学练考_学年高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定练习新人教A版必修2【含答案】

2．3.2 平面与平面垂直的判定基础梳理1．二面角．(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．如图，记作：二面角αlβ或PABQ或PlQ．(2)二面角的平面角．如图，二面角αlβ，若有：①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l.则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．练习1：若α⊥β，a⊂α，则a⊥β，对吗？答案：错练习2：若α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，则a⊥β，对吗？答案：错练习3：若a∥b，a⊥α，则b⊥α，对吗？答案：对2．面面垂直．(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：α⊥β．(3)面面垂直的判定定理．文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a⊥βa ⊂α⇒α⊥β►思考应用1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？解析：如图，在二面角αl β的棱上任取点O ，以O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 组成∠AOB.再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l 的垂线O ′A ′和O′B′，则它们组成∠A′O′B′.因为OA∥O′A′，OB ∥O ′B ′，所以∠AOB 与∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，即∠AOB＝A′O′B′.上述结论说明了按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关． 2．应用面面垂直的判定定理的关键是什么？解析：应用此定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．自测自评1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(D )A ．0个B ．1个C ．无数个D ．1个或无数个解析：当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个． 2．下列说法：①二面角的大小是用平面角来度量的；②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的； ③二面角的大小由其平面角的顶点在棱上的位置确定．其中正确说法的个数是(C)A．0 B．1 C．2 D．3解析：由二面角的定义可知，①②正确；③不正确．3．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则(D)A．α⊥βB．α与β相交C．α∥βD．以上都有可能4．若平面α与平面β不垂直，那么α内能与β垂直的直线(A)A．有0条B．有一条C．有2条D．有无数条5．若α∥β，a⊥α，则a与β的位置关系是垂直．题型一利用二面角解决相关问题题型二平面与平面垂直的判定及综合应用基础达标1．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(B)A．相等B．互补C．互余D．无法确定解析：如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角αlβ的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(C)A．有一个B．有两个C．有无数个D．不存在解析：经过l的任一平面都和α垂直．3．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有(B)A．8对B．7对C．6对D．5对解析：如图，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.4．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(D)A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交，但不垂直D．以上都有可能5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是(D) A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m⊥α，n∥α，则m⊥n6．将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为________．解析：设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.∴BD⊥CE，BD⊥A1E.∴∠A1EC为二面角A1­BD­C的平面角．∴∠A1EC＝60°.又A1E＝CE，∴△A1EC是等边三角形．∴A1E＝CE＝A1C＝32a.即折叠后点A到C之间的距离为32a.巩固提升7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1­BD­A的正切值为(C)A.32B.22C. 2D. 3解析：如图所示连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角．设AA1＝1，则AO＝22.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.8．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和CC1于E，F两点．(1)求证：A1E＝CF；(2)若E，F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1.证明：(1)由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1，又平面BCC1B1∥平面ADD1A1，∴D1E∥BF，同理BE∥D1F，∴四边形EBFD1为平行四边形，∴D1E＝BF，∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°，∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，∴A1E＝CF.(2)∵四边形EBFD1是平行四边形．AE＝A1E，FC＝FC1，∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．连接EF，BD1，A1C1∵四边形EBFD1为菱形，∴EF⊥BD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，∴B1D1⊥平面A1ACC1，又EF⊂平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1，又B1D1∩BD1＝D1，∴EF⊥平面BB1D1，又EF⊂平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1.9．如图甲，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图乙．(1)求二面角ABCD的正切值；(2)求证：AD⊥平面BDE.(1)解析：取AE中点O，BC中点F，连接DO，OF，DF(如图)．由题知：AB＝2AD，DE＝EC，∴AD＝DE，∴DO⊥AE，又∵平面ADE⊥平面ABCE，∴DO⊥平面ABCE，又∵AB⊥BC，OF∥AB，∴OF⊥BC，由三垂线定理得DF⊥B C，∴∠DFO为二面角ABCD的平面角．在Rt△DOF中，DO＝22a，OF＝a＋2a2＝32a，∴tan∠DFO＝22a32a＝23.即二面角ABCD的正切值是23.(2)证明：连接BE，则BE＝a2＋a2＝2a，又AE＝2a，AB＝2a，∴AB2＝AE2＋EB2，∴AE⊥EB.由(1)知DO⊥平面ABCE，∴DO⊥BE，又∵DO∩AE＝O，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥AD，又∵AD⊥DE，BE∩DE＝E，∴AD⊥平面BDE.1．二面角是从一条直线出发的两个半平面组成的图形．其大小是用二面角的平面角来度量的．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两边分别与二面角的棱垂直．求二面角的平面角的难点和关键在于正确地作出二面角的平面角，其过程是“一作、二证、三计算”．2．面面垂直的判定有两个方法，其一是根据定义，其二是根据判定定理．根据定义，判定实质上转化成了求二面角的平面角；根据判定定理判定面面垂直，难点和关键是在其中一个平面内找到另一个平面的垂线．。

2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b别离和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点动身，别离在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的极点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③B．②④C．③④D．①②解析：选B 由二面角的概念：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b别离垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不必然垂直于二面角的棱，故③不对；由概念知④正确．故选B.2．一个二面角的两个半平面别离垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )A．相等B．互补C．不肯定D．相等或互补答案：C3.在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：选C 由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选A ∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( )解析：选C 如右图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD . 又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角． 设AA 1＝1，则AO ＝22. ∴tan ∠A 1OA ＝122＝ 2.二、填空题6．通过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个． 解析：设面外的点为A ，面内的点为B ，过点A 作面α的垂线l ，若点B 恰为垂足，则所有过AB 的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B 不是垂足，则l 与点B 肯定唯一平面β知足α⊥β.答案：1个或无数个7．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________． 解析：如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为1，极点A 在底面BCD 上的射影为O ，连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE ，则E 为BC 的中点，故AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴∠AEO 为侧面ABC 与底面BCD 所成二面角的平面角． 在Rt △AEO 中，AE ＝32，EO ＝13ED ＝13·32＝36， ∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝13.答案：138．在一个倾斜角为60°的斜坡上，沿着与坡脚面的水平线成30°角的道路上坡，行走100 m ，实际升高了________ m.解析：如右图，构造二面角α－AB －β，在直道CD 上取一点E ，过点E 作EG ⊥平面β于G ，过G 作GF ⊥AB 于F ，连接EF ，则EF ⊥AB .∴∠EFG 为二面角α－AB －β的平面角， 即∠EFG ＝60°.∴EG ＝EF ·sin 60°＝CE ·sin 30°·sin 60° ＝100×12×32＝253(m)．答案：25 3 三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD .证明：连接AC ，交BD 于点F ，连接EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线， ∴EF ∥SC . ∵SC ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面EDB . ∴平面EDB ⊥平面ABCD .10．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E . ∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ， ∴A ′M ⊥CD .在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ， 又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又A ′N ⊂平面A ′BE ， ∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .。

2.3.2平面与平面垂直的判定1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2．下列说法正确的是()A．二面角的大小范围是大于0°且小于90°B．一个二面角的平面角可以不相等C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，其中正确的命题是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β4．在三棱锥A-BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么() A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面BCD⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BCD5．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，DC＝AD，点E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是__________．7．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是__________．8．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图K2-3-4，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P为△ABC所在平面外一点，P A＝PB ＝PC，求证：平面P AC⊥平面ABC.图K2-3-410．如图K2-3-5，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B∥平面ADC1.图K2-3-52．3.2平面与平面垂直的判定1．D 2.D 3.B 4.C5．C解析：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β不正确；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β正确；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β正确，所以正确的命题有2个．6．垂直解析：∵AD＝DC，点E是AC的中点，∴DE⊥AC.同理BE⊥AC.又BE∩DE ＝E，∴AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE.7．60°8．B解析：只有①④是正确命题．9．证明：取AC的中点O，连接PO，OB.∵AO＝OC，P A＝PC，∴PO⊥AO.又∵∠ABC＝90°，∴OB＝OA.又∵PB＝P A，PO＝PO，∴△POB≌△POA，∴PO⊥OB.又∵OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，且OA∩OB＝O，∴PO⊥平面ABC.又∵PO⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面ABC.10．证明：(1)因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1.因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1.(2)如图D57，连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B.因为OD⊂平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.图D57。

