7-2平稳过程-相关函数的谱分解bak

常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。

在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。

另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。

在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。

1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。

其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。

其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。

2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。

它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。

布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。

布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。

3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。

它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。

自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。

自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。

4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。

平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式为了计算平稳过程的自协方差函数和自相关函数，我们首先需要了解平稳过程、协方差函数和自相关函数的定义和计算方法。

一、平稳过程的定义在时间序列分析中，平稳过程指的是具有稳定统计特性的随机过程。

简单来说，平稳过程是指整个时间序列的统计分布在不同时刻不发生明显变化的过程。

二、协方差函数的定义和计算公式协方差函数用来衡量两个随机变量之间的线性关系程度。

对于平稳过程，协方差函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。

对于平稳过程{X(t)}，其协方差函数γ(k)定义为：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))其中，Cov表示协方差的计算，k表示时间间隔。

根据简单的平均值计算公式，协方差函数的计算公式为：γ(k) = E[(X(t)-μ)(X(t+k)-μ)]其中，E表示期望操作，μ表示随机变量X(t)的均值。

三、自相关函数的定义和计算公式自相关函数用来衡量一个随机过程在不同时刻的相关性。

对于平稳过程，自相关函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。

自相关函数ρ(k)定义为：ρ(k) = Co v(X(t), X(t+k)) / Var(X(t))其中，Cov和Var分别表示协方差和方差。

根据协方差函数和方差的定义，自相关函数的计算公式为：ρ(k) = γ(k) / γ(0)其中，γ(k)表示协方差函数。

四、总结通过以上的论述，我们可以得出平稳过程的自协方差函数和自相关函数的计算公式：自协方差函数：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))自相关函数：ρ(k) = γ(k) / γ(0)需要注意的是，在实际计算中，协方差函数和自相关函数通常只计算一部分的值，比如只计算前几个滞后阶数的值，以节省计算时间和资源。

总而言之，平稳过程的自协方差函数和自相关函数提供了衡量序列内在关系的重要指标，对于分析时间序列的特征和预测未来数值具有重要作用。

正确理解和计算这些函数的公式是进行时间序列分析的基础。

第二章 平稳过程的谱分析§1谱理论简介我们知道，由Wold 分解定理，一个平稳过程t Y 可以找到一个平稳的(,)ARM A p q 来近似。

且已知1,,T y y ，当T →∞，我们可以一致的估计(,)ARM A p q 模型中的未知参数，并由此来把握平稳过程t Y 。

现在，我们换一个角度看t Y ，把所有二阶矩平稳过程看成为一个Hilbert 空间，那么，由Hilbert 空间的谱表示定理，任何一个二阶矩平稳过程t Y 都可以表示成为一个右连续的正交增量过程的R —S 积分，即，()i tt Y edz πωπω-=⎰，()()()z A iB ωωω=+。

满足：[()()]0i j E dA dA ωω=， [()()]0i j E dB dB ωω=，i j ∀≠。

（正交增量性）[()][()]0E dA E dB ωω==， [()][()]Var dA Var dB ωω=，且右连续是指均方收敛，即，2[()()]0E A A ωδω+-→，0δ↓。

（ 参见MIT 教本）将t Y 改写成，0cos()()sin()()t Y t dA t dB ππωωωω=+⎰⎰。

定义[()][()]Var dA Var dB ωω==2()dF ω，[0,]ωπ∀∈。

那么由(),()A B ωω的正交增量性和右连续性，知()F ω是一个[0,]π上的非减右连续的函数。

称()F ω为t Y 的谱分布函数。

又将()dF ω写成，()()dF f d ωωω=，则()f ω就称为t Y 的谱密度函数。

注意，()F ω或()f ω是由(),()A B ωω唯一决定的，也就是由t Y 唯一决定的。

这里唯一性指的是几乎处处唯一。

反过来也正确。

任给一个谱密度函数()f ω或谱分布函数()F ω，可以决定一个唯一的右连续的正交增量过程，()()()z A iB ωωω=+，并由()z ω决定一个唯一的平稳过程t Y 。

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第十二章第五节 平稳过程的相关函数与谱密度一、 相关函数的性质平稳过程)(t X 的自相关函数)(τX R 是仅依赖于参数间距τ的函数。

它有如下性质：性质1 )(τX R 是偶函数，即)(τ-X R )(τX R =；（事实上)]()([)(ττ+=t X t X E R X ，)]()([)(ττ-=-t X t X E R X)()]()([ττττX R t X t X E =+--= ）性质2 2)0(|)(|X X X R R ψ=≤τ ，2)0(|)(|X X X C C στ=≤，就是说，自相关函数)(τX R 和自协方差函数 )(τX C 都在 0=τ 处达到最大值。

事实上（利用不等式|)(|XY E 212212][][EY EX⋅≤） |)]()([||)(|ττ+=t X t X E R X )0()]([)]([212212X R t EX t EX =+≤τ，|))]()(())()([(||)(|τττ+-+•-=t EX t X t EX t X E C X212212]))()(([]))()(([ττ+-+•-≤t EX t X E t EX t X E 2)0(X X C σ== 。

