【初三数学】天津市九年级数学上期中考试测试卷及答案

2022-2023学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. “垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. 可回收物B. 有害垃圾C. 厨余垃圾D. 其他垃圾2. 一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是( )A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定3. 如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(−2,5)，则点C的坐标是( )A. (5,−2)B. (2,−5)C. (2,5)D. (−2,−5)4. 用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是( )A. (x+4)2=−7B. (x+4)2=−9C. (x+4)2=7D. (x+4)2=255. AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是( )A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°6. 把抛物线y=−2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( )A. y=−2(x+1)2+2B. y=−2(x+1)2−2C. y=−2(x−1)2+2D. y=−2(x−1)2−27. 若M(−4,y1)，N(−3,y2)，P(1,y3)为二次函数y=x2+4x−5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1<y2<y3B. y2<y1<y3C. y3<y1<y2D. y1<y3<y28. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )A. 50(1+x)2=182B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182C. 50(1+2x)=182D. 50+50(1+x)+50(1+2x)2=1829. 关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是( )A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为−310. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，净高CD=9米，则此圆的半径OA=( )A. 6米B. 132米C. 7米D. 152米11. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =√2，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为( )A. 2−√2B. √32C. √3−1D. 112. 二次函数y =ax 2+bx +c(a,b,c 是常数，a ≠0)的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表： x… −2 −1 0 1 2 …y =ax 2+bx +c … t m −2 −2 n …且当x =−12时，与其对应的函数值y >0，有下列结论： ①abc <0；②m =n ；③−2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c =t 的两个根；④a <83． 其中，正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 写出下列一元二次方程的根(2x −7)(x +2)=0 ______．14. 函数y =2(x −1)2图象的顶点坐标为______ ．15. 如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠B =30°，直线BD 与⊙O 切于点D ，则∠ADB 的度数是______．16. 已知二次函数y=kx2−7x−7的图象和x轴有交点，则k的取值范围______．17. △ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是___________．18. 如图，△ABC是等边三角形，AB=4√3，D是BC的中点，F是直线AB上一动点，线段DF 绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，当点F运动时，CE的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。

天津市和平区2022年九年级上学期《数学》期中考试卷与参考答案一、选择题1. 下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【详解】A ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；B ．当时，，故点在函数图象上，不符合题意；C ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；D ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；故选：B ．2. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）A. （1）（2）B. （1）（3）C. （1）（4）D. （2）（3）【答案】B 【详解】（1）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（2）既不是轴对称又不是中心对称图形；23y x =(1,3)-(2,12)()2,6-(3,3)1x =23133y =⨯=≠-(1,3)-2x =23212y =⨯=(2,12)2x =-23(2)126y =⨯-=≠()2,6-3x =233183y =⨯=≠(3,3)（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（4）是轴对称图形，不是中心对称图形故选：B ．3. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x ，根据题意列出的方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【详解】依题意得：两次降价后售价为，故选：C ．4. 用配方法解方程，则方程可变形为（）A. B. C. D. 【答案】D【详解】，，，，故选D.的()2250013200x +=()2250013200x -=()2320012500x -=()2320012500x +=()2320012500x -=23610x x -+=21(3)3x -=21(1)33x -=2(31)1x -=22(1)3x -=23610x x -+=2123x x -=-22213x x -+=()2213x -=5. 在半径为50的中，弦的长为50，则点O 到的距离为（ ）A. 50B.C.D. 25【答案】B【详解】如图，作于C ，根据题意：，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，即点O 到的距离为，故选：B ．6. 将抛物线y=x 2先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为（ ）A. y=（x+1）2+3B. y=（x﹣1）2+3C. y=（x﹣1）2﹣3D. y=（x+1）2﹣3【答案】D【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），O e ABABOC AB ⊥50OA OB AB ===OAB V 60AOB ∠=︒OC AB ⊥30AOC ∠=︒cos30OC OA =⋅︒=AB向下平移3个单位，再向左平移1个单位后的图象的顶点坐标为（-1，-3），所以，所得图象的解析式为 y=（x+1）2﹣3，故选D ．7. 如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：C ．8. 将二次函数配方为的形式为（ ）A. B. C.D. ABCD O BC CD =35DAC ∠=︒45ACD ∠=︒ADB ∠55︒60︒65︒70︒35DAC ∠=︒35DBC ∠=︒BC CD =35CDB ∠=︒45ACD ∠=︒100ADC ∠=︒65ADB ADC CDB ∠=∠-∠=︒2=2+3y x x -()2y x h k =-+()211y x =-+()212y x =-+()223y x =--()221y x =--【答案】B【详解】，故选：B ．9. 如图，圆内接四边形的对角线，把它的四个内角分成八个角，那么以下结论不一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】A 、∵所对的弧都是弧∴，选项正确，不符合题意；B 、∵所对的弧都是弧∴，选项正确，不符合题意；C 、∵不一定是直径∴不一定是直角∴不一定等于，符合题意；D 、∵ ∴ ，选项正确，不符合题意；故选C．()2221212y x x x =-++=-+ABCD AC BD 27∠=∠58∠=∠6190∠+∠=︒4256180∠+∠+∠+∠=︒2,7∠∠BC27∠=∠5,8∠∠DC58∠=∠BD BAD ∠61∠+∠90︒7654180∠+∠+∠+∠=︒2654180∠+∠+∠+∠=︒10. 和是等边三角形，且在一条直线上，连接交于点，则下列结论中错误的是（ ）A.B C. 可以看作是平移而成的D. 可以看作是绕点顺时针旋转而成的【答案】C【详解】A 、∵和是等边三角形，∴，∴，选项正确，不符合题意；B 、∵和是等边三角形，∴，∴，即，∴（SAS ），∴，∴，.ABC V BDE △,,A B D ,AE CD P AC BE P 60APC ∠=︒BDE △ABC V CBD △ABE V B 60︒ABC V BDE △60CAB DBE ∠=∠=︒AC BE P ABC V BDE △,,60AB BC BE BD ABC DBE ==∠=∠=︒ABC CBE DBE CBE ∠+∠=∠+∠ABE CBD ∠=∠ABE CBD V V ≌BDC AEB ∠=∠60APC EAB BDC EAB AEB EBD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒选项正确，不符合题意；C 、∵和是等边三角形，但边长不一定相等，选项错误，符合题意；D 、∵，且，∴可以看作是绕点顺时针旋转而成，选项正确，不符合题意；故选C ．11. 在等边中，D 是边上一点，连接，将绕点B 逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【详解】∵为等边三角形，∴，，∵绕点B 逆时针旋转，得到，∴，，ABC V BDE △ABE CBD V V ≌60EBD ∠=︒CBD △ABE V B 60︒ABC V AC BD BCD △60︒BAE V ED 5BC =4BD =AE BC ∥ADE BDC ∠=∠BDE V ADE △ABC V 60ABC C ∠=∠=︒5AC BC ==BCD △60︒BAE V 60BAE C ∠=∠=︒AE CD =∴，∴，①正确；∵绕点B 逆时针旋转，得到，∴，，∴为等边三角形，③正确，∴，，∵，∴，即，∴，②错误；∵，，∴的周长，④正确．故选：C ．12. 已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x 的方程ax 2+bx+c+1=0无实数根；④≥2．其中，正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个BAE ABC ∠=∠AE BC ∥BCD △60︒BAE V 60DBE ∠=︒4BD BE ==BDE V 60BDE ∠=︒4DE DB ==BC BD >BDC C ∠>∠60BDC ∠>︒60ADE ∠<︒AE CD =4DE DB ==ADE △549AD AE DE AD CD DE AC DE =++=++=+=+=a b c b++【详解】①∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，∴抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵0＜2a≤b，∴＞1，∴﹣＜﹣1，∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；③由题意可知：对于任意的x ，都有y=ax 2+bx+c≥0，∴ax 2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；④∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，∴当x=﹣1时，y ＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+b+c≥2b，∵b＞0，∴≥2，故④正确，综上所述，正确的结论有3个，故选C ．2b a2b aa b c b++13. 点关于原点O 的对称点为______．【答案】【详解】点关于原点O 的对称点为．故答案为：．14. 抛物线不经过第________象限．【答案】四【详解】抛物线 画出该抛物线图象如图所示：观察函数图象可知：抛物线不经过第四象限.故答案为四.15. 已知函数的图象与轴只有一个交点，则的值为_______．【答案】4【详解】∵函数y=x 2-4x+m 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2-4ac=（-4）2-4×1×m=0，解得：m=4，故答案为4()3,4()3,4--()3,4()3,4--()3,4--2y x 3x 2=++223132(,24y x x x =++=+-2y x 3x 2=++24y x x m =-+x m16. 如图，点D为AC上一点，点O为边AB上一点，AD＝DO．以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF．若∠BAC＝22°，则∠EFG＝_ ．【答案】33°【详解】∵AD=DO，∴∠DOA=∠BAC=22°，∴∠AEF=0.5∠DOA=11°，∵∠EFG=∠BAC+∠AEF，∴∠EFG=33°.故答案为33.17. 如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为__．【答案】20【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE 的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．【详解】延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=0.5OD=2；∴BE=10；∴BC=2BE=20；故答案为：20．18. 已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0），（1）求抛物线的解析式_____．（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在第二象限内，P′A2取得最小值时，求m的值_____．【答案】①. y＝x2﹣2x﹣3②.【分析】（1）首先把A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx﹣3，得出b ＝﹣2，即抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x﹣3；（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，即可判定﹣m＜0，﹣t＞0，即m ＞0，t ＜0，因为抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），可得出﹣4≤t＜0，又根据P 在抛物线上，可得出t ＝m 2﹣2m﹣3，进而得出m 2﹣2m＝t+3，根据两点坐标A （﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），即可求出P′A 2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m 2﹣2m+1+t 2＝t 2+t+4＝（t+）2+；可判定当t ＝﹣时，P′A 2有最小值，即可求出m【详解】（1）把A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx﹣3得：0＝1﹣b﹣3，解得：b ＝﹣2，即抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x﹣3，故答案为y ＝x 2﹣2x﹣3；（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m ＞0，t ＜0，∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∴﹣4≤t＜0，∵P 在抛物线上，∴t＝m 2﹣2m﹣3，∴m 2﹣2m＝t+3，∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），1215412∴P′A 2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m 2﹣2m+1+t 2＝t 2+t+4＝（t+）2+；∴当t ＝﹣时，P′A 2有最小值，∴﹣＝m 2﹣2m﹣3，解得mm，∵m＞0，不合题意，舍去，∴m三、解答题19. 解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）（2），【小问1详解】解：，，，，，，1215412122 1.53x x +=-3(1)2(1)x x x -=-1x =2x =11x =223x =2 1.53x x +=- 23 1.50x x \++=1a ∴=3b = 1.5c =2341 1.530\D =-´´=＞则即所以，原方程的解为【小问2详解】解：，，则或，解得，，所以，原方程的解为，．20. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表：x …1…y …0…（1）直接写出此二次函数图象的对称轴与顶点坐标．（2）求该二次函数的解析式．【答案】（1）对称轴为直线；顶点坐标为：（2）x ==1x =2x =1x =2x =31()210()x x x ---= 1320()()x x \--=10x -=320x -=11x =223x =11x =223x =32-1-12-123254-2-94-2-54-7412x =-19(,)24--22y x x =+-解（1）由表格中的值可知：和的函数值相等，关于对称轴对称，∴图象的对称轴为直线，∴顶点坐标为：；【小问2详解】设，将代入可得：，解得： ，∴二次函数的解析式为：，故二次函数的解析式为：．21. 已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD 的长．【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD ＝CD ＝；（Ⅱ）BD ＝5=1x -0x =12x =-19(,)24--219()24y a x =+-()0,2-19244a -=-1a =2219()224y x x x =+-=+-22y x x =+-【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB 和△DCB 是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC 的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD ＝CD ＝；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD 是等边三角形，则BD ＝OB ＝OD ＝5．【详解】（Ⅰ）如图①，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB 中，BC ＝10，AB ＝6，∴由勾股定理得到：AC ∵AD 平分∠CAB，∴ ，∴CD＝BD ．在直角△BDC 中，BC ＝10，CD 2+BD 2＝BC 2，∴易求BD ＝CD ＝；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，8==»»CDBD =12∴BD＝OB ＝OD ．∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5，∴BD＝5．22. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解决方案：设应邀请x 个队参赛、（1）每个队要与其他______个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共______场；（2）根据题意，列出相应方程为______；（3）解这个方程，得______；（4）检验：______；（5）答：比赛组织者应邀请______个队参赛．【答案】（1）；（2）（3）（不符合题意，舍去），（4）将代入原方程，左边＝右边（5）8()1x -()112x x -()11247x x -⨯＝17x =-28x =8x =()881284271⨯⨯⨯-===【小问1详解】解：设应邀请x 个队参赛、每个队要与其他个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场；故答案为：；；【小问2详解】根据题意，列出相应方程为；故答案为：；【小问3详解】解这个方程，得x 1＝﹣7（不符合题意，舍去），x 2＝8；故答案为：（不符合题意，舍去），；【小问4详解】检验：将代入原方程，左边＝右边；故答案为：将代入原方程，左边＝右边；【小问5详解】答：比赛组织者应邀请8个队参赛．故答案为：8．23. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每()1x -()112x x -()1x -()112x x -()11247x x -⨯＝()11247x x -⨯＝17x =-28x =8x =()881284271⨯⨯⨯-===8x =()881284271⨯⨯⨯-===涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每星期的利润最大？最大利润是多少？设每件商品涨价x 元，每星期的利润为y 元（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表．原价每件涨价1元每件涨价2元…每件涨价x元每件利润（元）202122…______每星期销量（件）300290280…______（2）由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解．【答案】（1） （2）当定价为每件65使每星期的利润最大，最大利润是6250元【分析】（1）根据原价时，每件利润为20元，上涨x 元，则每件利润为元，再利用每涨价1元，每星期要少卖出10件，即可表示出实际销量；（2）利用每件利润每周销量=总利润进而得出答案．【小问1详解】分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表．原价每件涨价1元每件涨价2元…每件涨价x元每件利润（元）202122…20+x 每星期销量（件）300290280…300-10x 20300-10x x +，()20x +⨯故答案为：【小问2详解】由题意可得： ，则每件售价为：65元，答：当定价为每件65使每星期的利润最大，最大利润是6250元．24. 问题：（1）如图①，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；探索：（2）如图②，在Rt△ABC 与Rt△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：（3）如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．【答案】（1）BC ＝DC ＋EC ；（2）BD 2＋CD 2＝2AD 2；（3）AD ＝6.【分析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC ＝DC ＋EC（2）连接CE ，易证△BAD≌△CAE，再得到ED ＝AD ，然后在Rt△ECD中利用勾股定20300-10x x +，()()2030010y x x +=﹣2101006000x x ++-=()2=1056250x --+理即可求得其关系；（3）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BE ，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED 中，由勾股定理，得DE 2＝BD 2－BE 2，故2AD 2＝BD 2－CD 2，再解出AD 的长即可.【详解】(1)BC ＝DC ＋EC ．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ，∴BC＝BD ＋CD ＝EC ＋CD ．(2)BD 2＋CD 2＝2AD 2.证明如下：连接CE ，如解图1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE ＝AD ，AD ．在Rt△ECD 中，由勾股定理，得ED 2＝CE 2＋CD 2，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2.(3)将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BE ，如解图2所示，则AE ＝AD ，∠EAD＝90°，∴△EAD 是等腰直角三角形，AD ，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC ＝45°，AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠BAC＝90°，AB ＝AC ．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD，∴BE＝CD ，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED 中，由勾股定理，得DE 2＝BD 2－BE 2，∴2AD 2＝BD 2－CD 2.∵BD＝9，CD ＝3，∴2AD 2＝92－32＝72，∴AD＝6(负值已舍去)．25. 如图，抛物线与x 轴交于，两点，与y 轴交于点C ．直线l与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为．（1）求抛物线的解析式与直线l 的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q 是y 轴上的点，且，求点Q的坐标．2y ax bx c =++()2,0A -()6,0B ()4,3PAD V 45ADQ ∠=︒【答案】（1），； （2）△PAD 的面积最大值为，P （1，）； （3）（0，）或（0，-9）【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式；（2）过点P 作PE y 轴交AD 于E ，设P （n ，），则E （n ，），根据，得到PE 的值最大时，△PAD 的面积最大，求出PE 的最大值即可；（3）如图2，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于Q ，则∠ADQ=45°，作点T 关于AD 的对称点（1，-6），设D 交y 轴于点，则∠AD =45°，分别求出直线DT ，直线D 的解析式即可解决问题．【小问1详解】解：将点A 、B 、D 的坐标代入，，得，解得，∴抛物线的解析式为；∵直线l 经过点A ，D ，∴设直线l 的解析式y=kx+m ，2134y x x =-++112y x =+274154133∥2134n n -++112n +()132PAD D A S x x PE PE =⋅-⋅=V T 'Q 'Q 'Q 'T '2y ax bx c =++42036601643a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1413a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2134y x x =-++，得，∴直线l 的解析式为；【小问2详解】如图1，过点P 作PE y 轴交AD 于E ，设P （n ，），则E （n ，），∵，∴PE 的值最大时，△PAD 的面积最大，∵=，∴当n=1时，PE 的值最大，最大值为，此时△PAD 的面积最大值为，P （1，）；2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩121k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩112y x =+∥2134n n -++112n +()132PAD D A S x x PE PE =⋅-⋅=V 2113142PE n n n ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()219144n --+94274154【小问3详解】如图2，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于Q ，则∠ADQ=45°，∵D（4，3），∴直线DT 的解析式为，∴Q（0，）， 作点T 关于AD 的对称点（1，-6），则直线D 的解析式为y=3x-9，设D 交y 轴于点，则∠AD =45°，∴（0，-9），综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（0，）或（0，-9）。

