数学知识点人教A版高中数学必修三第三章概率3.2《古典概型》教案-总结

黑龙江省大庆外国语学校高中数学 第三章《概率》《3.2 古典概型》教案 新人教A 版必修3一、教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）掌握古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A（3）了解随机数的概念；（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。

2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．三、学法：与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯． 四、教学过程：3、例题分析： 课本例题略例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。

解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点） 所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点）， 其包含的基本事件数m=3 所以，P （A ）=n m =63=21=0.5 小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点： （1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏。

例2 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2）和，（a 1，b 2），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 2，a 2）。

第三章概率小结（人教A版高中课标教材数学必修3）教学设计一、教学内容解析本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修3第三章《概率》的小结课，本节教学内容为梳理本章知识内容，强化知识间的内在联系，提高综合运用知识解决问题的能力．掌握随机现象中的必然事件、不可能事件、随机事件的概念；掌握古典概型、几何概型的特点及概率运算；掌握互斥事件、对立事件的概念，会利用公式计算有关的问题的概率．概率小结是对概率概念和运算的丰富与升华，是对概率认识的又一次质的飞跃．根据本节课的内容特点以及学生的实际情况，在小结课之前让学生自己总结本章知识网络结构，在课堂上学生分组讨论并展示，加之老师对知识网络结构的归纳、总结和评价，使学生对本章内容有一个全面的认识．通过各类题组训练，让学生自己体会知识的横向、纵向联系，对相关概念的认识更加精准和深刻，同时也把它们作为本节课的教学重点．本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．另外，概率问题可以与其他模块知识交汇形成不同背景的综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力，因此本节的内容起到了新旧知识相互迁移、融会贯通的重要作用；并且通过本节内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、等价转化的数学思想方法提供了重要的素材．二、教学目标设置新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：通过具体实例，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；理解古典概型及其概率计算公式；初步体会几何概型的意义．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：1.在具体情景中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别和联系，培养良好的思维品质．2.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识．3.通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，从而渗透转化的数学思想方法．4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概型的意义，从而深入体会数形结合的思想方法．5.营造和谐的课堂氛围，通过独立思考，合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及严谨的思维方式．三、学生学情分析本节课面对的是高一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导．通过之前的学习学生已经了解了概率的意义以及频率与概率的区别和联系，理解了古典概型和几何概型的概念及其计算．同时对于数形结合、等价转化的数学思想方法也有了初步的认识．为了更好的实现本节课的教学目标，需要学生从原有的知识和能力出发进一步体会频率与概率、古典概型和几何概型的内在联系，从而深入感受转化、类比的数学思想方法．让学生充分感受两种概率模型的研究方法和生成过程，从而深入体会数形结合的思想方法．从数形结合、等价转化的数学思想方法的初步具备到本节课的深入强化，从概率的意义、古典概型和几何概型的概念及其计算到整章知识的综合应用，可通过实际教学中积极的双边活动让学生自主寻求解决问题的途径．激发学生学习热情，提高课堂效率，使知识得到螺旋式的巩固与提高．而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面，还有待于教师的指导帮助．根据本节课的教学内容及学生的实际情况，我将本节课的教学难点制定为：对概率本质的深入理解，古典概型和几何概型的概念及其计算的实际应用．学生根据教师提供的情境，采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识，归纳知识．通过创设情境疑问，引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流，探求解决问题的方法．