线性代数---第三章 矩阵的运算 3.1 矩阵的运算

数学矩阵的基本运算引言：在数学中，矩阵是一种非常重要的工具，它在多个学科和领域都有广泛的应用。

矩阵不仅可以表示线性方程组，还可以描述向量空间的变换。

矩阵的基本运算是我们学习矩阵的第一步，掌握了这些基本运算，我们才能在后续的学习中更好地应用矩阵解决问题。

本次教案将系统地介绍数学矩阵的基本运算，包括加法、减法、数乘和乘法，并结合具体的例子进行解释和演示。

第一节加法运算1.1 矩阵加法的定义矩阵加法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵对应位置上的元素相加，得到一个新的矩阵。

例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为：C=A+B。

C矩阵中的每个元素c(i,j)等于矩阵A中元素a(i,j)和矩阵B中元素b(i,j)的和。

1.2 矩阵加法的性质矩阵加法具有以下性质：- 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，即矩阵加法满足结合律。

- 交换律：A+B=B+A，即矩阵加法满足交换律。

- 零矩阵：对于任意的矩阵A，都有A+O=A，其中O是全零矩阵。

1.3 矩阵加法的例子考虑以下两个矩阵：A = [1 2 34 5 6]B = [7 8 910 11 12]它们的加法运算为：C = A + B = [8 10 1214 16 18]解释：C矩阵中的第一个元素c(1,1)等于矩阵A中元素a(1,1)和矩阵B中元素b(1,1)的和，即1+7=8，以此类推。

第二节减法运算2.1 矩阵减法的定义矩阵减法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵对应位置上的元素相减，得到一个新的矩阵。

例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为：C=A-B。

C矩阵中的每个元素c(i,j)等于矩阵A中元素a(i,j)和矩阵B中元素b(i,j)的差。

2.2 矩阵减法的性质矩阵减法具有以下性质：- 结合律：(A-B)-C=A-(B-C)，即矩阵减法满足结合律。

- 零矩阵：对于任意的矩阵A，都有A-O=A，其中O是全零矩阵。

线性代数的矩阵运算矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，矩阵运算是线性代数的核心内容之一。

通过矩阵运算，我们可以解决各种线性方程组，研究向量空间的性质，以及进行线性变换等。

本文将介绍线性代数中的矩阵运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置以及求逆运算等。

1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是相似的运算。

对于两个具有相同维度的矩阵A 和B，它们的加法运算定义为将相同位置的元素相加得到一个新的矩阵C，即C = A + B。

而矩阵的减法运算定义为将相同位置的元素相减得到一个新的矩阵D，即D = A - B。

例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5 6][7 8 9] [10 11 12]它们的加法运算结果为：C = A + B = [1+4 2+5 3+6] = [5 7 9][7+10 8+11 9+12] [17 19 21]而减法运算结果为：D = A - B = [1-4 2-5 3-6] = [-3 -3 -3][7-10 8-11 9-12] [-3 -3 -3]这样，我们可以通过矩阵的加法和减法运算来对矩阵进行融合、分解和控制等操作。

2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的关键操作，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则它们可以进行乘法运算。

设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，它们的乘法运算定义为两个矩阵对应元素的乘积之和。

新的矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。

记作C = A × B。

例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5][6 7 8] [9 10][11 12]它们的乘法运算结果为：C = A × B = [1×4+2×9+3×11 1×5+2×10+3×12][6×4+7×9+8×11 6×5+7×10+8×12]= [59 64][149 163]矩阵的乘法可以应用于很多实际的问题中，比如线性方程组的求解、向量空间的转换等。

线性代数-矩阵的运算1、矩阵的加减法定义A = (a ij)mxn 、B = (b ij)mxn；是两个同型矩阵（⾏数和列数分别相等），则矩阵A、B和定义为：只有同型矩阵才能进⾏加法计算运算定律交换律：A + B = B + A结合律：（A + B）+ C = A + (B + C)A + O = A = O + A （O为零矩阵）A + （-A） = O （矩阵减法的定义）设：则：2、矩阵的数乘定义数k与矩阵A乘法定义为：记作：kA = (ka ij)mxn;矩阵的加法和数乘运算，称为矩阵的线性运算。

