2017年高中数学第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第1课时直线的参数方程检测北师大版4-4.

三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。

2.2 直线的参数方程中的错解剖析参数方程在解析几何中是一个十分重要的内容，而且是高中数学的一个难点．对于有些难以下手的问题，若用参数方程去解决的话，往往能化繁为简，迎刃而解，起到事半功倍的效果．对于直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数，α是直线的倾斜角），要正确理解参数t 的几何意义为以M 0为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量M 0M ．当点M 在点M 0的上方时，t>0；当点M 在点M 0的下方时，t<0；当点M 与点M 0重合时，t=0．下面就实际解决问题中经常出错的错误解答加以实例剖析．1．表达式最值的求解问题例1．过点P （210，0）作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2=1交于点M ，N ，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值．错解：设直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin cos 210t y t x （t 为参数)， 代入曲线方程得（1+sin 2α）t 2+10tcosα+23=0，则t 1t 2=)sin 1(232α+， 则有|PM|·|PN|=|t 1t 2|=)sin 1(232α+， 所以当sin 2α=1时，|PM|·|PN|取最小值为43，此时相应的α值为2π． 错解剖析：在求解相应的最值问题时，一定要注意条件：直线与曲线有交点，只要充分保证此前提的情况下，才有相应的最值问题．通过直接利用直线参数建立止目标函数，从而使问题获解．其中掌握参数的几何意义是求解的关键，而研究直线与曲线有交点的条件是解题的重中之重．正确解答：设直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin cos 210t y t x （t 为参数)，代入曲线方程得（1+sin 2α）t 2+10tcosα+23=0，则t 1t 2=)sin 1(232α+， 则有|PM|·|PN|=|t 1t 2|=)sin 1(232α+， 又直线与曲线相交，则有△≥0，解得sin 2α≤41， 从而知，当sinα=21时，即相应的α值为6π或65π时，|PM|·|PN|取最小值为56． 2．轨迹方程的求解问题例2．如图，已知抛物线y=x 2及定点A （－1，0），由A 点作直线l 与抛物线相交于B 、C 两点，在直线l 上的点P 满足AB 1+AC 1=AP 2，求动点P 的轨迹方程．错解：设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数）， 代入抛物线方程y=x 2，得：t 2cos 2α－（2cosα+sinα）t+1=0，设B 、C 所对应的参数分别为t 1，t 2，即AB=t 1，AC=t 2，由韦达定理，得t 1+t 2=ααα2cos sin cos 2+，t 1t 2=α2cos 1， 设AP=t ，则由AB 1+AC 1=AP2，得11t +21t =t 2，则有t=21212t t t t +=ααsin cos 22+， 即2tcosα+tsinα=2，由参数方程可得2（x+1）+y=2，即2x+y=0，所以动点P 的轨迹方程为2x+y=0．错解剖析：在求解轨迹方程的过程中，一定要注意参数的条件．特别对于确立轨迹的纯粹性，要保证是等价的．通过巧设直线的参数方程形式，将题设中的已知条件转化为含有参数的关系式，然后消元使问题得以解决．以上错解中就是没有确定相应参数的隐含条件而导致错误．正确解答：设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），代入抛物线方程y=x 2，得：t 2cos 2α－（2cosα+sinα）t+1=0，设B 、C 所对应的参数分别为t 1，t 2，即AB=t 1，AC=t 2，由韦达定理，得t 1+t 2=ααα2cos sin cos 2+，t 1t 2=α2cos 1， 设AP=t ，则由AB 1+AC 1=AP2，得11t +21t =t 2， 则有t=21212t t t t +=ααsin cos 22+，即2tcosα+tsinα=2， 由参数方程可得2（x+1）+y=2，即2x+y=0，又由方程t 2cos 2α－（2cosα+sinα）t+1=0，可得△=（2cosα+sinα）2－4cos 2α>0， 即4cosαsinα+sin 2α>0，又sinα>0，则4cosα+sinα>0，即2cosα+sinα>－2cosα， 又由于B 、C 都在定点A 的上方，则t 1>0，t 2>0， 从而t=ααsin cos 22+>0，则αααsin cos 2cos 2+-<0， 则得－1<αααsin cos 2cos 2+-<1，故－1<x+1=tcosα<1，且x+1≠0， 解得－2<x<0，且x≠－1，故动点P 的轨迹方程为：2x+y=0（－2<x<0，且x≠－1）．利用参数方程解题是一种很好的数学方法，既能锻炼逻辑思维能力，拓宽解题思路，培养一题多解的能力，又可以激发潜能，提高学习积极性和主动探索实践的能力．关键是在用参数方程解题时，必须注意参数的取值范围，须保证与原题中定义域、值域等价，同时参数未必是唯一的．。

所以直线 l 的参数方程为xy＝＝11＋＋3545tt.， 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上．
由 1＋45t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34.
2，∴|MP0|＝|t|＝115
2 .
直线的参数方程的应用(直线与圆) [例 2] 已知直线的参数方程为xy＝＝2－－14＋t，3t， 它与曲线(y－ 2)2－x2＝1 交于 A，B 两点． (1)求|AB|的长； (2)求点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离． [思路点拨] 本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应 用．解答本题需先求出直线 l 的参数方程，然后根据相关概念及性 质求解即可．
[思路点拨] 本题考查直线参数方程的求法及其简单应 用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角 α，然后写 出直线 l 的参数方程．
[精解详析] 由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为34. 设直线的倾斜角为 α， 则 tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45. 又点 P(1,1)在直线 l 上，
[精解详析] (1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化 简得 7t2＋6t－2＝0.
设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1＋t2＝－67，t1t2＝－27.
所以，线段|AB|的长为
32＋－42|t1－t2|＝5
t1＋t22－4t1t2＝
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23. (2)根据中点坐标的性质可得 AB 中点 C 对应的参数为t1＋2 t2＝－37.
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的 点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．

§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程1．掌握直线参数方程的标准形式，理解参数t 的几何意义．2．能依据直线的几何性质，写出它的两种形式的参数方程，体会参数的几何意义． 3．能利用直线的参数方程解决简单的实际问题．1．经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为________________．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是______________，可以用有向线段PM →的数量来表示．【做一做1－1】经过点M (－2,3)，倾斜角为3π4的直线l 的参数方程是__________．【做一做1－2】直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝3－t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )．A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°2．经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程 经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为_________________．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M 分有向线段QP →的数量比QM MP.当______时，M 为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时，____________.直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1)可以表示点Q (x 1，y 1)(λ＝0时)，但不能表示点P (x 2，y 2)．如果遇到与点P (x 2，y 2)有关的问题时，可对点P 进行单独检验．【做一做2】经过点Q (1,2)，P (3,7)的直线的参数方程为( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋3λ1＋λ，y ＝1＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋3λ1＋λ，y ＝－2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－3λ1＋λ，y ＝2－7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)由直线的参数方程求直线的倾斜角剖析：如果直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)的形式，由方程直接可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 15°，y ＝1＋t sin 15°，则直线的倾斜角为15°.如果不是上述形式，例如直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 15°，y ＝1＋t cos 15°(t 为参数)的倾斜角就不能直接判断了．第一种方法：把参数方程改写为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin 15°，y －1＝t cos 15°，消去t ，有y －1＝1tan 15°(x －1)，即y －1＝tan 75°(x －1)，故倾斜角为75°.第二种方法：把原方程化为标准形式，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos75°，y ＝1＋t sin 75°，可以看出直线的倾斜角为75°. 答案：1．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 从点P 到M 的位移【做一做1－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22t ，y ＝3＋22t (t 为参数) 根据互化关系，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)．【做一做1－2】D 由参数方程知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝3－32t ，两式相加，得直线的普通方程x ＋y ＝1，倾斜角为α，则tan α＝－1，∴α＝135°.2．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1) λ＞0 点M 与Q 重合【做一做2】B 设直线PQ 上动点M (x ，y )，参数λ＝QMMP，则直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)．题型一 参数方程与普通方程互化【例1】把下面直线的参数方程化为普通方程式，普通方程化为参数方程． (1)化l 1：x ＋3y －1＝0为参数方程；(2)化l 2：⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)为普通方程．分析：利用直线方程转化公式求解．反思：在(1)(2)中t 的几何意义是不同的．在(1)中，t 的几何意义是有向线段M 0M →(其中M 0为(1,0)，M (x ，y )为直线l 1上任意一点)的长．(2)中t 的几何意义是M 0M →(其中M 0为(－3,1)，M (x ，y )为直线l 2上任意一点)长的一半．题型二 直线的参数方程与倾斜角【例2】直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )．A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°反思：只有在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)中，θ才表示直线的倾斜角．如果不是这种形式，则需要进行转化．题型三 直线参数方程的应用【例3】已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2交于A ，B 两点，求线段AB 的长和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．反思：本题涉及普通方程和参数方程的互化，在解题过程中，注意参数t 的几何意义的应用．答案：【例1】解：(1)令y ＝0，得x ＝1.∴直线l 1过定点(1,0)，k ＝－13＝－33.设倾斜角为α，则tan α＝－33，α＝5π6，cos α＝－32，sin α＝12.∴l 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32t ，y ＝12t (t 为参数)．(2)原方程可化为⎩⎨⎧ x ＋3＝t ，y －1＝3t ，①②把①代入②得y －1＝3(x ＋3)，即l 2普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 【例2】C 方法一：将原方程改写成 ⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)， 所以直线的倾斜角为110°.方法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t cos 110°，y ＝－t sin 110°，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°.【例3】解：∵l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)．即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)．①把①代入抛物线方程，得t 2＋2t －2＝0.解得t 1＝－2＋102，t 2＝－2－102.由参数t 的几何意义，得|AB |＝|t 1－t 2|＝10，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.1已知直线l 的参数方程是1sin ,2cos x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，其中角θ的范围是π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l 的倾斜角是( )．A ．3π2θ- B ．θ C ．π2θ- D ．π－θ 2直线2x －y ＋1＝0的参数方程为( )．A ．51,52535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)B ．15,35x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)C ．2,32x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)D ．51,3533x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) 3一条直线的参数方程是124x ty t=-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则点(3,6)到这条直线的距离是__________．4已知两点A (2,1)，B (－1,2)和直线l ：x ＋2y －5＝0.求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点的坐标．答案：1．A 将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 2．A 根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α＝255，cos α＝55，所以直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t (t 为参数)．3．201717 根据参数方程可得4x ＋y ＋2＝0，则d ＝|4×3＋6＋2|42＋12＝2017＝201717. 4．解：设直线AB 上动点P (x ，y )，选取参数λ＝APPB，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－λ1＋λ，y ＝1＋2λ1＋λ(λ为参数)．①把①代入x ＋2y －5＝0得λ＝－12.把λ＝－12代入①得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0，即交点坐标为(5,0)．。