性质3 )(τX R 非负定。

即对任意实数n τττ,,,21 和任意函数)(τg 有0)()()(1,≥-∑=j i j i nj i X g g R ττττ 。

事实上)()()(1,j i j i nj i X g g R ττττ-∑= )()()]()([1,j i j i n j i g g X X E ττττ∑==0)]()([21≥=∑=i i ni g X E ττ。

性质4 如果)(t X 是以T 为周期的周期平稳过程，即满足 )()(t X T t X =+，那么，)(τX R 也是以 T 为周期的函数。

事实上)]()([)(T t X t X E T R X ++=+ττ)()]()([ττX R t X t X E =+=。

第七章 平稳过程的谱分析我们知道，一个由不同角频率随机振幅互不相关的随机简谐运动的叠加构成的随机序列是平稳过程，那么，一个平稳过程是否都能分解为由角频率互不相同，相应的随机振幅互不相关的随机简谐运动的线性叠加呢？回答是肯定的. F ourier 分析的理论表明：任一时间函数()x t （周期或非周期的）可以看成有限个或无限个简谐振动的叠加.平稳过程的相关函数可以看成一时间函数，在时域上描述了随机过程的统计特征，因此，对于平稳过程的相关函数，利用F ourier 分析的方法进行研究，便可在频域上描述平稳过程的统计特征，进而得到平稳过程谱密度这一重要概念.谱密度在平稳过程的理论和应用中扮演着十分重要的角色，它与相关函数存在一一对应关系，从数学上看，谱密度是相关函数的F ourier 变换，在物理上可以看它为功率谱密度.7.1 平稳过程的谱密度首先我们简要介绍一下普通时间函数()x t 的频谱、能谱密度的概念.为了对一确定信号()x t 作频谱分析，先假定()x t 表示在时刻t 加于1欧姆电阻上的电压，则2()x t 表示时刻t 的功率.当()x t 满足D irichlet 条件（即()x t 连续或有有限个第一间断点，且绝对可积）时，则()x t 的F ourier 变换存在，或者说()x t 具有频谱()().i tx F x t e dt ωω∞--∞=⎰(7.1)一般地，()x F ω是复值函数，有()()()i tx x F x t edt F ωωω∞-∞-==⎰.()x F ω的F ourier 反变换为1()()2i tx x t F ed ωωωπ∞-∞=⎰（7.2）（7.2）表明：信号()x t 可以表示成谐分量1()2i tx F d e ωωωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的无限叠加，其中，ω为圆频率，()x F ω为信号()x t 的频谱，圆频率ω谐分量的振幅为1()2x F d ωωπ.由频谱分析的理论可以知道，信号()x t 在(,)-∞+∞上的总能量为21()()()2i tx x t dt x t F e d dt ωωωπ∞∞∞-∞-∞-∞=⎰⎰⎰1()()2i tx F x t edtd ωωωπ∞∞-∞-∞=⎰⎰1()()2x x F F d ωωωπ∞-∞=⎰故2()x t dt ∞-∞=⎰21|()|2x F d ωωπ∞-∞⎰(7.3)其中2()x t dt ∞-∞⎰是从时域上得到的总能量. 当积分值取有限值时，(7.3)式称为巴塞伐（P a r s e v a l ）等式.右边的被积函数2|()|x F ω称为能谱密度（energy spectral density ）.它表明：对能量的计算既可以在时间域上进行，也可以在相应的频率域上进行，两者完全等价，有时也称它为能量积分和瑞利（Rayleigh ）定理.在实际应用中，大多数信号()x t 的总能量都是无限的，例如，()cos x t t =.不能满足F ourier 变换的条件，为此，我们考虑平均功率及功率密度.作一截尾函数(),||()0,||T x t t T x t t T≤⎧=⎨>⎩由于()T x t 有限，其F ourier 变换存在，于是有 (,)()()T i ti tx TT TF T x t e d t x t e d tωωω∞---∞-==⎰⎰(,)x F T ω的F ourier 反变换为 1()(,)2i tT x x t F T e d ωωωπ∞-∞=⎰.根据(7.3)式，有 2()T x t dt ∞-∞=⎰2()T Tx t dt -⎰21|(,)|2x F T d ωωπ∞-∞=⎰因此 21l i m()2TTT xt d t T-→∞=⎰21l i m |(,)|4xT F T d T ωωπ∞-∞→∞⎰ 211lim |(,)|.22x T F T d Tωωπ∞-∞→∞=⎰ 显然，上式左边可以看成是()x t 消耗在1Ω电阻上的平均功率，相应地，称右边积分的被积函数21()lim|(,)|2x x T s F T Tωω→∞=为信号()x t 在ω处的功率谱密度（pow er spectral density ）.以上讨论的是普通时间函数()x t 的频谱分析，对于随机过程{(),}X t t -∞<<∞可以作类似的分析.