鼓励学生创新思考，加强数学实践，培养学生的理性思维，同时注重培养学生良好的数学学习习惯．四、教学策略分析1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.2．为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助多媒体或实物投影仪等信息技术手段，增加信息量，为学生的数学探究与数学思维提供支持．3．数学是一门培养重要思维的学科．根据本课特点及学生情况，教学中教师通过创设情境，设置问题，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究、合作交流，实现动眼、动手、动脑操作来达到对知识的发现和接受．围绕本节课的教学重点，教学过程中以问题为驱动，逐层递进，使学生对知识的探究由表及里，逐步深入．通过思考题，以“问题串”形式组织教学，通过探究，引导学生思考、归纳、总结．例题、练习、变式题的设置从浅入深，课后作业分层布置，设置为巩固型、思维拓展型两个阶段，为不同认知基础的学生提供相应的学习机会．在教学过程中，反馈应体现在学生对于课堂所学知识的掌握情况，同时也体现在教师对于学生解题过程中的诊断性评价．例题的自主完成要给学生足够的时间，通过学生板演反馈知识内化情况．通过反馈教师给予学生更有针对性的指导帮助，从而真正实现知识的内化．五、教学过程教学流程：问题1：小组活动，组内学生讨论总结的知识网络结构．师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．【设计意图】学生及时查漏补缺，让学生再经历知识由零乱到系统的过程，构建起完整的单元知识网络，为单元复习课的深入开展奠定坚实的基础，同时可以使学生逐步形成自主归纳的意识，增强归纳知识的能力．在数学课堂教学中，让学生围绕中心议题展开合作交流，能充分展示学生的主体地位，使学生从“学会”向“会学”转化，促使学生主动地、开放地学习.同时它能充分发扬民主，吸引学生参与，激活思维火花，开启智慧闸门，给学生以发展个性、展示才华的机会，使学生的探索能力得到提高与发展，另外还能培养学生的团结协作能力和社会交往能力．（二）目标训练，突出重点学生完成一组基础训练题，回顾《概率》一章基本概念和基本运算．1.下列说法正确的序号是①不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1；0,1之间；②任何事件的概率总是在()③频率是客观存在的，与试验次数无关；④随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率；⑤概率是随机的，在试验前不能确定；⑥某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的概率是0.8 ．2．下列事件：①如果a>b，那么a－b>0；②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝log a x是增函数；③某人射击一次，命中靶心；④从装有1个红球、2个白球共3个球的袋子中，摸出一球是黄球；其中是随机事件的为( )A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③3．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )A ．3个都是正品B ．至少有一个是次品C ．3个都是次品D ．至少有一个是正品4. 如果事件A 、B 互斥，且事件A 、B 分别是A 、B 的对立事件，那么（ ）A. 事件A B 是必然事件； B ．事件A B 是必然事件；C ．事件A 与B 一定互斥；D ．事件A 与B 一定互斥．5.下列结论不正确的是（ ）A. 若(A)0P =，则(A)1P =；B. 若事件A 、B 对立，则(A B)1P +=；C ．若事件A 、B 、C 两两互斥，则事件事件A 与B C +也互斥；D ．若事件A 与B 互斥，则事件A 与B 一定不互斥．6．(2014·江苏)从1、2、3、6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．7．(2013·江苏)现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m 、n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．8. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ( )A. 116B. 18C. 14D. 12 9. 在长方体1111ABCD A B C D -内任意取点，则该点落在四棱锥1B ABCD -内部的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16 10. 在棱长为2正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取点P ，则该点P 到点O 的距离大于1的概率是（ ）A ．12πB ．112π-C ．6πD ．16π- 学生自主完成，小组讨论，回答老师提出的问题．问题1：恒成立问题、可成立问题、不成立问题分别对应那些事件？问题2：事件的关系有哪些？问题3：事件的关系与集合论的哪些概念等价？问题4：如何利用集合韦恩图解释第4、5题？问题5：第8、9、10题的几何概型的测度分别是什么？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．【设计意图】通过设计一组简单的，全面包含要复习的各类知识点的题组进行引入，它的落脚点绝非是为巩固知识技能而进行的简单重复，而是将学生的知识结构分散在不同的知识之中，将渗透或运用的思想、方法有共同点的习题重新组合呈现．这种引入方式有利于激发学生反思，使其产生探究欲望，有利于学生针对具体情况建构用于指引问题解决的图式，形成背景性经验．题目的设置主要是学生以前的错题的再现与澄清，要有层次、有梯度．不仅考查学生的基础知识，还要考查学生基本能力，让学生进行限时训练，力图发现新问题，突出重点和补救性，这是对复习的数学知识和思想方法的运用，是培养学生解题能力的又一次升华．