【优质课件】人教版数学九年级下册28.2.1-28.2.2综合练习优秀课件.ppt

• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/3/122021/3/122021/3/123/12/2021 10:24:18 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/3/122021/3/122021/3/12Mar-2112-Mar-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/3/122021/3/122021/3/12Friday, March 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/3/122021/3/122021/3/122021/3/123/12/2021
【反思小结】2.利用解直角三角形的知识解决问 题的一般过程： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函 数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
【针对练】
1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距 离灯塔 4 0 2 海里的 A处，它沿正南方向航行一 段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东 3 0 ° 方向 上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海里 （结果保留根号）．
达标检测 反思目标
3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船 跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于 北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛 A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东 航行．有没有触礁的危险？
解：如图，过A作AD⊥BC于点C，
则AD的长是A到BC的最短距离，
答：这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB是4 米。
达标检测 反思目标
2、如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在 A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到 C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C处的距离. 解：如图，过B点作BD⊥AC于D ∴∠ABD=60°，∠DCB=90°-45°=45° 设BD=x，则CD=BD=x 在Rt△ABD中，AD=x·tan60°= x 在Rt△BDC中， BC= BD= X 又AC=5×2=10，AD+CD=AC ∴ x +x=10 ，得x=5（ -1） ∴BC= •5（ -1)=5( - ) （海里）， 答：灯塔B距C处5( - ) 海里。

• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
BD BC CD, AD tan 55 20 AD tan 25
20
AD
20.79 10
B
tan 55 tan 25
轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险.
A
C
D
点拨精讲：应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，
若小于或等于10则有危险。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。5分钟
点拨精Байду номын сангаас：这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将
梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形。
【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。13分钟
P
E F
A
B
A
D
C
B
【点拨精讲】（3分钟）
1、本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解 决实际问题；
2、本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模 的思想.
【预习导学】
二、自学检测
北偏东25º
1
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。5分钟

军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向，求该军舰行驶的路程。
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）

c?
? 2a
还有别的方法求c吗？
A
?
23
b
C
轻松一下
在下列直角三角形中,不能求解 的是（ D ） A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边 D、已知两角
练一练
在Rt△ABC中,∠C=90, a,b,c分别是 ∠A,∠B,∠C的对边.
(1)已知 如图，∠ A=45 ， c= 6,解这个直角三角形；
=2× = 3,
2
B
30°
a?
C
例2 :在△ABC中，∠C＝90°，a = 2，b = 2 3 ，
解这个直角三角形（即求∠A、∠B、c边）。
解：∵tanA= a =
2
=
3 ,
b 23 3
∴∠A=30°, ∠B=90°-∠A=60°.
c= a2 +b2 = 22 +(2 3)2
B
= 16=4.
想一想，
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/272021/7/272021/7/277/27/2021 9:41:23 AM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/272021/7/272021/7/27Jul-2127-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/272021/7/272021/7/27Tuesday, July 27, 2021
(2)已知如图，a= 3,b=3, 解这个直角三角形。
Ｂ
？
6c
a
？
Ｂ
？ c？
a3
45° Ａ b？ Ｃ
（1）
？

c b 20 34.9. sin B sin 35
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究 达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边 斜边

a c
tan
A

A的对边 A的邻边

a b
tan
B

B的对边 B的邻边

b a
合作探究 达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理 内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高 是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系 ，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三 角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合 理运用.

B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
解：如图,α=30°,β=60°,
AD⊥BC，且AD=120m
Q tan BD , tan CD ,
AD
AD
A
∴BD=AD·tanα=120×tan30°=
120× =40
B
α=30°
120 D
β=60°
CD=AD·tanβ=120×tan60°
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；
对于cosα，角度越大，函数值越小。
解直角三角形: 在直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程．
事实上，在直角三角形的六个元素中，
除直角外，如果再知道两个元素（其
A
中至少有一个是边），就可以求出其
余的三个元素．这样，这个三角形就
60° A P
C
30°
B
A 60° P
C
30°
解：在Rt△APC中
PC PA cos(90 60) 80 cos30 40 3
在Rt△BPC中 ∠B=30o
B
sin B PC PB
PB

PC sin B

40 3 sin 30

80
3
138 .56
答：海轮所在的B处距离塔138.56海里.
P
到0.1km）
分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应 是视线与地球相切时的切点．
F
如图，⊙O表
示地球，点F
P
是飞船的位置，

tan A＝∠∠AA 的的对邻边边＝ab
知1－讲
图示
感悟新知
知1－练
例 1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两
直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和
斜边.
A. ②③
B. ②④
C. 只有②
D. ②④⑤
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行 解答. 解：①③④⑤能够求解，②不能求解. 答案：C
知2－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝2 3，BC＝6， ∴AB＝ AC2＋BC2＝4 3， tan B＝ABCC＝263＝ 33， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°.
感悟新知
例 3 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边
对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，
对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，
那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.
感悟新知
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边
分别为a，b，c，a＝20，c＝20 2；
续表 图形
Rt△ABC
知2－讲
已知条件
解法
一 边 和 一
一直 角边 和一 锐角
一锐角与邻边 (如∠A，b)
一锐角与对边 (如∠A，a)
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； a ＝
b·tan A；c＝cosb A
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； b ＝

