四年级数列与数表经典习题教程文件

数列与数表知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。

⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。

具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。

在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。

（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。

项数=（201-3）÷3+1=67（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ；【解析】第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.经过观察与归纳找出数与图的规律。

数列与数表一、知识与方法归纳1、等差数列的有关知识.（1）通项公式:末项=首项+(项数-1) ×公差（2）项数=(末项-首项)÷公差+1（3）求和公式:和=(首项+末项) ×项数÷22、本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表二、经典例题例1.1，100，2，98，3，96，2 ，94，1，92，2 ，90，3 ，88，2，86，1， 84，…，0。

请观察数列的规律并回答一下问题：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？解：例2. 1，2，3，4, 4, 5, 6, 7，7, 8，9 ，10，…，97, 98, 99, 100.请观察数列的规律并回答一下问题：（1）这个数列一共有多少个数？（2）50在数列中是第几个数？解：体验训练1 1, 2, 2， 4， 3， 6， 1， 8， 2， 10， 3， 12，…，100.观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？（2）数列中所有数的总和是多少？解：例3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。

从这列数中取出连续的50个数，它们的和最大是多少？ 解：例4. 如图所示，将从5开始的连续自然数按规律填入下面的数阵中，请问：（1）123应该排在第几列？ 第1列 第2列 第3列 … （2）第2行、第20列的数是多少？ 5 10 15 …6 11 16 …7 12 17 …8 13 18 …9 14 19 …解：体验训练2 将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）66在第几行、第几列？（2）第33行、第4列的数是多少？解：*例5.如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：三、内化训练1.10,2,10,4,10,6,10,8,10,10,10,12， (100)请观察数列的规律并回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列所有项的总和是多少？解：2.请观察由数组组成的数列：（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），…，（9,10,11）。

【例1】(★★★)
2，100，3，98，5，96，4，94，1，92，2，90，3，88，5，86，4，84，1， 0
请观察上面数列的规律，请问： ⑴这个数列有多少项是2？
⑵这个数列所有项的总和是多少？
数列与数表(一)
【例2】(★★★)
下面的算式是按规律排列的：5＋1，3＋4，1＋7，5＋10，3＋13，1＋16，…，请观察上面数列的规律。

请问：是否存在算式的运算结果是2012？是第几个？
【例3】(★★★)
下面是按规律排列的三角形数阵：那么此数阵第2012行左起第三个数是多少？
【例4】(★★★★)
把正整数依次排成以下数阵：求 ⑴第20行第10列是哪个数？ ⑵第10行第20列是哪个数？
【例5】(★★★★)
从1开始的自然数按图所示的规则排列，并用一个正方形框出九个数，能否使这九个数的和等于：2012⑴；2007⑵；2160⑶。

若能，请写出正方形的中心数；若不能，说明理由。

本讲总结
多重数列——拧麻花
数表——行列联合，从问题入手 等差数列家族——差等差 整体考虑；快速判断
时刻要谨慎；细节定成败
重点例题：例1；例3；例5。

我们以前学习过找规律以及等差数列，在这里我们先来复习一下等差数列的有关知识．通项公式：项数公式：求和公式：本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表．有些数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：对于1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…，奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．分析 大数与小数间隔排列，奇数项是相对小的数，偶数项是大数．如果把奇数项和偶数项分开来写，能找到什么规律？你知道最后一个数0是在奇数项还是在偶数项吗？练习1.10，2，10，4，10，6，10，8，10，10，10，12，…，100．请观察数列的规律并回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列所有项的总和是多少？分析 数列中几个数构成一个周期？整个数列有多少个周期？86，例题2练习2.请观察由数组组成的数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（9，10，11）．请回答以下问题：（1）这个数列中一共有多少个数？（2）数字8出现了几次？分析 与数列有关的问题，找到数列的规律是非常重要的．你能看出本题中数列的规律吗？多写几项试试看．练习3.有一列数，第一个数是6，从第二个数开始，每个数都是它前面一个数的2倍的个位数．从这列数中取出连续的40个数，请求出它们的和是多少？前面的例题是关于数列计算的问题，下面我们来分析数表，也就是把数列中的数按某种规律排列成表格的形式．一般地，在长方形数表中，我们记：从上向下横行依次为第一行、第二行……从左到右竖行依次为第一列、第二列……请大家仔细观察下面两个表中的数是按照什么规律排列的．始，它们的和最大是多少？123456121110987131415161718242322212019n n n n n n123456789101112131415161718192021222324n n n n n n我们在观察一个数表时，首先要关注的是数表中有哪些数，这些数在数表中按照什么规律排列，能不能找到它们的周期．实际上，数表中的数也构成一个数列．但数列与数表是不同的，在数列问题中我们只需要关注所求的是第几个数，而在数表问题中我们则要考虑所求的数在第几行，第几列．我们一般通过以下三个步骤判断一个数在数表中的位置：1.找到数表中的数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；2.数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；3.找到这个数所在的行或列．如果我们知道了某个数在数表中的具体位置，要反求这个数是多少，我们也可以通过三个步骤来考虑：1.数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；2.找到这些数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；3.求出这个数具体是多少．分析 数阵中每列有5个数，可以把5个数作为一个周期．你知道123是整个数列中的第几个数吗？它又是第几个周期中的第几个数呢？练习4.如图所示，将从2开始的偶数有规律地填入方格表中，请问：（1）88在第几行、第几列？（2）第88行的五个数之和是多少？阵中，请问：24681012141618202224262830nnnnn分析表中的数是按行排列，第1行有6个数，第2行有3个数，第3行有6个数，第4行有3个数……这个数表的周期该怎么找呢？练习5.如图所示，将从1~200的自然数按照某种规律填入方格表中，请问：（1）行、第列的所有数之和是多少？且和为本一、寻找数列、数表中的数排列的规律，利用周期性计算．二、在数列中需要关注所求的是第几个数，在数表中则要考虑所求的数在第几行、第几列．作业1. 1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，100．观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？（2）数列中所有数的总和是多少？2.观察数列：（1，2，3，4，5），（4，5，6，7，8），（7，8，9，10，11）……五个数为一组，其中31第一次出现在第几组？该组的五个数之和是多少？3. 80名学生排成一列，从第一名同学开始按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，后一名同学就要报出这个数与8的和；如果某名同学报的数是两位数，后一名同学就要报出这个数的个位与7的和．如果第一名同学报的是1，那么最后一名同学报的数是多少？4.将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）66在第几行、第几列？（2）第33行、第4列的数是多少？5.将从1~120的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）第4行第9个数是多少？（2）第33列的三个数之和是多少？1234510987611121314152019181716n n n n n17n n 115410n n 11828n n 116511n n 11939n n 117612n n 120。