2020-2021学年天津市部分区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()+5=0 B. ax2+bx+c=0A. 2x2+1xC. (x−1)(x+8)=6D. x3−2xy+5y2=02.一元二次方程(x−3)(x+1)=0的根是()A. x1=3，x2=−1B. x1=−3，x2=1C. x1=1，x2=−1 D. x1=−13，x2=133.在平面直角坐标系中，把点P(−5,4)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为()A. (5,4)B. (−5,4)C. (−5,−4)D. (5,−4)4.若点(−2,y1)，(−1,y2)，(5,y3)在抛物线y=4(x−1)2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y2<y1<y3D. y3<y1<y25.一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为()A. x(x+1)=56B. x(x−1)=56C. 2x(x+1)=56D. x(x−1)=56×26.将抛物线y=−5x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为()A. y=−5(x+1)2−1B. y=−5(x−1) 2−1C. y=−5(x+1) 2+3D. y=−5(x−1) 2+37.下列标志中，可以看作是中心对称图形的是()A. B. C. D.8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为()A. 5B. 4C. 3D. 29.用配方法将二次函数y=x2+8x−9化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为()A. y=(x−4)2+7B. y=(x−4) 2−25C. y=(x+4) 2+7D. y=(x+4) 2−2510.抛物线y=−x2+3x−2的图象不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11.抛物线y=−3x2，y=3x2+2，y=3x2−2共有的性质是()A. 开口向上B. 对称轴都是y轴C. 都有最高点D. 顶点都是原点12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：x…−3−2−101…y…−3010−3…下列结论正确是()①ab>0②a+b+c<0③若点(−7,y1)，点(7,y2)在二次函数图象上，则y1<y2④方程ax2+bx+c=−3有两个不相等的实数根A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.将一元二次方程4x2−5x=81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为______ ．14.已知x=2是一元二次方程x2+mx+6=0的一个根，则方程的另一个根是______．15.抛物线y=−3(x+2)2−3的顶点坐标是______ ．16.抛物线y=(x−4)(x+3)的对称轴为______ ．17.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100−x)件，获利y元，当获利最大时，售价x=______ 元．18.如图，在正方形ABCD中，将△ABD绕点B顺时针旋转得到△A′BD′，若点A′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则∠BDD′的大小为______ (度)．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.解下列方程(1)x2−4x−1=0；(2)(2x−3)2=(3x+5)2．四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）20.如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(−4,−2)，B(−2,−1)，C(−3,2)．(1)作出与△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′；(2)若点B关于x轴的对称点为点B1，将点B1向右平移a个单位长度后落在△A′B′C′的内部(不包括顶点和边)．①写出点B1坐标______ ，②写出a的取值范围为______ ．21.已知，关于x的一元二次方程x2+2mx+(m−4)2=0有两个相等的实数根．(1)求m的值；(2)求此方程的根．22.国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，某大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2017年利润为200万元，2019年利润为288万元.求该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率．23.如图，四边形ABCD是正方形，AB=6，四边形EFGH也是正方形.点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上.点E在AB边上移动时，正方形EFGH面积也随之改变，当AE的长度为多少时，正方形EFGH的面积最小？并求出最小面积．24.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知抛物线y=ax2+bx−4经过A(−3,0)B(5,−4)两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．(1)求此抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积．25.在平面直角坐标系中，点A(6,0)，点B(0,8)，把△AOB绕原点O逆时针旋转，得△COD，其中，点C，D分别为点A，B旋转后的对应点.记旋转角为α(0°<α<360°)．(1)如图，当α=45°时，求点C的坐标；(2)当CD//x轴时，求点C的坐标(直接写出结果即可)．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．B、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．D、该方程属于二元三次方程，故本选项不符合题意．故选：C．本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A【解析】解：∵(x−3)(x+1)=0，∴x−3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=−1．故选：A．利用因式分解法把方程转化为x−3=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3.【答案】D【解析】解：由题意，P与P′关于原点对称，∵P(−5,4)，∴P′(5,−4)，由题意，P与P′关于原点对称，根据中心对称的性质解决问题即可．本题考查坐标由图形变化−旋转，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4.【答案】C【解析】解：抛物线y=4(x−1)2+5的开口向上，对称轴是直线x=1，当x<1时，y 随x的增大而减小，∵点(−2,y1)，(−1,y2)，(5,y3)在抛物线y=4(x−1)2+5上，∴点(5,y3)关于对称轴x=1的对称点是(−3,y3)，∵−3<−2<−1<1，∴y2<y1<y3，故选：C．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．5.【答案】B【解析】解：设有x人参加聚会，则每人送出(x−1)件礼物，由题意得，x(x−1)=56．故选：B．设有x人参加聚会，则每人送出(x−1)件礼物，根据共送礼物56件，列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．6.【答案】D【解析】解：将抛物线y=−5x2+1向右平移1个单位长度所得直线解析式为：y=−5(x−1)2+1；再向上平移2个单位长度为：y=−5(x−1)2+1+2，即y=−5(x−1)2+3．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确；故选：D．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．8.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=√AC2+BC2=√9+16=5，∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB=AE=5，∠BAE=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=5，故选：A．由勾股定理可求AB=5，由旋转的性质可得AB=AE=5，∠BAE=60°，即可求解．本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．9.【答案】D【解析】解：y=x2+8x−9=x2+8x+16−9−16=(x+4) 2−25，运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：y =−x 2+3x −2=−(x −32)2+14=−(x −1)(x −2)， 顶点坐标是(32,14)，即函数图象的顶点在第一象限， 抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)，(2,0)， 当x =0时，y =−2，即与y 轴的交点坐标是(0,−2)，所以抛物线y =−x 2+3x −2的图象不经过第二象限， 故选：B ．根据函数的解析式求出函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，再逐个判断即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．11.【答案】B【解析】解：在y =−3x 2中，可知其开口向下，对称轴为y 轴，有最高点， 在y =3x 2+2中，可知其开口向上，对称轴为y 轴，有最低点， 在y =3x 2−2中，可知其开口向上，对称轴为y 轴，有最低点， ∴三抛物线共有的性质是对称轴为y 轴， 故选：B ．根据抛物线解析式可判断其开口方向、对称轴及最值，可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a(x −ℎ)2+k 中，对称轴为x =ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．12.【答案】B【解析】解：由表格可知，∴a<0，b<0，∴ab>0，故①正确；由表格可知，当x=1时，y=a+b+c=−3<0，故②正确；∵点(−7,y1)到对称轴x=−1的距离小于点(7,y2)到对称轴的距离，∴y1>y2，故③错误，∵图象经过(−3,−3)和(1,−3)两个点，∴方程ax2+bx+c=−3有两个不相等的实数根，故④正确，故选：B．根据表格中的数据，可以得到此二次函数具有最大值，对称轴为x=1，再根据二次函数的性质，即可判断题目中的各个小题是否正确．本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13.【答案】4，−5，−81【解析】解：一元二次方程4x2−5x=81化为一般形式为4x2−5x−81=0，二次项系数，一次项系数，常数项4，−5，−81，故答案是：4，−5，−81．根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)，a、b、c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．14.【答案】x=3【解析】解：设方程的另一根为a，∵x=2是一元二次方程x2+mx+6=0的一个根，∴2a=6，解得a=3，即方程的另一个根是x=3，故答案为：x=3．设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得a的值，即可求得方程的另一根．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于−ba、两根之积等于ca是解题的关键．15.【答案】(−2,−3)【解析】解：由y=−3(x+2)2−3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−2,−3)．故答案为：(−2,−3)．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．考查二次函数的性质，顶点式y=a(x−ℎ)2+k中顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．16.【答案】x=12【解析】解：∵y=(x−4)(x+3)=0时，x=4或−3，∴对称轴x=4−32=12，故答案为：x=12．可以向求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据坐标求出对称轴即可．本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，已知抛物线y= ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)和x轴的两交点坐标为(x1,0)和(x2,0)，则此抛物线的对称轴是直线x，则x=x1+x22．17.【答案】65【解析】解：设最大利润为w元，则w=(x−30)(100−x)=−(x−65)2+1225，∵−1<0，0<x<100，∴当x=65时，二次函数有最大值1225，∴售价x=65元时，利润最大．故答案为：65．本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价−每件进价．再根据所列二次函数求最大值．本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．18.【答案】67.5【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∵将△ABD绕点B顺时针旋转得到△A′BD′，∴BD=BD′，∴∠BDD′=∠BD′D=180°−45°=67.5°，2故答案为：67.5．由旋转的性质可得BD=BD′，由正方形的性质和等腰三角形的性质可求解．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．19.【答案】解：(1)x2−4x−1=0，移项，得x2−4x=1，配方，得x2−4x+4=1+4，则(x−2)2=5，x−2=±√5，x=±√5+2，x1=√5+2，x2=−√5+2；(2)(2x−3)2=(3x+5)2．移项，得(2x−3)2−(3x+5)2=0，(2x−3+3x+5)(2x−3−3x−5)=0，(5x+2)(−x−8)=0，x1=−2，x2=−8．5【解析】(1)利用配方法可得出答案；(2)利用因式分解法求解可得答案．本题考查的是解一元二次方程，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．20.【答案】(−2,1)4<a<234【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．(2)①B1(−2,1)．②∵A′(3,−2)，C′(4,2)，∴直线A′C′的解析式为y=4x−14，当y=1时，x=154，15 4+2=234，∴a的取值范围为4<a<234．故答案为：4<a<234．(1)分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．(2)①根据轴对称的性质求解即可．②求出直线A′C′的解析式，求出y=1时，自变量的值，即可解决问题．本题考查作图−旋转变换，坐标与图形的性质−平移，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21.【答案】解：(1)根据题意得△=4m2−4(m−4)2=0，解得m=2；(2)把m=2代入x2+2mx+(m−4)2=0得x2+4x+4=0，解得x1=x2=−2．【解析】(1)利用判别式的意义得到△=4m2−4(m−4)2=0，然后解关于m的方程；(2)写出m=2时的方程，然后利用因式分解法解方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．22.【答案】解：设该科技外贸公司从2015年到2017年利润的年平均增长率为x.根据题意得200(1+x)2=288，解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．答：这该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为20%．【解析】设这两年该公司年利润平均增长率为x.根据题意得200(1+x)2=288，解方程即可求得增长率．此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．23.【答案】解：设AE=x，则BE=6−x，∵四边形EFGH是正方形，∴EH=EF，∠HEF=90°，∴∠AEH+∠BEF=90°，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠BEF，在△AHE和△BEF中，{∠A=∠B=90°∠AHE=∠BEF EH=EF，∴△AHE≌△BEF(AAS)，同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，∴AE=BF=CG=DH=x，AH=BE=CF=DG=6−x ∴EF2=BE2+BF2=(6−x)2+x2，∴正方形EFGH 的面积S =EF 2=(6−x)2+x 2=2(x −3)2+18，即：当AE =3(即E 在AB 边上的中点)时，正方形EFGH 的面积最小，最小的面积为18．【解析】设AE =x ，则BE =6−x ，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG ，再利用勾股定理求出EF 的长，进而得到正方形EFGH 的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．24.【答案】解：(1)把A(−3,0)B(5,−4)代入y =ax 2+bx −4得{9a −3b −4=025a +5b −4=−4，解得{a =16b =−56， ∴抛物线解析式为y =16x 2−56x −4；(2)当x =0时，y =16x 2−56x −4=−4，∴C 点坐标为(0,−4)，∵B(5,−4)，∴BC//x 轴，BC =5，∴△ABC 的面积=12×5×4=10．【解析】(1)把A 点和B 点坐标代入y =ax 2+bx −4得到关于a 、b 的方程组，然后解方程组即可；(2)先确定C 点坐标，利用B 、C 的坐标特征得到BC//x 轴，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．25.【答案】解：(1)如图，过点C 作CE ⊥OA 于E ．∵A(6,0)，∵OA =OC =6，∵∠COE =45°，∴EC =OE =3√2，∴C(3√2,3√2).(2)如图，CD 在x 轴上方时，设CD 交y 轴于F ，过点D 作DT ⊥x 轴于T ．∵CD//x 轴，∴CD ⊥OF ，∵OB =OD =8，OC =OA =6，∴CD =√OC 2+OD 2=√62+82=10， ∴DT =OF =OD⋅OCCD =245，∴OT =√OD 2−DT 2=√82−(245)2=325， ∴D(−325,245)，当CD 在x 轴下方时，同法可得D(325,−245).综上所述，满足条件的点D的坐标为(−325,245)或(325,−245).【解析】(1)如图，过点C作CE⊥OA于E.解直角三角形求出OE，CE即可．(2)分两种情形：CD在x轴上方时，设CD交y轴于F，过点D作DT⊥x轴于T.求出OT，DT即可．当CD在x轴下方时，同法可得．本题属于坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。

2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学期中试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. “垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 可回收物B. 有害垃圾C. 厨余垃圾D. 其他垃圾 【答案】B【解析】【分析】由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 一元二次方程的根的情况是（ ）2210x x -+=A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定 【答案】B【解析】【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．【详解】∵，，， 1a =2b =-1c =∴，()2242411440b ac =-=--⨯⨯=-=△∴方程有两个相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：20ax bx c ++=0a ≠24b ac =-△当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程 没有实数根．3. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为ABCD O ()2,5A -C （ ）A. B. C. D. ()5,2-()2,5-()2,5()2,5--【答案】B【解析】【分析】根据菱形的中心对称性，A 、C 坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，∴A、C 坐标关于原点对称，∴C 的坐标为，()2,5-故选C ．【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )2890x x ++=A. B. C. D. ()249x +=-()247x +=-()2425x +=()247x +=【答案】D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】，2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+所以，()247x +=故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.5. AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA 的度数是（ ）A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°【答案】A【解析】 【分析】根据直径得出∠ACB=90°，进而得出∠CAB=25°，进而解答即可．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=65°，∴∠CAB=25°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=25°，故选A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．6. 把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）A. y=﹣2（x+1）2+2B. y=﹣2（x+1）2﹣2C. y=﹣2（x﹣1）2+2D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2【答案】C【解析】【详解】解：把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，故选C ．7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则()14,A y -()23,B y -()31,C y 245y x x =+-，，的大小关系是（ ）1y 2y 3y A. B. C. D. 123y y y <<213y y y <<312y y y <<132y y y <<【答案】B【解析】【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．【详解】解：把，，分别代入得， ()14,A y -()23,B y -()31,C y 245y x x =+-；；； 1164(4)55y =+⨯--=-294(3)58y =+⨯--=-314150y =+⨯-=则，，的大小关系是，1y 2y 3y 213y y y <<故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．8. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A.250(1)182x +=B.25050(1)50(1)182x x ++++=C.50(12)182x +=D.5050(1)50(12)182x x ++++=【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【详解】解：依题意得五、六月份的产量为、，50(1)x +250(1)x +∴．25050(1)50(1)182x x ++++=故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，一般形式为，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．2(1)a x b +=9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）2241y x x =+-A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧 y ()0,1yC. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3 0x <y x y 【答案】D【解析】【详解】∵y=2x 2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x=-1时，y 取得最小值，此时y=-3，故选项D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆O 的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径12AB =9CD =()OA =A. 6米B. 米C. 7米D. 米 132152【答案】B【解析】 【分析】先设此圆的半径为r ，用r 表示出OA ，OD 的长，再由垂径定理求出AD 的长，根据勾股定理即可求解．【详解】设此圆的半径为r ，则OA=r ，OD=9−r ， ∵AB=12米，CD⊥AB， ∴AD=AB=×12=6米，、 1212在Rt△AOD 中，∵OA=r，OD=9−r ，AD=6米，、∴OA 2=OD 2+AD 2,即r 2=(9−r)2+62，解得r=米. 132故选B.【点睛】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键.11. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )A. 2D. 11-【答案】C【解析】 【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D ，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD 、C′D 的长，即可解决问题．【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D ，由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，∴△ABB′为等边三角形，∴∠ABB′=60°，AB=B′B；在△ABC′与△B′BC′中，''''''AC B C AB B B BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC′≌△B′BC′（SSS ），∴∠DBB′=∠DBA=30°，∴BD⊥AB′，且AD=B′D，∵AC＝BC，∴，'2AB AB ====∴，，， 112ADAB ==BD ===1''12DC AB ==．''1BC BD DC ∴=-=故选：C ．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．12. 