可知yxmax＝0，yxmin＝－ 33， ∴yx的取值范围是－ 33，0.
4．如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线xy＝ ＝43staencθθ (θ为 参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的 最大距离．
解析： ∵1x62 －y92＝1， ∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)，设椭圆ax22＋by22＝1， ∴a＝5，c＝4，b＝3，
[规律方法]
(1)用
X＝ASEC Y＝BTAN
Θ， Θ
，研究双曲线问题时，
双曲线上的点的坐标可记作(ASEC Θ，BTAN Θ)．这样可以将
两个变量X，Y的关系简化为一个变量Θ的关系式．此外，我们
可以利用Θ的三角函数进行变形，使解决问题的途径更加广
泛．
(2)除三角公式法外，配方法也是求最值的常用方法．
答案： D
2．方程xy＝ ＝eett＋ －ee－ －tt， (t为参数)的图形是(
)
A．双曲线左支
B．双曲线右支
C．双曲线上支
D．双曲线下支
解析： x2－y2＝(et＋e－t)2－(et－e－t)2＝4.
又et＋e－t＝et＋e1t≥2，
∴方程表示的图形是双曲线的右支．
答案： B
3．点(x，y)是曲线C：
(φ为参数) (φ为参数)
2.抛物线的参数方程
普通方程
参数方程
y2＝ 2px(p>0)
y2＝－2 y＝ 2pt x＝ －2pt2 y＝ 2pt
(t为参数) (t为参数)
x2＝ 2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
x＝ 2pt y＝ 2pt2 x＝ 2pt y＝ － 2pt2
预习学案
如图OB是机器的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆， 长为l，点A在Ox上往返运动，点P为AB中点，当点B绕点O作 圆周运动时，那么点P的运动轨迹是什么？

2.2.1直线的参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)教材整理1参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数Error!①，并且对于t取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有实际意义的变数.()(2)参数与变量x，y间存在函数关系.()(3)点M(2,1)在曲线Error!(t为参数)上.()【解析】(1)×参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没有实际意义的变数.(2)√在参数方程中，参数与x，y存在函数关系.(3)×x＝2时，2＝2×t得t＝1，而y＝1时t＝0≠1，故点(2,1)不在曲线上.【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2直线的参数方程1.经过点P(x0，y0)，倾斜角是α的直线的参数方程为Error!(t为参数).①其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向1→线段PM的数量来表示.2.经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为Error!(λ为参数，λ≠－1).其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义与参数方程①中的t显然不同，→QM它所反映的是动点M分有向线段QP的数量比.MP当λ＞0时，M为内分点；当λ＜0时，且λ≠－1时，M为外分点；当λ＝0时，点M与Q重合.填空：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.(2)参数方程Error!(t为参数)表示的直线的倾斜角是________.【解析】(1)Error!即Error!(t为参数).(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.【答案】(1)Error!(t为参数)(2)20°预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：求动点轨迹的参数方程如图2­2­1所示，OA是定圆的直径，长2a，直线OB与圆交于M1，和过A点的切线交于点B，MM1⊥OA，MB∥OA，MM1与MB交于点M，与OA交于点C，以O为原点，OA为x轴的正半轴，求动点M轨迹的参数方程.2图2­2­1【精彩点拨】引入弦OM1与x轴的夹角θ为参数，由解三角形知识将动点M(x，y)的坐标x，y分别用角θ表示，从而得到轨迹的参数方程.【自主解答】设点M的坐标为M(x，y)，弦OM1与x轴的夹角是θ，取θ为参数，连结AM1，则有AM1⊥OM1，OC＝2a cos θ·cosθ＝2a cos2 θ，AB＝2a tan θ，∴Error!(θ为参数)，这就是所求的点M的参数方程.求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量x，y之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程.1.过抛物线y2＝4px(p＞0)的顶点作互相垂直的两弦OA，OB，求AB中点P的轨迹方程.【解】设OA的斜率为k(k≠0)，4p 4p则Error!解得A点坐标为(k).，k2由Error!解得B点坐标为(4pk2，－4pk).设AB的中点为P(x，y)，则Error!(k为参数)，消去k得中点P的轨迹方程为y2＝2p(x－4p)(p＞0).求直线的参数方程已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.(1)写出直线l的参数方程；(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点.【精彩点拨】根据直线过点(3,4)，且直线的倾斜角θ＝120°.代入Error!得该直线的参数方程.然后与x－y＋1＝0联立可求得交点.【自主解答】(1)直线l的参数方程为Error!(t为参数)，即Error!(t为参数).(2)把Error!代入x－y＋1＝0，1 3得3－t－4－t＋1＝0，得t＝0.2 2把t＝0代入Error!得两直线的交点为(3,4).求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用Error!(t为参数)求；若已知两个定点，利用Error!(λ为参数，λ≠－1)求.5π 2.设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.6(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：Error!(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.【解】(1)直线l的参数方程为Error!(t为参数).(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得3 14(－3－t)2＋(3＋t)2－16＝0，2 2即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0.由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|，116故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.13直线参数方程的应用探究1直线参数方程Error!(α为参数)中参数的几何意义怎样理解？【提示】直线参数方程中参数t表示直线上以定点P为起点，任一点M(x，y)为终点的→有向线段PM的数量，当点M在点P上方时，t＞0；当点M在P的下方时，t＜0；当点M与P重合时，t＝0.我们也可以把参数t理解为以P为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.b 探究2直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x0，y0)，斜率为时的a直线参数方程怎样？【提示】直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点P(x0，y0)，斜b率为的直线的参数方程是Error!(a，b为常数，t为参数).a→当a2＋b2＝1时，参数方程为标准形式，|t|的几何意义是有向线段P M的长度；当a2＋b2≠1时，参数方程的标准形式为Error!其中a2＋b2t具有标准参数方程中参数的几何意义.探究3当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？【提示】在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t的几何意义求解，比利用直线l的普通方程来解决更为方便.4如图2­2­2所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相3交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：图2­2­2(1)P，M间的距离|PM|；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长|AB|.【精彩点拨】先求得直线l的参数方程的标准形式，然后代入抛物线方程，得到关于参数t的一元二次方程，再利用参数t的几何意义，逐个求解.4 【自主解答】(1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为α，则34 3 4tan α＝，cos α＝，sin α＝，3 5 5∴直线l的参数方程的标准形式为Error!(t为参数).(*)∵直线 l 和抛物线相交，∴将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y 2＝2x 中，整理得 8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.15 25设这个二次方程的两个根为 t 1，t 2，由根与系数的关系得 t 1＋t 2＝ ，t 1t 2＝－ .8 4t 1＋t 2 15由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得|PM |＝| 2 |＝.1615(2)因为中点 M 所对应的参数为 t M ＝ ，16 将此值代入直线 l 的参数方程的标准形式(*)， 得Error!41 3 即M( ，4).165 (3)|AB |＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 22－4t 1t 2＝. 73 8在求直线 l 与曲线 C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线 l 的参数方程Error!代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于 t 的方程 f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为 t 1，t 2，对应的直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，那么由参数 t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦 AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. t 1＋t 2(2)线段 AB 的中点 M 对应的参数 t ＝(解题时可以作为基本结论使用).23.以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度. π已知直线 l 经过点 P (1,1)，倾斜角 α＝ .6(1)写出直线 l 的参数方程；(2)设 l 与圆 ρ＝2相交于两点 A ，B ，求点 P 到 A ，B 两点的距离之积. 【解】 (1)直线 l 的参数方程为Error!即Error!(t 是参数).(2)圆 ρ＝2的普通方程为 x 2＋y 2＝4. 把直线Error!代入 x 2＋y 2＝4，31 得 (1＋ t )2＋(1＋ t )2＝4.22261.直线Error!(t为参数)的倾斜角α等于()A.40°B.50°C.－45°D.135°－sin 40°【解析】根据tan α＝＝－1，因此倾斜角为135°.cos 50°【答案】 D2.曲线Error!(t为参数)与坐标轴的交点是()【导学号：12990021】2 1 1 1A.(0，5 )，(，0 )B.(0，5 )，(，0 )2 25C.(0，－4)，(8,0)D.(0，9 )，(8,0)2 1【解析】当x＝－2＋5t＝0时，解得t＝，可得y＝1－2t＝，当y＝1－2t＝0时，解5 51 1 1 1得t＝，可得x＝－2＋5t＝2，∴曲线与坐标轴的交点坐标为(0，5 )，(，0 ).2 2【答案】 B5π3.过点P(－4,0)，倾斜角为的直线的参数方程为________.65π【解析】∵直线l过点P(－4,0)，倾斜角α＝，6所以直线的参数方程为Error!即Error!【答案】Error!4.已知圆C的圆心是直线Error!(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________.【解析】由Error!得x－y＋1＝0.∴圆心C(－1,0)，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，|－1＋0＋3|∴r＝＝2，2∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.【答案】(x＋1)2＋y2＝235.过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为π的直线，它与抛物线交于A，B两点，求这两4点的距离.【解】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，3设过焦点F(1,0)，倾斜角为π的直线的参数方程为Error!(t为参数)，4将此代入y2＝4x，得t2＋4 2t－8＝0，设这个方程的两个根分别为t1，t2，由根与系数的关系，有t 1＋t2＝－4 2，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t 1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝－4 22＋32＝64＝8.∴A，B两点间的距离是8.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)8。