第10讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题。

注意数表形式的多样性，许算时常常考虑周期性，或进行合理估算．典型例题兴趣篇1．观察数组(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，…的规律，求：(l)第10组中三个数的和；(2)前10组中所有数的和．答案：(1) 33 (2) 195解析：发现每组都有三个数，而且这三个数是连续的．第1组三个数中，中间的那个数是2，第2组中间的数是3，第3组中间的数是4……第几组中间那个数就是几加1．又每组三个数是连续的，所以这三个数的平均数就是中间那个数，这三个数的和就是中间那个数的3倍．(1)第10组的三个数中，中间那个数是10+1= 11．所以第10组就是(1O，11，12)，那么这三个数的和为11×3=33．(2)可以分析出每组三个数的和是这组中间数的3倍，那么前：O组的所有数的和是2×3+3×3+4×3+…+1l×3=3×(2+3+…+11)=195．2．请观察下列数列的规律：1,1,4,2,7,3, 10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,…,100.问：(1)这个数列一共有多少项？(2)这个数列所有数的总和是多少？答案:(1)67项(2) 1783解析:观察发现数列中两种规律交替出现，也就是说，题中数列的第2项、第4项、第6项……即偶数项是：1，2，3，1，2，3，…，以“1，2，3”为一个周期，循环出现，周期的长度为3．再来看奇数项，把第1、3、5、7……项列出来是：1，4，7，10，13，16，…，显然，这是一个首项为1、公差为3的等差数列．(1)数列最后一项是100，这肯定不是“1，2，3”周期数列中的一项，而是等差数列中的一项．等差数列的项数是（100-1）÷3+1= 34，由于是等差开头，等差结尾，所以周期数列的项数比等差数列的步1，原数列的项数是34×2-1= 67.因此这个数列一共有67项．(2)在这个数列的67项中，周期数列有33项，每个周期内3个数的和是1+2+3=6，共有33÷3=11个周期，所以周期数列的总和就是11×6=66.等差数列有34项，首项为1，末项为100，项数是34，各项的和为(1+ 100)×34÷2=1717．综上，题中数列各项的总和是66+1717=1783.3．一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：(l)第100项是多少？(2)前100项的和是多少？答案:(1)8 (2) 975解析:(1)根据题意写出数列：1，2，4，8，16，12，4,8, 16, 12,4,8,16, 12,4,…可以看出，此数列是从第3项起，以“4，8，16，12”这4个数为一个周期的周期数列．前100项中，除去前2项还有98项，98÷4=24……2，这意味着98项里有24个周期，最后还多出来2项，如图所示：所以数列的第100项是8．(2)前100项的和是1+2+(4+8T16+12)×24+4+8=975.4．如图10-1，方格表中的数是按照一定规律填入的．请观察方格表，并填出“？”处的数．答案:105解析:观察表中的数，发现最小的数是1，其次是3，6，10，15，…，把这些数从小到大连接起来，可以看出，这些数从小到大按照螺旋的形状排列．“？”处的数就是91之后，120之前的数，这些数从小到大依次是1，3，6，10，15，21，28，36，…，可以看出：每两个数的差依次加1．从图上的“66”开始看，从小到大，按照“螺旋”的排列规律，由于所以“？”就是105.5．如图10 -2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第3列的数是多少？答案:(1)第25行，第6列(2) 79解析:每一个奇数行都有4个数，在右面的第3、4、5、6列；每一个偶数行也有4个数，在左面的第1、2、3、4列．所有的数从1开始，由小到大按自然数的顺序从左向右排列．可以看到，如果把每一个奇数行和它下面的偶数行看作一个“奇偶组”，那么一个“奇偶组”有8个数，每个“奇偶组”中8个数对应的排列方式是相同的．(1)首先，100就是从小到大的第100个数，每个“奇偶组”有8个数，100÷8=12……4，于是100之前有12个“奇倡组”，100是这12个“奇偶组”后的第4个数．12个“奇偶组”就占24行，第24行为偶数行，100就在从第25行开始数第4个数的位置，如图1所示：所以100在第25行，第6列．(2) 20行有2C÷2—10个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数就是80，它是隽20行最后一个数．第20行为偶数行，偶数行都有4个数，在左面的第1、2、3、4列．如图2所示：所以第20行第3列的数就是79.6．如图10 -3，从4开始的自然数是按某种规律排列的．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第5行第20列的数是多少？答案:(1)第1行，第25列(2) 81解析:数阵中的数是从4开始，由小到大排列的．从左边第一列开始，奇数列都有5个数，是从上到下排列的；偶数列都有3个数，是从下到上排列的，每个奇数列和它后面相邻的偶数列组成一个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数．(1)方法一：100是数列中第100-3=97个数，每个“奇偶组”有8个数，97÷8=12……1．所以前100个数中有12个“奇偶组”，还多出1个数．每个“奇偶组”包含一奇一偶两列，12个“奇偶组”有12×2=24列．于是第97个数就是第25列的第1个数，也就是说100在第1行，第25列．方法二：第1列第1行的数是4，第3列第1行的数是12，第5列第1行是20……可以发现，第奇数列第1行的数是这个奇数的4倍．因为100÷4=25，所以100就是第25列第1行上的数．(2)方法一：前20列有20÷2=10个“奇偶组”．每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数是前20列最后一个数．20是偶数，第20列最后一个数在第1衍．因此第20列第5行上的数是第80-2=78个数．第78个数就是78+3=81.方法二：找规律，第2列第5行是9，2×4+1=9．第4列第5行是17，4×4+1=17.第6列第5行是25，6×4+1=25．于是第20列第5行是20×4+1=81．7．如图10 -4所示，把偶数2，4，6，8，…排成5列，各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第2列的数是多少？答案:(1)第15行，第2列(2) 138解析:先观察数阵中数的排列规律，发现数阵中的数是从2开始的连续的偶数，奇数行有4个数，在右面的第2、3、4、5列，从左向右排列；偶数行有3个数，在左面的第1、2、3列，从右向左排列，把一个奇数行和它相邻的偶数行看作一个周期，那么一个周期包含7个数．(1) 100是从2开始的第100÷2=50个数．每7个数为一个周期，50÷7=7……1. 50个数包含7个周期，并多出来一个数．7个周期就占据7×2—14行．所以数100是第15行的第！个数．第：5行是奇数行，奇数行第1个数是在第2列．因此100在第15行，第2列．(2)两行为一个周期，前20行有20÷2=10个周期，每个周期7个数，前20行共有10×7=70个数．所以第20行最后一个数就是第70个数，即第20行第1列是第70个数，那么第20行第2列的数是第69个数，第69个数是69×2=138.8．如图10 -5，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来，请问：(l)第10行左起3个数是多少？(2) 99在第几行左起第几个数？答案:(1)167(2)第8行左起第1个数解析:(1)前9行有1+3+5+…+17=81个数，因此第10行第3个数是表中的第81+3=84个数，表中的数都是奇数，第84个奇数是84×2-1=167.(2) 99是第50个奇数，前7行有1+3+5+-+13=49个数，因此表中第50个数是第8行左起第1个数.9．如图10 -6，从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：(1) 100在第几行？100是这一行左起第几个数？(2)第25行左起第5个数是多少？答案:(1)第14行，左起第9个数(2) 321解析:从图中可看出，自然数排成了“S”形，且第1行有1个数，第2行有2个数……第几行就有几个数；奇数行是从右向左排列，偶数行则是从左向右排列．(1)数100是第100个数，因为1+2+3+…+13=91，前13行有91个数；1+2+3+…+14=105，前14行有105个数，所以100在第14行，第14行是偶数行，是从左向右排列的，100是第14行的第100-91=9个数．于是，100在第14行，是这一行左起第9个数．(2)前25行有1-l-2+3+-+25=(1+20)×25÷2=325个数，奇数行是从右向左排列的，所以第25行最后一个数即是左起第1个数，为325．那么第25行左起第5个数就是325-4=321.10．如图10-7，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放入一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1)1997; (2)2016; (3)2349.如果可以，请写出方框中最大的数．答案:只有2349是可以的，最大的数为269解析:可以看到，数阵中的行和列为等差数列，数列排列非常规律．然后可以观察到方框中9个数的平均数就是正中间的数，因此方框中的9个数之和必为正中间数字的9倍．1997÷9=221……8（不符合题意）；2016÷9=224（暂时符合题意）；2349÷9=261（暂时符合题意）．又由于每行都是7个数，而224÷7=32, 261÷7=37……2.于是224是第32行最后一个数，224不可能是方框正中间的数．而261是第38行的第2个数，261可以作为方框正中间的数．因此只有2349是可能的，其中方框中的最大数比中间数大8，是261+8=269．拓展篇1．请观察下列数列的规律：1, 100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84, 0请问：(l)这个数列中有多少项是2？(2)这个数列所有项的总和是多少？答案:(l) 26项(2) 2652解析:题中的数列是由两个数列合成的，它的奇数项是以“1，2，3，2”为周期的周期数列，偶数项是首项为100、公差为2的递减的等差数列！数列最后一项为O，因周期数列中没有O，所以它是等差数列中的一项．(1)只要分别找出奇数项和偶数项中的2，把它们的项数相加就是数列中2的项数．在从100递减到O的等差数列中，项数为(100 -O)÷2+1= 51.由于是周期开始，等差结束，所以周期数列的项数也是51.由51÷4=12…3可知，51项里共有12个完整的周期，除此以外还剩3项：1，2，3．