二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表： x… ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y ＝ax 2+bx+c… t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x ＝时，与其对应的函数值y ＞0，有下列结论： 12-①abc＜0；②m＝n ；③﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c ＝t 的两个根；④． 83a <其中，正确结论的个数是（ ）. A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可 【详解】解：①函数的对称轴为：x ＝（0+1）＝，则ab ＜0，c ＝﹣2＜0，故abc ＞0，1212故①错误，不符合题意；②根据表格可得：x ＝﹣1和x ＝2关于函数对称轴对称，故m ＝n 正确，符合题意； ③函数的对称轴为：x ＝，根据表格可得：x ＝﹣2和x ＝3关于函数对称轴对称，此时的12函数值为t ，则﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c ＝t 的两个根，故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为：x ＝，则b=-a ，当x ＝﹣时，y ＝a b﹣2＞0，所以 3a﹣8＞12121412-0，故④错误，不符合题意；【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 写出下列一元二次方程的根_____．()()2720x x -+=【答案】 127,22x x ==-【解析】【分析】根据因式分解法，解一元二次方程即可求解．【详解】解：，()()2720x x -+=即或，270x -=20x +=解得， 127,22x x ==-故答案为：． 127,22x x ==-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．14. 抛物线的顶点坐标为____________．22(1)3y x =--【答案】(1,3)-【解析】【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为即可求出．2()y a x h k =-+(,)h k 【详解】∵二次函数的顶点坐标为，2()y a x h k =-+(,)h k ∴抛物线的顶点为（1，-3）．22(1)3y x =--故答案为：（1，-3）．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，需熟练理解二次函数顶点式的顶2()y a x h k =-+点坐标为．(,)h k 15. 如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠B＝30°，直线BD 与⊙O 切于点D ，则∠ADB 的度数是_______．【答案】120°【分析】连接OD ，由圆的切线性质可知∠ODB=90°，则可得∠DOB=2∠A=60°，从而求解．【详解】解：连接OD ，如图，BD 切⊙O 于D ，∴∠ODB=90°，∵∠B=30°∴∠DOB=60°∴∠A=30°∴∠ADB=180°-∠B-∠A=180°-30°-30°=120°故答案为∶120°．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理的应用，解题的关键是熟练运用这些性质进行推理和计算．16. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________．277y ax x =--x a 【答案】且 74a ≥-0a ≠【解析】【分析】根据二次函数的定义和根的判别式进行计算即可．【详解】∵二次函数的图象和轴有交点，277y ax x =--x ∴，2449280b ac a ∆=-=+≥0a ≠∴，且， 74a ≥-0a ≠故答案为：，且． 74a ≥-0a ≠【点睛】本题考查了二次函数的定义，根的判别式，掌握这些知识点是解题关键．17. ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC 的度数是____．【答案】80°或100°【解析】【分析】根据圆周角定理和圆的内接四边形的性质即可求解．【详解】解：如图，∵∠AOC=160°， ∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，1212∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°．故答案为：80°或100°．【点睛】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形，掌握圆的内接四边形的对角互补是关键．18. 如图，是等边三角形，，D 是的中点，F 是直线上一动点，ABC AB =BC AB 线段绕点D 逆时针旋转，得到线段，当点F 运动时，的最小值是DF 90︒DE CE ________________．【解析】【分析】作FM⊥BC，EN⊥BC，根据AAS 定理证得△EDN≌△DFM，然后设BM=x ，根据含30°的直角三角形性质及勾股定理列出AE 2，结合二次根式的性质及完全平方公式的结构分析其最值，从而求解．【详解】解：作FM⊥BC，EN⊥BC．∵线段绕点D 逆时针旋转，得到线段DF 90︒DE ∴DE=DF，∠FDM+∠EDN=90°又∵FM⊥BC，EN⊥BC∴∠DMF=∠END=90°，∠FDM+∠DFM=90°∴∠EDN=∠DFM∴△EDN≌△DFM由题意可得：∠B=60°，BD=∴在Rt△BFM 中，∠BFM=30°如图，①当点F 在线段AB 上时，设BM=x ，则，CN=CD+DN=，NE=DM=x 在Rt△CEN 中，222CE CN NE =+∴ ()()(22222312CE x =x +⎡⎤=+++⎣⎦此时，CE 无最小值，如图，②当点F 在AB 的延长线上时设BM=x ，则，CN=CD-DN=，NE=DM=在Rt△CEN 中，222CE CN NE =+∴ ()()(22222312CE x =x ⎡⎤=++-+⎣⎦此时，当CE 2有最小值为 12∴CE 3=+【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 解方程：（Ⅰ）x 2+x﹣12＝0；（Ⅱ）5x （x﹣1）＝2（x﹣1）．【答案】（Ⅰ）x 1＝﹣4，x 2＝3；（Ⅱ）x 1＝1，x 2＝25【解析】【分析】（Ⅰ）利用因式分解法解方程；（Ⅱ）先移项得5x （x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，所以x 1＝﹣4，x 2＝3；（Ⅱ）5x （x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（5x﹣2）＝0，x﹣1＝0或5x﹣2＝0，所以x 1＝1，x 2＝． 25【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．20. 如图，在半径为的中，弦长．求：50mm O AB 50mm（1）的度数；AOB （2）点O 到的距离．AB【答案】（1）60°；（2）【解析】【分析】（1）证明是等边三角形，从而可得结论；AOB （2）过点O 作OC⊥AB，垂足为点C ，利用垂径定理求解 再利用勾股定理可得答,,AC BC 案.【详解】解：（1）∵OA，OB 是⊙O 的半径，∴OA＝OB ＝50mm ，又∵AB＝50mm ，∴OA＝OB ＝AB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB＝60°． （2）过点O 作OC⊥AB，垂足为点C ，如图所示，由垂径定理得AC ＝CB ＝AB ＝25mm ，12在Rt△OAC 中OC 2＝OA 2－AC 2＝502－252＝252×3，（mm ），即点O 到AB 的距离是．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.21. 已知，分别与相切于点，，，为上一点． PA PB O A B 80APB ︒∠=C O（Ⅰ）如图①，求的大小；ACB ∠（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的AE O AE BC D AB AD =EAC ∠大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.50ACB ︒∠=20EAC ︒∠=【解析】【分析】（Ⅰ）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；（Ⅱ）连接CE ，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．【详解】解：（Ⅰ）如图，连接． OAOB ，∵是的切线，PA PB ，O ∴，．OA PA ⊥OB PB ⊥即．90OAP OBP ︒∠=∠=∵，80APB ︒∠=∴在四边形中，．OAPB 360100AOB OAP OBP APB ︒︒∠=-∠-∠-∠=∵在中，， O 12ACB AOB ∠=∠∴． 50ACB ︒∠=（Ⅱ）如图，连接．CE ∵为的直径，AE O ∴．90ACE ︒∠=由（Ⅰ）知，，50ACB ︒∠=∴．40BCE ACE ACB ︒∠=∠-∠=∴．40BAE BCE ︒∠=∠=∵在中，，ABD ∆AB AD =∴． 1(180)702ADB ABD BAE ︒︒∠=∠=-∠=又是的一个外角，有，ADB ∠ADC ∆EAC ADB ACB ∠=∠-∠∴．20EAC ︒∠=【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键22. 如图，某小区规划在一个长30 m ，宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？【答案】通道应设计成2米．【解析】【分析】设道路的宽为xm ，将6块草地平移为一个长方形，长为（30－2x ）m ，宽为（20－x ）m ．根据长方形面积公式即可列方程（30－2x ）（20－x ）=6×78．【详解】设道路的宽为xm ，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，整理得：（x﹣2）（x﹣33）=0，解得x=2或x=33舍去），答：通道应设计成2米．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．23. 某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为元．x y （1）涨价后每本复习资料的利润为______元，平均每天可销售______本；（2）求与的函数关系式；y x （3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？【答案】（1），；（2）；（3）当复习资料每本(40)x -()3240x -+33609600y=x x 2－＋－售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．【解析】【分析】（1）用原来的利润加上涨价的利润即为现在的利润，销量在原来的基础上减少后即可；（2）用涨价后单件的利润乘以销售量即可列出函数关系式；（3）利用公式或配方后即可确定最大值．【详解】解：（1）涨价后每本复习资料的利润为（x −40）元，平均每天可销售90−3（x −50）＝（240−3x ）本．故答案为：， ；(40)x -()3240x -+（2）()()40240y x x+-3=- （其中，）； 33609600=x x 2－+－80x 50≤≤（3）当时， 3606026b x a =-=-=- ()()()224396003604120044ac b y ==a 最大-3´-´---=´∴当复习资料每本售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．【点睛】本题考查二次函数的应用和性质，解题的关键是掌握二次函数的应用和性质．24. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时ABC ∆90ABC ∠=︒P AC ABP ∆B 针方向旋转90°后得到.CBQ ∆（1）求的度数；PCQ ∠（2）当，时，求的大小；4AB =AP =PQ （3）当点在线段上运动时（不与，重合），求证：.P AC P A C 2222PB PA PC =+【答案】（1）；（2）；（3）见解析.90PCQ ∠=︒PQ =【解析】【分析】（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°;（2）利用勾股定理得出AC 的长，再利用旋转的性质得出AP=CQ ，求得PC 的长度，进而利用勾股定理得出PQ 的长；（3）先证明△PBQ 也是等腰直角三角形，从而得到PQ 2=2PB 2=PA 2+PC 2．【详解】（1）∵△ABP 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ，∴，ABP CQB ∆≅∆∴，45A ACB BCQ ∠=∠=∠=︒∴.90PCQ ACB BCQ ∠=∠+∠=︒（2）当时，有，4AB =AC =AP CQ ==，PC =∴PQ ==（3）由（1）可得，，，ABP CBQ ∠=∠AP CQ =PB BQ =，90ABP PBC CPQ PBC ∠+∠=∠+∠=︒∴是等腰直角三角形，是直角三角形.BPQ ∆PCQ ∆∴，PQ =∵，AP CQ =∴，22222PQ PC CQ PA PC =+=+故有.2222PB PA PC =+【点睛】考查了旋转的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质等知识，得出旋转前后对应线段之间关系是解题关键．25. 如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，且()0,6C -()20y ax b a =+≠x A B ．OC OB =（1）求点的坐标；B （2）求二次函数的解析式； ()20y ax b a =+≠（3）作直线，问抛物线上是否存在点，使得．若CB ()20y ax b a =+≠M 15MCB ∠=︒存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． M【答案】（1）点B 的坐标为(6，0)；（2）二次函数的解析式为；（3）点M 的2166y x =-坐标为或（12)4)-【解析】 【分析】（1）由条件可知OC ＝6，根据OB ＝OC ，可求出点B 的坐标；（2）将B ，C 两点的坐标代入y ＝ax 2＋b ，求出a ，b 的值，即可求得二次函数的解析式；（3）根据题意，分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答，画出相应的图形，然后根据二次函数的性质和锐角三角函数可以求得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵C(0，－6)∴6OC =∵OC OB =∴6OB =∴点B 的坐标为(6，0)（2）∵抛物线（≠0）经过点C(0，－6)和点B(6，0)，2y ax b =+a ∴，解得 6360b a b =-⎧⎨+=⎩1,66a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴该二次函数的解析式为 2166y x =-（3）存在①若点M 在BC 上方，设MC 交轴于点D ，则∠ODC=45°+15°=60°．x ∴∠OCD=30°.∴设OD=，则CD=2.x x ∵在Rt△OCD 中，∠COD=90°，OC=6，∴,222=+CD OD OC 即，()22236x x =+解得，.1x =-2x =∴点D 的坐标为(0).设直线DC 的函数解析式为6y kx =-∴，解得06=-k =∴直线DC 的函数解析式为6y=-∴，解得（舍）， 26,166y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩110,6x y =⎧⎨=-⎩2212x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴(1M ②若点M 在BC 下方，设MC 交轴于点E ，则∠OEC=45°－15°=30°．x ∵OC=6，则CE=12.∵在Rt△OCE 中，∠COE=90°，∴=108,∴222OE CE OC =-OE =∴点E 的坐标为(，0).设直线EC 的函数解析式为，6y kx =-∴，解得06=-k =∴直线EC 的函数解析式为 6yx =-∴，解得（舍），. 26166y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1106x y =⎧⎨=-⎩224x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴ 2M（-4)综上所述，点M 的坐标为或.（12)4)-【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质、锐角三角函数等知识．熟练运用方程思想是解题的关键．。

天津武清区九年级（上）期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】一元二次方程3x2﹣4=﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣4，﹣2 B．3，﹣2，﹣4C．3，2，﹣4 D．3，﹣4，0【答案】C【解析】试题分析：方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．方程整理得：3x2+2x ﹣4=0，则二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为﹣4考点：一元二次方程的一般形式．【题文】下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误.考点：中心对称图形．【题文】抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3） B．（2，3）C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）【答案】A【解析】试题分析：抛物线y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），直接根据抛物线y=（x+2）2+3写出顶点坐标则可．由于y=（x+2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．考点：二次函数的性质．【题文】下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+=3 B．x2+x=yC．（x﹣4）（x+2）=3 D．3x﹣2y=0【答案】C【解析】试题分析：依据分式方程、二元二次方程、一元二次方程的定义求解即可．A、分母中含有位置数，是分式方程，故A错误；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误；C、整理后可变形为x2﹣2x﹣11=0，是一元二次方程，故C正确；D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误．考点：一元二次方程的定义．【题文】若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7【答案】D【解析】试题分析：先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴﹣=3，解得m=﹣6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．考点：二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法．【题文】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2 C．3 D．2【答案】A【解析】试题分析：通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中， BD=．考点：旋转的性质．【题文】用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2=B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=【答案】A【解析】试题分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．考点：解一元二次方程-配方法．【题文】已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】试题分析：把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1l考点：二次函数的性质．【题文】如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】试题分析：根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD 是等边三角形，求出AD=AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC ⊥BD．∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，∴∠ACD=120°﹣60°=60°，∴△ACD 是等边三角形，∴AC=AD，AC=AD=DE=CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC=AD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确考点：(1)、旋转的性质；(2)、等边三角形的性质；(3)、菱形的判定．【题文】已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【答案】C【解析】试题分析：求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，根据对称性解答问题．抛物线y=﹣2x2﹣8x+m的对称轴为x=﹣2，且开口向下，x=﹣2时取得最大值．∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距离大于﹣1到﹣2的距离，根据二次函数的对称性，y3＜y1．∴y3＜y1＜y2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（）A．x（x+1）=81 B．1+x+x2=81C．（1+x）2=81 D．1+（1+x）2=81【答案】C【解析】试题分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，列方程得： 1+x+x（1+x）=81，即（1+x）2=81 考点：由实际问题抽象出一元二次方程．【题文】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【答案】D【解析】试题分析：根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴-=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确l把x=1代入方程x2+mx+3=0得：1+m+3=0，解得：m=﹣4，考点：一元二次方程的解．【题文】如图所示的花朵图案，至少要旋转度后，才能与原来的图形重合．【答案】45【解析】试题分析：该图形被平分成8部分，因而每部分被分成的圆心角是45°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合．花朵图案，至少要旋转360÷8=45度后，才能与原来的图形重合．考点：旋转对称图形．【题文】如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．【答案】﹣1或2【解析】试题分析：根据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可．∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．考点：根的判别式．【题文】方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．【答案】x=﹣1【解析】试题分析：根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根及两根之和公式来解决此题．试题解析：∵函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，∵x1+x2=﹣3+1=﹣=﹣2．则对称轴x=﹣=×（﹣）=×（﹣2）=﹣1．考点：抛物线与x轴的交点．【题文】一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．【答案】3【解析】试题分析：直接利用配方法求出二次函数最值即可．考点：二次函数的应用．【题文】如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=．【答案】2﹣3【解析】试题分析：连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．考点：旋转的性质．【题文】解下列方程：（1）x2﹣2x=4（2）x（x﹣3）=x﹣3．【答案】(1)、x1=1﹣，x2=1+；(2)、x=3或 x=1【解析】试题分析：(1)、方程化为一般式后利用公式法求解可得；(2)、由原方程移项后可得x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，再利用因式分解法求解可得．试题解析：(1)、原方程可化为x2﹣2x﹣4=0，∵a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴△=b2﹣4ac=20＞0，∴x=，∴x1=1﹣，x2=1+；(2)、由原方程得x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，∴x﹣3=0或x﹣1=0，解得：x=3或 x=1．考点：(1)、解一元二次方程-因式分解法；(2)、解一元二次方程-配方法．【题文】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、B（0，4）、C（0，2），（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为．【答案】(1)、答案见解析；(2)、(2，-1)【解析】试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．试题解析：(1)、△A1B1C如图所示，△A2B2C2如图所示； (2)、如图，对称中心为（2，﹣1）．考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、作图-平移变换．【题文】已知二次函数y=﹣x2+2x+3．（1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；（2）当x取何值时，函数值最大？（3）当y＞0时，请你写出x的取值范围．【答案】(1)、交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；顶点坐标为（1，4）；(2)、x=1；(3)、﹣1＜x＜3．【解析】试题分析：(1)、把二次函数化为顶点式，则可得出二次函数的对称轴和顶点坐标；(2)、(3)、利用二次函数图象性质作答．试题解析：(1)、∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴图象顶点坐标为（1，4），当y=0时，有﹣x2+2x+3=0解得：x1=﹣1，x2=3，∴图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；(2)、由（1）知，抛物线顶点坐标为（1，4），且抛物线开口方向向下，当x=1时，函数值最大；(3)、因为图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），且抛物线开口方向向下，所以当y＞0时，﹣1＜x＜3．考点：(1)、抛物线与x轴的交点；(2)、二次函数的最值．【题文】果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．【答案】(1)、20%；(2)、方案一购买更优惠；理由见解析.【解析】试题分析：(1)、设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可；(2)、根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．试题解析：(1)、设平均每次下调的百分率为x．由题意，得15（1﹣x）2=9.6．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．(2)、小刘选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需费用为：9.6×3000﹣400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小刘选择方案一购买更优惠．考点：一元二次方程的应用．【题文】如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析【解析】试题分析：(1)、直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；(2)、利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．试题解析：(1)、∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；(2)、由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．考点：(1)、旋转的性质；(2)、正方形的性质．【题文】如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a=（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？【答案】(1)、；(2)、2米【解析】试题分析：(1)、根据通道宽度为x米，表示出a即可；(2)、根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．试题解析：(1)、设通道的宽度为x米，则a=；(2)、根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•=2430，解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．答：中间通道的宽度为2米．考点：一元二次方程的应用．【题文】如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存，请说明理由．【答案】(1)、y=﹣x2﹣2x+8；(2)、Q（﹣1，6）；(3)、（﹣2，8）【解析】试题分析：(1)、直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；(2)、首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；(3)、根据S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣16，得出函数最值，进而求出P点坐标即可．试题解析：(1)、将A（2，0），B（﹣4，0）代入得：，解得：，则该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+8；(2)、如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为： y=kx+d，将点B（﹣4，0）、C（0，8）代入得：，解得：，故直线BC解析式为：y=2x+8，直线BC与抛物线对称轴 x=﹣1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．解方程组得：则点Q（﹣1，6）即为所求；(3)、如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，P点（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0）∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣16若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BE•PE+OE（PE+OC）=(x+4)(﹣x2﹣2x+8)+(﹣x)(﹣x2﹣2x+8+8) =﹣2（x+2）2+24，当x=﹣2时，S四边形BPCO最大值=24，∴S△BPC最大=24﹣16=8，当x=﹣2时，﹣x2﹣2x+8=8，∴点P的坐标为（﹣2，8）．考点：二次函数综合题．。