设()X t 是均方连续的随机过程，作截尾随机过程(),||,()0,||.T X t t T X t t T ≤⎧=⎨>⎩()T X t 均方可积，存在F ourier 变换(,)()i tX T F T X t e dt ωω∞--∞=⎰=().T i tT TX t edt ω--⎰(7.4)利用P arseval 公式和F ourier 反变换，得到22()()T T TX t dt X t dt ∞-∞-=⎰⎰21|(,)|.2X F T d ωωπ∞-∞=⎰上式两边都是随机变量，要求取平均值，这时不仅对时间区间[,]T T -取平均，还要求在概率意义下的统计平均，因此有21lim ()2T TT E X t dt T-→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰211lim|(,)|22X T E F T d T ωωπ∞-∞→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ =211lim|(,)|.22X T E F T d Tωωπ∞-∞→∞⎡⎤⎣⎦⎰(7.5) 上式就是随机过程()X t 的平均功率和功率谱密度之间关系表达式. 定义7.1 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的随机过程，称221lim ()2T TT E X t dt Tψ-→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰(7.6)为()X t 的平均功率，称21()lim|(,)|2X X T s E F T Tωω→∞⎡⎤=⎣⎦ (7.7) 为()X t 的功率谱密度，简称谱密度.当()X t 是均方连续的平稳过程时，由于2()E X t 是与t 无关的常数，因此，（7.6）可化为221lim ()2T TT E X t dt Tψ-→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰21lim()2T TT E X t dt T-→∞⎡⎤=⎣⎦⎰2()E X t =(0)X R = (7.8) 由(7.8)和(7.5)式可以看出，平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，或等于它的谱密度在频域上的积分，即 21(0)().2X X R s d ψωωπ∞-∞==⎰(7.9)(7.9)式是平稳过程()X t 平均功率的频谱展开式.由此可以看出：相关函数与谱密度分别在时间域与频率域上描述了平稳过程的统计特征.这就给实际应用提供了方便，我们可以根据需要选择时间域方法或等价的频率域方法.()X s ω描述了各种频率成份所具有的能量大小.谱密度的物理意义是：它是()X t 的平均功率关于圆频率的分布密度函数，在任意特定的频率范围12[,]ωω内，谱密度对平均功率的贡献为211().2X s d ωωωωπ⎰例7.1 设有随机过程00()cos(),,X t a t a ωω=+Θ为常数，在下列情况下，求()X t 的平均功率（1）Θ是在(0,2)π上服从均匀分布的随机变量； （2）Θ是在(0,2)π上服从均匀分布的随机变量.解 （1）容易求得()X t 是平稳过程，且相关函数20()cos()2X aR τωτ=.于是由(7.8)式，()X t 的平均功率为 22(0)2X aR ψ==（2）因为2220()cos ()EX t E a t ω⎡⎤=+Θ⎣⎦220cos(22)22a a E t ω⎡⎤=++Θ⎢⎥⎣⎦222002cos(22)22aat d πωθθπ=++⎰220sin(2).2aat ωπ=-因此，此时()X t 不是平稳过程，由(7.6)式得()X t 的平均功率为221lim ()2T TT E X t dt Tψ-→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰2201limsin(2)22T TT a a t dt Tωπ-→∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22a= 以上我们讨论了平稳过程的谱密度，对于平稳序列的谱分析，类似地有下列结果. 设{,0,1,2,}n X n =±± 为平稳随机序列，均值为0，若τ只取离散值，且相关函数()X R τ满足|()|X n R n ∞=-∞<∞∑，当ω在[,]ππ-上取值时，若()()in X X n s R n eωω∞-=-∞=∑(7.10)绝对一致收敛，则()X s ω在[,]ππ-上的连续函数，且对上式取绝对值再积分，得到|()||()|||in XX n sd R n ed ππωππωωω∞---=-∞≤<∞∑⎰⎰因此，()in X s ed πωπωω-⎰存在，于是(7.10)是以1()()2in X XR n sed πωπωωπ-=⎰ (0,1,2,n =±± (7.11)为F ourier 系数的()X s ω的F ourier 级数.定义7.2 设{,0,1,2,}n X n =±± 为平稳随机序列，若相关函数满足|()|X n R n ∞=-∞<∞∑，则称 ()()in X X n s R n e ωω∞-=-∞=∑()πωπ-≤≤为{,0,1,2,}n X n =±± 的谱密度.(7.10)和(7.11)式给出了平稳随机序列相关函数与谱密度之间的关系.7.2 谱密度的性质对于平稳过程()X t 的统计规律描述，相关函数()X R τ和谱密度()X s ω分别从时间域与频率域上进行讨论.它们都是平稳过程的特征，因而一定存在某种关系，下面我们来讨论它们之间的关系.