运算定律结合律：(kl)A = k(lA)分配律：k(A+B) = kA + kB;(k + l)A = kA + lA;1A = A;0A = O3、乘法运算定义设A = (aij)mxs、B=(bij)sxn AB的乘发定义为注意：只有当A矩阵的列数等于B矩阵的⾏数，矩阵乘积AB才有意义；且乘积C矩阵的⾏数等于A矩阵的⾏数、C矩阵的列数等于B矩阵的列数。

如：A是(2x3)矩阵,B是(3x4)矩阵，则AB为(2x4)矩阵，BA⽆意义。

运算定律矩阵乘法不满⾜交换律：⼀般AB不等于BA，如果AB = BA，即记作A、B可交换AB = 0 未必 A = O或者 B = O不满⾜消除律，即AB = AC 未必B = C矩阵乘法满⾜下⾯运算律：结合律：(AB)C = A(BC)左分配律：A(B+C) = AB+AC右分配律：(B+C)A = BA+CAk(AB) = (kA)B = A(kB)设A为mxs矩阵，则 I m A = A ，AI s = A（I为单位矩阵）AO=O OA=OA k A l = A k+l (A k)l = A kl (kl皆为⾮负整数)矩阵乘法中，单位矩阵与零矩阵，有类似于数字乘法1，0的作⽤。

4、矩阵的转置定义mxn的矩阵A，⾏列交换后得到nxm的矩阵，称为A的转置矩阵，记作A'。

矩阵的运算及其运算规则矩阵是代数中一种重要的数学工具，它由数个数按照规定的行列顺序排列而成。

矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法以及转置等，这些运算规则在代数中有着重要的应用。

一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法规则相同，对应位置的元素进行相加或相减。

具体来说，如果有两个m×n（m行n列）的矩阵A和B，它们的和为C，则A和B之间的加法运算可以表示为：C = A + B。

其中，C的元素cij就是A和B相对应位置元素之和。

同样，矩阵的减法也是对应位置的元素进行相减操作。

例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的和、差分别为：A+B=[[1+5,2+6],[3+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]A-B=[[1-5,2-6],[3-7,4-8]]=[[-4,-4],[-4,-4]]二、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都与一个常数k相乘。

具体来说，如果有一个m×n的矩阵A和一个实数k，则矩阵A乘以k的结果为B，可表示为：B = kA。

其中，B的元素bij等于k与A相对应位置元素的乘积。

例如，对于如下矩阵：A=[[1,2],[3,4]]k=2则A乘以k的结果为：B=kA=2A=[[2,4],[6,8]]三、矩阵的乘法矩阵的乘法是指给定两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以将它们相乘得到一个新的矩阵C。

具体来说，如果A是一个m×n 的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则矩阵C的大小为m×p。

C的元素cij 可以通过计算A的第i行与B的第j列对应位置元素的乘积之和得到。

例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的乘积为：C=AB=[[1×5+2×7,1×6+2×8],[3×5+4×7,3×6+4×8]]=[[19,22], [43,50]]注意，在矩阵乘法中，矩阵的位置很重要，即AB一般不等于BA。

线性代数矩阵运算法则线性代数是数学的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性映射。

在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具，它可以用来表示线性变换和解线性方程组。

矩阵运算是线性代数中的重要内容，它包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法等运算法则。

本文将详细介绍矩阵运算的各种法则，以及它们的应用。

1. 矩阵的加法。

设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和记作C=A+B，其中C中的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。

即C的第i行第j 列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。

例如，如果。

A=[1 2 3。

4 5 6]B=[7 8 9。

10 11 12]则A+B=[8 10 12。

14 16 18]。

2. 矩阵的减法。

矩阵的减法与矩阵的加法类似，设A和B是两个m×n的矩阵，它们的差记作C=A-B，其中C中的每个元素都等于A和B对应位置的元素之差。

即C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素减去B的第i行第j列的元素。

3. 矩阵的数乘。

设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数，则kA记作B，其中B 中的每个元素都等于k乘以A对应位置的元素。

即B的第i行第j 列的元素等于k乘以A的第i行第j列的元素。

4. 矩阵的乘法。

设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记作C=AB，其中C是一个m×p的矩阵，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

即C的第i行第j列的元素等于A的第i行的每个元素与B的第j列的对应元素的乘积之和。

矩阵的乘法是线性代数中最重要的运算之一，它在解线性方程组和表示线性变换等方面有着重要的应用。

5. 矩阵的转置。

设A是一个m×n的矩阵，则A的转置记作AT，AT是一个n×m的矩阵，AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。

即AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。

线性代数中的矩阵运算矩阵运算，在线性代数中是一个十分重要的概念，我们通常用矩阵来表示线性映射，这些矩阵之间的加、减、乘等运算，是我们学习矩阵的基础。

本文将从矩阵的定义、矩阵的加减、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等方面详细介绍矩阵运算。

一、矩阵的定义矩阵是一个由m行、n列元素排列成的矩形表格，其中每个元素都是一个数字(标量)，通常用 A = [aij]表示。

其中，i表示行号，j表示列号， aij表示第i行、第j列的元素，矩阵的大小写成m×n表示，其中m表示行数，n表示列数。

二、矩阵的加减对于两个具有相同大小的矩阵A和B，它们的和C可以通过将每个对应的元素相加得到，即Ci,j = ai,j + bi,j，也可以用向量的形式表示C = A+B。

矩阵的差同理，Ci,j = ai,j - bi,j，用向量的形式表示C = A - B。

加减运算的性质：1.交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A；2.结合律：(A + B) + C = A + (B + C)， (A - B) - C ≠ A - (B - C);3.分配律：a(A + B) = aA + aB，(a + b)A= aA + bA。

三、矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，只有满足A的列数等于B的行数时，A和B才能相乘。

设A为m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，它们相乘得到的结果C是一个m行p列的矩阵。

在矩阵乘法中，相乘的行列数相等的两个矩阵必须一一对应进行相乘，并将所有乘积相加。

矩阵乘法的表达式：Cij = ∑ akj ᠖ bj i，其中k=1,2,,....,nC = AB，A的第i行乘以B的第j列，它们的乘积之和就是C的第i行第j列元素。

用向量的形式表示C = A×B。

在矩阵乘法中，乘法不具备交换律，即AB ≠ BA。

(只有在A、B中至少有一个为单位矩阵时，AB=BA)矩阵乘法的性质：1.结合律：A(BC) = (AB)C；2.分配律：A(B+C) = AB + AC；3.结合律：(aA)B = A(aB) = a(AB)；4.单位矩阵： AI = IA = A；5.逆矩阵：存在矩阵B满足AB=I，则称矩阵A可逆，矩阵B 就是矩阵A的逆矩阵(A的行列式必须不等于零)。

§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。

矩阵和行列式的运算法则【矩阵和行列式的运算法则】一. 矩阵的加法和减法运算法则矩阵的加法运算法则：设A和B是两个m×n矩阵，C是它们的和，即C = A + B。

则C的第i 行第j列元素是A的第i行第j列元素与B的第i行第j列元素之和，即cij = aij + bij。

矩阵的减法运算法则：设A和B是两个m×n矩阵，C是它们的差，即C = A - B。

则C的第i 行第j列元素是A的第i行第j列元素与B的第i行第j列元素之差，即cij = aij - bij。

二. 矩阵的数乘运算法则矩阵的数乘运算法则：设k是一个实数，A是一个m×n矩阵，则kA是一个m×n矩阵，其中每个元素都是k与A相应位置上的元素的乘积，即(kA)ij = k·aij。

三. 矩阵的乘法运算法则矩阵的乘法运算法则：设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，C是它们的乘积，即C = A·B。

则C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和，即cij = a1i·b1j + a2i·b2j + ... + ani·bnj。

注：两个矩阵能够相乘的充分必要条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

四. 矩阵的转置运算法则矩阵的转置运算法则：设A是一个m×n矩阵，其转置记作AT，即A的转置是这样一个n×m矩阵，其第i行第j列元素是A的第j行第i列元素，即(AT)ij = aji。

五. 矩阵的幂运算法则矩阵的幂运算法则：设A是一个n×n矩阵，k是一个正整数，则A的k次幂记作Ak，其中A^1 = A，A^2 = A·A，...，A^k = A·A·...·A。

六. 矩阵的行列式运算法则矩阵的行列式运算法则：设A是一个n×n矩阵，则它的行列式记作A 或det(A)。

大学数学线性代数中的矩阵运算矩阵是线性代数中的重要概念，矩阵运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。

本文将介绍大学数学线性代数中的矩阵运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置以及求逆等方面的内容。