新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y26．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）＝14，解得：x1＝1，x2＝4．因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，x+3＝4．答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），∴点B（6，4）．（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．【分析】（1）只要证明△FAD∽△DAB，可得＝，延长即可解决问题；（2）只要证明△CAD≌△EBD，可得AC＝BE，再证明△EBD∽△CBA，可得＝，由BD＝AD，AC＝BE，可得AD•BE＝DE•AB；证明：（1）∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，∴∠B＝∠DAB，∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，∴△FAD∽△DAB，∴＝，∴AD2＝AF•AB．（2）∵∠B＝∠DAB，∴DA＝DB，∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD≌△EBD，∴AC＝BE，∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，∴△EBD∽△CBA，∴＝，∵BD＝AD，AC＝BE，∴AD•BE＝DE•AB．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP＝5时，在Rt△PAD和Rt△PBC中，，∴△PAD≌△PBC，∴PD＝PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE＝PM＝PD，ME＝PN＝PC，∴PM＝ME＝EN＝PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN可能是矩形．若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°设PA＝x，PB＝10﹣x，DP＝，CP＝．DP2+CP2＝DC216+x2+16+（10﹣x）2＝102x2﹣10x+16＝0x＝2或x＝8．故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.观察下列汽车标志，其中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.x=2不是下列哪一个方程的解（）A. B. C. D.4.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D.5.若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（）A. 正数B. 非负数C. 一切实数D. 零6.函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，则m的值为（）A. B. 0 C. 或1 D. 17.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）A. B.C. D.8.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴是C. 当时，y的最大值为4D. 抛物线与x轴的交点为，9.若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A. 13B. 16C. 12或13D. 11或1610.如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（）A. 点B和点E关于点O对称B.C. △ ≌△D. △与△关于点B中心对称11.如图所示，△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，则下列结论成立的有（）①AE=AC；②∠EAC=∠BAD；⑧BC∥AD；④若连接BD，则△ABD为等腰三角形A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.二次函数y=ax2+bx+c中，b=4a，它的图象如图所示，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③b2-4ac＜0；④abc＜0；⑤4a＞c．其中正确的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知一元二次方程2x2+x+m=0的一个根是1，则m的值是______．14.在直角坐标系中，点（-3，6）关于原点的对称点是______．15.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．16.若抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，则c的取值是______．17.把二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象对应的解析式为______．18.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B=______度．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．20.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图象上（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围．四、解答题（本大题共5小题，共46.0分）21.用适当的方法解下列方程（1）（y+3）2-81=0（2）2x（3-x）=4（x-3）（3）x2+10x+16=0（4）x2-x-=022.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？23.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．24.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．为了赚得8000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、2x-y=1，是二元一次方程，故此选项错误；B、x+3xy+y2=2，是二元二次方程，故此选项错误；C、=，是一元二次方程，正确；D、x2+=3，含有分式，故此选项错误．故选：C．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握方程定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．结合中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：A，当x=2时，方程的左边=3×（2-2）=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是A中方程的解；B，当x=2时，方程的左边=2×22-3×2=2，右边=2，则左边=右边，故x=2是B中方程的解；C，当x=2时，方程的左边=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是C中方程的解；D，当x=2时，方程的左边=22-2+2=4，右边=0，则左边≠右边，故x=2不是D中方程的解；故选：D．把x=2分别代入各个方程的两边，根据方程的解的定义判断即可．本题考查的是一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，∴△≥0，即22-4×3×a≥0，解得a≤．故选：A．根据△的意义得到△≥0，即22-4×3×a≥0，解不等式即可得a的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5.【答案】B【解析】解：当m≥0时，一元二次方程x2=m有解．故选：B．利用平方根的定义可确定m的范围．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．6.【答案】D【解析】解：∵函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，∴m2+m=2，m+2≠0，解得：m=1．故选：D．直接利用二次函数的定义分析得出答案．此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．7.【答案】B【解析】解：当a＞0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，当a＜0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项C错误，故选：B．根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：把（0，-3）代入y=x2-2x+c中得c=-3，。

天津市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共14题；共28分)1. （2分）方程2x2=3(x-6)化为一般式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A . 2、3、-6B . 2、-3、18C . 2、-3、6D . 2、3、62. （2分） (2018九上·宜昌期中) 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（）A . 3，-1B . 3，-4C . 3，4D . ，3. （2分） (2020九上·台州月考) 已知x=1是一元二次方程的一个根，则m的值为（）A . -1或2B . -1C . 2D . 04. （2分） (2020九上·合肥月考) 下列函数是二次函数的是（）A . y=2x2-3B . y=ax2C . y=2（x+3）2-2x2D .5. （2分） (2020八上·新都期末) 在平面直角坐标系中，点P（4，3）关于原点对称的点的坐标为（）A . （﹣4，﹣3）B . （﹣4，3）C . （3，﹣4）D . （﹣3，4）6. （2分） (2020九上·高新期中) 对于抛物线，下列说法正确的是（）．A . 开口向下，顶点坐标B . 开口向上，顶点坐标C . 开口向下，顶点坐标D . 开口向上，顶点坐标7. （2分）设a、b为常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下列图形之一，则a的值为（）A . 6或﹣1B . ﹣6或 1C . 6D . ﹣18. （2分） (2019九上·绍兴月考) 将抛物线y=x2+4x+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位的所得抛物线的表达式是（）A . y=(x+1)2-4B . y=-(x+1)2-4C . y=(x+3)2-4D . y=-(x+3)2-49. （2分） (2019八下·河池期中) 如图，一只蚂蚁沿棱长为的正方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的最短路程为（）.A .B .C .D .10. （2分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（）A .B . 4C .D . 211. （2分）(2019·湖南模拟) 如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于（）A . 140°B . 130°C . 120°D . 110°12. （2分）若方程x2-c=0的一个根为-3，则方程的另一个根为（）A . 3B . -3C . 9D . -13. （2分） (2019八上·梅列期中) 的平方根是（）A .B .C . 2D . ±214. （2分） (2018九上·成都期中) 函数y=mx+n与，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)15. （1分） (2019九上·万州期末) 抛物线y＝﹣x2+2x﹣3顶点坐标是________；对称轴是________.16. （2分）(2020·杭州模拟) 如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD=10，DF=4，则菱形ABCD的边长为________.17. （1分） (2018九上·瑞安月考) 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是________米．18. （1分）(2020·龙湖模拟) 如图，两个直角三角板ABC与CDE按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠D=30°，∠ACB=∠ECD=30°，，且、、共线，将沿DC方向平移得到，若点落在上，则平移的距离为________．19. （1分） (2019九上·临沧期末) 如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB 的长为________cm．三、解答题 (共7题；共65分)20. （10分） (2019九上·城固期中) 解方程：3(x-5)2=2(5-x)21. （5分）如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.(1)求m的值；(2)求点B的坐标；22. （10分）(2018·江津期中) 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k=0（1）若方程有实数根，求k的取值范围．（2）如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2﹣4x+2k=0的根是一元二次方程x2﹣2mx+3m﹣1=0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．23. （10分）某月食品加工厂以2万元引进一条新的生产加工线．已知加工这种食品的成本价每袋20元，物价部门规定：该食品的市场销售价不得高于每袋35元，若该食品的月销售量y（千袋）与销售单价x（元）之间的函数关系为：y＝（月获利＝月销售收入﹣生产成本﹣投资成本）．（1）当销售单价定位25元时，该食品加工厂的月销量为多少千袋；（2）求该加工厂的月获利M（千元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）求销售单价范围在30＜x≤35时，该加工厂是盈利还是亏损？若盈利，求出最大利润；若亏损，最小亏损是多少．24. （10分） (2019九上·路北期中) 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示．根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是 y＝﹣x2+2x+ ．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？25. （10分）(2018·铜仁模拟) 如图，⊙O是△ABC外接圆，直径AB=12，∠A=2∠B．（1）∠A=________°，∠B=________°；（2）求BC的长（结果用根号表示）；（3）连接OC并延长到点P，使CP=OC，连接PA，画出图形，求证：PA是⊙O的切线．26. （10分） (2019九上·南岸期末) 如图，抛物线y= 与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，连接AC、BC.过点A作AD∥BC交抛物线于点D（8 ，10），点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，过点P作PE∥y轴交线段AD于点E.（1）如图1.当PE+AE最大时，分别取线段AE，AC上动点G，H，使GH=5，若点M为GH的中点，点N为线段CB上一动点，连接EN、MN，求EN+MN的最小值；（2）如图2，点F在线段AD上，且AF：DF=7：3，连接CF，点Q，R分别是PE与线段CF，BC的交点，以RQ 为边，在RQ的右侧作矩形RQTS，其中RS=2，作∠ACB的角平分线CK交AD于点K，将△ACK绕点C顺时针旋转75°得到△A′CK′，当矩形RQTS与△A′CK′重叠部分（面积不为0）为轴对称图形时，请直接写出点P横坐标的取值范围.参考答案一、单选题 (共14题；共28分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共6分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、答案：23-3、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、解析：答案：25-1、答案：25-2、答案：25-3、考点：解析：考点：解析：。

天津南开区九年级上期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】一元二次方程x（x+5）=0的根是（）A．x1=0，x2=5 B．x1=0，x2=﹣5C．x1=0，x2= D．x1=0，x2=﹣【答案】B．【解析】试题分析：利用分解因式法求解．∵x（x+5）=0，∴x=0或x+5=0，解得：x1=0，x2=﹣5．故选：B．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【题文】下列四个图形中属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】试题分析：A、是中心对称图形，故选项正确；B、不是中心对称图形，故选项错误；C、不是中心对称图形，故选项错误；D、不是中心对称图形，故选项错误．故选：A．【考点】中心对称图形．【题文】已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】试题分析：由，消去y得到3x2﹣4x+c=0，∵二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，∴△=0，∴16﹣12c=0，∴c=．故选A．【题文】抛物线y=﹣3x2+12x﹣7的顶点坐标为（）A．（2，5） B．（2，﹣19）C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣43）【答案】A．【解析】试题分析：【分析】把抛物线解析式化为顶点式∵y=﹣3x2+12x﹣7=﹣3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为（2，5），故选A．【考点】二次函数的性质．【题文】由二次函数y=2（x﹣3）2+1可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为x=﹣3C．其最大值为1D．当x＜3时，y随x的增大而减小【答案】D．【解析】试题分析：∵y=2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，1），∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选D．【考点】二次函数的性质．【题文】如图中∠BOD的度数是（）A．150° B．125° C．110° D．55°【答案】C．【解析】试题分析：如图，连接OC．∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，故选C．【考点】圆周角定理．【题文】如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C．【解析】试题分析：连接EB，如图所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4，∵AB⊥CD，∴AO=BO=AB，OB==3，∴AB=2OB=6；故选：C．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．【题文】如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC、OC相交于点E、F．则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠ABC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF．其中一定成立的是（）A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【答案】D．【解析】试题分析：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，正确；②∠AOC=2∠ABC，错误；③、∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD，④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF．⑤、由l试题分析：根据勾股定理得：斜边为=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步，故选C【考点】三角形的内切圆与内心．【题文】如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB ，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【答案】C．【解析】试题分析：∵CC′∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．【考点】旋转的性质．【题文】以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B． C． D．【答案】D．【解析】试题分析：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角边，∴该三角形的面积是×1××=，故选：D．【考点】正多边形和圆．【题文】如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【考点】动点问题的函数图象．【题文】点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为P′（m，1），则m=．【答案】﹣2．【解析】试题分析：∵点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为P′（m，1），∴m=﹣2，故答案为：﹣2．【考点】关于原点对称的点的坐标．【题文】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是．【答案】（﹣4，3）．【解析】试题分析：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，∴OA=OA′，∠AOA′=90°，∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠A′OB′，在△AOB和△OA′B′中，，∴△AOB≌△OA′B′（AAS），∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，∴点A′的坐标为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【题文】关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．【答案】y=x2﹣3x+1.【解析】试题分析：∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，∴答案为：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【考点】二次函数的性质．【题文】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是．【答案】x1=1，x2=﹣3．【解析】试题分析：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=﹣3．故答案为：x1=1，x2=﹣3．【考点】抛物线与x轴的交点．【题文】某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为．【答案】x2+x+1=91．【解析】试题分析：由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，根据题意列方程得：x2+x+1=91．故答案为x2+x+1=91．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【题文】如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF 与⊙O交于点G、H．若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为．【答案】4﹣．【解析】试题分析：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°．∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2，当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=AB=，∴GE+FH=GH﹣EF=4﹣，故答案为：4﹣．【考点】三角形中位线定理；圆周角定理．【题文】按要求解一元二次方程：（1）x（x+4）=8x+12（适当方法）（2）3x2﹣6x+2=0（配方法）【答案】(1)x=﹣2或x=6；(2)x1=，x2=．【解析】试题分析：（1）整理成一般式后利用因式分解法求解可得；（2）配方法求解即可．