小结
• 1.通过本节课的复习你有那些收获? • 2. 你还有哪些疑惑？
3
3．解直角三角形的依据
三边关系：
；
三角关系：
；
边角关系：sinA＝cosB＝
，cosA＝sinB＝
tanA= ， tanB = 。
┃简单应用┃
► 一 锐角三角函数定义 1 如 图 28 － 2 所 示 ， ∠ BAC 位 于 6×6 的 方 格 纸 中 ， 则
tan∠BAC＝___32_____.
数学·新课标（RJ）
• 7.准备在A、B两地之间修一条2千米的笔直 公路，经测量，在A的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7 千米的公园，问计划修建的公路会不会穿 过公园？为什么？
C
60°
45°
A B
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
8．如图28－10，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼 房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的 仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该 屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测 得 BE ＝ 21 米 ， 请 你 帮 小 刚 求 出 该 屏 幕 上 端 与 下 端 之 间 的 距 离 CD.(结果保留根号)
7千米的公园，问计划修建的公路会不会穿过公园？为什么？
2 3 2 6 3 6 6 1 5 如如图图， ，为为测测楼楼房房BBCC的的高高，，在在距距楼楼房房3300米米的的 AA处处测测得得楼楼顶顶的的仰仰角角为为 αα ，，则则楼楼高高BBCC为为
解：原式＝ 2 2× － ＋ － ＝2－ ＋ － ＝ . 第28章讲练 ┃ 试卷讲练 2 2 4 3 2 2 3 3 ► 一 锐角三角函数定义

a ∵ s in A c c s i n A 4 0 0 . 6 4 3 2 5 . 7 ∴a b ∵ s in B c s i n 5 0 4 0 0 . 7 6 6 3 0 . 6 ∴b c
1.在下列直角三形中,不能求解的是 （ D） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角 C.已知两边 D.已知两角 2.在Rt△ABC中∠C=90°，已知a边及∠A，则斜边应为（ A ） a a A.a sin A C. acos A B. D. s in A cos A 3.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高 为 （C ） 1 1 3 3 A . cm B . cm C. cm D. cm 4 2 4 2 4.等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则底角的余弦值 为 （D）
b a b 2 0 2 8 . 6 ∴ a t a n B t a n 3 5
∵ ta n B
一直角边和一锐角，合理选
b ∵ s in B c
b 2 0 3 4 . 9 ∴ c s i n B s i n 3 5
类型四.已知直角三角形的斜边长和一锐角，解直角三角形.
c 40 ; 解这个直角 例. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=40°， 三角形.(结果保留小数点后一位). 分析： 本题已知的是斜边长和锐角，可以先利用互余关系求出另一个锐 角，求余下的两个未知元素的路径比较多，合理的选择一种“锐角 函数”进行解答即可. 还有其 略解：在Rt△ACB中, ∠C=90° 它方法求 B 9 0A 9 0 4 0 5 0 a,b边吗？
B C 3 3 ∵ sinA A B 23 2
∴ A60
B 9 0 6 0 3 0 ∴ 1 1 C A B 23 3 ∴A 2 2

A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角
C、已知两边 D、已知两角 2、Rt△ABC中， ∠C=90°,若sinA= 4 ，
35 AB=10，那么BC=_8____，tanB=___4___．
基础练习
3.在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b、c分别为 ∠A 、∠B、 ∠C的对边.根据已知条件， 解直角三角形.
2 2
2
6
2 2
在Rt △ABC中，AB=2AC
所以， ∠B=30° ∠A=60°
tanA BC 6 3 AC 2
A60
B90 -A 90 -60 30
AB 2AC 22 B
A
?
2
C
6
例题分析
如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这 个直角三角形（精确到0.1）
解：在Rt△ABC中,∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° A
b
c
b
tan B a
35°
20
atb aB n ta 23n 0 5 0 2 .70 02.6 8
B
a
tan35º≈0.7002
C
sin B b
sin35 º≈0.5735
c
b 20 20
csiB nsi3n5 0.57 3.1 5 你还有其他
方法求出c吗？
基础练习
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ D ）
∠A
∠B
AB
（3）根据∠A=60°,∠B=30°,
你能求出这个三角形的其他元 素吗? 不能
两角
你发现 了什么
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如 果知道两个元素 (其中至少有一个是边),
就可以求出其余三个元素.