3 3 4 倾斜角为 α，则 tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5.又点 P(1，1)在直线 4 x＝1＋5t， l 上，所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 3 y＝1＋ t 5 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN| ＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
QM → 动点 M 分有向线段QP的数量比 MP
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2.圆的参数方程 (1)圆心在原点、 半径为 r 为参数).
x＝rcos α， y＝rsin α 的圆的参数方程_____________( α
OP与x轴正方向的夹角 参数 α 的几何意义是_________________________.
x＝t， 得到参数方程 y＝2t＋1
t (t 为参数)；如果令 x＝2，可得到
t x＝ ， 参数方程 2 (t 为参数) y＝t＋1
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这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义，但是在 实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点 M 做匀 速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1，1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数 方程.点 M (t 为参数).
【思维导图】
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【知能要点】
1.直线的参数方程.
2.直线的参数方程的应用.
3.圆的参数方程及应用.
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§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6

4-4第二章 参数方程【知识点梳理】一、参数方程的概念：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称 参数 . 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

二、几种常见的参数方程1．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 0≤α<π．2．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝btan θ(θ为参数，0≤θ≤2π且2π3θ，2πθ≠≠)．，则{，有sec 2θ-tan 2θ=1(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．三、参数方程与普通方程的互化将参数方程化成普通方程的常用方法有： (1)代数法消去参数①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程. (2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程. (3)注意事项① 互化中必须使,x y 的取值范围保持一致. ② 同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.几种常见的参数方程例1：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.【答案】 (1)⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数).(2)过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2【解析】∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即(t 为参数)⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2.(3)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________. 【解析】方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.(4)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( ) A.40° B.50° C.－45° D.135°【答案】 D 【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.例2：(1)圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(2,0)【答案】 D 【解析】 由圆的参数方程知，圆心为(2,0). (2)圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【答案】 D 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π)).故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π).例3：(1)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ的长轴长和短轴长分别为( )A.3 2B.6 2C.3 4D.6 4【答案】 D 【解析】 由方程可知a ＝3，b ＝2，∴2a ＝6,2b ＝4.(2)曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________.【答案】 23 【解析】由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e＝c a ＝23. 例4：双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________.【答案】 (－5,0)，(5,0)【解析】 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)参数方程与普通方程的互化例1：(1)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】 把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x .(2)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝t ＋1(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2.(3)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.【解析】由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得x 2＋y 2＝1.(4)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是________【解析】由y ＝－1＋cos 2θ，可得y ＝－2sin 2θ， 把sin 2θ＝x －2代入y ＝－2sin 2θ，可得y ＝－2(x －2)， 即2x ＋y －4＝0. 又∵2≤x ＝2＋sin 2θ≤3，∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段. (5)将(x －2)2＋y 2＝1化为参数方程是 【解析】令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．【练一练】1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( )A.y ＝0B.x ＋y ＝0C.x －y ＝0D.2x ＋y ＝0【答案】 D 【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C的坐标为(－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.2.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝cos 2t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝sin 2t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－tan 2t (t 为参数) 【答案】 D【解析】 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1]. D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1].参数方程的应用【例1】(1)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________. 【答案】 (1,1) 【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，(x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1).(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________.【答案】 3 【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【例2】已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上.(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.【例3】已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(θ为参数)． (1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和圆C 相交．【例4】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0. ∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， ∴4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14，∴|AB |＝2× 1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.。

