2018版高中数学第一章常用逻辑用语疑难规律方法学案苏教版选修1_12018030943

1．1.2 充分条件和必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假．知识点一充分条件与必要条件的概念给出下列命题：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.思考1 你能判断这两个命题的真假吗？思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？梳理知识点二充要条件的概念思考1 命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？思考2 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？梳理一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．此时，我们说，p是q的________________，简称充要条件．知识点三常见的四种条件1．从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件如果原命题为“若p则q”，逆命题为“若q则p”2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件前提：设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}．若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件类型一充要条件的判断例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：a>b，q：ac>bc.反思与感悟充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1 对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“|a|>|b|”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中为真命题的是________．类型二充分条件、必要条件的应用例2 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，q：实数x满足x2－6x＋5<0，若p是q 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．引申探究若本例中条件改为：“若p是q的必要不充分条件”，结论又如何？反思与感悟(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B ⊆A；若p是q的充分不必要条件，则A B.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2 已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．类型三充要条件的证明例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.引申探究求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.反思与感悟(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么．(2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件⇒结论是证充分性，由结论⇒条件是证必要性．跟踪训练3 求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件．1．设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)2．“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是___________________________________．3．下列四个结论中，正确的有________．①“x2>9”是“x3<－27”的必要不充分条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．4．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为________．5．是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由．1．充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题非q⇒非p即可；同理要证p⇐q，只需证非q⇐非p即可．所以p⇔q，只需非q⇔非p.(3)利用集合间的包含关系进行判断．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．提醒：完成作业第1章§1.1 1.1.2答案精析问题导学思考1 (1)真命题，(2)假命题．思考2 命题(1)中只要满足条件x >a 2＋b 2，必有结论x >2ab ；命题(2)中满足条件ab ＝0，不一定有结论a ＝0，还可能b ＝0. 梳理 ⇒ ⇏ 充分 必要 充分 必要 知识点二思考1 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．思考2 因为p ⇒q 且q ⇒p ，所以p 是q 的充分条件也是必要条件；同理，q 是p 的充分条件，也是必要条件．梳理 p ⇔q 充分必要条件 知识点三1．p ⇒q ，但q ⇏p q ⇒p ，但⇏qp ⇒q ，q ⇒p ，即p ⇔q p ⇏q ，q ⇏p题型探究例1 解 (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1 ＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)因为m >0⇒方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1＋4m >0，即方程有实根， 方程x 2＋x －m ＝0有实根， 即Δ＝1＋4m ≥0⇏m >0.所以p 是q 的充分不必要条件． (3)因为a >b ⇏ac >bc ，ac >bc ⇏a >b ，所以p 是q 的既不充分又不必要条件． 跟踪训练1 ②④例2 解 设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}＝{x |a <x <3a ，a >0}，B ＝{x |x 2－6x ＋5<0}＝{x |1<x <5}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴AB ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，3a ≤5，得1≤a ≤53.经检验知，a ＝1和53满足已知条件，故实数a 的取值范围是[1，53]．引申探究解 由例2知，A ＝{x |a <x <3a ，a >0}，B ＝{x |1<x <5}．∵p 是q 的必要不充分条件，∴BA ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，3a ≥5，此不等式无解．故不存在实数a ，使p 是q 的必要不充分条件． 跟踪训练2 解 由(x －a )2<1， 得x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0， ∴a －1<x <a ＋1.又由x 2－5x －24<0，得－3<x <8. ∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是－2≤a ≤7. 例3 证明 充分性：∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴方程一定有两个不等实根． 设两实根为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca<0， ∴方程的两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，设两实根为x 1，x 2，则由根与系数的关系，得x 1x 2＝c a<0，且Δ＝b 2－4ac >0， 即ac <0.综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 引申探究 证明 必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0， ∴必要性成立． 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，可得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)·(ax ＋a ＋b )＝0，故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴充分性成立．因此，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 跟踪训练3 解 当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1.所以不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1. 当堂训练1．充分不必要 2.a <－1 3.①④ 4.－1 5．解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}．由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4. 由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4， 此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．。

量词[学习目标].通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一全称量词和全称命题()全称量词：短语“所有”“任意”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示.()全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对中任意一个，有()成立”可用符号简记为∀∈，()，读作“对任意属于，有()成立”.知识点二存在量词和存在性命题()存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示.()存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题.存在性命题“存在中的一个，使()成立”可用符号简记为∃∈，()，读作“存在一个属于，使()成立”.[思考]()在全称命题和存在性命题中，量词是否可以省略？()全称命题中的“，与()”表达的含义分别是什么？答案()在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.()元素可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合是这些元素的某一特定的范围()表示集合的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于”，可以表示为“∀∈，≥”.题型一全称量词与全称命题例试判断下列全称命题的真假：()∀∈，＋>；()∀∈，≥；()对任意角α，都有α＋α＝.解()由于∀∈，都有≥，因而有＋≥>，即＋>，所以命题“∀∈，＋>”是真命题.()由于∈，当＝时，≥不成立，所以命题“∀∈，≥”是假命题.()由于∀α∈，α＋α＝成立.所以命题“对任意角α，都有α＋α＝”是真命题.反思与感悟判定全称命题的真假的方法：()定义法，对给定的集合的每一个元素，()都为真；()代入法，在给定的集合内找出一个，使()为假，则全称命题为假.跟踪训练试判断下列全称命题的真假：()∀∈，＋≥；()任何一条直线都有斜率；()每个指数函数都是单调函数.解()由于∀∈，都有≥，因而有＋≥，所以“∀∈，＋≥”是假命题.。

1．1.1 四种命题[学习目标] 1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题．知识点一命题的概念(1)定义：能够判断真假的语句叫做命题．(2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p，则q”．通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论．知识点二四种命题及其表示一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，那么，对p和q进行“换位”和“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题：原命题：若p则q；逆命题：将条件和结论“换位”，即若q则p；否命题：条件和结论“换质”，即分别否定；逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，即分别否定，且位置互换．知识点三四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系(2)四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真．②原命题为真，它的否命题不一定为真．③原命题为真，它的逆否命题一定为真．题型一命题及其真假的判定例1 判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证5是无理数．(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数．(5)x＋y是有理数，则x、y也都是有理数．(6)60x＋9>4.解(1)祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝2，y＝－ 2.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．反思与感悟判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．跟踪训练1 下列语句是不是命题，若是命题，试判断其真假．(1)4是集合{1,2,3}的元素；(2)三角函数是函数；(3)2比1大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行．解(1)是命题，且是假命题；(2)是陈述句，并且可以判断真假，是命题，且是真命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)是命题，且是假命题．题型二四种命题的关系例2 下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪训练2 下列命题为真命题的是________．(填序号)①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．答案①③④解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题．正确的命题为①③④.题型三等价命题的应用例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性．这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法．跟踪训练3 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4，∵m>0，∴Δ>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．写出原命题的否命题(逆否命题)时出错要写出一个命题的否命题，需既否定条件，又否定结论．对条件和结论要进行正确的否定，如：“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，避免出现因不能正确否定条件和结论而出现错误．例4 写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题、逆否命题．错解原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y全不为0”；原命题的逆否命题为：“若x，y全不为0，则x2＋y2≠0”．正解原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”；原命题的逆否命题为：“若x，y不全为0，则x2＋y2≠0”．易错警示1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是________．(填序号)①若a∉A，则b∉B; ②若a∈A，则b∉B；③若b∈B，则a∉A; ④若b∉B，则a∉A.答案②解析命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是______．(填序号)①若A∪B＝B，则A∩B＝A；②若A∩B≠A，则A∪B≠B；③若A∪B≠B，则A∩B≠A；④若A∪B≠B，则A∩B＝A.答案③解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4．给出以下命题：①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________． 答案 ③解析 ①否命题是“若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数”．假命题． ②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题．③∵Δ＝1＋4m ，m >0时，Δ>0，∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真． 5．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”)． 答案 若α≠π6，则sin α≠12 假解析 逆否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”是假命题．1.写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定非p 和结论q 的否定非q ； (3)按照四种命题的结构写出所求命题．2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。

