江苏省海门市包场镇高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的斜率(2)导学案(无答案) 新人教A版必修2

设 直 线 l1：3 x＋ 4 y＋ 5 ＝ 0的 倾 斜 角 为 ，
则 tan＝ － 3 ， 且 ＝ 2 . 4
由
ta n ＝
tan 2 ＝
1
2 ta n tan 2
＝
－
3 4
，
得
tan ＝
－
1 3
或
3
若 tan＝ － 1 ， 则 90 180 3
从 而 1 8 0 3 6 0 ， 不 合 题 意 ， 所 以 k＝ ta n ＝ 3.
(3 y1
y1
10 (8
) 2
x
2
x )
20 2
,
解
得
x y
2 1
4 2
所 以 A、 B的 坐 标 分 别 为 A (－ 4 , 2 )、 B 4 , 0 ．
由 两 点 式 得 直 线 l的 方 程 为 y 0 ＝ x 4 2 0 4 4
即 x＋ 4 y－ 4 ＝ 0 .
2 设直线l的斜率为k.由题意知k 0. 因为直线l过点M 2,1，
所以直线l的方程为y－1＝k ( x－2)． 当y＝0时，得A点的坐标是(2－ 1 ，0)；
k 当x＝0时，得B点的坐标是(0,1－2k )．
则 MA ·MB ＝ 2 2 1 2 1 22 1 1 2k 2 k
＝
本题考查直线方程的基础知识和基本方 法，主要考查点斜式和两点式．第(1)问已知 直线过一定点，倾斜角又是已知直线的倾斜 角的一半，用三角函数公式可以把它们的斜 率联系起来，故而想到设点斜式方便一 些．应该注意的是，倾斜角是另一直线的倾 斜角的一半，并不意味着斜率也是一半！第(2) 问解法很多，本解法是用中点方法再结合两 点式，这样解决比较简便一些．

两条直线的交点总 课 题 两条直线的交点 总课时 第25课时 分 课 题 两条直线的交点分课时第 1课时教学目标会求两直线的交点，理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.重点难点 已知两直线相交求交点，用方程组的解研究两直线的位置关系. 引入新课1．若直线l 经过点)1,2()1,2(----a B a A ，，且与经过点)1,2(-C 且斜率为32-的直线 垂直，则实数a 的值是__________________．2．顺次连结)0,3(),3,6(),5,2(),3,4(--D C B A 四点所组成的图形的形状是____________． 3．设两条直线的方程分别是0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：：方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A一组 无数组 无解直线211,l 的公共点个数 直线211,l 的位置关系4．判断下列两条直线是否相交，若相交，求出他们的交点： （1）07237221=-+ =- y x l y x l ：，：； （2）0812*******=+- =+- y x l y x l ：，：； （3）32042421+-==++ x y l y x l ：，：．例题剖析直线l 经过原点，且经过另两条直线010832=--=++y x y x ，的交点，求直线l 的方程．变：求证：无论m 为何实数，l ：5)12()1(-=-+-m y m x m 恒过一定点，求此定点坐标． （1）已知直线l 经过两条直线020332=++=--y x y x ，的交点，且与直线013=-+y x 平行，求直线l 的方程．（2）已知直线l 经过两条直线024301022=-+ =+-y x y x ，的交点，且垂直于直线0423=+-y x ，求直线l 的方程．变：已知直线1l :310x my +-=，2l :3250x y --=，3l :650x y +-=， (1)若这三条直线交于一点，求m 的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m 的值．例1例2例 3 某商品的市场需求量1y （万件），市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件） 分别近似地满足下列关系：701+-=x y ，2022-=x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． （1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？巩固练习1． （1）两条直线0=-y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 平行的直线方程为_______________．（2）过直线042=+-y x 与直线05=++y x 的交点，且与直线02=-y x 垂直的直线方程是_______________．3．已知直线1l 的方程为03=++C y Ax ，直线2l 的方程为0432=+-y x ，若1l ，2l 的交点在y 轴上，则C 的值为 。