试题解析：（1）原方程整理可得：x2﹣4x﹣12=0，因式分解可得（x+2）（x﹣6）=0，∴x+2=0或x﹣6=0，解得：x=﹣2或x=6；（2）3x2﹣6x+2=0，3x2﹣6x=﹣2，x2﹣2x=﹣，x2﹣2x+1=1﹣，即（x﹣1）2=∴x﹣1=±，∴x=1±，∴x1=，x2=．【考点】解一元二次方程-配方法．【题文】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）（4，0）．【解析】试题分析：（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．试题解析：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：0=4a﹣4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．【题文】如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）若∠A=48°，求∠OCE的度数；（2）若CD=4，AE=2，求圆O的半径．【答案】（1）6°；（2）3.【解析】试题分析：（1）首先求出∠ADE的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC的度数，最后求出∠OCE的度数；（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．试题解析：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，∴∠ADE=42°．∴∠AOC=2∠ADE=84°，∴∠OCE=90°﹣84°=6°；（2）因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=CE=×4=2，在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，所以r2=（2）2+（r﹣2）2，解得：r=3．所以圆O的半径为3．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【题文】如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切线．【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰三角形三线合一定理可知BD=CD；（2）连接OD，由于∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，那么∠BAC=∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB=90°，从而可证DE是⊙O切线．试题解析：如右图所示，（1）连接AD，∵A B是直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD；（2）连接OD，∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODB=∠AED=90°，∴DE是⊙O的切线．【考点】切线的判定；圆周角定理．【题文】如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆墙的养鸡场，设它的长度为x（篱笆墙的厚度忽略不计）．（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较（1）（2）的结果，要使鸡场面积最大，鸡场长度与中间隔离墙的道数有怎样的关系？【答案】（1）25米；（2）即要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为25米；【解析】试题分析：（1）根据题意可以得到鸡场的面积与鸡场的长度的函数关系式，从而可以解答本题；（2）根据题意可以求得当中间有n（n是大于1的整数）道篱笆墙，鸡场的最大面积，从而可以解答本题．试题解析：（1）设鸡场的面积为y平方米，y=x（）=﹣+=，∴x=25时，鸡场的面积最大，即要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为25米；（2）设鸡场的面积为y平方米，y=x（）=﹣=，∴x=25时，鸡场的面积最大，即要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为25米；由（1）（2）可知，无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25m．【考点】二次函数的应用．【题文】如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN 交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在（2）中画出符合要求的图形，并判断（1）（2）题中的两结论是否依然成立．并说明理由．【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，这两个三角形中，已知的条件有AC=MC，NC=CB，只要证明这两组对应边的夹角相等即可，我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角，因此它们都是120°，这样就能得出两三角形全等了．也就证出了AN=BM．（2）我们不难发现∠ECF=180﹣60﹣60=60°，因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形，可从EC，CF入手，由（1）的全等三角形我们知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此时三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我们再根据∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等边三角形的结论．（3）判定结论1是否正确，也是通过证明三角形ACN和BCM来求得．这两个三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB 和∠ACN都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，AN=BM，结论1正确．如图，当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形．试题解析：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=MC，l（3）连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=MB．当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形，即结论1成立，结论2不成立．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【题文】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解析式为y=﹣x﹣6；（2）详见解析（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法可求出直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理计算出AB=10，再根据圆周角定理得到AB为⊙M的直径，则点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），则可确定C（﹣4，2），然后利用顶点式求出抛物线解析式；（3）通过解方程﹣（x+4）2+2=0得到D（﹣6，0），E（﹣2，0），利用S△ABC=S△ACM+S△BCM，可求出S△ABC=10，设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），所以（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．【试题解析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=﹣x﹣6；（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∴点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y轴，MC=5，∴C（﹣4，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）2+2，把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）2+2，即y=﹣x2﹣4x﹣6；（3）存在．当y=0时，﹣（x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），S△ABC=S△ACM+S△BCM=8CM=20，设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），∵S△PDE=S△ABC，∴（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，即|﹣t2﹣4t﹣6|=1，当﹣t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣，此时P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）；当﹣t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣；此时P点坐标为（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）．综上所述，P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）或（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）时，使得S△PDE=S△ABC ．【考点】圆的综合题；二次函数；圆周角定理；解一元二次方程．。

天津市静海区2022年九年级上学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题1. 在下列方程中，一元二次方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件即可．【详解】A 选项：若，则不是一元二次方程.B 选项：化简后，得，不成立.C 选项：整理得，是一元二次方程.D 选项：，不是一元二次方程.故选C.2. 一元二次方程4x 2﹣1=5x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A. 4，﹣1，5B. 4，﹣5，﹣1C. 4，5，﹣1D. 4，﹣1，﹣5【答案】B【分析】将方程整理为一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可．【详解】∵一元二次方程4x 2﹣1=5x，20ax bx c ++=2(1)(1)0x x x +-+=(4)0x x -=20x x +=0a =20ax bx c ++=10=240x x -=20x x +=∴整理为：4x 2﹣5x﹣1=0，∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：4，﹣5，﹣1．故选B ．3. 将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】把抛物线y=2x 2的顶点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点的坐标为（-4，1），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．【详解】抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（-4，1）所以平移后所得的抛物线的解析式y=2（x+4）2+1，故选：B ．4. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B.C.D.22y x =4122(4)1y x =--22(4)1y x =++22(4)1y x =-+22(4)1y x =+-【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选B．5. 已知一元二次方程x2+kx﹣5＝0有一个根为1，k的值为（ ）A. ﹣2B. 2C. ﹣4D. 4【答案】D【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得到关于k的一次方程1﹣5+k＝0，然后解一次方程即可．【详解】把x＝1代入方程得1+k﹣5＝0，解得k＝4．故选：D．6. 关于抛物线y=x2﹣4x+4，下列说法错误的是（ ）A. 开口向上B. 与x轴只有一个交点C. 对称轴是直线x=2D. 当x＞0时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【详解】∵抛物线y=x 2﹣4x+4，∴该抛物线的开口向上，故选项A 正确，（﹣4）2﹣4×1×4=0，故该抛物线与x 轴只有一个交点，故选项B 正确，对称轴是直线，故选项C 正确，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，故选项D 错误，故选D ．7. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】经观察二次函数y=x 2-6x+5的二次项系数是1，所以直接在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即同时加上(-3)2；合并同类项、整理上面的方程即可得解．【详解】∵y=x 2-6x+5，∴y+(-3)2=x 2-6x+(-3)2+5，即y=(x-3)2+5-9=(x-3)2-4．故选:C ．8. 若A （﹣3，y 1），B （﹣2，y 2），C （2，y 3）为二次函数y ＝（x+2）2+1的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 2＜y 1＜y 3D. y 3＜y 1＜y 210,a =>4221x =-=⨯265y x x =-+2()y x h k =-+2(6)5y x =-+2(3)5y x =-+2(3)4y x =--2(3)9y x =+-【答案】C【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x ＝﹣2，利用二次函数的性质即可判断．【详解】∵二次函数y ＝（x+2）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣2，∴A（﹣3，y 1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y 1），且x ＞-2时，y 随x 的增大而增大，∵﹣2＜﹣1＜2，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C ．9. 若关于x 的一元二次方程ax 2+x﹣1＝0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A. a≥﹣且a≠0B. a≤﹣C. a≥﹣D. a≤﹣且a≠0【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2+x﹣1＝0有实数根，∴，解得：且．故选A ．10. 若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x 2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）141414142Δ41400b ac a a ⎧=-=+≥⎨≠⎩14a ≥-0a ≠C. 12或13D. 11或16【答案】A 【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x 2-5x+6=0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．【详解】∵x 2-5x+6=0，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x 1=3，x 2=2，∵三角形的两边长分别是4和6，当x=3时，3+4＞6，能组成三角形；当x=2时，2+4=6，不能组成三角形．∴这个三角形的第三边长是3，∴这个三角形的周长为：4+6+3=13.故选A ．11. 如图，在中，，将绕点旋转到'的位置，使得，则的大小为（）ABC ∆64CAB ∠=︒ABC ∆A AB C ''∆//CC AB 'BAB '∠C. D.【答案】B【分析】由平行线的性质可得∠C'CA＝∠CAB＝64°，由折叠的性质可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，可得∠ACC'＝∠C'CA＝64°，由三角形内角和定理可求解．【详解】∵CC′∥AB，∴∠C'CA＝∠CAB＝64°，∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，∴∠ACC'＝∠C'CA＝64°，∴∠C'AC＝180°−2×64°＝52°，故选：B．12. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示则下列结论中正确的个数是（ ）①ab＞0；②a+2b＝0；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根．62︒68︒C. 2D. 1【答案】B 【详解】∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，∴，，∴，∴，故①正确；∵，∴a-2b=0，故②错误；∵当时，，∴③正确，∵方程ax 2+bx+c ＝﹣3的解可以看做是抛物线y ＝ax 2+bx+c 与直线y=-3的交点的横坐标，∴由函数图像可知抛物线y ＝ax 2+bx+c 与直线y=-3有两个不同的交点，∴方程ax 2+bx+c ＝﹣3有两个不相等的实数根，故④正确，故选B ．二、填空题13. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________.【答案】(﹣1，3)【详解】抛物线的顶点坐标为：。

新九年级（上）数学期中考试题(答案)一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．将油滴入水中，油会浮在水面上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2＝b2，那么a＝bD．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，故选：A．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．解：根据勾股定理，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】首先求出一元二次方程x2﹣4x+5＝0根的判别式，然后结合选项进行判断即可．解：∵一元二次方程x2﹣4x+5＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4×5＝16﹣20＝﹣4＜0，即△＜0，∴一元二次方程x2﹣4x+5＝0无实数根，故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，此题难度不大．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝9B．（x+1）2＝7C．（x﹣1）2＝9D．（x﹣1）2＝7【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝9，（x﹣1）2＝9．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．如果代数式+有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．解：∵代数式+有意义，∴a≥0且ab＞0，解得a＞0且b＞0．∴直角坐标系中点A（a，b）的位置在第一象限．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征．8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，sin B＝，则边BC的长为（）A．7B．8C．12D．17【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长，利用勾股定理再分别求出BD和CD的长即得结果．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵sin B＝，即＝，∴AD＝12．在Rt△ABD中，BD＝＝12．在Rt△ACD中，CD＝＝＝5．∴BC＝BD+CD＝12+5＝17．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大．构造直角三角形，充分利用∠B的正弦、AB、AC的长是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cos A＝，则k的值为（）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣D ．﹣2【分析】过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，由OA 与OB 垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF 中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF 与三角形OEA 相似，在直角三角形AOB 中，由锐角三角函数定义，根据cos ∠BAO 的值，设出AB 与OA ，利用勾股定理表示出OB ，求出OB 与OA 的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A 在反比例函数y ＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE 的面积，进而确定出BOF 的面积，再利用k 的集合意义即可求出k 的值．解：过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOF +∠EOA ＝90°，∵∠BOF +∠FBO ＝90°，∴∠EOA ＝∠FBO ，∵∠BFO ＝∠OEA ＝90°，∴△BFO ∽△OEA ，在Rt △AOB 中，cos ∠BAO ＝＝， 设AB ＝，则OA ＝1，根据勾股定理得：BO ＝， ∴OB ：OA ＝：1， ∴S △BFO ：S △OEA ＝2：1，∵A 在反比例函数y ＝上，∴S △OEA ＝1，∴S △BFO ＝2，则k ＝﹣4．故选：B ．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）11．在Rt△ABC中，sin A＝，则∠A等于30°．【分析】根据sin30°＝解答．解：在Rt△ABC中，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．12．某服装原价为100元，连续两次涨价a%，售价为121元，则a的值为10．【分析】根据该服装的原价及经两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：根据题意得：100（1+a%）2＝121，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．【分析】根据已知条件即可得到结论．解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．14．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则OD：OB＝1：2．【分析】依据BD，CE分别是边AC，AB上的中线，可得DE是△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE＝BC，再根据△DOE∽△BOC，即可得到OD：OB的值．解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DOE∽△BOC，∴＝＝，故答案为：1：2．【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形中位线定理以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应边成比例．15．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，解得，k1＝1，k2＝0当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．16．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则①CD＝10；②图中阴影部分面积为．【分析】①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG＝∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGA＝30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，∴△ABE∽△CDG，∴＝，即＝，解得CD＝10；②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，∵AC＝AB+BC＝4+6＝10，∴AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA，又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，∴∠CGA＝30°，∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°，∴AG⊥GD，∵∠BCF＝∠D＝60°，∴CF∥DG，∴△ACM∽△ADG，∴MN⊥CF，＝，即＝，解得CM＝5，所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1，∵∠F＝60°，∴MN＝MF＝，＝MF•MN＝×1×＝，∴S△MNF即阴影部分面积为．故答案为：10；．【点评】本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．三、解答题（共86分）17．（8分）计算：÷+×﹣tan60°【分析】先利用二次根式的乘除法则和特殊角的三角函数值进行计算，然后合并即可．解：原式＝+﹣×＝4+﹣＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）（1）（x﹣3）2﹣49＝0（2）5x2+2x﹣1＝0【分析】（1）先变形为（x﹣3）2＝49，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用求根公式法解方程．解：（1）（x﹣3）2＝49，x﹣3＝±7，所以x1＝10，x2＝﹣4；（2）△＝22﹣5×5×（﹣1）＝29，x＝所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．19．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C坐标为（2，4），则点A'的坐标为（﹣1，0），点C′的坐标为（1，2），周长比C△A′B′C′：C△ABC＝1：2．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标．解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）若点C坐标为（2，4），则点A'的坐标为（﹣1，0），点C′的坐标为（1，2），周长比C△A′B′C′：C△ABC＝1：2．故答案为：（﹣1，0），（1，2），1：2．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．（9分）如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝，可设CQ＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP＝11，由AP＝，结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ 可得答案．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，∵i＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则CQ＝PE＝8（米），BQ＝6（米），∴DP＝DE+PE＝11（米），在Rt△ADP中，∵AP＝≈13.1（米），∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1（米）．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．22．