1．3.1 量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：①每一个三角形都有内切圆；②所有实数都有算术平方根；③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．梳理(1)(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“∃x∈M，p(x)不成立”．知识点二存在量词与存在性命题思考观察下列命题：①有些矩形是正方形；②存在实数x ，使x >5；③至少有一个实数x ，使x 2－2x ＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假． 梳理 (1)(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．类型一 全称命题与存在性命题的识别例1 判断下列语句是全称命题，还是存在性命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有些实数a ，b 能使|a －b |＝|a |＋|b |；(3)对任意a ，b ∈R ，若a >b ，则1a <1b；(4)有一个函数既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零； (2)对每一个无理数x ，x 2也是无理数； (3)有的函数既是奇函数又是增函数； (4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n ，使得a n 与1之差的绝对值小于0.01.类型二 全称命题与存在性命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假，并给出证明： (1)∀x ∈(5，＋∞)，f (x )＝x 2－4x －2>0； (2)∀x ∈(3，＋∞)，f (x )＝x 2－4x －2>0； (3)∃a ∈Z ，a 2＝3a －2； (4)∃a ≥3，a 2＝3a －2；(5)设A 、B 、C 是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点P ，使得PA ＝PB ＝PC .反思与感悟要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定存在性命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．跟踪训练 2 有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N*，x为29的约数，其中真命题的个数为________．类型三全称命题、存在性命题的应用例3 (1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．反思与感悟有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3 当命题(1)∀x∈R，sin x＋cos x>m；(2)∃x∈R，sin x＋cos x>m分别为真命题时，m的取值范围分别是(1)______________，(2)______________．1．下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有________．①有一个x∈R，使得x2>3；②对有些x∈R，使得x2>3；③任选一个x∈R，使得x2>3；④至少有一个x∈R，使得x2>3.2．下列命题中全称命题的个数是________．①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.3．下列存在性命题是假命题的是________．①存在x∈Q，使2x－x3＝0；②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数．4．对任意的x>3，x>a都成立，则a的取值范围是________．5．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x满足x2＝3.1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．提醒：完成作业第1章§1.3 1.3.1答案精析问题导学知识点一思考命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．命题①③是真命题，命题②是假命题．三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题．梳理(1)∀全称量词∀x∈M，p(x)知识点二思考命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题①②是真命题，命题③是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题①②是真命题，而对任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题．梳理(1)∃存在量词∃x∈M，p(x)题型探究例1 解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故是全称命题．(2)含有存在量词“有些”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，故是存在性命题．跟踪训练1 解(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是全称命题，∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．(3)是存在性命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．(4)是存在性命题，∃n∈N*，|a n－1|＜0.01，其中a n＝nn＋1.例2 解(1)真命题．∵f(x)＝x2－4x－2在(2，＋∞)上单调递增，∴对(5，＋∞)内的每一个x，都有f(x)>f(5)>0，因此(1)是真命题．(2)假命题.4∈(3，＋∞)，但f(4)＝－2<0，因此(2)是假命题．(3)真命题.1是整数且12＝3×1－2，因此(3)是真命题．(4)假命题．∵a2＝3a－2只有两个实数根，a＝1或a＝2，∴当a≥3时，a2≠3a－2，因此(4)是假命题．(5)真命题．A 、B 、C 三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P 是△ABC 外接圆的圆心，则PA ＝PB ＝PC ， 因此(5)是真命题． 跟踪训练2 3例3 (1)(－∞，1) (2)m <－1311跟踪训练3 (1)(－∞，－2) (2)(－∞，2) 当堂训练1．①②④ 2.2 3.② 4.(－∞，3]5．解 (1)∀x ∈{x |x 是凸n 边形}，x 的外角和是2π. (2)∃x ∈Q ，x 2＝3.。

1.3.2含有一个量词的命题的否定[学习目标] 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识点一全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x).知识点二存在性命题的否定存在性命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).知识点三全称命题与存在性命题的关系全称命题的否定是存在性命题.存在性命题的否定是全称命题.[思考](1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？(2)对省略量词的命题怎样否定？答案(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题.反之，亦然.题型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.(4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0.题型二存在性命题的否定例2写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假.(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.解(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假).(2) 綈p：所有的素数都不是奇数.(假).(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).反思与感悟存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.跟踪训练2写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.题型三存在性命题、全称命题的综合应用例3已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围.解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).反思与感悟对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.跟踪训练3已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.(1)证明当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.(2)解∵f(x)≤4x恒成立，∴3ax 2＋2x －1≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋12a ≤0， 解得a ≤－13， 即实数a 的取值范围是(－∞，－13].含有一个量词的命题的否定例4 写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)正方形都是菱形；(2)∃x ∈R ，x 2－4x －3＞0.分析 (1)是省略了全称量词的全称命题，其否定是存在性命题.(2)是存在性命题，其否定是全称命题.解 (1)有的正方形不是菱形.假命题.(2)∀x ∈R ，x 2－4x －3≤0恒成立.假命题.解后反思 含有一个量词的命题在否定时，往往只改变前面的量词，而将后面的否定忽略，这种错误应当避免.1.命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“綈p ”形式的命题是__________________________.答案 对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根解析 命题p 是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p ：对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根.2.设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为______________. 答案 ∃x ∈A,2x ∉B解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B .3.对下列命题的否定说法错误的是________.①p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.答案③解析“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故③错误.4.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是__________________.答案∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0解析全称命题的否定是存在性命题.全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在性命题：∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________.答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题“有的向量与零向量不共线”.1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.。