复习ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ固
两个点或者是一 个点和斜率或倾 斜角
• 1、哪些条件可以确定一条直线？
• 2、在平面直角坐标系中，过点P的任何一 条直线L，对X轴的相应位置有哪些情形？ 如何刻划它们的相对位置？
• 3、给定直线的倾斜角α，如何求直线的斜 率？
• 4、设α是直线的倾斜角，k为斜率，则当k 大于等于零，及k小于零时， α的范围是什 么
的斜率k。
y
p2
可以构造直角三角形，如
p1
图，P1D=x2-x1，
α D
DP2=y2-y1，
α o
所以：tan
k
y2 y1 x2 x1
x
（其中 x2≠x1）
？你发现P1P2两点所在的位置有什么特点吗？
？ P1P2两点不在同一象限或同在其它象限 是否也有同样的结论？
？对于任意两点，这个公式都可以用吗？
问题： 由此公式 tan
以解决哪些问题？
k y2 y1 x2 x1
可
1、已知p1，p2的坐标求k及
2、已知k及x1，x2，y1，y2中的三个，求第四个。
3、已知k及p1，p2的横坐标，求|p1p2|
4、已知一点和斜率可以画出图形。示例见P94页例2
看书P93～94 例1和例2 完成后面练习2、3、4题
例、已知两点A（0，5），B（-6，m）， 当直线AB的斜率为1时，求：
（1）m的值 （2）|AB|的长 解：略
答案：m=-1，
|AB|=6 2
直线的倾斜角与斜率（二 ）
【目标导学】
1、了解斜率公式的推导过程，
2、掌握过两点的直线的斜率公式
3、通过斜率概念的建立和斜率公 式的推导，帮助学生进一步理解数 形结合思想，培养学生树立辩证统 一的观点，培养学生形成严谨的科 学态度和求简的数学精神．

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：3.1.1 倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1. 通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养．1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°(范围) 斜率 (范围)(0，＋∞)不存在(－∞，0)(4)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1． 思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示] 不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l 与y 轴的夹角为45°，则l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．无法计算 B [根据倾斜角的定义知，l 的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( ) A.0° B ．45° C ．60° D ．90° A [∵k ＝04＝0，∴θ ＝0°.]3．已知经过两点(5，m )和(m ，8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( ) A.5 B ．8 C ．132D ．7C [由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132.]4．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33B ． 3C.1D ．22A [由题意可知，k ＝tan 30°＝33.]直线的倾斜角【例1】 设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[跟进训练]1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A.αB．180°－αC.180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率【例2】 (1)已知点A 的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝4，则点B 的坐标为( )A.(2，0)或(0，－4) B ．(2，0)或(0，－8) C.(2，0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.(－1，0] B ．[0，1] C.[1，2]D ．[0，2](1)B (2)D [(1)设B (x ，0)或(0，y )，∵k AB ＝43－x 或k AB ＝4－y 3，∴43－x ＝4或4－y3＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2，0)或(0，－8).(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．[跟进训练]2．(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________． (2)过原点且斜率为33的直线l 绕原点逆时针方向旋转30°到达l ′位置，则直线l ′的斜率为________．(1)－5 (2)3 [(1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1，又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5.(2)k ＝33时，即tan α＝33，α＝30°，绕原点按逆时针旋转30°到l ′位置时，x l ′＝60°.这时k l ′＝tan 60°＝ 3.]直线倾斜角与斜率的综合 [探究问题] 1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？ [提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2. 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？ [提示] 当k ＝tan α＜0时， 倾斜角α是钝角； 当k ＝tan α＞0时， 倾斜角α是锐角； 当k ＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.【例3】 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围[解] 如图所示，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为： 已知A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2).若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．[解] 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，又k AB ＝3－23－（－4）＝17，k AC＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． 2．利用斜率可解决点共线问题，点A ，B ，C 共线⇔k AB ＝k AC 或k AB 与k AC 都不存在． 3.y 2－y 1x 2－x 1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x 轴垂直于x 轴α的大小 0° 0°＜α＜90°90° 90°＜α＜180°k 的范围 0k ＞0 不存在k ＜0 k 的增减情况k 随α的增大而增大k 随α的增大而增大1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 C [由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．若经过A (2，1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)A [由题意知k AB ＞0，即m －11－2＞0，解得m ＜1，故应选A.]3．已知直线AB 与直线AC 有相同的斜率，且A (1，0)，B (2，a )，C (a ，1)，则实数a 的值是________．1±52 [依题意：k AB ＝k AC ，即a －02－1＝1－0a －1， 解得a ＝1±52.]4．已知交于M (8，6)点的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解] l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