1. 矩阵的加法与减法矩阵的加法是将两个相同大小的矩阵按元素进行相加，而矩阵的减法则是将两个相同大小的矩阵按元素进行相减。

具体地，给定两个m×n的矩阵A和B，它们的和C表示为C=A+B，其中C的每一个元素C_ij等于A_ij+B_ij，即C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素与B的第i行第j列的元素之和。

同理，矩阵的减法C=A-B也是类似的计算。

2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是研究矩阵相乘的规则与性质，一般来说，两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等。

设有两个矩阵A和B，其中A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵。

它们的乘积C表示为C=AB，其中C是m×p的矩阵。

具体地，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素逐个相乘，再将结果相加，即C_ij等于A_i1*B_1j+A_i2*B_2j+...+A_in*B_nj。

3. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列对调得到的新矩阵。

设有一个m×n的矩阵A，它的转置表示为A^T，其中A^T是n×m的矩阵。

具体地，A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素，即A^T_ij等于A_ji。

通过转置可以改变矩阵的行列关系，有时在一些问题的求解中会有很大的帮助。

4. 矩阵的逆对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I （其中I是单位矩阵），则称矩阵A可逆，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^{-1}。

对于可逆矩阵而言，它的逆矩阵是唯一的。

如果一个矩阵不存在逆矩阵，则称之为奇异矩阵。

求解逆矩阵的方法有很多，如伴随矩阵法、初等变换法和高斯消元法等。

总之，矩阵运算作为线性代数的重要概念和工具，在数学和应用领域中具有广泛的应用。

矩阵的基本运算矩阵在数学中扮演着重要的角色，常用于解决各种实际问题。

矩阵的基本运算是我们在学习矩阵时必须掌握的内容。

本文将介绍矩阵的加法、减法、数乘运算以及矩阵乘法等基本运算方式。

一、矩阵的加法矩阵的加法是指两个同型矩阵相互对应元素相加的运算。

假设有两个m×n的矩阵A和B，它们的和记作A + B，其中A = [a_{ij}]，B = [b_{ij}]。

若令C = A + B，则C的元素c_{ij}可以通过以下方式计算：c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}要注意的是，两个矩阵相加的前提是两个矩阵必须具有相同的行数和列数。

二、矩阵的减法与矩阵的加法类似，矩阵的减法也是指两个同型矩阵相互对应元素相减的运算。

仍以矩阵A和B为例，它们的差记作A - B，其中A = [a_{ij}]，B = [b_{ij}]。

若令C = A - B，则C的元素c_{ij}可以通过以下方式计算：c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}同样的，两个矩阵相减的前提是两个矩阵必须具有相同的行数和列数。

三、矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算指的是将一个矩阵的每个元素都乘以同一个数。

假设有一个矩阵A = [a_{ij}]，要将其乘以一个实数k，得到的结果记作kA。

对于乘积矩阵kA的元素c_{ij}，可以通过以下方式计算：c_{ij} = ka_{ij}其中k为实数。

四、矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按照一定规则相乘得到一个新的矩阵的运算。

假设我们有两个矩阵A和B，A的行数为m，列数为p，B的行数为p，列数为n。

它们的乘积记作C = A · B，其中C为一个新的矩阵，它的行数与A 相同，列数与B相同。

C = [c_{ij}]，其中c_{ij}的计算方式如下：c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{ip}b_{pj}即C矩阵中的每个元素是A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。

大学二年级数学教案线性代数的基础知识与应用大学二年级数学教案：线性代数的基础知识与应用引言：线性代数作为数学的一门基础课程，对于大学理工类专业的学生来说，具有重要的意义。