2.2 直线和圆锥曲线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.2.3椭圆的参数方程2.2.4双曲线的参数方程课后篇巩固探究A组1.曲线(θ为参数)的左焦点的坐标是()A.(-4,0)B.(0,-4)C.(-2,0)D.(0,2)(θ为参数),得=1,故左焦点的坐标为(-4,0).2.圆锥曲线(θ为参数)的焦点坐标是()A.(-5,0)B.(5,0)C.(±5,0)D.(0,±5)(θ为参数),得=1,故它的焦点坐标为(±5,0).3.过点M(2,1)作曲线C:(θ为参数)的弦,使点M为弦的中点,则此弦所在直线方程为()A.y-1=-(x-2)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=-(x-1)D.y-2=-2(x-1)把曲线C的参数方程化为普通方程为x2+y2=16,表示圆心在原点,半径为4的圆,∴过点M的弦与线段OM垂直,又k OM=,∴弦所在直线的斜率为-2,∴直线方程为y-1=-2(x-2).4.已知P(x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为()A.36B.6C.26D.25,(x-2)2+y2=1,圆心O(2,0),另一定点M(5,-4),∴|OM|==5.∴(x-5)2+(y+4)2的最大值为(5+1)2=62=36.5.导学号73144031对任意实数,直线y=x+b与椭圆(θ为参数,且0≤θ≤2π)恒有公共点,则b的取值范围是.(2cos θ,4sin θ)代入y=x+b得4sin θ=2cos θ+b.∵恒有公共点,∴以上方程有解.令f(θ)=4sin θ-2cos θ=2sin(θ-φ).∴-2≤f(θ)≤2.∴-2≤b≤2.-2,2]6.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(α为参数).(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.把极坐标系下的点P化为直角坐标,得P(0,4).因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cos α,sin α),从而点Q到直线l的距离d===cos+2.由此得,当cos=-1时,d取得最小值,且最小值为.7.求椭圆=1的参数方程.(1)设x=3cos φ,φ为参数;(2)设y=2t,t为参数.把x=3cos φ代入椭圆方程,得=1,所以y2=4(1-cos2φ)=4sin2φ,即y=±2sin φ.由φ的任意性,可取y=2sin φ.故=1的参数方程为(φ为参数).(2)把y=2t代入椭圆方程,得=1.即x2=9(1-t2),∴x=±3.故参数方程为(t为参数)或(t为参数).8.已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点,(1)求2x+y的取值范围;(2)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.设圆的参数方程为(θ为参数),则2x+y=2cos θ+sin θ+1=sin(θ+φ)+1,故-+1≤2x+y≤+1.(2)∵x+y+a=cos θ+sin θ+1+a≥0.∴a≥-(cos θ+sin θ)-1=-sin-1,∴a≥-1.9.导学号73144032已知点A,B是椭圆=1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.(θ为参数).设点P的坐标为(3cos θ,2sin θ),其中0≤θ<,∵S OAPB=S△APB+S△AOB,其中S△AOB为定值,∴只需S△APB最大即可.又∵AB为定长,故只需点P到AB的距离最大即可.AB的方程为2x+3y-6=0,点P到AB的距离为d=.∴当θ=时,d取最大值,从而S OAPB取最大值,这时点P的坐标为.B组1.若直线y=ax+b经过第二、三、四象限,则圆(θ为参数)的圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限y=ax+b经过第二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以圆心(a,b)在第三象限.2.已知椭圆(θ为参数),若θ∈[0,2π),则椭圆上的点(-a,0)对应的θ=()A.πB.C.2πD.所以θ=π.3.如图,若以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为.=tan θ(x≠0),y=x tan θ,由x2+y2-x=0,得x2+x2tan2θ-x=0,x==cos2θ,则y=x tan θ=cos2θtan θ=sin θcos θ,又θ=时,x=0,y=0也适合题意,故参数方程为(θ为参数).(θ为参数)4.若点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则x+y的最大值为,最小值为.点P在椭圆x2+=1上,∴可以设点P的坐标为(cos θ,2sin θ),即x=cos θ,y=2sin θ,∴x+y=cos θ+2sin θ=sin(θ+φ),其中tan φ=.∵sin (θ+φ)∈[-1,1],∴x+y的最大值为,最小值为-.-5.导学号73144033已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.曲线C的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为x2+y2=2.又点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,即ρsin.sin6.设方程(1)当t=1时,θ为参数,此时方程表示什么曲线?(2)当θ=时,t为参数,此时方程表示什么曲线?当t=1时,θ为参数,原方程化为消去参数θ,得-(y-2)2=1,即-(y-2)2=1,这是一个焦点在x轴的双曲线.(2)当θ=时,t为参数,原方程化为消去参数t,得y=2x+1-4,这是一条直线.7.已知直线l:x-y+9=0和椭圆C:(θ为参数).(1)求椭圆C的左右焦点F1,F2的坐标;(2)求以F1,F2为焦点,且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程.由椭圆的参数方程消去参数θ,得椭圆的标准方程为=1,得a2=12,b2=3,c2=a2-b2=9,则c=3.故F1(-3,0),F2(3,0).(2)∵2a=|MF1|+|MF2|,∴只需在直线l:x-y+9=0上找到点M,使得|MF1|+|MF2|最小即可.点F1(-3,0)关于直线l的对称点是F'1(-9,6),∴点M为F2F'1与直线l的交点,则|MF1|+|MF2|=|MF'1|+|MF2|=|F'1F2|==6,∴a=3.又∵c=3,b2=a2-c2=36,∴所求椭圆的方程为=1.8.导学号73144034已知曲线C的方程为当t是非零常数,θ为参数时,C是什么曲线?当θ为不等于(k∈Z)的常数,t为参数时,C是什么曲线?两曲线有何共同特征?.θ为参数时,将原参数方程记为①,将参数方程①化为平方相加消去θ,得=1.②∵(e t+e-t)2>(e t-e-t)2>0,∴方程②表示的曲线为椭圆.当t为参数时,将方程①化为平方相减,消去t,得=1.③∴方程③表示的曲线为双曲线,即C为双曲线.∵在方程②中=1,∴c=1,椭圆的焦点为(-1,0),(1,0).∵在方程③中cos2θ+sin2θ=1,∴c'=1,∴双曲线的焦点也为(-1,0),(1,0).因此椭圆和双曲线有共同的焦点.。

（二）教学设想
1.针对重点内容，采用以下教学策略：
（1）通过直观的动态演示，帮助学生理解参数方程的几何意义，增强直观感知；
（2）设计具有层次性的例题和练习，逐步引导学生掌握参数方程的应用；
（3）结合实际情境，激发学生探究参数方程的兴趣，提高学习积极性。
2.针对难点内容，采用以下教学策略：
（1）以小组合作的形式，让学生在讨论和交流中，共同探讨参数方程的推导过程，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力；
高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本章节主要围绕“直线和圆锥曲线的参数方程”展开，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握直线、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程；
2.学会运用参数方程解决直线和圆锥曲线的相关问题；
3.能够运用坐标系和参数方程描述直线和圆锥曲线的运动变化；
（8）教学评价：通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生的学习情况，及时调整教学策略。
4.关注学生个体差异，实施差异化教学：
（1）针对基础薄弱的学生，加强基础知识的学习，提高其学习信心；
（2）针对学有余力的学生，适当拓展课外知识，培养其创新能力和数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以生活中的实例导入，如一颗行星在椭圆轨道上绕太阳运动，引导学生思考如何描述行星的运动轨迹。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
（1）直线和圆锥曲线参数方程的推导过程；
（2）参数方程与普通方程互化的方法；
（3）如何运用参数方程解决实际问题。
2.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，引导学生深入探讨参数方程的内涵和实际应用。

《直线和圆锥曲线的参数方程》知识清单一、直线的参数方程1、直线参数方程的标准形式若直线过点\（M(x_0,y_0)＼），倾斜角为\（＼alpha\），则直线的参数方程为\（＼begin{cases}x ＝ x_0 ＋ t\cos\alpha ＼＼ y ＝ y_0 ＋t\sin\alpha\end{cases}＼）（＼（t\）为参数）。

参数\（t\）的几何意义：＼（t\）表示直线上动点\（M(x,y)＼）到定点\（M_0(x_0,y_0)＼）的有向线段\（＼overrightarrow{M_0M}＼）的数量。

当点\（M\）在点\（M_0\）上方时，＼（t\gt 0\）；当点\（M\）在点\（M_0\）下方时，＼（t\lt 0\）；当点\（M\）与点\（M_0\）重合时，＼（t ＝ 0\）。

2、直线参数方程的一般形式对于直线的一般方程\（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\），可以通过引入参数\（t\），将其转化为参数方程\（＼begin{cases}x ＝ x_0 ＋ at ＼＼ y ＝y_0 ＋ bt\end{cases}＼）（＼（t\）为参数），其中\（a\）、＼（b\）为实数，且满足\（a^2 ＋ b^2 ＝ 1\）。

二、圆锥曲线的参数方程1、椭圆的参数方程中心在原点，焦点在\（x\）轴上的椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a\gt b\gt 0\））的参数方程为\（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝ b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）。

参数\（＼theta\）的几何意义：＼（＼theta\）表示椭圆上动点\（M(x,y)＼）对应的离心角，即\（M\）与原点连线与\（x\）轴正半轴的夹角。

中心在原点，焦点在\（y\）轴上的椭圆\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a\gt b\gt 0\））的参数方程为\（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝ a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）。

