高三第一次联考

2025届山东省高三第一次学业水平联合检测物理本试卷总分100分，考试时间90分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1.用平行单色光竖直向下照射一透明薄膜，形成的干涉图样如图所示。

相邻两亮条纹的中心间距依次为1d 、2d 、3d 、4d ……，已知1234d d d d >>>> 。

则该透明薄膜竖直截面的形状可能是（）A. B.C. D.2.用如图所示的电路研究光电效应，阴极K 为铝板，用某种频率的光照射阴极K ，将滑动变阻器的滑片自左端向右端缓慢滑动，发现电压表的示数为0.80V 时微安表的示数恰好为0。

保持入射光的频率不变，将阴极K 换成锌板，同样将滑动变阻器的滑片自左端向右端缓慢滑动，发现电压表的示数为1.66V 时微安表的示数恰好为0。

已知铝的逸出功约为4.20eV ，则锌的逸出功约为（ ）A.2.02eVB.3.34eVC.5.06eVD.8.72eV3.如图所示，水中的潜水员看到水面以上的所有景物都会处在一个倒立的圆锥内，已知该圆锥轴截面的顶角为α，光在真空中的传播速度为c 。

则光在水中的传播速度为（ ）A sin 2c α B.cos 2c α C.tan 2c α D.tan 2c α4.如图所示，光滑斜面的倾角为α，某时刻一可视为质点的小物体自斜面上的A 点以大小为v 0的初速度沿斜面抛出，一段时间后小物体到达与A 等高的B 点。

已知小物体的初速度与A 、B 连线的夹角为β，重力加速度为g 。

则A 、B 两点间的距离为（ ） A. 20sin sin v g βα B. 20sin 2sin v g βα C. 20sin sin v g αβ D. 20sin 2sin v g αβ5.2024年6月4日7时38分，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞。

浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题一、单选题1．已知复数121i,2i z z =-=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{1,1}- B ．{(1,1),(1,1)}- C ．(0,)+∞ D ．(0,1)3．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x a x =-+．若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞ 5．将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（ ）A ．20种B ．40种C ．80种D ．160种6．将函数()*π()cos N 12g x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，若()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则ω的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PFQ △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（ ） AB．1CD．18．已知0x 为函数222()e e ln 2e x f x x x =+-的零点，则00ln x x +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．已知非零向量,,a b c r r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．若()0a b c ⋅=r r r r ，则b c ⊥r rB ．若()(),a b a b +⊥-r r r r 则||||a b =r rC ．若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r rD ．向量()()a b c a c b ⋅-⋅r r r r r r 与向量a r 垂直10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中4AB =，M ，N ，D ，Q 分别为棱111,,,AB AC B C AA 的中点，DQ QM ⊥，则以下结论正确的是（ ）A ．11//BC 平面QMNB ．1AAC ．点Q 到平面DMND ．三棱锥D QMN -的外接球表面积为131π1811．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ,1FA FB 〈〉=-u u u r u u u r ，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为12,k k ，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是（ ）A ．若4AF BF +=，则1AF BF ⋅=-u u u r u u u rB ．直线PN 的倾斜角π4α≥ C ．若122k k +=，则直线AB 的方程为10x y -+= D ．||MF 的最小值为2三、填空题12．已知1πsin ,cos()26ααα=+=． 13．已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg ，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W （kg ）作为样本，则样本的方差为．14．“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为2100414347⨯+⨯+⨯=；四进制数0033转换为十进制数为32100404343415⨯+⨯+⨯+⨯=；四进制数1230转换为十进制数为321014243404108⨯+⨯+⨯+⨯=；现将所有由1，2，3组成的4位（如：1231，3211）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为．四、解答题15．如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC V 是正三角形，1A A ⊥平面ABC ，111224AB A A AC ===，M ，N 分别为棱1,AB B B 的中点.(1)证明：1B B ⊥平面MCN ；(2)求直线1C C 与平面MCN 所成的角的正弦值.16．已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.(1)求实数b 的值；(2)证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；(3)若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．17．如图，四边形ABCD 中，1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=．(1)求BAD ∠；(2)P 为边BC 上一点，且PCD △ABP V 的外接圆半径．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P 在椭圆上，且直线1PF 与2PF 的斜率之积为23-． (1)求C 的方程；(2)直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于M ，N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ． （ⅰ）若A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，求直线l 的方程；（ⅱ）若点B 与点1F 重合，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求1||||MN QF 的值． 19．密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n ，将小于等于n 且与n 互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为n a ．(1)求数列{}n a 的前5项和；(2)求2(N )n a n *∈的表达式和3137a ⨯的值；(3)记22()nn n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明16n S <．。

2025届高三第一次校际联考政 治 试 题注意事项：1.本试题共6页，满分100分，时间75分钟。

2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。

第Ⅰ卷(选择题 共48分)一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，计48 分。

下列各题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.19 世纪上半叶，随着生产力的发展，资本主义社会已呈现泾渭分明的两极对垒，出现激烈的阶级斗争。

无产阶级已表露出建立一个普遍富裕的新社会的政治夙愿。

由于缺乏科学理论指导，工人的自发斗争和有组织的抗争均未成功。

这说明①资本主义的发展为无产阶级登上历史舞台创造了条件②无产阶级的政治夙愿是科学社会主义诞生的理论基石③无产阶级由于自身局限难以在阶级斗争中改变被压迫地位取得胜利④资本主义的发展和工人运动的兴起是科学社会主义产生的历史前提A.①④B.②③C.③④D.①②2.《新民主主义论》是1940年1月9日毛泽东在陕甘宁边区文化协会第一次代表大会上作的长篇讲演。

坚持用马克思主义解答中国革命问题，阐明了新民主主义革命的路线和纲领，提出了新民主主义革命的任务、政治纲领、经济纲领、文化纲领。

该讲演从理论上批判了党内“左”右倾机会主义，统一了全党的思想，使全党对中国新民主主义阶段革命的性质、内容、领导权和发展前途有了一个明确而完整的认识，推动了中国革命的胜利发展。

这启示我们①必须在新民主主义革命的基础上进行社会主义革命②要自觉运用党的创新理论指导中国式现代化新实践③必须深入推进党的建设新的伟大工程实现伟大梦想④坚持用马克思主义之“矢”去射新时代中国之“的”A.①③B.①④C.②④D.②③3.针对地方国企规模偏小、产业布局分散、经营实力偏弱等问题，某省在省属企业层面推动组建了能源集团、交投集团、环保集团等10家企业集团；下一步还将组建数智集团、科创集团、要素服务集团等，坚定不移做强主责主业。

(摘编自邹振东《弱传播·红色经典传播》)
1.下列对原文相关内容的理解和分析，不正确的一项是(3分)
A.面对国民党的层层宣传管控，共产党、红军另辟蹊径，找到了不被传统秩序管控的新媒体。
B.红军的标语通俗易懂、一目了然、寅苦大众能很清晰地判断出红军是来帮助自己的革命军队。
C.弱定理认为，舆论中的弱者声音不寻求理性认同支撑，而以情感表达激发舆论能量，引发共鸣。
延安时期，红色经典传播不仅有标语、歌曲，还有了更高级的艺术形式一戏剧。《白毛女》创造了前所未有的传播奇迹。在舆论认同中，“拥抱最爱”与“去除最恨”是顺峰的情感传播。《白毛女》同时唤醒了千百万人的最爱与最恨，每一个底层人民心中都有一个自己最爱的“喜儿”,也都有一个“夺爱之仇”的“黄世仁”。据说当时观看《白毛女》,部队要求战士不能带枪，担心有人入戏太深，很可能拔枪射杀扮演黄世仁的演员。没有什么比仇恨更能聚集人心，没有什么比消灭仇敌更能释放能量。“同仇敌忾”说的就是这个道理。而《白毛女》“旧社会把人变成鬼，新社会把鬼变成人”的主题高度，更把观众的爱恨能量转化为对新社会、新中国美好生活的向往。
考得上呢。”毛泽东手一挥：“怎么会考不上 肯定考得上!”
“……李维汉，255号；周世釗，256号；邹彝鼎，257号；罗学瓒，258号……”黎锦熙忙得一头微汗，依次收着考生交来的报名表，他一面读出考生姓名，一面往表上编定考号。这时又一张表格递了过来，收表格的同学抬起头一看，当即愣住了——面前是一个矮矮壮壮、留着粗粗的入字胡、戴着眼镜的中年人，那张脸上都已经有了皺纹，忙道：“这位老伯，对不起，学校规定要由考生本人报名，不能由家长代报。”
“何先生，您好，我是一师的历史教师黎锦熙。您这是开什么玩笑 您可是长沙教育界的老前輩了，怎么能到我们这儿来报名呢 ”