课后导练基础达标1Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C的形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能解析：设∠B为直角，由条件知AB∥α,由线面平行的性质知AB∥A1B1，又BC⊥AB，∴BC⊥A1B1，又知BB1⊥α,∴BB1⊥A1B1,∴A1B1⊥面BB1C，∴A1B1⊥B1C，∴△A1B1C为直角三角形.答案：A2设有直线m,n和平面α、β，则下列命题中，正确的是（）A.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βB.若m⊥α,m⊥n,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥βD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β解析：A错，当α与β相交时，也有可能m∥n且m⊂n,n⊂β;B错，当α∩β=n时，也满足条件；C对，因为m∥n,n⊥β,∴m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β;D错，因为m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又n⊥β,∴α∥β.答案：C3关于直线a,b,l以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a∥β,则α⊥β解析：A错.满足条件的a,b可平行，可相交也可异面；B错，例如，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥面ABCD且A1D1⊥A1B，但A1B与面ABCD不垂直；C错，若a与b相交，则l⊥α,否则l不一定垂直α;D对.答案：D4(2006广东，5)给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.1解析：①②④正确.①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行；④面面垂直的判定定理.答案：B5空间四边形ABCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD，那么有（）A.平面ABC ⊥平面ADCB.平面ABC ⊥平面ADBC.平面ABC ⊥平面DBCD.平面ADC ⊥平面DBC解析：∵AD ⊥BC,BD ⊥AD,BC∩BD=B,∴AD ⊥面BCD.又AB ⊂面ADC ，∴面ADC ⊥面BCD ，故选D.答案：D6如图所示，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则图中互相垂直的平面共有（ ）A.3对B.4对C.5对D.6对解析：∵PA ⊥面ABCD ，且PA ⊂面PAB ，PA ⊂面PAD ，PA ⊂面PAC ，∴面PAB 和面PAC 和面PAD 都与面ABCD 垂直，又AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥面PAB ，又AD ⊂面PAD ，∴面PAB ⊥面PAD ，同理可证面PBC ⊥面PAB ，面PCD ⊥面PAD.答案：D7如图，P 是二面角α-AB-β的棱AB 上一点，分别在α、β上引射线PM 、PN,截PM=PN ，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是_________________.解析：过M 在α作MO ⊥AB 于点O ，连NO ，设PM=PN=a,又∠BPM=∠BPN=45°,∴△OPM ≌△OPN ，∴ON ⊥AB ，∴∠MON 为所求二面角的平面角，连MN ，∵∠MPN=60°,∴MN=a ，又MO=NO=22a,∴MO 2+NO 2=MN 2. ∴∠MON=90°.答案：90°8如图，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC ，求证：平面ABC ⊥平面SBC.证法一：利用定义证明：∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB 和△ASC 是等边三角形，则有SA=SB=SC=AB=AC ，令其值为a ，则△ABC 和△SBC 为共底边BC 的等腰三角形，取BC 的中点D ，连AD 、SD 则AD ⊥BC ，SD ⊥BD ，所以∠ADS 为二面角A-BC-S 的平面角，在Rt △BSC 中，∵SB=SC=a,∴SD=22a,BD=222=BC a ， 在△ADS 中，AD=22a ， ∵SD 2+AD 2=SA 2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S 为直二面角，故平面ABC ⊥平面SBC.证法二：利用判定定理∵SA=AB=AC,∴点A 在平面SBC 上的射影为△SBC 的外心，∵△BSC 为直角三角形，∴A 在△BSC 上的射影D 为斜边BC 的中点，∴AD ⊥平面SBC ，又∵平面ABC 过AD ，∴平面ABC ⊥平面SBC.综合应用9已知：m 、l 为直线,α,β为平面,给出下列命题：①若l 垂直于α内的两条相交直线,则l ⊥α②若l 平行于α,则l 平行于α内的所有直线③若m ⊂α,l ⊂β,且l ⊥m,则α⊥β④若l ⊂β,且l ⊥α,则α⊥β⑤若m ⊂α,l ⊂β,且α∥β,则m ∥l其中正确命题的序号是_________.解析：由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；对于②，若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；对于③，满足题设的平面α、β有可能平行或相交（但不垂直），不能推出α⊥β,故③是错误的；由面面垂直的判定定理知，④是正确的；对于⑤，m与l可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误的.故正确的命题是①④.∴应填①④.答案：①④10在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找一个平面与平面DA1C1垂直，则该平面是________（写出满足条件的一个平面即可）.解析：连结AD1，在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，又AB⊥面ADD1A1，A1D⊂面ADD1A1, ∴AB⊥A1D，又AD1∩AB=A,∴A1D⊥面ABD1，又A1D⊂面DA1C1，故平面ABD1⊥平面DA1C1.答案：平面ABD1（注：凡平面内有直线BD1的皆可）11如图，在空间四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD,E、F、G分别是AD、DC、CA的中点，求证：平面BEF⊥平面BDG.证明：连结E，F，∵E,F分别为AD，DC中点，∴EF∥AC，又∵AB=BC，AD=CD，G为中点，∴DG⊥AC，BG⊥AC,∴EF⊥DG，EF⊥BG，又BG∩DG=G,∴EF⊥面BDG，又∵EF⊂面BEF.故平面BEF⊥平面BDG.拓展探究12如图所示，已知P是边长为a的菱形ABCD所在平面外一点，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a,E为PA的中点.(1)求证：平面EDB ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A-EB-D 的正切值.证明：（1）设AC∩BD=O,则O 为AC 中点，又∵E 为PA 中点，∴EO ∥PC,又∵PC ⊥面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，又知EO ⊂面EDB ，故平面EDB ⊥平面ABCD（2）由（1）知EO ⊥AO ，又知四边形ABCD 为菱形，∴AO ⊥BD,又BD∩EO=O ，∴AO ⊥面BDE ，过O 作OF ⊥BE 于点F ，又AO ⊥BE ，AO∩OF=O ，∴BE ⊥面AOF ，∴BE ⊥AF ，∴∠AFO 为所求二面角的平面角. 由BC=AB=a,∠ABC=60°知AC=a,BO=2322=-AO AB a,又EO=21PC=21a, ∴BE=22BO EO +=a,∴OF=43=•BE OB OE a, 又AO=a 2a ,在Rt △AOF 中， tanAFO=332=OF AO , 故二面角A-EB-D 的正切值为332.。

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角()A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是() A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.答案：C3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°.答案：A4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案：D5．已知m，n为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥βC．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β解析：α∥β，m⊥α⇒m⊥β，n∥β⇒m⊥n.答案：C二、填空题6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC ＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP ＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.答案：45°8.如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝32，则二面角S-BC-A的大小为________．解析：如图所示，取BC的中点O，连接SO，AO.因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角．在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1·sin 60°＝32.同理可求SO＝3 2.又SA＝32，所以△SOA是等边三角形，所以∠SOA＝60°，所以二面角S-BC-A的大小为60°.答案：60°三、解答题9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1CD1⊥面C1BD.证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AC⊥BD，因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD.又因为AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面ACA1，又因为A1C⊂平面ACA1，所以BD⊥A1C，同理BC1⊥A1C，因为BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面C1BD，因为A1C⊂平面A1CD1，所以面A1CD1⊥面C1BD.10．如图所示，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．(1)证明SO⊥平面ABC；(2)求二面角A-SC-B的余弦值．(1)证明：如图所示，由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA.连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝22SA，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO＝22SA.从而OA 2＋SO 2＝SA 2，所以△SOA 为直角三边形，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2)解：取SC 的中点M ，连接AM ，OM .由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC .所以∠OMA 为二面角A -SC -B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O ，得AO ⊥平面SBC .所以AO ⊥OM .又AM ＝32SA ，AO ＝22SA ，故sin ∠AMO ＝AO AM ＝23＝63.所以二面角A -SC -B 的余弦值为33.B 级 能力提升1．在空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，那么有()A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：因为AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，所以AD ⊥平面DBC .又因为AD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面DBC .答案：D2．矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝435，则二面角A -BD -P 的度数为________． 解析：过点A 作AE ⊥BD ，连接PE ，则∠AEP 为所求角．因为由AB ＝3，AD ＝4知BD ＝5，又AB ·AD ＝BD ·AE ，所以AE ＝125.所以tan ∠AEP ＝435125＝33.所以∠AEP ＝30°. 答案：30°3．(2015·课标全国Ⅰ卷节选)如图所示，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .证明：平面AEC ⊥平面AFC .证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.，可得EF 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.。