案例(二) --- 精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一直线与圆锥曲线的位置关系(1) 直线与椭圆的位置关系根据曲线和方程的理论,如果直线和椭圆有交点,那么交点坐标就应该同时满足直线和椭圆的方程,否则就不满足,因此我们可以将直线和椭圆的位置关系转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和椭圆的位置关系,也就是:设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0),①△ >0,直线与椭圆有两个交点,直线与椭圆相交；②△ =0 时,直线与椭圆有个公共点,直线与椭圆相切；③△<0 时,直线与椭圆没有公共点，直线与椭圆相离.在直线与椭圆相交的问题中,两公共点之间的距离,也即直线被椭圆截得的弦长可以用下面的公式来求取.设直线与椭圆的两个交点为A(x 1,y1),B(x 2,y2),直线方程为y=kx+m(k ≠ 0)则|AB|= (x1 x2)2(y1 y2)2=(x1 x2)2(kx1 m kx2 m)2= 1 k2|x1-x2|或者|AB|= 1 k12 |y1-y2|；当k=0 时直线平行x 轴,|AB|=|x1-x2|.于(2) 直线与双曲线的位置关根据曲线和方程的理论,如果直线和双曲线有交点,那么交点坐标就应该to 同时满足直线和双曲线的方程,否则就不满足.因此我们可以将直线和双曲线的位置关系转化为对直线的方程与双曲线的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和双曲线的位置关系,也就是:设直线方程y=kx+m,若直线与双曲线方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax2+bx+c=0,当二次项前面的系数为零时,直线与双曲线有一个交点,直线与渐近线平行;当二次项前面的系数不为零时, ①△>0,直线与双曲线有两个交点,直线与双曲线相交;②△=0 时,直线与双曲线有一个公共点,直线与双曲线相切;③△<0 时,直线与双曲线没有公共点,直线与双曲线相离.在直线与双曲线相交的问题中,两公共点之间的距离,也即三直线被双曲线截得的弦长可以用上面的公式来求取.直线和双曲线的位置关系的判别比较复杂,需要耐心细致地处理,主要原因在于双曲线不是封闭的曲线.(3) 直线与抛物线的位置关系的处理在处理直线与抛物线的交点问题,特别是抛物线的弦的问题时,往往采取设而不求的方法,以及直线方程和抛物线方程联立方程组,借助根与系数关系来解,可达到化繁为简的目的.这里要注意:当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线也只有一个交点，造成这样情况的原因在于抛物线和双曲线一样,它们都是不封闭曲线,因此在处理直线和抛物线的问题时,要关注消元后的一元二次方程的二次项前的系数以及判别式.另外,前面所提的弦长公式仍然适用. 利用抛物线的对称性解题往往会柳暗花明又一村. 知识点二直线与圆锥曲线位置关系的三种题型.(1) 直线与圆锥曲线的交点问题常用方法是代数方法和几何方法,但在代数方法中,要注意二次项前面系数是0 的情况,在几何方法中,要注意直线与圆锥曲线相切不是直线与圆锥曲线只有一个交点的充要条件.(2) 与弦的中点有关的问题常用方法是韦达定理和点差法.(3) 弦长问题求弦长的方法:①公式法；②如果弦经过圆锥曲线的焦点，可利用焦半径公式.典型例题分析题型 1 直线与圆锥曲线的交点问题【例1】直线1:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时l 与C有:(1) 一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.解析讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,一般都将两个方程联消去 y 得 k 2x 2+(2k-4)x+1=0. ①当 k=0 时,方程①只有一个解 x=1,此时 y=1. 4∴直线 l 与 C 只有一个公共点 ( 1，1),此时直线 l 平行于抛物线的 4对称轴.当 k ≠ 0 时,方程①是一个一元二次方程△=(2k-4)2-4k 2=-16k+16=-16(k-1). (1) 当△ >0,即 k<1,且 k ≠0时,l 与 C 有两个公共点 ,此时称直线 1 与 C 相交(2) 当△ =0,即 k=1 时,与 C 有一个公共点 ,此时称直线 l 与 C 相切；(3) 当△ <0,即 k>1 时,与 C 没有公共点 ,此时称直线 l 与 C 相离.综上所述 ,当 k=0,或 k=1 时,与 C 有一个公共点；当 k<1 时 ,与 C 有两个公共点；当 k>1 时 ,与 C 没有公共点 .规律总结 (1)直线与抛物线相切 ,则直线与抛物线只有个公共点 反过来 ,直线与抛物线只有一个公共点 ,则直线与抛物线不一定立.答案 将 l 和 C 的方程联立y kx 1, y 2 4x.是相切的；(2)解析中方程①的二次项系数带有字母,不可忽视对字母k 的讨22变式训练 1】直线 l:ax+by-3a=0与双曲线 x 9 y9=1只有一个公22答案 (1)当 b=0时,l:x=3, x 9 y9 =1, ∴ y=0,此时 ,l 与双曲线只有一个公共点 .ya(3 x)(2)当 b ≠0 时, y b 4x 2 9y 2 36 得(4b 2-9a 2)x 2+54a 2x-9(9a 2+4b 2)=0.① a.若 462-9a 2=0,即=± 2时,只有一个公共点 ,此时 l:y=± 2 (3-x),即332x+3y-6=0.b.4b2-9a2≠0,即a ≠± 2时,二次方程① b3△=542a 4+36(4b 2-9a 2)(4b 2+9a 2)=36(81a 4+16b 4-81a 4)=36×16b 4>0, 此时直线 l 与双曲线必有两个交点 .综上所述 ,共有 3条,其方程为 x3=0或 2x+3y-6=0.题型 2 弦长问题【例 2】 已知直线 y=x-4 被抛物线 y 2=2mx(m ∈ R)截得的弦长为 6 2 ,求抛物线的标准方程 .解析 直线和抛物线的位置关系仍然是转化为对直线的方程与 椭圆的方程所联立的方程组上来 ,即通过考查方程组解的情况来判断 直线和抛物线的位置关系；同时弦长公式仍然适用 .论.共点,则 l 共有条,它们的方程是答案 由 y 2mx, 得 x 2-2(4+m)x+16=0, y x 4,弦长= (1 k 2)(x 1 x 2)2 = 2 4(4 m)24 16 =2 2(m 28m) . 由 2 2(m 28m) =6 2,得 m=1 或 m=-9,经检验 ,m=1 或 m=-9 均符合 题意 .∴所求抛物线标准方程为 y 2=2x 或 y 2=-18x. 规律总结 由于 m ∈R,故 m 的几何意又发生了变化 ,此时,|m|才表 示焦点到准线的距离 .【变式训练 2】 椭圆 ax 2+by 2=1 与直线 x+y=1 相交于 A 、B 两点 , 若|AB|=2 2,且 AB 的中点 C 与椭圆中心连线的斜率为 2 ,求实数 a 、 b 的值 .可得 (a+b)x 2-2bx+b-1=0.所以 x 1+x 2= 2b ,x 1+x 2= b I,所|AB|= a b a b②代人①,得 b= 32,a=31. 题型 3 中点弦问题2【例 3】设 A 、B 是双曲线 x 2-y=1上的两点,点 N(1,2)是线段 AB 2的中点.I ( 1)2 ·|x 1-x 1|= 2 ·2 a b ab =2 2 ,得(a+b)2=a+b-ab ① .又因为 kx= ab答案 设椭圆与直线交于 A (x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则由22 ax by x y 1, 1, y 1 y 22 = y 1 x 1 x 2 x 1 y2 =(1 x 2 x 1) (1 x 2)= 2 -1=a = 2,所以 a= 2 b ②.把 x 1 x 2 x 1 x 2 b 2 2(1) 求直线AB 的方程.(2) 如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C、D 两点,那么A、B、C、D 四点是否共圆?为什么?解析涉及直线截圆锥曲线所得弦长及弦的中点的有关问题,常常要运用根与系数的关系.答案(1)显然,AB 与x 轴不垂直,设其斜率为k,其方程为y=k(x-1)+2,代入双曲线方程并整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k 2+4k-6=0.设 A 、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 由根与系数的关系及N 是AB 的中点,知2k(22k) =2.2 k2解得k=1.因此,直线AB 的方程为y=x+1.(2)线段AB 的垂直平分线的方程为y=-x+3, 代入双曲线方程,得x2+6x-11=0.设C、D 两点坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),由根与系数的关系,得x3+x4=-6,x3x4=-11.|x3-x4|= (x3 x4)24x3x4 =4 5 ,据弦长公式得|CD|= 1 k 2|x 3-x 4|=4 10 . 又设 CD 中点为 M,求得 M 点的坐标为 (-3,6)点 A(-1,0)到点 M 的距离|MA|=2 10 .