2019考研数学线性代数—二次型(三)

考研数学三题型的考察特点分析线性代数是考研数学中比较重要的一部分内容，考生要认真复习，尤其注意对重点知识的理解和应用。

店铺为大家精心准备了考研数学三题型的指南攻略，欢迎大家前来阅读。

考研数学有哪些题型的考察特点分析一、填空及选择题实际上相当于一些简单的计算题，用于考察“三基”及数学性质。

选择题大致可分为三类：计算性的、概念性的与推理性的。

主要是考查考生对数学概念、数学性质的理解，并能进行简单的推理、判定和比较。

二、证明题对于数三来说高等数学证明题的范围大致有：极限存在性、不等式，零点的存在性、定积分的不等式、级数敛散性的论证。

线性代数有矩阵可逆与否的讨论、向量组线性无关与相关的论证、线性方程组无解、唯一解、无穷多解的论证，矩阵可否对角化的论证，矩阵正定性的论证，关于秩的大小并用它来论证有关问题等等，可以说线代的证明题的范围比较广。

至于概率统计证明题通常集中于随机变量的不相关性和独立性，估计的无偏性等。

三、综合以及应用题综合题考查的是知识之间的有机结合，此类题难度一般为中等难度。

同样每一试卷中都有一至二道应用题，前几年研究生考试中就考察了一道有关于经济类利息率的应用题，而合并后数三的应用题更会涉及经济方面，所以考生在平时一定要加强对经济类应用题的复习。

考研数学线性代数必考的知识点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的`计算二、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。

相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。

复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。

二次型与对称矩阵一、 二次型及其矩阵1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =+++12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --++++称为二次型。

为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：212111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =+++ 2212122222n n a x x a x a x x +++++21122n n n n nn na x x a x x a x ++++ ,1nij i j i j a x x ==∑令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 12(,,,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。