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S＝5，BC＝10，求DE的长．△FCD【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，而由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．（1）证明：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD．∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB．∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝．＝5，∵S△FCD∴S＝20．△ABC又∵S＝×BC×AM，BC＝10，△ABC∴AM＝4．又DM＝CM＝CD，DE∥AM，∴DE：AM＝BD：BM＝，∴DE＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．23．（9分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b（1）试判断△ABC的形状；（2）求sin A+sin B的值．【分析】（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，则a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；（2）由于a2+b2＝c2，3c＝a+3b，消去a得（3c﹣3b）2+b2＝c2，变形为（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，则b＝c，a＝c，根据正弦的定义得sin A＝，sin B＝，所以sin A+sin B＝，然后把b＝c，a＝c代入计算即可．解：（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，根据题意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，∴4c＝5b，即b＝c，∴a＝3c﹣3b＝c∵sin A＝，sin B＝，∴sin A+sin B＝＝＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．24．（12分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB＝；（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF＝90°，EF＝2DE，求出DF的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，进而利用勾股定理解答即可；（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，根据相似三角形的判定和性质解答即可；（3）利用梯形的面积公式解答即可．解：（1）如图1，∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC与△BCE中，，∴△ADC≌△BCE，∴AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，∴，∴AB＝＝；故答案为：（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，∴∠DME＝∠EDF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∴△DME∽△ENF，∴，∵EF＝2DE，∴，∵ME＝2，EN＝3，∴NF＝4，DM＝1.5，根据勾股定理得DE＝2.5，EF＝5，，（3）根据（2）可得：，即，解得：EG＝2.5．【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质进行解答．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，由此即可解决问题；（3）①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝，∴DE＝BD＝•，∴矩形BDEF的面积为y＝[]2＝（x2﹣6x+12），即y＝x2﹣2x+4，∴y＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴x＝3时，y有最小值．【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．新九年级（上）数学期中考试题(答案)一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．将油滴入水中，油会浮在水面上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2＝b2，那么a＝bD．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，故选：A．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．解：根据勾股定理，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】首先求出一元二次方程x2﹣4x+5＝0根的判别式，然后结合选项进行判断即可．解：∵一元二次方程x2﹣4x+5＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4×5＝16﹣20＝﹣4＜0，即△＜0，∴一元二次方程x2﹣4x+5＝0无实数根，故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，此题难度不大．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝9B．（x+1）2＝7C．（x﹣1）2＝9D．（x﹣1）2＝7【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝9，（x﹣1）2＝9．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．如果代数式+有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．解：∵代数式+有意义，∴a≥0且ab＞0，解得a＞0且b＞0．∴直角坐标系中点A（a，b）的位置在第一象限．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征．8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，sin B＝，则边BC的长为（）A．7B．8C．12D．17【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长，利用勾股定理再分别求出BD和CD的长即得结果．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵sin B＝，即＝，∴AD＝12．在Rt△ABD中，BD＝＝12．在Rt△ACD中，CD＝＝＝5．∴BC＝BD+CD＝12+5＝17．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大．构造直角三角形，充分利用∠B的正弦、AB、AC的长是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cos A＝，则k的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣D．﹣2【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，∵OA⊥OB，。

2021-2022学年天津市河西区九年级上学期数学期中试卷及答案一．选择题1. 在平面直角坐标系中，点（5，2）关于原点对称的点的坐标为（）A. （-2，-5）B. （-5，2）C. （-5，-2）D. （-2，5）【答案】C【解析】【分析】根据横坐标变成相反数，纵坐标也变成相反数确定即可．【详解】∵点（5，2）关于原点对称的点的坐标为（-5，-2），故选C．【点睛】本题考查了坐标系中原点对称问题，熟练掌握对称时坐标的变化规律是解题的关键．2. 以下冬奥会图标中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义狐疑判断即可．【详解】∵A不是中心对称图形,∴A不符合题意；∵B不是中心对称图形,∴B不符合题意；∵C是中心对称图形,∴C符合题意；∵D不是中心对称图形,∴D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了中心对称图形即一个图形绕某点旋转180°后与原图形重合，熟练掌握定义是解题的关键．3. 在抛物线上的点为（ ） 24y x x =-A. （0，4） B. （1，-4）C. （-1，-5）D. （2，-4） 【答案】D 【解析】【分析】把各个点的坐标代入验证即可．【详解】A 、当x=0时，y=x 2-4x=0，因此(0，4)不在抛物线y=x 2-4x 上； B 、当x=1时，y=x 2-4x=1-4×1=1-4=-3，因此(1，-4)不在抛物线y=x 2-4x 上； C 、当x=-1时，y=x 2-4x=1-4×（-1）=5，因此(-1，-5)不在抛物线y=x 2-4x 上； D 、当x=2时，y=x 2-4x=4-2×4=-4，因此(2，-4)在抛物线y=x 2-4x 上． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法． 4. 二次函数的图象不经过的象限为（ ） 24y x =+A. 第一象限、第四象限 B. 第二象限、第四象限C. 第三象限、第四象限D. 第一象限、第三象限、第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与轴的交点，可确定抛物线y 的大致位置，判断其不经过的象限． 【详解】解：抛物线 24y x =+顶点坐标为，在轴上， (0,4)y 且开口向上，抛物线不经过第三象限，第四象限；∴故选：C ．【点睛】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断．5. 如图，在⊙中，半径于点H ，若，则∠ABC 的度数为（ ）O OC AB ⊥40OAB ∠=︒A .20°B. 25°C. 30°D. 40°【答案】B 【解析】【分析】根据垂直求出∠AHO=90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠AOC，根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC，代入求出答案即可．12【详解】解：∵OC⊥AB， ∴∠AHO=90°， ∵∠OAB=40°，∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°， ∴∠ABC=∠AOC=×50°=25°， 1212故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC 12是解此题的关键．6. 下列命题错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 圆内接平行四边形一定是矩形 C. 圆内接四边形的对角互补 D. 相等的圆心角所对的弧相等【答案】D 【解析】【分析】根据确定圆的性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质分别判断进而得出答案即可．【详解】解：A.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径．通过直径的定义可知，在一个圆中，圆内最长的线段一定是直径，故此选项正确，不符合题意；B.因为矩形的对角互补，符合圆内接四边形的性质；故圆的内接平行四边形是矩形正确，故此选项正确，不符合题意；C.圆内接四边形的对角互补，故此选项正确，不符合题意；D.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故此选项错误，符合题意． 故选D ．【点睛】本题考查了确定圆的性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，熟练利用相关知识是解题关键．7. 方程x 2+x-12=0的两个根为（ ） A. x 1=-2，x 2=6 B. x 1=-6，x 2=2C. x 1=-3，x 2=4D. x 1=-4，x 2=3 【答案】D 【解析】【分析】将x 2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论． 【详解】x 2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0 则x+4=0，或x﹣3=0 解得：x 1=﹣4，x 2=3． 故选D ．【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法8. 如图，在⊙O 中，点A ，B 在圆上，∠AOB=120°，弦AB 的长度为，则半径OA 的长度为（ ）A. B. 4C. D. 【答案】B 【解析】【分析】过点O 作OD⊥AB，垂足为D ，利用垂径定理，三角函数求解即可． 【详解】过点O 作OD⊥AB，垂足为D ，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴AD=BD= 12∵=sin∠AOD= AD OA，故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的三线合一，特殊角的三角函数，灵活运用以上知识是解题的关键．9. 将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为2y x =（ ）A. B. 223y x x =+-223y x x =-+C. D.223y x x =++223y x x =--【答案】C 【解析】【分析】根据平移规律确定解析式，后化成一般式即可．【详解】将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的解析式为:2y x =，2(x +1)2y =+∴化成一般式为； 223y x x =++故选:C ．【点睛】本题考查了二次函数平移，熟练二次函数平移规律左加右减，上加下减是解题的关键．10. 如图，在中，，将绕点C 逆时针旋转得到，点A ，ABC 120BAC ∠=︒ABC DEC B 的对应点分别为D ，E ，连接．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的AD 是（ ）A.B.C.D.ABC ADC ∠=∠CB CD =DE DC BC +=AB CD ∥【答案】D 【解析】【分析】由旋转可知，即可求出，由于120EDC BAC ∠=∠=︒60ADC ∠=︒，则可判断，即A 选项错误；由旋转可知，由于60ABC ∠<︒ABC ADC ∠≠∠CB CE =，即推出，即B 选项错误；由三角形三边关系可知，CE CD >CB CD >DE DC CE +>即可推出，即C 选项错误；由旋转可知，再由，DE DC CB +>DC AC =60ADC ∠=︒即可证明为等边三角形，即推出．即可求出ADC 60ACD ∠=︒，即证明 180ACD BAC ∠+∠=︒，即D 选项正确；//AB CD 【详解】由旋转可知， 120EDC BAC ∠=∠=︒∵点A ，D ，E 在同一条直线上， ∴， 18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒∵，60ABC ∠<︒∴，故A 选项错误，不符合题意； ABC ADC ∠≠∠由旋转可知， CB CE =∵为钝角， 120EDC ∠=︒∴，CE CD >∴，故B 选项错误，不符合题意； CB CD >∵，DE DC CE +>∴，故C 选项错误，不符合题意； DE DC CB +>由旋转可知， DC AC =∵， 60ADC ∠=︒∴为等边三角形， ADC ∴．60ACD ∠=︒∴，180ACD BAC ∠+∠=︒∴，故D 选项正确，符合题意； //AB CD 故选D ．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．11. 如图，将等边三角形OAB 放在平面直角坐标系中，A 点坐标（1，0），将△OAB 绕点O 逆时针旋转60°，则旋转后点B 的对应点B ＇的坐标为（ ）A. （）B. （－1，） 1212C. （－D. ，） 3212【答案】A 【解析】【分析】如图，作点B 作BH⊥OA 于H ，设BB′交y 轴于J ．求出点B 的坐标，证明B ，B′关于y 轴对称，即可解决问题．【详解】解：如图，故点B 作BH⊥OA 于H ，设BB′交y 轴于J ．∵A（1，0）， ∴OA=1，∵△AOB 是等边三角形，BH⊥OA，∴OH=AH=OA=，， 1212∴B（， 12∵∠AOB=∠BOB′=60°，∠JOA=90°， ∴∠BOJ=∠JOB′=30°， ∵OB=OB′， ∴BB′⊥OJ， ∴BJ=JB′，∴B，B′关于y 轴对称，∴B′（-）， 12故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换，轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．12. 已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②2y ax bx c =++0a ≠0abc >；③；④．其中，正确结论的个数是（ ）240b ac ->0a b c ++>30a c +<A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①抛物线对称轴位于y 轴的右侧，a ，b 异号，即ab ＜0． 抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜0． 所以abc ＞0． 故①正确．②由抛物线与x 轴有两个交点可得b 2-4ac ＞0． 故②正确．③根据图象知道当x=1时，y=a+b+c ＜0． 故③错误；④抛物线开口方向向下，则a ＞0． 由于对称轴是x=，且=1， 2b a -2ba-所以2a=-b ，当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0． 所以2a+a+c ＜0，即3a+c ＜0． 故④正确． 故选C【点睛】主要考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二、填空题13. 方程x 2=2的解是_____．【答案】 【解析】【详解】解：直接开平方得：x =故答案为：．14. 若正方形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的关系式为_______（）． 0x >【答案】 2y x =【解析】【分析】根据正方形的面积公式列出函数关系式即可; 【详解】y=x 2【点睛】本题考查列函数关系式，掌握正方形的面积公式是得出函数关系式的前提． 15. 抛物线与y 轴的交点坐标为______． 221y x x =++【答案】（0，1） 【解析】【分析】将代入抛物线解析式即可求得抛物线与y 轴的交点坐标． 0x =221y x x =++【详解】解：当时，，0x =1y =∴抛物线与y 轴的交点坐标为， 221y x x =++(0,1)故答案为：（0，1）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16. 二次函数（a ，b ，c 是常数）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下2y ax bx c =++表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…m﹣3﹣4﹣3…则它的顶点坐标为________． 【答案】 (1,4)-【解析】【分析】根据表中数据的对称性即可得出．【详解】解：根据表中：，2,3x y ==-，0,3x y ==-图象关于对称， ∴0212x +==，1,4x y ==- 它的顶点坐标为，∴(1,4)-故答案是：．(1,4)-【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，解题的关键是利用函数的对程序求解． 17. 如图，已知内接于⊙，，，点是⊙上一点．若ABC O AB AC =42BAC ∠=︒D O BD 为⊙的直径，连接，则的大小为_______．O CD ACD ∠【答案】21° 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得，根据BD 是直径得69ABC ACB ∠=∠=︒，根据同弧所对的圆周角相等得，则，90BCD ∠=︒42BAC BDC ∠=∠=︒48DBC ∠=︒即可得．【详解】解：∵AB=AC， ∴， 11(180)(18042)6922ABC ACB BAC ∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒∵BD 是直径， ∴，90BCD ∠=︒∵，42BAC BDC ∠=∠=︒∴， 180180904248DBC BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∴， 694821ACD ABD ABC DBC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：．21︒【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．18. 如图①，，，，为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出1O 2O 3O 4O 一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是__________；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，1O 2O 3O 4O 5O 请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是__________．【答案】 ①. 过与交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分 13O O 24O O ②. ，，，为所求4AO 3DO 2EO 1CO 【解析】【分析】利用中心对称图形进行分析即可．【详解】解：，，如图①（提示：答案不唯一，过与交点O 的任意直线都1O 3O 13O O 24O O 能将四个圆分成面积相等的两部分）；，O ，如图②（提示：答案不唯一，如，，，等均可）．5O 4AO 3DO 2EO 1CO【点睛】本题考查了图形的对称中心,可根据所给的圆的圆心组成的图形的形状进行分析．注意：过中心对称图形的中心的任意一条直线都可以把图形的面积等分．三、解答题19. 解方程：（1）2(1)4x -=（2）2224x x -+=【答案】（1）；（2）123,1x x ==-121,1x x =+=+【解析】【分析】（1）直接利用开方法求解即可；（2）利用配方法及直接开方法进行求解．【详解】解：（1）， 2(1)4x -=，12x -=±解得：，123,1x x ==-（2），2224x x -+=，2213x x -+=，2(1)3x -=，11x x -=-=解得：．121,1x x =+=+【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法及配方法．20. 已知抛物线与轴有两个不同的交点.224y x x c =-+x (1)求的取值范围；c (2)若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明224y x x c =-+()2,A m ()3,B n m n 理由.【答案】(1) 的取值范围是； (2). 理由见解析.c 2c <m n <【解析】【分析】（1）由二次函数与x 轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A （2，m ）和点B （3，n ）都在对称轴的右侧，即可求解；【详解】(1).()2244816 8b ac c c -=--=-由题意，得，240b ac ->∴16 80c ->∴的取值范围是.c 2c <(2). 理由如下:m n <∵抛物线的对称轴为直线，1x =又∵，20a =>∴当时，随的增大而增大.1≥x y x ∵，∴.23<m n <【点睛】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．21. 如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在的延ABC B 60︒DBE C E AB 长线上，连接．AC ，DE 相交于点P ．AD （Ⅰ）求证：△ADB 是等边三角形；（Ⅱ）直接写出∠APD 的度数______．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°【解析】【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质，以及等边三角形的判定方法即可证明；（Ⅱ）根据旋转的性质，以及三角形内角和定理即可求解．【详解】（Ⅰ）证明：∵△ABC 绕点B 顺时针旋转得到，60︒DBE ∴△ABC≌△DBE，∴ BA = BD ，∠ABD=，60︒∴△ADB 是等边三角形；（Ⅱ）解：∵△ABC≌△DBE，∴∠BAC=∠BDE，∵∠AFB=∠DFP，∴∠BAF+∠ABF =∠FDP+∠APD，∴∠APD=∠ABF=60°，故答案为：60°．．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．22. 如图，已知BC 为⊙O 的直径，BC=5，AB=3，点A 点B 点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）求的长；AC （Ⅱ）求，的长．BD CD【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ） CD BD =【解析】 【分析】（Ⅰ）根据直径所对的圆周角等于直角，进而根据勾股定理即可求得的长；AC （Ⅱ）根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，进而可得，，根据勾股 CDDB =CD BD =定理即可求得，的长．BD CD 【详解】解：（Ⅰ）连接OD ，∵为直径，BC ∴．90CAB BDC ∠=∠=︒在中，Rt CAB △．4AC ===（Ⅱ）∵ 平分，AD CAB ∠∴ ∠CAD=∠BAD，C OD B O D ∴∠=∠ CDDB ∴=∴．CD BD =在中，，，Rt BDC 5BC =222CD BD BC +=∴ BD CD ==【点睛】本题考查了直角所对的圆周角等于直角，等弧所对的圆周角相等，等弧和弦的关系，掌握以上知识是解题的关键．23. 如图所示，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，AC +BD=10cm ，菱形面积是12cm 2，求菱形ABCD 的周长．【答案】这个菱形的周长为【解析】【分析】设AC=a cm ，BD=b cm ，其中，根据题意得，求出AC=4，BD=6，a b <101122a b a b +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩运用勾股定理求出菱形的边长即可得到结论．【详解】解：如图，设AC=a cm ，BD=b cm ，其中，， a b <由题意得，， 101122a b a b +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩解得，，或（舍去） 46a b =⎧⎨=⎩64a b =⎧⎨=⎩∴AC=4，BD=6，∵菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∴AO=2，OD=3，AC⊥BD由勾股定理得由于菱形四条边相等，则该菱形的周长为答：这个菱形的周长为【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，解题的关键是根据题意列方程组与勾股定理解题．24. 如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC<60°，AB=AC ，D 为BC 边的中点，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ．（Ⅰ）依题意补全图形；（Ⅱ）①当∠BAC=40°时，直接写出∠AFE 的度数________；②当∠BAC=时，求∠AFE 的度数；α（Ⅲ）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①60°；②60°；（Ⅲ）．+=AF BF EF 【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意画出图形即可；（Ⅱ）①根据旋转的性质，等腰三角形等边对等角，三角形外角的性质可得结果； ②根据①中计算过程得出结论；（Ⅲ）在上取点，使，连接，即可得出，然后得EF M EM BF =AM ABF AEM ∆≅∆出是等边三角形，即可得出结论．AFM △【详解】解：（Ⅰ）依题意补全图形，如图，（Ⅱ）①，为边的中点，AB AC = D BC ； 1202BAD BAC ∴∠=∠=︒线段绕点逆时针旋转得到线段AC A 60 ,AE ,60.AB AE CAE ∴=∠= ∴，4060=100BAE BAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒︒ 18010040.2ABE E ︒-︒∴∠=∠==︒，60AFE ABE BAD ∴∠=∠+∠=︒故答案为：；60②解：，为边的中点，AB AC = D BC ； 1.2BAD BAC ∴∠=∠线段绕点逆时针旋转得到线段AC A 60 ,AE ,60.AB AE CAE ∴=∠=.ABE E ∴∠=∠在中，ABE ∆180120,ABE E BAC CAE ∠+∠+∠=-∠= ()160.2ABE E BAC ∴∠+∠+∠= 即60.ABE BAD ∠+∠=60.AFE ABE BAD ∴∠=∠+∠=︒（Ⅲ）.AF BF EF +=证明：如图，在上取点，使，连接，EF M EM BF =AM ∵,,,AB AE ABF AEM BF EM =∠=∠=∴，ABF AEM ∆≅∆，AF AM ∴=是等边三角形，AFM ∴∆，FM AF ∴=．AF BF EF ∴+=【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解本题的关键．25. 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，△OAB 是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA ，顶点A （4，0），点B 在第一象限，矩形OCDE 的顶点E （，0），点C 在y 轴的正72-半轴上，点D 在第二象限，射线DC 经过点B ．（Ⅰ）求点的坐标；B （Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点OCDE x OCDE ''''O C D E 分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为． O 'C 'D ¢E 'OO t '=O C D E ''''OAB S ①当时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； 0 3.5t <≤t S t②矩形沿轴向右平移的过程中，求面积的最大值（直接写出结果即可）．OCDE x S【答案】（Ⅰ）（2，2）；（Ⅱ）①当时，；当时，02t <≤212s t =2 3.5t <≤；②． 21(4)42s t =--+6316S =【解析】【分析】（1）过点作，分别计算出OH ，BH 即可得解；B BH OA ⊥（2）①分两种情况计算即可；②当时，面积最大，列出关于t 的二次函数计算即742t <<可；【详解】解：（Ⅰ）如图，过点作，垂足为．B BH OA ⊥H 由点，得． 40A ，（）4OA =∵，，BO BA =90OBA ∠=︒∴． 122OH OA ==∴． 122BH OA ==∴点的坐标为．B 22，（）（Ⅱ）①如图所示：当时，02t <≤∵，，OO t '=45BOA ∠=︒∴，O F t '=∴； 212s t =当时，2 3.5t <≤∵，，，OO t '=45BOA ∠=︒4OA =∴，4O A t '=-∴，4O A O F t ''==-∴； 21(4)42s t =--+②如图所示，当时面积最大， 742t <<此时，，， 72OE E M t '==-'4O A O F t ''==-∴， ()2221711563=S S 44222416OAB OE M AFO S S t t t ''⎛⎫⎛⎫--=----=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 重叠∴当时，． 154t =6316S =【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平移综合，二次函数最值求解，准确计算是解题的关键．。