每个周期有两项是2，所以周期数列里有2×12+1= 25项是2，等差数列中只有一项是2，所以数列里一共有25+1=26项是2．(2)可以分别算出奇数项之和与偶数项之和，把它们相加就是数列所有项的总和．周期数列51项之和为(1+2+3+2)×12+1+2+3 =102，等差数列51项之和为(O +100)×51÷2=2550.所以数列的所有项之和为2550+102=2652.2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(j，6，7)，(7，8，9)，…的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和．答案:(1) 120 (2) 1260解析:(1)笫20组的三个数中，中间那个数是20×2=40.所以第20组就是(39，40，41)，三个数的和为40×3=120．(2)可以分析出每组三个数的和是组数的6倍，那么前20组的所有数的和是6×1+6×2+6×3+…+6×20=6×(1+2+3+…+20)=6×(1+20)×20÷2 = 1260．3．一列由两个数组成的数组：(1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4),(2,4),(3,4),(4,4),(1,5),…，请问：(1)第100组内的两数之和是多少？(2)前55组中“5”这个数出现了多少次？答案:(l) 23 (2) 11次解析:观察数组可以发现，如果有某些组括号里的第2个数相同，那这些组都紧挨着．如果按从左到右的顺序，把各组括号里的第2个数写成一行：1，2，2，3，3，3，…，可发现各组的第2个数排列得很有规律，从1开始逐渐变大，所以可以把数组按括号中的第2个数分成若干大组：观察这些大组可发现，第1大组有1个括号，第2大组有2个括号……第几大组就有几个括号，在每一组里，括号中的第1个数排成了从1开始递增的连续自然数数列．(1)1+2+3+…+13=91<100,1+2+…+14=105>100，所以第100个括号在第14大组．前13大组有91个括号，由100-91=9知，第100个括号是第14大组中的第9个．根据组的特点可知，第100个括号内的数为(9，14)，它们的和是14+9=23．(2)方法一：因为1+2+-+10=55，所以前55个括号恰好被分为l0大组．前4大组没有出现5，从第5大组起，括号中的第1个数出现5的次数是每大组1次，所以第1个数中出现5的次数为104=6次．因为只有在第5组里，括号里的第2个数才能是5，所以括号中的第2个数出现5的次数是5次．综上，前55个括号中出现5的次数为6+5=11（次）．方法二：观察前3个括号（也就是前2个大组）可发现，括号里正好一共有3个1，3个2．再看前6个括号（也就是前3个大组），类似地列出1、2、3，可发现正好一共有4个1，4个2，4个3．如图所示：也就是说，在前咒个完整的大组中，每个数都出现了n+l次，那么按照这种写法依次写下去可发现，前10个完整的大组中1，2，…，10出现的次数相同，都是10+1=11次，所以5出现的次数也是11次．4．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的500个数，这500个数的和最大又是多少？答案:257；2510解析:根据题意，把数列的前面若干项写出来就是：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,…容易发现这是一个周期数列，每连续12个数为一个周期，每个周期的和是60．50÷12=4……2，即取4个周期和连续的2个数．连续4个周期的数，无论从数列中哪个数开始，它们的和是一定的：60×4=240．让多出来的2个连续的数的和尽量大就可以了．数列中，连续2个数的和最大是8+9=17，取法如图1：和最大就是60×4+17=257.500÷12=41……8，取41个周期和连续的8个数．要选8个连续的数，让它们的和最大．因为每连续12个数的和是一定的，所以选4个连续的数,使他们的和最小，剩下的8个数的和一定最大．如果取连续的4个数，使其和最小，很明显是“2，1，3，4”这4个，余下的8个数的和一定最大，是60-3-4-2-1=50.取法如图2：这样连续的500个数，其和就是最大的，是60×41+50=2510.5．如图10-8，把从l开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG 上，8在射线OH上，9又回到射线OA上……如此循环下去．问：78在哪条射线上？射线OE上的第30个数是多少？答案:射线OF上；237解析:如图所示标出了自然数从1开始在射线上排列的规律：可以发现，排成的是从里到外逆时针的螺旋形．从射线OA开始，排8个数之后，第9个数又排到OA上，所以我们可以把8个数看做一个周期，而且在同一条射线上，相邻的两数相差8，也就是说落在同一条射线上昀数形成一个以8为公差的等差数列．(l)由78÷8=9……6可知，78落在从OA开始4逆时针数的第6条射线OF 上．(2)射线OE上的数形成了以8为公差的等差数列，第1个数是5，第30个数和第1个数相差29个公差，所以0E上第30个数是5+8×29=237.6．如图10 -9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：(1) 123应该排在第几列？(2)第2行第20列的数是多少？答案:(1)第24列(2) 101解析:数列5，6，7，8，9，10，…是从5开始的自然数数列，按从小到大的顺序观察这个数阵中的自然数，可以发现它们是竖着排的，每一列的顺序都是从上至下，如果把每一列看作1个周期，一个周期里有5个数．(1)方法一：数阵中的数构成一个以5为首项的果把数阵中的一列看作一周期，那窟泣该是以5个数为一个周期．由119÷5=23……4可知，119个数包含23个周期，还多出4个数来. 23个周期就占据23列，所以数列的第119个数在第24列，也即123在第24列．方法二：注意到每一列第1行的数都是5的倍数，在第几列就是5的几倍．和123最接近的5的倍数是5×25=125，它在第25列第1行，123比它少2．所以在它的前一列，也就是第24列．(2)方法一：一个周期包含5个数，所以前19个周期共有19×5=95个数，第20列第2行的数也就是数列的第95+2=97个数．所以这个数是97+4=101．方法二：第20列第1行的数是5的20倍，也就是5×20=100．所以第2行的数是100+1=101.7．如图10 - 10所示，将自然数有规律地填入方格表中．请问：(1) 500在第几行第几列？(2)第100行第2列是多少？答案: (l)第111行，第5列(2) 448解析:(1)数表中的数构成一个从1～999的自然数数列，500是这个数列的第500个数，每一个奇数行和它下面的偶数行可看成一个周期．由500÷9=55……5可知，前500个数里包含了55个周期，还余下5个数．因为每个周期有2行，所以55个周期共占据55×2=110行，所以第500个数在数表的第11O+1=111衍，500在第111行的第5列．(2)方法一：前100行共有100÷2=50个周期，所以排到第100行第2列时，已经排了49个周期，还多出了7个数，所以，第100行第2列的数是数列的第49×9+7=448个数，也就是448.方法二：经仔细观察，每个周期的最后一个数都是9的倍数，在第几个周期就是9的几倍，前100行一共有100÷2=50个周期，那么第100行的最后一个数为9×50=450.450是第100行第6列的数，所以第100行第2列的数是450-2=448.8．如图10-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少？答案:9解析:横着看数阵，数阵的第1行是从1开始排到8，的连续自然数，第2行排了9后，接下来的数字是“1”，“0”，“1”，“1”，“1”，“2”，…．观察发现，是把从1开始连续的自然数的各位数字依次排到了数阵中．在数阵中，自然数的每位数字都占一个位置．一位数每个占1个位置，两位数每个占2个位置，三位数每个占3个位置，所以我们先要确定排到第60行数列的第48餐59+4=476个数字，因为在自然数中，一位数有9个，两位数有90个，所以一位数和两位数共有9+90×2=189个数字．那么肯定是排到三位数了．由(476-189)÷3=95…2可知，数阵排到60行第4个数字时，已经排了95个三位数，并且还多排了2个数字．于是第63行第4个数字属于隽96个三位数，也就是195，并且是195的第2位数字，所以它是9．9．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．公元纪年则是国际通行的纪年方式．图10 - 12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表，请问： (l)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是于支纪年的辛亥年，公元2049年是干支纪年的什么年？(2) 21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？(3)“戍戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？答案:(l)己已年(2) 2044年(3) 1898年解析:(1)注意到2049–1919=10×13，所以2049年和1919年的天干相同，都为“己”，又因为2049-1917=12×11，所以2049年和1917年的地支相同，都为“巳”．综上所述，得2049年为“己已”年．(2) 60年为一个大周期，因为它是10和12的公倍数，所以相隔60年的整数倍数的年份，天干和地支的名称都不变，只要知道20世纪的甲子年，就很容易求出21世纪的甲子年了．因为1924年是甲子年，所以21世纪的甲子年的公元纪年年份和1924之差是60的倍数．由1924+60=1984<2000, 1924+60×2=2044可知，21世纪的甲子年是204/年．又因为2044+60=2104，已经到了22世纪，所以21世纪只有一个甲子年．(3)由1918年是戊年可知，1898、1888、1878、1868、1858年都是戊年．由1922年是戌年可知，1898、1886年都是戌年．所以“戊戌变法”发生在1898年，10．如图10 - 13，将1～400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中，请问：(1) 246在第几行第几列？(2)第14行第13列的数是多少？(3)所有阴影方格中数的总和是多少？答案:(1)第13行，第6列(2) 273 (3) 8020解析:数表是从1开始，依次写下去．每行20个数，一共400个数．(1)因为第1个数是1，所以246就是第246个数．246÷20=12…6，于是246前面有12行，它是第13行的第6个数，也就是在第13行，第6列．(2)前13行有13×20=260个数，于是第14行的第13个数就是第260+13=273个数．因为第1个数是1，所以第273个数就是273.(3)把数表旋转180。