由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。

例1 设31322123222132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 试求二次型矩阵A .解 111=a , 222=a , 333=a , 252112==a a , 273223==a a ,293113==a a . 于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=327292722529251A ，1123235912257(,,)22297322x f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X .求二次型AX X T 的矩阵.解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T 321321233110321),,(x x x x x x AX X3231212322214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--223211311.二、线性变换 1 标准形定义：形如2222211n n x d x d x d +++ 的二次型称为二次型的标准形。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x −与kx 是同阶无穷小，则k =（）A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】 C.【解析】当0x →时，31tan 3x xx −−，则=3k .2．已知方程550x x k −+=有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）A 、 (,4)−∞− B 、(4,)+∞C 、{}4,4−D 、(4,4)−【答案】 D.【解析】令5()5f x x x k =−+，由()0f x '=得1x =±，当1x <−时，()0f x '>，当11x −<<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又由于lim ()x f x →−∞=−∞，lim ()x f x →+∞=+∞，方程要有三个不等实根，只需要(1)=40f k −+>，(1)4<0f k =−+，因此k 的取值范围为44k −<<.3．已知微分方程e x y ay by c '''++=的通解为12()e e xx y C C −=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，121λλ==−，故特征方程为221=21=0λλλ+++（），所以2,1a b ==，又由于e x y =是+2x y y y ce '''+=的特解，代入得4c =.4、若1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） A 、1n nn u v∞=∑条件收敛B 、1n nn u v∞=∑绝对收敛C 、1()nn n uv ∞=+∑收敛D 、1()nn n uv ∞=+∑发散【答案】 B. 【解析】由1n n v n∞=∑条件收敛知，lim 0nn v n →∞=，故当n 充分大时，1n v n . 所以，nn n n n vu v nu nu n=⋅，由于1n n nu ∞=∑绝对收敛，所以1n n n u v ∞=∑绝对收敛.5、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组=Ax 0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=. 6、设A 是3阶实对称，E 是3阶单位矩阵，若2=2A +A E 且4=A ，则二次型T x Ax 的规范形为（ ）A. 222123y y y ++ B.222123y y y +− C.222123y y y −− D.222123y y y −−−【答案】 C.【解析】22λλ+=，则λ只能为2−或1，又由于4=A ，则特征值分别为-2,-2,1，则二次型的规范形为222123y y y −−. 7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A.()()().P A B P A P B =+UB.()()().P AB P A P B =C.()().P AB P BA =D.()().P AB P AB =【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y −<A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与μ，2σ都有关. D.与μ，2σ都无关.【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ，所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；选A二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．9、111lim 1223(1)nn n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥⋅⋅+⎣⎦____________ 【答案】1e .−【解析】111+++1223(1)1nn n n n n ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯++⎝⎭⎣⎦L ，则1lim e .1nn n n −→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭10、曲线π3πsin 2cos ()22y x x x x =+−<<的拐点坐标为____________ 【答案】 π2−（，）. 【解析】令sin0y x x ''=−=，可得πx =，因此拐点坐标为π2−（，）. 11、已知1()f x t =⎰，则120()d xf x x =⎰____________【答案】1(118−.【解析】依题意，()f x '=(1)0f =.因此，11123310000111()d ()d ()(13318x f x x f x x x f x x x ⎡⎤==−=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 12、A 、B 两商品的价格分别为、，需求函数,, ,求A 商品对自身价格的需求弹性____________ .【答案】0.4. 【解析】因为d (2)d A A A AA A B A A AP Q PP P Q P Q η=−⋅=−⋅−−，将，，1000A Q =代入，可得104000.41000AA η=⋅=. 13、2101111011a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，01a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，=Ax b 有无穷多解，求____________ 【答案】1.【解析】因为=Ax b 由无穷多解，故()()3r r =<A A,b ，对矩阵()A,b 作初等行变换，因为P A P B Q A =500-P A 2-P A P B +2P B 2P A =10P B =20h AA =h >0()P A =10P B =20a =21010()01010011a a −⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭A,b ，故2110a a −=−=，因此1a =.14、为连续型随机变量，概率密度为, 为的分布函数，为的期望，求{}()1P F X EX >−=____________【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰，且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0.x x x x f x x x ⎧>=⎨+⎩求()f x '，并求()f x 的极值.【答案】f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0，极大值f (0)=1.极小值1(1)1e f −=−，2e 1()e ef −=.