平稳过程4-平稳过程的功率谱密度

常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。

在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。

另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。

在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。

1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。

其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。

其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。

2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。

它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。

布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。

布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。

3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。

它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。

自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。

自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。

4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。

通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。

第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。

（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。

② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。

③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。

⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。

2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。

平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。

①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。

即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。

（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。

2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。

（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。

（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。

（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。

3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。

所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。

当均值为0时，有R(0)＝σ2。

4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。

第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。

设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。

信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。

即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。

能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。

6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。

经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。

功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。

可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。

平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。

一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。

简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。

平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。

它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。

通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。

以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。

二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。

设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。

“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。

因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。

注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。

三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。

例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。

试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。

证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。