设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的随机过程，()X R τ为它的相关函数，()X s ω为它的功率谱密度，()X s ω具有下列性质：（1） 若|()|X R d ττ∞-∞<∞⎰，则()X s ω是()X R τ的F ourier 变换，即()().i X X s R ed ωτωττ∞--∞=⎰（7.12）证明 将（7.4）式代入（7.7）式，得21()lim ().2T i tX TT s E X t edt T ωω--→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰（7.13）由于21()2T i tTEX t edtTω--⎰1()()2T T i t i sT T E X t e dt X s e ds T ωω----⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1()()2TT i t s T TE X t X s edtds Tω----⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1()()2T Ti t s T T E X t X s e dtds T ω----⎡⎤=⎣⎦⎰⎰()1().2T T i t s X TTR t s edtds Tω----=-⎰⎰仿定理6.10的证明步骤，可得21()2T i tTEX t edt Tω--⎰22||1()2Ti X T R e d T ωττττ--⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰ 于是有 22||()lim1().2Ti X X T T s R e d T ωττωττ--→∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 令 ||1(),||2,(,)2||2.0,X X R T R T T T τττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨>⎪⎩显然lim (,)()X X T R T R ττ→∞=，因此22||()lim1().2Ti X X T T s R e d T ωττωττ--→∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ l i m (,)i X T R T e d ωτττ∞--∞→∞=⎰l i m (,)i X T R T e d ωτττ∞--∞→∞=⎰().i X R ed ωτττ∞--∞=⎰证毕对（7.12）式作F ourier 反变换，得到 1()().2i X X R s e d ωττωωπ∞-∞=⎰（7.14）（7.12）式和（7.14）式就是著名的W iener -K hinichine 公式.它表明了平稳过程的相关函数与谱密度之间构成了一对F o u r i e r 变换，在（7.14）式中令0τ=，得平均功率1()(0)2X X s d R ωωπ∞-∞=⎰，它的直观意义是：功率谱密度曲线下的总面积（平均功率）等于平稳过程的均方值；在（7.12）中令0ω=，得到(0)()X X s R d ττ+∞-∞=⎰，它的直观意义在于功率谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积. 当()X t 是实平稳过程时，则0()2()cos()X X s R d ωτωττ∞=⎰，01()()cos().X X R s d τωωτωπ∞=⎰事实上，因()X R τ是偶函数，因此()()i X X s R ed ωτωττ∞--∞=⎰()[cos()sin()]X R i d τωτωττ∞-∞=-⎰2()c o s ().X R d τωττ∞=⎰ 同理，因()X s ω是ω的偶函数，因此，01()()cos().X X R s d τωωτωπ∞=⎰（2）()X s ω是ω的实的、非负偶函数.证明 因为2()T i tTX t edt ω--⎰是ω的实的、非负偶函数，因此，其平均值当T →∞时的极限，也必然是ω的实的、非负偶函数，由（7.13）知结论成立.（3）()X s ω是ω的有理函数时，其形式必为2222220222220().nn n n X mm m a a a s b b ωωωωω----+++=+++其中22,(0,2,,2,2,4,,2)n i m j a b i n j m --== 为常数，且20,,n a m n >>分母无实根.证明 根据（2）及平均功率有限即可证明.有理谱密度是常用的一类功率谱.在工程中，由于只在正的频谱范围内进行测量，根据平稳过程谱密度()X s ω是偶函数的性质，可将负频率范围内的值折算到正频率范围内，得到所谓“单边功率谱”.“单边功率谱” ()X G ω定义为212lim (),0,()0.0,T i tTX E X t edt G T ωωωω-→∞⎧⎡⎤≥⎪⎢⎥=⎨⎣⎦<⎪⎩⎰它和()X s ω有如下的关系：2(),0,()0.0,X X s G ωωωω≥⎧=⎨<⎩相应地，()X s ω可称为“双边谱”.如图7-1所示.图7-1 单边功率谱例7.2 若平稳过程的相关函数为||0()cos(),a X R eττωτ-=其中00,a ω>为常数，求谱密度()X s ω.解 00()2cos()cos()a X s ed τωωτωττ∞-=⎰[]000cos()cos()a ed τωωτωωττ∞-=++-⎰222200.()()aaa a ωωωω=++++-例7.3 若平稳过程谱密度322222()()X Aas a ωπω=+，求相关函数()X R τ及平均功率2ψ.ω)(ωX s )(ωX G解 32222()()i X AaeR d a ωττωπω∞-∞=+⎰3||22222()i z Aae i z a τππ±⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭在z=ai 处的留数 ||1||),2a A a e ττπ-+=（ 2(0).2X A R ψπ==例7.4 若{,0,1,2,}n X n =±± 是具有零均值的平稳随机序列，且20,,()0.0,X n R n n σ=⎧=⎨≠⎩因为|()|X n R n ∞=-∞<∞∑，故由（7.10）式，得到2()()in X X n s R n eωωσ∞-=-∞==∑()πωπ-≤≤例7.5 若平稳随机序列谱密度为22(),|1|X i s eωσωϕ-=- ||1ϕ<，求相关函数()X R n .