四年级奥数：数列与数表经过观察与归纳找出数与图的规律。

观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。

在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。

只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。

同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。

名师点题例1知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。

⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。

具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。

在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。

（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。

四年级奥数训练第17讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.典型问题兴趣篇1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少?2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和．3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：(1)第100项是多少?(2)前100项的和是多少?4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数．5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1)100在第几行、第几列?(2)第20行第3列的数是多少?6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：(1)100在第几行，第几列?(2)第5行第20列的数是多少?7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问：(1)100在第几行，第几列?(2)第20行第2列的数是多少?8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：(1)100在第几行?100是这一行左起第几个数?(2)第25行左起第5个数是多少?9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1)1997；(2)2016；(3)2349．如果可以，请写出方框中最大的数．10. 如图17-7，将1至400这400个自然数顺次填人20 x20的方格表中，请问：(1)246在第几行，第几列?(2)第14行第13列的数是多少?(3)所有阴影方格中数的总和是多少?拓展篇1．1，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，…，0．请观察上面数列的规律，请问：(1)这个数列中有多少项是2？(2)这个数列所有项的总和是多少?2．一列由两个数组成的数组： (1，1)， (1，2)， (2，2)， (1，3)， (2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，…，请问：(1)第100组内的两数之和是多少?(2)前55组中“5”这个数出现了多少次?3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少?如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少?4．如图17-8，把从1开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG上，8在射线OH上，9又回到射线OA上，如此循环下去，问：78在哪条射线上?射线OE上的第30个数是多少?5．如图17-9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：(1)123应该排在第几列?(2)第2行第20列的数是多少?6．如图17-10所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：(1)500在第几行，第几列?(2)第100行第2列是多少?7．如图17-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少?。

数列数表基础知识点总结：1、数列等差数列：每一项与它的前一项的差等于同一个常数周期数列：有一定规律双重数列：两个不同规律的数列交叉2、数组有规律的数组：数变化、每组和变化、组与组变化。

3、数表周期数表：周期可以用行数来表示，也可以用数的个数来表示，【例题精讲】例题1. 有一个数列：1，100，3，98，2，96，1，94，3，92，2，90，1，88，3，86，2，84，…，0。

观察该数列的规律，并回答：在这个数列中有多少项是2？【答案】18。

【解析】以上数列为双重数列，奇数项为周期数列，周期为1、3、2。

偶数项为递减等差数列，公差为2，首项100，末项为0，共计51项，有 1 个2。

周期数列也有51 项，共有51 ÷3 = 17 个完整周期，每个周期有1 个2，共17 个2。

再加上等差数列中有 1 个2，共18 个2。

练习1. 有一个数列：3，100，2，99，1，98，3，97，2，96，1，95，3，94，2，93，1，92，3，91，…，0。

观察该数列的规律，并回答：在这个数列中有多少项是3？【答案】34。

【解析】奇数项为周期数列，周期为3、2、1。

偶数项为首项100，末项0，公差为 1 的递减等差数列，共101 项，有 1 个3。

周期数列也有101 项，101÷3=33（个）……2，余数为2，周期数列中有33+1=34 项是3。

共34+1=35 （个）3。

例题2. 观察数组：（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）…请问：（1）第20 组内的三个数之和是多少？（2）前20 组中所有数的和是多少？【答案】（1）177；（2）1830。

【解析】（1）数组由自然数组成，每三个组成一组，第20 组最后一个数为20×3=60，三个数为58，59，60，和为59×3=177；（2）前20 组数字和：(1+60)×60÷2=1830。

第十七讲数列与数表1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，l，22,2，25，3, (100)请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项？(2)这个数列所有数的总和是多少？2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和．3．一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：(1)第100项是多少？(2)前100项的和是多少？4．如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填入的，请观察方格表，并填出“？”处的数．5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1) 100在第几行、第几列？(2)第20行第3列的数是多少？6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：(1) 100在第几行，第几列？(2)第5行第20列的数是多少？7．如图174所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问：(1) l00在第几行，第几列？(2)第20行第2列的数是多少？8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：(1) 100在第几行？100是这一行左起第几个数？(2)第25行左起第5个数是多少？9．如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵，试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1) 1997; (2) 2016; (3) 2349.如果可以，请写出方框中最大的数．10．如图17-7，将1至400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中，请问：(1)246在第几行，第几列？(2)第14行第13列的数是多少？(3)所有阴影方格中数的总和是多少？1.1，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，1，84, 0请观察上面数列的规律，请问：(1)这个数列中有多少项是27(2)这个数列所有项的总和是多少？2．一列由两个数组成的数组： (1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3,3),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(1,5),…，请问：(1)第100组内的两数之和是多少？(2)前55组中“5”这个数出现了多少次？3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少？4．如图17。