教师借题点拨，系统归纳、总结出有关的基础知识、思想方法和规律等，并板书．（三）典型例题，探究分析1.频率与概率1.下列说法中正确的个数是（）①频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生可能性的大小；②概率为0的事件一定是不可能事件，概率为1的事件一定是必然事件；③每个实验结果出现的频率之和不一定等于1；④频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值．A. 4B. 3 C．2 D．1师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．问题1：概率为0的事件一定是不可能事件吗？为什么？问题2：你能举几个实例吗？师生活动：教师引导学生设计三个测度不同的几何概型问题．2.古典概型中事件的关系和运算2.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中是互斥事件的个数是( )①至少有一个白球,都是白球；②至少有一个白球,至多有一个红球；③恰有一个白球,恰有2个白球；④至少有一个白球,都是红球.A. 0B. 1C. 2D. 3问题1：分别说明每一组事件是什么关系？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．3.一个箱子中有红、黄、白三色球各一个, 求：⑴.从中不放回地抽取2个球，①有红色球的概率；②没有红色球的概率；(2).从中不放回地抽取2次，①第一次取到红色球的概率；②没有红色球的概率；(3).从中每次任取一个,有放回地抽取2次，①2次全是红球的概率；②2次颜色全相同的概率；③2次颜色不相同的概率；④2次至少有一次是红球的概率；⑤2次至多有一次是红球的概率.问题1：以上三种不同的抽取方式下的所有基本事件总数分别是多少？如何表示？渗透了哪种数学思想？问题2：分别求解各个事件的概率？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．3.几何概型中的不同测度4．如图，在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求下列事件的概率：（1）在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；（2）在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB．问题1：以上两个问题是什么概型？为什么？问题2：它们的测度分别是什么？如何求其概率？ACPB第4题问题3：本题体现了什么数学思想？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．4.古典概型和几何概型综合应用5．已知向量(1,1),(,)a b x y =-=．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1a b =-的概率；（2）若,x y ∈[]1,6，求满足1a b >-的概率．问题1：以上两个问题分别是什么概型？为什么？问题2：事件A ：1a b =-等价于什么？ 事件B ：1a b >-等价于什么？问题3：第二个问题的测度是什么？如何求其概率？问题4：本题体现了什么数学思想？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．【设计意图】数学复习离不开解题教学，应以知识和能力并重、螺旋上升的原则设置典型例题题组．对每个例题由老师设置问题链引导学生思考，突破一个个问题，从而打通解题的思路以及相关知识点之间的逻辑关系，在引导的过程中不能就题论题，而要引导学生对解题规律进行总结，对知识进行提升，做到让学生知其所以然，既重视基础知识、基本技能的训练，又重视核心思想方法的渗透，以期达到“讲一题、得一法、会一类、通一片”的效果，切实提高学生的解题能力．（四）高考链接，拓展提高1．（2016年北京高考）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）（A ）15 （B ）25 （C ）825 （D ）9252．（2016年天津高考）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ）（A ）65 （B ）52 （C ）61 （D ）31 3．（2016年全国I 高考）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）344．（2007年海南 宁夏）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．师生活动：小组讨论，代表发言交流．【设计意图】高考题有一定的系统性、针对性，有明确的考查目标和培养方向，有利于多方面地促使学生对知识本质的认识，有利于对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性．（五）归纳总结，反思升华【设计意图】教学中要有意识地关注学生在学习过程中的感悟，引导学生反思:每个题组复习了哪些知识？重温了哪些方法？用到了哪些技能？体现了哪些思想？哪道题可以推广、引申？将一题多解及多题一解的疑问交给学生，让学生深入探讨，教师要引导学生根据问题进行反思，在反思中巩固知识、深化认识、提高水平，使学生的知识就能由点到线、由线到面、由面到整体，最终形成最为科学的知识框架和体系．每次学习仅是一种经历，只有通过不断的反思，把经历提升为经验，学习才具备了真正的价值和意义.从这个意义上说，帮助学生养成学习反思的习惯，培养学生的反思意识，对学生的个性发展有不可估量的作用.布置作业：一张练习题【设计意图】课后作业是课堂教学的延伸，它既是对单元知识的巩固训练，也是对单元知识的拓展延伸，可加深对知识的理解、形成数学能力．作业设置一要有针对性，在复习中针对学生学习中的重点、难点、易错点进行选题，避免过多的重复训练．二要有层次性，作业不是一味的罗列习题，而是要将题目有梯度的安排，使每一位学生在做题中都能感受到挑战的存在．教学中还应关注学生的个体差异，允许学生思维方式的多样化和思维水平的不同层次，同时应努力为学有余力的学生提供平台，立足于单元知识，为他们提供几道拓展探究性的习题，并给予个别指导，实现分层提高．。