直线的方程（二） 总 课 题直线与方程 总课时 第42课时 分 课 题 直线的方程（二） 分课时 第 2 课时教学目标 掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能正确理解直线方程一般式的含义；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式.重点难点掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式.引入新课1．直线的两点式方程：（1）一般形式：（2）适用条件：2．直线的截距式方程：（1）一般形式：（2）适用条件：注：“截距式”方程是“两点式”方程的特殊形式，它要求直线在坐标轴上的截距都不为0．3．直线的一般式方程：4．直线方程的五种形式的优缺点及相互转化：思考：平面内任意一条直线是否都可以用形如()00不全为，B A C By Ax =++的方程来表示？例题剖析 例1 三角形的顶点()()()303405 - -，，，，，C B A ，试求此三角形所在直线方程．例2 求直线01553=-+ y x l ：的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图．例3 设直线l 的方程为062=+-+m my x ，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是3-； （2）直线l 的斜率是1； （3）直线l 与y 轴平行．例4 过点()21，的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于B A ，两点， 当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．巩固练习1． 由下列条件，写出直线方程，并化成一般式：（1）在x 轴和y 轴上的截距分别是23，－3； （2）经过两点P 1（3，－2），P 2（5，－4）．2．设直线l 的方程为()00不全为，B A C By Ax =++，根据下列条件，求出C B A ，，应满足的条件：（1）直线l 过原点； （2）直线l 垂直于x 轴；（3）直线l 垂直于y 轴； （4）直线l 与两条坐标轴都相交．课堂小结掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式．课后训练 班级：高一（ ）班 姓名：____________ 一 基础题 1．下列四句话中，正确的是（ ）A ．经过定点()000y x P ，的直线都可以用方程()00x x k y y -=-表示； B ．过任意两个不同点()()222111y x P y x P ，，，的直线都可以用 方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；C ．不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示； D ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程b kx y +=表示．2．在x 轴、y 轴上的截距分别为32 -，的直线方程是（ ）A ．0632=--y xB ．0623=--y xC ．0623=+-y xD ．0632=+-y x3．如果直线12=+y x 的斜率为k ，在x 轴上的截距为a ，则k = ，a = ．4．过点()13 ，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 ． 5．直线()00126≠=--a a y ax 在x 轴上的截距是它y 轴上的截距的3倍，则a = ．6．已知点()121- -m P ，在经过()()4312 - - ，，，N M 两点的直线上，则=m ． 7．已知B A ，是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程为 ．8．已知两点()()4003 ，，，B A ，动点()y x P ，在线段AB 上运动，则xy 的最大值是 ，最小值是 ．9．倾斜角πα32=直线l 与两坐标轴围成的三角形面积S 不大于3，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围为 ．二 提高题10．分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形面积：（1）0632=--y x ； （2）253--=y x ．11．求经过()()1432- -，，，B A 的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．三 能力题12．设直线l 的方程为()()306232≠=+--+k k y k x ，根据下列条件分别确定k 的值：（1）直线l 的斜率是1-；（2）直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0．13．设直线l 的方程为()23+=-x k y ，当k 取任意实数时，这样的直线具有什么共有的特点？14．已知两条直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 都过点()21，A ， 求过两点()111b a P ，，()222b a P ，的直线的方程．。