第10讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题。

注意数表形式的多样性，许算时常常考虑周期性，或进行合理估算．典型例题兴趣篇1．观察数组(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，…的规律，求：(l)第10组中三个数的和；(2)前10组中所有数的和．答案：(1) 33 (2) 195解析：发现每组都有三个数，而且这三个数是连续的．第1组三个数中，中间的那个数是2，第2组中间的数是3，第3组中间的数是4……第几组中间那个数就是几加1．又每组三个数是连续的，所以这三个数的平均数就是中间那个数，这三个数的和就是中间那个数的3倍．(1)第10组的三个数中，中间那个数是10+1= 11．所以第10组就是(1O，11，12)，那么这三个数的和为11×3=33．(2)可以分析出每组三个数的和是这组中间数的3倍，那么前：O组的所有数的和是2×3+3×3+4×3+…+1l×3=3×(2+3+…+11)=195．2．请观察下列数列的规律：1,1,4,2,7,3, 10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,…,100.问：(1)这个数列一共有多少项？(2)这个数列所有数的总和是多少？答案:(1)67项(2) 1783解析:观察发现数列中两种规律交替出现，也就是说，题中数列的第2项、第4项、第6项……即偶数项是：1，2，3，1，2，3，…，以“1，2，3”为一个周期，循环出现，周期的长度为3．再来看奇数项，把第1、3、5、7……项列出来是：1，4，7，10，13，16，…，显然，这是一个首项为1、公差为3的等差数列．(1)数列最后一项是100，这肯定不是“1，2，3”周期数列中的一项，而是等差数列中的一项．等差数列的项数是（100-1）÷3+1= 34，由于是等差开头，等差结尾，所以周期数列的项数比等差数列的步1，原数列的项数是34×2-1= 67.因此这个数列一共有67项．(2)在这个数列的67项中，周期数列有33项，每个周期内3个数的和是1+2+3=6，共有33÷3=11个周期，所以周期数列的总和就是11×6=66.等差数列有34项，首项为1，末项为100，项数是34，各项的和为(1+ 100)×34÷2=1717．综上，题中数列各项的总和是66+1717=1783.3．一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：(l)第100项是多少？(2)前100项的和是多少？答案:(1)8 (2) 975解析:(1)根据题意写出数列：1，2，4，8，16，12，4,8, 16, 12,4,8,16, 12,4,…可以看出，此数列是从第3项起，以“4，8，16，12”这4个数为一个周期的周期数列．前100项中，除去前2项还有98项，98÷4=24……2，这意味着98项里有24个周期，最后还多出来2项，如图所示：所以数列的第100项是8．(2)前100项的和是1+2+(4+8T16+12)×24+4+8=975.4．如图10-1，方格表中的数是按照一定规律填入的．请观察方格表，并填出“？”处的数．答案:105解析:观察表中的数，发现最小的数是1，其次是3，6，10，15，…，把这些数从小到大连接起来，可以看出，这些数从小到大按照螺旋的形状排列．“？”处的数就是91之后，120之前的数，这些数从小到大依次是1，3，6，10，15，21，28，36，…，可以看出：每两个数的差依次加1．从图上的“66”开始看，从小到大，按照“螺旋”的排列规律，由于所以“？”就是105.5．如图10 -2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第3列的数是多少？答案:(1)第25行，第6列(2) 79解析:每一个奇数行都有4个数，在右面的第3、4、5、6列；每一个偶数行也有4个数，在左面的第1、2、3、4列．所有的数从1开始，由小到大按自然数的顺序从左向右排列．可以看到，如果把每一个奇数行和它下面的偶数行看作一个“奇偶组”，那么一个“奇偶组”有8个数，每个“奇偶组”中8个数对应的排列方式是相同的．(1)首先，100就是从小到大的第100个数，每个“奇偶组”有8个数，100÷8=12……4，于是100之前有12个“奇倡组”，100是这12个“奇偶组”后的第4个数．12个“奇偶组”就占24行，第24行为偶数行，100就在从第25行开始数第4个数的位置，如图1所示：所以100在第25行，第6列．(2) 20行有2C÷2—10个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数就是80，它是隽20行最后一个数．第20行为偶数行，偶数行都有4个数，在左面的第1、2、3、4列．如图2所示：所以第20行第3列的数就是79.6．如图10 -3，从4开始的自然数是按某种规律排列的．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第5行第20列的数是多少？答案:(1)第1行，第25列(2) 81解析:数阵中的数是从4开始，由小到大排列的．从左边第一列开始，奇数列都有5个数，是从上到下排列的；偶数列都有3个数，是从下到上排列的，每个奇数列和它后面相邻的偶数列组成一个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数．(1)方法一：100是数列中第100-3=97个数，每个“奇偶组”有8个数，97÷8=12……1．所以前100个数中有12个“奇偶组”，还多出1个数．每个“奇偶组”包含一奇一偶两列，12个“奇偶组”有12×2=24列．于是第97个数就是第25列的第1个数，也就是说100在第1行，第25列．方法二：第1列第1行的数是4，第3列第1行的数是12，第5列第1行是20……可以发现，第奇数列第1行的数是这个奇数的4倍．因为100÷4=25，所以100就是第25列第1行上的数．(2)方法一：前20列有20÷2=10个“奇偶组”．每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数是前20列最后一个数．20是偶数，第20列最后一个数在第1衍．因此第20列第5行上的数是第80-2=78个数．第78个数就是78+3=81.方法二：找规律，第2列第5行是9，2×4+1=9．第4列第5行是17，4×4+1=17.第6列第5行是25，6×4+1=25．于是第20列第5行是20×4+1=81．7．如图10 -4所示，把偶数2，4，6，8，…排成5列，各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第2列的数是多少？答案:(1)第15行，第2列(2) 138解析:先观察数阵中数的排列规律，发现数阵中的数是从2开始的连续的偶数，奇数行有4个数，在右面的第2、3、4、5列，从左向右排列；偶数行有3个数，在左面的第1、2、3列，从右向左排列，把一个奇数行和它相邻的偶数行看作一个周期，那么一个周期包含7个数．(1) 100是从2开始的第100÷2=50个数．每7个数为一个周期，50÷7=7……1. 50个数包含7个周期，并多出来一个数．7个周期就占据7×2—14行．所以数100是第15行的第！个数．第：5行是奇数行，奇数行第1个数是在第2列．因此100在第15行，第2列．