必修三《3.2.1 古典概型》导学案学习目标1.能说出古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；2.会应用古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A 3.会叙述求古典概型的步骤；教学重点和难点教学重点：正确理解掌握古典概型及其概率公式新课导学一、 自学课本125页例1以上部分内容，解决下列问题：1、(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验。

(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验。

有哪几种可能结果？2、基本事件的特点是：例1：从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？3、什么叫古典概型？思考3：一般地，对于古典概型，事件A在一次试验中发生的概率如何计算？二、离开课本尝试解答125页例2—129页例5.例2单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？例3 同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？例5 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？.1、在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有的正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？2、一枚骰子抛两次，第一次的点数记为m ，第二次的点数记为n ，计算m-n<2的概率3、在所有首位不为0的八位电话号码中，任取一个号码。

古典概型及几何概型【知识要点】古典概型：（1）基本事件基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件。

基本事件的特点：① 任何两个基本事件是互斥的。

② 任何事件都可以表示成基本事件的和。

（2）古典概型的特点①有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个。

②等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的。

故随机试验的概率模型称为古典概型。

（3）古典概型的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有的结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n。

如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为： P （A ）==m A n 中所含的基本事件数基本总事件数.几何概型：(1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

(2)几何概型的特点：①无限性，试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限个；②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

（3）几何概型的计算公式：在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：A P(A)=构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）【解题方法】1、解题前，先要了解事件的性质，清楚知道事件是属于古典概型还是几何概型，然后根据求解概率公式求出概率。

【知识应用】【J 】例1、已知袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率。

（1）A ：取出的2球都是白球。

（2）B ：取出的2球1个是白球，另一个是红球。

点拨：（1）可以先将6个球分别编号，1~6，白球为1~4，红球为5~6.从袋中取出2球为白球的情况有6种，从袋中取出2球的情况有15种。

所以，P （A ）=62=155（2）从袋中取6个小球的情况共15种，要使一个球为红球，一个球为白球的情况为4*2=8种。

所以，P （B ）=815【J 】例2、面积为S 的ABC ∆，在其一边AB 上取点P ，求使PBC ∆的面积小于S 2的概率。

古典概型为偶数的概率是________．知识梳理1．基本事件的特点2．古典概型3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝. 4．古典概型的概率公式P(A)＝例题选讲题型一基本事件与古典概型的判断例1 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？下列试验中，是古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段上任取一点，求此点小于2的概率．A．0 B．1 C．2 D．3题型二古典概型的概率例2某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：A B C D E身高体重指标(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．题型三古典概型与统计的综合应用例3有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.组别 A B C D E人数5010015015050 抽取人数 6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如。

3.2.1 古典概型一、课前自主导学【教学目标】1、理解古典概型及其概率计算公式。

2、会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

【重点、难点】理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 【温故而知新】探究1、试验：（1）掷一枚质地均匀的硬币的试验；（2）掷一枚质地均匀的骰子的试验；上述两个试验的所有结果是什么？阅读教材341301-P ，并填空。

1.基本事件（1）基本事件的定义：随机试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

（2)基本事件的特点：① 不能再分的最简单的随机事件② 试验中的其他事件都可以用基本事件来描绘2.古典概型(1)有限性：试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果 ；(2) 等可能性：每一个结果出现的可能性相等 .我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.探究2、随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是多少？你能根据古典概型和基本事件的概念，检验你的结论的正确性吗？3.古典概型概率公式对于古典概型，如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率为：P(A)=n m【预习自测】1、一枚硬币连掷两次，恰好出现一次正面的概率是（ A ）A.0.5B.0.25C. 0.75D.02、从一副扑克牌(54张)中抽一张牌，抽到牌“K”的概率是 。

答案：272544=3、不定项选择题是从A ，B ，C ，D 四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道答案，猜对某个不定项选择题的概率为（151 ） 4、甲乙两人做出拳游戏(锤子,剪刀,布)，求:(1)平局的概率是 ；(2)甲赢的概率是 . 答案：31,31 【我的疑惑】二、课堂互动探究例1．同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ 4种（3）向上的点数之和是5的概率是多少？91变式1一颗骰子连掷两次，和为4的概率?121变式2：两数之和不低于10的结果有多少种？两数之和不低于10的的概率是多少？ 答案：6种，61 例2．某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解：（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5),（3,4),(3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A ），即(1,2),(1,3),(2,3),故103)(A P . 故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为103. 【我的收获】三、课后知能检测1、袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，下面四个选项中不是基本事件的是（ D ）A 、{正好2个红球}B 、{正好2个黑球}C 、{正好2个白球}D 、{至少1个红球}2、盒中有10个铁钉，其中8个是合格品，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是 。

§3.2.1 古典概型（一）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含.重点: 理解基本事件的概念、理解古典概型及其概率计算公式.古典概型是等可能事件概率.学法指导1、基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试验中的事件A 可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的.2、基本事件数的探求方法：（1）列举法（2）树状图法：（3）列表法（4）排列组合3、本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）=,A 包含的基本事件数总体的基本事件个数此公式只对古典概型适用.随机事件，基本事件的概率值和概率加法公式.通过试验和观察的方法，可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，操作不方便，并且有些事件是难以组织试验的.因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算事件概率的通用方法. 【探究新知】（一）：基本事件 思考1：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，可能结果有 ；连续抛掷三枚质地均匀的硬币，可能结果 . 思考2：上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类试验中不能再分的最简单的，且其他事件可以用它们来描述的随机事件事件称为基本事件，通俗地叫试验结果. 在一次试验中，任何两个基本事件是___ 关系. 所有基本事件构成的集合成为基本事件空间。