解 1()()2in X XR n se d πωπωωπ-=⎰ 2212|1|in i ed eπωωπσωπϕ--=-⎰22c o s ()212c o s nd ππσωωπϕωϕ-=-+⎰ 221n σϕϕ=- (0,1,2,).n =平稳过程谱密度的计算，包括由相关函数计算谱密度和由谱密度计算相关函数两方面的内容，这实际上是计算F ourier 变换和F ourier 反变换的问题. 实际计算时有两种方法，一是直接计算，另一种是利用F ourier 变换的性质及最常用的相关函数和谱密度的变换结果进行计算，为了方便，下面列出几种常见平稳过程相关函数()X R τ及相应的谱密度表 7.1 常见相关函数()X R τ和谱密度()X s ω的变换τστa eR -=2)(22a σωωa22σ2στ()21,τστ-≤⎧224sin (/2)T σω)cos()(τωττa eR -=+=aτωsin ⎧≤,ωωNcos()(τωτa R =()([)0ωδωωδπω-++=a7.3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度ωa212στ2σω0ω-0ωτaωπ21τω0ω-0ωτπω0N ωa/10ω-0ωτωT/2πT2σ2στ一般地，信号的频谱是可以分布在整个频率轴上的，即ω-∞<<∞，但在实际应用中，人们关心的是这样一些信号，它们频率谱主要成分集中在频率的某个范围之内，而在此范围之外的信号频率分量很小，可以忽略不计，当一个随机过程谱密度限制在很窄的一段频率范围内，则称该过程为窄带随机过程（narrow band - stochastic process ）.图7-2例7.6 如图所示的窄带平稳过程谱密度()X s ω，求该过程的均方值及相关函数. 解 均方值为 21()(0)()2X X E X t R s d ωωπ∞-∞==⎰21002111()s d s ωωωωωππ==-⎰. 相关函数为 01()()cos()X X R s d τωωτωπ∞=⎰2101cos()s d ωωωτωπ=⎰21(sin()sin())s ωτωτπτ=-12212c o s s i n .22s ωωωωττπτ+-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如果一个随机过程谱密度的值不变，且其频带延伸到整个频率轴上，则称该频谱为白噪声频谱，相应的白噪声过程定义如下：定义7.3 设{(),}X t t -∞<<∞为实值平稳过程，若它的均值为0，且谱密度在所有频谱范围内为非零常数，即()X s ω0()N ω=-∞<<∞，则称()X t 为白噪声过程（w hitenoise process ）.由于白噪声过程有类似于白光的性质，其能量谱在各种频率上均匀分布，故有“白”噪声之称；又由于它的主要统计特征不随时间推移而改变，故它是平稳过程.但是它的相关函数在通常意义下的F ourier 反变换不存在，例如相位正弦波20()cos 2X aR τωτ=，所以，为了对白噪声过程进行频谱分析，我们引进工程上应用极为广泛的δ函数，并利用它的F o u r i e r 变换可以圆满地解决这些问题.具有下列性质的函数称为δ函数（D iric function ）：)(τX R τω2ω-1ω-1ω2ω0s )(ωX s（1）0,0,(),0;x x x δ≠⎧=⎨∞=⎩ （2）()1x dx δ∞-∞=⎰δ函数也称单位脉冲函数，它不是通常意义下的普通函数，但有许多应用，例如，人们经常要考虑质量和能量在空间或时间上高度集中的各种现象，即所谓的脉冲现象；从数学上，δ函数可以看成矩形波()a f x 的极限，其中1,2||()||0,a ax a f x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，（0a >），()l i m()a a x f x δ→=.通常，()x δ用长度为1的有向线段表示，δ函数的一般形式是0()x x δ-，它是()x δ的复合函数.对于任意一个连续函数()f x （()f x 可以取复值，但实部和虚部函数均连续）.δ函数有一个非常重要的运算性质，即对任意连续函数()f x ，有()()(0)f x x dx f δ∞-∞=⎰（7.15） 或00()()()f x x x dx f x δ∞-∞-=⎰下面对这一公式作一直观解释：设00x =，由积分中值定理得到()()()(lim ())a a f x x dx f x f x dx δ∞∞-∞-∞→=⎰⎰lim()()a a f x f x dx ∞-∞→=⎰1l i m ()2a aa fx d x a -→=⎰001lim 2()lim ()(0)2a a a f f f aξξ→→=⋅==其中a a ξ-≤≤由（7.15）式知，δ函数的F ourier 变换为()|1.i i ed eωτωττδττ∞--=-∞==⎰（7.16） 因此，由F ourier 反变换，可以得到δ函数的傅氏积分表达式为1()12i ed ωτδτωπ∞-∞=⋅⎰（7.17）或12().i ed ωτωπδτ∞-∞⋅=⎰（7.18）（7.17）式和（7.18）式说明，()δτ函数和1构成一对F ourier 变换.