江淮十校2025届高三第一次联考语文试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，18分)阅读下面的文字，完成1-5题。

传统纹样作为优秀的艺术资源，凝聚着中华民族特有的审美理想和造物智慧，具备无限转化的可能性。

在新时代，如何实现传统美学在当代语境下的创新发展，显得尤为重要。

“天人合一”的审美观念古代的艺术家和匠人将关于哲学与美学的思考以及对于生命的理解，以纹样的形式融入各类器物之上，造型艺术也正是从这些图案花纹中脱胎而出。

传统装饰纹样代表了古人的审美情趣，反映了不同时期的社会习俗和文化思想。

东方哲学体系下的艺术思维模式既追求空灵充实的气韵，又讲究虚实相生的意境。

“天人合一”强调人与自然的统一性，其朴素的观念中包含了对于天地自然之美的论述，也是历来中国艺术家遵循的根本创作原则。

受这种自然审美观影响，古代纹样中体现的祥瑞美学特质格外突出，进而延展到更广阔的天地万物之美，将自然美学推向极致。

这种美学思想贯穿于当代设计艺术之中。

原中央工艺美术学院副院长庞薰琴在《论艺术设计美育》中指出：“早在新石器时代，中国的图案已经相当成熟。

到殷周时，在图案画中，已能充分地表现出民族的精神。

其后，不论每个时代或每个地方，他们的工艺美术都有其特殊的个性。

”庞薰琴将古代青铜器纹样、玉器纹样、汉代画像石纹样、陶器纹样、织锦纹样等运用到图案设计之中，其作品既具有浓厚的民族风格，又具有清新典雅的工艺特点。

艺术设计家、原中央工艺美术学院院长常沙娜，长期从事传统装饰图案研究，善于从大自然的花卉形态中不断汲取丰富多样的图案造型素材，将自然花卉作为图案造型、构成及色彩的补充，形成独有的装饰图案风格。

数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增， 在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，， 即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5， 所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△， 化简得12GHC ABC S S =△△， 图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ， 又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ， 建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，， 则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，， 设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分） 设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分） 因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同， 不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=， 因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分） 图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分） 由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）； 在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）； 在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）； 在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）； 在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分） 零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分） 根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分） 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分） （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ， 则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分） （ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大， 所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分） 解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分） 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<， 所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+， 则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分） 此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分） 因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。