2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案目录1.1.1 四种命题1.2 简单的逻辑联结词1.3.1 量词1疑难规律方法1章末复习课2.1 圆锥曲线2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质（一）2.2.2 椭圆的几何性质（二）2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质（一）2.4.2 抛物线的几何性质（二）2.5 圆锥曲线的共同性质2疑难规律方法2章末复习课3.1.1 平均变化率3.1.2 瞬时变化率——导数（一）3.1.2 瞬时变化率——导数（二）3.2.1 常见函数的导数3.3.1 单调性3.3.2 极大值与极小值3.3.3 最大值与最小值3.4 导数在实际生活中的应用3疑难规律方法3章末复习课1．1.1四种命题学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一命题的概念思考给出下列语句：(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；(2)3＋6＝7；(3)偶函数的图象关于y轴对称；(4)5能被4整除．请你找出上述语句的特点．梳理(1)定义：能够判断________的语句．(2)分类①真命题：判断为________的语句．②假命题：判断为________的语句．(3)形式：____________.知识点二四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？梳理一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，原命题：若p则q.(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做____________，另一个命题叫做原命题的____________．(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的____________．(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________________和________________，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的________________．知识点三四种命题的关系思考1为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？思考2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的否命题呢？梳理(1)四种命题之间的关系如下所示：(2)四种命题的真假关系①如果两个命题互为逆否命题，那么它们有________的真假性；②如果两个命题为互逆命题或互否命题，那么它们的真假性________关系．类型一命题及其真假的判定例1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证5是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数；(5)x＋y是有理数，则x、y都是有理数；(6)60x＋9>4.反思与感悟判断一个语句是否为命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．跟踪训练1下列语句是否为命题？若是，判断其真假，若不是，说明理由．(1)x>1或x＝1；(2)如果x＝1，那么x>3；(3)方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2；(4)x2－5x＋6＝0.类型二四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若x∈A，则x∈A∪B；(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练2命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是________．(填序号)①若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数；②若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数；③若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数；④若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数．命题角度2四种命题真假的判断例3下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．反思与感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握． 跟踪训练3 下列命题中为真命题的是________．(填序号) ①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m >0，则x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆否命题； ③“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． 类型三 等价命题的应用例4 已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.反思与感悟 (1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题的真假容易判断时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．跟踪训练4 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.1．下列语句是命题的是________． ①若a >b ，则a 2>b 2； ②a 2>b 2；③方程x 2－x －1＝0的近似根； ④方程x 2－x －1＝0有根吗？2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________．3．已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为__________________________________． 4．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________．5．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．1．根据命题的意义，可以判断真假的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．提醒：完成作业第1章§1.1 1.1.1答案精析问题导学知识点一思考上述语句能够判断真假．梳理(1)真假(2)①真②假(3)若p则q知识点二思考命题(1)的条件和结论恰好是命题(2)的结论和条件．命题(1)的条件和结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理(1)结论和条件互逆命题原命题逆命题(2)互否命题否命题(3)结论的否定条件的否定互为逆否命题逆否命题知识点三思考1逆命题：若q则p.否命题：若非p则非q.逆否命题：若非q则非p.思考2互逆、互否、互为逆否．梳理(1)q p逆否互否非p非q互逆非q非p(2)①相同②没有题型探究例1解(1)是祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝2，y＝－ 2.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．跟踪训练1解(1)不是命题，由于x的值不确定，因此无法作出判断．(2)是命题，且是假命题，已经明确指定了x的值．(3)是命题，且是假命题，因为还有一根是x＝3.(4)不是命题，因为x的值不确定．例2解(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A；否命题：若x∉A，则x∉A∪B；逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A.(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；否命题：若a ，b 不都是偶数， 则a ＋b 不是偶数；逆否命题：若a ＋b 不是偶数， 则a ，b 不都是偶数．(3)逆命题：在△ABC 中，若A >B ， 则a >b ；否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B ； 逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ， 则a ≤b . 跟踪训练2 ② 例3 ①②③ 跟踪训练3 ②③例4 证明 原命题的逆否命题：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都大于或等于13，则a ＋b＋c ≥1.由条件知a ≥13，b ≥13，c ≥13，三式相加得a ＋b ＋c ≥1.显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.跟踪训练4 证明 “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”． ∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1 ＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确． 当堂训练1．① 2.若tan α≠1，则α≠π43．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行 4．2 5.[1,2]学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．知识点一p∧q思考1观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？思考2分析思考1中三个命题的真假？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∧q的真假判断命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p、命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：命题p∧q”．知识点二p∨q思考1观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？思考2思考1中的真假性是怎样的？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∨q的真假判断我们将命题p、命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”．知识点三綈p思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？并指出其真假：(1)p：5是25的算术平方根，q：5不是25的算术平方根；(2)p：y＝tan x是偶函数，q：y＝tan x不是偶函数．梳理(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”或“____________”．(2)命题綈p的真假判断因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：命题綈p的真值表可以归纳为“不可同真同假”．类型一用逻辑联结词联结组成新命题例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：正△ABC的三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．反思与感悟解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．跟踪训练1指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二、三象限．类型二含有逻辑联结词命题的真假例2分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．反思与感悟判断含逻辑联结词命题的真假的步骤(1)逐一判断命题p、q的真假．(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．跟踪训练2指出下列命题的形式及命题的真假：(1)48是16与12的公倍数；(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；(3)相似三角形的周长相等或对应角相等．类型三用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围例3已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，(綈p)∨(綈q)也为真命题，求实数a的取值范围．反思与感悟由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假．反之，由p∨q，p∧q，綈p 命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”是假命题，求实数m 的取值范围．1．把“x ≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为____________________________________． 2．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．则在四个命题p ，q ，p ∧q ，p ∨q 中，真命题有________个．3．命题s 具有“p 或q ”的形式，已知“p 且r ”是真命题，那么s 是________命题．(填“假”“真”)4．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________．(只填序号)5．分别判断由下列命题构成的“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假： (1)p ：函数y ＝x 2和函数y ＝2x 的图象有两个交点； q ：函数y ＝2x 是增函数； (2)p ：∅ {0}；q ：0∈∅.1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真．类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真．3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．提醒：完成作业第1章§1.2答案精析问题导学知识点一思考1命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．