它既是进一步深化数学思维的基础，也是其他高级数学课程的基础。

本教案将系统介绍大学二年级线性代数的基础知识和应用，帮助学生更好地理解和应用线性代数的相关概念和方法。

第一章：向量和矩阵1.1 向量及其运算1.1.1 向量的定义与表示1.1.2 向量的运算：加法、数乘1.2 矩阵及其运算1.2.1 矩阵的定义与表示1.2.2 矩阵的运算：加法、数乘、乘法1.3 矩阵的转置和特殊矩阵1.3.1 矩阵的转置1.3.2 单位矩阵、对角矩阵、零矩阵第二章：线性方程组与矩阵的初等行变换2.1 线性方程组的定义和解的存在唯一性2.1.1 线性方程组的定义2.1.2 线性方程组解的存在唯一性的判定条件 2.2 线性方程组的向量表示与矩阵表示2.2.1 向量表示2.2.2 矩阵表示2.3 初等行变换及其对解集的影响2.3.1 初等行变换的三种形式2.3.2 初等行变换对解集的影响2.4 线性方程组的求解方法2.4.1 列主元高斯消元法2.4.2 列主元高斯-约当消元法第三章：矩阵的逆和可逆矩阵3.1 矩阵的逆的定义和性质3.1.1 矩阵可逆的定义3.1.2 可逆矩阵的性质3.2 求矩阵的逆的方法3.2.1 初等变换法3.2.2 初等变换法的应用3.3 逆矩阵的应用3.3.1 逆矩阵的应用：方程组的求解3.3.2 逆矩阵的应用：线性方程组互解的判定第四章：向量空间与基4.1 向量空间的定义和性质4.1.1 向量空间的定义4.1.2 向量空间的性质4.2 子空间的定义和性质4.2.1 子空间的定义4.2.2 子空间的性质4.3 线性相关性与线性无关性4.3.1 线性相关性的定义和判定4.3.2 线性无关性的定义和判定4.4 基和维数4.4.1 基的定义和性质4.4.2 维数的定义和性质第五章：线性变换与矩阵表示5.1 线性变换的定义和性质5.1.1 线性变换的定义5.1.2 线性变换的性质5.2 线性变换的矩阵表示5.2.1 线性变换与基的关系5.2.2 线性变换的矩阵表示5.3 线性变换与矩阵的相似性5.3.1 相似矩阵的定义5.3.2 相似矩阵的性质和判定第六章：特征值和特征向量6.1 特征值和特征向量的定义6.1.1 特征值和特征向量的定义 6.1.2 特征值和特征向量的性质6.2 特征值和特征向量的求法6.2.1 求特征值的方法6.2.2 求特征向量的方法6.3 对角化和相似对角矩阵6.3.1 对角化的定义和条件6.3.2 相似对角矩阵的性质和判定结语：通过本教案的学习，相信大家已经对大学二年级线性代数的基础知识和应用有了更深入的了解。

矩阵的运算掌握矩阵的加法减法和数乘运算矩阵的运算—掌握矩阵的加法、减法和数乘运算矩阵是线性代数中重要的工具，广泛应用于科学、工程和数学等领域。

在矩阵的运算中，加法、减法和数乘是基本的操作。

掌握这些运算方法能够帮助我们更好地解决实际问题和进行更复杂的线性代数计算。

一、矩阵的加法运算矩阵的加法是指对应位置上元素之和，要求参与加法运算的矩阵具有相同的维度。

假设我们有两个矩阵A和B，它们的维度均为m行n 列，表示为A = (aij)、B = (bij)，则两个矩阵的和矩阵C = A + B 的计算方法为：C = (cij) = (aij + bij)例如，我们有以下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5 6][7 8 9] [10 11 12]则它们的和矩阵C为：C = [1 + 4 2 + 5 3 + 6][7 + 10 8 + 11 9 + 12]= [5 7 9][17 19 21]需要注意的是，矩阵加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A 和 (A + B) + C = A + (B + C)。

二、矩阵的减法运算矩阵的减法是指对应位置上元素之差，同样要求参与减法运算的矩阵具有相同的维度。

假设有两个矩阵A和B，它们的维度均为m行n 列，表示为A = (aij)、B = (bij)，则两个矩阵的差矩阵C = A - B 的计算方法为：C = (cij) = (aij - bij)以前述的矩阵A和B为例，它们的差矩阵C为：C = [1 - 4 2 - 5 3 - 6][7 - 10 8 - 11 9 - 12]= [-3 -3 -3][-3 -3 -3]同样地，矩阵的减法也满足交换律和结合律，即A - B ≠ B - A 和 (A - B) - C ≠ A - (B - C)。

三、矩阵的数乘运算矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都与一个标量相乘的运算。

即给定一个矩阵A = (aij) 和一个标量c，则矩阵A与c的数乘结果矩阵B = cA 的计算方法为：B = (bij) = (c * aij)举个例子，如果我们有以下矩阵和标量：A = [1 2 3][4 5 6]c = 2则矩阵A与标量c的数乘结果矩阵B为：B = [2 * 1 2 * 2 2 * 3][2 * 4 2 * 5 2 * 6]= [2 4 6][8 10 12]需要注意的是，矩阵的数乘运算满足结合律和分配律，即c(A + B)= cA + cB 和 (c + d)A = cA + dA，其中c和d是标量。