2024学年第一学期浙南名校联盟第一次联考高三数学试题（答案在最后）审题考生须知：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.已知复数121i,2i z z =-=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法及乘法化简,得出复数即可求出对应点,进而得出所在象限即可.【详解】()()()()2121i 2i 1i 2i 2i i 31i 2i 2i 2i 555z z -+-+--====---+，复数12z z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,点位于第四象限.故选：D ．2.已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{1,1}-B.{(1,1),(1,1)}- C.(0,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,1x y =⎧⎨=⎩，或1,1x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}A B =- ，故选：B ．3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正⇒令行，故“身正”是“令行”的充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行⇒身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件，故选：C ．4.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x a x =-+．若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,1)-∞ D.(,1]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性列出相应不等式，即可求得答案.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，故只需11001a a -=-≤+，即1a ≥，故选：A ．5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）A.20种B.40种C.80种D.160种【解析】【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可.【详解】一侧的种植方法有3262C A 20240=⨯=种排法，另一侧的种植方法有22A 2=种排法再由分步计数原理得不同的种植方法共有40280⨯=种排法，故选:C.6.将函数()*π()cos N 12g x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）A .2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】根据伸缩变换规则可得()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果.【详解】由题可知()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，当π02x <<时，πππ2π121212x ωω<+<+，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则由2cos y x =的图像可得π2ππ4π12ω<+≤，解得23471212ω<≤，因为*N ω∈，所以ω的最大值为3.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（）A.B.1C.D.1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8.已知0x 为函数222()e e ln 2e x f x x x =+-的零点，则00ln x x +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由题意确定0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，构造函数()e (0)x g x x x =>，由其单调性即可求解.【详解】由()0f x =得222e 2e e ln xx x =-，即22e e (2ln )xx x =-，即222ee e ln xx x=，因为0x >，所以22e e e ln xx x x =，所以0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，令()e (0)x g x x x =>，则()e (1)0x g x x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又222e e e ln ln g x xx ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2e ln 2ln x x x ==-，即002ln x x =-，即00ln 2x x +=，故选：B ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（）A.若()0a b c ⋅=，则b c ⊥ B.若()(),a b a b +⊥-则||||a b = C.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b= D.向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用数乘向量的定义得到0b c ⋅=，即可判断选项A 的正误；选项B ，根据条件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B 的正误；选项C ，根据条件，利用数量积的定义，得到||cos ,||cos ,a a c b b c =，即可求解；选项D ，根据条件，结合数量积的运算律，得到[()()]0a b c a c b a ⋅-⋅⋅=，即可求解.【详解】对于选项A ，因为a为非零向量，若()0a b c ⋅= ，则0b c ⋅= ，故b c ⊥ ，所以选项A 正确，对于选项B ，若2222()()||||0a b a b a b a b +⋅-=-=-= ，故||||a b =，所以选项В正确，对于选项C ，若a c b c ⋅=⋅ ，则||||cos ,||||cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅ ，得到||cos ,||cos ,a a c b b c = ，不能确定a b= ，所以选项C 错误，对于选项D ，[()()]()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a a b c a a b c a ⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故[()()]a b c a c b a ⋅-⋅⊥，所以选项D 正确，故选：ABD ．10.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中4AB =，M ，N ，D ，Q 分别为棱111,,,AB AC B C AA 的中点，DQ QM ⊥，则以下结论正确的是（）A.11//B C 平面QMNB.1AA =C.点Q 到平面DMN 的距离为D.三棱锥D QMN -的外接球表面积为131π18【答案】AC 【解析】【分析】应用线面平行判定定理判断A,应用勾股定理计算判断B,应用等体积求出点Q 到平面DMN 的距离判断C ,利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D .【详解】由题，11//,//MN BC BC B C ，所以11//,MN B C MN ⊂平面QMN ,11B C 不在平面QMN 内，故11//B C 平面QMN ，A 正确；由题可得，,QM QN DM DN ==，设12AA a =，易得22224,12QM a QD a =+=+，2244DM a =+，因为222DM QD QM =+，即22244124a a a +=+++，解得a =，故1AA =，B 错误；因为222DM QD QM =+，所以222DN QD QN =+，所以,,,DQ QN QN QM Q QN QM ⊥⋂=⊂平面QMN ,MN ⊂平面QMN ,得出DQ ⊥平面QMN ，112322QMNS MN ==⨯= ，所以13Q DMN D QMN QMN V V S DQ --==⋅=△133⨯⨯=又12DMNS MN == ，设点Q 到平面DMN 的距离为d，则13Q DMN DMN V S d -===△，得d =，C 正确；将三棱锥D QMN -补成以QMN 为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥D QMN -的外接球，其球心O位于上下底面外心的中点，sin 10QMN ∠=，故QMN 的外接圆半径152sin 3QN r QMN =⨯=∠，设外接球半径为R，则22251313218R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三棱锥D QMN -的外接球表面积2262π4π9S R ==，D 错误．故选：AC ．11.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ,1FA FB 〈〉=-，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为12,k k ，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是（）A.若4AF BF +=，则1AF BF ⋅=-B.直线PN 的倾斜角π4α≥C.若122k k +=，则直线AB 的方程为10x y -+=D.||MF 的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点20,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分000,0x x ≤>两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，结合焦半径公式计算最小值判断D.【详解】由题cos ,1FA FB 〈〉=- ，则向量,FA FB的夹角为π，故F ，A ，B 三点共线，设:1AB y kx =+，与C 的方程联立得2440x kx --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124x x k +=，124x x =-，故1221242,1k y y y y =+=+，由抛物线的定义得12||1,||1AF y BF y =+=+，故21224440AF BF y y k k +=++=+==，，·4FA FB =-，所以A 错误；设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1)N -，当00x ≤时，直线PN 倾斜角大于等于π2，当00x >时，200011414PNx x k x x +==+≥=，所以直线PN 的倾斜角π4α≥，B 正确；记直线AB 的斜率为k ，令21()4f x x =，则1()2f x x '=，则()()11122211,22k f x x k f x x '=='==，又()222121212121144x x y y k x x x x x x --===+--，所以122k k k +=，所以1k =，又直线AB 过点(0,1)F ，故直线AB 的方程为10,C x y -+=正确；()111:2x MA y y x x -=-，又2114x y =，所以211:24x x MA y x =-，同理222:24x x MB y x =-，联立解得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，即(2,1)M k -，又(0,1)F ，所以||2MF =≥，当0k =时，等号成立，所以MF 的最小值为2，D 正确；故选:BCD.【点睛】关键点点睛：解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程，再分别得出直线方程及焦半径的最小值.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知1πsin ,cos()26ααα=+=______________．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】利用辅助角公式得到π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再整体法用诱导公式求出答案.【详解】1sin 2αα=，即π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππππ1cos sin sin 62634ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：14-13.已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg ，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W （kg ）作为样本，则样本的方差为______．【答案】13【解析】【分析】先根据分层抽样的平均数公式求出平均数为52，再代入方差公式计算得出方差.【详解】3个年级抽取的学生数分别为3，3，4人，则()13483524555210W =⨯+⨯+⨯=，故22223344(4852)10(5252)1(5552)13101010s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦．故答案为：13.14.“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为2100414347⨯+⨯+⨯=；四进制数0033转换为十进制数为32100404343415⨯+⨯+⨯+⨯=；四进制数1230转换为十进制数为321014243404108⨯+⨯+⨯+⨯=；现将所有由1，2，3组成的4位（如：1231，3211）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______．【答案】13【解析】【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将4的高次方展开并求得除以3之后的余数，令余数能被3整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率.【详解】设{},,,1,2,3a b c d ∈，则4位四进制数转换为十进制为3232444(13)(13)(13)a b c d a b c d⨯+⨯+⨯+=⨯++⨯++⨯++()()01223301223333222C C 3C 3C 3C C 3C 33a b c c d =+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+++()()1223312233322C 3C 3C 3C 3C 33a b c a b c d =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+++++，若这个数能被3整除，则+++a b c d 能被3整除．