2.3.2 平面与平面垂直的判定【选题明细表】1.下列说法中,正确的是( B )(A)垂直于同一直线的两条直线互相平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面互相平行(D)平行于同一平面的两条直线互相平行解析:A.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.B.正确.C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.只有B正确.2.(2018·江西三市联考)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( C )(A)若a∥α,b∥α,则a∥b (B)若a∥α,a∥β,则α∥β(C)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(D)若a∥α,α⊥β,则a⊥β解析:选项A.若a∥α,b∥α,则a∥b,或a,b异面或a,b相交,A错;选项B.若a∥α,a∥β,则α∥β,或α∩β=b,B错;选项C.若a∥b,a ⊥α,则b⊥α,C正确;选项D.若a∥α,α⊥β,则a⊂β或a∥β或a⊥β,D错.故选C.3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P BC A的大小为( C )(A)60°(B)30°(C)45°(D)15°解析:易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角P BC A的平面角,在Rt △PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.故选C.4.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有( D )(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对解析:由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC ⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对.选D.5.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体A BCD,则在几何体A BCD中,下列结论正确的是( D )(A)平面ABD⊥平面ABC(B)平面ADC⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDC(D)平面ADC⊥平面ABC解析:由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.选D.6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B AD C的大小为( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B AD C的平面角,其大小为60°.故选C.7.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC= .解析:因为在原△ABC中,AD⊥BC,所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B AD C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在Rt△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=,所以BC==1.答案:18.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(2)解:设棱锥B DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.9.(2018·兰州诊断)在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为( B )(A) (B) (C)(D)解析:如图,设D为BC的中点,连接AD,A1D,A1C,A1B,过A作A1D的垂线,垂足为E,则BC⊥A1D,BC⊥AD,所以BC⊥平面A1AD,则BC⊥AE.又AE⊥A1D,所以AE⊥平面A1BC,由条件可得AD=AB=,A1D==2,由面积相等得AE·A1D=AA1·AD,即AE==,故选B.10.正方体ABCD A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BD A的正切值等于.解析:设AC与BD相交于O点,因为ABCD A1B1C1D1为正方体,所以AO⊥BD,又AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AO∩AA1=A,所以BD⊥平面A1AO,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA为二面角A1BD A的平面角,设正方体的棱长为a,在直角△A1AO中,AA1=a,AO=a,所以tan∠A1OA==.答案:11.四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A BE P的大小.(1)证明:如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解:由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A BE P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA==,∠PBA=60°,故二面角A BE P的大小是60°.12.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:B1C1⊥平面ABB1A1;(3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE,并说明理由.(1)证明:连接AB1,与A1B相交于M,则M为A1B的中点,连接MD.又D为AC的中点,所以B1C∥MD.又B1C⊄平面A1BD,MD⊂平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)证明:因为AB=B1B,所以四边形ABB1A1为正方形.所以A1B⊥AB1.又因为AC1⊥平面A1BD,所以AC1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C1,所以A1B⊥B1C1.又在棱柱ABC A1B1C1中BB1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A.(3)解:当点E为C1C的中点时,平面A1BD⊥平面BDE, 因为D,E分别为AC,C1C的中点,所以DE∥AC1.因为AC1⊥平面A1BD,所以DE⊥平面A1BD.又DE⊂平面BDE,所以平面A1BD⊥平面BDE.。

人教A 版高中数学必修二2.3.2平面与平面垂直的判定【课时训练2】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与c 所成的角的大小为（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30° 2．在正四面体P ABC -中，DEF ，，分别是AB BC CA ，，的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC3．如图PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥5．如图，在三棱锥P-ABC 中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E ，F ，G 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是 ( )A ．平面EFG∥平面PBCB ．平面EFG⊥平面ABCC ．∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角D ．∠FEG 是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角6，侧面与底面所成的二面角是 ( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．75°7．如图，P 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中BC 1上的动点，下列说法：①AP ⊥B 1C ；②BP 与CD 1所成的角是60°；③三棱锥1P AD C -的体积为定值；④B 1P∥平面D 1AC ；⑤二面角P -AB-C 的平面角为45°.其中正确说法的个数有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与CD 所成的角为60°；④AB 与平面BCD 所成的角为60°．其中错误的结论是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④9．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题10．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)11．A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.三、解答题12．如图所示，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB 是正三角形，PA⊥PC．(1)求证：平面PAC⊥平面ABC．(2)求二面角D-AP-C的正弦值.13．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB 是圆台的一条母线.（Ⅰ）已知G,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（Ⅱ）已知EF=FB=12AC= AB=BC ．求二面角 F BC A --的余弦值. 14．如图，四边形ABCD 是正方形，△PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点.（1）求证：AF EF ⊥；（2）求二面角A PC B --的平面角的正弦值.参考答案1．C【分析】,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c 分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量的关系，即可求解.【详解】设直线,b c 的方向向量,b c ，,b c αβ⊥⊥，所以,b c 分别是平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为60°，,b c 的夹角为060或0120，因为异面直线所的角为锐角或直角，所以b 与c 所成的角为060.故选:C.【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.2．C【分析】由D E F ，，分别是AB BC CA ，，的中点，根据正四面体的结构特征，以及线面位置的判定与证明，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，在正四面体P ABC -中，D E F ，，分别是AB BC CA ，，的中点，则//DF BC ，可得BC ∥平面PDF ，故A 正确，若PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 在AE 上，则DF PO ⊥，又DF AE ⊥，故DF ⊥平面PAE ，故B 正确.由DF ⊥平面PAE ，可得平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中正确把握空间几何体的结构特征，熟记线面平行的判定定理与性质定理，以及线面垂直的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．D【解析】试题分析：观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面几组互相垂直的平面：面PAC ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ，面PCD ⊥面PAC ，面PBD ⊥面PAB ，面PAC ⊥面PAB ，一共5对，故选D ．考点：面面垂直的判定．4．D【解析】试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系.5．D【详解】对于A ，因为点E ，F 分别是AB,AP 的中点，所以EF PB ，又EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以EF 平面PBC ．同理EG ∥平面PBC ，又EF EG E =,所以平面EFG ∥平面PBC ．因此A 正确．对于B ，因为,,PC BC PC AC BC AC C ⊥⊥⋂=,所以PC ⊥平面ABC ．又FG PB ,所以FG ⊥平面ABC ，又FG ⊂平面FGE ，所以平面FGE ⊥平面ABC ．因此B 正确．对于C ，由于平面EFG ∥平面PBC ，且与平面PAB 交于EF ，PB ，∴EFPB所以∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角．因此C 正确．对于D ，由于FE,GE 与AB 不垂直，所以∠FEG 不是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角，因此D 不正确．综上选项D 不正确．选D ．6．A【解析】如图，设O 为底面正三角形的中心，则PO ⊥平面ABC ，所以2OC =。