(2)两行为一个周期，前20行有20÷2=10个周期，每个周期7个数，前20行共有10×7=70个数．所以第20行最后一个数就是第70个数，即第20行第1列是第70个数，那么第20行第2列的数是第69个数，第69个数是69×2=138.8．如图10 -5，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来，请问：(l)第10行左起3个数是多少？(2) 99在第几行左起第几个数？答案:(1)167(2)第8行左起第1个数解析:(1)前9行有1+3+5+…+17=81个数，因此第10行第3个数是表中的第81+3=84个数，表中的数都是奇数，第84个奇数是84×2-1=167.(2) 99是第50个奇数，前7行有1+3+5+-+13=49个数，因此表中第50个数是第8行左起第1个数.9．如图10 -6，从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：(1) 100在第几行？100是这一行左起第几个数？(2)第25行左起第5个数是多少？答案:(1)第14行，左起第9个数(2) 321解析:从图中可看出，自然数排成了“S”形，且第1行有1个数，第2行有2个数……第几行就有几个数；奇数行是从右向左排列，偶数行则是从左向右排列．(1)数100是第100个数，因为1+2+3+…+13=91，前13行有91个数；1+2+3+…+14=105，前14行有105个数，所以100在第14行，第14行是偶数行，是从左向右排列的，100是第14行的第100-91=9个数．于是，100在第14行，是这一行左起第9个数．(2)前25行有1-l-2+3+-+25=(1+20)×25÷2=325个数，奇数行是从右向左排列的，所以第25行最后一个数即是左起第1个数，为325．那么第25行左起第5个数就是325-4=321.10．如图10-7，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放入一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1)1997; (2)2016; (3)2349.如果可以，请写出方框中最大的数．答案:只有2349是可以的，最大的数为269解析:可以看到，数阵中的行和列为等差数列，数列排列非常规律．然后可以观察到方框中9个数的平均数就是正中间的数，因此方框中的9个数之和必为正中间数字的9倍．1997÷9=221……8（不符合题意）；2016÷9=224（暂时符合题意）；2349÷9=261（暂时符合题意）．又由于每行都是7个数，而224÷7=32, 261÷7=37……2.于是224是第32行最后一个数，224不可能是方框正中间的数．而261是第38行的第2个数，261可以作为方框正中间的数．因此只有2349是可能的，其中方框中的最大数比中间数大8，是261+8=269．拓展篇1．请观察下列数列的规律：1, 100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84, 0请问：(l)这个数列中有多少项是2？(2)这个数列所有项的总和是多少？答案:(l) 26项(2) 2652解析:题中的数列是由两个数列合成的，它的奇数项是以“1，2，3，2”为周期的周期数列，偶数项是首项为100、公差为2的递减的等差数列！数列最后一项为O，因周期数列中没有O，所以它是等差数列中的一项．(1)只要分别找出奇数项和偶数项中的2，把它们的项数相加就是数列中2的项数．在从100递减到O的等差数列中，项数为(100 -O)÷2+1= 51.由于是周期开始，等差结束，所以周期数列的项数也是51.由51÷4=12…3可知，51项里共有12个完整的周期，除此以外还剩3项：1，2，3．每个周期有两项是2，所以周期数列里有2×12+1= 25项是2，等差数列中只有一项是2，所以数列里一共有25+1=26项是2．(2)可以分别算出奇数项之和与偶数项之和，把它们相加就是数列所有项的总和．周期数列51项之和为(1+2+3+2)×12+1+2+3 =102，等差数列51项之和为(O +100)×51÷2=2550.所以数列的所有项之和为2550+102=2652.2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(j，6，7)，(7，8，9)，…的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和．答案:(1) 120 (2) 1260解析:(1)笫20组的三个数中，中间那个数是20×2=40.所以第20组就是(39，40，41)，三个数的和为40×3=120．(2)可以分析出每组三个数的和是组数的6倍，那么前20组的所有数的和是6×1+6×2+6×3+…+6×20=6×(1+2+3+…+20)=6×(1+20)×20÷2 = 1260．3．一列由两个数组成的数组：(1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4),(2,4),(3,4),(4,4),(1,5),…，请问：(1)第100组内的两数之和是多少？(2)前55组中“5”这个数出现了多少次？答案:(l) 23 (2) 11次解析:观察数组可以发现，如果有某些组括号里的第2个数相同，那这些组都紧挨着．如果按从左到右的顺序，把各组括号里的第2个数写成一行：1，2，2，3，3，3，…，可发现各组的第2个数排列得很有规律，从1开始逐渐变大，所以可以把数组按括号中的第2个数分成若干大组：观察这些大组可发现，第1大组有1个括号，第2大组有2个括号……第几大组就有几个括号，在每一组里，括号中的第1个数排成了从1开始递增的连续自然数数列．(1)1+2+3+…+13=91<100,1+2+…+14=105>100，所以第100个括号在第14大组．前13大组有91个括号，由100-91=9知，第100个括号是第14大组中的第9个．根据组的特点可知，第100个括号内的数为(9，14)，它们的和是14+9=23．(2)方法一：因为1+2+-+10=55，所以前55个括号恰好被分为l0大组．前4大组没有出现5，从第5大组起，括号中的第1个数出现5的次数是每大组1次，所以第1个数中出现5的次数为104=6次．因为只有在第5组里，括号里的第2个数才能是5，所以括号中的第2个数出现5的次数是5次．综上，前55个括号中出现5的次数为6+5=11（次）．方法二：观察前3个括号（也就是前2个大组）可发现，括号里正好一共有3个1，3个2．再看前6个括号（也就是前3个大组），类似地列出1、2、3，可发现正好一共有4个1，4个2，4个3．如图所示：也就是说，在前咒个完整的大组中，每个数都出现了n+l次，那么按照这种写法依次写下去可发现，前10个完整的大组中1，2，…，10出现的次数相同，都是10+1=11次，所以5出现的次数也是11次．4．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的500个数，这500个数的和最大又是多少？答案:257；2510解析:根据题意，把数列的前面若干项写出来就是：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,…容易发现这是一个周期数列，每连续12个数为一个周期，每个周期的和是60．50÷12=4……2，即取4个周期和连续的2个数．连续4个周期的数，无论从数列中哪个数开始，它们的和是一定的：60×4=240．