3．1.1 倾斜角与斜率[提出问题]在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系倾斜角α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°直线对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.[提出问题]日常生活中，常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞22. 问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等．[导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率． 3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[化解疑难]1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1. (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．[例1] (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( )A．30°B．60°C．30°或150° D．60°或120°(2)下列说法中，正确的是( )A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α[解析] (1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.(2)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.[答案] (1)D (2)D[类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[活学活用]1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( ) A．[0°，90°)B．[90°，180°) C．(90°，180°) D．(0°，180°)解析：选C 直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°解析：选D 当0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l 1的倾斜角为α－135°，故应选D.[例2] (1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________；(2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________；(3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________．[解析] (1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1，又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5. (2)由斜率公式k ＝4－m m ＋2＝1，得m ＝1. (3)当m ＝3时，直线AB 平行于y 轴，斜率不存在．当m ≠3时，k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1，解得m ＝0.[答案] (1)－5 (2)1 (3)0[类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．[活学活用]3．(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α，直线斜率k＝2＋3－24－1＝33，∴tan α＝3 3 .又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.[例3] 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP的斜率，且k OA＝2，k OB＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23. [类题通法]根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．[活学活用]4．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围． 解：y ＋1x ＋1＝y －－1x －－1的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16， ∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]． [典例] 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围________；直线l 的斜率k 的取值范围________．[解析] 如图，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB＝2－03－1＝1，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，∴直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.[答案] 45°≤α≤135° k ≤－1或k ≥1[易错防范]1．本题易错误地认为－1≤k ≤1，结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k PA .2.如图，过点P 的直线l 与直线段AB 相交时，因为过点P 且与x 轴垂直的直线PC 的斜率不存在，而PC 所在的直线与线段AB 不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即k PA ≤k ≤k PB .解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．[成功破障]已知直线l 过点P (3,4)，且与以A (－1,0)，B (2,1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线PA 的斜率k PA ＝4－03－－1＝1，直线PB 的斜率k PB ＝4－13－2＝3，∴要使直线l 与线段AB 有公共点，k 的取值范围为[1,3]．[随堂即时演练]1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( )A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)解析：选D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确．2．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( )A ．5B ．8C.132 D ．7解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132. 3．直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．解析：k l ＝1－0－1－0＝－1， 因此倾斜角为135°.答案：135°4．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a ＝9a ＋75，∴a ＝2或29.答案：2或29 5．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1.∴k AC ＝－m ＋3－4m ＋1，k BC ＝m －1－42－－1. ∴－m ＋3－4m ＋1＝3·m －1－42－－1. 整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)，即(m ＋1)(m －4)＝0，∴m ＝4或m ＝－1(舍去)．∴m ＝4.[课时达标检测]一、选择题1．给出下列说法，正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( )A ．－32B.32 C ．－1D ．1 解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.3.如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．4．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1解析：选C ∵直线l 的倾斜角为锐角，∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1.5．(2012·广州高一检测)如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．(0,3]解析：选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．二、填空题6．已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________.解析：若平面内三点共线，则k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，整理得a 2－2a －1＝0，解得a ＝1＋2，或a ＝1－2(舍去)． 答案：1＋27．如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°. 答案：30°8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 三、解答题9．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α，当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°，当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1， 当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°， 当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角， 90°＜α＜180°.所以α∈(0°，180°)，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．10．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)，(1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53. (2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.。

高中数学第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1.1 倾斜角与斜率一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率"是人教版数学必修2第三章第一节的内容,是高中解析几何内容的开始。

这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。

其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X 轴正方向所成的角和角的正切值.之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础.通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率3、掌握过两点的直线的斜率公式.目标解析：1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X 轴为基准，直线与X 轴相交时，X 轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