基本事件空间常用大些字母Ω表示.例1：试验“连续抛掷两枚质地均匀的硬币”的基本事件空间{()Ω=（正，正），正，反， }（反，正），（反，反）.思考3：在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？思考4：综上分析，基本事件的两个特征是:(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.【探究新知】（二）：古典概型思考1：抛掷一枚质地均匀的骰子有________ 基本事件.每个基本事件出现的可能性相等吗？思考2：抛掷一枚质地不均匀的硬币有________ 基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？思考3：从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事件有多少个？思考4：如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型.例2：下列事件中哪些是古典概型：（1）明天是否下雨（2）射击运动员在一次比赛中能否击中10环（3）某时间内路段是否发生交通事故（4）抛掷一枚骰子朝上的点数是奇数.思考5：随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是多少？你能根据古典概型和基本事件的概念，检验你的结论的正确性吗？思考6：一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为多少？为什么呢？思考7：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶数点”的概率如何计算？“出现不小于2点”的概率如何计算？思考8：考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现？思考9：一般地，对于古典概型，事件A在一次试验中发生的概率如何计算？．思考10：从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m个基本事件组成子集A，那么事件A 发生的概率 P（A）等于什么？特别地，当A=U，A=Ф时，P（A）等于什么？重要结论：一般地，对于古典概型，基本事件共有n 个,随机事件A 包含的基本事件是m.由互斥事件的概率加法公式可得()m P A n=, 所以在古典概型中(),m A P A n ==包含的基本事件数总体的基本事件个数这一定义被成为概率的古典定义，其中该公式称为古典概型的概率计算公式.【例题讲评】例1 从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？这些基本事件构成的基本事件空间是什么？事件“取到字母a ”是哪些基本事件的和？例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？例3： 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？例4 同时掷两个不同的骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？1、在下列试验中,哪些试验给 出的随机事件是等可能的？ ( ) ① 投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面” ② 一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一个球,“取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球” ③ 一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球, “取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。

第一章算法初步一，算法与程序框图1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。

3，程序框图：也称流程图，是一种用程序框，流程线及文字说明来表示算法的图形。

图形符号名称功能终端框表示一个算法的起始和结束输入（输出框）表示一个算法输入和输出的信息处理框赋值、计算判断框判断某一个条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y ”，不成立时标明“否”或“N ”。

流程线连接程序框连接点连接程序框图的两部分4，三种程序框图（1）顺序结构：1种（2）条件结构：2种（3）循环结构：直到型循环结构（先执行，后判断），当型循环结构（先判断，后执行）注意：一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。

二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式）1，输入语句2，输出语句3，赋值语句注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量4，条件语句5，循环语句：直到型当型三，算法案例1，辗转相除法：例：求２１４６与１８１３的最大公约数２１４６＝１８１３×１＋３３３１８１３＝３３３×５＋１４８３３３＝１４８×２＋３７注意：提示内容用双引号标明，并与变量用分号隔开。

IF 条件THEN语句体ENDIFINPUT “提示内容”；表达式PRINT “提示内容”；表达式变量= 表达式IF 条件THEN语句体 1ELSE语句体 2 ENDIFDO循环体LOOPUNTIL条件WHILE 条件循环体WEND１４８＝３７×４＋０．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止，所以37为最大公约数。

2，更相减损术：第一步：任意给定两个正整数，判断是否为偶数，若是，用2约简，否则执行第二步。

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等。

古典概型的教案【篇一：古典概型教学设计】一、教学背景分析（一）本课时教学内容的功能和地位本节课内容是普通高中课程标准实验教科书人教a版必修3第三章概率第2节古典概型的第一课时，主要内容是古典概型的定义及其概率计算公式。

从教材知识编排角度看，学生已经学习完随机事件的概念，概率的定义，会利用随机事件的频率估计概率，学习了古典概型之后，学生还要学习几何概型，古典概型的知识在课本当中起到承前启后的作用。

古典概型是一种特殊的概率模型。

由于它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，许多概率的最初结果也是由它得到的，因此，古典概型在概率论中占有重要地位，是学习概率必不可少的。