【解析】解：当x >0时：f ′(x )=(e 2xlnx −1)′=(e 2xlnx )′=e 2xlnx (2lnx +2)=2x 2x (lnx +1)当x <0：f ′(x )=e x +xe x =e x (x +1)因此f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0当x =0：X f (x )=x2,0<x <20,elseìíïîïF (x )X EX Xf +′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+x 2x −1x =lim x→0+e 2xlnx −1x =lim x→0+2xlnxx=−∞f −′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+xe x x=lim x→0+e x =0当x >0时，f ′(0)<0，f (x )单调递减，当x <0时，f ′(0)>0，f (x )单调递增因此f (x )在x =0处取得极大值，且f (0)=1.令()0f x '=得，1x =−及1e x =. 又1(1)0,()0e f f ''''−>>，故极小值为1(1)1ef −=−，2e 1()e ef −=. 16、（本题满分10分）已知(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且(,)(,)g x y xy f x y x y =−+−，求22222g g gx x y y ∂∂∂++∂∂∂∂.【答案】112213.f f ''''−−【解析】依题意知，12(,)(,)gy f x y x y f x y x y x∂''=−+−−+−∂， 12(,)(,)gx f x y x y f x y x y y∂''=−+−++−∂. 因为(,)f u v 具有二阶连续偏导数，故1221f f ''''=，因此，2111221221112222()()2gf f f f f f f x ∂''''''''''''''=−+−+=−−−∂， 21112212211221()()1gf f f f f f x y∂''''''''''''=−−−−=−+∂∂， 2111221221112222()()2gf f f f f f f y∂''''''''''''''=−−+−=−+−∂. 所以，22211222213.g g gf f x x y y∂∂∂''''++=−−∂∂∂∂17、（本题满分10分）已知()y x 满足微分方程22ex y xy '−=，且满足(1)y =（1）求()y x ；（2）若{}(,)12,0()D x y x y y x =，求区域D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积.【答案】（1）22()e x y x =. （2）【解析】（1）22d d 22()e e e e (x xx x x x y x C C −−−⎛⎫⎰⎰=+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰因为(1)y =0C =，所以22()e .x y x =（2）由旋转体体积公式，222224211ππe )d πe d (e e).2x x V x x x ===−⎰⎰18、（本题满分10分）求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积.解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n xnx n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记esin d xI x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰ ecos e dsin e cos (e sin sin de )xx x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nxn n n n u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 19、（本题满分10分）设()10,1,2n a x x n ==⋅⋅⋅⎰（1）证明数列{}n a 单调递减；且()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+（2）求1lim−∞→n nn a a .(1)证明:110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.1333111212212220011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n na a a a a a −−<<=,而21lim lim12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知 1lim1nn n a a →∞−=.20、（本题满分11分）已知向量组I ：()()()21231,1,4,1,0,4,1,2,3TT Ta ===+αααII ：()()()21231,1,3,0,2,1,1,3,3TTTa a a =+=−=+βββ若向量组I 与II 等价，求a 的取值，并将3β用123,,ααα线性表示.【答案】1a ≠−；1a =时，3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；当1a ≠±时，3123=−+βααα.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B .因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.21、（本题满分11分）已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.（1）求x ,y ;（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−.(2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 22、（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<)，令Z XY =.（1）求Z 的概率密度;（2）p 为何值时，X 与Z 不相关;（3）X 与Z 是否相互独立?【答案】（1）e ,0,()(1)e ,0.z Z zp z f z p z −⎧<=⎨−⎩（2）12p =；（3）不独立.【解析】（1）Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=，因为X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此，e ,0,()[1()](1)()(1)(1e ),0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩所以，Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩（2）当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时，X 与Z 不相关. 因为1DX =，12EY p =−，故1.2p = （3）不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==，而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠，故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅， 所以X 与Z 不独立. 23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A x f x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量. 【解答】（1）由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰，即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰，得A =（2）设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏，取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−∑； 求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑，令导数为零解得2211()ni i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==−∑.。