直线的斜率（一）总课题 直线与方程 总课时 第39课时 分课题直线的斜率（一）分课时第1课时教学目标 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.重点难点 理解直线的斜率，感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系. 引入新课1．练习：（1）已知直线l 过点（0，0），（1，1），求l 的方程．（2）已知直线l 过点（1，1），（2，0），求l 的方程．2．确定直线位置的要素除了点之外，还有直线的倾斜程度．通过建立直角坐标系，点可以用坐标来表示．那么直线的倾斜程度如何来刻画呢？3、楼梯或路面的倾斜程度可用坡度来刻画，对于直线我们可用类似的方法来刻画直线 的倾斜程度——斜率．4、直线的斜率的定义：（1）已知两点()11y x A ，、()22y x B ，． 如果21x x ≠，那么直线AB 的斜率为=k ； 如果21x x =，那么直线AB 的斜率．（2）对于与x 轴不垂直的直线AB ，它的斜率也可以看作是==横坐标的增量纵坐标的增量k = ．注意：直线斜率公式与两点在直线上的位置及顺序无关． 例题剖析例1 如图，直线l 1，l 2，l 3，都经过点P （3，2），又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1（－2，－1），Q 2（4，－2），Q 3（－3，2），试计算直线l 1，l 2，l 3的斜率．归纳总结：例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：（1）43；（2）54．例3 证明三点A （－2，12），B （1，3），C （4，－6）在同一条直线上．变式：已知两点A （1，－1），B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，求实数a 的值．例4 已知直线经过点P （a ，1），Q （3，－3），求直线PQ 的斜率．巩固练习1．分别求经过下列两点的直线的斜率． （1）()()5432 ，，，； （2）()()1232 -，，，； （3）()()1213- - -，，，； （4）()31 -，，（33- ，）2．根据下列条件，分别画出经过点p ，且斜率为k 的直线． （1）()21 ，P ，3=k ； （2）()42 ，P ，43-=k ； （3）()31 -，P ，0=k ； （4）()02 -，P ，斜率不存在． 3．分别判断下列三点是否在同一直线上．（1）()()()735220 ，，，，，；（2）()()()521241- -，，，，，． 课堂小结 掌握过两点的直线的斜率公式． 课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．经过点()()2112- -，，，N M 的直线的斜率为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2、已知()()()y C x B A - -，，，，，2211为直线l 上的三点，若直线l 的斜率为2， 则=x ___________，=y ___________．3、经过两点()()m B m A 316 -，，，的直线的斜率为12，则m 的值为___________．4、已知直线l 的斜率为2-，()11- ，A 为直线l 上的一定点，()y x P ，为直线l 上的动点，则y 关于x 的关系式是______________________．5、若直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位，再沿y 轴的正方向平移1个单位后，又回到 原来位置，则直线l 的斜率为______________________．6、已知点)34(- -，A ，y 轴上有一点B ，若2=AB k ，则B 点坐标为___________． 二 提高题7．设过点A 的直线的斜率为k ，试分别写出下列直线上另一点B 的坐标（答案不唯一）． （1）()214 =，，A k ；（2）()322- - -=，，A k ；（3）()4223- -=，，A k ；（4）()2334 - =，，A k ．8．已知平行四边形ABCD 四个顶点)21( -，A ，)31( -，B ，)32(- ，C ， )42(- ，D ， 试分别求四条边所在直线的斜率．三 能力题9．若三点()()()54732 -，，，，，C a B A 在同一条直线上，求a 的值．10．已知点)3()12(- ，，，m Q P ，求直线PQ 的斜率．。

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直线的倾斜角和斜率一、授课内容的数学本质和教学目标定位1、授课内容的数学本质本节课是人教版数学必修第一节直线的倾斜角和斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程,初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素,课本结合具体图形,在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度,倾斜角用几何位置关系刻画,斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。

建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。

倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

直线的斜率（2） 导学案学习目标1. 掌握直线的倾斜角的概念，了解直线的倾斜角的范围；2. 理解直线的斜率与倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率；3. 通过操作体会直线的倾斜角变化时，直线斜率的变化规律。

课前准备1． 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率。

（1）()1,1-，()3,2- ；（2）()1,2-，()5,2- ；（3）()3,4，()2,5-- ；（4）()3,0，( 。

2．过两点111,P x y ，222,P x y ，12x x 的直线斜率公式： 。

课堂学习一、重点难点1. 重点：直线斜率和倾斜角的定义及计算。

2. 难点：直线的斜率与倾斜角之间的关系。

二、知识建构引例1.过原点并且与x 轴正方向所成的角为45的直线1l 在平面直角坐标系中的位置确定了。

2.过2,0P 且与x 轴正方向所成的角为120的直线2l 在平面直角坐标系中的位置确定了。

直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把 绕着交点按 （顺、逆）时针旋转到和直线重合时所转过的 称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 。