由于 C 、D 是线段 AB 垂直平分线上的两点 ,点 B 到点 M 的距离 等于点 A 到点 M 的距离 .这样点 A 、B 、 C 、D 到点 M 的距离均等于 2√10,因此四点 共圆规律总结 本题考查了直线、圆、双曲线的有关内容 ,是综合性 较强的一个题目；证明四点共圆时 ,要充分利用 CD 是直径这一隐含条 件.2直线 l:6x-5y-28=0 交椭圆 x 2 a C 两点,A(0,b)是椭圆的一个顶点 ,且△ABC 重心与椭圆的右焦点 F 重 合,求椭圆的方程 .答案 设 B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),设 BC 的中点D(x 0,y 0),F(c,0),A(0,b), 可 利用|AF|:|FD|=2:1,结合定比分点公式求得 x0=3 c,y0=- b. 由于点 D 在 BC 的直线上 ,则 18c+5b-56=0,①将 B 、C 两点坐标代入椭圆方程并作差(x 1 x 2)(x 1 x 2 )2 a 变式训练 3】 2 b y 2 =1(a>b>2)于B 、(y 1 y 2)(y 1 b 2 y 2)=0,2b 2∴KAB · y- b2,x 0a II∴ 2a 2=5bc.②由于 b 2+c 2=a 2③ ,由①②③可得 :41c 2-194c+224=0, ∴c=2 或 c= 112.41∵ a>b>2,∴c=2,从而 b=4,a 2=20,22∴椭圆方程为 : x y=120 16题型 4 最值及参数范围问题2例 4】在直线 l:x+y-4=0 上任取一点 M,过 M 且以椭圆 1x 6的焦点为焦点作椭圆 ,问 M 点在何处 ,所作椭圆的长轴最短 ,并求此椭 圆的方程.解析 椭圆的长轴的长的 2 倍即为椭圆上点到两焦点距离的和 , 这样,求过直线 l 上点 M 所作长轴最短的椭圆 ,即转化为求直线 l上一 点,使这点到两焦点 F 1、F 2 的距离之和最小 .答案 a 2=16,b 2=12, ∴c 2=a 2-b 2=4.1y2 =1的两焦点II故已知椭圆 x162y 2=112F 1(-2,0),F 2(2,0),过 F 2 向引垂直线l ′ :y=x-2,求出 F 2 关于 l 的对称点 F ′2, 则 F 2的坐标 (4,2)(如右图 ),直线 F 1F 2′ 的方程为 x-3y+2=0.x∴x 3y 2 0, 解得x y 4 0,y∴M 5,3即为所求的点 .22此时,|MF 1|+|MF 2|=|MF 1|+|MF ′2|=|F1F ′2|=2 10 .22设所求椭圆方程为 x 2 y2 =1,ab∴ a= 10,c=2,∴ b2=a2-c2=10-4=6，22∴所求椭圆方程为 x y=110 6规律总结 本题的实际几何意义是 :待求椭圆与已知直线 l 相切时，长轴最 短.5 2 5 322变式训练 4】从椭圆x 2y2=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线 ,ab恰好通过 椭圆的左焦点 F1,且其长轴端点 A 及短轴端点 B 的连线 AB 平行于 OM,若Q 为椭圆上任一点 ,F 2是右焦点 ,求∠F 1QF 2的最大值.解析 利用 OM ∥AB,得 a,b,c 的关系,由 cos ∠ F 1QF 2的取值范围 确定∠ F 1QF 2的最大值 .答案 如右图,点M 的坐标为(-c, b),a因为 OM ∥ AB,所以 k CM =k AB , ∴ - b b,即 b=c,a= 2 c.a ac设|QF 1|=m,|QF 2|=n, ∠ F 1QF 2= 由余弦定理 ,得2 2 2| QF 1 |2|QF 2 |2|F 1F 2 |22|QF 1 |?|QF 2 |2b-1≥ mn (m n )2(2)当|QF 1|=|QF 2|时,等号成立.∴ 0≤ cos ≤ 1.∴ 的最大值为 ,2cos 2b 2(m n)22mn 4c 2= 4b 22mn2mn 2mn2b 2-1=0.即∠F 1QF 2的最大值为 2 . 例 5】已知双曲线x 2y2=1(a>0,b>0)的离心率е =2 3,过点a b 3A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 23.(1)求双曲线的方程；(2)直线 y=kx+m(k ≠0,m ≠0)与该双曲线交于不同的两点 C,D,且C,D 两点都在以 A 为圆心的同一圆上 ,求 m 的取值范围 .解析 (1)依条件建立 ab 的关系,求 a 2,b 2；(2)利用直线与圆锥曲线有交点的条件 ,结合韦达定理作转化2∴双曲线的方程为 x 3-y 2=1.(2)把直线方程 y=kx+m 代入双曲线方程 ,并整理得 (1-3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0.因为直线与双曲线交于不同两点 , 所以1 3k0,2 0,即 k 2≠13,且 m 2+1-3k 2>0.设 C(x 1,,y 1),D(x 2,y 2),则 x 1+x 2=6km2, 1 3k y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m= 2m2,1 3k 2设 CD 中点为 P(x 0,y 0), 其中则依题意 ,AP ⊥ CD,答案 (1)由题设 , 得b 22aaba 2b 24,3 解得 a 2=3,b 2=1 ，3, 2,m 2 1∴kAP= 1 3k2=- 1,3km k1 3k2整理得3k2=4m+1. ②将②式代入①式得m2-4m>0,∴ m>4,或m<0,k2≠ 1 ,3k2≠1,3∴ 4m+1≠ 1,即m≠ 0.又3k2=4m+1>0,即m>=- 1 ,4∴m 的取值范围为m>4,或-4<m<0.规律总结(1)应熟练掌握研究直线与圆锥曲线相交问题的一般方法；(2)第(2)小题中注意将点C、D 都在以 A 为圆心的同一圆上的条件转化为AP⊥CD,进而转化为斜率关系,同时掌握设点不求点的处理技巧.【变式训练5】已知椭圆的两个焦点为F1(0,-2 2 ),F2(0,2 2),离心率e=2 2 .3(1)求椭圆方程;(2)一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N, 且线段MN 中点的横坐标为- 1 ,求直线l 倾斜角的取值范围.2答案(1)∵c=2 2,ac 334,∴a=3,c=2 2, ∴b 2=1.2∴椭圆方程为 y+x 2=1.9(2)设 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),且 MN 中点为 P(- 1,y 0),22 k MN =k(k ≠0),则 y1+x 12=1, y2 +x 22=1.相减,得( y 1y 2)(y1919 29+(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0.y 1 y 29(x 1 x 2) ,∴y0= 9x 1 x 2y 1 y 2 2k∴k> 3或 k<- 3.∴直线 l 倾斜角的取值范围是 3,2规律 方法 总结(1) 直线与圆锥曲线的位置关系问题可消元构造一元二次方程利用判别式来解决 ,并应注意讨论 ,不要漏项 ,也可利用图形的性质来 解决.(2)涉及圆锥曲线的弦长 ,一般用弦长公式 |AB|= 1 k 2|x1-x2|=3由于点(- 21 , 29k )在椭圆 y 9 +x2=1 内部,y 2)92?1(2k)2914<1,∴k 2>3,|y1-y2|,弦过焦点时,也可用定义或焦点弦来解决.(2) 解决弦的中点问题常用方法:一是用韦达定理及中点坐标公式的构造.二是利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造出中点坐标和直线的斜率.(4) 设而不求的方法,是直线与圆锥曲线位置关系的常用方法.(5) 有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般采用假设反证法”或“假设验证法” ,同时要注意直线与圆锥曲线的交点是否存在,即判断△与0 的关系.定时巩固检测第 1 课时直线与圆锥曲线的位置关系基础训练1. 过点A(-p,p) 作直线l 与抛物线y2=2px 仅有一个公共点的直线共有( )A.1 条B.2 条C.3 条D.不能确定【答案】 C(点拨 :注意有一条直线与抛物线的对称轴平行 .)2. 直线 l:y=k(x- 2)与曲线 x 2-y 2=1(x>0)相交于 A 、B 两点,则直线l 的 倾斜角范围是 ( )A.[0, π)B.( , )∪( ,3)2 2 2 43C.[0,2)∪(2,π)D.( 4, 4 )【答案】 D(点拨:当直线 l 与 x 轴垂直时符合题意；另外 ,直线 l 的斜率必须满足 k>1 或 k 1<-1)223. 直线 y=kx+1 与椭圆 x y=1 恒有公共点 ,且椭圆焦点在 x 轴上 ,则 5mm 的取值范围是 .【答案】 1≤m<5(点拨:直线 y=kx+1 过定点(0,1),该点应在椭圆的内 部 (含短轴的端点 ).)4. 直线 x+y=1 与椭圆 mx 2+ny 2=1 相交于 A 、B 两点 ,过 A 、B 中点和 坐标原点的直线的斜率为 2,则 m的值为.2n【答案】 2(点拨:利用点差法处理 .)2能力提升5. 设直线 y=k(x+3) 与抛物线 y=ax 2交于 A(x1,y1) 、 B(x2,y2)两点,则1 1 的值是 ( )x 1 x2B.133D. 不能确定与k 的值有关答案】 A(点拨 :将直线的方程代入抛物线方程中 ,利用韦达定理 解决.)226. 