山西省人教A版高中数学必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定同步练习姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）如图，在三棱锥中，，则直线与所成角的大小是（）A .B .C .D .2. （2分）已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）A . 平面ABD⊥平面ADCB . 平面ABD⊥平面ABCC . 平面ADC⊥平面BCDD . 平面ABC⊥平面BCD4. （2分） (2017高一上·辽宁期末) 设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（）A . 若m∥α，n∥α，则m∥nB . 若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥βC . 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD . 若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5. （2分）“如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面构成一组正交线面对；如果两个平面互相垂直，则称这两个平面构成一组正交平面对．”在正方体的12条棱和6个表面中，能构成正交线面对和正交平面对的组数分别是（）A . 12和12B . 24和24C . 24和12D . 48和246. （2分）在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD= ，则二面角B﹣AC﹣D的余弦值为（）A .B .C .D .7. （2分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高AA1=3，则BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·友谊开学考) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为BC、C1C的中点，那么异面直线MN与AC所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2016高二上·云龙期中) 设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；②若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中所有真命题的序号是________．10. （1分） (2018高二上·武邑月考) 棱长为1的正方体中，分别是的中点.① 在直线上运动时，三棱锥体积不变；② 在直线上运动时，始终与平面平行；③平面平面；④连接正方体的任意的两个顶点形成一条直线，其中与棱所在直线异面的有条；其中真命题的编号是________.（写出所有正确命题的编号）11. （1分） (2017高二下·杭州期末) 在△ABC中，∠ABC= ，边BC在平面α内，顶点A在平面α外，直线AB与平面α所成角为θ．若平面ABC与平面α所成的二面角为，则sinθ=________．三、解答题 (共3题；共35分)12. （10分）(2019·泸州模拟) 如图所示，在三棱柱中，四边形是长方形，，，，，连接．（1）证明：平面平面；（2）若，，，是线段上的一点，且，试求的值．13. （10分） (2019高三上·鹤岗月考) 如图，在直角梯形中， ,点是中点，且 ,现将三角形沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为 .（1）求证:平面平面 ;（2）求二面角的余弦值.14. （15分）(2019·四川模拟) 如图，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．（1）证明：平面；（2）若点M是AB中点，求二面角的余弦值；（3）判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共35分)12-1、12-2、13-1、13-2、14-1、14-2、14-3、。

第二章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面 ( C )A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在[解析] 经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．2．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是( B )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA ＝AC，则二面角P－BC－A的大小为 ( C )A．60°B．30°C．45°D．15°[解析] 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．4．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是 ( C )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[解析] 可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是 ( B )A．AC B．BD C．A1D1D．A1A[解析] 在正方体中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C.∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C，∴CE⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CE.二、填空题6．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P －ABC的四个面中，互相垂直的面有__3__对.[解析] ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.7．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角D －BC －A 的大小为__90°__.[解析] 如图，由题意知AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2.取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠DEA 为所求二面角的平面角． 易得AE ＝DE ＝2，又AD ＝2， 所以∠DEA ＝90°. 三、解答题8.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点.(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； [解析] (1)取EC 的中点F ，连接DF . ∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊CF .∵BD 綊CF ，∴MN 綊BD ，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC ＝2a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值．[解析] (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)设AC∩BD＝O，连接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC.又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝22a.在Rt △PDO 中，tan ∠POD ＝PD OD ＝a 22a＝ 2. B 级 素养提升一、选择题1．设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是 ( B ) A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直[解析] 由题意，m 与α斜交，令其在α内的射影为m ′，则在α内可作无数条与m ′垂直的直线，它们都与m 垂直，A 错；如图示(1)，在α外，可作与α内直线l 平行的直线，C 错；如图(2)，m ⊂β，α⊥β.可作β的平行平面γ，则m ∥γ且γ⊥α，D 错．2．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则△ABC 是 ( A ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 设正方形边长为1，AC 与BD 相交于O ，则折成直二面角后，AB ＝BC ＝1，AC ＝CO 2＋AO 2＝222＋222＝1，则△ABC 是正三角形．3．在二面角α－l －β中，A ∈α，AB ⊥平面β于B ，BC ⊥平面α于C ，若AB ＝6，BC ＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为 ( D )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°[解析] 如图，∵AB ⊥β，∴AB ⊥l ，∵BC ⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有 ( A )A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面[解析] 由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴选A．二、填空题5．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P－AB－C的大小为__60°__.－C的平面角．在△PAB中，PM＝22－32＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.6.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__BM⊥PC(其他合理即可)__时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)[解析] ∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM.∴平面PCD⊥平面BDM.C级能力拔高1．(2015·湖南)如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点.(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．[解析] (1)如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD ，因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB ，又三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，因此CD ⊥平面A 1AB 1B ，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角，由题设知∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝3， 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2， 所以FC ＝12AA 1＝22，故三棱锥F －AEC 的体积V ＝13S AEC ×FC ＝13×32×22＝612.2．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱 形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ； (2)求二面角A －BE －P 的大小．[解析] (1)证明：如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ， 又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ，又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE .而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故二面角A－BE－P的大小是60°.。

平面与平面垂直的判定一、选择题(每小题6分,共30分)1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面()A.有且只有一个B.一个或两个C.有且仅有两个D.一个或无数个2.已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是()A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β3.已知四面体P-ABC中的四个面均为正三角形,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC4.(2013·兰州高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C1-BD-C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°5.如图,一山坡的坡面与水平面成30°的二面角,坡面上有一直道AB,它和坡脚的水平线成30°的角,沿这山路行走20m后升高()A.20mB.15mC.10mD.5m二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·深圳高一检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是等边三角形,且AB=,AA1=,则二面角A1-BC-A等于.7.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=a,则PC=.8.在四面体A-BCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E 是CD的中点,则∠AED的度数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图所示,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上任意一点.求证:平面COD⊥平面AOB.10.如图,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.求证:(1)PA⊥面PBC.(2)平面PAC⊥平面ABC.11.(能力挑战题)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,且CD=2AB.(1)若AB=AD=a,直线PB与CD所成角为45°,①求四棱锥P-ABCD的体积;②求二面角P-CD-B的大小.(2)若E为线段PC上一点,试确定E点的位置,使得平面EBD⊥平面ABCD,并说明理由.答案解析1.【解析】选D.当此两点连线垂直于平面时,有无数个;当此两点连线不垂直于平面时,有1个.2.【解析】选D.由a∥α知α内必有直线l与a平行,而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.3.【解析】选C.A.成立.因为D,F分别是AB,CA的中点,所以BC∥DF.又BC⊄平面PDF,DF⊂平面PDF,所以BC∥平面PDF.B.成立.因为PB=PC,E是BC的中点,所以PE⊥BC.同理可证AE⊥BC.又AE∩PE=E,所以BC⊥平面PAE.又DF∥BC,所以DF⊥平面PAE.C.不成立.设DF∩AE=O,则O是DF的中点,因为DF⊥平面PAE,所以∠POE是二面角P-DF-E的平面角.因为O是DF的中点,PA≠PE,所以∠POE≠90°,所以平面PDF与平面ABC不垂直.D.成立.因为DF⊥平面PAE,DF⊂平面ABC,所以平面PAE⊥平面ABC.4.【解析】选A.因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以CC1⊥平面ABCD,所以BD⊥CC1.因为ABCD是矩形,且AB=AD,所以ABCD是正方形,所以BD⊥AC.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面AA1C1C,所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角,Rt△CC1O中∠C1CO=90°,CC1=,OC=BC=×2=,所以tan∠COC1===,所以∠COC1=30°.5.【解题指南】先作出山坡的坡面与水平面所成的二面角的平面角,然后标出有关数据计算点B到水平面的距离.【解析】选D.如图,作BH⊥水平面,垂足为H,过H作HC⊥坡脚线,垂足为C,连接BC,则∠BAC=30°,由BH⊥AC,HC⊥AC,BH∩HC=H知,AC⊥平面BHC,从而BC⊥AC,所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角,所以∠BCH=30°.在Rt△ABC中和Rt△BCH中,因为AB=20m,所以BC=10m,所以BH=5m.6.【解析】取BC的中点O,连接AO,A1O,因为△ABC是等边三角形,所以BC⊥AO.又因为AA1⊥平面ABC,所以BC⊥AA1.又AA1∩AO=A,所以BC⊥平面AA1O,所以BC⊥A1O,所以∠AOA1是二面角A1-BC-A的平面角,在Rt△AA1O中,AA1=,AO=AB=,∠A1AO=90°,所以∠AOA1=45°,即二面角A1-BC-A等于45°.答案:45°【变式备选】一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角()A.相等B.互补C.不确定D.相等或互补【解析】选C.举例如下:开门的过程中,门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面,但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定,而另一二面角却是90°,所以这两个二面角不一定相等或互补.7.【解析】连接AC.因为PA=AB=a,PB=a,所以PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.同理可证PA⊥AD.又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC,所以PC=== a.答案: a8.【解析】如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF,则由题意可得AF=CF=a,∠AFC=90°.在Rt△AFC中,易得AC=a,所以△ACD为正三角形,又因为E是CD的中点,所以AE⊥CD,所以∠AED=90°.答案:90°9.【证明】由题意得CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又因为二面角B-AO-C是直二面角,所以∠BOC=90°,所以CO⊥BO.又因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.因为CO⊂平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.10.【解题指南】(1)关键是根据△PDB是正三角形,D是AB的中点证明PA⊥PB.(2)关键是证明BC⊥平面PAC.【证明】(1)因为△PDB是正三角形,所以∠BPD=60°.因为D是AB的中点,所以AD=BD=PD.又∠ADP=120°,所以∠DPA=30°,所以∠DPA+∠BPD=90°,即∠APB=90°,所以PA⊥PB.又PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥面PBC.(2)因为PA⊥面PBC,所以PA⊥BC.因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.11.【解析】(1)因为AB∥CD,所以∠PBA是PB与CD所成的角,即∠PBA=45°,所以在Rt△PAB中,PA=AB=a.①V P-ABCD=·PA·S ABCD=·a·(a+2a)a=a3.②因为AB⊥AD,CD∥AB,所以CD⊥AD.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,所以∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.在Rt△PDA中因为PA=AD=a,所以∠PDA=45°,二面角P-CD-B的大小为45°.(2)当点E在线段PC上,且满足PE∶EC=1∶2时,平面EBD⊥平面ABCD.理由如下:连接AC,BD交于O点,连接EO.由△AOB∽△COD,且CD=2AB,所以CO=2AO,所以PE∶EC=AO∶CO =1∶2,所以PA∥EO.因为PA⊥底面ABCD,所以EO⊥底面ABCD.又EO 平面EBD,所以平面EBD⊥平面ABCD.。