倾斜角的范围： 。

直线的倾斜角与斜率的关系：当直线的倾斜角不等于 时，直线的斜率k 与倾斜角α之间满足关系 。

当倾斜角0α=时，斜率0k =；当090α<<时，斜率0k >，α增大时k 随之 ；当90180α<<时，斜率0k <，α增大时k 也是随之 。

三、典型例题例1：直线123,,l l l 如图所示，则123,,l l l 的斜率123,,k k k 的大小关系为 ，倾斜角123,,ααα的大小关系为 。

例2：（1）经过两点(2,3),(1,4)A B 的直线的斜率为 ，倾斜角为 ；（2）经过两点(4,21),(2,3)A y B +-的直线的倾斜角为120，则y = 。

例3：（1）已知直线l 的斜率)1,3[-∈k ，求倾斜角α的取值范围。

直线的斜率（一）总课题 直线与方程 总课时 第39课时 分课题直线的斜率（一）分课时第1课时教学目标 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.重点难点 理解直线的斜率，感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系. 引入新课1．练习：（1）已知直线l 过点（0，0），（1，1），求l 的方程．（2）已知直线l 过点（1，1），（2，0），求l 的方程．2．确定直线位置的要素除了点之外，还有直线的倾斜程度．通过建立直角坐标系，点可以用坐标来表示．那么直线的倾斜程度如何来刻画呢？3、楼梯或路面的倾斜程度可用坡度来刻画，对于直线我们可用类似的方法来刻画直线 的倾斜程度——斜率．4、直线的斜率的定义：（1）已知两点()11y x A ，、()22y x B ，． 如果21x x ≠，那么直线AB 的斜率为=k ； 如果21x x =，那么直线AB 的斜率．（2）对于与x 轴不垂直的直线AB ，它的斜率也可以看作是==横坐标的增量纵坐标的增量k = ．注意：直线斜率公式与两点在直线上的位置及顺序无关． 例题剖析例1 如图，直线l 1，l 2，l 3，都经过点P （3，2），又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1（－2，－1），Q 2（4，－2），Q 3（－3，2），试计算直线l 1，l 2，l 3的斜率．归纳总结：例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：（1）43；（2）54．例3 证明三点A （－2，12），B （1，3），C （4，－6）在同一条直线上．变式：已知两点A （1，－1），B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，求实数a 的值．例4 已知直线经过点P （a ，1），Q （3，－3），求直线PQ 的斜率．巩固练习1．分别求经过下列两点的直线的斜率．（1）()()5432 ，，，； （2）()()1232 -，，，； （3）()()1213- - -，，，； （4）()31 -，，（33- ，） 2．根据下列条件，分别画出经过点p ，且斜率为k 的直线．（1）()21，P ，3=k ； （2）()42 ，P ，43-=k ； （3）()31-，P ，0=k ； （4）()02 -，P ，斜率不存在． 3．分别判断下列三点是否在同一直线上．（1）()()()735220 ，，，，，；（2）()()()521241- -，，，，，． 课堂小结 掌握过两点的直线的斜率公式． 课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．经过点()()2112- -，，，N M 的直线的斜率为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-2、已知()()()y C x B A - -，，，，，2211为直线l 上的三点，若直线l 的斜率为2， 则=x ___________，=y ___________．3、经过两点()()m B m A 316 -，，，的直线的斜率为12，则m 的值为___________． 4、已知直线l 的斜率为2-，()11- ，A 为直线l 上的一定点，()y x P ，为直线l 上的动 点，则y 关于x 的关系式是______________________．5、若直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位，再沿y 轴的正方向平移1个单位后，又回到 原来位置，则直线l 的斜率为______________________．6、已知点)34(- -，A ，y 轴上有一点B ，若2=AB k ，则B 点坐标为___________． 二 提高题7．设过点A 的直线的斜率为k ，试分别写出下列直线上另一点B 的坐标（答案不唯一）．（1）()214 =，，A k ；（2）()322- - -=，，A k ；（3）()4223- -=，，A k ；（4）()2334 - =，，A k ．8．已知平行四边形ABCD 四个顶点)21( -，A ，)31( -，B ，)32(- ，C ， )42(- ，D ， 试分别求四条边所在直线的斜率．三 能力题9．若三点()()()54732 -，，，，，C a B A 在同一条直线上，求a 的值．10．已知点)3()12(- ，，，m Q P ，求直线PQ 的斜率．。