线性代数二次型 1二次型与对称矩阵一、 二次型及其矩阵1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =+++12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --++++称为二次型。

为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：212111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =+++ 2212122222n n a x x a x a x x +++++21122n n n n nn na x x a x x a x ++++ ,1nij i j i j a x x ==∑令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 12(,,,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。

由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。

例1 设31322123222132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=第二章 2试求二次型矩阵A .解 111=a , 222=a , 333=a , 252112==a a , 273223==a a , 293113==a a .于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=327292722529251A ，1123235912257(,,)22297322x f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X .求二次型AX X T 的矩阵.解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T 321321233110321),,(x x x x x x AX X3231212322214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--223211311.二、线性变换1 标准形定义：形如2222211n n x d x d x d +++ 的二次型称为二次型的标准形。

考研数学重点解析线代之特征值与二次型线性代数是数学的一个重要分支，对于考研数学来说也是非常重要的一部分。

在线性代数中，特征值与二次型是两个非常重要的概念和研究方向。

下面我们将重点解析一下这两个内容。

一、特征值（Eigenvalue）特征值是矩阵理论中的一个非常重要的概念，它对于解决线性代数的问题有着很重要的作用。

对于一个n阶矩阵A和一个非零列向量x，如果满足Ax=λx，其中λ为实数，那么λ就是矩阵A的一个特征值，x就是A对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量的研究在线性代数中有着广泛的应用，比如在解决矩阵的对角化、矩阵的相似性等问题时，都需要用到这些概念和方法。

特征值和特征向量的计算也是重点内容，可以通过特征值方程进行求解。

特征值的性质也是需要重点掌握的部分，比如特征值的个数与特征向量的个数相等，特征值的求和等于矩阵的迹等。

二、二次型（Quadratic Form）二次型是二次齐次多项式的一种形式，它是线性代数中非常重要的一个概念。

对于一个n元二次型Q(x1, x2, ..., xn)，可以表示为Q(x1, x2, ..., xn) = x^TAX，其中x = [x1, x2, ..., xn]^T为变量向量，A 为一个对称矩阵。