学习古典概型，有利于理解概率的概念，有利于计算事件的概率；为后续进一步学习几何概型，随机变量的分布等知识打下基础；它使学生进一步体会随机思想和研究概率的方法，能够解决生活中的实际问题，培养学生应用数学的意识。

（二）学生情况分析（所授对象接受知识情况和对本教学内容已知的可能情况）1、学生的认知基础：学生在初中已经对随机事件有了初步了解，并会用列表法和树状图求等可能事件的概率。

在前面的随机事件的概率一节中，已经掌握了用频率估计概率的方法，即概率的统计定义。

了解了事件的关系与运算，尤其是互斥事件的概念，以及概率的性质和概率的加法公式。

这些知识上的储备为本节课的基本事件的概念理解和古典概型的概率公式的推导打下了基础。

学生在前面的学习中熟悉了大量生活中的随机事件的实例，对于掷硬币，掷骰子这类简单的随机事件的概率可以求得。

2、学生的认知困难：我调查了初中的数学老师，和高一的学生对这部分知识的理解，发现学生初中学习了等可能事件的概率，对简单的等可能事件可计算其概率，但没有模型化，所以造成学生只知其然，不知其所以然。

根据以往的教学经验，如果不对概念进行深入的理解，学生学完古典概型之后，还停留在原有的认知水平上，那么，由于概念的模糊，会导致其对复杂问题的计算错误。

人教A版必修3《3.2.1古典概型》教学设计一、教材内容与内容解析本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.1节古典概型。

它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前，学生还未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，能解释生活中的一些问题。

因此本节课的教学重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

二、目标与目标解析根据本节教材在本章中的地位和大纲要求以及学生实际,本节课的教学目标制定如下:①结合一些具体实例，让学生理解并掌握古典概型的两个特征及其概率计算公式，培养学生观察比较、归纳问题的能力。

②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率, 渗透数形结合、分类讨论的思想方法。

③使学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型,关键是要使该问题是否满足古典概型的两个条件，培养学生分析问题、解决问题的能力。

三、教学问题诊断分析在例1教学中，求古典概型中基本事件总数是难点，原因是由于前面没有学习排列组合知识，此时教师可引导学生用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏，解决了这一难点。

在本节课例2的教学中，学生往往不会讨论这个问题该在什么情况下可以看成古典概型，在例3的教学中，学生给出的答案可能会有两种，原因是有些问题中的每个基本事件不是等可能的。

因此古典概型的教学应让学生通过实例验证该试验是否满足古典概型的两个条件，这也是本节课的教学难点。

四、教学支持条件分析①教师方面：教师在课堂教学过程中，根据学生的实际水平，恰时恰点的提出问题，设置合理、有效的教学情境，让每一位学生参与课堂讨论，提供学生思考讨论的时间与空间。

②学生方面：学生之间的讨论与师生之间的交流是获取知识、提高能力最直接的途径。

《古典概型》教学设计一、教材分析本节课是人教A版高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型能够为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。

二、教学目标1．知识与技能(1)理解基本领件的特点；(2)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；(3)会用列举法计算一些随机事件所含的基本领件数及事件发生的概率。

2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，表达了化归的重要思想，掌握列举法，学会使用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

3．情感态度与价值观概率教学的核心问题是让学生理解随机现象与概率的意义，增强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。

适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型相关的实例。

使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

三、重点、难点重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数。

四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图以境激情试验1：掷一枚质地均匀的硬币，观察出现哪几种结果？（见课件）试验2：抛掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数有哪几种结果？1．基本领件的概念一次试验可能出现的每一个结果称为一个基本领件。

如：试验1中的“正面朝上”、“正面朝下”；试验2中的出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”教师创设情境，为导入新知做准备。

古典概型一、教材分析教材的地位和作用：本节课是高中数学必修3第三章概率的第二节，古典概型的第一课时。

本节课在教材中起着承前启后的作用。

古典概型的引入避免了大量的重复试验，而且得到的概率是精确值。

古典概型是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型为后续学习几何概型奠定了知识和方法基础，同时有助于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，并解释生活中的一些概率问题。

二、学情分析认知分析：本节课是在学生学习了统计、随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下学习的新知识。