思考2命题①②③均为真．梳理(1)p∧q p且q知识点二思考1命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．思考2①③为真命题，②为假命题．梳理(1)p∨q p或q知识点三思考两组命题中，命题q都是命题p的否定．(1)中p真，q假．(2)中p假，q真．梳理(1)綈p非p p的否定题型探究例1解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；p∧q：π是无理数且e不是无理数；綈p：π不是无理数．(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p∨q：正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；p∧q：正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；綈p：正△ABC的三个内角不都相等．跟踪训练1解(1)“p且q”的形式．其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“非p”的形式．p：方程x2－3＝0有有理根．(3)“p或q”的形式．其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位臵在第二象限，q：如果xy<0，则点P (x ，y )的位臵在第三象限． 例2 解 (1)∵p 为假命题，q 为真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，綈p 为真命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．跟踪训练2 解 (1)这个命题是“p ∧q ”的形式．其中p ：48是16的倍数，是真命题；q ：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．(2)这个命题是“綈p ”的形式．其中p ：方程x 2＋x ＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x 2＋x ＋3＝0没有实数根”是真命题．(3)这个命题是“p ∨q ”的形式．其中p ：相似三角形的周长相等，是假命题；q ：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题． 例3 解 ∵y ＝a x 在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，由(綈p )∨(綈q )也为真，则綈p 、綈q 中至少有一个为真， ∴p 、q 中有一真、一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2，∴a ≥2；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <2，∴0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}．跟踪训练3 解 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根， 设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m <0，x 1x 2＝1>0，Δ＝m 2－4>0，得m >2，∴p ：m >2.又方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝16(m －2)2－4×4<0， 得1<m <3， ∴q ：1<m <3.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 中一真一假．当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3；当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上可知，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． 当堂训练1．“x >5或x ＝5” 2.2 3.真 4.②④5．解 (1)∵命题p 是真命题，命题q 是真命题， ∴p 且q 为真命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题． (2)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题．1．3.1量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：①每一个三角形都有内切圆；②所有实数都有算术平方根；③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．梳理(1)(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“∃x∈M，p(x)不成立”．知识点二存在量词与存在性命题思考观察下列命题：①有些矩形是正方形；②存在实数x，使x>5；③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．梳理(1)(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．类型一全称命题与存在性命题的识别例1判断下列语句是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(3)对任意a ，b ∈R ，若a >b ，则1a <1b ；(4)有一个函数既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零； (2)对每一个无理数x ，x 2也是无理数； (3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n ，使得a n 与1之差的绝对值小于0.01.类型二 全称命题与存在性命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假，并给出证明： (1)∀x ∈(5，＋∞)，f (x )＝x 2－4x －2>0； (2)∀x ∈(3，＋∞)，f (x )＝x 2－4x －2>0； (3)∃a ∈Z ，a 2＝3a －2； (4)∃a ≥3，a 2＝3a －2；(5)设A、B、C是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点P，使得P A＝PB＝PC.反思与感悟要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定存在性命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．跟踪训练2有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N*，x为29的约数，其中真命题的个数为________．类型三全称命题、存在性命题的应用例3(1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．反思与感悟有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3当命题(1)∀x∈R，sin x＋cos x>m；(2)∃x∈R，sin x＋cos x>m分别为真命题时，m的取值范围分别是(1)______________，(2)______________．1．下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有________．①有一个x∈R，使得x2>3；②对有些x∈R，使得x2>3；③任选一个x∈R，使得x2>3；④至少有一个x∈R，使得x2>3.2．下列命题中全称命题的个数是________．①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.3．下列存在性命题是假命题的是________．①存在x∈Q，使2x－x3＝0；②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数．4．对任意的x>3，x>a都成立，则a的取值范围是________．5．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x满足x2＝3.1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．提醒：完成作业第1章§1.3 1.3.1答案精析问题导学知识点一思考命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．命题①③是真命题，命题②是假命题．三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题．梳理(1)∀全称量词∀x∈M，p(x)知识点二思考命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题①②是真命题，命题③是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题①②是真命题，而对任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题．梳理(1)∃存在量词∃x∈M，p(x)题型探究例1解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故是全称命题．(2)含有存在量词“有些”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，故是存在性命题．跟踪训练1解(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是全称命题，∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．(3)是存在性命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．(4)是存在性命题，∃n∈N*，|a n－1|＜0.01，其中a n＝nn＋1.例2解(1)真命题．∵f(x)＝x2－4x－2在(2，＋∞)上单调递增，∴对(5，＋∞)内的每一个x，都有f(x)>f(5)>0，因此(1)是真命题．(2)假命题.4∈(3，＋∞)，但f(4)＝－2<0，因此(2)是假命题．(3)真命题.1是整数且12＝3×1－2，因此(3)是真命题．(4)假命题．∵a2＝3a－2只有两个实数根，a＝1或a＝2，∴当a≥3时，a2≠3a－2，因此(4)是假命题．(5)真命题．A、B、C三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是△ABC外接圆的圆心，则P A＝PB＝PC，因此(5)是真命题．跟踪训练2 3例3(1)(－∞，1)(2)m<－13 11跟踪训练3(1)(－∞，－2)(2)(－∞，2)当堂训练1．①②④ 2.2 3.② 4.(－∞，3]5．解(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x∈Q，x2＝3.1怎样解逻辑用语问题1．利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．下面通过使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A是B的充分条件，即A⊆B.(如图1)②A是B的必要条件，即B⊆A.(如图2)③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．(如图4)或图4例1设集合A，B是全集U的两个子集，则A B是(∁U A)∪B＝U的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析当A B时，如图1所示，则(∁U A)∪B＝U成立；当A＝B时，如图2所示，则(∁U A)∪B ＝(∁U B)∪B＝U成立，即当(∁U A)∪B＝U成立时，可有A⊆B.故A B是(∁U A)∪B＝U的充分不必要条件．答案 充分不必要 2．抓住量词，对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2 (1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________．(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 解析 (1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时， (x 2－a )min ≥0”，即1－a ≥0， 即a ≤1.由命题q 知，方程有解，即Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0， 解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1.(2)命题p 转化为“当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0”， 即4－a ≥0，即a ≤4. 命题q ：a ≤－1或a ≥2. 综上所述，a ≤－1或2≤a ≤4.答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢． 3．挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3 设p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0，q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r的取值范围．分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ∁R B 出发解题．解 设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，即圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合． ∵A ∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ， ∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r . ∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离为 d ＝|－12|32＋42＝125， ∴r 的取值范围为0<r ≤125.点评 若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为 x 2＋y 2≤r 2 (r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了等价转化思想．2 辨析“命题的否定”与“否命题”一、知识梳理 1．定义2.真假关系表原命题、命题的否定与否命题的真假关系表：。

