结论可以发现：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入(b2-4ac≥0)中，可求得方程的两个根．思考当 b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎样？三、实践应用，讲解例题例1解方程：。