学
究直线及其几何性质(如直线的位置关系、夹角、点到直线的距离等）的基础。
内
通过本节内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步
容
渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的
分
应用知识。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
析
用坐标法解决几何问题是解析几何的主要目标，其本质是抽象的代数语言和直观的集合语言
何对应关系？ 新
程的解和直线 程的概念学
知
上的点的关系。 习 需 要 一 个
为 后 面 分 类 讨 过程，直线的
当学生归纳出方程的解和直线上的点存 论作准备。
方程和方程
在一一对应关系时，师生共同总结出直线的方
(2)学生准 的 直 线 概 念
约
程和方程的直线（幻灯片）：
确说出方程的 的描述中体
以一个方程的解为坐标的点都是某条直
知 定的，那么，如何用两点的坐标来表示直线 P1P2
(2)斜率公 问题（2）
的斜率呢？
式表明，直线对 引 导 学 生 从
于 x 轴的倾斜 不同的角度
第一步：提出两个问题
程 度 可 以 通 过 计算斜率，并
(1)如何求斜率 K？
直线上任意两 对学生进行
（当 时，由 k tan [0, ) ） 2
2 同学们还能定义别的表示直线倾斜程度 的量吗？
了，直线的方向 也就确定了，倾 斜角不同，直线
破。 3. 函 数
的应用应与
3 应用哪一个三角函数更能合理地表示直 线的倾斜程度？
的倾斜程度也 不同。那么所用 函数尽可能是
实际研究问 题的需要相 结合。只有这

直线的斜率与直线的方程【复习目标】：⒈理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、斜截式两点式、截距式和直线方程的一般式，确定一条直线需要两个独立的已知量，并能根据条件熟练地求出直线方程或用待定系数法求出直线方程中的未知量。

⒉在运用直线的斜率解题时，注意不要遗漏斜率不存在的情形；用到截距时，要注意“截距”是可正可负可为0的，截距不是距离。

且不要遗漏截距为零的情形。

⒊进一步掌握直线方程的几种形式及适用条件，能熟练地根据条件求出直线方程． ⒋一般式与其他几种形式的关系及其斜率、方向向量和在坐标轴上的截距． 【知识梳理】：⒈ 倾斜角：当直线和x 轴相交时，如果把x 轴绕着 按 方向旋转到和直线时所转的 叫这条直线的倾斜角记为θ．倾斜角θ的范围是 ． ⒉斜率：倾斜角为θ，90≠θ时，斜率k= ，90=θ时，斜率k 。

⒊斜率公式：若),(11y x A ),(22y x B 为直线上两点，则AB k = )(21x x ≠ ⒋直线方程的三种形式； ①点斜式； ，表示经过点 且斜率为 的直线，特例；y=kx+b 表示经过点 且斜率为 的直线，其中b 表示直线在y 轴上的 ，该方程叫直线方程的 。