让多出来的2个连续的数的和尽量大就可以了．数列中，连续2个数的和最大是8+9=17，取法如图1：和最大就是60×4+17=257.500÷12=41……8，取41个周期和连续的8个数．要选8个连续的数，让它们的和最大．因为每连续12个数的和是一定的，所以选4个连续的数,使他们的和最小，剩下的8个数的和一定最大．如果取连续的4个数，使其和最小，很明显是“2，1，3，4”这4个，余下的8个数的和一定最大，是60-3-4-2-1=50.取法如图2：这样连续的500个数，其和就是最大的，是60×41+50=2510.5．如图10-8，把从l开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG 上，8在射线OH上，9又回到射线OA上……如此循环下去．问：78在哪条射线上？射线OE上的第30个数是多少？答案:射线OF上；237解析:如图所示标出了自然数从1开始在射线上排列的规律：可以发现，排成的是从里到外逆时针的螺旋形．从射线OA开始，排8个数之后，第9个数又排到OA上，所以我们可以把8个数看做一个周期，而且在同一条射线上，相邻的两数相差8，也就是说落在同一条射线上昀数形成一个以8为公差的等差数列．(l)由78÷8=9……6可知，78落在从OA开始4逆时针数的第6条射线OF 上．(2)射线OE上的数形成了以8为公差的等差数列，第1个数是5，第30个数和第1个数相差29个公差，所以0E上第30个数是5+8×29=237.6．如图10 -9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：(1) 123应该排在第几列？(2)第2行第20列的数是多少？答案:(1)第24列(2) 101解析:数列5，6，7，8，9，10，…是从5开始的自然数数列，按从小到大的顺序观察这个数阵中的自然数，可以发现它们是竖着排的，每一列的顺序都是从上至下，如果把每一列看作1个周期，一个周期里有5个数．(1)方法一：数阵中的数构成一个以5为首项的果把数阵中的一列看作一周期，那窟泣该是以5个数为一个周期．由119÷5=23……4可知，119个数包含23个周期，还多出4个数来. 23个周期就占据23列，所以数列的第119个数在第24列，也即123在第24列．方法二：注意到每一列第1行的数都是5的倍数，在第几列就是5的几倍．和123最接近的5的倍数是5×25=125，它在第25列第1行，123比它少2．所以在它的前一列，也就是第24列．(2)方法一：一个周期包含5个数，所以前19个周期共有19×5=95个数，第20列第2行的数也就是数列的第95+2=97个数．所以这个数是97+4=101．方法二：第20列第1行的数是5的20倍，也就是5×20=100．所以第2行的数是100+1=101.7．如图10 - 10所示，将自然数有规律地填入方格表中．请问：(1) 500在第几行第几列？(2)第100行第2列是多少？答案: (l)第111行，第5列(2) 448解析:(1)数表中的数构成一个从1～999的自然数数列，500是这个数列的第500个数，每一个奇数行和它下面的偶数行可看成一个周期．由500÷9=55……5可知，前500个数里包含了55个周期，还余下5个数．因为每个周期有2行，所以55个周期共占据55×2=110行，所以第500个数在数表的第11O+1=111衍，500在第111行的第5列．(2)方法一：前100行共有100÷2=50个周期，所以排到第100行第2列时，已经排了49个周期，还多出了7个数，所以，第100行第2列的数是数列的第49×9+7=448个数，也就是448.方法二：经仔细观察，每个周期的最后一个数都是9的倍数，在第几个周期就是9的几倍，前100行一共有100÷2=50个周期，那么第100行的最后一个数为9×50=450.450是第100行第6列的数，所以第100行第2列的数是450-2=448.8．如图10-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少？答案:9解析:横着看数阵，数阵的第1行是从1开始排到8，的连续自然数，第2行排了9后，接下来的数字是“1”，“0”，“1”，“1”，“1”，“2”，…．观察发现，是把从1开始连续的自然数的各位数字依次排到了数阵中．在数阵中，自然数的每位数字都占一个位置．一位数每个占1个位置，两位数每个占2个位置，三位数每个占3个位置，所以我们先要确定排到第60行数列的第48餐59+4=476个数字，因为在自然数中，一位数有9个，两位数有90个，所以一位数和两位数共有9+90×2=189个数字．那么肯定是排到三位数了．由(476-189)÷3=95…2可知，数阵排到60行第4个数字时，已经排了95个三位数，并且还多排了2个数字．于是第63行第4个数字属于隽96个三位数，也就是195，并且是195的第2位数字，所以它是9．9．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．公元纪年则是国际通行的纪年方式．图10 - 12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表，请问： (l)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是于支纪年的辛亥年，公元2049年是干支纪年的什么年？(2) 21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？(3)“戍戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？答案:(l)己已年(2) 2044年(3) 1898年解析:(1)注意到2049–1919=10×13，所以2049年和1919年的天干相同，都为“己”，又因为2049-1917=12×11，所以2049年和1917年的地支相同，都为“巳”．综上所述，得2049年为“己已”年．(2) 60年为一个大周期，因为它是10和12的公倍数，所以相隔60年的整数倍数的年份，天干和地支的名称都不变，只要知道20世纪的甲子年，就很容易求出21世纪的甲子年了．因为1924年是甲子年，所以21世纪的甲子年的公元纪年年份和1924之差是60的倍数．由1924+60=1984<2000, 1924+60×2=2044可知，21世纪的甲子年是204/年．又因为2044+60=2104，已经到了22世纪，所以21世纪只有一个甲子年．(3)由1918年是戊年可知，1898、1888、1878、1868、1858年都是戊年．由1922年是戌年可知，1898、1886年都是戌年．所以“戊戌变法”发生在1898年，10．如图10 - 13，将1～400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中，请问：(1) 246在第几行第几列？(2)第14行第13列的数是多少？(3)所有阴影方格中数的总和是多少？答案:(1)第13行，第6列(2) 273 (3) 8020解析:数表是从1开始，依次写下去．每行20个数，一共400个数．(1)因为第1个数是1，所以246就是第246个数．246÷20=12…6，于是246前面有12行，它是第13行的第6个数，也就是在第13行，第6列．(2)前13行有13×20=260个数，于是第14行的第13个数就是第260+13=273个数．因为第1个数是1，所以第273个数就是273.(3)把数表旋转180。

