考点规范练43 点与直线、两条直线的位置关系
基础巩固组
1.(2014福建漳州模拟)点P(m-n,-m)到直线=1的距离等于( )
A. B.
C. D.
2.若直线ax+y+5=0与x-2y+7=0垂直,则a的值为( )
A.2 B. C.-2 D.-
3.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是( )
A.1 B.2 C. D.4
4.(2014广东惠州二调)“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是( )
A.- B. C.- D.
6.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为( )
A.3x-y-20=0 B.3x-y-10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
7.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=
.
8.经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程为
.
9.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:
(1)相交?
(2)平行?
(3)垂直?
10.(1)求点A(3,2)关于点B(-3,4)的对称点C的坐标;
(2)求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程;
(3)求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标.
能力提升组
11.点P到点A'(1,0)和直线x=-1的距离相等,且P到直线y=x的距离等于,这样的点P共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.(2014湖北八市3月联考)已知M=,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=⌀,则a=( )
A.-6或-2 B.-6
C.2或-6 D.-2
13.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
A.2 B.1 C. D.
14.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标是 .
15.过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,求此直线l的方程.
16.(1)在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;
(2)在直线l:3x-y-1=0上求一点Q,使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
答案：1.A 解析:把直线方程化为nx+my-mn=0,根据点到直线的距离公式得d=.
2.A 解析:∵两直线垂直,
∴a×1+1×(-2)=a-2=0.
∴a=2.
3.B 解析:由直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行可得,
则m=8,直线6x+8y+14=0可化为3x+4y+7=0.
故d==2.
4.A 解析:由题意可知解得a=-2或a=1,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件,故选A.
5.A 解析:由题意,可设直线l的方程为y=k(x-1)-1,分别与y=1,x-y-7=0联立解得M,N.
又因为MN的中点是P(1,-1), 所以由中点坐标公式得k=-.
6.A 解析:设AC的中点为O,则.
设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),
即D(x0,y0),则
由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0.
7.-2 解析:l的斜率为-1,则l1的斜率为1,kAB==1,∴a=0.
由l1∥l2,得-=1,b=-2,
∴a+b=-2.
8.5x+3y-1=0 解析:先解方程组得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为知l的斜率为-.
于是由直线的点斜式方程求得l:y-2=-(x+1),
即5x+3y-1=0.
9.解:(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;
当m≠-5时,两直线l1和l2的斜率分别为k1=-,k2=-,它们在y轴上的截距分别为b1=,b2=.
由k1≠k2,得-≠-,
即m≠-7且m≠-1.
则当m≠-7且m≠-1时,l1与l2相交.
(2)由
得得m=-7.
则当m=-7时,l1与l2平行.
(3)由k1k2=-1,得=-1,m=-.
则当m=-时,l1与l2垂直.
10.解:(1)设C(x,y),由中点坐标公式得解得
故所求的对称点的坐标为C(-9,6).
(2)设直线l上任一点为(x,y),它关于点P(2,-1)的对称点(4-x,-2-y)在直线3x-y-4=0上, 则3(4-x)-(-2-y)-4=0.
即3x-y-10=0.
故所求直线l的方程为3x-y-10=0.
(3)设B(a,b)是A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点,
根据直线AB与已知直线垂直,且线段AB的中点在已知直线2x-4y+9=0上,则有解得
故所求的对称点的坐标为(1,4).
11.C 解析:设P(x,y),
由题意知=|x+1|且,
所以①或②
解得①有两根,②有一根.
12.A 解析:集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x-y-3=0,集合N表示恒过定点B(-1,0)的直线ax+2y+a=0,因为M∩N=⌀,所以两直线要么平行,要么直线ax+2y+a=0与直线3x-y-3=0相交于点A(2,3).
因此=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.
13.D 解析:以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示.
则A(0,0),B(4,0),C(0,4).
设△ABC的重心为D(x,y),
则
故点D坐标为.
设点P坐标为(m,0),则点P关于y轴的对称点P1为(-m,0),
因为直线BC方程为x+y-4=0,
所以点P关于BC的对称点P2为(4,4-m),
根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,则,
即, 解得m=或m=0.
当m=0时,P点与A点重合,故舍去.故m=.
14.(-4,0) 解析:AB的中点坐标为(1,2),线段AB的垂直平分线方程为y=x+,将其与欧拉线方程联立,解得外心(-1,1).
设C(a,b),则重心,有+2=与(a+1)2+(b-1)2=(2+1)2+(0-1)2=10,
联立方程得(不合题意,舍去),
即C(-4,0).
15.解:设直线l的方程为y=k(x-3),将此方程分别与l1,l2的方程联立,
得
解之,得xA=和xB=,
∵P(3,0)是线段AB的中点,
由xA+xB=6,
得=6,解得k=8.
故直线l的方程为y=8(x-3),
即8x-y-24=0.
16.解:(1)如图甲所示,设点B关于l的对称点为B',连接AB'并延长交l于点P,此时的P满足|PA|-|PB|的值最大.
图甲
设B'的坐标为(a,b),
则kBB'·kl=-1,
即·3=-1.
整理得a+3b-12=0.①
又由于线段BB'的中点坐标为,且在直线l上,
∴3×-1=0,
即3a-b-6=0.②
①②联立,解得a=3,b=3,
∴B'(3,3). 于是AB'的方程为,
即2x+y-9=0.
解方程组
即l与AB'的交点坐标为P(2,5).
(2)如图乙所示,设C关于l的对称点为C',连接AC'交l于点Q,此时的Q满足|QA|+|QC|的值最小.
图乙
设C'的坐标为(x',y'),
∴
解得∴C'.
由两点式得直线AC'的方程为,
即19x+17y-93=0.
解方程组
得
∴所求点Q的坐标为.