1．1.1 四种命题学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一命题的概念思考给出下列语句：(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；(2)3＋6＝7；(3)偶函数的图象关于y轴对称；(4)5能被4整除．请你找出上述语句的特点．梳理(1)定义：能够判断________的语句．(2)分类①真命题：判断为________的语句．②假命题：判断为________的语句．(3)形式：____________.知识点二四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？梳理一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，原命题：若p则q.(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做____________，另一个命题叫做原命题的____________．(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的____________．(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________________和________________，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的________________．知识点三四种命题的关系思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的否命题呢？梳理(1)四种命题之间的关系如下所示：(2)四种命题的真假关系①如果两个命题互为逆否命题，那么它们有________的真假性；②如果两个命题为互逆命题或互否命题，那么它们的真假性________关系．类型一命题及其真假的判定例1 判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证5是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数；(5)x＋y是有理数，则x、y都是有理数；(6)60x＋9>4.反思与感悟判断一个语句是否为命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．跟踪训练1 下列语句是否为命题？若是，判断其真假，若不是，说明理由．(1)x>1或x＝1；(2)如果x＝1，那么x>3；(3)方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2；(4)x2－5x＋6＝0.类型二四种命题及其相互关系命题角度1 四种命题的概念例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若x∈A，则x∈A∪B；(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；(3)在△ABC 中，若a >b ，则A >B .反思与感悟 四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练2 命题“若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆否命题是________．(填序号)①若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数；②若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数；③若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数；④若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数．命题角度2 四种命题真假的判断例3 下列命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题．其中是真命题的是________．反思与感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪训练3 下列命题中为真命题的是________．(填序号)①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m >0，则x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆否命题；③“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．类型三 等价命题的应用例4 已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.反思与感悟 (1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题的真假容易判断时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．跟踪训练4 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.1．下列语句是命题的是________．①若a >b ，则a 2>b 2；②a 2>b 2；③方程x 2－x －1＝0的近似根；④方程x 2－x －1＝0有根吗？2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________． 3．已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为__________________________________．4．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k <0，则方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k ＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．1．根据命题的意义，可以判断真假的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．提醒：完成作业第1章§1.1 1.1.1答案精析问题导学知识点一思考上述语句能够判断真假．梳理(1)真假(2)①真②假(3)若p则q知识点二思考命题(1)的条件和结论恰好是命题(2)的结论和条件．命题(1)的条件和结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理(1)结论和条件互逆命题原命题逆命题(2)互否命题否命题(3)结论的否定条件的否定互为逆否命题逆否命题知识点三思考1 逆命题：若q则p.否命题：若非p则非q.逆否命题：若非q则非p.思考2 互逆、互否、互为逆否．梳理(1)q p逆否互否非p非q互逆非q非p(2)①相同②没有题型探究例1 解(1)是祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝2，y＝－ 2.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．跟踪训练1 解(1)不是命题，由于x的值不确定，因此无法作出判断．(2)是命题，且是假命题，已经明确指定了x的值．(3)是命题，且是假命题，因为还有一根是x＝3.(4)不是命题，因为x的值不确定．例2 解(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A；否命题：若x∉A，则x∉A∪B；逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A.(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a ，b 都是偶数；否命题：若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数；逆否命题：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数．(3)逆命题：在△ABC 中，若A >B ，则a >b ；否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B ；逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ，则a ≤b .跟踪训练2 ②例3 ①②③跟踪训练3 ②③例4 证明 原命题的逆否命题：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都大于或等于13，则a ＋b ＋c ≥1.由条件知a ≥13，b ≥13，c ≥13，三式相加得a ＋b ＋c ≥1. 显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.跟踪训练4 证明 “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确．当堂训练1．① 2.若tan α≠1，则α≠π43．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行4．2 5.[1,2]。