第12讲简单的数列问题1算的方法求出某一列数的和呢?关键是找出这一列数的规律。

下面我们就来讨论一些简单的数列问题。

例1计算1+2+3+…+2006解原式=(1+2006)×2006÷2=2013021【思路点拨】1,2,3,…,2006是等差数列。

你能找出这个等差数列的规律吗?公差是1,首项是1,末项是2006,项数是2006。

等差数列的求和公式是：各项之和=(首项+末项)×项数÷2。

现在我们可以很快地计算出这个等差数列的和是多少。

例2求首项是3,公差是5的等差数列的前1999项的和。

解末项=3+5×(1999-1)=3+5×1998=9993和=(3+9993)×1999÷2=9996×1999÷2=9991002【思路点拨】还是用例1中的公式，但是在这道题中，末项是多少还不知道，所以要先把末项求出来。

在等差数列中，首项、末项、公差的关系是这样的：末项=首项+公差×(项数-1)例3计算11+15+19+…+99解项数=(99-11)÷4+1=88÷4+1=23原式=(11+99)×23÷2=110×23÷2=1265【思路点拨】这是一个等差数列，它们的公差是4。

这个数列的首项是11,末项是99,也可以用等差数列的公式来计算。

这个等差数列的项数是多少呢?从题目中很难看出有多少项，所以要先计算出项数。

计算项数的方法是：项数=(末项-首项)÷公差+1。

计算出项数后，就可以利用等差数列的求和公式进行计算了。

例4计算(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)解方法一：2+4+6+…+96+98+100=(2+100)×50÷2=2550;1+3+5+…+95+97+99=(1+99)×5O÷2=25002550-2500=50方法二：原式=(2-1)+(4-3)+…+(98-97)+(100-99)=50×1=50【思路点拨】这里是两个等差数列，先分别求出这两个数列的和，再求出它们的差就可以了。

数列与数表
寻规律与计算
等差数列的几个重要公式
通项公式：末项=首项+（项数-1）×公差
项数分式：项数=（末项-首项）÷公差+1
求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2
例1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，……，100
请观察上面数列的规律，求：
（1）这个数列一共有多少项？
（2）这个数列所有数的总和是多少？
例2、观察数组（1，2，3），（3，4，5），（5，6，7），（7，8，9），……的规律，求：
（1）第20组中三个数的和；
（2）前20组中所的数的和。

练习1、观察数列：50，1，48，2，46，1，44，2，…，4，2，2，1
请问：这个数列共有多少项？所有数的总和是多少？
2、观察数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…
问：第10组中三个数的和是多少？前10组中所有数的和是多少？
例3、一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍，请问：
（1）第100项是多少？
（2）前100项的和是多少？
练习3、一个数列，第一个数是8，之后的每一项是这样得到的，如果前一项是奇数，接着的一项就等于前一项加7；如果前一项是偶数，接着的一项就等于前一项的一半，请问：
（1）第40项是多少？
（2）前40项的和是多少？
例4.如图，方格表中的数是按照一定规律填入的，请观察方格表，并填出“？”处的数。