二次型在线性代数中有着广泛的应用，比如在优化问题、最小二乘法等领域都有着重要的作用。

掌握二次型的性质和研究方法是非常重要的，比如二次型的矩阵表示、规范形、正定性等。

其中，二次型的规范形可以通过正交变换将其转化为一个简化的形式，而二次型的正定性则是判断一个二次型的重要标准。

特征值和二次型都是线性代数中的重点内容，对于考研数学来说也是需要重点掌握的部分。

除了了解它们的定义、性质和计算方法，还需要善于应用它们解决实际问题。

因此，在备考考研数学时，需要着重学习和理解特征值和二次型的相关知识，并进行大量的习题练习，才能够在考试中取得好的成绩。

总结起来，特征值与二次型是考研数学线性代数中的两个重点内容。

第七讲 二次型一、二次型与合同变换 1. 二次型二次型 n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次函数()222121112*********,1,,, 222 ,n nn nn n n n n n T f x x x a x a x a x a x x a x x a x x x Ax --=++++++++=其中A 是对称阵.二次型f 的矩阵 A 二次型f 的秩 ()r A二次型的标准形 只有平方项的二次型()22212111222,,,T n nn n f x x x a x a x a x x Dx =+++= ,其中D 是对角阵.* 二次型标准形f 的矩阵是对角阵例1（P121 例7.1） 例2（P121 例7.2）2. 合同变换合同矩阵/合同变换/合同变换矩阵 设,,A B C 是方阵, 且C 可逆.若TB C AC =, 则称A 与B 是合同矩阵, 记作A B .对方阵A 的运算TC AC 称为对A 的合同变换, 并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵.合同矩阵的性质 反身性 对称性 传递性* 合同的矩阵等价; 但反之, 等价的矩阵不一定合同. P123* 合同关系不一定是相似关系, 但相似的实对称矩阵一定合同. P123合同变换的作用 把对称阵变为秩不变的对称阵TA C AC ⇒定理1（P122 定理7.1） 线性变换下, 二次型仍变为二次型, 且在可逆线性变换下, 二次型的秩不变.Tx C yB C ACT T f x Ax fy By ===⇒=二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理由定理6.9知: 对于实对称阵A , 总存在正交阵P , 使得1P AP -为对角阵. 又正交阵P 有1T P P -=. 所以把二次型T f x A x =化为标准形的问题就转化为寻找正交阵P , 使A 经正交变换对角化的问题. P123* 正交变换既是相似变换又是合同变换定理1（P123 定理7.3）2. 用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型T f x Ax =为标准形的步骤与把实对称阵A 对角化的步骤几乎一致. 例1（P123 例7.3） 例2（P125 例7.4） 例3（P127 例7.5）三、正定二次型正、负惯性指数 二次型的标准形中正系数的个数和负系数的个数惯性定理 二次型T f x Ax =的标准形中正系数的个数和负系数的个数由二次型矩阵A 唯一决定, 正系数的个数和负系数的个数之和等于()r A .正(负)定二次型/正(负)定矩阵 0,0(0,0f x f x >∀≠<∀≠/0(0)A A ><定理 合同变换不改变实对称阵的类型; 可逆线性变换不改变二次型的类型.正(负)定二次型的判定: 定理1（P133 定理7.7） 定理2（P132 定理7.6） 推论（P133 推论） 例1（P133 例7.8） 例2（P134 例7.9） 例3（P134 例7.10） 例4（P134 例7.11）四、习题解答 1. P135 6.提示: 0T T Tf x Ax x U UX UX ===≥. 因为U 可逆, 故当x ο≠时, U x ο≠ , 从而0f U X =>,即f 正定. 2. P135 7.提示: 因为A 正定, 故存在正交矩阵P 和正定对角矩阵D , 使得TT TA PDP P DD P U U ===.3. P135 8.提示: 设对称矩阵A 与矩阵B 合同, 则存在矩阵C , 使T C AC B =. 而()TT T T B C AC C AC B ===, 即B 是对称矩阵. 4. P135 9.提示: 矩阵A 与矩阵A -合同⇒存在矩阵C , 使T C AC A =-.而()01A nTC AC A A A n ≠=-⇒=-⇒为偶数.5. P135 1.提示: 2013022035a a a=⇒=.6. P135 2. 提示: ()2513153153023333003r A A k k k =---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭或 ()203r A A k =⇒=⇒=.7. P135 3.提示: 25110113110111114111a b b a ba b a b +=⎧⎛⎫⎛⎫⎪=⎧⎪⎪ ⎪⇒=⇒⎨⎨ ⎪⎪=⎩⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎩. 8. P135 5.提示: 1*1AA A A λλλ-↔⇔↔⇔↔.9. P135 6.提示: (),0T T T x x A B x x Ax x Bx A B ο∀≠+=+>⇒+正定.10. P135 7.提示: T B AB 正定,0T T x x B ABx ο⇔∀≠>()(),,0T x Bx Bx A Bx οο⇔∀≠≠>有Bx ο⇔=只有零解()r B n ⇔=.11. P135 8.提示: 12(,,,)n A D diag λλλ=1212111m ax m ax m ax Ti ny Px T T i iP Pi ni iix y ii f x Axy D y y f y λλλλ-===∀>===⇒===⇒=≤∑∑当取()1,0,,0Ty =时，1m ax m ax i x if λ== .五、知识扩展1. 设A 是n 阶正定矩阵, E 是n 单位矩阵, 证明: A E +的行列式大于1.（1999 数一）提示: 方法一设λ是A 的特征值, 则0λ>且0E A λ-=,()()10E A E λ⇒+-+=1λ⇒+>（1）是A E +的特征值⇒1A E +>. 方法二()12 ,,, 1.n A D diag A E D E A E D E λλλ=⇒++⇒+=+>10. 设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵()2B kE A =+, 其中k 为实数, E 为单位矩阵. 求对角矩阵Λ, 使B 与Λ相似, 并问k 为何值时, B 为正定矩阵. （1998 数三）提示: A 为对称阵kE A ⇒+是对称阵()2kE A ⇒+是对称阵02222k A kE A k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇒++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()()()222222k kE A k k ⎛⎫ ⎪⇒++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭()()22222k B k k ∆⎛⎫⎪⇒+=Λ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭02k k ⇒≠≠-且时, B 为正定矩阵11. 设A 为三阶实对称矩阵, 且满足条件22A A O +=, 已知A 的秩()2r A =, (1) 求A 的全部特征值;(2) 当k 为何值时, 矩阵A kE +为正定矩阵. （2002 数三）提示: (1) 2222222A A OA A A A ξλξξλξξλξλξλξ+==⇒=⇒-=⇒-=()3020,2,A diag λλλ⇒==-⇒- 或, 且330λλ＝或＝-2若()301r A λ=⇒=, 矛盾; 若()322r A λ=-⇒=, 则A 的全部特征值为0,2,2--. (2) A 是实对称矩阵022A ⎛⎫⎪⇒-⎪ ⎪-⎝⎭222k k A kE k kE A k >⎛⎫⎪⇒+-⇒+ ⎪ ⎪-⎝⎭正定 12. 设,A B 分别为,m n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵AO C OB ⎛⎫=⎪⎝⎭的正定性. 提示: ,,x y οο∀≠≠ 有00T T x Ax y By >>,()(),,, ,0T TT T T T x y x y A O x x y x Ax y By O B y οοο⇒∀≠≠≠⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或有进而有AO C OB ⎛⎫⇒=⎪⎝⎭正定 13. 二次型()()()()222123122313,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 .提示: ()()21100012112122112033A r A r f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.14. 已知二次型()()()()22212312312,,11221f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2. 求:(1) a 的值;(2) 求正交变换x Qy =, 把()123,,f x x x 化成标准形; (3) 求方程()123,,0f x x x =的解. （2005 数一） 提示: (1) 11022011011000202aa A aa a a -+⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+-+- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20r A a =⇒= (2) 略(3) ()123,,0f x x x =()()2222212312312123,,2220f x x x x x x x x x x x ⇔=+++=++=()()123123,0,,1,1,0T Tx x x x x x k ⇔=-=⇔=-, 其中k 是任意实数.。