②两点式； ．表示经过两点 ， 的直线。

特例：)0(1≠=+ab bya x 该方程叫直线方程的 ，a ，b 叫 。

③一般式；； ，（其中A 、B 不同时为0） 提醒：⒈在设直线方程形式前应进行斜率存在与不存在的讨论， ⒉要注意截距不是长度。

【教学过程】： 一、基础训练⒈直线l 的倾斜角为120°，则直线l 的斜率是 ， 若直线l 的方向向量是)1,3(=，则直线l 的倾斜角是 ，经过两点)2,3(-、)3,2(-的直线l 的斜率是 ，倾斜角是 . ⒉ 经过点)1,2(，且方向向量为)3,1(-=v 的直线l 的点斜式方程是 ， 斜截式方程是 . ⒊ 直线025tan=++y x π的倾斜角是 .⑵直线023cos =++y x α的倾斜角范围是 .⑶直线l 的倾斜角α范围是013545≤≤α，则斜率k 的范围是 .⑷将直线l 向右平移2个单位,再向下平移3个单位后与l 重合，则l 的斜率为 . 4.直线l ；02=+-y ax ，与连接)1,3(-A ，)4,1(-B 两点的线段相交，则a 的取值范围是 .5.若三点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,)(0)C b ab ≠共线，则11a b+的值等于___________. 6.已知直线1l 的方向向量是(1,)a m n =-+，直线2l 的斜率是21m n -+，直线3l 的斜率是22n m π-+，其中m 、n 都可取任何实数，则三条直线中倾斜角为钝角的条数最多是_____.7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,3)A 且法向量为(1,2,1)n =--的平面方程（点法式）为 .（请写出化简后的结果）8.如图所示，点集{(,)||||1|||2}x y x y -+=构成的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是______________二、典型例题例⒈根据下列条件求直线方程：⑴经过P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等⑵经过A(-1,-3)，倾斜角为直线y =3x 的倾斜角的2倍 ⑶直线03=+-y x 绕着点)3,0(D 逆时针方向旋转15 ⑷如果原点在直线l 上的射影为点),(b a )0(22≠+b a例⒉经过点)0,3(P 作直线l ，使它被两直线l 1：2x -y -2=0和l 2：x +y +3=0所截得线段AB 以P为中点，求此直线l 的方程．例3.已知ABC ∆的顶点)1,3(-A ，AB 边上的中线所在的直线的方程为059106=-+y x ，B ∠的平分线所在直线的方程为：0104=+-y x ，求BC 边所在直线的方程。

直线与方程复习一、知识回顾：1、 直线的斜率与倾斜角：2、 直线的方程：（1）点斜式： （2）斜截式：（3）截距式： （4）两点式：（5）一般式：3、 两直线的位置关系的判定：(1)平行： （2）垂直：（3）相交 ： （4）重合：4、 （1）平面上两点间的距离：（2）中点坐标： 重心坐标：5、 （1）点到直线的距离：（2）两平行间的距离：二、基础练习：1、 设m>0，斜率为m 的直线上有两点(m,3),(1,m)，则此直线的斜率为__________。

2、若直线14)()32(22-=-+-+m y m m x m m 在x 轴上的截距为1，则实数m 的值为___。

3、若直线x-2y+5=0与2x+my-6=0互相垂直，则实数m=_______。

4、过点A(4，a)和点B(5,b)的直线y=x+m 平行，则______=AB 。

5、若点（2，k ）到直线06125=+-y x 的距离是4，则k 的值是 。

6、已知两点)1,4(),2,1(B A ，在x 轴上求一点P ，使得BP AP +最小，则最小值为 ，点 P坐标 。

三、典例欣赏：例1：已知)0,3()0,1()3,0(C B A 、、-，求点D 得坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）例2：过点(2,1)（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；PA∙最小值时，求直线l的方程；（2）当PBOA+最小值时，求直线l的方程。

（3）求OBBC=80，AE=30，AF=20，应如何设计才能使草坪面积最大？例4：两平行直线分别过)3,1(),2,2(Q P --，它们之间的距离为d ，这两条直线各自绕着P 、Q 旋转并且保持互相平行。

（1）求d 的变化范围；（2）用d 表示这两条直线的斜率；（3）当d 取最大值时，求这两条直线方程。

四：课堂小结：五、课后巩固： 班级 姓名1、直线l 经过点(-2,2)且与直线y=x+6在y 轴上有相同的截距，则直线l 的方程为_ _。