已知双曲线方程 x y=1,.是否存在直线 l, 使 N(1, 1)为 l 被双曲线 4 2 2所截弦的中点 .若存在 ,求出直线 l 的方程；若不存在 ,请说明理由 .【答案】 假设过 N 的直线交双曲线于 A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则12,22,得:2x 2-4x+9=0,△ <0, y 2 12所以无实根 ,因此直线 l 与双曲线无交点 ,这一矛盾说明满足条件的直 线 l 不存在.2y2 =1(a>b>0)相交于 A 、B 两点 ,且线段 bAB 的中点在直线 l:x-2y=0 上 .(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x 2+y 2=4上,求此椭圆 的方程 .答案】 (1)设A 、B 两点的坐标分别为 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).x1 y11,①42 22x2 y21,②42(y 1 y 2)(y 1y 2) =0，2 2 作差得(x 1 x 2)(x 1 x 2)所以 k AB = y 1y 2=1,∴l 为:y=x- 1 ，但由 x 1 x 2 227.已知直线 y=-x+1 与椭圆 x2 ay x 1,则由 x 2y 2得 :(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2-a 2b 2=01a 2b 21根据韦达定理 ,得22由已知得 2a2 2b2=0,∴,a 2-2b 2=2(a 2-c 2), a 2b 2a 2b 2∴a 2=2c 2,故椭圆的离心率为е(2)由 (1)知 b=c,从而椭圆的右焦点坐标为 F(b,0),设 F(b,0)关于直线 l:x-2y=0 的对称点为 (x 0,y 0),则y 00?1=-1且 x 0b-2× y=0, x 0 b 2 2 2解得 x 0=3b 且 y 0由已知得 x 02+y 02=4,5∴ (3b)2(4)2=4,∴ b 2=4,5522故所求的椭圆方程为 x y=1.848. 若抛物线 y=x 2上存在两点 P,Q 关于直线y=m(x-3)对称,求实数 m 的取值范围 .【答案】 如右图,设 P(x1,x 12),Q(x2,x 22 ),22k= x1 x2=x1+x2=- 1,线段 PQ 的中点坐标 x x 1x 2 m中=x 1x2+2=-12 2mx 1+x 2= 2a 2a 2b 2,y 1+y 2=-(x 1+x 2)+2=2b 2 a 2 b 2∴线段 AB 的中点坐标为b 2过这两点的直线的斜率为又由y=m（x3） y 中=m（- 1 -3）=-m（1 +3）,由于中点总在抛物线之内2m 2m部,∴ -m（1 +3）>（- 1）2（横坐标为- 1的抛物线上的点的纵坐标）,从而有2m 2m 2m112m3+2m2+1<0,即m<- 1 .2第 2 课时直线与圆锥曲线位置关系的应用基础训练21.直线y=x+b（b为参数）被椭圆x +y2=1截得的弦长的最值是（）4A.2B.455C.4510 D.8 10D.5答案】C（点拨:设直线与椭圆的交点为A(x 1,y1),B(x2,y2),由y x b,2x4y 21,消去y 得5x2+8bx+4b2-4=0,x1+x2=-8b ,x1x2= 4b245,|AB|= 1 1(x1 x2)24x1x2 = 2 624b516b516= 452b25≤4510 ,所以所求最大值为4510 .）2 2.过原点的直线与椭圆x2a2y2 =1(a>b>0)相交于A、B两点,若F(-c,0) b是椭圆的左焦点,则△ FAB 的最大面积是（）【答案】 A(点拨:S △FAB =1c|yA-yB|,因为|yA-yB| max =2b,所以 S △FAB的最大值为 1· c ·2b=bc.)23. 设 P(8,1)平分双曲线 x 2-4y 2=4的一条弦 ,则这条弦所在的直线方程答案】 2x-y-15=0(点拨:设弦所在直线的方程为 y-1=k(x-8), 由4,消去 y 得(1-4k 2)x 2-8(1-8k)kx-4(1-8k)2-4=0,由 x 1+x 2=8),8(1 8k 2)k=16得 k=2,所以所求直线的方程为 2x-y-15=0.)1 4k4.抛物线 x 2= 1y 上两点 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线 l:y=x+m 对称 ,若1 x 1x 2=- ,则 m= .21(x2+x1)(x2-x1)= 1(y2-y1) 2x0=(-1),11∴ x0=- 1y0=- 1+m,442又 y0=y 1y2=x 12 +x 22=(x1+x2)2-2x1x2= 121 52 1 22 2 4∴m=3.能力提升5. 直线 y=x+3 与曲线 y xx=1944y 21 k(x答案】2 x1设AB 中点 M(x 0,y 0),点 M 在 l 上,kAB=-1, 2 x212 y 1 1 2 y 2A. 没有交点B.只有一个交点椭圆在 y 轴的左侧部分 .)226.椭圆 x2 + y2 =1,(a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P 、Q 且 OP ⊥OQ(O ab为坐标原点 ),求证: 12+ 12等于定值 . a 2 b 2【答案】由x 2 2y 12 02,2 2消去 y 得(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2(1-b 2)=0,b 2x 2 a 2 y 2 a 2b 2,∵有两个交点 ,△>0,即 4a 4-4(a 2+b 2)a 2(1-b 2)>0,即 b 2(a 2+b 2-1)>0,∵ b ≠0,∴a 2+b 2>1 设 P(x 1,y 1),Q ( x 2,y 2),则2 2 22a2a 21 b 2x 1+x 2= 2 2 ,x 1x 2= 2 2 ， ab a b由 OP ⊥OQ 得 x 1x 2+y 1y 2=0,又 y 1=1-x 1,y 2=1-x 2 得:2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=0,2 2 2∴2a 221 b22-22a22+1=0，2 2 2 2a b a b化简得:a 2+b 2=2a 2b 2,故 12+ 12=2 为定值.a 2b 27. 设抛物线 x 2=-y 与直线 y=3x-4 交于 M 、N 两点,点 P 在抛物线上由 M 到 N 运动(1)求△PMN 的面积取得最大值时 P 点的坐标 (x 0,y 0)； (2)证明:与线段 MN 平行的直线和抛物线交于 A 、B 两点,则 线段 AB 被直线x=x 0 平分C.有两个交点D.有三个交点答案】 D(点拨:曲线 y 9 x 4x=1 的图象是双曲线的 y 轴右侧部分和由于-4<x<1,当 x=- 3时,d 达到最大,此时 y=- 9,故 P 点坐标为(-3,- 9)2 4 2 4(2)设与 MN 平行的直线截抛物线的弦 AB 所在直线为 :y=3x+b.由y 23x b,得x2 yx 2+3x+b=0,则由△ >0 得 b<94令 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x 1+x 2=-3,即 AB 中点的横坐标为 -3,即线段AB被直线 x=- 3平分.28. 过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 的直线与这条抛物线交于 A 、B 两点 ,O 为坐标原点 .(1)△ AOB 的重心 G 的轨迹方程 ;(2)当直线 l 的倾斜角为 45?时 ,试求抛物线上一点 P 的坐标 ,使 AP ⊥ BP【答案 】(1)抛物线的焦点坐标为 (1,0).当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 l:y=k(x-1),代入 y 2=4x 得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0∵与抛物线相交于两点 ,∴ k ≠ 0【答案】(1)由xy,得:x1=-4,x 2=1,即 M(-4,-16,N(1,.-1),因此∣ MNy 3x 4∣=5 10,要使 S △PMN 的面积最大 ,只需 P 到直线 MN 的距离最大 , 令 P(x,y),3 2 25 x2410 ,d=d=3x-y-410 3x x 2-410设A(x 1,y1)、B(x2,y2),根据韦达定理第22页/共23页x1+x2= 2 k22k2,x1x2=1y1 y2kx1kx2,从而y1+y2=k(x1+x2-2)=4,ky1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4x 设△ AOB 的重心G(x,y)则y 0 x1 x230 y1 y23243 3k 243k消去k并整理得y2=34x 89当l 垂直于x轴时,A、B 的坐标分别是(1,2)和(1,-2)△AOB 的重心G( 2 ,0)也透合y2=4x 83 3 9因此所求轨迹方程为y2=34x 89(3) 当直线l 的倾斜角为4?时,k=1∴x1+x2=6,y1+y2=4设抛物线的准线上一点P(-1,y0)∵ AP⊥BP.∴ y1 y0? y2 y0=-1，x1 1 x2 12即y1y2yy1y2y0 =-1x1x2 x1 x2 124 4yy0=-11 6 1=-14)解得y0=2,故所求点P的坐标为(-1,2)。