考研数学二（二次型）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设矩阵则A与B( )A．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的概念以及判断的方法．事实上，两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是，它们有相同的特征值及对应的重数；而两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是，它们有相同的秩和相同的正惯性指数．由此可知相似的实对称矩阵必合同．所以选项C肯定错．为判别其他选项，求矩阵A的特征值即可．因为即矩阵A的特征值为3，3，0，而矩阵B的特征值为1，1，0，所以矩阵A与B不相似；但A与B的秩均为2，正惯性指数也都是2．所以它们是合同的．总之．选项B正确．知识模块：二次型2．设则A与B( )A．合同且相似．B．合同但不相似．C．不合同但相似．D．不合同且不相似．正确答案：A解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的判定．所用的知识点是：任给实对称矩阵A，总存在正交矩阵Q，使得Q一1AQ=QTAQ=A．其中对角矩阵A主对角线上的元素是A的特征值；Q是正交矩阵Q一1=QT．显然A是实对称矩阵，且特征值为4，0，0，0．故存在正交矩阵Q，使得Q一1AQ=QTAQ= B．因此选A．知识模块：二次型3．设A，B为同阶可逆矩阵，则( )A．AB=BA．B．存在可逆阵B，使P一1AP=B．C．存在可逆阵C，使CTAC=B．D．存在可逆阵P和Q，使PAQ=B．正确答案：D解析：本题主要考查的知识点为矩阵相似、合同、等价、交换等概念．用排除法解此题．矩阵的乘法不满足交换律．事实上，令易知A，B均可逆，但AB ≠BA，排除选项A．注意到矩阵A与B的特征值不一定相同．故A与B不一定相似，排除选项B；若A是对称矩阵，B为非对称矩阵，知A与B不合同，排除选项C．故选项D正确．知识模块：二次型填空题4．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2的秩为_________．正确答案：2解析：本题考查二次型的秩的概念及矩阵秩的求法．二次型f(x)=xTAx的秩为rA．由于f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3—2x2x3的矩阵为对A 施以初等变换得从而r(A)=2．即二次型的秩为2．知识模块：二次型5．已知二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32—2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2，则常数c=________．正确答案：3解析：本题考查二次型秩的概念及当矩阵的秩小于矩阵的阶数时其行列式为零．由于二次型f的矩阵为由r(A)=2，知｜A｜=0，解得c=3．知识模块：二次型6．设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，则f的惯性指数为_________．正确答案：2解析：用配方法把f(x1，x2，x3)化成标准形，或求出特征值，正特征值个数即为正惯性指数．利用配方法化二次型为标准形．f=x12+2x1x2+2x2x3=x12+2x1x2+x22一(x22一2x2x3)=(x1+x2)2一(x2一x3)2+x32=y12一y22+y32，其中y1=x1+x2，y2=x2一x3，y3=x3，即由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2．知识模块：二次型7．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_____．正确答案：2解析：本题考查二次型对应的对称矩阵A的特征值与二次型的标准形f=6y12的系数之间的关系．注意二次型经正交变换化成的标准形的系数是二次型对应的对称矩阵A的特征值，并且A的特征值的和等于A的迹trA．由于二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3的矩阵且矩阵A的特征值为6，0，0．于是3a=6，所以a=2，故填2．知识模块：二次型8．若二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3正定，则t的取值范围是_____________．正确答案：解析：本题考查正定二次型的判定方法．注意正定二次型对应的对称矩阵A 是正定矩阵．A是正定矩阵A的各阶顺序主子式全为正．由于二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3的矩阵知识模块：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。