《平面与平面垂直的判定》检测题
一、题组对点训练
对点练一二面角
1．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等B．互补
C．相等或互补 D.不确定
解析：选C 若方向相同则相等，若方向相反则互补．
2．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是( ) A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
平面角等于________．
解析：根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A­BC­A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.
答案：45°
对点练二平面与平面垂直的判定定理。

2.3.2 平面与平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．2．二面角的平面角如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．3．平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β ⇒α⊥β．一、选择题1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β3．设有直线M 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若M ∥n ，n ⊥β，M ⊂α，则α⊥β；②若M ⊥n ，α∩β＝M ，n ⊂α，则α⊥β；③若M ⊥α，n ⊥β，M ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在 5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A ．13B ．12C ．223D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，M 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①M ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④M ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD ．11．如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝3．(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ；(2)求二面角A —BE —P 的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面P AC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2．3．2 平面与平面垂直的判定 答案知识梳理1．两个半平面 这条直线 这两个半平面2．垂足 ∠AOB3．(1)直二面角 (2)垂线 a ⊂α作业设计1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B ．]2．C3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角．∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]6．C [如图所示，∵BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF ．∴A 正确．由BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，∴BC ⊥平面PAE ．∴DF ⊥平面PAE ．∴B 正确．∴平面ABC ⊥平面PAE(BC ⊥平面PAE)．∴D 正确．]7．45°解析 可将图形补成以AB 、AP 为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析 由PA ⊥面ABCD 知面PAD ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ，又PA ⊥AD ，PA ⊥AB 且AD ⊥AB ，∴∠DAB 为二面角D —PA —B 的平面角，∴面DPA ⊥面PAB ．又BC ⊥面PAB ，∴面PBC ⊥面PAB ，同理DC ⊥面PDA ，∴面PDC ⊥面PDA ．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明 ∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，∴AC ⊥平面BGD ．又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD ．∵EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面BGD ．11．(1)证明 如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ．又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ．又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE ．而PA ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面PAB ．又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB ．(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥BE ．又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝PA AB ＝3，则∠PBA ＝60°． 故二面角A —BE —P 的大小是60°．12．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知EF ∥BC ．因为EF ⊄平面ABC ．BC ⊂平面ABC ．所以EF ∥平面ABC ．(2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1．又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ．又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．13．(1)证明 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC ．又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ．又∵AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ．(2)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ．又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ．∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角．∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ．这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角．。