当这个四进制数由1，2，3，3组成时，有24A 12=个；当这个四进制数由1，1，2，2组成时，有24C 6=个；这个四进制数由1，1，1，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数由2，2，2，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数都由3组成时，有1个．因为由1，2，3组成的4位四进制数共有4381=个，所以能被3整除的概率1264411813P ++++==．故答案为：13.【点睛】关键点点睛：本题关键在于将4进制转化为10进制之后，利用二项式定理来求解能否被3整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC V 是正三角形，1A A ⊥平面ABC ，111224AB A A A C ===，M ，N 分别为棱1,AB B B 的中点.（1）证明：1B B ⊥平面MCN ；（2）求直线1C C 与平面MCN 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出CM ⊥平面11,A ABB 再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可.【小问1详解】因为ABC V 是正三角形，M 为AB 中点，所以CM AB ⊥，因为1A A ⊥平面,ABC CM ⊂平面ABC ，所以1CM A A ⊥，又11,,A A AB A A A AB =⊂ 平面11,A ABB 所以CM ⊥平面11,A ABB 又因为1B B ⊂平面11A ABB ，所以1CM B B ⊥，连接1AB ，易得11AB B B ==，所以22211AB AB B B =+，所以11AB B B ⊥，又因为1//AB MN ，所以1MN BB ⊥，因为MN CM M = ，,MN CM ⊂平面MCN ，所以1B B ⊥平面MCN .【小问2详解】取AC 中点O ，连接1,BO C O ，易知1,,OB OC OC 三条直线两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OB OC OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则111,2),(0,2,0),(0,0,2)B B C C -，由（1）知平面MCN的一个法向量为12)B B =- ，又1(0,2,2)C C =- ，所以1111113cos ,4B BC C B B C C B B C C ⋅==⋅ ，因为直线1A B 与平面FMN 所成的角为直线1B B 与1C C 所成角的余角，所以直线1A B 与平面FMN 所成的角的正弦值为34．16.已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）证明见解析（3）(,1]-∞【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值；（2）求出导函数1()2ln 2f x x x x'=+--，再根据导函数求出()(1)10f x f ''≥=>即可证明单调性；（3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a -≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =->的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x'+∞=+--，故(1)1ln f b '=-，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =--，将点(0,1)-代入得1ln 1b -=，解得1b =．【小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x =---，则1()2ln 2f x x x x'=+--，令1()()2ln 2g x f x x x x '==+--，则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x---+'=--==，当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()(1)10f x f ''≥=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【小问3详解】对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥---≥-恒成立，当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化为ln x x a -≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =->，则11()10x h x x x'-=-=>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=，故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．17.如图，四边形ABCD 中，1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=．（1）求BAD ∠；（2）P 为边BC 上一点，且PCD △ABP 的外接圆半径．【答案】（1）2π3（2）4【解析】【分析】（1）根据题意，在ABD △和BCD △中，利用余弦定理，分别求得2BD 的表达式，两式作差求得1cos 2BAD ∠=-，即可求解；（2）由（1）求得BD =PCD ∠，结合题意，求得2PC =，进而求得2PD =，再在ABD △和BCD △中，求得cos cosABD DBC ∠=∠1cos 7ABP ∠=，得到sin 7ABP ∠=，利用正弦定理，即可求解.【小问1详解】解：因为πBAD BCD ∠+∠=，所以cos cos BAD BCD ∠∠=-，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 54cos BD AB AD AB AD BAD BAD =+-⋅∠=-∠，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD BCD BAD =+-⋅∠=+∠，两式作差得：816cos 0BAD +∠=，解得1cos 2BAD ∠=-，因为(0,π)BAD ∠∈，所以2π3BAD ∠=．【小问2详解】解：因为1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=由（1）知22π54cos73BD =-=，可得BD =π3PCD BCD ∠=∠=，则1sin 22PCD S PC CD PCD =⋅∠==△所以2PC =，在PCD △中，可得2222cos 4PD CD PC CD PC PCD =+-⋅∠=，所以2PD =，在ABD △中，可得222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠===⨯⨯在BCD △中，可得222cos 2BD BC CD DBC BD BC +-∠===⨯⨯可得ABD DBC ∠=∠,所以27cos 2cos 11ABP ABD ∠∠-==，则sin 7ABP ∠=，所以222122cos 7AP AB BP AB AP ABP =+-⋅∠=，解得7AP =，设ABP 的外接圆半径为R ，由正弦定理得772sin 2437AP R ABP ==∠，解得74R =，所以ABP的外接圆半径为4．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点(1,3P 在椭圆上，且直线1PF 与2PF 的斜率之积为23-．（1）求C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于M ，N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．（ⅰ）若A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，求直线l 的方程；（ⅱ）若点B 与点1F 重合，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求1||||MN QF 的值．【答案】（1）2213x y +=（2）（i ）3535y x =+；（ii【解析】【分析】（1）根据点在椭圆上及斜率积列方程组计算22,a b 即可得出椭圆方程；（2）（i ）设()()1122,,,M x y N x y 结合1()2OA OB OM =+ ，1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标，即可求出直线方程；（ⅱ）设方程:(l y k x =+联立方程组，韦达定理结合弦长公式计算求解.【小问1详解】将点1,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入C 的方程得：221213a b +=①，设C 的焦距为2(0)c c >，则12(,0),(,0)F c F c -，故12233113PF PF k k c c ⋅=⨯=-+-，解得c =又222a b c =+③，由①②③解得21b =或23a =，所以C 的方程为2213x y +=．【小问2详解】（ⅰ）由题，(0,),,0m A m B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()1122,,,M x y N x y ，O 为坐标原点，因为A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，所以BA NB AM == ,则1()2OA OB OM =+ ，即110,12m x k y m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得112m x k y m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以,2m M m k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又1()2OB OA ON =+ ，即222,1022m x k m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,m x k y m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以2,,m N m k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将点M ，N 的坐标代入C 的方程得22222241,3413m m k m m k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211,35k m ==，因为0,0k m >>，所以,35k m ==，所以直线l的方程为35y x =+．（ⅱ）由题直线l过点1(F，所以:(l y k x =+，与椭圆方程联立22(13y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222213630k x x k +++-=，212120k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y，则2212122263,1313k x x x x k k--+==++，所以21MN x =-=22113k k+=+，又(21212221313y y k x x k k k ⎛-+=++=+= ++⎝，所以MN 中点为222322,1313k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，所以MN的垂直平分线方程为22211313y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭，令0y =得2213x k -=+，故22,013Q k ⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭，所以212113k QF k +==+，所以1MN QF =【点睛】关键点点睛：（2）（i ）解题的关键点是应用1()2OA OB OM =+ 1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标即可求出直线方程；19.密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n ，将小于等于n 且与n 互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为n a ．（1）求数列{}n a 的前5项和；（2）求2(N )n a n *∈的表达式和3137a ⨯的值；（3）记22()nn n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明16n S <．【答案】（1）10（2）122n n a -=，31371080a ⨯=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列定义求出前5项即可求和；（2）先根据定义得出122n n a -=，再求出3137a ⨯即可；（3）应用错位相减法计算得出2158162n n n n S -++=-即可证明.【小问1详解】由题，11a =；小于等于2且与2互质的正整数有1，所以21a =；小于等于3且与3互质的正整数有1，2，所以32a =；小于等于4且与4互质的正整数有1，3，所以42a =；小于等于5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以54a =．所以数列{}n a 的前5项和为1122410++++=．【小问2详解】若2为质数，则小于等于2n 的正整数中，只有2的倍数不与2互质，又因为小于等于2n 的正整数中，2的倍数有12n -个，所以112222n n n n a --=-=．在小于等于31×37的正整数中，31的倍数有37个，37的倍数有31个，所以()()31373137313713113711080a ⨯=⨯--+=--=．【小问3详解】由（2）知122n n a -=，所以212n n n n b -+=，所以222201211122332222n n n n S -++++=++++ ，故222223111223322222n n n n S ++++=++++ ，作差得：2012111232222222n n n n n n S -+⎛⎫=++++- ⎝⎭，所以201211123422222n n n n n n S --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ．令01211232222n n n T -=++++ ，则23112322222n n n T =++++ ，作差得：2311111111221212222222212n n n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++++-=-=-- ，所以1242n n n T -+=-，故221112584(4)16222n n n n n n n n n S ---++++=⨯--=-，因为*N n ∈，所以215802n n n -++>，所以16n S <得证．。