2.2 直线和圆锥曲线的参数方程2.2.2 圆的参数方程 2.2.3 椭圆的参数方程 2.2.4 双曲线的参数方程1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程.(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题.(难点)教材整理1 圆的参数方程 1.标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点，半径为r ，设点P (x ，y )是圆周上任意一点，连结OP ，令OP 与x 轴正方向的夹角为α，则α唯一地确定了点P 在圆周上的位置.作PM ⊥Ox ，垂足为M ，显然，∠POM ＝α(如图2­2­3).则在Rt△POM 中有OM ＝OP cos α，MP ＝OP sin α，图2­2­3即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数).这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程.参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角.2.一般圆的参数方程以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆，普通方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数，a ，b 是常数).填空：(1)圆心为(2,1)，半径为2的圆的参数方程是________. (2)在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α(α为参数)中，圆的圆心是________，半径是________.(3)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)上的点到O (0,0)的距离的最大值是________，最小值是________.【解析】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数).(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0)，半径为1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1)，半径为1. ∵圆心到原点的距离为2，∴最大值为2＋1， 最小值为2－1.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)(2)(－1,0) 1 (3)2＋1 2－1教材整理2 椭圆与双曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).参数φ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角. (2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式，如x －x 02a 2＋y －y 02b 2＝1(a ＞b ＞0)，参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数).2.双曲线的参数方程当以F 1，F 2所在的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0).此时参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数).其中φ∈预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：圆(x －r ＝φ为参数，求圆的参数方程.【精彩点拨】 根据圆的特点，结合参数方程概念求解.【自主解答】 如图所示，设圆心为O ′，连结O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.1.确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.2.由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程.1.已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【解】 设中点M (x ，y ).则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，这就是所求的轨迹方程.它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.如图2­2­4所示，已知点M 是椭圆a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，A (a,0)和B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值.图2­2­4【精彩点拨】 本题可利用椭圆的参数方程，把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解.【自主解答】 M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，由椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，故可设M (a cos φ，b sin φ)，其中0＜φ＜π2，因此，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA ·y M ＋12OB ·x M ＝12ab (sin φ＋cos φ)＝22ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4.所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 面积的最大值为22ab .本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，这是解题的突破口和关键，用椭圆的参数方程，将面积表示为参数的三角函数求最大值，思路顺畅，解法简捷，充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性.2.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴的正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，(O 为原点)，求离心率e 的范围.【导学号：12990024】【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0)，则椭圆上的点P (a cos φ，b sin φ)，A (a,0). ∵OP ⊥PA ，∴b sin φa cos φ·b sin φa cos φ－a＝－1，即(a 2－b 2)cos 2φ－a 2cos φ＋b 2＝0， 解得cos φ＝1(舍去)或cos φ＝b 2a 2－b 2.∵－1≤cos φ≤1， ∴－1≤b 2a 2－b 2≤1.又椭圆离心率0＜e ＜1.从而22≤e ＜1.1F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2­2­5【精彩点拨】 将双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos φ，y ＝tan φ，再利用三角运算进行证明.【自主解答】 因为双曲线的方程为x 2－y 2＝1， 所以设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ.∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1， |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－22＋tan 2φ ＝2cos 2φ－22cos φ＋1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP |2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1，∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.1.与双曲线上点有关的问题，常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题.2.对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题，常将其化为普通方程后，再求解.3.求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.【证明】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b22φ－tan 2φa 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值).探究1 给定参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中a ，b 是常数.(1)如果r 是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？(2)如果α是常数，r 是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？【提示】 (1)参数方程表示的曲线是以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆(r ≠0). (2)参数方程表示的曲线是过(a ，b )点，且倾斜角为α的直线. 探究2 圆的参数方程中，参数有什么实际意义？【提示】 在圆的参数方程中，设点M 绕点O 转动的角速度为ω(ω为常数)，转动的某一时刻为t ，因此取时刻t 为参数可得圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)，此时参数t 表示时间.若以OM 转过的角度θ(∠M 0OM ＝θ)为参数，可得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)，此时θ具有明显的几何意义.探究3 利用圆的参数方程表示其上任意点坐标时有什么优越性？【提示】 将其横纵坐标只用一个参数(角)来表示，可将与点的坐标有关的问题转化为三角问题求解.设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C .(1)判断C 与直线x ＋3y －2＝0的位置关系； (2)求曲线C 上的动点到原点O 的距离的最小值；(3)点P 为曲线C 上的动点，当|OP |最小时(O 为坐标原点)，求点P 的坐标； (4)点M 是曲线C 上的动点，求其与点Q (－1，－3)连线中点的轨迹. 【精彩点拨】 本题考查圆的参数方程的应用，以及运算和转化与化归能力. (1)利用圆心到直线的距离与半径的关系判断. (2)设P 的坐标表示出|OP |，利用三角函数知识求最值. (3)利用(2)取最小值的条件即可.(4)设出点M 的坐标，进而表示出MQ 中点坐标，即得轨迹的参数方程.【自主解答】 (1)曲线C 是以(1，3)为圆心，半径为1的圆，则圆心(1，3)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|1＋3×3－2|12＋32＝1，故直线和圆相切. (2)设圆上的点P (1＋cos θ，3＋sin θ)(0≤θ<2π). |OP |＝＋cos θ2＋3＋sin θ2＝5＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3， 当θ＝4π3时，|OP |min ＝1.(3)由(2)知，θ＝4π3，∴x ＝1＋cos 4π3＝12，y ＝3＋sin4π3＝32，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (4)设MQ 的中点为(x ，y ).∵M (1＋cos θ，3＋sin θ)，Q (－1，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ－12＝12cos θ，y ＝－3＋3＋sin θ2＝12sin θ(θ为参数).所以中点轨迹是以原点为圆心，12为半径的圆.1.与圆的参数方程有关的问题求解时，可直接利用参数方程求解，也可转化为普通方程问题求解.2.与圆上点有关的距离最值问题，需建立目标函数求解时，常利用圆的参数方程，将圆上的点用角表示，从而将待求最值，转化为三角函数的最值问题求解，但要注意参数θ的取值范围.4.如图2­2­6，设矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4)，点A 在圆x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)上移动，且AB ，AD 两边分别平行于x 轴，y 轴.求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标.图2­2­6【解】 设A (3cos θ，3sin θ)(0＜θ＜90°)，则|AB |＝4－3cos θ，|AD |＝4－3sin θ，∴S ＝|AB |·|AD |＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θsin θ.令t ＝cos θ＋sin θ(1＜t ≤2)，则2cos θsin θ＝t 2－1.∴S ＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋72，∴t ＝43时，矩形ABCD 的面积S取得最小值72.此时⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝43，cos θsin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4±26，sin θ＝4∓26.∴对应点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22或 ⎝⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22.1.圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )【导学号：12990025】A.(0,2)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(2,0)【解析】 由圆的参数方程知，圆心为(2,0). 【答案】 D2.圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)【解析】 圆心在点C (a ，b )，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π)).故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π).【答案】 D3.曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________.【解析】 由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e ＝c a ＝23.【答案】 234.双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________.【解析】 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0).【答案】 (－5,0)，(5,0)5.能否在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小.【解】 设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝23sin φ(φ是参数，0≤φ＜2π).则d ＝|4cos φ－43sin φ－12|5＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3－3，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝1时， 即φ＝53π时，d min ＝455，此时对应的点为(2，－3).我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)11。