第二章2.3一、选择题1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是导学号92180477 ()A． (0 °， 90°) B ．[0°， 90°]C． (0 °，90°]D． [0°，180 °][答案 ]B[分析 ]由线面角的定义知 B 正确．2．在正方体ABCD －A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是导学号92180478 ()A． 1 B ．2C． 3D． 6[答案 ]B[分析 ]仅有平面 AC 和平面 A 1C1与直线 AA 1垂直．3．已知直线 m、n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面导学号 92180479 ()A．有且只有一个 B ．至多一个C．有一个或无数个D．不存在[答案 ]B[分析 ]若异面直线 m、n 垂直，则切合要求的平面有一个，不然不存在．4．直线 a 与平面α所成的角为 50°，直线 b∥a，则直线 b 与平面α所成的角等于导学号92180480 ()A． 40° B ．50°C． 90°D． 150 °[答案]B[分析 ]依据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知 b 与α所成的角也是50°.5．给出以下三个命题：导学号92180481①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．此中正确的个数是()A． 0B．1C．2D．3[答案] C[分析 ]①中三条直线不必定存在两条直线订交，所以直线不必定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，所以直线与平面垂直；③依据射影定义知正确．应选C．6.如图，已知六棱锥P－ ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC ，PA＝ 2AB ，则以下结论正确的选项是导学号92180482 ()A． PB⊥ ADB．平面 PAB⊥平面 PBCC．直线 BC ∥平面 PAED．直线 PD 与平面 ABC 所成的角为45°[答案 ]D[分析 ]设 AB长为1，由PA＝2AB得 PA＝ 2，又 ABCDEF 是正六边形，所以 AD 长也为 2，又PA⊥平面 ABC ，所以 PA⊥ AD ，所以△ PAD 为直角三角形．∵PA＝ AD ，∴∠ PDA ＝45°，∴PD 与平面 ABC 所成的角为 45°，应选D ．二、填空题7．已知△ ABC 所在平面外一点P 到△ ABC 三极点的距离都相等，则点P 在平面 ABC内的射影是△ABC 的 ________． (填“重心”、“外心”、“心里”、“垂心”)导学号92180483 [答案 ]外心[分析 ]P 到△ ABC三极点的距离都相等，则点P 在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．8．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________.导学号92180484 [答案 ]45°[分析 ]如图，设 C 在平面α内的射影为O 点，连结 AO ，MO ，则∠ CAO ＝30°，∠ CMO 就是 CM 与 α所成的角．设 AC ＝BC ＝1，则 AB ＝ 2，21∴ CM ＝ 2 ，CO ＝2.∴ sinCMO ＝ CM CO ＝ 22，∴∠ CMO ＝ 45°.三、解答题9.如图，在三棱锥 A － BCD 中， CA ＝ CB ， DA ＝DB ．作 BE ⊥ CD ， E 为垂足，作 AH ⊥ BE 于 H.求证： AH ⊥平面 BCD ． 导学号 92180485[分析 ]取 AB 的中点 F ，连结 CF 、 DF.∵ CA ＝CB ，DA ＝DB ，∴ CF ⊥AB ，DF ⊥AB ．∵ CF ∩DF ＝ F ，∴ AB ⊥平面 CDF.∵ CD? 平面 CDF ，∴ AB ⊥ CD ．又 CD ⊥ BE ， AB ∩BE ＝B ，∴ CD ⊥平面 ABE.∵ AH ? 平面 ABE ，∴ CD ⊥ AH.∵ AH ⊥ BE ， BE ∩CD ＝E ，∴ AH ⊥平面 BCD ．10.如图在三棱锥 P － ABC 中， PA ＝ PB ＝ PC ＝ 13，∠ ABC ＝90°， AB ＝ 8，BC ＝6， M为 AC 的中点 . 导学号 92180486(1)求证： PM ⊥平面 ABC ；(2)求直线 BP 与平面 ABC 所成的角的正切值．[分析 ] (1)∵ PA ＝PC ，M 为 AC 的中点，∴ PM ⊥ AC ．①又∠ ABC ＝ 90°，AB ＝ 8， BC ＝ 6，1∴AM＝MC ＝ MB ＝2AC ＝5.在△ PMB 中， PB ＝ 13， MB ＝ 5.PM ＝ PC 2－MC 2＝ 132－ 52＝ 12.∴ PB 2＝ MB 2 ＋PM 2，∴ PM ⊥ MB ．②由①②可知 PM ⊥平面 ABC ．(2)解：∵ PM ⊥平面 ABC ，∴ MB 为 BP 在平面 ABC 内的射影， ∴∠ PBM 为 BP 与底面 ABC 所成的角．PM 12在 Rt △PMB 中 tan ∠ PBM ＝ MB ＝ 5 .一、选择题1．如图，在正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， E 为 A 1C 1 上的点，则以下直线中必定与CE垂直的是 导学号 92180487 ()A ． ACC ． A 1D 1B ．BDD ．A 1A[答案 ]B[分析 ]∵BD ⊥ AC ， BD ⊥A 1A ， AC ∩A 1A ＝ A ，∴ BD ⊥平面 ACC 1A 1.又∵ CE? 平面 ACC 1A 1，∴ BD ⊥ CE.2．空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC 、BD 的关系是 导学号 92180488()A ．垂直且订交B ．订交但不必定垂直C．垂直但不订交D．不垂直也不订交[答案] C[分析 ]取BD中点O，连结AO、CO，则 BD⊥AO， BD⊥CO，∴BD⊥面 AOC，BD ⊥AC ，又 BD 、 AC 异面，∴选 C．3．如图，三条订交于点P 的线段 PA，PB ，PC 两两垂直， P 在平面 ABC 外， PH⊥平面 ABC 于 H，则垂足 H 是△ ABC 的导学号92180489 ()A．外心 B ．心里C．垂心D．重心[答案 ]C[分析 ]∵PC⊥PA， PC⊥ PB，PA∩ PB＝ P，∴ PC⊥平面 PAB ．又∵ AB ? 平面 PAB ，∴ AB ⊥ PC．又∵ AB ⊥ PH， PH∩PC ＝P，∴ AB ⊥平面 PCH.又∵ CH? 平面 PCH，∴ AB ⊥CH.同理 BC ⊥ AH ， AC ⊥BH.∴ H 为△ ABC 的垂心．4．如图， ABCD －A 1B 1C1D1为正方体，下边结论错误的选项是导学号 92180490 ()A． BD ∥平面 CB1D 1B． AC 1⊥ BDC． AC 1⊥平面 CB 1D1D．异面直线AD 与 CB 1所成的角为60°[答案] D[分析 ] ∵AD ∥ BC，∴∠ BCB 1为异面直线 AD 与 CB 1所成的角．又△ B1BC 为等腰直角三角形，故∠ BCB 1＝ 45°.即异面直线 AD 与 CB 1所成的角为 45°.二、填空题5．已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PC⊥ BD ，则平行四边形 ABCD 必定是________. 导学号 92180491[答案 ]菱形[分析 ]因为PA⊥平面ABCD，BD ?平面ABCD，所以 PA⊥ BD ．又 PC⊥ BD ，且 PC? 平面 PAC，PA? 平面 PAC，PC∩PA ＝P，所以 BD ⊥平面 PAC．又AC ? 平面 PAC，所以 BD ⊥ AC ．又四边形 ABCD 是平行四边形，所以四边形ABCD 是菱形．6．如下图，已知在矩形 ABCD 中， AB ＝ 1，BC ＝a(a>0)，PA⊥平面 AC ，且 PA＝ 1，若 BC 边上存在点 Q，使得 PQ⊥QD，则 a 的取值范围是 ________. 导学号 92180492[答案 ] [2，＋∞)[分析 ]因为PA⊥平面AC，QD?平面AC ，∴ PA⊥QD ．又∵ PQ⊥QD ， PA∩PQ＝ P，∴QD⊥平面 PAQ，所以 AQ ⊥QD．①当 0<a<2 时，由四边形 ABCD 是矩形且 AB ＝1 知，以 AD 为直径的圆与 BC 无交点，即对BC 上任一点 Q，都有∠ AQD<90°，此时 BC 边上不存在点 Q，使 PQ⊥QD ；②当 a＝ 2 时，以 AD 为直径的圆与BC 相切于 BC 的中点 Q，此时∠ AQD ＝ 90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD ；③当a>2 时，以AD为直径的圆与BC订交于点Q1、Q2，此时∠ AQ 1D＝∠ AQ 2D＝ 90°，故 BC 边上存在两点 Q(即 Q1与 Q2)，使 PQ⊥ QD ．三、解答题7．如下图，在棱长为 1 的正方体 ABCD － A 1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F是棱 CD 上的动点．试确立点 F 的地点，使得D1E⊥平面 AB 1F. 导学号92180493[分析 ]当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.连结 A 1B、CD 1，则 A 1B⊥ AB 1，A 1D 1⊥ AB 1，又 A 1D 1∩A1B ＝A 1，∴ AB 1⊥面 A 1BCD 1，又 D1E? 面 A 1BCD 1，∴ AB 1⊥ D1E.又 DD 1⊥平面 BD ，∴AF⊥DD1.又 AF⊥DE，∴AF⊥平面 D1DE ，∴AF⊥ D1E.∴D1E⊥平面 AB 1E.即当点 F 是 CD 的中点时， D 1E⊥平面 AB 1F.8．如下图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 3 3，BC ＝ 3，沿对角线 BD 将△ BCD 折起，使点 C 移到 C′点，且 C′点在平面 ABD 上的射影 O 恰在 AB 上 . 导学号 92180494(1)求证： BC′⊥平面 AC′D；(2)求直线 AB 与平面 BC′D所成角的正弦值．[分析 ] (1)∵点 C′在平面 ABD 上的射影O 在 AB 上，∴C′O⊥平面 ABD ，∴ C′O⊥DD ．又∵ DA ⊥ AB ，AB∩C′O＝O，∴DA ⊥平面 ABC′，∴ DA ⊥ BC′.又∵ BC⊥ CD，∴ BC′⊥ C′D．∵ DA∩C′D＝ D，∴ BC′⊥平面 AC′D．(2)如下图，过 A 作 AE ⊥ C′D，垂足为E.∵ BC′⊥平面 AC′D，∴ BC′⊥ AE.又∵ BC′∩ C′D＝C′，∴ AE ⊥平面 BC′D．连结 BE ，则 BE 是 AB 在平面 BC′D上的射影，故∠ ABE 就是直线AB 与平面 BC′D所成的角．∵DA ⊥ AB ， DA ⊥BC′，∴DA ⊥平面 ABC′，∴ DA ⊥ AC′.在 Rt△AC′B中，AC′＝ AB 2－ BC2＝3 2.在 Rt△BC′D中， C′D＝ CD ＝3 3.在 Rt△C′AD中，由面积关系，得AE ＝AC′· AD32×3＝ 6.＝33C′D∴在 Rt△ AEB 中，AE ＝ 6 ＝2，sin∠ ABE ＝AB333即直线 AB 与平面BC′D所成角的正弦值为23.。