同理，由（7.15）式可得，11()22i ed ωτδωωππ∞-∞=⎰或 12()1.2i e d ωτπδωωπ∞-∞=⎰（7.19）相应地有12().i e d ωτωπδτ∞--∞⋅=⎰（7.20）（7.19）式和（7.20）式说明：1和2()πδτ构成一对F ourier 变换，也就是说，若相关函数()1X R τ=时，则它的谱密度为()X s τ=2()πδτ，它们的图形见表7-1.例7.7 若白噪声过程的谱密度为0()X s N ω=（常数），()ω-∞<<∞，求它的相关函数()X R τ.解 由（7.18）式得 1()()2i X X R s ed ωττωωπ∞-∞=⎰00()2i N ed N ωτωδτπ∞-∞==⎰由本例可以看出，白噪声过程也可以定义为均值为0，相关函数为0()N δτ的平稳过程，它表明：在任何两个时刻1t 和2t ，1()X t 和2()X t 不相关，即白噪声过程随时间变化的起伏极快，而过程的功率谱极宽，对不同输入频率的信号都能产生干扰.例7.8 若相关函数0()cos()X R a τωτ=，其中0ω，a 为常数，求谱密度()X s ω. 解 由（7.20）式得 ()()i X X s R ed ωτωττ∞--∞=⎰0cos()i a ed ωτωττ∞--∞=⎰00[]2i i i aeeed ωτωτωττ∞---∞=+⎰00()()2i i a e d ed ωωτωωτττ∞∞---+-∞-∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰00[()()]a πδωωδωω=-++()X R τ和()X s ω的图形见表7-1.正如δ函数是象征性函数一样，白噪声过程也是一种理想化的数学模型，实际上并不存在.因为在连续参数的情况下，根据白噪声过程的定义，它的平均功率(0)X R 是无限的，而实际的随机信号过程只有有限功率，并且在非常接近的两个时刻，随机过程的取值总是相关的，其相关函数也不是δ函数的表达式.但是，实际中应用中，由于白噪声过程来源于白光，可以分解为各种频率的光谱，功率大致是均匀的，它具有数学处理简单、方便的优点，常用于很多现象的模拟.例如，在信号分析中所遇到的各种随机干扰，只要这种干扰的谱密度在比信号频带宽得多的频率范围内存在，且分布近似均匀，为了使问题简化，就把这种干扰当成白噪声处理.以上讨论了白噪声过程的谱密度结构时，并没有涉及到它的概率分布，因此，它可以具有不同分布的白噪声，例如正态白噪声，具有瑞利分布的白噪声等等.7.4 联合平稳过程的互谱密度下面我们讨论两个平稳过程之间的互谱密度.定义7.4 设()X t 和()Y t 是两个平稳过程，且它们是联合平稳的（平稳相关的），若它们的互相关函数()XY R τ满足|()|XY R d ττ∞-∞<∞⎰，则称()XY R τ的F ourier 变换()()i XY XY s R ed ωτωττ∞--∞=⎰（7.21）为 ()X t 与()Y t 的互功率谱密度，简称互谱密度. 由F ourier 反变换得1()().2i X Y X Y R s ed ωττωωπ∞-∞=⎰（7.22）因此，互谱密度()XY s ω和互相关函数()XY R τ的关系如下： ()(),i Y X Y X s R ed ωτωττ∞--∞=⎰1()().2i Y X Y XR se d ωττωωπ∞-∞=⎰从定义可以看出，互谱密度一般是复值的，没有谱密度()X s ω所具有的实的、非负偶函数的性质.令（7.22）式的0τ=，则有1(0)[()()]().2X Y X Y R E X t Y t s d ωωπ∞-∞==⎰（7.23）若将()X t 看作是通过某系统的电压，()Y t 是所产生的电流，且()X t 和()Y t 是各态历经过程，则（7.23）式的左边表示输到该系统的功率，因此，右边的被积函数()XY s ω就是相应的互谱密度.互谱密度具有下列性质：（1）()()XY YX s s ωω=，即()XY s ω和()YX s ω互为共轭；（2）Re[()]XY s ω和R e[()]YX s ω是ω的偶函数，而Im[()]XY s ω和Im [()]YX s ω是ω的奇函数；（3）()XY s ω与()X s ω和()Y s ω满足下列关系式：2|()||()||()|.XY X Y s s s ωωω≤（4）若()X t 和()Y t 相互正交，则()()0.XY YX s s ωω== 证明 （1）利用互相关函数的性质，得()()i XY XY s R ed ωτωττ∞--∞=⎰()i YX R ed ωτττ∞--∞=-⎰111()i YX R ed ωτττ∞-∞=⎰111()()i YX YX R ed s ωτττω∞--∞==⎰（2） 由于()()cos()()sin()XY XY XY s R d i R d ωτωτττωττ∞∞-∞-∞=-⎰⎰因此，其实部是ω的偶函数，虚部是ω的奇函数.（3） 利用（7.21）式和Schw artz 不等式可得.（4） 由正交定义有()0XY R ω=，再由（7.21）式和（1）得证.互谱密度没有谱密度那么明显的物理意义，引进这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性，在实际应用中，常常利用测定线性系统输入、输出的互谱密度来确定该系统的统计特征.例7.9 设()X t 和()Y t 为平稳过程，且它们是平稳相关的，则过程()()()W t X t Y t =+的相关函数为 ()()()()()W X Y XY YX R R R R R τττττ=+++谱密度为 ()()()()(W X Y X Y Y X s s s s s ωωωωω=+++()()2R e [(X Y X Y s s s ωωω=++ 显然，()W s ω是实数.