绝密★启用前湘豫名校联考2024-2025学年新高考适应性调研考试语文注意事项：1．本试卷共12页。

时间150分钟，满分150分。

答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：在2024年欧洲杯的绿茵场上，碰撞的不只是足球与激情，其背后更是完美融合的体育与科技：从VAR到半自动越位技术，从“鹰眼”系统到“连接球”技术……这些高科技元素的引入，让比赛更加公正和公平。

（1）。

《自然》网站近日报道称，人工智能（AI）的“全视之眼”将比最狂热球迷的眼睛还要更密切地关注比赛。

如今，升级后的半自动版本视频助理裁判（VAR）融合了更先进的AI技术和嵌入足球中的实时跟踪芯片。

英国《每日邮报》介绍，VAR是指使用摄像头、传感器和AI来帮助裁判作出更精准决定。

VAR团队将不断检查与“改变比赛局面”有关的四种问题——进球、禁区内事件、红牌和处罚对象错误。

一旦发现问题，他们可以建议裁判取消或更改判决，但最终决定权仍在裁判手中。

有关审查过程的信息会以简洁的文字形式发布，并投放到现场大屏幕上，而不是通过口头传达。

（2）。

半自动越位技术（SAOT）与VAR搭配，是赛场裁判的另一位得力“助手”。

它也是一种聪明的Al系统，可以帮助裁判快速作出正确决定。

这项技术跟踪球员的四肢，以检测他们是否处于越位位置，并向VAR团队发送警报。

那么，SAOT如何更好地帮助VAR“监测”一场足球比赛？这要归功于欧洲杯所有球场屋顶的10台专用摄像机，这些摄像机能够跟踪22个球员每人身上从头到脚的29个独立点位。