(人教A版)必修2(2.3.2平面与平面垂直的判定)课后导练含解析基础达标1Rt△ABC在平面α内旳射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C旳形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能解析：设∠B为直角，由条件知AB∥α,由线面平行旳性质知AB∥A1B1，又BC⊥AB，∴BC⊥A1B1，又知BB1⊥α,∴BB1⊥A1B1,∴A1B1⊥面BB1C，∴A1B1⊥B1C，∴△A1B1C为直角三角形.答案：A2设有直线m,n和平面α、β，则下列命题中，正确旳是（）A.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βB.若m⊥α,m⊥n,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥βD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β解析：A错，当α与β相交时，也有可能m∥n且m⊂n,n⊂β;B错，当α∩β=n时，也满足条件；C对，因为m∥n,n⊥β,∴m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β;D错，因为m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又n⊥β,∴α∥β.答案：C3关于直线a,b,l以及平面α、β，下列命题中正确旳是（）A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a∥β,则α⊥β解析：A错.满足条件旳a,b可平行，可相交也可异面；B错，例如，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥面ABCD且A1D1⊥A1B，但A1B与面ABCD不垂直；C错，若a与b相交，则l⊥α,否则l不一定垂直α;D对.答案：D4(2006广东，5)给出以下四个命题，其中真命题旳个数是（）①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线旳平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内旳两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行④如果一个平面经过另一个平面旳一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.1解析：①②④正确.①线面平行旳性质定理；②线面垂直旳判定定理；③这两条直线可能相交或平行；④面面垂直旳判定定理.答案：B5空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC,BD ⊥AD ，那么有（ ）A.平面ABC ⊥平面ADCB.平面ABC ⊥平面ADBC.平面ABC ⊥平面DBCD.平面ADC ⊥平面DBC解析：∵AD ⊥BC,BD ⊥AD,BC∩BD=B,∴AD ⊥面BCD.又AB ⊂面ADC ，∴面ADC ⊥面BCD ，故选D.答案：D6如图所示，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则图中互相垂直旳平面共有（ ）A.3对B.4对C.5对D.6对解析：∵PA ⊥面ABCD ，且PA ⊂面PAB ，PA ⊂面PAD ，PA ⊂面PAC ，∴面PAB 和面PAC 和面PAD 都与面ABCD 垂直，又AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥面PAB ，又AD ⊂面PAD ，∴面PAB ⊥面PAD ，同理可证面PBC ⊥面PAB ，面PCD ⊥面PAD.答案：D7如图，P 是二面角α-AB-β旳棱AB 上一点，分别在α、β上引射线PM 、PN,截PM=PN ，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β旳大小是_________________.解析：过M 在α作MO ⊥AB 于点O ，连NO ，设PM=PN=a,又∠BPM=∠BPN=45°,∴△OPM ≌△OPN ，∴ON ⊥AB ，∴∠MON 为所求二面角旳平面角，连MN ，∵∠MPN=60°,∴MN=a ，又MO=NO=22a,∴MO 2+NO 2=MN 2. ∴∠MON=90°.答案：90°8如图，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC ，求证：平面ABC ⊥平面SBC.证法一：利用定义证明：∵∠BSA=∠CSA=60°, SA=SB=SC,∴△ASB 和△ASC 是等边三角形，则有SA=SB=SC=AB=AC ，令其值为a ，则△ABC 和△SBC 为共底边BC 旳等腰三角形，取BC 旳中点D ，连AD 、SD 则AD ⊥BC ，SD ⊥BD ，所以∠ADS 为二面角A-BC-S 旳平面角，在Rt △BSC 中，∵SB=SC=a,∴SD=22a,BD=222=BC a ， 在△ADS 中，AD=22a ， ∵SD 2+AD 2=SA 2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S 为直二面角，故平面ABC ⊥平面SBC.证法二：利用判定定理∵SA=AB=AC,∴点A 在平面SBC 上旳射影为△SBC 旳外心，∵△BSC 为直角三角形，∴A 在△BSC 上旳射影D 为斜边BC 旳中点，∴AD ⊥平面SBC ，又∵平面ABC 过AD ，∴平面ABC ⊥平面SBC.综合应用9已知：m 、l 为直线,α,β为平面,给出下列命题：①若l 垂直于α内旳两条相交直线,则l ⊥α②若l 平行于α,则l 平行于α内旳所有直线③若m ⊂α,l ⊂β,且l ⊥m,则α⊥β④若l ⊂β,且l ⊥α,则α⊥β⑤若m ⊂α,l ⊂β,且α∥β,则m ∥l其中正确命题旳序号是_________.解析：由直线与平面垂直旳判定定理知，①正确；对于②，若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；对于③，满足题设旳平面α、β有可能平行或相交（但不垂直），不能推出α⊥β,故③是错误旳；由面面垂直旳判定定理知，④是正确旳；对于⑤，m与l可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误旳.故正确旳命题是①④.∴应填①④.答案：①④10在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找一个平面与平面DA1C1垂直，则该平面是________（写出满足条件旳一个平面即可）.解析：连结AD1，在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，又AB⊥面ADD1A1，A1D⊂面ADD1A1,∴AB⊥A1D，又AD1∩AB=A,∴A1D⊥面ABD1，又A1D⊂面DA1C1，故平面ABD1⊥平面DA1C1.答案：平面ABD1（注：凡平面内有直线BD1旳皆可）11如图，在空间四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD,E、F、G分别是AD、DC、CA旳中点，求证：平面BEF⊥平面BDG.证明：连结E，F，∵E,F分别为AD，DC中点，∴EF∥AC，又∵AB=BC，AD=CD，G为中点，∴DG⊥AC，BG⊥AC,∴EF⊥DG，EF⊥BG，又BG∩DG=G,∴EF⊥面BDG，又∵EF⊂面BEF.故平面BEF⊥平面BDG.拓展探究12如图所示，已知P是边长为a旳菱形ABCD所在平面外一点，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a,E为PA旳中点.(1)求证：平面EDB ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A-EB-D 旳正切值.证明：（1）设AC∩BD=O,则O 为AC 中点，又∵E 为PA 中点，∴EO ∥PC,又∵PC ⊥面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，又知EO ⊂面EDB ，故平面EDB ⊥平面ABCD（2）由（1）知EO ⊥AO ，又知四边形ABCD 为菱形，∴AO ⊥BD,又BD∩EO=O，∴AO ⊥面BDE ，过O 作OF ⊥BE 于点F ，又AO ⊥BE ，AO∩OF=O，∴BE ⊥面AOF ，∴BE ⊥AF ，∴∠AFO 为所求二面角旳平面角.由BC=AB=a,∠ABC=60°知AC=a,BO=2322=-AO AB a,又EO=21PC=21a, ∴BE=22BO EO +=a,∴OF=43=∙BE OB OE a, 又AO=a2a ,在Rt △AOF 中， tanAFO=332=OF AO , 故二面角A-EB-D 旳正切值为332.。