第一章常用逻辑用语1 怎样解逻辑用语问题1．利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．下面通过使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A是B的充分条件，即A⊆B.(如图1)②A是B的必要条件，即B⊆A.(如图2)③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．(如图4)或图4例1 设集合A，B是全集U的两个子集，则A B是(∁U A)∪B＝U的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析当A B时，如图1所示，则(∁U A)∪B＝U成立；当A＝B时，如图2所示，则(∁U A)∪B ＝(∁U B)∪B＝U成立，即当(∁U A)∪B＝U成立时，可有A⊆B.故A B是(∁U A)∪B＝U的充分不必要条件．答案充分不必要2．抓住量词，对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2 (1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________．(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 解析 (1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时， (x 2－a )min ≥0”，即1－a ≥0， 即a ≤1.由命题q 知，方程有解，即Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0， 解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1.(2)命题p 转化为“当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0”， 即4－a ≥0，即a ≤4. 命题q ：a ≤－1或a ≥2. 综上所述，a ≤－1或2≤a ≤4.答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢． 3．挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3 设p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0，q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r 的取值范围．分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ∁R B 出发解题．解 设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，即圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合． ∵A ∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ， ∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r .∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离为d ＝|－12|32＋42＝125， ∴r 的取值范围为0<r ≤125.点评 若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为 x 2＋y 2≤r 2 (r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了等价转化思想．2 辨析“命题的否定”与“否命题”一、知识梳理 1．定义2.真假关系表原命题、命题的否定与否命题的真假关系表：3.常用正面叙述词语及它的否定二、典例剖析例1 写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；(3)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数．分析分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．解(1)命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0；否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.(3)命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数；否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数．点评首先掌握“命题的否定”和“否命题”的区别和联系，把握关键词的否定，然后分清命题的条件和结论即可．例2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若x2<4，则－2<x<2；(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.分析依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．解 (1)否命题：“若x 2≥4，则x ≥2或x ≤－2”； 命题的否定：“若x 2<4，则x ≥2或x ≤－2”．通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假． (2)否命题：“若m ≤0或n ≤0，则m ＋n ≤0”； 命题的否定：“若m >0且n >0，则m ＋n ≤0”．由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假．3 判断条件四策略1．定义法定义法是判断充要条件最基本、最适用的方法．步骤如下： (1)分清条件与结论(p 与q )；(2)找推式：即判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假； (3)下结论：⎩⎪⎨⎪⎧p ⇒q ，p ⇍q⇔p 是q 的充分不必要条件，⎩⎪⎨⎪⎧p ⇏q ，p ⇐q⇔p 是q 的必要不充分条件，⎩⎪⎨⎪⎧ p ⇒q ，p ⇐q ⇔p 是q 的充要条件，⎩⎪⎨⎪⎧p ⇏q ，p ⇍q⇔p 是q 的既不充分又不必要条件．例1 设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈P ∩M ”的______________条件．解析 条件p ：x ∈M 或x ∈P ；结论q ：x ∈P ∩M . 若x ∈M ，则x 不一定属于P ， 即x 不一定属于P ∩M ，所以p ⇏q ； 若x ∈P ∩M ，则x ∈M 且x ∈P ，所以q ⇒p .综上可知，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈P ∩M ”的必要不充分条件． 答案 必要不充分2．利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p ⇒q ，q ⇒r ，则p ⇒r .例2 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的________条件．解析 依题意知，有A ⇐B ⇔C ⇐D 且A ⇏B ⇔CD ⇏D ，由命题的传递性可知D ⇒A ，但A ⇏D .于是A是D 的必要不充分条件． 答案 必要不充分 3．集合法适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况．P ＝{p }，Q ＝{q }，利用集合间的包含关系加以判断，具体情况如下：(1)若P ⊆Q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若PQ ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；(3)若P ＝Q ，则p 是q 的充要条件(q 也是p 的充要条件)； (4)P ⊈Q 且Q ⊈P ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．例3 设p ：(2x ＋1)2<m 2(m >0)，q ：(x －1)(2x －1)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________________．解析 由题意得p ：－m －12<x <m －12，q ：x >1或x <12.∵p 是q 的充分不必要条件， ∴p q ， ∴m －12≤12或－m －12≥1，解得m ≤2.又∵m >0，∴0<m ≤2. 答案 (0,2] 4．等价法适用于“直接从正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法．(1)綈q 是綈p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件； (2)綈q 是綈p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件； (3)綈q 是綈p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件；(4)綈q 是綈p 的既不充分又不必要条件⇔p 是q 的既不充分又不必要条件．例4 给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的______________条件．解析 因为綈p 是q 的必要不充分条件，所以綈q 是p 的必要不充分条件，即p 是綈q 的充分不必要条件． 答案 充分不必要4 充分必要条件知识交汇例析充分必要条件是逻辑关系的重要知识点，主要用来讨论条件和结论的关系，是理解或判断一个命题与其相关命题之间关系的重要工具，也是命题转化的主要依据．充分必要条件问题几乎可以融汇所有不同的数学知识，因此用途极为广泛．下面通过具体例子进行分析． 1．与集合的交汇例1 若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的__________条件． 解析 当m ＝2时，集合A ＝{1,4}，又B ＝{2,4}， 所以A ∩B ＝{4}． 当A ∩B ＝{4}时，m 2＝4，m ＝2或m ＝－2，所以“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件． 答案 充分不必要 2．与函数性质的交汇例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则“－2≤a ≤0”是“f (x )在R 上单调递增”的____________条件．解析 因为当－2≤a ≤0时，0≤－a 2≤1，－12a ≥14，所以当x ≥1时，f (x )单调递增；当x <1时，f (x )不一定单调递增，故“－2≤a ≤0”不是“f (x )在R 上单调递增”的充分条件．当f (x )在R 上单调递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤1，－12a ≥1，a <0，12＋a ·1＋1≥a ·12＋1＋1⇒－12≤a <0，所以“－2≤a ≤0”是“f (x )在R 上单调递增”的必要不充分条件． 答案 必要不充分 3．与不等式的交汇例3 “1<a <2”是“对任意正数x,2x ＋a x≥1”的________条件．解析 因为x >0，所以2x ＋a x≥22a .又a >1，所以22a >22>1，所以“1<a <2”是“对任意正数x,2x ＋a x ≥1”的充分条件．对任意正数x,2x ＋a x ≥1，即22a ≥1，解得a ≥18，所以“对任意正数x,2x ＋a x ≥1”不是“1<a <2”的必要条件．所以“1<a <2”是“对任意正数x,2x ＋a x≥1”的充分不必要条件． 答案 充分不必要 4．与平面向量的交汇例4 若a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的________条件． 解析 f (x )＝(a x ＋b )2＝a 2x 2＋2a·b ·x ＋b 2.如果函数f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )，由此求得a·b ＝0，即a ⊥b .反之，也成立．所以“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a⊥b ”的充要条件． 答案 充要5．与数列的交汇例5 设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的________条件． 解析 由a 1<a 2<a 3，即a 1<a 1q <a 1q 2，得a 1(1－q )<0，a 1(q －q 2)<0，即当a 1>0时，q >1；当a 1<0时，0<q <1，此两种情况数列{a n }都是递增数列，故填充要条件． 答案 充要6．与三角函数的交汇例6 在△ABC 中，“A >π6”是“sin A >12”的__________条件．解析 在△ABC 中，当A >π6且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π时，sin A <12，故“A >π6”不是“sin A >12”的充分条件．但当sin A >12时，A >π6一定成立，所以“A >π6”是“sin A >12”的必要不充分条件．答案 必要不充分 7．与立体几何的交汇例7 已知E ，F ，G ，H 是空间四个点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的____________条件．解析 由空间点的位置关系知，E ，F ，G ，H 四点不共面，则直线EF 和GH 不相交，反之，未必成立，故甲是乙成立的充分不必要条件． 答案 充分不必要5 命题和充要条件错误剖析1．考虑不周出错例1 判断命题的真假：函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1.错解因为函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，所以Δ＝22－4×(－1)×a＝0，即a＝－1.所以该命题是真命题．剖析出现上述错解的主要原因是由于没考虑到函数f(x)的最高次项系数含字母参数a，应对字母参数是否为零进行讨论．正解当a＝0时，函数f(x)为一次函数，此时函数只有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，所以Δ＝22－4×(－1)×a＝0，即a＝－1.所以，函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.故原命题为假命题．2．否命题否定错误例2 写出命题“若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零”的否命题．错解否命题为：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全不为零．剖析否命题是将原命题的条件和结论分别否定．错解是条件没有否定，而结论否定为“不全为零”，却错误地写为“全不为零”．正解该命题的否命题为：“若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m、n、a、b不全为零”．3．判断充要条件时出错例3 (1)设x∈R，则x>2成立的必要条件有________．(填上所有正确的序号)①x>1；②x<1；③x>3；④x<3；⑤x>0.错解因为x>3⇒x>2，所以x>2的一个必要条件为x>3.答案③剖析错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正含义，前者等价于b⇒a；后者等价于“b是a的必要条件”，即a⇒b.正解因为x>2⇒x>1，所以x>2的一个必要条件为x>1.同理x>2⇒x>0，所以x>2的一个必要条件为x>0.答案①⑤(2)命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的__________条件．错解若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cos θ＝a·b|a||b|>0，即a·b>0；反之也成立，所以p是q的充要条件．答案充要剖析判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误．正解若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cos θ＝a·b|a||b|>0⇒a·b>0；而当a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．答案充分不必要6 例析逻辑用语中的常见误区误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假：(1)x＋2>0；(2)x2＋2>0；(3)A∩B＝A∪B；(4)A⊆A∪B.错解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命题．剖析(1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；若A B，则A∩B＝A A∪B＝B.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．(4)A为A∪B的子集，故A⊆A∪B成立，故(4)为真命题．正解(2)、(4)是命题，且都为真命题．误区2 原命题为真，其否命题必为假例2 判断下列命题的否命题的真假：(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．正解(1)否命题：若a≠0，则ab≠0，是假命题；(2)否命题：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．误区3 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例3 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出p∨q.(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出p∧q.错解(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.(2)p∧q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．正解(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.(2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．误区4 对含有一个量词的命题否定不完全例4 已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.剖析该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．正解綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.误区5 忽略了隐含的量词例5 写出下列命题的否定：(1)p：若2x>4，则x>2；(2)p：可以被5整除的数末位是0；(3)p：能被8整除的数也能被4整除．错解(1)綈p：若2x>4，则x≤2.(2)綈p：可以被5整除的数末位不是0.(3)綈p：能被8整除的数不能被4整除．剖析由于有些全称命题或存在性命题隐含了量词，从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误．正解(1)綈p：存在x，使得若2x>4，则x≤2.(2)綈p：存在可以被5整除的数末位不是0.(3)綈p：存在能被8整除的数不能被4整除.7 解“逻辑”问题的三意识1．转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．例1 证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．证明 命题“若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1”的逆否命题是“a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝0”．由a －b ＝1，得a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝a －b －1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.例2 已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．解 解不等式x 2－8x －20>0，得p ：A ＝{x |x >10或x <－2}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q ，但q ⇏ p ，说明A B . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]．2．简化意识判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．例3 已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a )x是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．分析 先将命题p ，q 等价转化，再根据题意构建关于a 的关系式，从而得到a 的取值范围． 解析 函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，即y ＝x 2＋2x ＋a 的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0⇔a≤1，即p真⇔a≤1；函数y＝－(5－2a)x是减函数⇔5－2a>1⇔a<2，即q真⇔a<2.由p或q为真命题，p且q为假命题知，命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1<a<2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．答案(1,2)点评若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．3．反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．①A⊈B⇔对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B＝∅；③A⊈B⇔B⊈A；④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B.分析画出表示A⊈B的Venn图进行判断．解析画出Venn图，如图1所示，则A⊈B⇔存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．A⊈B⇒B⊈A不成立的反例如图2所示．同理可得B A⇒A B不成立．故③是假命题．综上知，真命题的序号是④.答案④。