初中数学知识归纳矩阵的基本运算矩阵的基本运算是初中数学中的重要知识点之一。

通过矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法以及转置运算等基本运算，我们可以对矩阵进行各种操作和变换。

本文将对矩阵的基本运算进行详细的归纳和解析。

一、矩阵的定义矩阵是由m行n列的数排成的一个m×n的矩形阵列，通常用大写字母表示。

矩阵中的数称为元素，每个元素用小写字母加上矩阵的行号和列号来表示。

例如，矩阵A中的第i行j列的元素表示为a_ij。

二、矩阵的加法矩阵的加法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵按元素进行相加。

设有矩阵A=[a_ij]和矩阵B=[b_ij]，则矩阵A与矩阵B的和记作A+B。

对应元素相加的法则如下：A+B = [a_ij + b_ij]三、矩阵的减法矩阵的减法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵按元素进行相减。

设有矩阵A=[a_ij]和矩阵B=[b_ij]，则矩阵A与矩阵B的差记作A-B。

对应元素相减的法则如下：A-B = [a_ij - b_ij]四、矩阵的数乘矩阵的数乘是指用一个实数或复数乘以矩阵的每一个元素。

设有矩阵A=[a_ij]和实数（复数）k，则矩阵A与k的乘积记作kA。

数乘的法则如下：kA = [ka_ij]五、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘，得到一个m行p列的矩阵C。

设有矩阵A=[a_ij]，矩阵B=[b_ij]，则矩阵C=[c_ij]的元素c_ij的计算法则如下：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj六、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行互换得到的新矩阵。

设有矩阵A=[a_ij]，其转置矩阵记作A^T。

转置的法则如下：如果A的第i行第j列元素为a_ij，则A^T的第j行第i列元素为a_ji。

综上所述，矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘、矩阵乘法以及转置运算。

这些基本运算在数学中有着广泛的应用，尤其在线性代数、几何学以及物理学等领域具有重要意义。

矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。

矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。

本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。

（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。

矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。

2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。

4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。

（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。

假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。

矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。

2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。

3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。

（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。

矩阵的运算矩阵的运算是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

它不仅具有理论的重要性，还有着丰富的实际应用价值。

本文将详细介绍矩阵的基本概念以及常见的运算法则。

首先，让我们从矩阵的定义开始。

矩阵可以看作是一个按照行列排列的数表。

一个m行n列的矩阵可以用一个大写字母表示，如A，其元素用小写字母a表示。

例如，A的第i行第j列的元素可以表示为a(i,j)。

矩阵的加法是最基本的运算之一。

两个同型矩阵相加时，只需将对应位置的元素相加。

例如，若有两个2行3列的矩阵A和B，它们的和C可以表示为C = A + B，其中C的每个元素满足c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)。

矩阵的减法与加法类似，只需将对应位置的元素相减。

例如，若有两个2行3列的矩阵A和B，它们的差D可以表示为D = A - B，其中D的每个元素满足d(i,j) = a(i,j) - b(i,j)。

矩阵与标量的乘法也是常见的运算法则。

将一个标量k与矩阵A的每个元素相乘，得到的矩阵B可以表示为B = kA，其中B的每个元素满足b(i,j) = k * a(i,j)。

矩阵的乘法是比较复杂的运算法则。

两个矩阵相乘时，首先要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

例如，若有一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B相乘，得到一个m行p列的矩阵C。

C的每个元素可以表示为c(i,j) = Σ（a(i,k) * b(k,j)）(k从1到n)。

简单来说，C的每个元素是A的对应行与B的对应列元素的乘积之和。

特殊的矩阵运算法则包括转置和逆矩阵。

矩阵的转置是指将原矩阵的行与列对换，得到一个新的矩阵。

记原矩阵为A，其转置矩阵记作A^T。

例如，若有一个m行n列的矩阵A，其转置矩阵A^T为一个n行m列的矩阵，满足其每个元素a(i,j)^T = a(j,i)。

若一个n阶方阵A存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I为单位矩阵，则称方阵A可逆，B称为A的逆矩阵。