2025届河南省信阳市第一高级中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.52．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月3．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．164．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．25．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．16276．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A ．5B ．22C ．23D ．338．记n 个两两无交集的区间的并集为n 阶区间如(][],12,3-∞为2阶区间，设函数()ln xf x x=，则不等式()30f f x ⎡⎤+⎦≤⎣的解集为（ ） A ．2阶区间B ．3阶区间C ．4阶区间D ．5阶区间9．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x > D ．15{|}23x x -<< 10．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．1411．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=12．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学参考答案·第1页（共8页）贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CBADCABD【解析】1．因为i i a z z +=- ，所以i (1)(1)i1i 2a a a z -+--++==+，因为复数z 为纯虚数，所以1010a a -=+≠，，所以1a =，故选C ．2．集合2{|320}[12]A x x x =-+=≤，，(2)B a a =+，，01A B a ⊆⇔<<，所以0a >是A B⊆的必要不充分条件，故选B ．3．设OA = a ，OB = b ，OC = c ，因为+=a b c ，所以四边形OACB 是2π3AOB ∠=的菱形，所以a 与-a b 的夹角即π6OAB ∠=，故选A ． 4．可估计全班学生数学的平均分为3280757855⨯+⨯=，方差为2232[7(8078)][2(7578)]55+-++-11=，故选D ．5．因为e 11e ()()e 1e 1x x xx f x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，又因为1e ()1e 12x x f x +-==-+ 2e 1x+，所以()f x 为R 上的增函数．因为2()(2)0f m f m +->，所以2()(2)(2)f m f m f m >--=-，所以22m m >-，即220m m +->，解得2m <-或1m >，所以实数m 的取值范围为(2)(1)-∞-+∞ ，，，故选C ． 6．根据题意可得A D A E A D A F A E A F ''''''⊥⊥⊥，，，且1A E A F ''==， 1，2A D '=，所以三棱锥D A EF '-可补成一个长方体，则三棱锥D A EF '-的外接球即为长方体的外接球，如图1所示，设长方体图1数学参考答案·第2页（共8页）的外接球的半径为R，可得2R =，所以2R =，所以外接球的体积为3344ππ33V R ===⎝⎭，故选A ． 7．由函数的图象可知：(1)0(2)0f f ==，，解得32b c =-=，，所以32()32f x x x x =-+，可得2()362f x x x '=-+，由韦达定理得1212223x x x x +==，，所以21212121212()()2()3()23f x f x x x x x x x x x -=+--++=--，故选B ．8．因为2224b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥，当且仅当23a b ==时，等号成立，因为223b t t a b -+≤恒成立，所以234t t -≤，即(34)(1)0t t -+≤，解得413t -≤≤，故选D ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案ABDACDAC【解析】9．由图可得，2A =，ππ12π3124ω-=⨯，解得2ω=，故A 正确；又函数图象经过点π212⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则π2sin 2212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因π||2ϕ<，故ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，故π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；对于B ，当5π12x =-时，ππ232x +=-，此时函数取得最小值，故B正确；对于C ，2π4ππ2sin 22sin 2333f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是奇函数，故C 错误；对于D ，将函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，将得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 正确，故选ABD ．10．对于A ：直线210l kx y k ++-=：，整理为(2)10k x y ++-=，不管k 为何值，直线l 始终过点(21)-，，故A 正确；对于B ：1k =时直线l 的方程为10x y ++=，它不过圆C 的圆心(03)，，故B 不正确；对于C ：由A 知当(21)-，是线段AB 的中点时，此时弦长AB数学参考答案·第3页（共8页）最短，而圆22(3)16C x y +-=：，圆心是(03)，，半径4r =，圆心(03)，和点(21)-，的距离是||AB ==，故C 正确；对于D ：当2k =时，直线230l x y ++=：，曲线222(6)370x y x y λλλ+++-+-=，即2267x y y +--+(23)0x y λ++=，显然该曲线过直线l 与圆C 的交点，故D 正确，故选ACD ．11．由题意知函数()y f x =的图象关于点(21)，对称，所以(2)1f =，A 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则函数()πcos(π)g x x =，(2)πg =，B 错误；易得函数()y f x =的周期也为2，而函数(2)1y f x =+-是奇函数，所以函数()1y f x =-是奇函数，C 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则(1)1f =，所以20241()2024k f k ==∑，D 错误，故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．由正弦定理得a b c c b a b-=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理得222cos 22b c a bc A bc bc +-== 12=，又(0π)A ∈，，所以π3A =． 13．因为na x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数和为32，所以5n =，515C kkk k a T x -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭5325C ()kkk a x--，所以2x -的系数为335C ()80a -=，所以2a =-．14．3220.50.5()()log ()(1)()log ()f x x ax x a x b x x a x b =-+-+=+-+，且210y x =+>恒成立，y x a =-在定义域上单调递增且零点为x a =，0.5(log )y x b =+在定义域上单调递减且零点为1x b =-，故y x a =-与0.5(log )y x b =+在定义域内函数值正负相反且零点重合，则11a b a b =-⇔+=，所以33a b +=≥．数学参考答案·第4页（共8页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）证明：由2n n S a n =-可得，当1n =时，1121a a =-，解得11a =， …………………………………………………（2分） 当2n ≥时，112(1)n n S a n ++=-+， 所以111221n n n n n a S S a a +++=-=--，即121n n a a +=+， …………………………………………………………………………（4分） 所以11211211n n n n a a a a ++++==++为常数，且112a +=， 所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．………………………………………………………………………………………（6分） （2）由（1）得11222n n n a -+== ，则21n n a =-，………………………………………………………………………………………（7分） 所以1222n n n S a n n +=-=--，…………………………………………………………（9分） 所以23112(222)[34(2)]n n n T S S S n +=+++=+++-++++22242(32)5241222n n n n n n ++-+++=-=---． …………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：因为AB AD =，CB CD =，所以ABC ADC △≌△，所以ABO ADO △≌△．所以BO OD =，90AOB AOD ∠=∠=︒，所以AC BD ⊥．……………………………（3分） 因为AB AP BC PC AC AC ===，，，所以ABC APC △≌△． 因为BO AC ⊥，所以PO AC ⊥，又因为PO BD O = ，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． …………………………………………………………………（6分）数学参考答案·第5页（共8页）（2）解：由（1）可知OB OC ⊥，因为5AB BC AC ===， 所以222AB BC AC +=，所以90ABC ∠=︒， 从而由等面积法，可知1025BO ==，由勾股定理，可知1AO ==，因为PB =222PB PO BO =+，所以PO OB ⊥．又因为PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ．……………………………………………（8分） 以O 为原点，OB OC OP ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，由（1）可知BO OD OP ==， 所以2OD OP ==，所以(002)P ，，，因为(200)(010)(200)(040)B A D C --，，，，，，，，，，，，………………………………………………………………………………………（10分） 因为点Q 为线段PC 的中点，所以(021)Q ，，，………………………………………（11分） 所以(221)(012)(202)BQ PA PD =-=--=--，，，，，，，，， 设平面PAD 的法向量为()n x y z =，，，则00PA n PD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，令1z =-，解得12x y ==，，所以平面PAD 的法向量为(121)n =-，，，……………………………………………（13分） 设直线BQ 与平面PAD 所成角为θ，则||sin |cos |||||18n BQ n BQ n BQ θ〉=〈===，， 所以直线BQ 与平面PAD15分） 图2数学参考答案·第6页（共8页）17．（本小题满分15分）解：（1）由题意得()f x 的定义域为(0)+∞，，11()ax f x a x x='-=-………………………………………………………………………………………（2分） 当0(0)a x ∈+∞≤，，时，()0f x '<，所以()f x 在区间(0)+∞，内单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x <'，单调递减；当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x >'，单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在区间(0)+∞，内单调递减；………………………………（4分） 当0a >时，()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．………………（6分）（2）当1a =时，由2e ()x k x f x x -≤，得2e ln x k xx x x--≤， 整理得22e ln xk x x x x +-≥，即2ln 2e xx x x xk +-≥．……………………………………（8分）令2ln ()exx x x xh x +-=， 则22(21ln 1)e (ln )e (ln )(1)()(e )e x x x xx x x x x x x x x h x +---+---='=，……………………（10分）由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为(1)10f =>，即ln 0x x ->恒成立， …………………………………………………………………（11分）所以当(01)x ∈，时，()0()h x h x >'，单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()0()h x h x <'，单调递减．…………………………………………（13分） 故当1x =时，()h x 取得最大值2(1)e h =，即22ek ≥， 故k 的取值范围为1e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．…………………………………………………………（15分）18．（本小题满分17分）解：（1）记甲同学先投3分球，投篮2次就终止投篮的事件为A ， 11111()11.52522p A ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………………………………（4分）数学参考答案·第7页（共8页）（2）记甲同学先投3分球通过测试的概率为1p ，则1111111117115252252220p ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；…………………………………（7分）记甲同学先投2分球通过测试的概率为2p ， 则2111111117112222220255p ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 因为12p p =，故甲同学先投2分或先投3分是一样的．……………………………（10分） （3）记甲同学先投3分球投篮累计得分为X ，先投2分球投篮累计得分为Y ，X 可能取0，2，3，4，5，………………………………………………………………（11分） 412(0)525P X ==⨯=，411(2)51225P X ==⨯⨯=， 1111(3)52220P X ==⨯⨯=，411(4)51225P X ==⨯⨯=，111113(5)5252220P X ==⨯+⨯⨯=，1113()2345 2.1520520E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………………（14分）Y 可能取0，2，4，5， 111(0)224P Y ==⨯=，121142(2)C 2255P Y ==⨯⨯⨯=， 111(4)224P Y ==⨯=，121111(5)C 22510P Y ==⨯⨯⨯=， 21123()245 2.1541010E Y =⨯+⨯+⨯=>． 故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大． ………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分）解：（1）因为点P 在椭圆C 上，PF x ⊥轴，且||1PF =，故0)F ，所以P的坐标为1)， 所以222112a a +=-，解得24a =，2a =．……………………………………………（4分） （2）由（1）知椭圆C 的方程为22142x y +=，设动点00()M x y ，，则2200142x y +=，所以220022x y =-，………………………………（5分）数学参考答案·第8页（共8页）故||||2MF x==-，…………………………………………（7分）|||MN x=-，………………………………………………………………………（9分）所以||||2MFMN=．………………………………………………………………………（10分）（3）不妨设AFB∠γ=，ABF△的外接圆半径为R，则由正弦定理||||||2sin sin sinAF BF ABRαβγ===，所以||2sin||2sin||2sinAF R BF R AB Rαβγ===，，．…………………………………（12分）如图3，过A B，分别作直线x=D E，，过B作BG AD⊥于点G，由（2）的结论可得||||||||AF BFAD BE==所以||||(||||)2AF BF AD BE-=-，即2sin2sin||2R R AGαβ-=，所以||(sin sin)AGαβ=-，………………………………………………………（14分）又2ABk=，得tan2BAG∠=，则||cos||3AGBAGAB=∠=，即(sin sin)2sin3Rαβγ-=，…………………………（16分）所以sin sinαβγ-=，当且仅当π2γ=时等号，所以sin sinαβ-的最大值为3．……………………………………………………（17分）图3。