第一课常用逻辑用语[体系构建][题型探究]命题“若p，则q﹁p，则﹁q”逆否命题为“若﹁q，则﹁p”．书写四种命题应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待．(2)要注意条件和结论的否定形式．写出命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．[思路探究] 四种命题的概念→写出其它命题→命题真假的判断【规范解答】原命题：若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0，是真命题；逆命题：若a＝0且b＝0，则a2＋b2＝0是真命题；否命题：若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0是真命题；逆否命题：若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0是真命题．[跟踪训练]1．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.【导学号：95902050】【解析】原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．【答案】 4(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊂B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊂A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊂B且B⊂A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于﹁q是﹁p的什么条件．(1)设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的________条件．(2)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的________条件．[思路探究] (1)可用命题判断法(定义法)或集合判断法解决；(2)采用特殊值判断．【规范解答】(1)方法一：∵p：x＜3，q：－1＜x＜3，∴q⇒p，但p⇒/q，∴p是q 成立的必要不充分条件．方法二：设A＝{x|x＜3}，B＝{x|－1＜x＜3}，因为B⊂A，但A⊄B，所以p是q成立的必要不充分条件．(2)本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故是不充分条件；当时a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故是不必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab ＞0”的即不充分也不必要条件．【答案】(1)必要不充分(2)既不充分也不必要[跟踪训练]2．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的________条件.【导学号：95902051】【解析】 当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0, 即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0,1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要条件1.(1)确定命题是全称命题还是存在性命题；(2)转换量词，全称量词的否定对应存在量词，存在量词的否定对应全称量词．(3)否定结论．(4)当题目中量词不明显或简略时，可以先改写命题，添加必要的量词，凸显命题的特征．(5)要理解并熟记常用关键词的否定形式．2．全称命题与存在性命题真假判断的方法(1)判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假．(2)判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x 0，使命题p (x 0)为真，否则命题为假．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p ：有的素数是偶数；(3)p ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0；(4)p ：∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝0.[思路探究] 首先更换量词，然后否定结论，即可写出命题的否定，再由相关的数学知识判断其真假．【规范解答】 (1)﹁p ：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．﹁p 为真命题．(2)﹁p ：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故﹁p 为假命题．(3)﹁p ：对任意的实数x ，都有x 2＋1≠0.﹁p 为真命题．(4)﹁p ：∃x 0，y 0∈R ，x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋5≠0.﹁p 为真命题．[跟踪训练]3．在下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.其中真命题的个数是________.【导学号：95902052】【解析】 ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114＞0，故①为真命题； ②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②也为真命题； ③中当α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题； ④中当x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故④为真命题．【答案】 4解决此类问题的方法，一般是先假设题目所涉及的两个命题p ，q 分别为真，求出其中参数的取值范围，然后当他们为假时取其补集，最后根据p ，q 的真假情况确定参数的取值范围．当p ，q 中参数的范围不易求出时，也可以利用﹁p 与p ，﹁q 与q 不能同真同假的特点，先求﹁p ，﹁q 中参数的取值范围．已知c ＞0.设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R .如果p 或q 为真，p 且q 为假，求c 的取值范围．[思路探究]题设条件―――――――――――――――→p 或q 为真⇒p 或q 至少有一真p 且q 为假⇒p 、q 至少一假p 、q 有一真―――――→分两种情形求c 的范围【规范解答】 对于命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减⇔0＜c ＜1；对于命题q ：不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R .即函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.因为x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x ＜2c ，所以函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ，所以2c ＞1，即c ＞12. 由p 或q 为真，p 且q 为假知p ，q 中一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜c ＜1，c ≤12，解得0＜c ≤12.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，c ＞12，解得c ≥1.综上，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋ ∞)．[跟踪训练]4．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是________.【导学号：95902053】 【解析】 ∵p ∧q 为真命题，∴命题p 和命题q 均为真命题，若p 真，则m ＜0， ①若q 真，则Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2. ②∴p ∧q 为真，由①②知－2＜m ＜0.【答案】 (－2,0)进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．在本章内容中，转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路探究] 綈p 是綈q 的必要不充分条件――→等价转化p 是q 的充分不必要条件――→集合关系确定含参数a 的不等式【规范解答】 设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，从而p是q 的充分不必要条件，即A B ，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1，故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.[跟踪训练]5．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．【解】 方法一：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}＝{x |3a ＜x ＜a }， B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x | x 2－x －6≤0}∪{x | x 2＋2x －8＞0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件．∴﹁q ⇒ ﹁p ，且﹁p ⇒/ ﹁q ，即{x |﹁q }{x |﹁p }．又∵{x |﹁q }＝∁R B ＝{x |－4≤x ＜－2}，{x |﹁p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a }，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0，即－23≤a ＜0或a ≤－4. 故所求实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 方法二：由﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即AB ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0，即－23≤a ＜0或a ≤－4. 故所求实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. [链接高考]1．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________.【导学号：95902054】【解析】 一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，所以命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．【答案】 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是________．【解析】 由存在性命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.【答案】 ∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －13．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”．【解析】 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.【答案】 充要4．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 【导学号：95902055】【解析】 由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.【答案】 15．已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是__________(填编号)①p ∧q ；②p ∧﹁q ；③﹁p ∧q ；④﹁p ∧﹁q .【解析】 当x ＞0时，x ＋1＞1，ln(x ＋1)＞0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2这时满足a ＞b ，显然a 2＞b 2不成立，即q 为假命题，由复合命题真值表易知②为真命题．【答案】 ②。