学生已经了解了概率的基本性质，知道了互斥事件与对立事件的概率加法公式能力分析：我校学生基础比较薄弱，自学能力较差，对抽象的知识理解较困难。

作为高二的学生他们具备一定的观察、类比、分析、归纳能力，但对知识的理解和方法的掌握上存在一些问题。

情感分析：问卷调查显示，多数学生对概率的学习有一定的兴趣，但对抽象的定义和公式存在惧怕心理。

并且学生习惯了小组合作学习。

三、教学目标新课程强调获得知识的过程比知识本身更有价值。

新课标重视过程教学、情感教学。

根据新课程标准，结合学生心理发展的需求，制定以下三维教学目标：知识与技能目标：正确理解两个概念：基本事件与古典概型，掌握古典概型的概率计算公式。

过程与方法目标：创设情境，设计一些具有实际生活背景的问题，引导学生积极思考。

进一步发展学生的观察、类比、分析、归纳能力，让学生体会从特殊到一般的数学方法情感态度与价值观目标：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的兴趣和热情；感受数学的应用价值，并尝试用数学的视野去关注生活中的数学问题。

四、教学重难点及突破难点的关键教学重点：理解古典概型及其概率计算公式教学难点：如何正确运用古典概型的概率计算公式关键：通过实例，特别是举一些破坏古典概型两个特征的例子，以突破古典概型识别的难点。

通过鼓励学生尝试画树状图和列表等方法，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。

必修三《3.2.1古典概型》教案一、教学内容本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A 版必修3第三章第二节《古典概型》，教学安排是2课时，本节课是第一课时。

二、教学目标1.知识与技能：(1)通过试验理解基本事件的概念和特点；(2)通过具体实例分析，抽离出古典概型的两个基本特征，并推导出古典概型下的概率计算公式； (3)会求一些简单的古典概率问题。

2.过程与方法：经历探究古典概型的过程，体验由特殊到一般的数学思想方法。

3.情感与价值：用具有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创 新思想。

三、教学重、难点重点：理解古典概型的概念，利用古典概型求解随机事件的概率。

难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中基本事件的总数和某随机事件包含的基本事件的个数。

四、教学过程（一）情境引入小军和小民玩掷骰子游戏，他们约定：两颗骰子掷出去，如果朝上的两个数的和是9，那么小军获胜，如果朝上的两个数的和是10，那么小民获胜。

请问：谁会获胜？这样的游戏公平吗？ （二）探究新知一、基本事件思考1：掷一枚质地均匀的硬币,观察可能出现哪几种结果？掷一枚质地均匀的骰子,观察可能出现的点数有哪几种结果？1、定义：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

2、基本事件的特征：（1）任何两个基本事件是互斥的;（2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

试一试：从字母a 、b 、c 、d 任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？分析：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺序把所有可能的结果都列出来。

{,}C a d ={,}A a b ={,}B a c ={,}E b d ={,}D b c ={,}F c d =61nA P )(二、形成概念通过上面的共同特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件的个数有限；(2)每个基本事件出现的可能性相等。

我们把具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. 三、概念辨析（1）从2名男生3名女生中任意选取一名当数学课代表是古典概型吗？ （是） （2）从所有整数中任取一个数的试验是古典概型吗？ （不是）（3）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。