天津市滨海新区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题1. 二次函数y＝（x+1）2与x轴交点坐标为（ ）A. （﹣1，0）B. （1，0）C. （0，﹣1）D. （0，1）【答案】A【解析】【分析】二次函数y＝（x＋1）2图象与x轴交点横坐标就是（x＋1）2＝0的根，解方程即可．【详解】二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点横坐标就是（x+1）2＝0的根，解方程（x+1）2＝0，得：x1＝x2＝﹣1，∴二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点坐标为（﹣1，0）；故选A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、方程的解法；明确二次函数y＝（x＋1）2图象与x轴交点横坐标就是（x＋1）2＝0的根是解题关键．2. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解.【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、不中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.是3. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕顶点 A 逆时针旋转 80°后得△AB′C′，则∠CAB′的度数为（）A. 45°B. 80°C. 125°D. 130°【答案】C【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝45°，根据旋转的性质得到∠BAB′＝80°，结合图形计算即可．【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，由旋转的性质可知，∠BAB′＝80°，∴∠CAB′＝∠CAB＋∠BAB′＝125°，故选C．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．4. 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A. y=（x+1）2+4B. y=（x﹣1）2+4C. y=（x+1）2+2D. y=（x﹣1）2+2【答案】D【解析】【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．故选D．5. 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，将△ADC绕点A按逆时针旋转到△AEF(A、B、E 在同一直线上)，连接CF，则CF的长为( )A. 5 C. 4【答案】D 【解析】【分析】根据旋转的性质可得∠FAC＝∠BAD＝90°，AF ＝AC ，在Rt△ACD 中，利用勾股定理可求AC ，在Rt△FAC 中，利用勾股定理可求CF.【详解】解：∵△ADC 按逆时针方向绕点A 旋转到△AEF，∴∠FAC＝∠BAD＝90°，AF ＝AC ，∵在Rt△ADC 中，AC 5，∴在Rt△FAC 中，CF .故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，证明△FAC 是等腰直角三角形是解题的关键．6. 如图，AB 为O e 的直径，,C D 为O e 上两点，若40BCD а＝，则ABD Ð的大小为（ ）．A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°【答案】B 【解析】【分析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD Ð的大小.【详解】解：连接AD ，∵AB 为O e 的直径，∴90ADB Ð=°．∵40BCD Ð=°，∴40A BCD Ð=Ð=°，∴904050ABD Ð=°-°=°．故选B ．【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.7. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点H ，若∠AOC＝60°，OH ＝1，则弦AB 的长为( )C. 2D. 4【答案】A 【解析】【分析】在Rt△AOH 中，由∠AOC＝60°，解直角三角形求得AH 解答即可.【详解】解：∵OC⊥AB 于H ，∴AH＝BH ，在Rt△AOH 中，∠AOC＝60°，OH ＝1，∴AB＝2AH ＝故选A.【点睛】本题考查了垂径定理以及解直角三角形，难度不大，掌握相关性质定理是解题关键．8. 如图，在△ABO 中，AB⊥OB，OB ，OB 在x 轴正半轴上，∠AOB＝30°，把△ABO 绕点O 顺时针旋转150°后得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为( )A. B. (﹣1，﹣2)C. (﹣2，﹣1)D. 【答案】D 【解析】【分析】如图，作A 1E⊥x 轴于E ，解直角三角形求出OE ，EA 1即可解决问题.【详解】解：如图，作A 1E⊥x 轴于E ，在Rt△OAB中，OB30°，∴AB＝1，OA＝2AB＝2，∵∠AOA1＝150°，∴∠A1OB＝120°，∠A1OE＝60°，∴OE＝12OA1＝1，A1E∴A1，故选D.【点睛】本题考查坐标与图形的性质、旋转的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠C＝68°，则∠ABD的度数为( )A. 34°B. 56°C. 68°D. 112°【答案】A【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，然后根据三角形内角和定理计算即可.【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠C＝112°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝12(180°﹣∠A)＝34°，故选A.【点睛】本题考查的圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：x ……﹣10123……y……﹣23676……下列说法错误的是( )A. 函数图象开口向下 B. 抛物线的对称轴是直线x ＝2C. b 2﹣4ac＞0 D. 当x≥1时，y≥6【答案】D 【解析】【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确.【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x ＝132+＝2，故选项B 正确，该函数的顶点坐标是(2，7)，有最大值，开口向下，故选项A 正确，该函数与x 轴有两个交点，故b 2﹣4ac＞0，故选项C 正确，当x≥1时，y≤7，故选项D 错误，故选D.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11. 如图，抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x 的方程ax 2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）A. ﹣4B. ﹣2C. 1D. 3【答案】B 【解析】【分析】抛物线()230y ax bx a =++¹与抛物线28y ax bx =+-的对称轴相同是解题的关键.【详解】解：∵关于x 的方程280ax bx +-=有一个根为4，∴抛物线28y ax bx =+-与x 轴的一个交点为（4，0），抛物线()230y axbx a =++¹的对称轴为直线1x =，\抛物线28y ax bx =+-的对称轴也是x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为()20-，，∴方程的另一个根为2x =-． 故选B ．【点睛】考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴方程是：2b x a=-．12. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为x=1，经过点（-1，0），有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b ；③3a+c=0；④a+b＞m （am+b ）（其中m≠1）其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】【分析】先根据图象的开口确定a, c 的符号，利用对称轴知b 的符号（a<0，c>0，b>0 ），根据图象看出x=1，x=-1，x=m 时y 的值，从而得出答案．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线1,2bx a=-= ∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=﹣1时，y=0，∴a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②错误；把b=﹣2a代入a﹣b+c=0中得3a+c=0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1且m≠1，∴x=1时，函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c＞am2+mb+c，即a+b＞m（am+b），所以④正确．故选C．【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数a决定抛物线的开口方向，,a b共同决定了对称轴的位置，常数项c决定了抛物线与y轴的交点位置.二、填空题13. 把抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位长度所得图象的解析式是______.【答案】y＝﹣2(x+3)2【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可.【详解】解：把抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位长度所得图象的解析式是y＝﹣2(x+3)2，故答案为y＝﹣2(x+3)2.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．14. 在半径为6cm的圆中，长为6cm的弦所对的圆周角的度数为______.【答案】30°或150°【解析】【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，易得△AOB是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案.【详解】解：如图，首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，∵OA＝OB＝6cm，AB＝6cm，∴OA＝AB＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∠AOB＝30°，∴∠C＝12∴∠D＝180°﹣∠C＝150°，∴所对的圆周角的度数为：30°或150°.【点睛】此题考查了圆周角定理以及等边三角形判定和性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．15. 若点(23,2)A a b +-与点(8,32)B a b -+关于原点对称，则a b +=_________.【答案】2【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数，可得关于a 、b 的方程组，解方程组即可求得答案.【详解】由题意得：238322a b a b +=ìí+=î，解得：24a b =-ìí=î，所以a+b=2，故答案为2.【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.16. 如图⊙I 是△ABC 的内切圆，与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，∠DEF=50°,则∠A=______.【答案】80°【解析】【分析】连结ID 、IF ，如图，先根据圆周角定理得到∠DIF＝2∠DEF＝100°，再根据切线的性质得ID⊥AB，IF⊥AC，则∠ADI＝∠AFI＝90°，然后根据四边形内角和计算∠A 的度数．【详解】解：连结ID 、IF ，如图，∵∠DEF＝50°，∵∠DIF＝2∠DEF＝100°，的∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠ADI＝∠AFI＝90°，∴∠A＋∠DIF＝180°，∴∠A＝180°−100°＝80°．故答案为80°.【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．17. 如图，AB是圆O的弦，AB＝，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．【答案】20【解析】【分析】连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝90°，则OA AB＝20，再根据三角形中位线性质得到MN＝1AC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定2MN的最大值．【详解】解：连接OA、OB，如图，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，AB＝20，∵点M、N分别是AB、BC的中点，AC，∴MN＝12当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为20，故答案为20．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．18. 如图，在Rt△ABC中，C 为直角顶点，∠ABC=20°，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至 OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为________________．【答案】40°或 100°或 70°【解析】【分析】如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×50°=100°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=70°．【详解】∵△BCP恰为轴对称图形，∴△BCP是等腰三角形，如图1，连接AP，∵O为斜边中点，OP=OA，∴BO=OP=OA，∴∠APB=90°，当BC=BP时，∴∠BCP=∠BPC，∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，∴∠ACP=∠APC，∴AC=AP，∴AB垂直平分PC，∴∠ABP=∠ABC=20°，∴θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，∵BC=CP，BO=PO，∴CH垂直平分PB，∴∠CHB=90°，∵OB=OC，∴∠BCH=∠ABC=20°，∴∠CBH=70°，∴∠OBH=50°，∴θ=2×50°=100°；当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，∵∠ACB=90°，O为斜边中点，∴OB=OC，∴PG垂直平分BC，∴∠BGO=90°，∵∠ABC=20°，∴θ=∠BOG=70°，综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40°或100°或70°，故答案为40°或100°或70°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．三、解答题19. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，C两点，与y轴交于B点，抛物线的顶点为点D，已知点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(0，﹣3).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.(2)求△ACD的面积.【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；D(1，-4)；(2)△ACD的面积是8.【解析】【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式，然后将解析式化成顶点式，可得点D坐标；(2)首先求出点C坐标，然后由三角形的面积公式解答.【详解】解：(1)把(﹣1，0)，(0，﹣3)分别代入y＝x2+bx+c，得：013b c c=-+ìí=-î，解得：b＝﹣2，c＝﹣3，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3=(x-1)2-4，∴点D坐标为(1，-4)；(2)令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x=-1或x=3，∴C(3，0)，∴AC＝4，∴S△ACD ＝12AC•|yD|＝12×4×4＝8，即△ACD的面积是8.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，难度不大，但需要一定的计算能力．20. 四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=3，AB=7，求(1)指出旋转中心和旋转角度；(2)求DE的长度；(3)BE与DF的位置关系如何？请说明理由．【答案】(1)旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；(2)DE= 4；(3)BE与DF是垂直关系．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD-AE计算即可得解；（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，然后求出∠ABE+∠F=90°，判断出BE⊥DF．【详解】（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE=AF=3，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；可得旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；（2）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ADF≌△ABE，∴AE=AF=4，AD=AB=7，∴DE=AD-AE=7-4=3；（3）BE、DF的位置关系为：BE⊥DF．理由如下：延长BE交DF于G，∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠ADF+∠F=180°-90°=90°，∴∠ABE+∠F=90°，∴BE⊥DF，∴BE、DF的位置关系为：BE⊥DF．【点睛】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．21. 如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠BAC＝120°、OA⊥BC、若AB＝4.(1)求证：四边形OACD为菱形.(2)求AD的长.【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)由已知条件和垂径定理以及圆周角定理易证四边形OACD为平行四边形，再由邻边相等的平行四边形为菱形，可得结论；(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，在Rt△ABD中利用勾股定理即可求出AD的长.【详解】(1)证明：∵OA⊥BC，∴»»AB AC=，∴AB＝AC，∠CDA＝∠ADB＝12∠CDB，∵∠BAC＝120°，∴∠BDC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDA＝∠ADB＝30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°∴AC＝AB＝12BD，∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝30°，∴AC∥OD，AC=OD，∴四边形OACD为平行四边形，又∵OA＝OD，∴四边形OACD为菱形；(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，在Rt△ABD中，AD＝【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．22. 如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC、BC于点G、F．(1)求证：DF垂直平分AC；(2)求证：FC＝CE；(3)若弦AD＝5cm，AC＝8cm，求⊙O的半径．.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）25 6【解析】【详解】（1）由DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，可得DF⊥DE，又由AC∥DE，则DF⊥AC，进而可知DF垂直平分AC；（2）可先证△AGD≌△CGF，四边形ACED是平行四边形，即可证明FC=CE；（3）连接AO可先求得AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm；设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中，由勾股定理可求得r=25 623. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元.(1)分析数量关系填表：每台售价(元)303132……30+x月销售量(件)180170160……_____(2)求y与x之间的函数解析式和x的取值范围(3)当售价x(元/件)定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y(元)最大？最大利润是多少？【答案】(1)180﹣10x；(2)y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；(3)每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元.【解析】【分析】(1)由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，由此填空即可；(2)由销售利润＝每件商品的利润×(180﹣10×上涨的钱数)可得函数解析式，根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值范围；(3)根据二次函数的性质求出最值即可.【详解】解：(1)由表格可得：当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，所以当每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售量为180﹣10x，故答案为180﹣10x；(2)由题意可知：y＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；(3)由(2)知，y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数).∵﹣10＜0，∴当x ＝802(10)-´-＝4时，y 最大＝1960元；∴当每件商品的售价为34元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，为1960元.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x ＝2b a-时取得.24. 如图1，在平面直角坐标系中，点，0)，，0)，C(0).D ，E 分别是线段AC 和CB 上的点，CD ＝CE.将△CDE 绕点C 逆时针旋转一个角度α.(1)若0°＜α＜90°，旋转过程中当点A ，D ，E 在同一直线上时，连接AD ，BE ，如图2.求证：AD ＝BE ，且AD⊥BE(2)若0°＜α＜360°，D ，E 恰好是线段AC 和CB 上中点，在旋转过程中，当DE∥AC 时，求α的值及点E 的坐标.【答案】(1)证明见解析；(2)α=45°时，点E 的坐标为(1)；α=225°时，点E 的坐)【解析】【分析】(1)证明△ACD≌△BCE，可得AD ＝BE ，∠CAD＝∠CBE，则结论得证；(2)由勾股定理求出AC 长，可求出CD 的长，如图1，当α＝∠ACO＝45°时，求出点E 的坐标为(1)，如图2，当α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°时，求出点E的坐标为(﹣1，).【详解】(1)∵点，0)，，0)，C(0)，∴OC 垂直平分AB ，OA ＝OB ＝OC ，∴AC＝BC ，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACB＝90°，根据旋转的性质得，∠ACD＝∠BCE，在的又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∴∠BAE+∠ABE＝(∠CAB﹣∠CAD)+(∠ABC+∠CBE)＝90°，∴∠AEB＝180°﹣(∠BAE+∠ABE)＝90°，即AD⊥BE；(2)由(1)知，∠ACB＝90°，AC＝BC，在Rt△AOC中，AC2，∵D，E是线段AC和CB上的中点，∴1CD CE AC2==＝1，如图1，当α＝∠ACO＝45°时，即∠ACO＝∠CDE＝45°，∴AC∥DE，此时点E的坐标为(1)，如图2，当α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°时，即∠ACO＝∠CD′E′＝45°，∴AC∥D′E′，此时点E).【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．25. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣3过点A（1，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P是线段AD上的动点．（1）b＝ ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）求直线AD的解析式；（3）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△ADQ的面积等于△ABD 的面积的一半时，求点Q的坐标．【答案】（1）2 （﹣1，﹣4）；（2）y＝x﹣1；（3）Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式求得b的值，然后利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可以直接求得顶点坐标；（2）结合（1）中抛物线解析式求得点D的坐标，利用点A、D的坐标来求直线AD解析式；（3）由二次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，易得AB＝4．结合三角形面积公式求得S△ABD＝6．设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．则PQ＝﹣m2﹣m+2．利用分割法得到：S△ADQ ＝S△APQ+S△DPQ＝32PQ＝32（﹣m2﹣m+2）．根据已知条件列出方程32（﹣m2﹣m+2）＝3．通过解方程求得m的值，即可求得点Q的坐标．【详解】解：（1）把A（1，0）代入y＝x2+bx﹣3，得12+b﹣3＝0．解得b＝2．故该抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4．故顶点坐标是（﹣1，﹣4）．故答案是：2；（﹣1，﹣4）．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3．当x＝﹣2，则y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．设直线AD的解析式为：y＝kx+t（k≠0）．把A（1，0），D（﹣2，﹣3）分别代入，得23 k tk t+=ìí-+=-î．解得k1t1=ìí=-î．∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1；（3）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴AB＝4．∴S△ABD ＝12×4×3＝6．设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．则PQ＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2．∴S△ADQ ＝S△APQ+S△DPQ＝12PQ•（1﹣m）+12PQ•（m+2）＝32PQ＝32（﹣m2﹣m+2）．当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，32（﹣m2﹣m+2）＝3．解得m1＝0，m2＝﹣1．∴Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