若()X t 和()Y t 互不相关，且均值为0时，则()()0XY YX R R ττ==，()()()W X Y R R R τττ=+，()()()W X Y s s s ωωω=+例7.10 设()X t 表示雷达发射信号，遇到目标后返回接受器的微弱信号（即回波信号）是0()aX t τ-，其中a 是近于0的正数，0τ表示信号返回所需时间.由于回波信号必定拌有噪声，记噪声为()N t .于是，接受器收到的全信号为0()()()Y t aX t N t τ=-+，假定雷达发射信号()X t 和()N t 平稳相关.（1）()Y t 是平稳过程，因为()Y t 的均值函数0()()()EY t aEX t EN t τ=-+X N am m =+是常数，且相关函数(,)()()Y R t t EY t Y t ττ+=+00[()()][()()]E aX t N t aX t N t ττττ=-++-++200()()()()X XN N X N a R aR aR R ττττττ=+++-+与t 无关.（2）平稳过程()X t 与()Y t 平稳相关，因为互相关函数(,)[()()]XY R t t E X t Y t ττ+=+ 0()[()()]EX t aX t N t τττ=+-++0()()X X N a R R τττ=-+ 与t 无关.（3）如果噪声()N t 的均值0N m =，且()N t 与雷达发射信号()X t 相互独立，那么，由()[()()]()()XN R E X t N t EX t EN t τττ=+=+0X N m m ==得到()X t 与()Y t 的互相关函数为0()()XY X R aR τττ=- 这就是利用互相关函数从全信号中检测小信号的相关接收法. （4）考虑谱密度和互谱密度()Y t 的谱密度()()i Y Y s R ed ωτωττ∞--∞=⎰0()20()()i i X XN aR e d a R e d ωττωττττττ∞∞-+--∞-∞=++⎰⎰0()0()()i i NX N a R ed R ed ωττωττττττ∞∞----∞-∞+-+⎰⎰2()()[()()]i i X N XN XN a s s a es es ωτωτωωωω-=+++2()()2R e [()]i X N X Na s s a e s ωτωωω=++()X t 与()Y t 的互谱密度()()i XY XY s R ed ωτωττ∞--∞=⎰0()0()()i i X XN a R ed R ed ωττωττττττ∞∞----∞-∞=-+⎰⎰()()i XX Na e s s ωτωω-=+ 当0N m =，且()X t 与()N t 相互独立时，()0XN s ω=，此时，()X t 与()Y t 的互谱密度为 0()()i X Y X s a e s ωτωω-= 顺便得到 0()()()i Y X X YXs sa es ωτωωω== 例7.11 若平稳过程()X t 与()Y t 的互谱密度为1000||,(),()||0,XY a ib s ωωωωωωω-<⎧+=⎨≥⎩其中0,,a b ω为实常数，求互相关函数()XY R τ 解 1()()2i X Y XYR se d ωττωωπ∞-∞=⎰12i a i b ed ωωτωωωπω-+=⎰0000201[()sin()cos()]a b b ωτωτωτωτπωτ=-+7.5 线性系统中的平稳过程平稳过程的一个重要应用就是分析线性系统对随机输入的响应.在自动控制、无线电技术、机械振动等方面经常要遇到与某一“系统”有关. 所谓“系统”是指对各种“输入”（激励），按一定的规则L 产生“输出”（响应）的装置（如图7-3）. 如放大器、滤波器、无源网络等都是系统，又如，在通讯技术中，需要研究一个通讯系统输入随机信号的统计特性与该系统输出随机信号统计特性之间的关系，如果输入的是一随机过程，则输出的也是随机过程，我们自然会提出如下问题：若输入的是平稳过程，其输出的是否是平稳过程？若已知输入的统计特性，如何求出输出的统计特性？输入与输出的统计特性关系如何？等等. 这节我们来系统讨论这些问题.()x t −−→L ()y t −−−→图7-3 系统L 对输入()x t 的响应()y t7.5.1 线性时不变系统实际应用中遇到的各种系统中，较简单而又重要的是线性时不变系统，下面给出线性时不变系统的定义.定义7.5 设有一系统L ，如果1122()[()],()[()]y t L x t y t L x t ==，且对任意常数,αβ，都有 1212[()()][()][()]L x t x t L x t L x t αβαβ+=+ 则称系统L 为线性系统（lin ea r system ）；如果[()]()L x t y t =，对任意的τ都有[()]()L x t y t ττ+=+则称系统L 为时不变的；同时满足两个条件的称为线性时不变系统（lin ea rtim e invariant - system ）.例7.12 微分算子()[()]()y t L x t x t '==为线性时不变系统，因为1212[()()][()()]L x t x t x t x t αβαβ'+=+12()()x t x t αβ''=+12[()][()]L x t L x t αβ=+ [()]L x t τ+()()x t y t ττ'=+=+由定义知L 为线性时不变系统.