[A基础达标]1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个解析：选D.当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C.因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.3．过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则该两条射线夹角和二面角的平面角的大小是()A．相等B．互补C．相等或互补D．以上都不对解析：选C.由二面角的平面角的作法之“垂面法”可知，当二面角为锐角时相等，为钝角时互补，所以选C.4．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：选D.因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.5．在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A­BD­C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为()A．45°B．90°C．60°D．30°解析：选B.如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD的中点F，连接AF，CF，则由题意可得AF＝CF＝22a.在Rt△AFC中，易得AC＝a.所以△ACD为正三角形．又因为E是CD 的中点，所以AE⊥CD，即∠AED＝90°.6．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③l∥α，l⊥β，则α⊥β.其中正确命题的序号为________．答案：②③7．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．解析：因为DA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．答案：58．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝435，则二面角A-BD-P 的度数为________．解析：过点A作AE⊥BD，连接PE，则∠AEP为所求角．由AB＝3，AD＝4知BD＝5，又AB·AD＝BD·AE，所以AE＝125.所以tan∠AEP＝435125＝33.所以∠AEP＝30°.答案：30°9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，E∈BB1，且BE＝EB1.求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.证明：取A1C的中点F，AC的中点G，连接EF，FG，BG，则GF12AA1.因为BE12AA1，所以GF BE.所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF ∥GB .因为△ABC 是等边三角形， 所以BG ⊥AC .所以EF ⊥AC .又AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥BG .所以EF ⊥AA 1.因为AC ∩AA 1＝A ，所以EF ⊥平面ACC 1A 1.因为EF ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.10.已知三棱锥P -ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，AB ＝20.D 为AB 的中点，且△PDB为等边三角形，PA ⊥PC .(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ； (2)求二面角D -AP -C 的正弦值．解：(1)证明：在Rt △ACB 中，D 是斜边AB 的中点， 所以BD ＝DA .因为△PDB 是等边三角形，所以BD ＝DP ＝BP ，则BD ＝DA ＝DP ， 因此△APB 为直角三角形，即PA ⊥BP . 又PA ⊥PC ，PC ∩BP ＝P ，所以PA ⊥平面PCB . 因为BC ⊂平面PCB ，所以PA ⊥BC . 又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC . (2)由(1)知PA ⊥PB 及已知PA ⊥PC ， 故∠BPC 即为二面角D -AP -C 的平面角． 由(1)知BC ⊥平面PAC ，则BC ⊥PC .在Rt △BPC 中，BC ＝4，BP ＝BD ＝10，所以sin ∠BPC ＝BC BP ＝410＝25，即二面角D -AP -C 的正弦值为25.[B 能力提升]1.如图，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C.要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面BDE .2．将锐角A 为60°，边长为a 的菱形沿BD 折成60°的二面角，则折叠后A 与C 之间的距离为( )A ．aB ．12aC.32a D ．3a解析：选C.设折叠后点A 到A 1的位置，取BD 的中点E ，连接A 1E ，CE . 则BD ⊥CE ，BD ⊥A 1E .于是∠A 1EC 为二面角A 1­BD ­C 的平面角． 故∠A 1EC ＝60°. 因为A 1E ＝CE ，所以△A 1EC 是等边三角形．所以A 1E ＝CE ＝A 1C ＝32a . 3. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③m ⊥α；④n ⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析：如图，PA ⊥α，PB ⊥β， 垂足分别为A 、B ， 连接OA 、OB ，α∩β＝l ，l ∩平面PAB ＝O ，可证明∠AOB 为二面角α-l -β的平面角． 则∠AOB ＝90°⇔PA ⊥PB .答案：①③④⇒②(或②③④⇒①) 4.(选做题)如图所示，已知P 是边长为a 的菱形ABCD 所在平面外一点，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a ，E 为PA 的中点．(1)求证：平面EDB ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A -EB -D 的正切值．解：(1)证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ， 则O 为AC 的中点，又因为E 为PA 的中点． 所以EO ∥PC .又因为PC ⊥平面ABCD ， 所以EO ⊥平面ABCD ， 又知EO ⊂平面EDB ， 故平面EDB ⊥平面ABCD . (2)由(1)知EO ⊥AO ，又知四边形ABCD 为菱形，所以AO ⊥BD . 又BD ∩EO ＝O ，所以AO ⊥平面BDE . 过O 作OF ⊥BE 于点F ，连接AF . 又AO ⊥BE ，AO ∩OF ＝O ， 所以BE ⊥平面AOF .所以BE ⊥AF . 所以∠AFO 为所求二面角的平面角． 令∠AFO ＝θ， 在Rt △EOB 中，∠EOB ＝90°，OE ＝12PC ＝12a ，OB ＝32a ，则EB ＝OE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2＝a ，OF ＝OE ·OB EB ＝12a ·32a a ＝34a .在Rt △AOF 中，∠AOF ＝90°，OA ＝12a ，OF ＝34a ，所以tan θ＝OA OF ＝12a34a ＝233.。

2.6直线与平面、平面与平面垂直的判定练习1.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是().A.(0,)B.[0,)C.(0,]D.[0,]【解析】当a∥α时,θ=0;当a⊥α时,θ=;a和α斜交时,θ的取值范围是(0,),综上,θ的取值范围是[0,].【答案】D2.P为△ABC所在平面外的一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中正确的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC,∴PA⊥BC,即①正确,同理可证得②③正确.【答案】D3.过平面外一点作该平面的垂线有条;垂面有个;平行线有条;平行平面有个.【答案】一无数无数一4.在四棱锥P-ABCD中,BP=BC,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB=DC,E为PD中点.求证:AE⊥平面PDC.【解析】取PC的中点M,连接EM,BM,则EM∥CD,EM=DC,则EM∥AB,且EM=AB,则四边形ABME 是平行四边形,∴AE∥BM.∵AB⊥平面PBC,AB∥CD,∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥BM.∵BP=BC,∴BM⊥PC,∴BM⊥平面PDC.又∵AE∥BM,∴AE⊥平面PDC.5.如果直线a是平面α的斜线,那么在平面α内().A.不存在与a平行的直线B.不存在与a垂直的直线C.与a垂直的直线只有一条D.与a平行的直线有无数条【答案】A6.已知菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点E,沿对角线AC将菱形折起,如图所示,则下列命题中正确的是().A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE【解析】因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.【答案】C7.α、β是两个不同的平面,m、n是平面α、β外的两条不同的直线,给出四个结论:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.【解析】假设①③④为条件,即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立,如图.过m上一点P作PB∥n,则PB⊥m,PB⊥β,设垂足为B.又m⊥α,设垂足为A,过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC,l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB,∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④⇒②成立.反过来,如果②③④成立,与上面证法类似可得①成立.【答案】②③④⇒①或①③④⇒②8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1,点G为CC1上的点,且CG=CC1.求证:CD1⊥平面ADG.【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面CDD1,CD1⊂平面CDD1,故CD1⊥AD.在Rt△GCD与Rt△CDD1中,==,==,故=,故Rt△GCD与Rt△CDD1相似,所以∠CD1D=∠GDC,∴∠CDG+∠DCD1=90°,故CD1⊥DG,又AD∩DG=D,AD⊂平面ADG,DG⊂平面ADG,所以CD1⊥平面ADG.9.正方形ABCD的边长为12 cm,PA⊥平面ABCD,且PA=12 cm,则点P到BD的距离为.【解析】连接AC、BD交于点O,易得PO⊥BD,OP为P点到BD的距离,又PA=12,AO=AB=6, ∴PO==6 cm.【答案】6 cm10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形BCC1B1的中心,求证:(1)BC1⊥DO;(2)A1C⊥平面AB1D1.【解析】(1)因为CD⊥平面BCC1B1,所以CD⊥BC1.又BC1⊥B1C,所以BC1⊥平面CDO.所以BC1⊥DO.(2)如图,连接A1C1,A1B,CC1⊥平面A1B1C1D1,因为B1D1⊥A1C1,CC1⊥B1D1,所以B1D1⊥平面A1CC1.所以B1D1⊥A1C.同理AB1⊥A1C.又B1D1∩AB1=B1.所以A1C⊥平面AB1D1.。

第二章 2.3 2.3.2基础巩固一、选择题1.下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线Q, b分别和一个二而角的两个而垂直，则d, 〃所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是（）A.①③B.②④C.③④D.①②［答案］B［解析］对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于Q, b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角（或直角），所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.［点评］根据二面角的相关概念进行分析判定.2.已知直线/丄平面a,则经过/且和a垂直的平面（）A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在［答案］C|解析］经过/的平面都与G垂直，而经过/的平面有无数个，故选C・3.以下三个命题中，正确的命题有（）①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平血内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A. 0个B・1个C. 2个D. 3个［答案］B［解析］仅②正确.4.己知a, 0是平面，加、”是直线，给出下列表述：①若加丄a, tnU卩,则a丄“；②若mUa, nUa, 〃?〃“，“〃0,则a〃“；③如果nda, m, n是异面直线，那么〃与a相交；④若a 0卩=m, n //m,且nQa,胆卩,贝n//a且〃〃其中表述正确的个数是（）［答案1 B［解析］①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，加，»不一定是相交直 线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n//a t 所以③不正确; ④中，由于n//m, nQa,加U Q ,则n//a,同理n//P ，所以④正确.5.在二面角a-1-p 中，力3丄平面〃于3, 3C 丄平面么于C,若AB=6, BC =3,则二面角a-1-p 的平面角的大小为（）A. 30°B. 60°C. 30。