2022-2023学年天津市武清区九年级上学期数学期中试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．请将正确选项填在下表中）1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A.211x x -=22=C.D. 22x y +=()233x +=-【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的概念，对选项逐个判断即可．含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程．【详解】解：A ．分母含有未知数，不是整式方程，不符合题意；B ．是一元二次方程，符合题意；C ．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；D ．未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握一元二次方程的概念．2. 下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：根据中心对称图形与轴对称图形的概念可得，A 、 C 、D 均是中心对称图形，B 只是轴对称图形，故答案选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握此概念是解题的关键．3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这180︒个点叫做对称中心．【详解】解：A ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；D ．是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是关键．4. 一元二次方程的根是( )()33x x x -=-A. -1B. 1和3C. -1和3D. 3 【答案】C【解析】【分析】此题应对方程进行变形，提取公因式x-3，将原式化分解为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，则至少有一式值为0”来解题.【详解】解：x(x-3)=3-xx(x-3)-(3-x)=0(x-3)(x+1)=0∴x-3=0或x+1=0x 1=3,x 2=-1故选C.【点睛】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法.5. 抛物线的顶点坐标是（ ） ()21232y x =--A. B. C. D. ()2,3-()2,3()2,3-()2,3--【解析】【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k 的性质解答即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ()21232y x =--()2,3-故选A ．【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k 的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，k)，对称轴是x=h ．6. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）2210x x --=A . B.210x +=（）210x -=（）C.D. 212x +=（）212x -=（）【答案】D【解析】【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．【详解】解：利用配方法如下：2210x x --=221x x -=22111x x -+=+．()212x -=故选D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．7. 二次函数y=ax 2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ）A. ﹣3B. ﹣1C. 2D. 3 【答案】D【解析】【详解】试题分析：把（1，1）代入y=ax 2+bx﹣1可得到a+b-1=1，即可得a+b=3，故答案选D ．．考点：二次函数图象上点的坐标特征．8. 抛物线y ＝3x 2＋2x －1向上平移4个单位长度后的函数解析式为( )A. y ＝3x 2＋2x －5B. y ＝3x 2＋2x －4C. y ＝3x 2＋2x ＋3D. y ＝3x 2＋2x ＋4【答案】C【详解】试题分析：利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x 2+2x﹣1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x 2+2x﹣1+4=3x 2+2x+3，故选C ．考点：二次函数的图象与几何变换．9. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为（ ）A. B. C. D. ()56x x +=()56x x -=()106x x -=()1026x x -=【答案】B【解析】【分析】一边长为x 米，则另外一边长为：5-x ，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．【详解】解：一边长为x 米，则另外一边长为：5-x ，由题意得：x （5-x ）=6，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．10. 如图，P 为正方形内一点，，将绕点C 逆时针旋转得到ABCD 1PC =CDP △，则的长是（ ）CBE △PEA. 1 C. 2 D. 【答案】B【解析】 【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得CPE △PE 【详解】∵绕点C 逆时针旋转得到，其旋转中心是点C ，旋转角度是 CDP △CBE △90 ∴,90PCE ∠= 1CE CP ==∴是等腰直角三角形CPE △∴PE ==故选项是B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键11. 已知抛物线y ＝x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ）A. ﹣1＜x ＜4B. ﹣1＜x ＜3C. x ＜﹣1或x ＞4D. x ＜﹣1或x ＞3【答案】B【解析】 【分析】首先求出点（-1，0）关于对称轴x=1的对称点，进而结合图象可得当y ＜0时x 的取值范围．【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），即抛物线与x 轴另一个交点为（3，0），所以y ＜0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3．故选：B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标．12. 如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列12结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b 2＝4a ；④a+b+c＜0．其中正确的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据开口方向、对称轴以及抛物线与y 轴的交点可判断①，根据对称轴可判断②，根据顶点纵坐标可判断③，根据特殊点可判断④．【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x ＝﹣＝， 2b a12∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；②∵b＝﹣a，∴a+b＝0，②正确；③∵抛物线的顶点坐标为（，1）， 12∴＝1， 244ac b a-∴4ac﹣b 2＝4a ，③正确；④∵抛物线的对称轴为x ＝，12∴x＝1与x ＝0时y 值相等，∵当x ＝0时，y ＝c ＞0，∴当x ＝1时，y ＝a+b+c ＞0，④错误．综上所述：正确的结论为①②③．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a 、b 、c 之间的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上）13. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则____________．230x x k ++=k =【答案】####2.25 94124【解析】【分析】根据题意可得：判别式，求解即可．224340b ac k ∆=-=-=【详解】解：根据题意可得：判别式，224340b ac k ∆=-=-=解得 94k =故答案为：94【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”240b ac ∆=-=是解题的关键．14. 若点关于轴的对称点是，则的值是____________．()3,A a x (),3B b -ab 【答案】9【解析】【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，“横坐标不变，纵坐标变为相反数”，求得x ，即可求解．a b ，【详解】解：由题意可得：，3b =3a -=-解得，3a =3b =9ab =故答案为：9【点睛】此题考查了关于轴的对称点的坐标特征，解题的关键是掌握相关基础知识．x 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，13,4A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭25,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,4C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭245y x x =+-则，，的大小关系是_______________．（用“”连接）1y 2y 3y <【答案】231y y y <<【解析】【分析】把二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而2x =-得到当时，y 随x 增大而增大，即可求解．2x >-【详解】解：，()224529y x x x =+-=+-∴二次函数图象的对称轴为直线，2x =-∵，10>∴当时，y 随x 增大而增大，2x >-∵， 513444-<<∴．231y y y <<故答案为：231y y y <<【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．16. 已知二次函数的图像与x 轴的一个交点为，则关于x 的一22(0)y ax ax c a =-+≠(1,0)-元二次方程的根为____________．220ax ax c -+=【答案】，##，11x =-23x =13x =21x =-【解析】【分析】先确定二次函数图像的对称轴，再根据抛物线的对称性，确定抛物线与x 轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是一元二次方程的解．【详解】解：由题意可知，二次函数的对称轴是直线， 22y ax ax c =-+212a x a-=-=则点（−1，0）关于的对称点是（3，0），1x =所以一元二次方程的两个实数根是，．220ax ax c -+=11x =-23x =故答案为：，．11x =-23x =【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次方程的联系的问题，解题关键在于掌握抛物线的性质，利用对称轴求出另一点坐标．17. 如图，把绕点A 逆时针旋转，得到，点恰好落在边AB 上，Rt ABC 44 ''Rt AB C 'C 连接，则 ______ ． 'BB ''BB C ∠=【答案】22 【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB= AB'，∠BAB'=44°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB'，再利用直角三角形两锐角互余，列式计算即可求出答案．【详解】解：∵Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转44°得到Rt△AB'C'，∴AB= AB'，∠BAB'=44°，∴△ABB'是等腰三角形， ∴∠ABB'=（180°-∠BAB'）=（180°-44°）=68°， 1212∵∠AC'B'=∠C=90°，∴B'C'⊥AB，∴∠BB'C'=90°-∠ABB'=90°-68°=22°．故答案为22°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状和大小得到等腰三角形是解题的关键．18. 如图，用20 m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积________m 2．【答案】50【解析】【详解】设与墙平行的一边长为xm ，则另一面为 ， 202x -其面积=， 2201·1022x x x x -=--∴最大面积为 ； 241005042ac b a -==即最大面积是50m 2．故答案是50．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出立字说明、演算步骤或证明过程）19. 解下列方程（1）()223810x +-=（2）2620x x --=（3）()53264x x x +=+【答案】（1），；13x =26x =-（2），；13x =+23x =（3），； 123x =-225x =【解析】【分析】（1）利用开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：()223810x +-=方程可变为，，()22381x +=开平方得，，239x +=±即或，239x +=239x +=-解得，，；13x =26x =-【小问2详解】2620x x --=由题意得，，1,6,2a b c ==-=-则，()()224641244b ac ∆=-=--⨯⨯-=∴， 3x ===±即，；13x =23x =【小问3详解】()53264x x x +=+可变为，()()32520x x +-=则或320x +=520x -=解得，； 123x =-225x =【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．20. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点ABC 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画绕点顺时针旋转后的ABC O 90︒． 111A B C【答案】见解析【解析】【分析】将的顶点绕点顺时针旋转得到，顺次连接ABC ,,A B C O 90︒111,,A B C 111,,A B C 即可．【详解】解：如图，将的顶点绕点顺时针旋转得到，顺次连ABC ,,A B C O 90︒111,,A B C 接即可，111,,A B C【点睛】本题考查了旋转作图，掌握旋转的性质是解题的关键．21. 如图，在中以为边分别作正方形、，连接．证ABC AB AC 、ADEB ACGF DC BF 、明：．CD BF =【答案】见解析【解析】【分析】通过证明，即可求证．ADC ABF ≌【详解】证明：由题意可得：，， AD AB =AC AF =90CAF BAD ∠=∠=︒∴DAC BAF ∠=∠在和中ADC △ABF △AD AB DAC BAF AC AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADC ABF △≌△∴CD BF =【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了正方形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．22. 向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．【答案】10%．【解析】【分析】设这两年的平均增长率为x ，根据等量关系“2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均收入”列方程即可．【详解】解：设这两年的平均增长率为x ，由题意得：，212000(1)14520x +=解得：（不合题意舍去），．1 2.1x =-20.110%x ==答：这两年的平均增长率为10%．23. 如图，抛物线y=ax 2+2ax+1与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB 对应的函数解析式．【答案】（1）y=x 2+2x+1；（2）y=2x+2．【解析】【分析】（1）抛物线与x 轴仅有1个交点可知=0时，即可得到4a 2﹣4a=0，解方程即可求∆得a ，即可得到抛物线解析式；（2）先求得A 的坐标，已知点C 是线段AB 的中点，可判定点A 与点B 的横坐标互为相反数，再确定B 点坐标，最后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）∵抛物线y=ax 2+2ax+1与x 轴仅有一个公共点A ，∴=4a 2﹣4a=0，解得a 1=0（舍去），a 2=1，∆∴抛物线解析式为y=x 2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A 的坐标为（-1，0），∵点C 是线段AB 的中点，即点A 与点B 关于C 点对称，∴B 点的横坐标为1，当x=1时，y=x 2+2x+1=1+2+1=4，则B （1，4），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （-1，0），B （1，4）代入得，04k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得， 22k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为y=2x+2．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．24. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【解析】【分析】（1）根据题意中销售量y （个）与售价x （元）之间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为w 元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由题意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，，，170x =280x =∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w 元，由题意可得w=（-2x+220）（x-40）=，223008800-+-x x 当时，w 有最大值，最大值为2450， 752b x a=-=∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．25. 如图，已知抛物线经过、两点． 2y x bx c =++(10)A -，(30)B ，（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当时，求的取值范围；03x <<y（3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．P 10PAB S ∆=P 【答案】（1）；顶点坐标为2=23y x x --(1,4)-（2）40y -≤<（3）点坐标为或P (2,5)-(4,5)【解析】【分析】(1)运用待定系数法，确定b ，c 的值即可．(2)根据函数的增减性计算即可．(3)根据三角形的面积,构造一元二次方程求解即可．【小问1详解】解：把、分别代入中， (10)A -，(30)B ，2y x bx c =++得：， 10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得：， 23b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为，2=23y x x --，2223(1)4y x x x =--=-- ∴顶点坐标为．(1,4)-【小问2详解】解：由图像可得当时，03x <<得．40y -≤<【小问3详解】解：∵、， (10)A -，(30)B ，．4AB ∴=设，则， ()P x y ，1||102PAB S AB y ∆==， ||5y ∴=．5y ∴=±①当时，5y =，2235x x --=解得：，12=2,=4x x -此时点坐标为或；P (2,5)-(4,5)②当时，5y =-，2235x x --=-方程无解；综上所述，点坐标为或．P (2,5)-(4,5)【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的增减性，抛物线与一元二次方程，熟练掌握待定系数法，灵活运用性质，正确解一元二次方程是解题的关键．。

2020-2021天津市九年级数学上期中试题(及答案)一、选择题1．如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是()A．①③B．②③C．②④D．②③④4．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）5．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是 180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上6．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（）A ．310B ．925C ．425D ．110 7．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 8．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( ) A ．(3，4) B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 9．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．10．设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．202011．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．14．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=15．如图，Rt ABC ∆中，已知90C =o ∠，55B ∠=o ，点D 在边BC 上，2BD CD =．把线段BD 绕着点D 逆时针旋转α（0180α<<o o ）度后，如果点B 恰好落在Rt ABC ∆的边上，那么α=__________．16．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．19．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．20．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．三、解答题21．2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（ 必考）， 物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分， 假设小丽在选择科目时不考虑主观性． （1）小丽选到物理的概率为 ；（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、 地理、 化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率．22．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．（1）求证：△AEC ≌△ADB ；（2）若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．23．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．24．已知二次函数243y x x =-+.（1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若1122(,),(,)A x y B x y 是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y 、的大小关系（直接写出结果）.25．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．B解析：B【解析】连接OC ，∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC ，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．4．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。