例7.13 积分算子()[()]()t y t L x t x u du -∞==⎰为线性时不变系统，因为1212[()()][()()]t L x t x t x u x u du αβαβ-∞+=+⎰12()()t t x u du x u du αβ-∞-∞=+⎰⎰12[()][()]L x t L x t αβ=+ [()]()t L x t x u du ττ-∞+=+⎰()()t x u d u ττ-∞=++⎰()t x v dv τ+-∞=⎰()y t τ=+由定义知L 为线性时不变系统.由上面的定义知，一个系统的线性性质，表现为该系统满足叠加原理；系统的时不变性质，表现为输出对输入的关系不随时间推移而改变，在工程技术上，经常遇到的系统L ，其输入()x t 与响应()[()]y t L x t =之间的关系可以用常系数微分方程来描述，即()x t 与()y t 满足 11101()()()()nn nn nn d y t dy t dy t a a a a y t dtdt dt---++++ 11101()()()...()mm mm mm d x t dx t dx t b b b b x t dtdt dt---=++++ 其中m n <，不难验证，由此规定的系统L 是线性时不变系统.定义7.6设有一系统L ，且()[()],1,2,,n n y t L x t n == 如果L 满足[lim ()]lim [()]n n n n L x t L x t →∞→∞=则称L 具有连续性.这一条件在实际应用中一般总能满足的.7.5.2 频率响应函数与脉冲响应函数现在我们分别从时域和频域角度讨论线性时不变系统输入与输出之间的关系，当系统输入端输入一个激励信号时，输出端出现一个对应的响应信号，激励信号与响应信号之间的对应关系L ，又称为响应特性.定理７.１设L 是线性时不变系统，若输入为简谐波信号()i t x t e ω=时，则输出为()[]()i t ity t L e H e ωωω==其中0()[]|i tt H L e ωω==证明 令()[]i t y t L e ω=，由系统的线性时不变性，对固定τ和任意t ,有()()[][]i t i i ty t L eeL eωτωτωτ++==令0t =，得到0()[]|()i i ti t y eL eH eωτωωττω===定理7.1表明：若L 是线性时不变系统，输入为i te ω，则输出还是同一频率的函数，但振幅与相位有一修正，式中()H ω称为频率响应函数（frequency response function ），一般它是复值函数，可以表示为()()()i H A eθωωω=其中()|()|A H ωω=称为L 的振幅特性， ()θω称为相位特性，因此，线性时不变系统对复正弦波i teω输入，其输出的振幅衰减了一个因子()A ω，相位相差了()θω.下面分别讨论系统的频域分析和时域分析. 记()H ω的F ourier 逆变换为()h t ，即1()()2i th t H ed ωωωπ∞-∞=⎰由()[]()i t i t y t L e H e ωωω==，推得1()[]2i th t L ed ωωπ∞-∞=⎰[]1()2i tLed L t ωωδπ∞-∞⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰上式成立是因为1()2i ted t ωωδπ∞-∞=⎰.设输入为()x t ，输出为()y t ，它们的F ourier 变换分别为(),()X Y ωω，由定理７.１，1()[()]()2i ty t L x t L X ed ωωωπ∞-∞⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰1()()2i tX L ed ωωωπ∞-∞=⎰1()()2i tX H e d ωωωωπ∞-∞=⎰因此，我们可以得到()()()Y H X ωωω= （7.24）（7.24）是从频域的角度讨论了线性时不变系统的特性.它表明L 的频率特性()H ω就完全确定了系统的输入和输出之间的关系，也就是说，线性时不变系统L 输出的频谱等于输入的频谱与频率响应函数的乘积.这种从频率特性出发来研究系统的种种特性时，就称为系统的频域分析（frequency dom ain analysis ）.根据δ函数的性质，有()()()x t x t d τδττ∞-∞=-⎰注意到L 只对时间函数进行运算，因此()[()][()()]y t L x t L x t d τδττ∞-∞==-⎰()[()]x L t d τδττ∞-∞=-⎰()()x h t d τττ∞-∞=-⎰（7.25）其中()[()]h t L t τδτ-=-.若输入()x t 为表示脉冲的δ函数，则（7.25）式为()()()()y t h t d h t τδττ∞-∞=-=⎰（7.26）表明()h t 是输入为脉冲时的输出，故称它为系统的脉冲响应（impulse response ）.（7.25）也可以写成()()()y t x t h d τττ∞-∞=-⎰，它们是从时域的角度研究输入()x t 和输出()y t 的关系式，表明线性时不变系统的输出()y t 等于输入()x t 与脉冲响应()h t 的卷积，即 ()()(y t h t x t =* （7.27）由上面的分析知，系统的频率响应()H ω和脉冲响应()h t 构成一对F ourier 变换，而且系统的频率响应()H ω和脉冲响应()h t 能完全确定系统L 输入和输出之间的依赖关系，在实际应用中，我们可依据问题的条件和不同要求分别采用（7.24）在频率域中作频域分析，或采用（7.27）在时间域中作时域分析.7.5.3 线性系统输出的均值和相关函数由前面的讨论知道，对线性时不变系统，可通过频率响应()H ω和脉冲响应()h t 来研究系统的输入为确定性函数的响应。