28.2.2 应用举例第2课时练教材·盘点新知方向角:指北或指南方向线与目标方向线所形成的小于90°的角叫方向角.如图所示,OA表示的方向角为北偏东35°,OB表示的方向角为南偏东75°,OC表示的方向角为南偏西45°,也称西南方向,OD 表示的方向角为北偏西40°.【微方法】1.解答方向角问题时,可利用正北、正南、正东、正西方向线构造直角三角形来求解,不要弄错方向角.2.弄清航行中方向角的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定方向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在.练基础·提升技能1.(2020·深圳中考)如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200米的P,Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70°方向,则河宽(PT的长)可以表示为(B)A.200tan 70°米B.米C.200sin 70°米D.米2.如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60 n mile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船与小岛A的距离是(D)A.30 n mileB.60 n mileC.120 n mileD.(30+30)n mile3.(2020·黄石模拟)如图所示,海面上有一座小岛A,一艘船在B处观测A 位于西南方向20 km处,该船向正西方向行驶2小时至C处,此时观测A位于南偏东60°,则船行驶的路程约为39 km.(结果保留整数,≈1.41,≈1.73,≈2.45)4.如图,灯塔A在测绘船的正北方向,灯塔B在测绘船的东北方向,测绘船向正东方向航行20海里后,恰好在灯塔B的正南方向,此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上,则灯塔A,B间的距离为22 海里.(结果保留整数,参考数据:sin 26.5°≈0.45,cos 26.5°≈0.89,tan 26.5°≈0.50,≈2.24)5. (2020·岳阳中考)共抓长江大保护,建设水墨丹青新岳阳,推进市中心城区污水系统综合治理项目,需要从如图A,B两地向C地新建AC,BC两条笔直的污水收集管道,现测得C地在A地北偏东45°方向上,在B地北偏西68°方向上,AB的距离为7 km,求新建管道的总长度.(结果精确到0.1 km,sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,≈1.41)【解析】如图,过点C作CD⊥AB于点D,根据题意可知:AB=7,∠ACD=45°,∠CBD=90°-68°=22°,∴AD=CD,∴BD=AB-AD=7-CD ,在Rt△B CD中,∵tan∠CBD=,∴≈0.40,∴CD≈2,∴AD=CD=2,BD=7-2=5,∴AC=2≈2.82,BC=≈≈5.41,∴AC+BC≈2.82+5.41≈8.2(km ).答:新建管道的总长度约为8.2 km.练综合·拓展思维1.一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据:≈1.732,≈1.414)(B)A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里2.(2020·深圳模拟)如图,已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号,一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行,轮船在A处测得灯塔M 在北偏东30°方向,行驶1小时后到达B处,此时刚好进入灯塔M的镭射信号区,测得灯塔M在北偏东45°方向,则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为(B)A.(-1)小时B.(+1)小时C.2小时D.小时3.(2020·长春模拟)在数学活动课上,九年级(1)班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离.现测得亭子A位于点P北偏西30°方向,亭子B位于点P北偏东α方向,测得点P与亭子A之间的距离为200米.则亭子A与亭子B之间的距离为(B)A.(100+100·sin α)米B.(100+100·tan α)米C.米D.米4.(教材拓展题)(2020·金凤区质检)如图,某海防哨所(O)发现在它的北偏西30°,距离为500 m的A处有一艘船,该船向正东方向航行,经过几分钟后到达哨所东北方向的B处,此时该船距哨所的距离(OB)为250米.5.如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达.(结果保留根号)6. (素养提升)(2020·青岛中考)如图,在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B,D,某海岛上的观测塔A距离海岸5海里,在A处测得B位于南偏西22°方向.一艘渔船从D出发,沿正北方向航行至C处,此时在A处测得C位于南偏东67°方向.求此时观测塔A与渔船C之间的距离(结果精确到0.1海里).(参考数据:sin 22°≈,cos 22°≈,tan 22°≈,sin 67°≈,cos 67°≈,tan 67°≈)【解析】如图,过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥AE于点F,得矩形CDE F,∴CF=DE,根据题意可知:AE=5,∠BAE=22°,∴BE=AE·tan 22°≈5×=2,∴DE=BD-BE=6-2=4,∴CF=4,在Rt△AFC中,∠CAF=67°,∴AC=≈4×≈4.3(海里).答:观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里.。

新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形及其应用
学习目标：
1. 知识与技能：了解仰角、俯角的概念， 能根据直角三角形的知识解决实际问题．
2. 过程与方法：通过实际问题逐步培养分 析问题、解决问题的能力
3.情感态度与价值观：渗透数学来源于实践 又反过来作用于实践的观点
课题引入：某兴趣小组要测量一栋楼的高度，
a (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
sinA＝ a c
cosA＝
b c
Ａ
bＣ
tanA＝
a b
仰角和俯角
2、视线与水平线所成的角中，视线在 水平线上方的是仰角；视线在水平线下 方的是俯角.
视线Biblioteka 铅仰角直线
俯角
水平线
视线
探究1: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m， 这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
仰角
水平线
B
αD Aβ
俯角 C
探究2
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处 观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰
A
角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
B
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m 在Rt△ACD中
tan ADC AC DC
AC tan ADC DC
AB=BD -A D 或AB=AD+BD
谈谈你本节课的收获！
54°45°
D 40m
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2