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

2024~2025学年度第一学期高三年级第一次联考数学试卷2024.9总分：150分 时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}{}2,0,2,1A a B a ==+，若{1}A B ∩=，则a =（ ） A. 1 B. 1− C. 0 D. 1±2. 若α为第二象限角，则（ ）A. sin 20α>B. cos20α<C. sin cos 0αα−>D. sin cos 0αα+< 3. 函数2()ln()f x x x =−+的定义域为（ ）A. (][),01,−∞+∞B. ()0,1C. []0,1D. (][),01,−∞+∞ 4. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，则圆锥的体积为（ ）A. B. C. 2π D. 3π5. 已知(1,2,1),(1,,1)a b x =−=− ，且a 与b 夹角为锐角，则实数x 的取值范围是（ ）A. (2,1)−B. (,1)−∞C. (,2)(2,1)∞−−∪−D. (1,)+∞ 6. 已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 为两条不同的直线，给出下列命题，其中是真命题的个数是（ ）①若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ ②若//,//,//m n αβαβ，则//m n③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ ④若,,⊥⊥⊥m n αβαβ，则m n ⊥A. 1B. 2C. 3D. 47. 函数221log ,0()221,0x x x f x ax x x −> = −−≤ 有且仅有4个零点，则实数a 取值范围是（ ） A. (0,)+∞ B. (1,)−+∞ C. (1,0)− D. [1,1]−8. 已知正实数a b c ，，，则“a b c ==”是“ln ln ln ln ln ln a b c b c a a b c a b c ≤”的（ ）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（ ） A. 211()x x ′=− B. (e )e x x −−′= C. 21(tan )cos x x ′= D. 1(ln )x x′= 10. 设函数()e e 2,R x x f x x x −=−−∈，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 在R 上是单调函数C. ()f x 的最小值为1D. 当0x >时，()0f x >11. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BP BC BB λµ=+ ，则下列说法正确的是（ ）A 若1,0λµ==，则118P A BD V −= B. 若1λµ+=，则1//D P 平面1A BD C 若11,2λµ==，则OP ⊥平面1A BD D. 若1,01λµ=≤≤时，直线OP 与平面1A BD 所成的角为θ，则sin θ∈的..三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知角α的终边经过点(2,3)P −，则sin(π)cos(π)ππsin()cos()22αααα−+−=++−________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1,0,3,0A B −，点C 在二次函数26y x x k =−+图象上，且使得ABC 的面积为2，若满足条件的点C 共有两个，则实数k 的取值范围________.14. 函数,0k y k x=>与ln y x =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，设ln y x =在A 处切线1l 的倾斜角为α，e x y =在B 处的切线2l 的倾斜角为β，若2βα=，则k =________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数3212()232a f x x x ax +=−+． （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．16. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D −中，AC 与BD 交于点O ，底面ABCD的正方形，且1D O ⊥底面ABCD ．（1）证明：1AC CC ⊥；（2）若二面角1D AB D −−，求直线1AC 与平面ABCD 所成角的余弦值． 17 已知ππ(0,),(0,)22αβ∈∈． （1）若cos 2cos 0ββ+=，sin cos 22αα+cos()αβ+的值； （2）证明：1tan (tan tan )22αβαβ+≤+． 18. 设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱1111A B C D ABCD −，上部的形状是正四棱锥的.1111P A B C D −，且该帐篷外接于球O （如图所示）．（1）若正四棱柱1111A B C D ABCD −是棱长为2m 的正方体，求该帐篷的顶点P 到底面ABCD 中心2O 的距离；（2）若该帐篷外接球O 的半径3m ，设1π(0,)2POC θθ∠=∈,，该帐篷的体积为V ，则当cos θ为何值时，体积V 取得最大值．19. 函数()y f x =满足：对任意x I ∈，()f x kx b ≥+恒成立（或()f x kx b ≤+恒成立），则称直线y kx b =+是函数()y f x =在x I ∈上的支撑线． （1）下列哪些函数在定义域上存在支撑线？选择其中一个证明； ①1y x x=+ ②3y x = ③e x y = ④sin cos y x x =+ （2）动点P 在函数()e 2x f x =+图象上，直线:(1)l y a x =−是()ln g x x =在定义域上的支撑线，求点P 到直线l 的距离最小值；（3）直线1y x =+是函数2()e x f x ax =−在[0,)x ∈+∞上的支撑线，求实数a 的取值范围．。

2024学年第一学期浙南名校联盟第一次联考高三生物学科试题考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分（共40分）1．合理施肥是实现农作物高产稳产的重要措施，下列叙述正确的是（）A．农作物吸收氮主要用于构成蛋白质的氨基B．肥料中的元素大多以离子形式被根细胞吸收C．农作物吸收磷参与构成ATP、核糖、磷脂等D．农作物主要从有机肥料中获得能量以满足生长需求2．生物学实验中，有时会发生一些“五颜六色”的实验现象，下列叙述正确的是（）A．花生组织细胞经苏丹Ⅲ染色呈橙红色B．紫色洋葱外表皮细胞在质壁分离过程中液泡颜色逐渐变浅C．在鸡蛋清稀释液中加入双缩脲试剂，混匀加热后产生蓝色反应D．在酵母菌培养液的滤液中加入酸性重铬酸钾溶液，溶液可能会变成灰绿色3．苍南红树林是我国“种养耦合”海洋生态修复项目的典型案例之一，红树林根系发达，能有效防止海浪对海堤的侵蚀且具有净化海水等作用。

在红树林周围建立大型青蟹养殖区，青蟹取食藻类、浮游动物和人工饵料，下列叙述正确的是（）A．修复过程中发生了初生演替B．生态保护修复是保护生物多样性的措施之一C．养殖区中所有藻类和动物构成了生物群落D．青蟹取食藻类和浮游动物属于次级消费者4．同一生物对决定相同氨基酸的不同密码子的使用频率有较大差异。

密码子的优化是指利用基因工程技术，将使用频率较低的密码子替换，优化后与优化前相比，下列叙述正确的是（）A．DNA分子中可能会出现尿嘧啶B．转录形成的mRNA序列不变C．翻译合成蛋白质的效率提高D．RNA聚合酶更容易读取密码子5．科学研究发现，神经细胞中组蛋白乙酰化可使与兴奋性密切相关的基因表达量增加，有助于记忆的形成。

下列说法错误的是（）A．组蛋白乙酰化后，细胞DNA序列不改变B．组蛋白乙酰化使染色质结构松弛促进基因表达C．该细胞中发生的组蛋白乙酰化可通过配子遗传给下一代D．可通过增强神经细胞组蛋白乙酰化程度来治疗相关记忆障碍病症6．雄性长颈鹿常发生“脖斗”以此追求异性，头部越重，“脖斗”胜率越高。

广东六校2025届高三第一次联考语文本试卷共10页，23小题，满分为150分。

考试用时150分钟。

注意事项；1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的，答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一；近年有学者对古史起源问题的学术史做过梳理与回顾。

舒铁指出，“古史起源多元论的三种代表性论著———蒙文通的《古史甄微》（1927年）、傅斯年的《夷夏东西说》（1934年）和徐旭生的《中国古史的传说时代》（1943年）早已为人熟知。

经由蒙文通、傅斯年、徐旭生等人的研究，人们得以从新的角度来审视中国种族、文化的起源问题”。

傅斯年认为，“在三代时及三代以前，政治的演进，由部落到帝国，是以河、济、淮流域为地盘的”，“地理的形势只有东西之分，并无南北之限”，“这两千年的对峙，是东西而不是南北”。

也就是说，广大南方地域的政治演进尚无足观，故而略过不论。

蒙文通与徐旭生则认为可分河洛、海岱与江汉三集团或华夏、东夷及苗蛮三集团。

但对于三集团之间文化演进的先后与对比，二人的认识又有明显差异。

徐旭生认为北部华夏部族与东夷部族的文化要先于南部的苗蛮集团；蒙文通则认为三区的文化各成体系，其文献的传承各有统绪，主要强调其差异，而不是先后或优劣。

2025 届高三第一次校际联考英语试题注意事项：1.本试题共10页,满分150分,时间120分钟。

2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。

第一部分：听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

听力部分结束前，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节 (共5小题，每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