人教版高中数学必修三 第三章 统计 3.2.1《古典概型》要点梳理与考点探究【学习目标】1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．【要点梳理·夯实知识基础】1．基本事件(1)基本事件的定义：一次试验中可能出现的试验结果称为一个基本事件．基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．(2)基本事件的特点：①任何两个基本事件是__________；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和． [答案](2)①互斥的 ②基本事件 2．古典概型如果某类概率模型具有以下两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件__________． (2)每个基本事件出现的__________．将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型．[答案](1)只有有限个 (2)可能性相等 3．古典概型的概率公式对于任何事件A ，P(A)＝________________________________. [答案]A 包含的基本事件的个数基本事件的总数 [常用结论]确定基本事件个数的三种方法(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型．(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验． (3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．[学练结合]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(2)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(3)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．() [答案](1)×(2)√(3)×2．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为偶数的基本事件个数为() A．4 B．5 C．6 D．7答案: C解析: 任取三个数和为偶数共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6个，选C.3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.25 B.415 C.35 D.23答案: A解析: 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝615＝52.4．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．答案:52解析: 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为2 5.5．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．答案:32 解析: 从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲乙，甲丙，乙丙三种可能，则甲被选中的概率为32.【考点探究·突破重点难点】考点一：基本事件的计数问题1.在1,2,3,4,5这5个数字中,同时任取两个数,则有 个基本事件,其中“两数都是奇数”有 个基本事件. 答案:10 3解析:一共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个基本事件,两数都是奇数包含(1,3),(1,5),(3,5)3个基本事件. 考点二：古典概型的概率求法【例1】 (1)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________．(1)D (2)56 [(1)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25. 故选D.(2)设取出的2个球颜色不同为事件A ，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A 包含5种，故P (A )＝56.](3)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．①若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解]①由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝15.②从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝2 9.[拓展探究](1)本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．(2)本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．[解](1)基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以P(A)＝46＝23.(2)基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率P＝616＝38.[(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；(3)利用公式，求出事件A的概率．[跟踪练习]1. 小红打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815 B.18 C.115 D.1302. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110 B.15 C.310 D.251.C2.D[1.∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝1 15.2.如表所示第二次第一次123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)总计有25所以所求概率为1025＝25.故选D.]3.下列试验中是古典概型的是()A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽B.在一口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的D.甲、乙两队进行一场足球赛,甲队比赛结果为甲队赢、平局、甲队输 答案:B解析:对于A,发芽与不发芽概率不同;对于B,摸到白球与黑球的概率相同,均为21;对于C,基本事件有无限个;对于D,由于受甲、乙两队运动员水平的影响,甲队赢、输、平局的概率不相等,因而选B.4.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.21B.31C.41 D.61 答案:B解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为31.5.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 ;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,3名女同学B 1,B 2,B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,A 1被选中且B 1未被选中的概率为 .答案:(1)31 (2)152解析:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人.所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 P=4515 ＝31. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2}, {A 2,B 3},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{A 3,B 3},{A 4,B 1}, {A 4,B 2},{A 4,B 3},{A 5,B 1},{A 5,B 2},{A 5,B 3}, 共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有:{A 1,B 2},{A 1,B 3},共2个.因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P=152. 考点三：古典概型与统计的综合应用【例1】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)频率分布直方图中a 的值为 ;(2)该企业的职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为 ; (3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,此2人的评分都在[40,50)的概率为 .答案:(1)0.006 (2)0.4 (3)101 解析:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),记为A 1,A 2,A 3; 受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为B 1,B 2. 从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,A 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B 1,B 2},故所求的概率为P=101. 【例2】 空气质量指数(Air Quality Inde x ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录2018年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图所示．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI ＞100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．[解] (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为410＝25，估计该月空气质量优良的频率为25，从而估计该月空气质量优良的天数为30×25＝12.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4；为中度污染的共1天，记了b ；为重度污染的共1天，记为c .从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，a 4)，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共15个．其中空气质量等级恰好不同的结果有(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共9个．所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为915＝35. [求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息.(2)进行统计与古典概型概率的正确计算．[跟踪练习]交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系．发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：(1)求一辆普通6(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5 000元，一辆非事故车盈利10 000元．且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有6辆(年龄已满三年)该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆车，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆(年龄已满三年)该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．[解](1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为15＋5 60＝1 3.(2)①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌(年龄已满三年)的二手车有2辆事故车，设为b1，b2.4辆非事故车设为a1，a2，a3，a4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有(b 1，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，a 4)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，a 4)，(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)，共15种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b 1，a 1) ，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，a 4)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，a 4)，共8种．所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆为事故车的概率为815.②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌(车龄已满三年)的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，1120[(－5 000)×40＋10 000×80]＝5 000(元)．【连线真题·提升解题能力】1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社会服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3 答案:D解析:将2名男同学分别记为x ，y,3名女同学分别记为a ，b ，c .设“选中的2人都是女同学”为事件A ，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x ，y )，(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，其中事件A 包含的可能情况有(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共3种，故P (A )＝310＝0.3.故选D.]2．一枚均匀的硬币连续掷三次,则至少出现一次正面向上的概率是( )A.87B.83C.81D.31 答案:A解析:一枚均匀的硬币连续掷三次,出现的所有可能情况是(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8种,至少出现一次正面的有7种,所以所求概率为87.3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56 答案:C解析:从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种法有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种法有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C. 4．已知集合A={-1,0,1},点P(x,y),其中x ∈A,y ∈A,记点P 落在第一象限为事件M,则P(M)=( ) A.31 B.61 C.91 D.92 答案:C 解析:所有可能的点是(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个,其中在第一象限的有1个,因此P(M)=91. 5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120答案: C解析: 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.6. 一商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A 1,A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1,a 2和2个白球b 1,b 2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1,a 1},{A 1,a 2},{A 1,b 1},{A 1,b 2},{A 2,a 1},{A 2,a 2},{A 2,b 1},{A 2,b 2},{B,a 1},{B,a 2},{B,b 1},{B,b 2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1,a 1},{A 1,a 2},{A 2,a 1},{A 2,a 2},共4种,所以中奖的概率为124＝31,不中奖的概率为1－31＝32＞31.故这种说法不正确.[。