江苏省响水中学高中数学 第1章《常用逻辑用语》四种命题导学案苏教版选修1-1【学习目标】：1.能说出命题的概念及命题的四种形式(即原命题、逆命题、否命题、逆否命题；2.会分析四种命题间的相互关系和等价关系.【重点】：四种命题之间的相互关系【难点】：四种命题的改写，利用四种命题间的等价关系解题【课前预习】：问题1: 一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断 的陈述句叫作命题.其中判断为真的语句叫作 ,判断为假的语句叫作 .命题的常见形式是 ,其中p 叫作命题的 ,q 叫作命题的 .问题2: 四种命题的表示形式：原命题的形式:若p,则q; 原命题的否命题形式: ;原命题的逆命题形式: ;原命题的逆否命题形式: .问题3: 四种命题之间的相互关系:问题4: 四种命题的真假性的判断情况:原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真真 假假 真假 假说明:(1)原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有 ;(2)互逆命题和互否命题,它们的真假性 关系;(3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.【课堂探究】：探究一：判断下列语句是否为命题,若是命题,则判断其真假.①求证:错误！未找到引用源。

是无理数; ②x2-2x+3≥0; ③正三角形是等腰三角形吗? ④x≤3;⑤方程x2+3x+3=0无实数解; ⑥若G2=ab,则a,G ,b 成等比数列.探究二：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题22(1),(2)0,,0(3),,,a b a bx y x y a b a b a b ==+=+若则若则全为已知是实数若是无理数，则都是无理数探究四：求证:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

[学习目标].了解联结词“且”“或”“非”的含义.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.
知识点一且
“且”就是用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到的新命题，记作∧.
知识点二或
“或”就是用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到的新命题，记作∨.
知识点三非
一般地，对一个命题全盘否定，就得到一个新命题，记作綈，读作“非”或“的否定”.
知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断
∨∧綈
真真真真假
真假真假假
假真真假真
假假假假真
[思考]()逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？
()命题的否定与否命题有什么区别？
答案()生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.
()命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.
题型一∧命题及∨命题
例分别写出下列命题构成的“∧”“∨”的形式，并判断它们的真假.
()：函数＝是偶函数，：函数＝是增函数；
()：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；
()：是无理数，：是实数；
()：方程＋＋＝有两个相等的实数根，：方程＋＋＝两根的绝对值相等.
解()∧：函数＝是偶函数且是增函数；
∵真，假，∴∧为假.
∨：函数＝是偶函数或是增函数；
∵真，假，∴∨为真.
()∧：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；
∵真，真，∴∧为真.。

第1章常用逻辑用语1．要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换．2．正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．3．有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．4．常用“都是”表示全称肯定，它的存在性否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示．5．在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．6．否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若非p，则非q”，其命题的否定为“若p，则非q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．1．转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想．一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 例1 判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题：“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假． (3)该命题的逆否命题：“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它为假命题，故原命题为假． 跟踪训练1 下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2(其中r >0)； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1.解 (1)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件． (2) 非q ：x ＝－1且y ＝－1，非p ：x ＋y ＝－2.∵非q ⇒非p ，而非pD ⇒/非q ，∴非q 是非p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件．例2 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2) 非p 是非q 的充分不必要条件， 即非p ⇒非q 且非qD ⇒/非p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．跟踪训练2 命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2. 由已知条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，－2≤a <1或a >2. 2．分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语一章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏．例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围． 解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真．p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1)．(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎪⎫，1252，＋，即a ∈(52，＋∞)．综上，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝{a |0<a <12或a >52}，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B ， 故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．跟踪训练3 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的定义域为R ；命题q ：函数g (x )＝x ＋a x －2在(2，＋∞)上是增函数．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围． 解 当p 为真命题时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4－4a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >1，∴a >1.当q 为真命题时，g (x )＝x －2＋2＋a x －2＝1＋a ＋2x －2在(2，＋∞)上是增函数，∴a ＋2<0，即a <－2.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， ∴p 与q 一真一假，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 3．数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上．例4 设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________． 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1，故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件．故填0<m <1.跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (12，1)解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1)．4．反证法反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论．从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则非q ”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p ，则非q ”为假，从而可以得出“若p ，则q ”为真，达到证明的目的．反证法是高中数学解题的一种基本方法．例5 如果a ，b ，c ，d 为实数，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．证明 假设a ，b ，c ，d 中至少有一个负数不成立，则a ，b ，c ，d 都为非负数，即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0.因为a ＋b ＝1，c ＋d ＝1， 所以(a ＋b )(c ＋d )＝1， 即(ac ＋bd )＋(bc ＋ad )＝1.因为a ，b ，c ，d 均为非负数，于是bc ＋ad ≥0， 故由上式可以知道ac ＋bd ≤1， 这与已知条件的ac ＋bd >1矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半． 已知：在△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 边上的中点， 求证：AD <12BC (如图所示)．证明 假设AD ≥12BC .①若AD ＝12BC ，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”知∠BAC ＝90°，与题设矛盾．所以AD ≠12BC .②若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ，所以在△ABD 中，AD >BD ， 从而∠B >∠BAD ，同理∠C >∠CAD . 所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ， 即∠B ＋∠C >∠BAC .因为∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ， 所以180°－∠BAC >∠BAC . 故∠BAC <90°，与题设矛盾． 由①②知AD <12BC .1.对于命题的判断问题，在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查．考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容，得到命题者的青睐．该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系．体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求．解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题来解决．2．充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径．通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解．3．正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法，熟记规律：已知命题p 、q ，只要有一个命题为假，p ∧q 就为假；只要有一个为真，p ∨q 就为真，非p 与p 真假相对．另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．4．解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与存在性命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明存在性命题为真．。

江苏省响水中学高中数学 第1章《常用逻辑用语》复习导学案 苏教版选修1-1学习目标： 1.了解四种命题的形式。

2.理解充分条件、必要条件与充要条件，并会判断。

3.了解逻辑联结词的含义。

4.能正确地对含有一个量词的命题的否定。

课前预学：1、一个原命题的逆否命题是“02,12<-=x x x 则若”，那么该原命题是 命题（填真、假）2、如果命题p 是命题q 成立的必要条件，那么命题非 p 是命题非q 成立的 条件3、条件p “1>x ”是条件q “3>x ”成立的 条件。

4、已知命题p ：“23,1a a a >>则若”；命题q ：“若a a a 1,0>>则”。

则在“p 或q ”,“p且q ”，“非p ”和“ 非q ”四个命题中，真命题是5、命题“01,2≤++∈∃x x R x ”的否定是 6、“直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的充分必要条件是7、命题“0932,2<+-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是2、已知命题p :方程9(4)340x x a ++⋅+=有解；命题q :函数)(log )(2x ax x f a -=在区间[2,4]上是增函数，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围.3、已知)0(0)]1()][1([:;0324:2>≤+---≤--m m x m x q x x p 。

若非p 是非q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围。

4、已知(+1)(2-)0x x ≥的解集为条件p ，关于x 的不等式222+-2-3-1<0(>-)3x mx m m m 的解集为条件q .（1）若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围.（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围.课后巩固：1、命题"21,"2x x R x >+∈∀的否定是 2、命题p 的否定是“对所有正数1,+>x x x ”，则命题p 是3、设A, B 为两个集合，给出下列四个命题：(1)的充要条件是A B A B A =⋂⊆；（2）B A ⊆是的充要条件B B A =⋃；（3）存在一个实数x ,使2cos sin =+x x ；（4）βα,为第一象限角是βαsin sin >的充要条件；其中真命题的有4、已知条件;41:<<x x p 或条件43:>-<x x q 或。