A. To ask about the homework.B. To invite her to a party.C. To help her learn math.2. What are the speakers mainly discussing?A. A TV program.B. The housework.C. A person.3. What's the relationship between the two speakers?A. Driver and passenger.B. Doctor and patient.C. Guest and waitress.4. Where might the speakers be?A. In a library.B. At the man's home.C. In a supermarket.5. When is the project supposed to be finished?A. At 12:00.B. At 11:00.C. Before 10:00.第二节 (共15 小题,每小题1.5分,满分22.5分)听下面5段对话或独白。

高三数学答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.【答案】D 【解析】i i))(i i))(i i i 515322(21(2121-=+-+-=--=z z ，故选D .2.【答案】B【解析】⎪⎩⎪⎨⎧==||1||x y x y ，，解得⎩⎨⎧==11y x ，，或⎩⎨⎧=-=11y x ，，所以)}11()11{(，，，-=B A ，故选B .3.【答案】C【解析】由题意：身正⇒令行，令行⇒身正，所以“身正”是“令行”的充要条件，故选C .4.【答案】A【解析】因为)(x f 为定义在R 上的奇函数，所以0)0(=f ，若)(x f 在)(∞+-∞，上单调递减只需01≤-a ，即1≥a ，故选A .5.【答案】C【解析】一侧的种植方法有402236=AC 中，另一侧的种植方法有222=A 种，有分步计数原理得不同的种植方法共有80240=⨯种，故选C .6.【答案】B【解析】由题))(12π2cos(2)(*N ∈+=ωx ωx f ，当2π0<<x 时，12ππ12π212π+<+<ωx ω，若)(x f 在)2π0(，上只有一个极大值点，则π412πππ2≤+<ω，得12471223≤<ω，因为*N ∈ω，所以ω的最大值为3.故选B .7.【答案】D【解析】设双曲线的焦距为)0(2>c c ，右焦点为2F ，直线OQ 交P F 1于点M ，连接2PF ，因为Q PF 1Δ为正三角形，P F OQ 1⊥，所以M 为P F 1的中点，所以P F OM 2//，故2π21=∠PF F ，易知6π12=∠P F F ，所以c PF c PF 3||||12==，，由双曲线的定义知a PF PF 2||||21=-，即a c c 23=-，得31132+=-==a c e ，故选D .2024学年第一学期浙南名校联盟第一次联考8.【答案】B【解析】由0)(=x f 得x e e e x xln 2222-=，即)ln 2(22x e e x x-=，即xe e e x x222ln =，因为0>x ，所以xe x e xe x22ln =，令)0()(>=x xe x g x ，则0)1()(>+='x e x g x ，所以)(x g 在)0(∞+，上单调递增，又x e x e x e g 222ln (ln =，所以x xe x ln 2ln 2-==，所以00ln 2x x -=，即2ln 00=+x x ，故选B .二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.【答案】ABD【解析】因为a 为非零向量，若0=⋅)(c b a ，则0=⋅c b ，故c b ⊥，A 正确；若0||||)()(2222=-=-=-⋅+b a b a b a b a ，故||||b a =，B 正确；若c b c a ⋅=⋅，则><⋅>=<⋅c b c b c a c a ，，cos ||||cos ||||，即||cos ||b c a a >=<，><c b ，cos ，不能确定b a =，C 错误；0))(())(()()(])()[(=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅a c b a a c b a a b c a a c b a a b c a c b a ，故b c a c b a )()(⋅-⋅a ⊥，D 正确；故选ABD .10.【答案】AC【解析】由题，BC MN //，11//C B BC ，所以11//C B MN ，故//11C B 平面QMN ，A 正确；由题可得，DN DM QN QM ==，，设a AA 21=，易得224a QM +=，2212a QD +=，2244a DM +=，因为222QM QD DM +=，即22241244a a a +++=+，解得6=a ，故621=AA ，B 错误；易知MN DQ ⊥，所以⊥DQ 平面QMN，22Δ)2(21MN QM MN S QMN -⋅=3110221=-⨯⨯=，所以==--QMN D DMN Q V V =⋅DQ S QMN Δ312323331=⨯⨯，又22Δ)2(21MN DM MN S QMN -⋅=33=，设点Q 到平面DMN 的距离为d ，则23331Δ===-d d S V DMN DMN Q ，得6=d ，C 正确；将三棱锥QMN D -补成以QMN 为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥QMN D -的外接球，其球心O 位于上下底面外心的中点，10103)2(sin 22=-=∠QM MN QM QMN ，故QMN Δ的外接圆半径35sin 21=∠⨯=QMN QN r ，设外接球半径为R ，则18131223(35(222=+=R ，所以三棱锥QMN D -的外接球表面积9π262π42==R S ，D 错误.故选AC .11.【答案】BCD【解析】由题，1cos ->=<FB F A ，，则向量FB F A ，的夹角为π，故F ，A ，B 三点共线，设1:+=kx y AB ，与C 的方程联立得0442=--kx x ，设)()(2211y x B y x A ，，，，则k x x 421=+，421-=x x ，故24221+=+k y y ，121=y y ，由抛物线的定义得1||1+=y AF ，1||2+=y BF ，故2||||21++=+y y BF AF 442+=k ，221212141)1()1(||||k y y y y y y BF AF =+++=+⋅+=⋅4+，故||||||||BF AF BF AF ⋅=+，所以2cos ||||->=<⋅=⋅BF AF BF AF BF AF ，，A 错误；设)4(200x x P ，，易知），10(-N ，当00≤x 时，直线PN 倾斜角大于等于2π，当00>x 时，11421414000002=⨯≥+=+=x x x x x x k PN，所以直线PN 的倾斜角4π≥α，B 正确；记直线AB 的斜率为k ，令241)(x x f =，则x x f 21)(='，则11121)(x x f k ='=，22221)(x x f k ='=，又)(414121221221212x x x x x x x x y y k +=--=--=，所以k k k 221=+，所以1=k ，又直线AB 过点)10(，F ，故直线AB 的方程为01=+-y x ，C 正确；)(2:111x x x y y MA -=-，又4211x y =，所以42:211x x x y MA -=，同理42:222x x x y MB -=，联立解得)42(2121x x x x M ，+，即)12(-，k M ，又)10(，F ，所以244||2≥+=k MF ，当0=k 时，等号成立，所以||MF 的最小值为2，D 正确；故选BCD .三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.【答案】41-【解析】由ααcos 321sin +=得21cos 3sin =-αα，即413πsin(=-α，=+)6πcos(α41)3πsin()]6π(2πsin[-=-=+-αα.13.【答案】13【解析】3个年级抽取的学生数分别为3，3，4人，则52)554523483(101=⨯+⨯+⨯=W ，故13])5255(1[104])5252(10[103])5248(4[1032222=-++-++-+=s .14.【答案】31【解析】设321，，，，，=d c b a ，则4位四进制数转换为十进制为d c b a +⨯+⨯+⨯44423d c b a ++⨯++⨯++⨯=)31()31()31(23+⋅+⋅+=223130333(C C C a +⋅++⋅3()31202333C C C b )3222⋅C d c c +++3，若这个数能被3整除，则d c b a +++能被3整除.当这个四进制数由1，2，3，3组成时，有1224=A个；当这个四进制数由1，1，2，2组成时，有624=C 个；这个四进制数由1，1，1，3组成时，有414=C 个；这个四进制数由2，2，2，3组成时，有414=C 个；这个四进制数都由3组成时，有1个.因为由1，2，3组成的4位四进制数共有8134=个，所以能被3整除的概率3181144612=++++=P .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.【答案】（1）证明：因为ABC Δ是正三角形，M 为AB 中点，所以AB CM ⊥，.......1分因为⊥A A 1平面ABC ，⊂CM 平面ABC ，所以A A CM 1⊥，所以⊥CM 平面11ABB A ，.................2分NMC B AC 1B 1A 1Oyz x又因为⊂B B 1平面11ABB A ，所以B B CM 1⊥，............................................3分连接1AB ，易得2211==B B AB ，所以21212B B AB AB +=，所以B B AB 11⊥，又因为MN AB //1，所以1BB MN ⊥，...................................5分因为M CM MN = ，所以⊥B B 1平面MCN ................................................6分（2）取AC 中点O ，连接BO ，O C 1，易知1OC OC OB ，，三条直线两两垂直，以O 为坐标原点，1OC OC OB ，，所在直线分别为z y x ，，轴建立空间直角坐标系，则)213(1，，-B ，)0032(，，B ，)020(，，C ，)200(1，，C ，................8分由（1）知平面MCN 的一个法向量为)213(1-=，，B B ，.......................9分又)220(1-=，，C C ，......................................10分所以4322226|||||||cos |111111=⋅=⋅=><C C B B C C B B C C B B ，，.............12分因为直线B A 1与平面FMN 所成的角为直线B B 1与C C 1所成角的余角，所以直线B A 1与平面FMN 所成的角的正弦值为43........................13分16.【答案】（1）)(x f 的定义域为)0(∞+，，2)ln(12)(--+='bx xx x f ，故b f ln 1)1(-='，又0)1(=f ，所以)(x f 在点))1(1(f ，处的切线方程为)1)(ln 1(--=x b y ，.................2分将点)10(-，代入得1ln 1=-b ，解得1=b .......................................4分（2）证明：由（1）知x x x x x f ln )1()(2---=，则2ln 12)(--+='x xx x f ，令=)(x g 2ln 12)(--+='x xx x f ，则22212112)(xx x x x x g --=--='2)12)(1(x x x +-=，......................6分当10<<x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当1>x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增，所以01)1()(>='≥'f x f ，.........................8分所以)(x f 在)0(∞+，上单调递增.......................................9分（3）对1≥∀x ，)1()(-≥x a x f 恒成立，即对1≥∀x ，)1(ln )1()1(-≥---x a x x x x 恒成立，当1=x 时，上式显然恒成立；............................11分当1>x 时，上式转化为a x x ≥-ln 恒成立，设)1(ln )(>-=x x x x h ，则0111)(>-=-='xx x x h ，.....................12分所以)(x h 在)1(∞+，上单调递增；所以1)1()(=>h x h ，....................................14分故1≤a ，所以实数a 的取值范围为]1(，-∞..........................15分17.【答案】（1）因为π=∠+∠BCD BAD ，所以BCD BAD ∠-=∠cos cos ，.........1分在ABD Δ中，由余弦定理得：BAD AD AB AD AB BD ∠⋅-+=cos 2222BAD ∠-=cos 45，在BCD Δ中，由余弦定理得：BCD CD BC CD BC BD ∠⋅-+=cos 2222BAD ∠+=cos 1213，.......................................3分两式作差得：0cos 168=∠+BAD ，解得21cos -=∠BAD ，.......................................5分因为π0<∠<BAD ，所以32π=∠BAD .....................................6分（2）由（1）知3π=∠PCD ，7=BD ，.......................................7分323sin 21Δ==∠⋅=PC PCD CD PC S PCD ，所以2=PC ，2=PD ，.......................................9分与（1）同理可得71cos =∠ABP ，故734sin =∠ABP ，..........................11分所以712cos 2222=∠⋅-+=ABP AP AB BP AB AP ，解得7212=AP ，.......................................13分设ABP Δ的外接圆半径为R ，在ABP Δ中，由正弦定理得R ABP AP 27347212sin ==∠，解得47=R ，所以ABP Δ的外接圆半径为47.......................................15分18.【答案】（1）将点361(，P 代入C 的方程得：132122=+ba ①，设C 的焦距为)0(2>c c ，则)0()0(21，，，c F c F -，故3213613621-=-⨯+=⋅c c k k PF PF ，解得2=c ②，又222c b a +=③，............................2分由①②③解得12=b 或32=a ，所以C 的方程为1322=+y x ........................................3分（2）（i ）由题，)0(m A ，，)0(，km B -，设)()(2211y x N y x M ，，，，O 为坐标原点，则)(21OM OB OA +=，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-m y k m x 11210，，解得⎪⎩⎪⎨⎧==m y k m x 211，所以)2(m k m M ，，.......5分又)(21ON OA OB +=，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=0221222m y k m x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y k m x 222，，所以)2(m k m N --，，..7分将点M ，N 的坐标代入C 的方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+134143222222m k m m km ，，..................8分解得513122==m k ，，....................................9分因为00>>m k ，，所以5533==m k ，所以直线l 的方程为5533+=x y .....................................10分注：若利用AB 中点是MN 的中点或利用MN 长度等于3AB 长度联立的方程得出k ，m 同样按步骤得分.（ii ）由题直线l 过点)02(1，-F ，所以)2(:+=x k y l ，与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=13)2(22y x x k y ，，得03626)31(2222=-+++k x k x k ，01212Δ2>+=k ，设)()(2211y x N y x M ，，，，则22213126k k x x +-=+，22213136k k x x +-=，............11分所以]4))[(1(||1||212212122x x x x k x x k MN -++=-+=22224231)36(4)31(72)[1(k k k k k +--++=2231132k k ++⨯=，....................13分又22221213122)223126()22(k kk k k x x k y y +=++-=++=+，所以MN 中点为)3123123(222kkk k ++-，，所以MN 的垂直平分线方程为)3123(1312222k k x k k k y ++-=+-，令0=y 得223122k k x +-=，故)03122(22，k k Q +-，....................15分所以=++-=|23122|||221kk QF 223112kk ++⨯，....................16分所以6||||1=QF MN ......................................17分19.【答案】（1）由题，11=a ；小于等于2且与2互质的正整数有1，所以12=a ；小于等于3且与3互质的正整数有1，2，所以23=a ；小于等于4且与4互质的正整数有1，3，所以24=a ；小于等于5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以45=a ..............3分所以数列}{n a 的前5项和为1042211=++++........................4分（2）若2为质数，则小于等于n2的正整数中，只有2的倍数不与2互质，又因为小于等于n2的正整数中，2的倍数有12-n 个，...........................6分所以112222--=-=n n nn a ........................................7分在小于等于3731⨯的正整数中，31的倍数有37个，37的倍数有31个，所以1080)137)(131(1373137313731=--=+--⨯=⨯a ..................9分（3）证明：由（2）知122-=n n a ，所以122-+=n n nn b ，所以122212022233222211-++++++++=n n nn S ，故n n n n S 223322221121232222++++++++= ，................................11分作差得：nn n n n n S 22232221(22121210+-++++=- ，所以1212102)2232221(4--+-++++=n n n nn n S ...............................13分令12102232221-++++=n n nT ，则n n n T 22322212132++++= ，作差得：nn nn n n n n n T 2222211)21(1221212121121132+-=---=-+++++=- ，所以1224-+-=n n nT ，.......................................15分故12121285162)224(4---++-=+-+-⨯=n n n n n n n n n S ，因为*N ∈n ，所以028512>++-n n n ，所以16<n S .得证........................................17分。

2024-2025学年浙江省浙南名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 1=1−i ，z 2=2−i ，则复数z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A ={(x,y)|y =|x|},B ={(x,y)|y =1|x|}，则A ∩B =( )A. {−1,1}B. {(−1,1)，(1,1)}C. (0,+∞)D. (0,1)3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语⋅子路》.意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守.根据上述材料，“身正”是“令行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=1x +1−a.若f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,1]5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有( )A. 20种B. 40种C. 80种D. 160种6.将函数g(x)=cos (ωx +π12)(ω∈N ∗)的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，若f(x)在(0,π2)上只有一个极大值点，则ω的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 57.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点P ，Q ，使得△PF 1Q 为正三角形，且OQ ⊥F 1P ，则C 的离心率为( )A. 2 B. 1+ 2 C. 3 D. 1+ 38.已知x 0为函数f(x)=x 2e x +e 2lnx−2e 2的零点，则x 0+lnx 0=( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。